Descomposición en fracciones parciales

Sergio Yansen Núñez
En cada caso, descomponga en fracciones parciales:
1.
6x 2 + 7x − 1
x + 2x 2 − x − 2
3
x = 1 es raíz de x 3 + 2x 2 − x − 2 pues 1 3 + 2 ⋅ 1 2 − 1 − 2 = 0
División sintética:
1 2 −1 −2
1
1
3
2
1 3
2
0
x 3 + 2x 2 − x − 2 = x − 1x 2 + 3x + 2 = x − 1x + 1x + 2
6x 2 + 7x − 1
= A + B + C
x−1
x+1
x+2
x − 1x + 1x + 2
Forma 1:
6x 2 + 7x − 1 = Ax + 1x + 2 + Bx − 1x + 2 + Cx − 1x + 1
6x 2 + 7x − 1 = Ax 2 + 3Ax + 2A + Bx 2 + Bx − 2B + Cx 2 − C
6x 2 + 7x − 1 = A + B + Cx 2 + 3A + Bx + 2A − 2B − C
Por igualación de polinomios:
6 = A+B+C
7 = 3A + B
−1 = 2A − 2B − C
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
A=2
,
B=1
,
C=3
Descomposición en fracciones parciales
Sergio Yansen Núñez
Forma 2:
6x 2 + 7x − 1 = Ax + 1x + 2 + Bx − 1x + 2 + Cx − 1x + 1
valores críticos:
x = −1
,
x=1
,
x = −2
Reemplazando cada valor crítico en ∗, se obtiene:
x = −1
⇒
⇒
x=1
B=1
6 ⋅ 1 2 + 7 ⋅ 1 − 1 = A1 + 11 + 2
⇒
⇒
x = −2
6−1 2 + 7−1 − 1 = B−1 − 1−1 + 2
⇒
⇒
A=2
6−2 2 + 7−2 − 1 = C−2 − 1−2 + 1
C=3
Luego,
6x 2 + 7x − 1 = 2 + 1 + 3
x−1
x+1
x+2
x + 2x 2 − x − 2
3
Descomposición en fracciones parciales
∗
Sergio Yansen Núñez
2.
2x 2 − 3x + 4
x 3 − 3x 2 + 4
x = −1 es raíz de x 3 − 3x 2 + 4 pues −1 3 − 3−1 2 + 4 = 0
División sintética:
1 −3 0
−1
4
−1 4 −4
1 −4 4
0
x 3 − 3x 2 + 4 = x + 1x 2 − 4x + 4 = x + 1x − 2 2
C
2x 2 − 3x + 4 = A + B +
2
x
+
1
x
−
2
x + 1x − 2
x − 2 2
Forma 1:
2x 2 − 3x + 4 = Ax − 2 2 + Bx + 1x − 2 + Cx + 1
2x 2 − 3x + 4 = Ax 2 − 4Ax + 4A + Bx 2 − Bx − 2B + Cx + C
2x 2 − 3x + 4 = A + Bx 2 + −4A − B + Cx + 4A − 2B + C
Por igualación de polinomios:
2 = A+B
−3 = −4A − B + C
4 = 4A − 2B + C
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
A=1
,
B=1
,
C=2
Descomposición en fracciones parciales
Sergio Yansen Núñez
Forma 2:
2x 2 − 3x + 4 = Ax − 2 2 + Bx + 1x − 2 + Cx + 1
x=2
valores críticos:
,
∗
x = −1
Reemplazando cada valor crítico en ∗, se obtiene:
x = −1
2−1 2 − 3−1 + 4 = A−1 − 2 2
⇒
⇒
x=2
A=1
2 ⋅ 2 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = C2 + 1
⇒
⇒
C=2
Reemplazando en ∗ otro valor real, por ejemplo, x = 0
2 ⋅ 0 2 − 3 ⋅ 0 + 4 = A0 − 2 2 + B0 + 10 − 2 + C0 + 1
4 = 4A − 2B + C
4 = 4 ⋅ 1 − 2B + 2
⇒
B=1
Luego,
2
2x 2 − 3x + 4 = 1 + 1 +
x+1
x−2
x 3 − 3x 2 + 4
x − 2 2
Descomposición en fracciones parciales
Sergio Yansen Núñez
3.
x 2 + 15 − 4x
x + 9x + 3x 2 + 27
3
x = −3 es raíz de x 3 + 9x + 3x 2 + 27 pues −3 3 + 9−3 + 3−3 2 + 27 = 0
División sintética:
1
−3
3
9
27
−3 0 −27
1
0
9
0
x 3 + 9x + 3x 2 + 27 = x + 3x 2 + 9
x 2 + 15 − 4x = A + Bx + C
x+3
x2 + 9
x + 3x 2 + 9
Forma 1:
x 2 + 15 − 4x = Ax 2 + 9 + Bx + Cx + 3
x 2 + 15 − 4x = Ax 2 + 9A + Bx 2 + 3Bx + Cx + 3C
x 2 − 4x + 15 = A + Bx 2 + 3B + Cx + 9A + 3C
Por igualación de polinomios:
1 = A+B
−4 = 3B + C
15 = 9A + 3C
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
A=2
,
B = −1
,
C = −1
Descomposición en fracciones parciales
Sergio Yansen Núñez
Forma 2:
x 2 + 15 − 4x = Ax 2 + 9 + Bx + Cx + 3
valor crítico:
∗
x = −3
Reemplazando x = −3 en ∗, se obtiene:
−3 2 + 15 − 4−3 = A −3 2 + 9
⇒
A=2
Reemplazando en ∗ otros dos valores reales, por ejemplo, x = 0
y
x=1
se obtiene:
para x = 0:
0 2 + 15 − 4 ⋅ 0 = A0 2 + 9 + B ⋅ 0 + C0 + 3
15 = 9A + 3C
como A = 2, entonces:
15 = 9 ⋅ 2 + 3C
⇒
C = −1
para x = 1:
1 2 + 15 − 4 ⋅ 1 = A1 2 + 9 + B ⋅ 1 + C1 + 3
12 = 10A + 4B + 4C
como A = 2 y C = −1 entonces:
12 = 10 ⋅ 2 + 4B + 4−1
Luego,
x 2 + 15 − 4x
= 2 + −x2 − 1
x+3
x + 9x + 3x 2 + 27
x +9
3
x 2 + 15 − 4x
= 2 − x2 + 1
x+3
x + 9x + 3x 2 + 27
x +9
3
Descomposición en fracciones parciales
⇒
B = −1
Sergio Yansen Núñez
4.
3x 2 + 12 + 8x
x + 2 2 x 2 + 4
3x 2 + 12 + 8x = A +
B
+ Cx2 + D
2 2
2
x
+
2
x +4
x + 2 x + 4
x + 2
3x 2 + 12 + 8x = Ax + 2x 2 + 4 + Bx 2 + 4 + Cx + Dx + 2 2
3x 2 + 12 + 8x =
Ax 3 + 4Ax + 2Ax 2 + 8A + Bx 2 + 4B + Cx 3 + 4Cx 2 + 4Cx + Dx 2 + 4Dx + 4D
0x 3 + 3x 2 + 8x + 12 =
A + Cx 3 + 2A + B + 4C + Dx 2 + 4A + 4C + 4Dx + 8A + 4B + 4D
Por igualación de polinomios:
0 = A+C
3 = 2A + B + 4C + D
8 = 4A + 4C + 4D
12 = 8A + 4B + 4D
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
A=0
,
B=1
,
C=0
,
D=2
Luego,
1
3x 2 + 12 + 8x = 0 +
+ 0 ⋅2 x + 2
2 2
2
x
+
2
x +4
x + 2 x + 4
x + 2
1
3x 2 + 12 + 8x =
+ 22
x +4
x + 2 2
x + 2 2 x 2 + 4
Descomposición en fracciones parciales
Sergio Yansen Núñez
5.
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35
x + 1x + 2x + 3 2
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35 = A + B + C +
D
x+1
x+2
x+3
x + 1x + 2x + 3 2
x + 3 2
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35 =
Ax + 2x + 3 2 + Bx + 1x + 3 2 + Cx + 1x + 2x + 3 +
Dx + 1x + 2
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35 =
Ax 3 + 8Ax 2 + 21Ax + 18A + Bx 3 + 7Bx 2 + 15Bx + 9B + Cx 3 +
6Cx 2 + 11Cx + 6C + Dx 2 + 3Dx + 2D
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35 =
A + B + Cx 3 + 8A + 7B + 6C + Dx 2 + 21A + 15B + 11C + 3Dx +
18A + 9B + 6C + 2D
Por igualación de polinomios:
3 = A+B+C
22 = 8A + 7B + 6C + D
50 = 21A + 15B + 11C + 3D
35 = 18A + 9B + 6C + 2D
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
A=1
,
B=1
,
C=1
,
D=1
Luego,
1
3x 3 + 22x 2 + 50x + 35 = 1 + 1 + 1 +
x+1
x+2
x+3
x + 3 2
x + 1x + 2x + 3 2
Descomposición en fracciones parciales