LAB 9 Ondas en Cuerdas

GUÍA Nº 9
ONDAS EN CUERDAS
1.- Introducción
El experimento de Melde es un experimento científico realizado por el físico
alemán Franz Melde sobre las ondas estacionarias producidas en un cable tenso
unido a un pulsador eléctrico. Este experimento pudo demostrar que las ondas
mecánicas experimentan fenómenos de interferencia. Ondas mecánicas viajando en
sentido contrario forman puntos inmóviles, denominadas nodos. Estas ondas fueron
denominadas estacionarias por Melde ya que la posición de los nodos y los vientres
(puntos de vibración) permanece estática.
Si consideramos un pequeño segmento de una cuerda de longitud ∆x y tensión F,
en la cual se esta propagando una onda viajera:
F
θB
∆x
B
A
θA
F
Si se supone que los extremos del segmento forman ángulos pequeños θA y
con el eje x. La fuerza neta sobre el segmento en la dirección vertical es
N
∑F
yi
θB
= Fsenθ B − Fsenθ A = F ( senθ B − senθ A )
i
Al suponer que los ángulos son pequeños, se puede emplear la aproximación de
pequeños ángulos senθ ≈ tanθ y escribir la fuerza neta como:
N
∑F
yi
= F (tan θ B − tan θ A )
i
Las tangentes de los ángulos en A y B son definidas como la pendiente de la curva
en estos puntos. Puesto que la pendiente de una curva está dada por:
Asignatura: Física Óptica
Área Ciencias Básicas
Responsables: Patricio Pacheco H./Jacqueline
Alea P.
Fecha actualización: Otoño 2009
∂y
∂x
Entonces:
N
∑F
yi
i
 ∂y 
 ∂y 
= F[   −  
 ∂x  B  ∂x  A
]
Al aplicar la segunda ley de Newton al segmento de cuerda, con la masa dada por
m =µ ∆x, donde µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda:
 ∂2 y 
∑i Fyi = ma y = µ∆x  ∂t 2 


N
Al igualar las ecuaciones de la fuerza resultante vertical:
 ∂2 y 
 ∂y 
 ∂y 
 = F[   −  
2 
 ∂x  B  ∂x  A
 ∂t 
µ∆x 
]
 ∂y 
 ∂y 
 y ( x + ∆x) − y ( x) 
lím 
  − 

2
∆x → 0
µ ∂ y  ∂x  B  ∂x  A
∆x
 ∂ y

lím
=
=
=
∆x → 0
F ∂t 2
∆x
∆x
∂x 2
2
La ecuación de onda lineal:
µ ∂2 y
F ∂t 2
=
∂2 y
∂x 2
Una función de onda senoidal representa una solución para esta ecuación de onda:
y ( x, t ) = Asen(kx − ωt )
Al reemplazar en la ecuación de onda lineal produce:
µ
k2 =
v=
F
ω2
ω
k
v=
F
f =
1
2L
µ
=λ f =2L f
F
µ
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La potencia promedio transmitida por una onda senoidal en una cuerda extendida
es:
< P >=<
τ
1  
1
F • y >=
mAω 2 sen(kx − ωt ) Asen(kx − ωt )dt
∫
τ ∆t 0
∆t
τ
τ
1
1
1
 1 cos(kx − ωt 
2
2 L
=
mA 2ω 2 sen 2 (kx − ωt ) dt =
mA 2ω 2 ∫  −
=
 dt = µA ω
∫
τ ∆t 0
τ ∆t
∆t
2
2
2

0
< P >=
1
µA 2 ω 2 v
2
Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda
En este apartado, obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos
de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos.
Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos
movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:
Una incidente, que se propaga de izquierda a derecha
yi=A·sen(kx-w t)
Y otra reflejada, que se propaga de derecha a izquierda.
yr=A·sen(kx+w t)
La onda estacionaria resultante es:
y =yi+yr=2A·sen(kx)·cos(w t).
Como vemos esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el
término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia
angular w y una amplitud 2A·sen(kx).
Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima,
2A·sen(kx)=0, por lo que kx=np con n=1, 2, 3, .... o bien, x= l /2, l, 3l /2, ... La
distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l /2.
Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene
un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia
característica. Las frecuencias se pueden calcular.
Primero, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se
encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la
cuerda sea igual a media longitud de onda L = λl /2. Para el segundo modo de
vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L = λ. Para el
tercer modo, L = 3 λ /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de
onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como
λn =
2L
n
n = 1,2,3,.....
Para hallar las frecuencias empleamos la relación
λ = v P , o bien λ = v f
.
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2.- Aprendizajes Esperados
a) De acuerdo al programa de estudios
2.1.- Criterios de Evaluación
a) Conocer y caracterizar ondas que se propagan en cuerdas
b) Obtener experimentalmente los modos normales de vibración de la cuerda
c) Obtener experimentalmente los modos armónicos
3.-Materiales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Generador de funciones
Hilo y set de masas
Balanza
Polea
Regla metálica
Parlante con vástago
4.- Actividades
4.1.- Procedimiento
a) Realice el montaje de la figura. Anote sus observaciones.
4.2.- Cálculo y Resultados
a) Construya la Tabla de Valores de frecuencia versus la Fuerza o Tensión
(mg)
b) Realice el grafico de Frecuencia (Hz) - eje vertical - versus Tension (N) –
eje horizontal.
c) Rectifique el grafico anterior y determine el coeficiente de densidad lineal
experimental µ.
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d) Determine el error
µ TABLAS − µ EXPERIMENTAL
100 < 5%
ε% =
µ TABLAS
e) Enuncie sus conclusiones y fundaméntelas
5.- Bibliografía
1. R. Serway, Vol. II , Física, Editorial Mc Graw – Hill, 2005
2. Tipler,.Fisica, Editorial McGraw - Hill, 1999
3. Sears y Zemansky, Fisica General, Editorial Aguilar S.A. , España, 1980
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