Estructura de Computadores ADVERTENCIA Objetivo

Estructura de Computadores
2.- Representación de la Información
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Área de Arquitectura y Tecnologí
Tecnolog ía de Computadores
ADVERTENCIA
Este material es un simple guión de la clase: no son
los apuntes de la asignatura.
El conocimiento exclusivo de este material no
garantiza que el alumno pueda alcanzar los objetivos
de la asignatura.
Se recomienda que el alumno utilice los materiales
complementarios propuestos.
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Estructura de Computadores – Representación de la información
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Objetivo
Conocer las diferencias entre instrucciones y datos.
Conocer las representaciones habituales para
cadenas de caracteres.
Comprender las distintas representaciones numéricas
que puede usar un computador.
Comprender el funcionamiento de las operaciones
aritmética de como fija y coma flotante.
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1
Al final de este tema el alumno ...
Será capaz de identificar las propiedades de las
representaciones de caractéres y de cadenas.
Podrá interpretar valores en distintos formatos de
representación numéricos de coma fija y coma
flotante.
Podrá realizar operaciones aritméticas tanto en coma
fija como en coma flotante.
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Estructura de Computadores – Representación de la información
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Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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Tipos de información
RESULTADOS
DATOS
INSTRUCCIONES
Flujos de información en el computador:
Flujo de datos.
Flujo de control.
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2
Tamaños privilegiados
Octeto, carácter o byte.
Representación de un carácter.
Típicamente 8 bits.
Palabra.
Información manipulada en paralelo en el interior del
computador.
Típicamente 32 bits.
Media Palabra.
Doble Palabra.
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Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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Representación de caracteres
Sistemas:
EBCDIC (8 bits).
ASCII (8 bits).
Unicode (16 bits).
Correspondencia de un código numérico a cada
carácter representado.
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3
Propiedades
Caracteres de ‘0’ a ‘9’ son consecutivos Simplifica comprobación de dígito.
Simplifica la operación de obtener el valor numérico.
Mayúsculas y minúsculas se diferencia en un bit Simplifica conversión de mayúsculas a minúsculas.
Caracteres de control situados en un rango Simplifica su interpretación.
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Cadenas
Cadenas de longitud fija.
Cadenas de longitud variable con separador.
Cadenas de longitud variable con longitud en
cabecera.
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Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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4
Representaciones numéricas
Naturales.
1, 2, 3, ...
Enteros.
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Racionales
2/5 = 0,4; 1/3 = 0,3333...
Irracionales
√2, π, e
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Problema
Cualquier conjunto numérico es infinito.
Números irracionales no son representables por
requerir infinitos dígitos.
Espacio material de representación finito.
Secuencia de n bits 2n códigos distintos.
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Rango y precisión
Rango.
Intervalo comprendido entre el menor y el mayor número
representable.
Suele ser simétrico se puede indicar el menor y el mayor
número positivo.
En algunos casos (coma flotante) hay hueco entre positivos
y negativos.
Precisión.
No todos los números son representables exactamente.
Algunos números deben aproximarse al representable más
cercano.
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5
Resolución
Diferencia entre un número representable y el
inmediato siguiente.
Resolución = máximo error cometido en la
representación.
La resolución puede ser:
Constante a lo largo de todo el rango.
Variable a lo largo del rango.
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Sistema Posicional
Número cadena de dígitos afectados por un factor
de escala.
246,8 = 2 — 102 + 4 — 101 + 6 — 100 + 8 — 10-1
De forma general, un número X definido por:
Cadena de dígitos.
X = (..., x3, x2, x1, x0, x-1, x-2, x-3, ...)
Cada dígito pertenece a un conjunto de dígitos.
D = {dq-1, dq-2, ..., d1, d0}
Vector de pesos
P = <..., p3, p2, p1, p0, p-1, p-2, p-3, ...>
Valor del número
+∞
V ( x) = ∑ pi ⋅ xi
i =−∞
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Sistema posicional con base
Vector de pesos generado a partir de la base b.
P = <..., b3, b2, b1, b0, b-1, b-2, ...>
Valor de X
+∞
V(x) = ∑bi ·xi
Representación
i=−∞
X = (..., x3, x2, x1, x0, x-1, x-2, x-3, ...)b
Bases
b=10 D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b=2 D={0,1}
b=8 D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b=16 D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
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6
Coma fija sin signo / Binario puro
Sistema posicional.
Base 2.
Cadena de n bits.
V ( x) = 2 n −1 · xn −1 + ... + 2 2 · x2 + 2· x1 + 2 0 · x0
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Binario Puro – Propiedades
Rango: [0, 2n-1]
Resolución: 1
Posibilidad de desbordamiento en sumas y productos.
No representa números negativos Problemas con
la resta.
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Coma fija signo-magnitud
Reserva un bit para el signo.
0 signo positivo.
1 signo negativo.
n −2
V ( x ) = ∑ 2i · xi
i =0
si
xn−1 = 0
n−2
V ( x ) = −∑ 2 i · xi
i =0
si
xn −1 = 1
n−2
V ( x) = (1 − 2· xn −1 )∑ 2i · xi
i =0
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7
Coma fija signo-magnitud – Propiedades
Rango: [-(2n-1-1), 2n-1-1]
Resolución: 1
Doble representación de cero.
Se debe analizar los bits de signo para ver si la
operación es suma o resta.
Posibilidad de desbordamientos en sumas, restas y
productos.
Dificultad de detección de negativos por doble
representación del cero.
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Complemento a dos
Números positivos: se usa binario puro.
Números negativos: complemento a dos.
n
Se resta el número de 2 .
1
−
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1
0
0
0
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Complemento a dos – Valor
Números positivos
n −1
V ( x) = ∑ 2i · xi
i =0
Números negativos
n −1
V ( x) = −2 n + ∑ 2i · xi
i =0
=
=
xn −1 = 0
n−2
∑ 2 ·x
i
i
i =0
n−2
n−2
i =0
i=0
− 2 n + 2 n −1 + ∑ 2i ·xi = −2 n −1 + ∑ 2i ·xi
xn −1 = 1
Generalización
n−2
V ( x) = − xn −1 2 n−1 + ∑ 2i · xi
i =0
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Página – 24 –
8
Complemento a dos – Propiedades
Rango: [-2n-1, 2n-1-1]
Resolución: 1
No hay doble representación para 0.
Permite suma de números negativos y positivos.
Cambio de signo = complemento a dos.
Resta = suma + complemento a dos.
Puede generar desbordamiento.
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Complemento a dos: Extensión de signo
Representación de -3 con 8 bits:
11111101 = FD
Representación de -3 con 16 bits:
11111111 11111101 = FFFD
Representación de -3 con 32 bits:
11111111 11111111 11111111 11111101 = FFFFFFFD
Al pasar a representar un valor con más bits:
Se extiende el bit más significativo Extensión de signo
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Página – 26 –
Complemento a uno
Números positivos
Usa binario puro.
Números negativos:
Complemento lógico bit a bit.
0 0 1 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 1
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9
Complemento a uno – Propiedades
Rango: [-2n-1+1, 2n-1-1]
Resolución: 1
Cambio de signo = complemento a uno.
Puede producirse desbordamiento.
Doble representación del cero.
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Exceso a M
Se incrementa el número en M unidades y se expresa
en binario puro.
Valores típicos de M
2n-1 (n=8 M=128)
2n-1 -1 (n=8 M = 127)
Usada para representar exponentes en
representaciones de coma flotante.
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BCD – Sistema Decimal Codificado en
Binario
Convierte uno a uno los dígitos decimales a binario.
Nº bits por dígito = 4
Desperdicio = 37,5%
Evita problemas de redondeo.
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0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
Página – 30 –
10
BCD – Signo y coma decimal
Se pueden usar los códigos sobrantes para el signo y
la coma decimal
+73 = 1010 0111 0011
-255 = 1011 0010 0101 0101
1,35 = 1010 0001 1100 0011 0101
Aplicaciones:
Entrada/salida.
Cálculo en ciertas aplicaciones de gestión.
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Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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Coma flotante
Divide la representación en dos partes:
Mantisa (M): Dígitos significativos del dato.
Exponente (E): Factor de escala con respecto a una base (r).
V(X) = M — rE
Representación de n bits
Mantisa: p bits.
Exponente: q bits
exponente
p bits
mantisa
q bits
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Página – 33 –
11
Coma flotante
Mantisa y exponente usan sistemas de coma fija.
Mantisa:
Número entero.
Número fraccionario con coma en posición prefijada.
Exponente:
Base = 2.
Exceso a 2
q-1
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Página – 34 –
Coma flotante con mantisa entera
Coma fraccionaria a la derecha de m0.
q-1
Rango positivo: [0, (2p-1-1)—r(2 -1)]
q-1
q-1
Rango negativo: [-r-2 , -2p-1—r(2 -1)]
19,375 = 10011,011(2
r = 2.
M = 10011011
E = -3
Sistema en desuso.
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Página – 35 –
Coma flotante con mantisa fraccionaria
Mantisa
Coma flotante entre bit de signo y primer bit significativo.
La mantisa suele estar normalizada:
Eliminar ceros por la izquierda.
Ajustar el exponente.
Si se normaliza hasta que el primer dígito sea distinto
de 0, éste puede no almacenarse (bit implícito).
Deja hueco alrededor del 0.
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Página – 36 –
12
Estándar IEEE 754
Dos formatos.
Simple precisión
1 bit de signo.
8 bits para exponente.
23 bits para mantisa.
Doble precisión
1 bit de signo.
11 bits para exponente.
52 bits para mantisa.
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Página – 37 –
Estándar IEEE 754
Mantisa fraccionaria normalizada sin almacenar el
primer bit (implícito).
Base r=2.
Exponente en exceso a 2q-1-1 (127)
Valores
(-1)s — 1,M — 2E-127
(-1)s — 1,M — 2E-1023
0 < E < 255
0 < E < 2047
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Ejemplo
Representación del número -0.75
-0.75 = -0.112 = -0.112 x 20 = -1.12 x 2-1
Signo: 1
Mantisa: 0.1
Exponente: 126 (127 – 1)
Representación:
1 01111110 10000000000000000000000
1011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000
BF80 0000
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Página – 39 –
13
Estandar IEEE 754
E=255, M<>0 NAN = resultado sin sentido.
E=255, M=0 infinito (con signo indicado por bit de
signo).
E=0, M=0 representa al cero.
E=0, M<>0 números pequeños desnormalizados
(-1)s — 2-126 — 0,M
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Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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Página – 41 –
Suma y resta
Suma en complemento a 2.
Se suma bit a bit utilizando acarreo si es necesario.
Resta en complemento a 2.
Se complementa a 2 el sustraendo.
Se suman minuendo y sustraendo.
En ambos casos puede producirse desbordamiento.
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Página – 42 –
14
Producto: Algoritmo de Booth
Basado en análisis de bit menos significativo:
00: No se hace nada
01: Sumar multiplicando a mitad izquierda.
10: Restar multiplicando de mitad izquierda.
11: No se hace nada.
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Ejemplo: Algoritmo de Booth (-7 x 6)
Iteración
Paso
Multiplicando
Producto
Bit anterior
0
Inicial
1001
0000 0110
0
1
00: Nada
1001
0000 0110
0
Desplazar
1001
0000 0011
0
2
3
4
10: Restar
1001
0111 0011
0
Desplazar
1001
0011 1001
1
11: Nada
1001
0011 1001
1
Desplazar
1001
0001 1100
1
01: Sumar
1001
1010 1100
1
Desplazar
1001
1101 0110
0
1101 0110 -0010 1010 -42
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Página – 44 –
División
1. Desplazar resto 1 bit a la izquierda.
2. Alta(resto)  Alta(resto) – divisor
3. Si resto <0
1. Alta(resto)  Alta(resto) + divisor
2. Desplazar resto a la izquierda rellenando con 0
4. En otro caso
1. Desplazar resto a la izquierda rellenando con 1
5. Si repeticiones < ancho palabra Ir a 2
6. Desplazar Alta(resto) 1 bit a la derecha
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15
Ejemplo de división 7 / 2
Iteración
Paso
Divisor
Resto
0
Inicial
0010
0000 0111
Desplazar izda
0010
0000 1110
A(R)  A(R) – D
0010
1110 1110
A(R)  A(R) + D
0010
0000 1110
Desplazar izda (0)
0010
0001 1100
1
2
3
4
Fin
A(R)  A(R) – D
0010
1111 1100
A(R)  A(R) + D
0010
0001 1100
0011 1000
Desplazar izda (0)
0010
A(R)  A(R) – D
0010
0001 1000
Desplazar izda (1)
0010
0011 0001
A(R)  A(R) – D
0010
0001 0001
Desplazar izda (1)
0010
0010 0011
Desplazar dcha A(R)
0010
0001 0011
Resto = 1
Cociente = 3
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División: Tratamiento del signo
El algoritmo de división se aplica a los valores
absolutos.
Si los signos de los operando son contrarios se
niega el signo del cociente.
Si el resto es distinto de cero Se le aplica el mismo
signo que al dividendo.
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Página – 47 –
Contenido
Tipos de información: instrucciones y datos.
Representaciones numéricas y alfanuméricas.
Representación de caracteres: Código ASCII.
Representación en coma fija.
Representación en coma flotante: estándar IEEE 754.
Aritmética.
Operaciones en coma fija.
Operaciones en coma flotante.
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Página – 48 –
16
Suma en coma flotante
1. Desnormalizar el número de menor exponente para
que coincidan los exponentes.
2. Sumar mantisas
3. Repetir hasta que esté normalizado
1. Normalizar el resultado
2. Si hay desbordamiento excepción
3. Redondear mantisa
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Página – 49 –
Ejemplo: Suma
0.5 - 0.4375
0.5 0.1 = 1.0 x 2-1 = 1.0 x 2126-127
X = 0 01111110 00000000000000000000000 = 3F00 0000
-0.4375 -0.0111 = -1.11 x 2-2= -1.11 x 2125-127
Y = 1 01111101 11000000000000000000000 = BDD0 0000
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Ejemplo: Desnormalización
E(X) = 01111110
E(Y) = 01111101
E(X) – E(Y) = 00000001
Se desnormaliza Y
-1.11 x 2-2 = -0.111 x 2-1
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Suma de mantisas y normalización
1.0 + (-0.111) = 0.001
Resultado = 0.001 x 2-1
El resultado está desnormalizado Normalizar
Resultado = 1.0 x 2-4 = 1.0 x 2123-127
1 01111011 00000000000000000000000 = BD80 0000
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Producto en coma flotante
1. Sumar los exponentes restando el exceso
2. Multiplicar las mantisas
3. Hasta que el resultado esté normalizado
1. Normalizar el producto
2. Si hay desbordamiento Excepción
3. Redondear la mantisa
4. Determinar el signo del producto
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Ejemplo: Producto
0.5 x (-0.4375)
0.5 0.1 = 1.0 x 2-1 = 1.0 x 2126-127
X = 0 01111110 00000000000000000000000 = 3F00 0000
-0.4375 -0.0111 = -1.11 x 2-2= -1.11 x 2125-127
Y = 1 01111101 11000000000000000000000 = BDD0 0000
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Suma de exponentes con exceso
E(X) = 01111110
E(Y) = 01111101
E(X) + E(Y) - 127= 01111110 + 01111101 01111111 = 01111100 = 124
Exponente 124-127 = -3
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Producto de mantisas
1.00 x 1.11 = 1.11
Resultado = 1.11 x 2-3
En este caso ya está normalizado
Signos distintos Resultado negativo
Resultado:
1 01111100 1100000000000000000000 = BD30 0000
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Página – 56 –
Al final de este tema el alumno ...
Será capaz de identificar las propiedades de las
representaciones de caractéres y de cadenas.
Podrá interpretar valores en distintos formatos de
representación numéricos de coma fija y coma
flotante.
Podrá realizar operaciones aritméticas tanto en coma
fija como en coma flotante.
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Lecturas recomendadas
Estructura y diseño de computadores (Tomo I)
Patterson & Hennessy
Capítulo 4
Fundamentos de los computadores
de Miguel
Capítulo 2
Organización y arquitectura de computadores
Stallings
Capítulo 8
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Una historia relacionada
El bug del Pentium (1994/1995) costó a Intel más de
500 millones de dolares.
julio 1994: Intel detecta el fallo planificando los primeros
chips sin fallo para enero de 1995.
El coste de la corrección antes de iniciar la producción era
mínimo 200,000 $.
En septiembre de 1994 el error sale a la luz.
En noviembre de 1994 la noticia acaba en portadas de
periódicos y TV.
En diciembre de 1994: IBM paraliza la producción de PC
basados en Intel.
Intel se ve obligada a asumir su error y sustituir todos los
chips.
Más detalles en Patterson & Hennesssy (292 – 295).
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