Los Grafos

Los grafos
Los puentes de Koenisberg
… ¨ grafos y redes tienen propiedades, ocultas bajo su estructura, que limitan o multiplican nuestra capacidad para hacer cosas
con ellas ¨…
L Barabasi
Es muy difícil tomar conciencia de la importancia que han tenido y
tienen los juegos en todos los órdenes de nuestra vida y lo es más
aun, saber que ellos han sido durante milenios un acicate encubierto
del conocimiento científico. Tal vez aquello, lo de la importancia de
los juegos, sea una buena excusa o una buena defensa para los que
se pasan la vida jugando o que creen que la vida es solo un juego.
Pero no es la parte exclusivamente lúdica de los juegos lo que quiero
compartir con Uds., ni la historia de los juegos de azar, la cual si bien
es también muy importante por su íntima relación con el cálculo probabilidades tiene su propia historia como veremos más adelante y
ella no es menos interesante. En realidad, las fronteras entre las distintas formas de pensar y de jugar no son muy rígidas.
Con la modestia que da conocer los propios límites, lo que quiero
simplemente es relatar de manera sintética, lo que comenzó siendo
solo en apariencias únicamente un pasatiempo, y que le permitió a
una mente preparada avanzar y ver mucho más allá de lo que veían
el común de los habitantes de un determinado lugar en el norte de
Europa.
Lamentablemente esta meta visión nos es negada a la mayoría de
los seres comunes, pero ello no es un impedimento para que tratemos de caminar pisando las huellas de los iluminados.
La historia rescata un hecho que aconteció siglos atrás y nos permite
comprobar cómo aquello que era solo un juego inocente de algunos
lugareños aburridos e ingeniosos, se transformo en un desafió para
los habitantes y los visitantes de Koenisberg (hoy Kaliningrado), convirtiéndose posteriormente en el germen que dio nacimiento a la teo-
Edgardo Marecos
Edgardo Marecos
ría de los grafos, ciencia que está íntimamente relacionada con la
topología, rama de la matemática tan extraña como su madre.
No es muy común conocer cuál es el problema que da nacimiento a
una disciplina, felizmente acá se nos brinda la oportunidad.
Topología
Es una parte de las matematicas en la que, triángulos, cuadrados,
círculos y otras muchas figuras adquieren una semejanza impensada
que les otorga generosamente esta nueva geometría, la cual está
más interesada en las relaciones que en los números, hecho este
que ocupa un lugar que le negara la aritmética desde hacen milenios.
¿Sorprende? A mi sí. No se debe tener la ilusión de que sea más
sencilla que su hermana mayor.
Donut trasformado en taza de café como ejemplo de ejercicio topológico.
Ambas disciplinas, la de los grafos y la topología, se constituirían en
un matrimonio que con el tiempo se convertiría en un instrumento
imprescindible para la ciencia de las redes.
Esta última, la ciencia de las redes, tiene como objeto el estudio
de los sistemas conectados, lo cual es una manera pálida pero
apropiada de representar la estructura compleja de la realidad en la
que estamos inmersos y de la que somos parte.
Pero veamos concretamente en qué consistía el jueguito que contribuyo al nacimiento de una nueva ciencia. En Koenigsberg (hoy Kaliningrado,) el río Pregel se divide al pasar por la ciudad en dos brazos, y se posibilitaba la unión del territorio mediante siete puentes, de
Edgardo Marecos
los que quedan solo dos originales, esto para los habitantes por
aquellos años era motivo de distracción. En la actualidad tal como
estan y van las cosas, el jueguito tendría apariencia de ingenuidad
incluso para los más chicos.
En fin, el desafió consistía en unir la ciudad sin pasar dos veces por
el mismo puente, problema no diferente a aquellos juegos que con
figuras hechas a mano alzada, la mayoría de nosotros hemos resuelto con mayor o menor dificultad durante nuestra infancia o adolescencia.
Una de aquellas figuras a las que me refiero consistía en dibujar un
sobre abierto sin pasar dos veces por la misma línea, el problema se
tornaba imposible de resolver cuando se debía dibujar el sobre cerrado. El sobre abierto tiene un camino euleriano y el "sobre" cerrado
no (ver glosario)
Pienso, estoy seguro, que algún matemático premeditadamente introdujo el problema que representan estas figuras y otras muchas,
con la esperanza vana, de que alguno se interesara por el desafió y
buceara en la profundidades de la abstracción matematica.
Hoy podemos acceder al conocimiento de numerosas figuras a través de la topología que generosamente nos dice que figuras podemos y que figuras no podemos hacer, siempre y cuando respetemos
las reglas que nos impone. Las situaciones posibles o imposibles son
muy numerosas y su importancia invade distintas áreas tecnológicas.
Creo obvio decir, que aquellos lugareños estaban muy lejos de imaginar la complejidad implícita en este juego que habían inventado y
propuesto a propios y extraños, ratificando que los problemas muchas veces superan la imaginación de sus propios creadores.
Edgardo Marecos
Este pasatiempo intrascendente para muchos, fue sin embargo un
nuevo Caballo de Troya que encerraba y encierra numerosos problemas y soluciones.
L Euler
L Euler vio nodos y enlaces en lugar de las áreas de la ciudad y de
los siete puentes respectivamente, y dio por terminado el desafió al
descubrir que ese pasatiempo matemáticamente no tenia solución.
La grandeza de su descubrimiento no quedo dentro de los limites de
Koenisberg , presento su trabajo en la Academia de Ciencias de San
Petersburgo, una ciudad cercana que tuve oportunidad de conocer
en 2007, y su presentación académica es considerada hoy como el
germen de la Teoría de los Grafos, que como decía más arriba tiene
estrechas e indisolubles relaciones con la topología y la ciencia de
las redes .
A la topología Leibniz la bautizo con el nombre de geometría de la
posición y es conocida entre otras nominaciones como la geometría
de la página de goma o el análisis de sitio.
La serendipidad, es ese don esquivo, solo reservado a pocos, aquellos que ante lo casual ven causalidades, a esos quienes poseen un
poder de abstracción que los ubica en la categoría de genios. En
palabras comunes y apropiadas de un pensador cuyo nombre no
recuerdo y que viene al caso, pero con el que acuerdo con firmeza
dice :
¨ El poder observar lo que se oculta bajo la superficialidad de las
apariencias no es patrimonio del democrático sentido común ¨.
El personaje iluminado e iluminador de nuestra historia de los puentes fue L Euler, considerado el príncipe de las matemáticas, resolvió
el problema de Koenisberg sin caminar un solo paso, pero provisto
del instrumento intelectual más importante que tenemos, y que mencionáramos más arriba, la capacidad de abstracción.
Edgardo Marecos
Este menage a trois integrado por grafo-topología-redes, cuyas aplicaciones son más de la que imaginamos a simple vista, nos permite
solucionar una cantidad de problemas cuyo espectro va desde los de
orden absolutamente prácticos y cotidianos como visitar un museo
sin pasar dos veces por el mismo lugar a los más sofisticados y
complejos.
En los mapas comunes de una ciudad y en otros mapas, sin saberlo,
cambiamos alegre y oportunamente la exactitud de la geométrica
clásica que requerimos forzosamente para otras disciplinas, por la
utilidad que nos brinda la información grafico-topológica.
Si no nos resulta claro ver de qué se trata el cambio, pensemos en la
complicación, casi sin solución, que sería poder comprender y utilizar
el mapa más simple de una ciudad, aun aquel de la ciudad más pe-
Edgardo Marecos
queña, cuando priorizamos la precisión detallada de todos los datos
sobre la utilidad de los mismos.
Mapa de la provincia de Corrientes
Un mundo o la realidad absoluta y precisa pueden llegar a ser muchas veces intolerables, Borges lo expresa por supuesto mucho mejor;
...Era el solitario y lucido espectador de un mundo multiforme,
instantáneo y casi intolerablemente preciso...Pensar es olvidar
las diferencias, es generalizar, abstraer. En el abarrotado mundo
de Funes no había sino detalles casi inmediatos.
Funes el memorioso
Esta breve mención de Borges nos da una idea de importancia de la
abstracción y que no siempre podemos considerar como beneficioso
ser muy precisos según nos muestra la tragedia de Funes, personaje
de ficción para el cual la precisión paso a ser su rutina obligada o
más aun su condena.
La complejidad y los grafos
Uno de los desafíos de nuestro siglo es enfrentar la complejidad, A.
L. Barabasi lo expresa de manera muy entendible al decir que debemos unir lo conocido con lo desconocido, lo archisabido con lo sorprendente, lo previsible con lo inesperado.
Con este criterio y separando solo provisoriamente, para evitar que el
bosque nos impida ver el árbol y que aquel no nos impida ver este,
voy a referirme a los usos, las características básicas, y mencionar
Edgardo Marecos
algo de la teoría de los grafos, cuya aparente simpleza como decía
más arriba es solo un engaño.
Utilidad de los grafos:
Los grafos son una forma de representación natural de las redes y
estas a su vez lo son de la realidad, son artificios matemáticos que
nos permiten expresar de manera sencilla y visual las relaciones entre elementos de muy diversa índole y nos habilitan a que podamos
preguntarnos y resolver infinidad de situaciones problemáticas y como plus nos facilitan comprender lo que tienen de común Hormigas,
neuronas, ciudades y software, (subtitulo del libro Sistemas Emergentes de S Johnson).
Creo que este comentario es tan abarcativo y sus consecuencias tan
importantes que nos brindan un horizonte amplio de posibilidades,
una universalidad que lo hace merecedor del esfuerzo de tener aunque sea una idea aproximada de su formalización simbólicomatemática , para poder así comprender mejor su omnipresencia .
Dejando como un desafió personal para quien lo desee la profundización de su base matemática, recordemos solamente que su aplicación en la resolución de problemas comprende todas aquellas
áreas donde la conectividad es importante, y que por lo tanto incluye muy distintos sistemas como los educativos, los sistemas de
salud, los sistemas de información. la geografía, las distintas redes
de servicios públicos , carreteras ,redes de agua ,de gas electricidad,
de transporte, de semáforos , visitar museos , las redes sociales, etc.
Edgardo Marecos
En 1847 Gustavo Kirchoff formula las leyes de electricidad que llevan
su nombre y desarrolla en las redes de electricidad la noción de árbol, un tipo especial y milenario de grafo cuya utilidad fue recogiendo
adeptos en la química, la biología, la teoría de decisiones, de la información, de las comunicaciones, y muchas otras áreas y disciplinas
que aceptaron rápidamente el convite y sumaron a sus desarrollos
las utilidades de los grafos, la topología, y las redes.
En medicina es muy habitual el uso de distintos tipos de grafos, con
la misión de sintetizar datos y hacerlos no solo mas entendibles sino
tambien visualizar mejor las distintas relaciones posibles. Para que
los grafos demuestren su utilidad es imperativo aprender a leerlos.
número de arcos (aristas) que los relacionan, cada arista o arco
tiene la capacidad de relacionar nodos.
Las normas del diseño de los grafos
Existen una serie de reglas para diseñar los grafos cuya fundamentación teórica está disponible y aguarda a los osados que pretendan
profundizar el tema, yo solo mencionare unos pocos conceptos, dejando la llave o mejor el llavero entero en las manos de los interesados
Un vértice o nodo se dice que es impar si de él parten un número
impar aristas, este concepto es importante porque fue el que le permitió a Euler descartar de plano el problema de los puentes.
a) Si todos los vértices son pares, el punto de partida para una
figura puede ser cualquiera.
b) la figura se puede hacer sin pasar dos veces por la misma
arista cuando no hay más de dos vértices impares, uno al
comienzo del recorrido, y el otro vértice impar al final.
Glosario
Árbol: es un grafo conexo que no tiene ciclos y que conecta a todos
los puntos, es un grafo dirigido acicilico (GDA),el vértice inicial se
llama raíz , los vértices con una sola arista se llaman hojas.
Árbol de decisión (árbol= grafo dirigido acíclico)
¿Pero que es un grafo?
Preguntar esto es casi como comenzar por el final, tal vez, pero esa
fue la intención, generar el interés antes que intentar una definición.
Podemos definir el grafo como una representación, un modelo,
compuesto por un número determinado de vértices (nodos) y un
Edgardo Marecos
Camino: secuencia de nodos en que cada nodo es adyacente y nos
permite una serie de medidas ; la distancia entre nodos, la longitud
es decir como el numero de enlaces para ir de un nodo a otro , la
longitud menor o camino geodésico , el peso o la conectividad.
Ciclo se define en teoría de grafos como un camino cerrado en un
grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo.
Ciclo euleriano es aquel camino que recorre todos los vértices (nodos) de un grafo pasando una y sólo una vez por cada arista (arco)
del grafo, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de
salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de
Edgardo Marecos
salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente
una vez". Úsalo cuando visites El Louvre.
Dígrafo: son aquellos en los que el enlace se representa como una
flecha que determina una dirección concreta, se denomina también
grafo dirigido.
Camino euleriano: se dice que un grafo admite un camino euleriano
cuando tiene exactamente dos nodos de grado impar (conexos a los
caminos).
Densidad: proporción de lazos existentes en relación con los posibles.
Camino hamiltoniano: es un camino que recorre todos los vértices
de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. El camino
hamiltoniano no impone regresar al vértice de partida,
Caras: conjunto poligonales de aristas cerradas que forman figuras
poligonales sin vértices en el interior.
Cercanía (closeness): índice de la cercanía de un nodo con el resto
de la red.
Ciclo hamiltoniano: camino hamiltoniano cerrado En el caso de que
se pueda recorrer todos los enlaces sin pasar dos veces por el mismo nodo, el nodo de comienzo y el final será el mismo y todos los
nodos han de ser necesariamente de orden par. Un ejemplo clásico
es recorrer un museo grande visitando todas las salas una sola vez,
para lo cual se deberá hacer o buscar un grafo con un ciclo hamiltoniano en el cual los vértices son las salas, y las aristas los corredores
Conexo: se refiere en relación a los grafos a aquellos en los que es
posible conectar cualquier pareja de vértices por medio de un camino
o en los que se puede pasar de un vértice a otro a través de uno o
varias aristas sin levantar el lápiz del papel
Diámetro del grafo: es su distancia máxima, la longitud de su geodésico máximo, siendo este ultimo el camino mas corto entre dos
nodos.
Diámetro de una red: geodésico más grande.
Distancia geodésica: distancia más corta entre dos nodos.
Geodésico: camino más corto entre dos nodos.
Grado de intermediación (betweenness): índice que muestra la
suma de todos geodésicos, es decir, los caminos más cortos entre
dos vértices que incluyen el nodo en cuestión.
Grafo: Un grafo es una representación, un modelo, que está compuesto por un número determinado, finito, de vértices (nodos) y un
número finito de arcos (aristas) que los relacionan. Cada arista o arco, tiene la capacidad de relacionar dos nodos. El grafo formado por
dos conjuntos, a) nodos o vértices b) aristas, enlaces o arcos, que
nos indican las relaciones de los nodos.
Grafo euleriano: si se pueden recorrerse de un solo trazo todas las
aristas sin pasar dos veces por una misma de ellas, admite un ciclo
euleriano
Grafo hamiltoniano: existe un recorrido según aristas del mismo
que pase por todos los vértices del grafo una sola vez aunque queden aristas sin recorrer .
Grafo orientado: grafo en el cual los caminos siguen una dirección.
Intermediario (broker): persona con un alto índice de intermediación.
Si se quita de la red ésta se divide en componentes.
Lazos débiles: expresión popularizada por Granovetter que indica
relaciones especializadas entre dos actores sociales.
Edgardo Marecos
Edgardo Marecos
Lazos fuertes: a diferencia de los lazos débiles indican relaciones
sociales cercanas y solidarias.
Mosaico: grafo que se extiende a todo el plano (teselado)
Nodo adyacente: se dice de nodos en los que existe un enlace que
los conecte
Orden del grafo: es el número de arcos que sale del nodo .En Koenisberg el orden de todos los (cuatro) nodos son impares. Solo se
puede recorrer un grafo cualquiera sin pasar dos veces por el mismo
enlace, si únicamente dos nodos impares y se comienza en uno de
estos y se termina el recorrido en el otro nodo impar.
Anda por mas
F Capra. La trama de la vida. Una nueva perspectiva de los sistemas vivos. Anagrama 1998
L Santalo y colaboradores. Enfoques. Troquel Ediciones 1994
J Gribbin . Asi de Simple. Drakontos 2006
A.L, Barabasi. Linked Penguin Group 200
V Hernandez Forte. Mapas Conceptuales la Gestión del Conocimiento en la didactica. Alfaomega 2007
M Jenicek Epidemiologia la logica de la medicina moderna Masson 1996
Red semántica: es un grafo en donde los vértices representan conceptos o clases
Relación dirigida: relación que parte de un nodo hacia otro. Se presenta con una flecha apuntado al nodo receptor.
Relación valorada: relación calificada con un valor ordinal o de rango. Se opone a la relación binaria (presencia o ausencia) y permite
gradaciones.
Relación recíproca: relación idéntica para cada uno de los dos nodos. Suele representarse con una línea sin flechas.
Seudo grafo: si los enlaces salen de un nodo y vuelven al punto de
partida después de pasar por otros y forman un bucle.
Vértice: unidad fundamental de la que están formados los grafos.
Los vértices son tratados como un objeto indivisible y sin propiedades, aunque puedan tener una estructura adicional dependiendo de
la aplicación por la cual se usa el grafo
Edgardo Marecos
Edgardo Marecos