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Byron Francisco Martínez García
D
E terminar
la solución general de la ecuaación diferencial dada. Especificar un intervalo en el
cual está definida la solución.
Definición de Ecuación Lineal
Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma
a1 (x)
dy
+ a0 (x)y = g(x)
dx
es una ecuación lineal.
1. Resolver
dy
dx
= 5y
Solución
Ordenamos la ecuación
dy
− 5y = 0
dx
Tenemos que P (x) = −5, por lo tanto el factor integrante viene dado por
e−
Ahora multiplicamos
dy
dx
R
5dx
= e−5x
− 5y = 0 por e−5x y obtenemos
e−5x
dy
− 5e−5x y = 0
dx
El lado izquierdo de la ecuación obtenida, es la derivada del producto del factor integrante
por la variable dependiente, y; esto es,
d −5x e y =0
dy
Integramos ambos lados de la ecuación
Z
d −5x e y =
dy
Z
0
Obtenemos
e−5x y = c
Por lo tanto la solución viene dada por
y = ce5x
−∞<x<∞
2. Resolver y 0 + 3x2 y = x2
Solución
dy
+ 3x2 y = x2
dx
Se tiene que P (x) = 3x2 , por lo tanto el factor integrante viene dado por
e3
Ahora multiplicamos
dy
dx
3
x2 dx
= ex
3
3
+ 3x2 y = x2
ex
R
por ex
dy
3
3
+ 3ex x2 y = ex x2
dx
El lado izquierdo de la ecuación obtenida es la derivada del producto del factor integrante
por la variable dependiente, y; esto es,
d h x3 i
3
e y = ex x2
dx
Ahora integramos ambos lados de la ecuación
Z
d h x3 i
e y =
dx
Z
3
ex x 2
1 3
3
ex y = ex + c
3
Despejando la variable y tenemos
y=
1 x3
e +
3
ex3
c
Por lo tanto la solución viene dada por
y=
1
3
+ ce−x
3
−∞<x<∞
3. Resolver xdy = (x sen x − y)dx
Solución
Reescribimos la ecuación de la forma
x
dy
= x sen x − y
dx
dy
+ y = x sen x
dx
Dividimos toda la ecuación por x y tenemos
x
dy y
+ = sen x
dx x
Se tiene P (x) = x1 , por lo tanto el factor integrante viene dado por
e
R
1
dx
x
= eln x = x
Ahora multiplicamos el factor integrante x por la ecuación
x
dy
dx
+
y
x
= sen x
dy
y
+ x = x sen x
dx
x
dy
+ y = x sen x
dx
El lado izquierdo de la ecuación obtenida es la derivada del producto del factor integrante
por la variable dependiente, y; esto es,
x
d
[xy] = x sen x
dx
Ahora integramos ambos lados
Z
d
[xy] =
dx
Z
x sen x
Tenemos entonces
xy = sen x − x cos x + c
Despejando x
sen x − x cos x + c
x
sen x
c
y=
− cos x +
0<x<∞
x
x
y=
dy
= 5 − 8y − 4xy
4. Resolver (x + 2)2 dx
Solución
Ordenamos la ecuación
(x + 2)2
dy
+ 4xy + 8y = 5
dx
Dividimos toda la ecuación por (x + 2)2
dy +4xy + 8y
5
+
=
2
dx
(x + 2)
(x + 2)2
dy 4y(x + 2)
5
+
=
2
dx
(x + 2)
(x + 2)2
dy
4y
5
+
=
dx (x + 2)
(x + 2)2
Se tiene P (x) =
4
x+2
de lo cual tenemos el factor integrante
R
e
Multiplicamos la ecuación
4
dx
x+2
dy
dx
(x + 2)4
+
4
= e4 ln |x+2| = eln |x+2| = (x + 2)4
4y
(x+2)
=
5
(x+2)2
por (x + 2)4
4y
5
dy
+ (x + 2)4
= (x + 2)4
dx
(x + 2)
(x + 2)2
Haciendo un poco de álgebra obtenemos
(x + 2)4
dy
+ 4(x + 2)3 y = 5(x + 2)2
dx
El lado izquierdo de la ecuación obtenida es la derivada del producto del factor integrante
por la variable dependiente, y; esto es,
d (x + 2)4 y = 5(x + 2)2
dx
Integramos ambos lados de la ecuación
Z
d (x + 2)4 y =
dx
Z
5(x + 2)2
5
(x + 2)4 y = (x + 2)3 + c
3
Despejando y
y=
c
5 (x + 2)3
+
4
3 (x + 2)
(x + 2)4
Por lo tanto la solución de la ecuación viene dada por
5
y = (x + 2)−1 + c(x + 2)−4
3
−2<x<∞
Espero que este material les sirva de apoyo en su formación académica. Cualquier otro tema que
quieran que se desarrolle, hacerlo llegar a la página www.huehuematica.com será un gusto
poderlos apoyar.
Att.
Byron Francisco Martínez García