unidad 3: geometría analítica

2009
UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas
Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados
Iván Moyota Ch.
Unidad Educativa “San Felipe Neri”
LINEA RECTA
Geometría Analítica
Definición.Definición.- Llamamos línea recta al conjunto de puntos tales que
tomados dos puntos diferentes cualesquiera, el valor
NOCIONES PRELIMINARES
de la pendiente resulta siempre constante.
Dados dos puntos en el plano cartesiano, P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), se tiene:
Ecuaciones de la recta
Distancia entre dos puntos
Punto y pendiente dadas
Angulo de inclinación de una recta
Punto P(x1, y1) y pendiente m
Angulo formado por la parte positiva
del eje x y la recta
Pendiente de una recta
Dados dos puntos
Tangente del ángulo de inclinación
Pendiente y ordenada en el
División de un segmento en una
razón dada(r)
Coordenadas de un punto P(x, y) tal
que
origen
Punto medio de un segmento ( r = 1)
Intersecciones (a, 0), (0, b)
Angulo formado por rectas dirigidas
Ecuación general de la recta
Condición de Perpendicularidad
Área de un polígono
Vértices(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)
Pendiente m, intersección (0, b)
Ecuación simétrica de la recta
Distancia de un punto a una
recta
Longitud
del
segmento
perpendicular a la recta l trazado
desde el punto
P(x1, y1)
NOCIONES PRELIMINARES
Angulo formado por los dos lados que
se alejan del vértice
Condición de Paralelismo
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
2
Tercero de Bachillerato FIMA
2) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (– 2, 3) y que pasa por
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
Definición.Definición.- Se llama ecuación de segundo grado con dos incógnitas a
2
el punto (1,6)
2
una ecuación de la forma ax + bxy + cy + dx + ey + f
= 0 donde los coeficientes a, b, c, d, e y f son
constantes, con la condición de que por lo menos uno
de los tres coeficientes a, b y c sea diferente de cero
r=
( x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 18
NOTA: En geometría analítica se demuestra que la gráfica de esta ecuación
(si es que existe en coordenadas reales) es una curva de las
3) Hallar el centro y el radio de las circunferencias
llamadas secciones cónicas o uno de sus casos límites que pueden
a) x 2 + y 2 – 4x + 2y – 20 = 0
ser un punto, una recta o un par de rectas.
( x 2 – 4x ) + ( y 2 + 2y ) = 20
( x 2 – 4x + 4) + ( y 2 + 2y + 1 ) = 20 + 4 + 1
CIRCUNFERENCIA
( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25
Definición.Definición.- Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya
C ( 2, – 1 )
r=5
distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se
llama centro y distancia constante se llama radio.
circunferencia es:
( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
La ecuación general de la circunferencia es
Ejemplos:
2
b) 2x 2 + 2y 2 – 8x – 6y – 1 = 0
x 2 + y 2 – 4x – 3y – ½
2
x + y + dx + ey + f = 0
( x 2 – 4x ) + ( y 2 – 3y ) = ½
( x 2 – 4x + 4 ) + ( y 2 – 3y + 9/4 ) = ½ + 9 + 9/4
( x – 2 ) 2 + ( y – 3/2 ) 2 = 47/4
1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( 1, – 2 ) y radio 5.
( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25
x 2 – 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 = 25
x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0
C ( 2, 3/2 )
r=
47 / 2
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
Si el centro tiene coordenadas C( h, k ) y el radio es r, la ecuación de la
3
Tercero de Bachillerato FIMA
PARÁBOLA
Definición.Definición.- Se llama parábola al conjunto de todos los puntos en un
plano cuya distancia a un punto fijo (el foco ) es igual a
la distancia a una recta fija ( la directriz ).
NOTA: Se llama eje de la parábola a la recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz.
2) Hallar la ecuación de la parábola de foco ( – 1, 2 ) y directriz la recta de
ecuación y = 4
Es una parábola con eje paralelo al eje y
F (– 1, 2 ) F ( h, k + p ) →
h=–1 k+p=2
Directriz
y=4
Se tiene que
El vértice de la parábola es el punto sobre el eje a la mitad de la distancia
entre el foco y la directriz. El vértice es el punto en la parábola más
próximo en la directriz.
y=k–p
k=3
→
k–p=4
p=–1
Ecuación: ( x + 1 ) 2 = – 4 ( y – 3 )
3) Hallar los elementos de la parábola x 2 + 4x – y + 6 = 0
x 2 + 4x = y – 6
x 2 + 4x + 4 = y – 6 + 4
( x + 2 )2 = y – 2
(x − h )
2
Eje paralelo al eje X
V(h,k)
Vértice ( V )
Ecuación
= 4 p (y − k )
y = ax 2 + bx + c
( h, k + p )
x=h
y=k–p
( y − k )2 = 4 p (x − h )
x = ay 2 + by + c
( h + p, k)
y=k
x=h–p
Ec. general
Foco ( F )
Eje
Directriz ( l )
Ejemplos:
1) Hallar la ecuación de la parábola de vértice ( 2, 3) y foco ( 4, 3)
Es una parábola con eje paralelo al eje x.
V ( 2, 3 ) V ( h, k )
→
h=2
F ( 4, 3 )
F ( h + p, k )
2
→
V ( – 2, 2 )
4p = 1 →
F ( h, k + p )
F ( – 3, 9/4 )
Directriz
y=k–p
p=¼
y = 7/4
4) Hallar los elementos de la parábola y 2 + 4x + 2y – 7 = 0
y 2 + 2y = – 4x + 7
y 2 + 2y + 1 = – 4x + 7 + 1
( y + 1 ) 2 = – 4x + 8
( y + 1 )2 = – 4 ( x – 2 )
k=3
h+p=4
La ecuación es ( y – 3 ) = 8 ( x – 2 )
( x + 2 )2 = 1 ( y – 2 )
p=2
V ( 2, – 1 )
4p = – 4 →
F ( h + p, k )
F ( 1, – 1 )
Directriz
x=h–p
x=3
p=–1
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
Eje paralelo al eje Y
V(h,k)
4
Tercero de Bachillerato FIMA
Ejemplos:
ELIPSE
Definición.Definición.- Se llama
elipse al conjunto de todos los puntos en un
plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es
una constante positiva. Los puntos fijos se llaman
focos.
Elementos
Centro C
Vértices V, V’
Focos F, F’
Eje Mayor VV’
Eje menor BB’
Lado recto LL’, MM’
1) Hallar la ecuación de la elipse de focos ( 2, 5 ) y ( 8, 5 ) y longitud del
eje mayor igual a 10.
En este caso el eje mayor es horizontal
F’ ( 2, 5 ) F’ ( h – c, k) →
h–c=2
F ( 8, 5 ) F ( h + c, k) →
h+c=8
h=5
LEM = 10
2a = 10
a=5
2
2
2
2
2
→
b = a – c2
c =a –b
( x − 5)2 + ( y − 5)2
La ecuación es
25
16
2) Hallar la ecuación de la elipse de vértices ( 3, 6 ) y ( 3, – 2 ) y
excentricidad igual a ½ .
a
2
b
2
=1
V’ ( h – a, k ) V ( h + a, k )
F’ ( h – c, k ) F ( h + c, k )
Centro
( x − h ) + ( y − k )2
2
Ecuación
Vértices
Focos
Longitud eje mayor
Longitud eje menor
Longitud lado recto
Excentricidad
Relación coeficientes
Tercero de Bachillerato FIMA
Eje mayor vertical
C(h,k)
b
2
a
2
=1
V’ ( h, k – a ) V ( h, k + a )
F’ ( h, k – c ) F ( h, k + c )
LEM = 2a
LEm = 2b
LLR = 2b 2 / a
e=c/a
c2 = a2 – b2
e=½
c/a=½
c2 = a2 – b2
→
La ecuación es
c=2
b2 = a2 – c2
( x − 3) 2 + ( y − 2 ) 2
12
h=3
h=3
k=2
16
k–a=–2
k+a=6
a=4
b 2 = 12
=1
3) Encontrar los elementos de la elipse y trazar su gráfica
a) 16x 2 + 9y 2 + 64 x – 18y – 71 = 0
(16x 2 + 64x ) + ( 9y 2 – 18y ) = 71
16 ( x 2 + 4x ) + 9 ( y 2 – 2y ) = 71
16 ( x 2 + 4x + 4 ) + 9 ( y 2 – 2y + 1 ) = 71 + 64 + 9
16 ( x + 2 ) 2 + 9 ( y – 1 ) 2 = 144
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
( x − h ) + ( y − k )2
2
b=4
=1
En este caso el eje mayor es vertical
V’ ( 3, – 2 ) V’ ( h, k – a )
→
V’ ( 3, 6 )
V’ ( h, k + a )
→
Eje mayor horizontal
C(h,k)
k=5
k=5
c=3
5
(x + 2)2 + ( y − 1)2
9
C ( – 2, 1 )
a=4 b=3
16
=1
Dividiendo para 144
4) Hallar la ecuación de la elipse de focos los puntos (1, 3) y (– 1, 1) y
longitud del eje mayor 6.
Aplicando la definición de elipse se tiene:
c=
dPF + dPF’ = 6
7
V’ (– 2, 5 ) V (– 2, – 3 )
F’ (– 2, 1 + 7 ) F (– 2, 1 –
7 )
LEM = 8
LEm = 6
LLR = 9 / 2
e= 7 /4
+
2
2
x – 2x + 1 + y – 6y + 9 = 36 – 12
12
+ x2 + 2x + 1 + y2 – 2y + 1
= 4x + 4y + 28
3
=x+y+7
2
9 (x + 2x + 1 + y – 2y + 1) = x2 + y2 + 49 + 2xy + 14x + 14y
( 16x 2 – 32x ) + ( 25y 2 + 50y ) = 359
16 ( x 2 – 2x ) + 25 ( y 2 + 2y ) = 359
16 ( x 2 – 2x + 1 ) + 25 ( y 2 + 2y + 1 ) = 359 + 16 + 25
16 ( x – 1 ) 2 + 25 ( y + 1 ) 2 = 400
( x − 1 )2 + ( y + 1 )2 = 1
25
16
C ( 1, – 1 )
a=5 b=4 c=3
V’ ( – 4, – 1 ) V ( 6, – 1 )
F’ ( – 2, – 1 ) F ( 4, – 1 )
LEM = 10
LEm = 8
LLR = 32 / 5
e=3/5
9x2 + 18x + 9 + 9y2 – 18y + 9 = x2 + y2 + 49 + 2xy + 14x + 14y
8x2 + 2xy + 8y2 + 4x – 32y – 40 = 0
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
b) 16x 2 + 25y 2 – 32x + 50y – 359 = 0
2
6
Tercero de Bachillerato FIMA