Programación Lineal

Programación Lineal
PROGRAMACIÓN LINEAL
Indicadores



Analiza el conjunto solución de un sistema de inecuaciones
lineales graficando la región relacionada al sistema.
Calcula los vértices de una región poligonal resolviendo el sistema
asociado de ecuaciones lineales.
Utiliza el método de los vértices resolviendo problemas de
programación lineal.
Contenido
1. Gráfica de inecuaciones
2. Introducción a la programación lineal
 Región factible
 Función objetivo
 Solución óptima
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica de
modelización matemática desarrollada a partir
de la década de 1930. Desde entonces, se ha
aplicado con frecuencia en los procesos de
toma de decisión de numerosos ámbitos
económicos y productivos, como la planificación
de empresa y la ingeniería industrial.
UN POCO DE HISTORIA
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton,
Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de obtener
máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente el matemático Fourier (1 768-1 830) fue el primero
en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que
actualmente llamamos programación lineal.
Sin embargo, debemos remontarnos al año 1 939 para encontrar
nuevos estudios relacionados a la programación lineal. En este año, el
matemático ruso Leonidas Kantarovitch publica una extensa
monografía titulada Métodos matemáticos de organización y
planificación de la producción, en la que por primera vez se hace
corresponder a una extensa gama de problemas sobre la teoría
matemática de la programación lineal.
En 1 941 - 1 942 se formula por primera vez el problema del
transporte, estudiado por Koopmans. Tres años más tarde, Stigler
plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen
alimenticio.
Profesor: Javier Trigoso
Página 1
Programación Lineal
En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados
Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y
recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su
resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de
optimización que resuelve la programación lineal.
En 1 947, Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el
enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de
programación lineal. Una de las primeras aplicaciones fue el puente
aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones de tipo
preferentemente militar.
Hacia 1 950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos,
distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes
ramificaciones de la programación lineal.
días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos
previstos.
Se ha estimado, de una manera general, que si un país
subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su
producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en
tan sólo un año.
En este sentido podemos decir que; la programación lineal es una
técnica matemática relativamente reciente, que consiste en una serie
de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de
optimización. Nos centramos en aquellos problemas de programación
lineal, donde solo intervienen 2 variables.
Respecto al método del simplex, que estudiaremos después,
señalaremos que su estudio comenzó en el año 1951 y fue
desarrollado por Dantzig, ayudándose de varios modelos de
ordenador de la firma IBM.
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al
matemático norteamericano de origen húngaro Von Neuman (1 903 1 957). En 1 947 conjetura la equivalencia de los problemas de
programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus
trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de
Hilbert en Gotinga y, desde 1930, hace que otros investigadores se
interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta
disciplina.
En 1 858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un
problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena
de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. El
plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10
Profesor: Javier Trigoso
Página 2
Programación Lineal
1. GRÁFICA DE INECUACIONES
1.1. Regiones del plano determinadas por rectas
La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos
regiones: una formada por los puntos que satisfacen la inecuación
y < ax + b, y otra formada por los puntos que satisfacen la
inecuación y > ax + b.
 Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye
a los puntos de la recta que limitan al semiplano.
 Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la
recta también son soluciones de la inecuación.
1.2. Gráfica de una inecuación lineal
A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una
inecuación lineal en el plano cartesiano:
 Se traza la recta de la ecuación y = ax + b
 Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados
por la recta y se comprueba si verifican la inecuación dada
 Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se
verifica la inecuación
Ejemplo 1
Traza la gráfica de la inecuación:
x + y ≤ -2
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
x + y = -2 , hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.
Profesor: Javier Trigoso


Si x = 0  y = -2
Si y = 0  x = -2
La recta la trazamos continua porque
forma parte de la solución. Ahora
sustituyendo los valores de las
coordenadas del origen en la
inecuación se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2 
es falso, por lo que se concluye que el
origen de coordenadas no pertenece al
conjunto solución como tampoco el
semiplano que lo contiene, entonces
sombreamos el semiplano inferior.
Ejemplo 2
Traza la gráfica de la inecuación:
3y – 2x < 6
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
3y – 2x = 6, hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.


Si x = 0  y = 2
Si y = 0  x = -3
La recta la trazamos punteada
porque no forma parte de la
solución. El punto (0; 0) se
encuentra en el semiplano
inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6  es
verdadero, por lo tanto,
sombreamos el semiplano inferior.
Página 3
Programación Lineal
1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión
de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Ejemplo 3
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
 x  2y  3

2x  y  1
Solución:
Trazamos la gráfica de cada una de las ecuaciones; para lo cual
calculamos los valores de las coordenadas de dos de sus puntos:


x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)
2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y > 3, se obtiene -3 > 0: falsedad;
por lo que la solución para esta inecuación es el co njunto de puntos
del semiplano que no incluye al origen.
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >
1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que
la solución para esta inecuación es el
conjunto de puntos del semiplano que
incluyen al origen.
El conjunto solución del sistema es la
intersección de los semiplanos –
solución hallados individualmente (la
región sombreada)
 x  3y  7

 3x  2y  1
 4x  y  17

Solución:
Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de cada una de las
ecuaciones.
Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos para cada una
de ellas:



x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)
3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)
4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)
El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir
ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular
las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue
resolviendo los tres sistemas:
x  3y  7

3x  2y  1
;
x  3y  7

4x  y  17
;
3x  2y  1

4x  y  17
Para el primer sistema la solución es
(1; 2), para el segundo (4; 1) y para el
tercero (3; 5). La solución del
sistema de inecuaciones es, en
resumen, el interior del triángulo,
cuyos vértices son los puntos (1; 2),
(4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno de
los tres lados del triángulo.
Ejemplo 4
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
Profesor: Javier Trigoso
Página 4
Programación Lineal
2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por
ejemplo en la industria, la economía, la estrategia militar, y en otras
áreas, en las que se presentan situaciones donde se exige optimizar
(maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas
a determinadas situaciones.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar
(maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función
objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones
expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las
soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos
a continuación la aplicación de la programación lineal a diversas
situaciones.
2.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir,
de maximizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta
a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
2.2. Conjunto de restricciones lineales
El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las
restricciones del problema asociadas a un sistema de ecuaciones
lineales.
Ejemplo
x  y  7

2x  y  10

x  0
y  0

2.3. Región factible
La región factible está formada por la
intersección o región común
de las soluciones de todas las
inecuaciones. Como sucede con los
sistemas de ecuaciones lineales, estos
pueden presentar varias opciones
respecto a sus soluciones: puede no
existir solución, en el caso de que exista
el conjunto solución puede ser acotado o
no.
Si la región factible está acotada, su
representación gráfica es un polígono
convexo con un número de lados menor o
igual que el número de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y
los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (≤ o
≥) o en sentido estricto (< o >).
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se
obtiene la región factible representada en
la gráfica.
Encuentra la región definida por el siguiente sistema de
inecuaciones:
Profesor: Javier Trigoso
Página 5
Programación Lineal
2.4. Función objetivo
… PARA LA CLASE
La función objetivo en un problema de programación lineal es la
función lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa
por: f(x;y) = ax + by
01. Representa en el plano cartesiano la solución de las
siguientes inecuaciones:
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha
región el valor de la función f(x;y) = 30x + 20y
2.5. Solución óptima
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la
función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el
mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la
región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que
están sobre uno de los lados.
TEOREMA:
“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta
debe encontrarse en uno de los vértices de la región factible”
Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la
función objetivo cada uno de los vértices de la región factible.
Ejemplo
Continuando con el mismo ejemplo:
O (0; 0)  f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0
A (5; 0)  f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150
B (3; 4)  f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo
C (0; 7)  f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140
La solución óptima es B (3; 4)
Profesor: Javier Trigoso
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
x≥3
–3≤x≤5
y<5
-5 ≤ y < 3
y ≤ 3x + 4
x + 6y + 12 ≤ 0
3x – 4y + 12 ≥ 0
3x + 9y – 27 ≤ 0
02. Hallar el punto de intersección, de cada uno de los siguientes
pares de rectas:
A.
B.
C.
D.
E.
L1 :
L1 :
L1 :
L1 :
L1 :
x + 4y – 10 = 0 y L2 : 7x – y – 12 = 0
3x + y – 4 = 0 y L2 : 3x – 7y + 4 = 0
9x + 2y – 35 = 0 y L2 : 2x + 7y = 34
7x + y – 18 = 0 y L2 : 8x – y = –3
x + y – 180 = 0 y L2 : x – y = 40
03. Grafica en un mismo sistema de coordenadas el conjunto
formado por las siguientes desigualdades:
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 160 ; x + y ≤ 100
Indica los vértices del polígono formado.
04. Dada la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x  y  27

 x  12
 y6

Página 6
Programación Lineal
Represéntala gráficamente y determina los vértices de la región,
indica además, ¿cuáles son los valores máximo y mínimo de la
siguiente función: f(x; y) = 90x + 60y
05. Representa gráficamente la región factible determinada por las
siguientes desigualdades:

xy5

4x  3y  30

x0


y0

Calcula la solución que hace mínima la función objetivo f(x; y) = x + 2y
sometida a las restricciones anteriores.
06. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
2x  y  1000

x  1, 5y  750

x0


y0

A. Represéntalo gráficamente.
B. Halla sus vértices.
C. Obtén el valor máximo de la función f(x; y) = 15x + 12y en el
recinto anterior, así como el punto en que lo alcanza.
… PARA LA CASA
01. Representa en el plano cartesiano la solución de las
siguientes inecuaciones:
A. y ≥ 2x – 2
B. 4x + 3y ≤ 2
x  y  3
C. 
2x  y  4
 x  y  3
D. 
2  x  4
x  3y  15

E. 4x  y  16
x  0; y  0

02. Se considera la región del plano determinada por las
x  3  y

8  x  y
inecuaciones: 
y  x  3
x  0; y  0

Encuentra los vértices de dicha región
03. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de
inecuaciones:
x  y  27

x  12


y6

A. Represéntalo gráficamente.
B. Determina los vértices de ese recinto.
C. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función
Profesor: Javier Trigoso
Página 7
Programación Lineal
f(x;y) = 90x + 60y en el recinto anterior?
D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores?
04. Dada la función objetivo f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las
restricciones siguientes:
3x  y  10

x  2y  8
x  0; y  0

A. Representa la región factible.
B. Halla los valores de x e y que hacen máxima la función objetivo.
C. Determina los valores x e y que minimizan la función objetivo.
05. Al maximizar f(x; y) =x + y; x; y  R sujeto a las siguientes
condiciones:
2x  3y  6

2x  y  6

 0y4

x0

Identifica la alternativa correcta después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. El valor óptimo es 5.
II. La región admisible es un polígono de cuatro lados.
III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen a la región admisible.
06. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de
inecuaciones:
x  2y  10

 0x6
 0y8

A. Represéntalo gráficamente.
B. Calcula sus vértices.
Profesor: Javier Trigoso
C. Calcula el máximo de la función f(x; y) = 20x + 60y
07. Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
5x  2y  10

3x  4y  20

 x y 2
 x  0; y  0

A. Dibuja dicho recinto y determina sus vértices.
B. Determina en qué punto de ese recinto alcanza la función f(x; y) =
4x + 3y el máximo valor.
08. Calcula el área de la región limitada por:
y  x  1

 y  x  1

 1  x  1
0  y  1

09. Calcula el área de la región definida por el siguiente conjunto de
inecuaciones:
y  x  3

x  y  4
x  0; y  0

10. Determina el número de puntos de coordenadas entras que se
encuentran en el conjunto solución del sistema:
 xy3

 x  y  3

 xy3
 x  y  3

Página 8
Programación Lineal
3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
Ejemplo 1
LINEAL
Una fábrica quiere producir bicicletas de
paseo y de montaña. La fábrica dispone de
80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para
construir una bicicleta de paseo se
necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y
para construir una bicicleta de montaña se
necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de
aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 dólares y las de
montaña a 150 dólares, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe
construir para que el beneficio sea máximo?
3.1. Pasos para resolver un problema de programación lineal
en el plano
Los siguientes "pasos" resumen como resolver un problema de P.L. en
el plano
 Paso 1. Identificar las variables del problema.
 Paso 2. Confeccionar una tabla que resuma la información
facilitada.
 Paso 3. Expresar las restricciones o limitaciones dadas en el
problema mediante un sistema de desigualdades relativo a las
variables.
 Paso 4. Representar gráficamente el sistema de desigualdades,
determinando la llamada región factible.
 Paso 5. Establecer la función objetivo lineal, que deberá ser
maximizada o minimizada.
 Paso 6. Resolver el problema planteado.
 Paso 7. Interpretar los resultados.
3.2. Tabla con los datos del problema




En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas
correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta
restricciones.
En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que
representan a las variables.
En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que
da origen a una restricción, es decir, a una inecuación.
En la última fila se escriben los valores correspondientes a la
función objetivo y si se trata de maximizar o minimizar.
Profesor: Javier Trigoso
Solución
1) Tabla con los datos del problema.
Nº de bicicletas
Acero
Aluminio
Beneficio
B. de paseo
x
x
3x
200x
B. de montaña
y
2y
2y
150y
Restricciones
x ≥ 0; y ≥ 0
x + 2y ≤ 80
3x + 2y ≤ 120
f(x; y) = 200x +
150y
2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los
vértices de la región factible.
O (0; 0)  f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0
A (40; 0)  f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0
= 800
B (20; 30)  f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850  Máximo
Página 9
Programación Lineal
C (0; 40)  f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600
4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de
paseo e y = 30 bicicletas de montaña.
Ejemplo 2
Se quiere organizar un puente aéreo entre
dos ciudades, con plazas suficientes de
pasaje y carga, para transportar a 1 600
personas y 96 toneladas de equipaje.
Los aviones disponibles son de dos tipos:
11 del tipo A y 8 del tipo B. La
contratación de un avión del tipo A, que
puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta
40 000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede
transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000
euros. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el
costo sea mínimo?
Solución
Nº de aviones
Personas
Equipaje
Costo
Tipo B
y
100y
15y
10 000y
4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8
aviones tipo B
… PARA LA CLASE
1) Tabla con los datos del problema.
Tipo A
x
200x
6x
40 000x
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
A (6; 4)  f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000
B (11; 2)  f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000
C (11; 8)  f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000
D (4; 8)  f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000  Mínimo
Restricciones
0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8
200x + 100y ≥ 1 600
6x + 15y ≥ 96
f(x; y) = 40 000x +
10 000y
Ejercicio 1
Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B. Un traje de
caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un vestido de señora 2 m2
de cada tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo
beneficio que la de un vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe
fabricar para obtener la máxima ganancia.
2) Región factible.
Es el gráfico mostrado a continuación.
Profesor: Javier Trigoso
Página 10
Programación Lineal
Ejercicio 2
Ejercicio 5
Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos factorías y cada
una de ellas produce los dos bienes en las cantidades por hora
siguientes:
La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los
costos de funcionamiento de las dos factorías son: S/.100 por hora
para la factoría 1 y S/.80 por hora para la factoría 2. ¿Cuántas
horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costos de la
empresa y satisfacer el pedido?
La compañía INIPAS fábrica dos productos X e Y, para cada
producto es necesario usar tres máquinas diferentes A, B y C. En la
fabricación de una unidad del producto X, hay que usar 3 horas la
máquina A, 1 hora la máquina B y 1 hora la máquina C. Para fabricar
una unidad del producto Y se requieren 2 horas en la máquina A, 2
horas en la máquina B y una hora en la máquina C. La utilidad unitaria
del producto X es $ 500 y del producto Y es $ 350. Podemos
disponer de la máquina A las 24 horas de día pero solo 16 horas de la
máquina B y 9 horas de la máquina C. Halla la cantidad de unidades de
cada producto
Ejercicio 3
Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libro s de la
colección Austral y 80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide
hacer dos tipos de lotes: el lote de tipo A con 3 libros de Austral y 1
de Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el de tipo B con 1 libro de
Austral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a S/.10.¿Cuántos lotes
de cada tipo debe hacer el vendedor para maximizar su ganancia
cuando los haya vendido todos?
Ejercicio 4
Un comerciante acude a cierto supermercado a comprar naranjas con
S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a S/.2 el
kg. y las
de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo dispone en su camioneta de
espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que
piensa vender el kg. de naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo B a
S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de
cada tipo deberá comprar para obtener el máximo beneficio?, ¿Cuál
será el máximo beneficio?
Profesor: Javier Trigoso
Ejercicio 6
Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo
II. Durante la producción, las parrillas requieren del uso de dos
máquinas “A” y “B”. El número de horas necesarias en ambas, está
indicado en la siguiente tabla:
Tipo I
Tipo II
Máquina A
Máquina B
2 horas
4 horas
4 horas
2 horas
Si cada máquina puede utilizarse las 24 horas del día y las utilidades
en los modelos son de $40 y $60 respectivamente, ¿cuántas parrillas
de cada tipo deben producirse por día para obtener la máxima
utilidad?, ¿cuál es dicha máxima utilidad?
Página 11
Programación Lineal
… PARA LA CASA
Enunciado: (Preguntas 01 a 03)
Un fabricante de pelotas, obtiene una utilidad de $ 15 por cada
pelota de futbol y $ 8 por cada pelota de vóley. Para satisfacer la
demanda de los distribuidores, la producción diaria de pelotas de
futbol debe ser de 10 a 30 pelotas y entre 30 y 80 pelotas de vóley.
A fin de conservar la máxima calidad, el total de pelotas producidas
no debe ser mayor de 80 diarias.
01. ¿Cuál de los siguientes puntos no es un vértice de la región
limitada por las restricciones del problema?
A. (10; 70)
C. (60; 20)
B. (50; 30)
D. (30; 30)
02. ¿Cuántas pelotas de futbol deberá fabricar cada día?, para
obtener la máxima utilidad.
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
03. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener?
A) $ 900
B) $ 950
C) $ 990 D) $ 800
Enunciado: (Preguntas 04 a 06)
Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y
20 unidades de proteínas. El alimento “A” tiene 2 unidades de
carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento “B” contiene 2 unidades
de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento “A” cuesta $1,20
por unidad y el alimento “B” $0,80 por unidad.
04. ¿Cuál de los siguientes puntos no es un vértice de la región
limitada por las restricciones del problema?
A) (4; 4)
C) (8; 5)
B) (0;20)
D) (8; 0)
Profesor: Javier Trigoso
05. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para
minimizar el costo?
A) 4 y 4
C) 5 y 3
B) 3 y 5
D) 6 y 2
06. ¿Cuál es el costo mínimo?
A) $ 9,5
B) $ 9
C) $ 8
D) $ 8,5
Enunciado: (Preguntas 07 a 09)
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos, se
basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a guanábana y a
fresa. Se decide repartir al menos 30 000 yogures. Cada yogur de
guanábana necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto
de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0,2 gramos de ese
mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para
fermentación, y además, el costo de producción de un yogur de
guanábana es de 30 u.m. y el de un yogur de fresa es 20 u.m.
07. ¿Cuál de los siguientes puntos presentados es un vértice de la
región limitada por las restricciones del problema?
A) (45 000; 0)
C) (10 000; 20 000)
B) (0;20 000)
D) (30 000; 0)
08. Si se desea repartir yogur de un solo sabor, ¿cuál es el mínimo
costo que se tendría?
A) 500 000 u.m.
C) 600 000 u.m.
B) 550 000 u.m.
D) 700 000 u.m.
09. ¿Cuál es el mayor costo que tendrá esta campaña?, sin importar
si se reparte uno o dos sabores de yogur.
A) 1 000 000 u.m.
C) 900 000 u.m.
B) 700 000 u.m.
D) 800 000 u.m.
Página 12
Programación Lineal
Enunciado: (Preguntas 10 a 14)
Las restricciones pesqueras impuestas por la Comunidad Económica
Europea, obligan a cierta empresa a pescar como máximo, 2 000 kilos
de merluza y 2 000 kilos de rape; además, en total, las capturas de
estas dos especies no pueden pasar de los 3 000 kilos. Si la merluza
se logra vender a 10 dólares el kilo y el rape a 15 dólares el kilo.
10. ¿Cuál de los siguientes puntos es un vértice de la región limitada
por las restricciones del problema?
A) (1500; 1500)
C) (2000; 1000)
B) (1800; 1200)
D) (3000; 0)
11. ¿Qué cantidad de merluza debe pescar para obtener el máximo
ingreso?
A) 1000 kilos
C) 2000 kilos
B) 1500 kilos
D) 3000 kilos
12. ¿Qué cantidad de rape debe pescar para obtener el máximo
ingreso?
A) 1000 kilos
C) 2000 kilos
B) 1500 kilos
D) 3000 kilos
13. ¿Cuál es el máximo ingreso que se obtiene?
A) 40 000 $
C) 50 000 $
B) 30 000 $
D) 35 000 $
14. ¿Qué vértice de la región limitada por las restricciones genera
un ingreso de 30 000 $?
A) (0; 2000)
C) (2000; 1000)
B) (1500; 1000)
D) (3000; 0)
Profesor: Javier Trigoso
Enunciado: (Preguntas 15 a 18)
Un fabricante produce dos productos A y B, cada uno de los cuales
requiere tiempo en tres máquinas, I, II y III. Los requerimientos (en
horas) y la utilidad (en dólares) de cada unidad de A y B, así como, la
disponibilidad mensual (en horas) de cada máquina, están dados en el
siguiente cuadro.
I
A
B
Disponibilidad
mensual
II
III
Utilidad por producto
$25
$30
2
5
4
1
3
2
200
240
190
15. Uno de los vértices de la región limitada por las restricciones,
tiene por abscisa 50, ¿cuál es su ordenada?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
16. ¿Cuál de los siguientes valores corresponde a la suma de las
coordenadas de uno de los vértices de la región limitada por las
restricciones del problema?
A) 62
B) 64
C) 66
D) 68
17. ¿Cuántos productos de cada clase debe fabricar para obtener la
máxima utilidad?
A) 40 y 30
C) 50 y 20
B) 58 y 8
D) 10 y 50
18. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener?
A) $ 1950
C) $ 1690
B) $ 1850
D) $ 1800
Página 13
Programación Lineal
19. En avícolas de “San Fernando”, se usa diariamente un mínimo de
800 libras de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya,
con las composiciones siguientes:
Alimento
Por libra de
alimento
Proteínas Fibras
Costo
($/lb)
Maíz
0,09
0,02
0,30
Soya
0,60
0,06
0,90
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de
30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Halla el costo mínimo
diario que satisfaga estas condiciones.
A) $ 437,2
C) $ 437,6
B) $ 437,5
D) $ 437,9
20. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan
20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se
necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El
fabricante dispone de 3 300 pies de madera y de 380 horas de mano
de obra. El fabricante obtiene una utilidad de 3 dólares por cada silla
y 6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fabricar para
maximizar su ganancia?
A) 18
B) 30
C) 44
D) 56
21. La compañía Taliona, requiere producir dos clases de recuerdos
de primera comunión del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A
genera una ganancia de $ 2, mientras que una del tipo B genera una
ganancia de $ 3. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2
minutos en la máquina 1 y 1 minuto en la máquina 2. Un recuerdo tipo
B requiere 1 minuto en la máquina 1 y 3 minutos en la máquina 2. Hay
3 horas disponibles en la máquina 1 y 5 horas disponibles en la
Profesor: Javier Trigoso
máquina 2 para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo se
deben producir para maximizar la ganancia?
A) A = 48 ; B = 84
C) A = 40 ; B = 68
B) A = 60 ; B = 32
D) A = 72 ; B = 50
22. Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o
maíz, él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la
estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los
requerimientos laborales que se adjuntan:
Maíz
Trigo
Utilidad
Por
hectárea
$ 40
$ 30
Horas/trabajo
por hectárea
2h
1h
¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su
utilidad?. Da como respuesta la utilidad máxima.
A) $ 20 200
C) $ 17 600
B) $ 14 500
D) $ 18 210
23. Un sastre tiene a su disposición 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda
y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo siguiente: 2 m2 de algodón, 1 m2
de seda y 11 m2 de lana. Una túnica requiere: 1 m2 de algodón, 2 m2 de
seda y 3 m2 de lana. Si el traje se vende por $30 y una túnica por
$50, ¿cuántas prendas de cada confección debe hacer el sastre para
obtener la máxima cantidad de dinero?
A) 8 trajes
C) 7 trajes
0 túnicas
2 túnicas
B) 4 trajes
D) 3 trajes
3 túnicas
4 túnicas
Página 14
Programación Lineal
24. Un fabricante de radios de banda civil obtiene una utilidad de
$25 en un modelo de lujo y $30 en un modelo estándar. La compañía
desea producir por lo menos 80 modelos de lujo y 100 modelos
estándar por día. A fin de conservar alta la calidad, la producción
total diaria, no debe ser mayor de 200 radios. ¿Cuántos de cada tipo
han de producir diariamente a fin de llevar al máximo la utilidad? Da
como respuesta (en dólares) la máxima utilidad.
A) $ 4 800
C) $ 5 000
B) $ 5 500
D) $ 5 600
25. El administrador del sistema de suministro de agua de cierta
ciudad debe hallar la manera de proporcionar por lo menos 10
millones de galones de agua por día (mgd). El agua se debe tomar de
los depósitos locales o de una tubería. Los depósitos locales pueden
suministrar 5 mgd, cantidad que no puede ser excedida. La tubería
puede suministrar un máximo de 10 mgd, además por una cláusula
debe bombear por lo menos 6 mgd. El costo de agua de depósito es
$300 por un millón de galones y el costo del agua de la tubería es
$500 por un millón de galones. ¿En qué forma puede el administrador
minimizar el costo diario del agua, es decir cuántos mgd del depósito
y la tubería se deben tomar?
A) 2 y 5
C) 4 y 6
B) 4 y 7
D) 5 y 2
GLOSARIO
 Optimizar es determinar la mejor manera de realizar una
actividad, buscando el uso eficiente de los recurso s que se dispone.
Matemáticamente podemos decir que optimizar es maximizar o
minimizar.
 Maximizar una función es determinar el valor del dominio que
hace que la función tenga el mayor valor.
 Minimizar una función es determinar el valor del dominio que
hace que la función tenga el menor valor.
 Función objetivo: es la representación algebraica de la situación
que se busca optimizar. Esta función se designa como F(x;y) = ax + by
 Conjunto de restricciones lineales: son todas las variables que
intervienen en la función objetivo, asociadas a un sistema de
ecuaciones lineales.
 Solución factible: es cada par ordenado que satisface al conjunto
de restricciones.
 Solución factible básica: es cada par ordenado que determina un
vértice de la región factible.
 Región factible: es el conjunto de todas las soluciones posibles o
factibles. Es el polígono convexo formado al resolver gráficamente
el sistema de ecuaciones planteado.
Profesor: Javier Trigoso
Página 15