Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional

Tema 2:
Métodos de Deducción
para la Lógica Proposicional
Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
Lógica y Computabilidad
Curso 2010–11
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.1
Contenido
Formas normales
Equivalencia
Sustitución
Formas normales
Tableros
Fomulas α y β
Tableros completos
Sistemas deductivos
Resolución
Cláusulas
La regla de resolución
Saturación
Estrategias de resolución
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.2
Equivalencia
Dos fórmulas F1 , F2 son equivalentes (F1 ≡ F2 ) si, para toda
valoración v , v (F1 ) = v (F2 ). Es decir, F1 ≡ F2 si F1 y F2 tienen
los mismos modelos.
I
F1 ≡ F2 si y sólo si F1 |= F2 y F2 |= F1
Ejemplos:
I
Cualesquiera dos fórmulas insatisfactibles son equivalentes.
I
Dos tautologı́as cualesquiera son equivalentes.
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Métodos de Deducción
2.3
Equivalencias (I)
Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:
I
Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A
I
Asociatividad:
A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ C
I
y
y
A∧B ≡B ∧A
A ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
Distributividad:
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
I
Doble negación: ¬¬A ≡ A
I
Leyes de De Morgan:
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
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y
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Métodos de Deducción
2.4
Equivalencias (II)
I
Idempotencia: A ∨ A ≡ A
I
Absorción: A ∨ (A ∧ B) ≡ A
I
Leyes de tautologı́a: Si A es una tautologı́a, entonces
A∧B ≡B
I
y
y
A∧A≡A
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A∨B ≡A
Leyes de inconsistentes: Si A es insatisfactible, entonces
A∧B ≡A
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y
y
A∨B ≡B
Métodos de Deducción
2.5
Sustitución
I
Dadas A, B ∈ PROP si A es una subfórmula de B y
A0 ∈ PROP, la sustitución de A por A0 en B es la fórmula
que se obtiene al cambiar cada aparición de A en B por A0 .
Usaremos como notación para la sustitución: B{A/A0 }.
I
Si A no es una subfórmula de B, por definición B{A/A0 } es B.
Ejemplos: Si B es p → q → r ∨ s entonces:
I
B{r ∨ s/p} es p → q → p.
I
B{q ∧ r /q} es p → q → r ∨ s.
I
B{q → r ∨ s/p ∧ r } es p → p ∧ r .
I
B{p → q/p} es p → q → r ∨ s.
Si C es la fórmula (p → q) ∨ (r → p → q), entonces
I
C {p → q/t} es t ∨ (r → t).
I
C {p → q/t → p → q} es (t → p → q) ∨ (r → (t → p → q))
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Métodos de Deducción
2.6
El Teorema de sustitución
Teorema de Sustitución. Sean B ∈ PROP y A, A0 ∈ PROP tales
que A ≡ A0 . Entonces
B{A/A0 } ≡ B
I
El teorema de sustitución nos permite manipular
“algebraicamente” una fórmula F para obtener otra fórmula
más simple y equivalente a F . Este proceso es similar al
empleado en la simplificación de expresiones algebraicas.
I
Ejemplo:
B ∨ (A ∧ (A → B)) ≡ B ∨ (A ∧ (¬A ∨ B))
≡ B ∨ (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B)
≡ B ∨ (A ∧ B) ≡ B
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Métodos de Deducción
2.7
Literales
I
Una fórmula F es un literal si es una variable proposicional o
la negación de una variable proposicional.
I
Dos literales, L1 y L2 , son complementarios (y decimos que
uno es el complementario del otro) si L1 es p y L2 es ¬p.
Lema 1. Sean L1 , . . . , Ln literales. Son equivalentes:
n
_
1.
Li es una tautologı́a.
i=1
2. {L1 , . . . , Ln } contiene un par de literales complementarios.
Lema 2. Sean L1 , . . . , Ln literales. Son equivalentes:
n
^
1.
Li es inconsistente.
i=1
2. {L1 , . . . , Ln } contiene un par de literales complementarios.
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Métodos de Deducción
2.8
Formas normales
I
Una fórmula está en Forma normal conjuntiva (FNC) si es
una conjunción de disyunciones de literales;


mi
n
^
_
 Li,j 
F =
i=1
I
Una fórmula está en Forma normal disjuntiva (FND) si es
una disyunción de conjunciones de literales;


mi
n
_
^
 Li,j 
F =
i=1
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j=1
j=1
Métodos de Deducción
2.9
Formas normales (II)
Lema:
I
Una fórmula en forma normal conjuntiva es una tautologı́a
syss cada una de sus disyunciones es una tautologı́a.
I
Una fórmula en forma normal disjuntiva es insatisfactible syss
cada una de sus conjunciones es insatisfactible.
Teorema.
I
Para toda fórmula G existe F en FNC tal que F ≡ G .
I
Para toda fórmula G existe F en FND tal que F ≡ G .
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Métodos de Deducción
2.10
Paso a forma normal
Procedimiento para transformar G en FNC:
1. Eliminar todas las implicaciones usando:
A → B ≡ ¬A ∨ B
y
A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
2. Trasladar las negaciones, mediante las leyes de Morgan:
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
y
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
3. Eliminar negaciones dobles usando ¬¬A ≡ A.
4. Convertir a FNC utilizando la ley distributiva:
A ∨ (B1 ∧ B2 ) ≡ (A ∨ B1 ) ∧ (A ∨ B2 )
I
Para pasar a FND utilizamos la ley distributiva:
A ∧ (B1 ∨ B2 ) ≡ (A ∧ B1 ) ∨ (A ∧ B2 )
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Métodos de Deducción
2.11
Ejemplo
(¬p ∧ q) → (q ∨ r ) → p ⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ((q ∨ r ) → p)
⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ¬(q ∨ r ) ∨ p
⇒ ¬¬p ∨ ¬q ∨ (¬q ∧ ¬r ) ∨ p
⇒ p ∨ ¬q ∨ ((¬q ∨ p) ∧ (¬r ∨ p))
⇒ (p ∨ ¬q ∨ ¬q ∨ p) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ p)
⇒ (¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ p)
Hemos eliminado literales repetidos en una misma cláusula gracias a la
equivalencia: A ∨ A ≡ A
(En la FND utilizarı́amos la equivalencia A ∧ A ≡ A).
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Métodos de Deducción
2.12
Algoritmo de satisfactibilidad mediante FND
Entrada: Una fórmula F .
Salida: Satisfactible, si F es satisfactible; Insatisfactible,
en caso contrario.
Procedimiento
Calcular una FND de F , FND(F )
G = G1 ∨ · · · ∨ Gn ← FND(F )
para i = 1 hasta n
si en Gi no ocurren literales complementarios,
entonces devolver satisfactible, parar
devolver insatisfactible
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Métodos de Deducción
2.13
Algoritmo de validez mediante FNC
Entrada: Una fórmula F
Salida: Tautologia, si F es una tautologı́a; No-tautologia, en
caso contrario.
Procedimiento
Calcular una FNC de F , FNC (F )
G = G1 ∧ · · · ∧ Gn ← FNC (F )
para i = 1 hasta n
si en Gi no ocurren literales complementarios,
entonces devolver No-tautologia; parar
devolver Tautologia
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Métodos de Deducción
2.14
Ejemplos
I
F1 = (p ∧ q) → (q ∧ r ) ∨ p.
Su forma normal conjuntiva es
(¬p ∨ ¬q ∨ q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ p)
Es tautologı́a (y por tanto satisfactible)
I
F2 = ¬(p ∨ q) ∨ (p → q).
Su forma normal disyuntiva es:
(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q
Es satisfactible.
Su forma normal conjuntiva es
(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ q)
No es tautologı́a.
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Métodos de Deducción
2.15
Tableros Semánticos
I
Gracias a la FND sabemos que la satisfactibilidad de una
fórmula puede reducirse a la de ciertos conjuntos de literales.
I
El método de los tableros semánticos organiza de manera
sistemática la búsqueda de modelos, reduciendo la
satisfactibilidad de las fórmulas consideradas a la de ciertos
conjuntos de literales.
El método de tableros semánticos:
1. Clasifica las fórmulas en dos clases:
I
I
Las fórmulas α, que se comportan como conjunciones
Las fórmulas β, que se comportan como disyunciones
2. Asocia a cada fórmula, F , otras dos fórmulas más sencillas
(sus componentes) de modo que la satisfactibilidad de F se
reduce a la de sus componentes.
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Métodos de Deducción
2.16
Fórmulas de tipo α
Las fórmulas de tipo α son las siguientes:
α
α1
α2
¬¬F
F
F1 ∧ F2
F1
F2
¬(F1 ∨ F2 )
¬F1
¬F2
¬(F1 → F2 )
F1
¬F2
F1 ↔ F2
F1 → F2 F2 → F1
I
Las fórmulas α1 y α2 son las componentes de α.
I
Si F es de tipo α, entonces F ≡ α1 ∧ α2 .
I
Para satisfacer una fórmula de tipo α es necesario y suficiente
satisfacer simultáneamente sus dos componentes α1 y α2 .
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Métodos de Deducción
2.17
Fórmulas de tipo β
Las fórmulas de tipo β son las siguientes:
β
β1
β2
F1 ∨ F2
F1
F2
¬(F1 ∧ F2 )
¬F1
¬F2
(F1 → F2 )
¬F1
F2
¬(F1 ↔ F2 ) ¬(F1 → F2 ) ¬(F2 → F1 )
I
Las fórmulas β1 y β2 son las componentes de β.
I
Si F es de tipo β, entonces F ≡ β1 ∨ β2
I
Para satisfacer una fórmula de tipo β sólo es necesario y
suficiente satisfacer una de sus componentes β1 y β2 .
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Métodos de Deducción
2.18
Reglas α y β
Reducen la consistencia de un conjunto de fórmulas U a la de otro
conjunto U 0 formado por fórmulas más sencillas.
I
Regla α: Si F ∈ U es de tipo α, entonces
U consistente
I
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⇐⇒
(U − {F }) ∪ {α1 , α2 } consistente
Regla β: Si F ∈ U es de tipo β, entonces


 (U − {F }) ∪ {β1 } consistente



o
U consistente
⇐⇒





(U − {F }) ∪ {β2 } consistente
Métodos de Deducción
2.19
Ejemplo
La fórmula q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p)) es insatisfactible:
q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p))
q, p ∧ (p → (q → ¬p))
q, p, (p → (q → ¬p))
H
HH
HH
q, p, ¬p
q, p, q → ¬p
HH
×
H
q, p, ¬q
q, p, ¬p
×
×
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Métodos de Deducción
2.20
Construcción de un tablero completo
Un tablero para {A1 , . . . , An } es un árbol T , con nodos
etiquetados por conjuntos de fórmulas, tal que:
I
I
La raı́z r de T está etiquetado por U(r ) = {A1 , . . . An }.
Para cada nodo l de T , con etiqueta U(l), no marcado, hacer:
1. Si U(l) es un conjunto de literales, entonces:
1.1 Si existe un par de literales complementarios en U(l), marcar
con × (y se denomina hoja cerrada).
1.2 Si no existe tal par, marcar con (hoja abierta).
2. Si U(l) no es un conjunto de literales, elegir A de U(l) no
literal.
2.1 Si A es una α–fórmula, entonces añadir un hijo l 0 de l con
U(l 0 ) = (U(l) \ {A}) ∪ {α1 , α2 } (α2 puede no existir).
2.2 Si A es una β–fórmula, entonces añadir dos hijos l 0 , l 00 con
etiquetas
U(l 0 ) = (U(l) \ {A}) ∪ {β1 } y U(l 00 ) = (U(l) \ {A}) ∪ {β2 }
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Métodos de Deducción
2.21
Propiedades de los tableros
I
La construcción siempre termina. El tablero final se denomina
tablero completo.
I
Un tablero T es cerrado si todas sus hojas son cerradas. En
otro caso es abierto.
Corrección y Completitud
Sea S un conjunto de fórmulas, y T un tablero completo para S.
I
Corrección: Si T es cerrado, entonces S es inconsistente.
I
Completitud: Si S es inconsistente, entonces T es cerrado.
{A1 , . . . , An } admite un tablero abierto si y sólo si es un conjunto
consistente. Además la rama abierta define un modelo: Si U es la
etiqueta de la hoja abierta,
v (p) = 1 si p ∈ U ó ¬p ∈
/ U,
LC, 2010–11
y
v (p) = 0 si ¬p ∈ U.
Métodos de Deducción
2.22
Ejemplo de consistencia:
p ∧ ¬q ∧ (p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r )))
p, ¬q ∧ (p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r )))
p, ¬q, p → ((q ∨ r ) → (p ∧ r ))
H
HH
HH
H
H
p, ¬q, ¬p
p, ¬q, (q ∨ r ) → (p ∧ r )
×
HH
H
HH
p,
¬q, p ∧ r
p, ¬q, ¬(q ∨ r )
p, ¬q, ¬r
p, ¬q, r
Induce v (p) = v (r ) = 1, v (q) = 0
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Métodos de Deducción
2.23
Consecuencia lógica
{A1 , . . . An } |= A ⇐⇒ {A1 , . . . , An , ¬A} admite un tablero cerrado.
Por ejemplo, {p → q, q ∨ r → s} |= p → s.
p → q, q ∨ r → s, ¬(p → s)
p → q, q ∨ r → s, p, ¬s
H
H
HH
H
H
¬p, q ∨ r → s p, ¬s
q, q ∨ r → s, p, ¬s
H
H
×
HH
H
q, s, p, ¬s
q, ¬(q ∨ r ), p, ¬s
×
q, ¬q, ¬r , p, ¬s
×
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Métodos de Deducción
2.24
Pruebas formales
I
Los tableros semánticos proporcionan un algoritmo para la
deducción basado en este hecho:
{A1 , . . . , An } |= A
I
⇐⇒
{A1 , . . . , An , ¬A} inconsistente
Un enfoque más natural del problema básico (PB) se obtiene
a través de la noción de demostración:
1. Consideramos el conjunto de enunciados, BC, como un
conjunto de axiomas (o hipótesis que asumimos como ciertas
inicialmente).
2. El enunciado φ será consecuencia de BC si podemos obtener
una demostración de φ a partir de BC (de manera similar a
como en matemáticas se demuestra un teorema).
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.25
Sistemas deductivos
Un sistema deductivo, T, (o teorı́a proposicional) consta de:
I
Un conjunto, Ax(T), de fórmulas proposicionales que
llamamos los axiomas de T.
I
Reglas de inferencia de la forma:
A1 , . . . , An
A
siendo A1 , . . . , An , A fórmulas proposicionales. Las fórmulas
A1 , . . . , An se denominan premisas y la fórmula A conclusión.
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.26
Pruebas y teoremas
I
Una demostración en T es una sucesión de fórmulas
proposicionales A1 , . . . , Ak cada una de las cuales es un
axioma de T, o bien, se obtiene a partir de fórmulas anteriores
de la sucesión mediante una regla de inferencia.
I
Una fórmula A es un teorema de T, `T A, si existe una
demostración en T, A1 , . . . , Ak tal que A = Ak . La sucesión
A1 , . . . , Ak se denomina una demostración de A en T.
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.27
Ejemplo
I
I
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Axiomas de T: {p, q, p ∧ q → (¬s ∨ p → r )}
Reglas de inferencia: (A y B fórmulas cualesquiera)
I∧ :
A, B
A∧B
I∨ :
A
A∨B
C∨ :
A∨B
B ∨A
MP :
A, A → B
B
Métodos de Deducción
2.28
Ejemplo (bis)
La siguiente sucesión es una demostración de r en T; luego `T r
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
LC, 2010–11
p
q
p∧q
p ∧ q → (¬s ∨ p → r )
¬s ∨ p → r
p ∨ ¬s
¬s ∨ p
r
[[Hip.]]
[[Hip.]]
[[I∧ aplicada a 1. y 2.]]
[[Hip.]]
[[MP aplicada a 3. y 4.]]
[[I∨ aplicada a 1.]]
[[C∨ aplicada a 6.]]
[[MP aplicada a 7. y 5.]]
Métodos de Deducción
2.29
Cláusulas
I
Una cláusula es una disyunción de literales L1 ∨ · · · ∨ Ln .
I
Dada una valoración v y una cláusula L1 ∨ · · · ∨ Ln se tiene:
v |= L1 ∨ · · · ∨ Ln
⇐⇒
Existe i = 1, . . . , n tal que v |= Li
Por tanto, el valor de verdad de L1 ∨ · · · ∨ Ln no depende ni
del orden en que aparecen los literales ni de posibles
repeticiones de literales.
I
En consecuencia, identificamos la cláusula L1 ∨ · · · ∨ Ln con el
conjunto de literales {L1 , . . . Ln }.
I
Caso especial: la cláusula vacı́a, correspondiente al conjunto
de literales vacı́o. La denotamos por .
I
Por definición, para toda valoración, v , se tiene v () = 0.
I
Notación: El literal complementario de L se denota por Lc .
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.30
Formas clausales
I
Para toda fórmula F ∈ PROP existe un conjunto de cláusulas
{C1 , . . . , Cn } tal que para toda valoración, v ,
v |= F
⇐⇒
v |= {C1 , . . . , Cn }
{C1 , . . . , Cn } se denomina una forma clausal de F .
I
Podemos obtener una forma clausal a partir de una forma
normal conjuntiva.
I
La fórmula en forma normal conjuntiva
(L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1 ) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm )
se escribe en forma clausal:
{{L1,1 , . . . , L1,n1 } . . . {Lm,1 , · · · , Lm,nm }}
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.31
La regla de resolución
Generaliza algunas de las reglas de inferencia clásicas:
Modus Ponens :
p,
p→q
q
{p},
{¬p, q}
{q}
Modus Tollens :
p → q, ¬q
¬p
{¬p, q}, {¬q}
{¬p}
Encadenamiento :
p → q, q → r
p→r
{¬p, q}, {¬q, r }
{¬p, r }
p → q,
{¬p, q}, {¬p, ¬q}
{¬p}
Reducción al absurdo :
LC, 2010–11
p → ¬q
¬p
Métodos de Deducción
2.32
La regla de resolución
Regla de resolución:
{L1 , . . . , L, . . . , Lm , }, {M1 , . . . , Lc , . . . , Mk }
{L1 , . . . , Lm , M1 , . . . , Mk }
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.33
Resolución entre cláusulas
I
Si L ∈ C1 y L0 ∈ C2 son literales complementarios, entonces la
resolvente de C1 y C2 respecto a L es
resL (C1 , C2 ) = (C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {L0 })
El conjunto de las resolventes de C1 y C2 es:
Res(C1 , C2 ) = {resL (C1 , C2 ) : L ∈ C1 y Lc ∈ C2 }.
I
Ejemplos:
Sea C1 = {p, q, ¬r } y C2 = {¬p, r , s}. Entonces
resp (C1 , C2 ) = {q, ¬r , r , s}
res¬r (C1 , C2 ) = {p, ¬p, q, s}
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.34
Demostraciones por resolución
Dado un conjunto de cláusulas, S, podemos considerar el sistema
deductivo que tiene a S como conjunto de axiomas y resolución
como única regla de inferencia.
I
Una demostración por resolución a partir de S es una
sucesión de cláusulas C1 , . . . , Cn tal que para cada
i = 1, . . . , n se verifica:
I
I
Ci ∈ S, o bien
Existen j, k < i tales que Ci ∈ Res(Cj , Ck ).
Si Cn = diremos que C1 , . . . , Cn es una refutación de S.
I
Una cláusula C es demostrable por resolución a partir de S
si existe una demostración a partir de S, C1 , . . . , Cn , tal que
Cn = C .
Notación: S `r C .
I
Decimos que S es refutable si S `r .
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.35
Ejemplos
I
Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬q, ¬p, s}}.
Veamos que S `r {s}.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
I
LC, 2010–11
{p, q}
{¬p, q}
{q}
{¬q, p}
{p}
{¬q, ¬p, s}
{¬q, s}
{s}
Hipótesis
Hipótesis
Resolvente
Hipótesis
Resolvente
Hipótesis
Resolvente
Resolvente
de 1 y 2
de 3 y 4
de 5 y 6
de 7 y 3
Es habitual presentar las demostraciones por resolución
utilizando un árbol.
Métodos de Deducción
2.36
Ejemplos (II)
S1 = {{p, q}, {p, ¬q}, {¬p, q}, {¬p, ¬q}} es refutable;
{p, q} {¬p, q}
{q} {p, ¬q}
S
S
S
{p} {¬p, ¬q}
{¬q}
Luego S `r .
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.37
Adecuación y Completitud
I
Lema. Sean C1 , C2 y C cláusulas. Si C es una resolvente de
C1 y C2 , entonces {C1 , C2 } |= C .
I
Teorema de adecuación. Sean S un conjunto de cláusulas y
C una cláusula. Entonces
S `r C
I
=⇒
S |= C
Incompletitud de resolución:
{{q}} |= {q, r } pero {{q}} 6`r {q, r }
I
Teorema de completitud de la refutación:
S es inconsistente
LC, 2010–11
⇐⇒
S `r Métodos de Deducción
2.38
Resolución por saturación
I
Algoritmo de resolución por saturación.
Entrada: S, un conjunto finito de cláusulas.
Salida:
SI, si S es inconsistente
NO, en caso contrario.
Procedimiento:
1. S 0 ← S
2. S 00 ← S 0 ∪
[
Res(C1 , C2 )
C1 ,C2 ∈S 0
00
3. Mientras ∈
/ S y S 0 6= S 00 hacer:
I
I
S0 ← S
S 00 ← S 0 ∪
[
Res(C1 , C2 )
C1 ,C2 ∈S 0
4. Si ∈ S 00 devolver SI (i.e., inconsistente)
5. Si ∈
/ S 00 devolver NO (i.e., consistente)
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.39
Resolución por saturación
I
El algoritmo de resolución por saturación genera una sucesión
de conjuntos de cláusulas:
[
S0 = S, Si+1 = Si ∪
Res(C1 , C2 )
C1 ,C2 ∈Si
de tal modo que para toda cláusula, C , se tiene
S `r C
I
LC, 2010–11
⇐⇒
Existe j tal que C ∈ Sj
En consecuencia, por el teorema de completitud, el algoritmo
de resolución por saturación es correcto.
Métodos de Deducción
2.40
Ejemplos (I)
I
Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p, ¬q}, {¬q}}, aplicando el
algoritmo:
S1 = S ∪ {{q}, {p}, {¬p}, {¬p, p}, {q, ¬q}}
S2 = S1 ∪ {, ...}
Por tanto, S es inconsistente.
I
Sea S = {{p, q}, {p, ¬q}, {q, r , s}, {¬s, ¬r }}, aplicando el
algoritmo:
S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}, {q, s, ¬s}, {q, r , ¬r }}
S2 = S1 ∪ {{p, s, ¬s}, {p, r , ¬r }, {q, ¬r , ¬s}, {p, q, r , s}}
S3 = S2 ∪{{p, ¬r , ¬s}, {p, q, ¬s, s}, {p, q, ¬r , r }, {p, q, ¬r , ¬s}}
Y S4 = S3 . Por tanto, S es consistente.
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.41
Ejemplos (II)
I
I
La aparición de tautologı́as suele provocar el cálculo de
muchas resolventes repetidas y la aparición de nuevas
tautologı́as.
Sin embargo, las tautologı́as son cláusulas esencialmente
redundantes, ya que tenemos el siguiente resultado:
I
Sea C una tautologı́a y S un conjunto de fórmulas. Entonces
S es consistente
I
⇐⇒
S − {C } es consistente
Por tanto, en cada etapa del algoritmo de saturación podemos
eliminar las tautologı́as obtenidas. En el caso anterior
tendrı́amos S = {{p, q}, {p, ¬q}, {q, r , s}, {¬s, ¬r }} y
aplicando el algoritmo con eliminación de tautologı́as
S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}},
S2 = S1
Por tanto, S es consistente.
LC, 2010–11
Métodos de Deducción
2.42
Completitud y eficiencia
I
Hemos estudiado la deducción como un método mecánico
para decidir la validez, consistencia, consecuencia lógica, etc.
I
La completitud es una propiedad fundamental de los
procedimientos de deducción estudiados.
I
En el caso de resolución la existencia de una demostración es
decidible, y el conjunto de teoremas es finito (si el conjunto de
cláusulas inicial es finito): Resolución por Saturación.
I
Sin embargo, los métodos de decisión conocidos no son
eficientes, en general.
I
Una solución: Restringir el tipo de cláusulas consideradas.
I
I
LC, 2010–11
Una cláusula de Horn es una cláusulas con a lo sumo un
literal positivo.
El problema de decidir si un conjunto de cláusulas de Horn
(proposicionales) es consistente es decidible de manera
eficiente.
Métodos de Deducción
2.43
Completitud y eficiencia (II)
Existen diferentes estrategias para reducir el número o la
complejidad de las pruebas, sin perder la adecuación y
manteniendo la completitud.
FORMULAS
C_2
S−TEOREMAS
Consecuencia
Logica, no teoremas
C_1
S
C_4
C_3
= Pruebas originales
LC, 2010–11
= Pruebas refinadas
Métodos de Deducción
2.44
Opciones:
I
Aumentar el número de reglas de inferencia.
I
I
I
Acorta la longitud de las pruebas.
Es necesario justificar su adecuación.
Ejemplo: La regla de Hiperresolución:
{¬A1 , . . . , ¬An , B1 , . . . , Bm }, {A1 }, . . . , {An }
{B1 , . . . , Bm }
I
Reducir el ámbito de aplicación de las reglas.
I
I
Utilizar Heurı́sticas.
I
LC, 2010–11
Acorta el tiempo de comprobación de la aplicabilidad.
Basadas en comprobaciones empı́ricas.
Métodos de Deducción
2.45
Estrategias
Para reducir el ámbito de aplicación de las reglas de inferencia en
el caso de resolución, podemos adoptar las siguientes estrategias.
I
Resolución positiva (resp. negativa): Sólo se calculan
resolventes si una de las dos cláusulas contiene únicamente
literales positivos (resp. negativos). Es (refutacionalmente)
completa.
I
Resolución lineal: Una deducción por resolución a partir de
un conjunto S, C1 , . . . , Cn , es lineal si para cada i < n la
cláusula Ci+1 es una resolvente de Ci y otra cláusula
previamente obtenida por resolución o perteneciente a S.
I
I
LC, 2010–11
La resolución lineal es (refutacionalmente) completa, ya que se
tiene el siguiente resultado:
Teorema. Si S es un conjunto inconsistente y S − {C } es
consistente, entonces existe una refutación de S por resolución
lineal cuya cláusula inicial es C .
Métodos de Deducción
2.46
Estrategias (II)
I
Resolución unidad: Sólo se permiten resolventes si una de
las cláusulas es unitaria.
I
Resolución por entradas: Sólo se permiten resolventes si
una de las cláusulas pertenece a S.
I
I
LC, 2010–11
En general, resolución unidad y por entradas NO son
refutacionalmente completas, pero sı́ lo son restringidas a
conjuntos de cláusulas de Horn.
Teorema. Sea S es un conjunto inconsistente formado por
cláusulas de Horn. Entonces S es refutable mediante
resolución unidad y mediante resolución por entradas.
Métodos de Deducción
2.47