La matriz de insumo-producto + la programación lineal para

La matriz de insumo-producto + la programación lineal para la
evaluación del impacto de distintas políticas económicas
Isabel Quintas-UAM
Se propone utilizar la matriz insumo producto como la información básica de la
estructura económica de una sociedad (país), o corporativo empresarial, para
estimar las consecuencias de aplicar determinadas medidas, por ejemplo
incentivar el sector servicios, o dar facilidades para la inversión en construcción
de vivienda, o abrir a la inversión privada el sector energéticos. Pero los recursos
tanto materiales como humanos son limitados y ciertos sectores podrían ser
cuellos de botella sin la planeación adecuada. El uso de la programación lineal,
permite optimizar el uso de los recursos disponibles sujeto a las limitaciones
endógenas del sistema y a limitaciones externas a él como pueden ser la
normatividad
ambiental u otras políticas existentes. Incorporadas estas
restricciones en la matriz de insumo-producto y resolviéndolo como un problema
de programación lineal, puede ayudar a determinar el máximo crecimiento posible
de cierto sector (que se quiere incentivar, por ejemplo), o la máxima o mínima
inversión a realizar en ciertos sector para optimizar ya sea la producción total o la
producción de algún sector que se considere como detonador del empleo, o la
generación de energía, o algún indicador ambiental, por ejemplo. El análisis de
sensibilidad del método permite detectar los sectores críticos y los posibles efectos
multiplicadores.
En este trabajo se presenta un caso de estudio simulado, utilizando una matriz de
insumo-producto de México agrupada en trece sectores; se establecen ciertas
limitaciones endógenas al sistema y se analiza en este caso cuál es la mayor
inversión que se podría realizar en el sector servicios (educación, salud), y cómo
deberían crecer los otros sectores, dadas las limitaciones consideradas.
Palabras clave: matriz insumo-producto,
optimización lineal.
programación
lineal,
evaluación,
Introducción
En este trabajo se muestra la utilización de dos herramientas como lo son la matriz
Insumo-Producto (IP) y el método de Programación Lineal (PL), que utilizadas
conjuntamente pueden ayudar a estimar las consecuencias de aplicar
determinadas medidas a un sistema económico, sujeto a limitaciones endógenas
del sistema y a limitaciones externas a él como pueden ser la normatividad
ambiental o otras políticas existentes.de una sociedad (país). Como PL es un
método de optimización, al aplicarlo sobre el modelo de IP, permite no sólo ,
cuantificar, sino también encontrar la mejor manera de hacerlo.
Primero se describirán las ecuaciones de estos modelos, para más adelante
presentar un ejemplo sintético, donde se plantearán de manera arbitraria ciertas
condiciones. Para el ejemplo se utilizó la matriz de IP de 1990 agrupada en trece
sectores (Kate,1993) y se propones ciertas limitaciones en la capacidad de
crecimiento de algunos sectores. El problema es resuelto utilizando la utilería
Solver.
Conceptos básicos
El modelo de insumo producto fue propuesto por el economista Wassily W.
Leontief, quién ganó el Premio Nobel de economía en 1973 por su desarrollo del
análisis de insumo- producto para contabilizar la producción de las naciones.
El modelo supone que la economía se divide en n sectores que se encuentran en
equilibrio, esto es que cada sector produce para satisfacer exactamente la
demanda. La demanda de cada sector se compone de la demanda intersectorial y
la demanda externa. Al igualar la oferta con la demanda se obtiene el siguiente
sistema:
x1 = a11 x1 + a12 x2 +………….a1n xn + d1
x2 = a21 x1 + a22 x2 +………….a2n xn + d2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = an1 x1 + an2 x2 +………….ann xn + dn
donde
xi es la producción total del sector i
aij representa la demanda interna del sector j de bienes del sector i
di es la demanda de bienes del sector i por los consumidores privados
En notación matricial
𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐷
(𝐼 − 𝐴 )𝑋 = 𝐷
O reagrupando
A la matriz A se la conoce como la matriz de la demanda interna o matriz de
coeficientes tecnológicos y a la matriz I – A se le llama matriz de Leontif.
Cuando se quiere determinar la producción total de la economía ante variaciones
del vector demanda se debe despejar el vector de producción total, entonces
𝑋 = ( 𝐼 − 𝐴 )−1 𝐷
La siguiente herramienta es el modelo de programación lineal que se utiliza para
la planeación de actividades, y consiste en encontrar el nivel de éstas,
representadas por un conjunto de variables (x1 , x2 … xn), de tal manera que
optimice determinada función objetivo (también lineal), sujeto a un conjunto de
restricciones sobre las mismas variables. La estructura del modelo es:
Máx c1 x1 + c2 x2 +………….+cn xn
Sujeto a
a11 x1 + a12 x2 +………….a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 +………….a2n xn ≤ b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1., x2 , . . . . , xn ≥ 0
La expresión matricial del modelo de programación lineal es:
𝑎𝑥 𝑧 = ∑ 𝑐𝑖 𝑥𝑖
sa
a x
ij
j
 bi
xj  0
La resolución de este sistema se conoce como el algoritmo Simplex y fue
desarrollado por Geoge Dantzig en el año 1947. Se trata de un método
sumamente eficiente que llega a la solución óptima con la menor cantidad de
iteraciones. En este trabajo se utilizará la implementación de este método en
Solver de Excel.
Ejemplo sintético
Se supone una economía que para efectos de ejemplo se utiliza la matriz de IP de
México, para 1990 agrupada en trece sectores (Kate,1993) y que se presenta
como la matriz T de las transacciones intersectoriales expresada en unidades
monetarias (en este caso en miles de millones de pesos). Además se tiene el
vector de demanda agregada del sector privado y la demanda del gobierno, así
como el vector de producción total. (cuadro 1)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
minería
alimentos
textiles
madera
químicos
industria
metal
manufacturas
construcción
electricidad
comercio
hotel y rest
servicios
financieros
servicios
total
4
de gob
3
219
584
73
107
12
842
188
1,199
20,000
320
515
926
35,282
60,267
72,281
33,197
101,087
27,045
7,972
58,893
46,955
21,281
60,000
16,660
173,224
93,146
196,373
908,114
priv
2
agro
Matriz en
millones
de pesos
1 Agro
2 minería (1)
3 alimentos
4 textiles
5 madera
6 quimicos
7 ind. Metal (2)
8 manufacturas (3)
9 construcción
10 electricidad
11 com hot rest
12 serv finacieros
13 servicios (4)
total
valor agregado
Total generado
1
7,713
2 27,957
716 1,480
236
0
160
0
4
0
0
206 33,588
237 4,969
840
28
9 5,657 4,250
350 8,245 2,487
44
189 1,127
4,181
2,269
0 11,659
402
1
749
1
189
0
0
0
0
423 85,321
245
25
358 3,932
112
152
141
67
49
17
277
16
663 20,884
52
16
0
21 1,057
64
260
293 1,820
8
5
10
52 4,302
5,252 1,164 1,575 3,687
289 11,271 2,369 1,291 2,099
343 2,107
456 9,465 16,683
715
604 1,555
161
149
513 15,722
442 9,137
88
936
148 3,437 13,160
422
402 1,083
375
25 1,500
787 3,222
285
88 3,207
726 1,609
6,351
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 40,000
722 1,390
977
273
54 3,098 1,527
466
325 1,194 2,208
665
990 2,451
2,806 1,395 9,136 2,890
677 3,868 7,177 1,438 3,629 1,234 4,734
824 7,137 125,764
1,470
480
964
571
161
715 1,456
493 2,453
316 10,935 9,113 7,394 55,699
1,561 2,032 4,977 1,228
299 3,126 4,328
822 4,585
629 19,484 7,123 15,596 95,301
23,464 12,479 61,081 14,284 4,313 30,949 38,018 9,233 32,627 6,408 43,937 19,270 48,099 503,685
48,817 20,718 40,006 86,803 22,732 27,944 8,937 12,048 27,373 10,252 129,287 73,876 148,274
72,281 33,197 101,087 101,087 27,045 58,893 46,955 21,281 60,000 16,660 173,224 93,146 196,373
Cuadro 1: matriz T de transacciones sectoriales, vector demanda y producción
total.
Los sectores son:
Sector 1:
Sector 2:
Sector 3:
Sector 4:
Sector 5:
Sector 6:
Sector 7:
Sector 8:
Sector 9:
Sector 10:
Sector 11:
Sector 12:
Sector 13:
agropecuario
minería
alimentos
textiles
madera
químicos
industria metal mecánica
manufacturas
construcción
electricidad
comercio, hoteles y restaurantes
servicios financieros
servicios
En el ejemplo se supone que
1- el gobierno se propone realizar un fuerte inversión en el sector servicios,
(sector 13 y así satisfacer la demanda no cubierta)
2- no se debe exceder la capacidad máxima de producción de ciertos servicios
que está acotada por su propia estructura. En este ejemplo se acotarán los
sectores 1, 3 y 10 (sector agro, alimentos procesados y sector eléctrico)
Para analizar el caso se necesita determinar cuál es la máxima inversión a realizar
en el sector servicios, así como evaluar los impactos que esta inversión producirá
en los otros sectores, por lo que se planteará como un problema de PL, cuyas
restricciones son las correspondientes a la matriz IP.
Resolución del problema
En primer lugar es necesario calcular la matriz A de coeficientes técnicos a partir
de la matriz T de transacciones intersectoriales
𝐴 = (𝑎𝑖𝑘 ) =
𝑡𝑖𝑘
𝑗=13
∑𝑗=1 𝑡𝑗𝑘 +𝑑𝑗𝑘
=
𝑡𝑖𝑘
𝑝𝑘
Y tomando en cuenta las restricciones estimadas de los tres sectores que en este
caso se considerará que:
1- los sectores agropecuarios y el de la producción de alimentos no podrán
crecer más que 5% cada uno.
2- El sector eléctrico sólo podría producir energía por un valor máximo de 16
mil millones de pesos utilizando al máximo su capacidad instalada.
Esto se traduce en las siguientes ecuaciones
x´1 ≤ 1.05 x1 = (1.05) 72,281 ~ 75,900
x´3 ≤ 1.05 x3 = (1.05) 101,087 ~ 106,000
x´10 ≤ 16,000
Y el problema puede plantearse como un problema de programación lineal donde
interesa maximizar la producción del sector servicios, x13, sujeto a una serie de
restricciones que salen del sistema (𝐼 − 𝐴 )𝑋 = 𝐷 con la excepción del renglón
13 que debe sustituirse por - ∑a13j xj + (1- a13 13 x13 ) – d13 = 0, ya que tanto la
producción total del sector como la demanda del sector son incógnitas del
problema. El modelo queda:
Modelo de PL
Sistema de ecuaciones para modelar el problema con programación lineal
Max x3
Sujeto a
x1  75,900
x3  106,000
x10 
16,000
0.893 x1 – 0 x2 - 0.278 x3 - 0.027 x4 - 0.181 x5 - 0.003 x6 - 0 x7 - 0.007 x8 - 0 x9 - 0 x10
- 0 x11 - 0 x12 - 0.001 x13
-0.107 x1 + 0.858 x2 - 0.008 x3 - 0.001 x4 - 0.001 x5 - 0.001 x6 - 0.088 x7 - 0.015 x8 – 0.137 x9 - 0.178 x10 – 0 x11 - 0.002 x12 - 0.006 x13
- 0.031 x1 - 0 x2 + 0.884 x3 - 0.015 x4 - 0.000 x5 - 0.004 x6 - 0 x7
- 0.008 x8 – 0 x9 - 0 x10
– 0 x11
- 0 x12 - 0.002 x13
- 0.003 x1 - 0.001 x2 - 0.004 x3 + 0.854 x4 - 0.014 x5 - 0.001 x6 - 0.003 x7 - 0.003 x8 – 0.001 x9 - 0.001 x10 – 0.002 x11 - 0 x12 - 0.003 x13
- 0.001 x1 - 0 x2
- 0 x3
- 0.001 x4 + 0.870 x5 - 0.005 x6 - 0.005 x7 - 0.013 x8 – 0.030 x9 - 0.001 x10 – 0 x11 - 0 x12 - 0.000 x13
- 0.073 x1 - 0.033 x2 - 0.016 x3 - 0.137 x4 - 0.035 x5 +0.980 x6 - 0.049 x7 - 0.057 x8 – 0.035 x9 - 0.025 x10 - 0.012 x11 - 0.005 x12 - 0.049 x13
- 0.035 x1 - 0.017 x2 - 0.015 x3 - 0.006 x4 - 0.018 x5 - 0.005 x6+ 0.676 x7 - 0.019 x8 - 0.152 x9 - 0.006 x10 - 0.005 x11 - 0.002 x12 - 0.018 x13
- 0.003 x1 - 0.011 x2 - 0.011 x3 - 0.014 x4 - 0.003 x5 - 0.064 x6 - 0.016 x7+ 0.858 x8 – 0.005 x9 - 0.006 x10 - 0.019 x11 - 0.008 x12 - 0.008 x13
+ 0 x1 - 0 x2 - 0 x3
- 0 x4 - 0 x5
- 0 x6
- 0 x7 - 0 x8 + 1.0 x9 - 0 x10 - 0 x11
- 0 x12 - 0 x13
- 0.010 x1 - 0.040 x2 - 0.010 x3 - 0.010 x4 - 0.007 x5 - 0.009 x6 - 0.031 x7 - 0.021 x8 – 0.005 x1 - 0.915 x10 - 0.013 x11 - 0.007 x12 - 0.005 x13
- 0.039 x1 - 0.040 x2 - 0.091 x3 - 0.107 x4 - 0.083 x5 - 0.021 x6 - 0.148 x7 - 0.063 x8 – 0.060 x9 - 0.088 x10- 0.972 x11 - 0.009 x12 - 0.037 x13
- 0.020 x1 - 0.014 x2 - 0.010 x3 - 0.021 x4 - 0.020 x5 - 0.008 x6 - 0.030 x7 - 0.022 x8 – 0.041 x9 - 0.023 x10 - 0.064 x11 +0.902 x12 - 0.038 x13
- 0.016 x1 - 0.058 x2 - 0.050 x3 - 0.046 x4 - 0.037 x5 - 0.014 x6 - 0.089 x7 - 0.036 x8 – 0.076 x9 - 0.045 x10 - 0.114 x11 - 0.077 x12 +0.919 x13
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, d13  0
= 33,807
=
4,765
= 85,394
= 20,991
=
4,314
= 17,525
= 13,348
=
7,550
= 60,000
=
2,771
= 116,279
= 56,625
- d13 =
0
A continuación el modelos se introduce a la hoja de cálculo Excel (cuadro 2) para resolverlo utilizando la herramienta
Solver del programa que incluye la implementación del método SIMPLEX. Como resultado se obtendrán por un lado los
valores de producción de cada sector así como la demanda del sector 13; una segunda hoja de cálculo arrojará el
análisis de sensibilidad del problema. (cuadros 3 y 5)
Cuadro 2: Modelado del problema para ser resuelto con la herramienta Solver de Excel
Cuadro 3: Hoja de resultados obtenidos con Solver de Excel
La respuesta obtenida con Solver indica que la solución óptima es invertir en el
sector servicios de tal manera que se incremente su producción hasta los 430,
110 millones de pesos. Lo que equivale a un aumento porcentual de
Incremento % = Vfinal – V inicial (100) = 430,110 - 193,490 (100) = 122. %
Vinicial
193,490
Con lo que la demanda no sectorial de estos servicios se incrementaría en
Incremento de la demanda = 345,967 - 130,580 (100) = 165 %
130,580
En el cuadro 4 se observa cual deberá ser la producción total de cada uno de los
servicios. Todos ellos se incrementan en diferente medida. Se puede observar que
se puede lograr un crecimiento del 122% del sector servicios aumentando la
demanda externa de este sector, pero con crecimientos muy inferiores de los
demás sectores; sobresalen especialmente los sectores de química, con 26%,
productos metálicos y manufacturas con cerca del 15%, y luego el sector eléctrico
que es el que limita el crecimiento.
Cuadro 4: Crecimiento porcentual de los sectores
Sector
1 Agro
2 Minería
3 Alimentos
4 Textil
5 Madera
6 Química
7 Metal
8 Manufactura
9 Construcción
10 Electricidad
11 Comercio
12 S. Financ.
13 Servicios
inicial
calculado
72,181
72,835
35,046
37,931
100,527 101,242
26,928
27,942
8,160
8,408
48,596
61,366
48,488
55,100
22,708
26,274
60,000
60,000
13,996
16,000
170,380 171,210
92,832 103,486
193,490 430,111
variación
%
0.9
8.2
0.7
3.8
3.0
26.3
13.6
15.7
0.0
14.3
0.5
11.5
122.3
El análisis de sensibilidad indica los correspondientes precios sombra de cada
restricción. Como cabía esperar, la producción de electricidad es la limitante de
este sistema; el precio sombra indica que por cada 100 pesos que se incremente
la producción de electricidad, se podrán aumentar la producción de servicios en 33
pesos, mientras que si se decrementa en 100 unidades la demanda externa de
electricidad, también se podrían aumentar 37 unidades de servicios.
Un resultado menos obvio es el correspondiente a la demanda del sector 3,
alimentos, que indica que otra alternativa para aumentar la producción de servicios
es aumentando la demanda externa de alimentos, ya que aunque la producción de
este sector está limitada, hay excedente que se puede dirigir a la demanda
externa, produciendo un efecto multiplicador de 1.14 en el sector servicios. .
Los demás parámetros son negativos y muy pequeños comparados con los
comentados.
Cuadro 5 Resultados del análisis de sensibilidad
Cell
$Q$158
$Q$159
$Q$160
$Q$161
$Q$162
$Q$163
$Q$164
$Q$165
$Q$166
$Q$167
$Q$168
$Q$169
$Q$170
$Q$171
$Q$172
$Q$173
Final
Nombre
Valor
límite prod agro (1)
72,835
lim prod alimentos (3)
101,242
lim prod electricidad (10) de gob
16,000
sector 1 de gob
33,807
sector 2 de gob
4,765
sector 3 de gob
85,394
sector 4 de gob
20,991
sector 5 de gob
4,314
sector 6 de gob
17,525
sector 7 de gob
13,348
sector 8 de gob
7,550
sector 9 de gob
60,000
sector 10 de gob
2,771
sector 11 de gob
116,279
sector 12 de gob
56,625
sector 13 de gob
0
Precio
Restricción incremento
decrem
sombra
permitido
permitido
0.00
75900
3,065
0.00
106000
4,758
0.33
16000
10,076
3,506
0.03
33807
2,722
64,683
-0.02
4765
63,528
34,272
1.14
85394
4,186
89,080
0.02
20991
82,260
24,036
0.00
4314
13,209
7,325
0.00
17525
259,513
64,690
-0.02
13348
52,731
42,730
0.00
7550
107,260
23,482
-0.01
60000
128,922
60,000
-0.37
2771
3,166
9,135
-0.01
116279
196,148
180,340
0.00
56625
335,798
97,596
0.00
0
345,968
Conclusiones
Este estudio de caso hipotético muestra la capacidad que se tiene para simular
posibles escenarios correspondientes
a diferentes situaciones que se quieran
evaluar, y sus efectos en todos los sectores económicos, utilizando la matriz de
insumo-producto correspondiente y la técnica de modelado de la Pprogramación
Lineal, herramienta fundamental de la Investigación de Operaciones.
El uso de la hoja de cálculo para el manejo de la matriz permite trabajar sin
importar el número de sectores, que en el caso de México puede tratarse de una
matriz de hasta 80 o 100 sectores según el año o la fuente. El algoritmo Solver
permite resolver estos problemas sin necesidad de mayor trabajo para el usuario
que la de introducir el modelo. La salida indica la solución óptima y el análisis de
sensibilidad para poder realizar la pos-optimización del problema.
Bibliografía
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Servin, C.; Desarrollo de una matriz de insumo-producto para el análisis de
políticas económicas, IMTA, 2000 en http://www.researchgate.nrt/publication/242195833_
DESARROLLO_DE_UNA_MATRIZ_INSUMOPRODUCTO_PARA_EL_ANALISIS_DE_POLITICAS
_ECONOMICAS