aplicaciones topográficas

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Y
DE TELECOMUNICACIÓN
DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA
APLICACIONES TOPOGRÁFICAS
GUIÓN - 1
José Ramón Aranda Sierra
Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
2.007
Dedicatoria
A mis padres
A mis alumnos
© JOSÉ RAMÓN ARANDA SIERRA
I.S.B.N.:
Depósito Legal:
Servicio de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y
Puertos.
PROGRAMA
PRACTICAS
1
PROGRAMA
1ª.- Topografía Aplicada.
2ª.- Geotecnia.
3ª.- Estructuras.
4ª.- Proyectos de Ingeniería Eléctrica y Energética.
TOPOGRAFÍA APLICADA
T 1.- INTRODUCCIÓN.
1.1.- Objetivos y contenido básico: Objeto de la topografía. Cartas, mapas y planos. Escalas.
1.2.- Límites de la percepción visual.
1.3.- Levantamientos topográficos: Clasificación. Sistemas básicos de representación. Distancia geométrica y
reducida. Planos acotados. Partes de un levantamiento. Métodos topográficos. Influencia de la esfericidad
terrestre.
1.4.- Geodesia y topografía: La forma de la Tierra. Redes geodésicas. Determinación del elipsoide.
1.5.- Topografía e ingeniería: Campo de acción. Aplicaciones generales y, en particular, a la Ingeniería
Eléctrica.
APÉNDICE 1.
A1.1.- Fotografías de distintos trabajos.
T 2.- TEORÍA DE ERRORES.
2.1.- Introducción. Principales causas.
2.2.- Tipos de errores: groseros, sistemáticos y accidentales.
2.3.- Hipótesis previas.
2.4.- La media aritmética. Propiedades.
2.5.- Concepto de precisión.
2.6.- Formas usuales de error: probable, medio aritmético, máximo, medio cuadrático. Relaciones.
2.7.- Composición y transmisión de errores: introducción. Error en una suma. Error en un producto. Error de una
media. Error de la media ponderada.
APÉNDICE 2.
A2.1.- Tolerancias en Ingeniería Civil
A2.2.- Ejemplos de estadística
A2.3.- Plantillas para trabajos de campo
T 3.- INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y ACCESORIOS. TEODOLITO.
3.1.- Elementos de los instrumentos topográficos. Objeto: medición de distancias y de ángulos.
3.2.- Elementos accesorios: Trípodes. Mecanismos de unión. Plataformas nivelantes. Tornillos de precisión.
Tornillos de coincidencia.
3.3.- Niveles: Nivel de aire. Nivel esférico. Sensibilidad del nivel. Estacionamiento de un instrumento.
2
PROGRAMA
3.4.- Anteojo: Colimar. Ejes (Óptico, mecánico, colimación: Plano horizontal de colimación, Plano vertical de
colimación).
3.5.- Limbos: Ángulos (Sexagesimales. Centesimales). Nonios. Micrómetros.
3.6.- Medida de distancias: Directa (Cintas metálicas. Hilos de invar). Indirecta (Estadímetros: constantes
diastimométricas, determinación de las constantes. Miras: visuales inclinadas, lecturas de mira).
3.7.- Teodolito. Elementos constitutivos.
3.8.- Uso del teodolito: lecturas de ángulos acimutales y cenitales.
3.9.- Errores en un teodolito. Evaluación del error total en las punterías.
APÉNDICE 3.
A3.1.- Tipos de lecturas de ángulos
A3.2.- Teodolitos comerciales
A3.3.- Plantillas para trabajos de campo
T 4.- TAQUÍMETRO. DISTANCIOMETRO.
4.1.- Métodos de evaluación de distancias: Cinta (aplicaciones). Distanciómetro (fundamento, aplicación,
manejo).
4.2.- Taquímetro.
4.3.- Uso del taquímetro
4.4.- Desarrollo de la libreta.
4.5.- Cálculo del desnivel.
4.6.- Error longitudinal.
APÉNDICE 4.
A4.1.- Medida de distancias
A4.2.- Catálogos de distanciómetros
A4.3.- Levantamiento de planos
T 5.- BRÚJULAS. NIVELES.
5.1.- Fundamento de la brújula: aguja magnética.
5.2.- Variación de la declinación magnética.
5.3.- Errores en una brújula.
5.4.- Niveles: fundamento.
5.5.- Errores en un nivel. Error kilométrico.
APÉNDICE 5.
A5.1.- Catálogo de brújulas
A5.2.- Catálogo de niveles
A5.3.- Aplicaciones de nivelación
T 6.- MÉTODOS TOPOGRÁFICOS. PLANIMÉTRICOS.
6.1.- Agrimensura. Idea general. Método de las mediciones. Método de la descomposición en triángulos. Método
de las abscisas y ordenadas. Método de las casi perpendiculares. Método de las alineaciones.
3
PROGRAMA
6.2.- Coordenadas. Coordenadas cartesianas. Coordenadas generales y parciales. Convergencia de meridianos.
Cálculo de ángulos acimutales y distancias.
6.3.- Método de Radiación. Orientación de un instrumento. Desorientación de una vuelta de horizonte. Ventajas
e inconvenientes del método. Distancias máximas de radiación.
6.4.- Método Itinerario o poligonal. Diversas clases de itinerarios. Itinerario con goniómetro e itinerario con
brújula. Influencia del error angular en los itinerarios (goniómetro, brújula). Comparación de los errores
transversales de los itinerarios con goniómetro y brújula. Error lineal. Error total. Error de cierre. Desarrollo
gráfico y cálculo de los itinerarios.
6.5.- Método de intersección. Fundamento de la intersección directa. Elipse de tolerancia. Error máximo.
Longitud máxima de las visuales. Intersección gráfica. Cálculo de coordenadas. Fundamento de la intersección
inversa.
APÉNDICE 6.
A6.1.-Ejemplos de bases de replanteo
A6.2.- Señalización
A6.3.- Planímetros
T 7.- MÉTODOS ALTIMÉTRICOS.
7.1.- Superficies de nivel. Cotas, altitudes y desniveles. Corrección por esfericidad. Corrección por refracción.
Corrección conjunta de la esfericidad y refracción. Clasificación de los métodos altimétricos.
7.2.- Nivelaciones geométricas: Nivelación simple (Métodos punto medio, punto extremo, estaciones recíprocas,
equidistantes, estaciones exteriores). Nivelación compuesta. Error de cierre. Error kilométrico.
7.3.- Nivelaciones trigonométricas: Nivelación simple. Error por falta de verticalidad de la mira. Error de cierre.
Error kilométrico.
7.4.- Nivelaciones barométricas.
T 8.- LEVANTAMIENTOS PLANIMÉTRICOS.
8.1.- Redes del levantamiento planimétrico. Triangulación.
8.2.- Cálculo de la triangulación.
8.3.- La red topográfica o intermedia.
8.4.- La red de detalle o relleno.
T 9.- LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO.
9.1.- Relieve del terreno.
9.2.- Redes del levantamiento altimétrico.
9.3.- Dibujo del plano.
T 10.- LEVANTAMIENTO TAQUIMÉTRICO.
10.1.- Fundamento.
10.2.- Fórmulas taquimétricas.
10.3.- Enlaces de estaciones: método directo, método indirecto, método mixto.
4
PROGRAMA
10.4.- Trabajos de campo.
10.5.- Trabajos de gabinete.
APÉNDICE 10.
A10.1.- Movimiento de tierras
A10.2.- Programas de ordenador
T 11.- FOTOGRAMETRÍA: Definición y alcance.
11.1.- Definición.
11.2.- Ventajas de la fotogrametría como fuente de información.
11.3.- Principios fundamentales de la fotogrametría.
11.4.- Restitución.
11.5.- Aplicaciones: topográficas, no topográficas.
APÉNDICE 11.
A11.1.- Estereoscopia
A11.2.- Teledetección
A11.3.- Fotogrametría en explotaciones subterráneas
T 12.- CARTOGRAFÍA.
12.1.- Lectura de mapas, planos y fotointerpretación.
12.2.- Cartografía más usual: Mapa topográfico Nacional del Instituto Geográfico Nacional (1/50.000;
1/25.000). Mapa Militar del Servicio Geográfico del Ejercito (1/50.000). Fotografías aéreas 1/5.000, 1/2.000.
Cartografía regional a 1/5.000. Cartografía local 1/2.000, 1/1.000, 1/500.
12.3.- Explotación de la información cartográfica: Altimetría y pendientes del relieve, red hidrográfica, perfiles
longitudinales, perfiles transversales.
12.4.- Trabajos topográficos.
APÉNDICE 12.
A12.1.- Leyenda de símbolos topográficos
A12.2.- Diversos tipos de planos
T 13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.1.- Supuesto real
13.2.- Distancia máxima de radiación
13.3.- Limitación en los itinerarios con brújula
13.4.- Limitación en los itinerarios con taquímetro
13.5.- Características de la triangulación
13.6.- Nivelación por alturas
13.7.- Recapitulación final de errores. Tolerancias.
T 14.- PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS
14.1.- Dificultad para calcular el presupuesto
5
PROGRAMA
14.2.- Trabajos necesarios y rendimientos medios
14.3.- Ejemplo
14.4.- Presupuesto para los trabajos de campo
14.5.- Organización de los trabajos de gabinete
14.6.- Trabajos de gabinete
14.7.- Presupuesto para los trabajos de gabinete
14.8.- Presupuesto total
APÉNDICE 14.
A14.1.- Tarifas de alquiler de equipos topográficos
T 15.- PETICIÓN DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS
15.1.- Petición de oferta
15.2.- Petición de oferta para un trabajo topográfico
15.3.- Ejemplo
APÉNDICE 15.
A15.1.- Petición de oferta de un trabajo topográfico
A15.2.- Oferta de un trabajo topográfico
6
PROGRAMA
NOCIONES DE GEOTECNIA
T 16.- GEOTECNIA: CIMENTACIONES. TIPOLOGÍAS.
16.1.- Información geológica del terreno. Defectos subterráneos.
16.2.- Diferencias entre los tipos de suelo.
16.3.- Proyecto de cimentaciones: definición, condiciones satisfactorias, situación y profundidad, estructuras
colindantes, erosiones y socavación, nivel freático, limitación de asientos.
16.4.- Cimentaciones superficiales. Presiones admisibles. Determinación de la carga de hundimiento de un
suelo. Zapatas: Normativa Tecnológica de Edificación.
16.5.- Asientos de zapatas.
16.6.- Cimentaciones profundas. Pilotes: Normativa Tecnológica de Edificación.
T 17.- APLICACIONES. ESTUDIO DE LAS ZAPATAS DE HORMIGÓN.
17.1.- Cargas transmitidas a la zapata. Axil, Cortante, Momento Flector.
17.2.- Dimensionamiento de una zapata aislada.
17.3.- Utilización de ábacos de cálculo.
NOCIONES DE ESTRUCTURAS
T 18.- ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS.
18.1.- Definición.
18.2.- Estructura isostática. Estructura hiperestática
18.3.- Métodos tradicionales de cálculo de esfuerzos. Método de Cremona.
18.4.- Movimientos de los nudos de una estructura articulada.
18.5.- Método de Williot.
18.6.- Resolución de desplazamientos y esfuerzos en estructuras articuladas planas mediante el ordenador.
T 19.- ESTRUCTURAS RETICULADAS PLANAS.
19.1.- Definición.
19.2.- Estructura isostática. Estructura hiperestática
19.3.- Métodos tradicionales de cálculo de esfuerzos. Método de Cross.
T 20.- DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES: ACERO Y HORMIGÓN.
20.1.- Esfuerzos en una sección de un elemento estructural.
20.2.- Metodología en elementos de acero. Manejo de prontuarios.
20.3.- Norma Tecnológica de Hormigón. EH-91. Hormigón en masa. Hormigón armado.
20.4.- Armadura de un elemento de hormigón armado.
T 21.- PROGRAMA DE CALCULO POR ORDENADOR. MANEJO DE TABLAS.
21.1.- Manejo de programas de cálculo.
7
PROGRAMA
21.2.- Bibliografía de prontuarios y tablas.
PROYECTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA
T 22.- PROYECTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA.
22.1.- Atribuciones del Ingeniero Técnico Industrial de la especialidad Electricidad, sección Centrales y Redes.
22.2.- Proyectos tipo de Electrificación Rural: Líneas, Centros de transformación y Subestaciones.
22.3.- Instalaciones energéticas.
22.4.- Documentos de un proyecto.
22.5.- La memoria y anejos a la memoria.
22.6.- Los planos.
22.7.- El pliego de prescripciones técnicas particulares.
22.8.- El presupuesto.
22.9.- Estudios, informes, peritaciones y certificaciones.
8
PROGRAMA
BIBLIOGRAFÍA:
TOPOGRAFÍA:
- Francisco Domínguez García-Tejero.
"TOPOGRAFÍA ABREVIADA". MADRID. Dossat. 1.974.
- Fernando Martín Asín.
"GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA". MADRID. Paraninfo. 1.983.
- José Luis Ojeda Ruiz.
"MÉTODOS TOPOGRÁFICOS".
- Rafael Ferrer Torio y Benjamín Piña Patón.
"FOTOGRAMETRÍA". SANTANDER. E.T.S.I.C.C. y P.. 1.986.
"Actividades de campo y de gabinete". SANTANDER. E.T.S.I.C.C. y P.. 1.987.
GEOTECNIA:
José Antonio Jiménez Salas.
"GEOTECNIA". Tomos I, II, III.
José Calavera.
"CALCULO DE ESTRUCTURAS DE CIMENTACIÓN".
ESTRUCTURAS:
Avelino Samartín Quiroga.
"APUNTES DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS".
"APUNTES DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS".
"CALCULO MATRICIAL".
Jiménez Montoya.
"HORMIGÓN ARMADO".
9
INTRODUCCION
ÍNDICE
1.- INTRODUCCIÓN. NECESIDAD Y OBJETO DE LA TOPOGRAFÍA.
1.1.- OBJETIVOS Y CONTENIDO BÁSICO.
- Objeto de la TOPOGRAFÍA.
- Cartas, mapas y planos.
- Escalas.
1.2.- LIMITES DE LA PERCEPCIÓN VISUAL.
1.3.- LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS.
- Clasificación.
- Sistemas básicos de representación.
- Distancia geométrica y reducida.
- Planos acotados.
- Partes de un levantamiento.
- Métodos topográficos.
- Influencia de la esfericidad terrestre.
1.4.- GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
- La forma de la Tierra.
- Redes geodésicas.
- Determinación del elipsoide.
1.5.- TOPOGRAFÍA Y LA INGENIERÍA.
- Campo de acción.
- Aplicaciones generales, en particular,
a la ingeniería eléctrica.
APÉNDICE 1.
A1.1. FOTOGRAFÍAS DE DISTINTOS TRABAJOS
T1 - 1
INTRODUCCIÓN
1.1.- OBJETIVOS Y CONTENIDO BÁSICO.
- Objeto de la TOPOGRAFÍA: es el estudio de los métodos necesarios para llegar a representar un
terreno con todos los detalles naturales o creados por la mano del hombre, así como el conocimiento y manejo de
los instrumentos que se precisan para tal fin.
- Mapas: Toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que, por la extensión y
debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de transformación
propios de la Cartografía.
Cartas: Son mapas marinos, utilizados para la navegación (características del mar_).
Planos: Es la representación gráfica que por la escasa extensión de superficie a que
se refiere no exige hacer uso de los sistemas cartográficos, se apoyen o no los trabajos en la geodesia.
- Escalas: Relación PAPEL / REALIDAD.
Mapa Nacional: 1/50.000(1/25.000) Menores ajenos a la Topografía.
Planos: 1/10.000; 1/5.000; 1/2.000; 1/1.000; 1/500 (1/100 Detalle)
Catastro Parcelario: 1/10.000; 1/5.000; 1/2.000
1.2.- LIMITES DE LA PERCEPCIÓN VISUAL.
0,2 mm.
_
1.3.- LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS.
- Definición: Conjunto de operaciones necesarias para representar topográficamente un terreno.
- Clasificación:
- Regulares: con instrumentos más o menos precisos con un fundamento científico.
- Precisión: Instrumentos y métodos en relación con la escala
adoptada.
- Expedito: En caso contrario.
- Irregulares: instrumentos elementales y métodos intuitivos.
- Sistemas básicos de representación. Geometría Descriptiva.
Perspectivas: Axonométrico, Cónico.
Métricos: Diédrico, ACOTADO.
- Planos acotados.
- Distancia geométrica: Distancia real entre dos puntos, según la recta que los une.
- Distancia reducida: Distancia en proyección.
T1 - 2
INTRODUCCION
- Desnivel: Diferencia de cotas de los extremos.
- Pendiente de una recta: tangente trigonométrica del ángulo que forma con el plano
de comparación. El inverso se llama Módulo o intervalo.
- Partes de un levantamiento.
- Proyección horizontal: Planimetría.
- Cota: Altimetría.
- Proyección horizontal y cota: Taquimetría.
* Trabajos de campo y de gabinete.
- Métodos topográficos.
- Planimétricos: Intersección (Triangulación), Itinerario (Poligonales) y Radiación
(Relleno).
- Altimétricos: Nivelación Geométrica y N. Trigonométrica.
- Influencia de la esfericidad terrestre.
- Planimetría: Convergencia de los meridianos_
- Altimetría: Convergencia de las superficies equipotenciales_
1.4.- GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
- La forma de la Tierra.
Reseñas históricas:
- Aristóteles (550 a.J.C.) redondez de la Tierra.
- Eratóstenes (250 a.J.C.) Radio de la Tierra, longitud y amplitud de un meridiano entre Siena y
Alejandría.(La longitud estimada de la circunferencia 40.000 Km con un error de 600 Km).
- Newton 1.687: gravedad es normal a la superficie en todos los puntos. Datum: normal del geoide
y elipsoide coinciden.
- Satélites Artificiales.
NASA: Vanguard I, II, III.
- Método geométrico
Triangulación → Tetraedrización
Rayos Laser: 1500, 4000, 7000 Km
1964
SAO
1967
VEIS
- Elipsoide internacional: a = 6.378.142 ± 6 m.
- Aplanamiento Terrestre: α = (a-b)/a = 1/(298,255 ± 0,005)
T1 - 3
INTRODUCCIÓN
Planisferios: Curvas de nivel cada 10 a 10 metros
España: Abultamiento del geoide de 51 m.
A 40° de latitud, según el elipsoide de Struve, el radio es de 6.375 Km.
- Redes geodésicas.
- Determinación del elipsoide. Latitud y longitud geodésicas (elipsoide). Latitud y longitud
astronómicas (geoide)
1.5.- TOPOGRAFÍA Y LA INGENIERÍA.
- Campo de acción.
- Aplicaciones generales y, en particular, a la ingeniería eléctrica.
T1 - 4
INTRODUCCION
APÉNDICE 1.1
FOTOGRAFÍAS DE DISTINTAS OBRAS
T1 - 5
ERRORES
ÍNDICE
2.- TEORÍA DE ERRORES.
2.1.- NECESIDAD DE SU ESTUDIO: PRINCIPALES CAUSAS.
2.2.- ERRORES.
2.2.1.- ERRORES Y EQUIVOCACIONES.
2.2.2.- ERRORES SISTEMÁTICOS Y ACCIDENTALES.
2.2.3.- ERRORES VERDADEROS Y APARENTES.
2.3.- HIPÓTESIS PREVIAS.
2.4.- LA MEDIA ARITMÉTICA. PROPIEDADES.
2.5.- CONCEPTO DE PRECISIÓN.
2.6.- FORMAS USUALES DE ERROR: probable, medio aritmético, máximo, medio cuadrático.
RELACIONES.
2.7.- COMPOSICIÓN Y TRANSMISIÓN DE ERRORES.
2.7.1.- Introducción.
2.7.2.- Error en una suma.
2.7.3.- Error en un producto.
2.7.4.- Error de una media.
2.7.5.- Error de la media ponderada.
2.8.- UNIDADES DE MEDIDA.
2.8.1.- Unidades de ángulos.
2.8.2.- Unidades de longitud.
2.8.3.- Unidades de superficie.
2.8.4.- Unidades de volumen.
APÉNDICE 2
A2.1.- TOLERANCIAS EN INGENIERÍA CIVIL
A2.2.- EJEMPLOS DE ESTADÍSTICA
A2.3.- PLANTILLAS PARA TRABAJOS DE CAMPO
T2 - 1
ERRORES
2.- LOS ERRORES Y SUS CAUSAS.
Toda técnica de medida está sometida a la inevitable dependencia de los ERRORES.
2.1.- Principales causas:
1.- El límite de precisión del propio instrumento de medida.
2.- La limitación de los sentidos.
3.- Condiciones ambientales.
Instrumentales.
Humanas.
Naturales.
TOPOGRAFÍA ________ MEDIR _______
ÁNGULOS Necesidad de
DISTANCIAS
su estudio.
2.2.- ERRORES.
Los principales tipos de error son:
2.2.1.- GROSEROS O EQUIVOCACIONES.
No son admisibles y se eliminan por medio de
- controles.
- verificaciones.
2.2.2.- SISTEMÁTICOS.
En operaciones escalonadas se acumulan. Son evitables:
- por un método de trabajo, sin necesidad de conocerlos.
Se corrigen:
- por un método de trabajo, por correcciones complementarias.
2.2.3.- ACCIDENTALES.
Provienen de la combinación de todas las causas posibles son evaluables y puede establecerse algún tipo de
acotación.
T2 - 2
ERRORES
2.3.- HIPÓTESIS PREVIAS.
- Los errores son más probables cuanto más pequeños.
- La suma de los productos binarios es despreciable.
2.4.- LA MEDIA ARITMÉTICA. PROPIEDADES.
Concepto de media aritmética.- Se define como media aritmética a la suma de todos los valores obtenidos de la
magnitud medida, dividida por el número de medidas realizadas.
Mediciones: m1, m2, m3, ..., mn.
Concepto de media:
M=
m1 + m2 + ... + mn
n
Propiedades de la media aritmética.
1.- La suma de los errores o residuos obtenidos es cero, denominando residuo a la diferencia de cada valor respecto
de la media.
residuos: ξ´1, ξ´2, ξ´3, .... ξ´n
ξ´1 = M-m1
ξ´2 = M-m2
ξ´3 = M-m3
...
ξ´n= M-mn
sumando m. a m.:
ξ´1+ ξ´2+ ξ´3+ .... + ξ´n = M + M + M + ... + M - ( m1+ m2+ m3+ ...+ mn) = M*n - M*n = 0
Σ ξ´i= 0
2.- Si la suma de los cuadrados de los errores o residuos es mínima, el valor más probable es la media aritmética de
los valores de la magnitud medida.
residuos: ξ´1, ξ´2, ξ´3, .... ξ´n
ξ ´12 = (M-m1)2
ξ ´22 = (M-m2)2
ξ ´32 = (M-m3)2
...
ξ ´n2 = (M-mn)2
T2 - 3
ERRORES
ξ ´12 + ξ ´22 + ξ ´32 +...+ ξ ´n2 = (M-m1)2+(M-m2)2+(M-m3)2+...+(M-mn)2
Σ ξ ´i2 = (M-m1)2 + (M-m2)2 + (M-m3)2 +... + (M-mn)2
Para que esta expresión sea mínima, ha de anularse la primera derivada:
2(M-m1)+ 2(M-m2)+ 2(M-m3) +... + 2(M-mn)= 0
M*n - ( m1+ m2+ m3+ ...+ mn) = 0
M=
m1 + m2 + ... + mn
n
La media aritmética de una serie de valores, tomada para caracterizar a dicha magnitud, equivale a considerar que la
suma de los cuadrados de los residuos es mínima: La media aritmética es el valor más probable de las medidas
efectuadas.
2.5.- CONCEPTO DE PRECISIÓN.
Se define como precisión en una serie de medidas, el grado de acercamiento obtenido respecto del valor real.
Considerando este concepto, parece natural utilizar para su medida el valor:
Σ ξ´i2
ya que caracteriza la precisión de las medidas efectuadas.
Cuanto más pequeña sea dicha suma más próximos estarán entre sí los valores mi y más garantía tendrá el valor M.
Por la misma razón es igualmente normal medir la precisión de cada una de las observaciones realizadas por la
expresión:
∑ξ
´2
i
n
Si los errores disminuyen, la precisión aumenta.
2.6.- FORMAS USUALES DEL ERROR.
Al disponer de una serie de medidas de una determinada magnitud, frecuente emplear diversas formas del error.
1.- ERROR PROBABLE: es aquél que tiene su posición centrada una vez ordenados por su magnitud, prescindiendo
del signo.
2.- ERROR MEDIO ARITMÉTICO: es la media aritmética de todos los errores conocidos, prescindiendo del signo.
T2 - 4
ERRORES
3.- ERROR MÁXIMO: es el error que marca la barrera de la tolerancia. Suele tomarse un valor del error medio
cuadrático, normalmente 2,5.
4.- ERROR MEDIO CUADRÁTICO. Si se considera una serie de errores reales respecto del verdadero valor de la
magnitud que evalúa, se define como error medio cuadrático:
∑ξ
ec =
´2
i
n
Al no conocer los errores reales se utiliza otra expresión en función de los errores aparentes obtenidos respecto de la
media M.
∑ξ
ec =
Errores:
´2
i
n −1
ξi verdadero ................ X
ξ´i aparente .............. M
* Expresiones iniciales.
ξ1= X-m1
ξ2= X-m2
ξ´1= M-m1
ξ´2= M-m2
ξ3= X-m3
...
ξ´3= M-m3
...
ξn= X-mn
ξ´n= M-mn
* Restando ordenadamente.
ξ1- ξ´1= X-M
ξ1= ξ´1+ (X-M)
ξ2- ξ´2= X-M
...
ξ2= ξ´2+ (X-M)
...
ξn- ξ´n= X-M
ξn= ξ´n+ (X-M)
* Elevando al cuadrado.
ξ12= ξ´12 + (X-M)2+ 2 ξ´1 (X-M)
ξ22= ξ´22+ (X-M)2+ 2 ξ´2 (X-M)
...
ξn2= ξ´n2+ (X-M)2+ 2 ξ´n(X-M)
T2 - 5
ERRORES
*Sumando miembro a miembro.
Σ ξi2 = Σ ξ´i2 + n (X-M)2 + 2 (X-M) Σ ξ´i
Σ ξ´i= 0
Σ ξi2 = Σ ξ´i2 + n (X-M)2
Por otra parte, sumando las expresiones:
ξ1- ξ´1= X-M
ξ2- ξ´2= X-M
...
ξn- ξ´n= X-M
Σ ξi - Σ ξ´i = Σ ξi = n (X-M)
∑ξ
X −M =
i
n
elevando al cuadrado:
( X − M )2 = ∑ 2 i
ξ2
n
Σ ξi ξ´j = 0
∑ξ
= ∑ ξi
2
i
∑ξ
´2
i
´2
ξ
+n∑
2
i
n2
⎛ 1⎞
2
= ⎜1 − ⎟ ∑ ξ i
⎝ n⎠
∑ξ
2
=
i
n
∑ξ
´2
i
n −1
Error medio cuadrático:
ec =
∑ξ
´2
i
n −1
=
∑ξ
2
i
n
Una vez definido el error medio cuadrático se define el error de la media al cociente:
ec =
m
Error _ medio _ cuadrático
n
T2 - 6
ERRORES
ec =
m
∑ξ
´2
i
n(n − 1)
T2 - 7
ERRORES
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Al cerrar una nivelación de 4 Km. de longitud se obtienen las siguientes cotas para el punto final:
128,351 m.; 128,353 m.; 128,350 m.; 128,354 m.; 128,351 m. Se pide:
1.- ¿Qué valor se adoptaría?.
2.- ¿Cuál será el error medio cuadrático?.
3.- Hallar la precisión de la medida.
2.- En el caso anterior definir:
1.- La gráfica de la función de distribución.
2.- La desviación típica.
3.- La probabilidad de que la cota sea 128,352 m.
T2 - 8
ERRORES
Ejemplo.- Calcular los errores medios cuadráticos de una observación aislada, error máximo y error medio
cuadrático de la media de una serie de valores angulares, medidos con un teodolito centesimal.
Acimutales
61g
31m
32s
31
61g
30m
80s
06
31
20
31
10
31
00
30
86
30
90
31
02
31
10
31
26
31
44
1.- Se evalúa el valor de la media de las lecturas n = 12, y sus residuos ξ´.
ξ'i
ξ'i2
61g
31m
32s
-23
529
61g
31
06
+3
9
31
10
-1
1
30
86
+23
529
31
02
+7
49
31
26
-17
289
30m
80s
29
841
31
20
-11
121
31
00
+9
81
30
90
+19
361
31
10
-1
1
31
44
-35
1225
0
4036
2.- La media es M = 61g 31m 09s.
3.- El error medio cuadrático de una observación aislada es:
ec =
∑ξ
´2
i
n −1
=
4036
= 19 s
11
4.- El error máximo es: ea = 2,5 x ec = 2,5 . 19s = 47s
Revisando la tabla se observa que no hay ninguna lectura con un residuo mayor que el error máximo, por lo cual
no hay que rehacer el cálculo de la media, ni de los errores anteriores.
5.- Error medio cuadrático de la media (precisión):
19 s = 6 s
em
c =
12
6.- El valor del acimut calculado es: 61g 31m 09s± 6s
T2 - 1
ERRORES
La evaluación de los errores en las lecturas se puede abordar también de forma estadística como refleja en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo.- Se ha medido un ángulo cenital con un teodolito centesimal en 36 lecturas, cuyos resultados han dado
los siguientes valores:
137g
44m,633
44m,700
44m,633
44m,644
44m,644
44m,644
44m,644
44m,700
44m,644
44m,644
44m,603
44m,633
44m,700
44m,700
44m,603
44m,644
44m,700
44m,603
44m,644
44m,644
44m,644
44m,667
44m,603
44m,808
44m,644
44m,633
44m,700
44m,700
44m,644
44m,644
44m,603
44m,644
44m,667
44m,644
44m,700
44m,644
1.- Se agrupan los datos:
Datos
137g
Frecuencia
Residuo(m)
5
0,052
4
0,022
44m,644
44m,667
16
0,011
2
-0,012
44m,700
44m,808
8
-0,045
1
-0,153
44m,603
44m,633
36
Residuo al cuadrado(m2)
0,0522 x 5 = 0,01352
0,0222 x 4 = 1,936 E-3
0,0112 x 16 = 1,936 E-3
(-0,012)2 x 2 = 2,88 E-4
(-0,045)2 x 8 = 0,0162
(-0,153)2 x 1 = 0,023409
0,057 m2 = 0,00057 g2
La media es: 137,44655.
La desviación típica es:
σ=
0,00057
= 0,004 g
35
La distribución a que obedecen estos datos es una normal(campana de Gauss). Así se puede calcular la
probabilidad de que un valor esté comprendido entre otros dos, por ejemplo, entre 137,44606 y 137,44808:
137,44606 > Za=(X1-M)/σ = (137,44606 - 137,44655)/ 0,004 = -1,225
137,44808 > Zb=(X2-M)/σ = (137,44808 - 137,44655)/ 0,004 = 3,825
Del cuadro de valores tipificado de la distribución normal N(0,1) se obtendría (ver gráfica):
1,0 - 0,8888 = 0,1112
T2 - 2
ERRORES
0,9990
Pr = 0,999 - 0,1112 = 0,89 = 89%
También se podría deducir la probabilidad de tener una medida inferior a un valor preestablecido, por ejemplo,
137,4450:
137,4450 > Zc=(X3-M)/σ = (137,4450 - 137,44655)/ 0,004 = -3,875
Pr = 1 - 0,9999 = 0,0001 = 0,01%
O también se podría deducir la probabilidad de tener una medida superior a un valor preestablecido, por
ejemplo, 137,44722:
137,44722 > Zd=(X4-M)/σ = (137,44722 - 137,44655)/0,004 = 1,67
Pr= 0,5 + 0,4525 = 0,9525 > Pr = 1 - 0,9525 = 0,0475 = 4,75%
RELACIÓN ENTRE LOS ERRORES DEFINIDOS.
Error probable -------------- ep
Error medio aritmético ------
ea
Error máximo ---------------- em
Error medio cuadrático ------
ec
Cuando se dispone de un número suficientemente grande de medidas de una magnitud es fácil comprobar que se
verifican las siguientes relaciones.
em ≈ 2,5 ec ≈ 3 ea ≈ 4 ep
Por otra parte, los errores ea, ec y ep están relacionados con la medida o módulo de precisión por las siguientes
relaciones.
ep =
2ec
3
em = 4 e
T2 - 3
ERRORES
2.7.- COMPOSICIÓN O TRANSMISIÓN DE ERRORES.
2.7.1.- INTRODUCCIÓN.
Sea A una cantidad a determinar que es función de otras varias: x, y, z, ligadas por una función: A = f(x,y,z)
Sean dx, dy, dz, los errores respectivos de las medidas x, y, z. Se demuestra que el error medio cuadrático de A
está dado por la expresión:
2
⎡ ∂f ⎤
⎡ ∂f ⎤
⎡ ∂f ⎤
eA = ⎢ ⎥ dx 2 + ⎢ ⎥ dy 2 + ⎢ ⎥ dz 2
⎣ ∂z ⎦
⎣ ∂x ⎦
⎣ ∂y ⎦
2
2
2.7.2.- ERROR EN UNA SUMA.
A=x+y+z
∂f
∂f
∂f
=1
=1
=1
∂x
∂y
∂z
eA = dx 2 + dy 2 + dz 2
eA = e1 + e2 + e3
2
2
2
Si uno de los sumandos tiene un valor pequeño frente a los restantes, puede despreciarse.
2.7.3.- ERROR EN EL PRODUCTO.
A = X + X + X + .... + X
A= n X
eA = n dx 2 = n dx = e n
2.7.4.- ERROR DE UNA MEDIA.
A=
x + y + ... + z
n
∂f ∂f
∂f 1
=
= ... =
=
∂x ∂y
∂z n
eA =
n dx 2
dx
e
=
=
2
n
n
n
2.7.5.- ERROR DE LA MEDIA PONDERADA.
La media es el valor más probable de una serie de medidas, que están realizadas con la misma precisión.
En el caso de realizar mediciones con diferente precisión aparece un nuevo concepto: media ponderada.
T2 - 4
ERRORES
Si para una cantidad M se han obtenido una serie de valores, con distintas precisiones, conlleva considerar a
cada medición de un peso.
Medida
Peso
M1
M2
P1
M3
...........
P3
.........
Mn
Pn
P2
Media Ponderada =
P1M 1 + P2 M 2 + ... + Pn M n
P1 + P2 + ... + Pn
T2 - 5
ERRORES
Ejemplo.- Se desea determinar la media ponderada de un ángulo medido con distintos aparatos, habiéndose
obtenido los siguientes resultados con cada uno de ellos:
a.- Cinco veces, con una media M1=144° 22' 57,9'' y un error medio cuadrático de
1= ± 2''.
b.- Cuatro veces, con una media M2=144° 22' 58,8'' y un error medio cuadrático de 2= ± 4''.
c.- Quince veces, con una media M3=144° 22' 59,4' y un error medio cuadrático de
3= ± 3''.
1.- El error medio cuadrático de cada media es:
ec1m =
2' '
= 0,894 ' '
5
ec2 m =
4' '
= 2' '
4
ec3m =
3' '
= 0,774 ' '
15
2.- Los pesos son:
P1 = 1/(ec1m)2 = 5/4
P2 = 1/(ec2m)2 = 1/4
P3 = 1/(ec3m)2 = 15/9
3.- Se hace uno de los pesos la unidad:
P1 = 4 . 5/4 = 5
P2 = 4 . 1/4 = 1
P3 = 4 . 15/9 = 6,7
de donde se deduce que P1 es 5 veces más preciso que P2, y P3 es 6,7 veces más preciso que P2.
La media ponderada sería, considerando solo los segundos:
Mp= (57,9 x 5 + 58,8 x 1 + 59,4 x 6,7)/(5+1+6,7)= 58,8''
Mp= 144° 22' 58,8''
El valor de la media ponderada es más preciso que el que se obtendría directamente con las 24 medidas de
campo:
ξ
ξ2
P
P ξ2
57,9-58,8=-0,9
0,81
5,0
4,05
58,8-58,8=0 0,00
1,0
0,00
59,4-58,8=0,6
0,36
6,7
2,40
ΣP = 12,7
ΣP ξ2 = 6,5
T2 - 6
ERRORES
∑ P .ξ
(n − 1)∑ P
´2
emp =
i
i
i
Mp= 144° 22' 58,8'' ± 0,5 ''
T2 - 7
ERRORES
Ejemplo.- Para la valoración de una medida se han realizado dos series de lecturas agrupadas en las dos
columnas. ¿Cuál sería la media ponderada?.
A
B
625
626
623
624
624
627
627
626
624
625
1.- Las medias son:
MA= 624,6
MB= 625,75
A
ξ'
ξ'2
B
ξ'
ξ'2
625
-0,33
0,111
626
-0,25
0,062
623
1,66
2,777
624
1,75
3,062
624
0,66
0,444
627
-1,25
1,562
627
-2,33
5,444
626
-0,25
624
0,66
0,444
0,062
Σ ξB'2 = 4,748
625
-0,33
0,111
Σ ξA'2 = 9,333
La media cuadrática:
ξ mc ( A) =
9,333
= 1,3662
5
ξ mc ( B ) =
4,748
= 1,258
3
Para la serie A:
emáx. = 2,5 . 1,3662 = 3,415
eprob.(A) = 1,366 . 0,625 = 0,8538
Para la serie B:
emáx. = 2,5 . 1,258 = 3,145
eprob.(B) = 1,258 . 0,625 = 0,7862
luego:
ξ M ( A) =
1,3662
= 0,5577
6
ξM ( B) =
MA=624,6 ± 0,5577
PA =
MB=625,75 ± 0,625
1
= 3,2151
0,5577 2
MP =
1,258
= 0,625
4
PA =
1
= 2,56
0,6252
624,6 x3,2151 + 625,75 x 2,56
= 625,109
3,2151 + 2,56
T2 - 8
ERRORES
2.8.- UNIDADES DE MEDIDA.
2.8.1.- UNIDADES DE ÁNGULOS.
CENTESIMALES.
SEXAGESIMALES.
Radianes.
2.8.2.- UNIDADES DE LONGITUD.
Metro: m.
cm.
mm.
2.8.3.- UNIDADES DE SUPERFICIE.
Metro cuadrado: m2, Centiárea.
Hectómetro cuadrado, Hectárea: Ha
2.8.8.- UNIDADES DE VOLUMEN.
Metro cúbico: m3
T2 - 9
ERRORES
APÉNDICE 1
TOLERANCIAS EN INGENIERÍA CIVIL
T2 - 10
ERRORES
APÉNDICE 2
EJEMPLOS DE ESTADÍSTICA
T2 - 11
ERRORES
APÉNDICE 3
PLANTILLAS PARA TRABAJOS DE CAMPO
T2 - 12
INSTRUMENTOS
3.- INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y ACCESORIOS. TEODOLITO.
3.1.- Elementos de los instrumentos topográficos. Objeto: medición de distancias y de ángulos.
3.2.- Elementos accesorios: Trípodes. Mecanismos de unión. Plataformas nivelantes. Tornillos de
precisión. Tornillos de coincidencia.
3.3.- Niveles: Nivel de aire. Nivel esférico. Sensibilidad del nivel. Estacionamiento de un
instrumento.
3.4.- Anteojo: Colimar. Ejes (Óptico, mecánico, colimación: Plano horizontal de colimación,
Plano vertical de colimación).
3.5.- Limbos: Ángulos (Sexagesimales. Centesimales). Nonios. Micrómetros.
3.6.- Medida de distancias: Directa (Cintas metálicas. Hilos de invar). Indirecta (Estadímetros:
constantes diastimométricas, determinación de las constantes. Miras: visuales inclinadas, lecturas de mira).
3.7.- Evaluación del error total en las punterías.
3.8.- Teodolito. Elementos constitutivos.
3.9.- Uso del teodolito: lecturas de ángulos acimutales y cenitales.
3.10.- Errores en un teodolito.
APÉNDICE
A1. TIPOS DE LECTURAS DE ÁNGULOS
A2. TEODOLITOS: SOKKISHA, WILD
A3. APLICACIONES
A4. PROGRAMA DE ORDENADOR
T3 - 1
INSTRUMENTOS
3.1.- ELEMENTOS DE LOS INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS.
OBJETO
- MEDICIÓN:
- DISTANCIAS:
MEDIDA DIRECTA
CINTAS METÁLICAS.
HILOS DE INVAR.
- ÁNGULOS.
ÁNGULOS AZIMUTALES (H) Y CENITALES (V):
- GONIÓMETROS
- ESCUADRAS
3.2.- ELEMENTOS ACCESORIOS:
TRÍPODES.
MECANISMOS DE UNIÓN.
PLATAFORMAS NIVELANTES.
TORNILLOS DE PRESIÓN.
TORNILLOS DE COINCIDENCIA.
3.3.- NIVELES:
NIVEL DE AIRE.
NIVEL ESFÉRICO.
SENSIBILIDAD DEL NIVEL.
ESTACIONAMIENTO DE UN INSTRUMENTO.
3.4.- ANTEOJO:
COLIMAR.
EJES:
ÓPTICO.
- Recta que une los centros ópticos del objetivo y del ocular.
MECÁNICO.
- Recta por el centro óptico paralela a la que describe, en el movimiento de enfoque, cualquier punto del tubo
ocular.
COLIMACIÓN.
- Recta que une el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.
PH COLIMACIÓN
PV COLIMACIÓN
3.5.- LIMBOS:
T3 - 2
INSTRUMENTOS
ÁNGULOS--SEXAGESIMAL, CENTESIMAL
NONIOS.
MICRÓMETROS.
3.6.- MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS:
ESTADIMETROS
CONSTANTES DIASTIMOMETRICAS
DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES
MIRAS:
VISUALES INCLINADAS.
LECTURAS DE MIRA.
3.7.- EVALUACIÓN DEL ERROR TOTAL EN LAS PUNTERÍAS.
Por bien diseñado y construido que esté un aparato y admitiendo una utilización extremadamente cuidadosa, es
inevitable no cometer error. Hay que controlar el error. Este control condiciona el tipo de aparato a utilizar.
Características del aparato:
- Sensibilidad: "s"
- Aumento: "a"
- Apreciación: "m"
Errores accidentales:
- Error de verticalidad
- Error de dirección
- Error de puntería
- Error de lectura
1.- Error de verticalidad.
Al situar el aparato en la estación puede no quedar matemáticamente vertical el eje principal.
Evc< s/3 (")
Eva< s/12 (")
2.- Error de dirección.
La plomada, bastón centrador o colimación con plomada óptica, no incidirá exactamente sobre el punto de
estación, ni el jalón o mira se ubica de forma perfecta sobre el punto a visar.
Ed ≤
ec + e p
D
x° = 360°/(2π) = 57,295779° = 206265"
xg = 400g/(2π) = 63,6620g = 636620s
T3 - 3
r"
INSTRUMENTOS
ec + ep =
5 cm.
plomada normal, estadía.
2,5 cm.
plomada óptica, bastón.
3.- Error de puntería.
La mira, banderola o jalón, al lanzar la visual son bisecados con el hilo vertical del retículo.
Observaciones azimutales:
Observaciones cenitales:
4.- Error de lectura.
A pesar de leer perfectamente incluso teniendo en cuenta la digitalización, siempre queda una fracción final a
estima.
5.- Error total.
Visuales azimutales: Eta ≤
2
E va2 + E d2 + E pa
+ El2 (“)
Visuales cenitales: E tc ≤
2
E vc2 + E pc
+ El2 (“)
La precaución que debe adoptarse, es la aplicación de la regla de Bessel: observación doble, con giro y vuelta de
campana, en cada punto a levantar.
Se incrementa la precisión disminuyendo el error de cada observación en 1/_2 al adoptar el valor promedio de
las dos lecturas.
Aplicándose al error El:
T3 - 4
INSTRUMENTOS
Error gráfico: 0,2 mm.
Escala del plano: E=1/M
Objetos no apreciable en el plano: 0,2 M mm.
La distancia a las que se puede realizar un trabajo topográfico con un aparato dentro de los límites de error
gráfico(ET=0,2M mm):
ET ≤
D≤
E ta (" )
D
r"
0,2 M 206,265
( m)
Eta (" )
T3 - 5
INSTRUMENTOS
Ejemplo.- Evaluar los errores totales que se obtiene con una aparato cuyas características son:
Sensibilidad: 40"
Aumento: 30
Apreciación: 20"
1.1.- Error de verticalidad:
Eva=40/12=3,33"
Evc=40/3=13,33"
1.2.- Error de dirección:
Ed=2,5*10-2 * 206265/150 = 34,4"
1.3.- Error de puntería:
Epa=(1+4*30/100)*10/30=0,73"
Epc=(1+4*30/100)*35/30=2,57"
1.4.- Error de lectura:
El=2*20/3=13,33"
1.5.- Error total acimutal:
Eta= (3,33"2 + 34,4"2 + 0,73"2 + 13,33"2 )1/2 = 37,03"
1.6.- Error total cenital:
Etc= (13,33"2 + 2,57"2 + 13,33"2 )1/2=19,03"
2.- ¿Sabría decir de qué tipo de aparato se trata?.
Es un teodolito, ya que el error es pequeño (ver punto 3.9).
T3 - 6
INSTRUMENTOS
Ejemplo a resolver.- Evaluar los errores totales que se obtiene con una aparato T 16 cuyas características son:
Sensibilidad: 30"
Aumento: 30
Apreciación: 1'
y la distancia de trabajo D para un plano a escala 1/200.
T3 - 7
3.8.- TEODOLITO.
Esquema de un teodolito:
Movimientos de un teodolito:
Movimiento general.
Movimiento relativo particular de la alidada acimutal
Movimiento relativo particular del eclinómetro o alidada cenital.
Niveles:
Alidada acimutal
Eclinómetro
Anteojo
Uniones del eje horizontal: Nivel caballero.
3.9.- USO DEL TEODOLITO.
Trabajos de máxima precisión: observaciones acimutales en las triangulaciones
con grandes distancias.
Triangulaciones geodésicas y topográficas.
Apreciación mayor de 1 minuto
T1
T2 o teodolito de segundos.
T3 triangulaciones de 2º orden.
T3 - 1
T4 triangulaciones de 1er orden; astronómico o geodésico (0,1").
Casas comerciales: Galileo, Sokkisha, Wild, Zeiss.
Red geodésica.
- 1er orden: 30 a 70 Km.
4 cadenas de meridiano (Salamanca, Madrid, Pamplona, Lérida).
3 cadenas de paralelo (Palencia, Madrid, Badajoz).
3 cadenas de costa (Norte, Este, Sur).
Base única: Madridejos(Toledo) 14622,885 m.; ep= 2,508 mm.
Bases periféricas 5: 2 a 3 Km (Lugo, Olita (Navarra), Vich (Barcelona),
Cartagena (Murcia), Arcos de la Frontera (Cádiz)).
Señalización: Macizos circulares de mampostería de 3 m. de diámetro y de 5 a 7
m. de altura.
- 2º orden: 10 a 25 Km.
Señalización: Macizos paralepipédicos de sección cuadrada 1.5 m. de lado.
- 3er orden: 5 a 10 Km.
Señalización: Macizos paralepipédicos con una inscripción cuadrada de 30 cm. de
lado.
3.10.- Disminución de los errores accidentales: Métodos de lectura.
Método de repetición: L0, L1; L0, L2; L0, L3;_
e ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 ≤ ε v2 + ε d2 +
2 2 2 2
ε p + 2 εl
n
n
Método de reiteración: L1, L2; L3, L4; L5, L6;_
e ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 ≤ ε v2 + ε d2 +
T3 - 2
(
2 2
ε p + ε l2
n
)
TAQUÍMETRO
4.- DISTANCIAS. DISTANCIOMETRO. TAQUÍMETRO.
4.1.- Métodos de evaluación de distancias
4.1.1.- Cinta (aplicaciones)
4.1.2.- Medidas indirectas
4.1.3.- Distanciómetro
4.1.3.1.- Fundamento
4.1.3.2.- Aplicación
4.1.3.3.- Manejo
4.1.3.- Fundamento de los métodos estadimétricos.
4.2.- Taquímetro.
4.3.- Uso del taquímetro.
4.4.- Desarrollo de la libreta.
4.5.- Cálculo del desnivel.
4.6.- Error longitudinal.
APÉNDICES
A1.- MEDIDA DE DISTANCIAS
A2.- CATÁLOGOS DE DISTANCIÓMETROS
A3.- LEVANTAMIENTO DE PLANOS
T4 - 1
TAQUÍMETRO
4.- DISTANCIAS. DISTANCIOMETRO. TAQUÍMETRO.
4.1.- MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE DISTANCIAS
MEDICIONES INDIRECTAS.
PRINCIPALES INSTRUMENTOS.
MEDIR:
Ángulos
Teodolitos.
DISTANCIAS
1.- TEODOLITO + ESTADÍA DE INVAR.
2.-
TAQUÍMETRO
(Métodos
estadimétricos).
3.- DISTANCIOMETRO.
EVALUACIÓN DE DISTANCIAS: FLUJOS CARACTERÍSTICOS.
4.1.1.- CINTA
APLICACIONES
T4 - 2
TAQUÍMETRO
4.1.2.- MEDIDAS INDIRECTAS
4.1.2.1.- TEODOLITO + ESTADÍA DE INVAR.
ESTADÍA HORIZONTAL DE INVAR.
Medidas de gran precisión: Bases.
Teodolito de segundos.
Mira de invar:
Aleación de Hierro-Níquel.
Buenas propiedades térmicas.
Longitud: (1-2-3) m.
4.1.3.- Distanciómetro
4.1.3.1.- Fundamento
Distanciómetro Electrónico. Medida indirecta por medio de ondas.
Medición de lados: TRILATERACIÓN.
Geodímetro. Suecia. 1948. Luz modulada.(AGA).
Telurómetro. Gran Bretaña. Microondas de radio.
Distomat. Suiza.
1962. DI-50(Wild). Rayos infrarrojos. (150 Km).
1968. DI-10(Wild).
4.1.3.2.- Aplicación
Alternativas:
Distanciómetro + Teodolito.
Equipo compacto.
T4 - 3
TAQUÍMETRO
4.1.3.3.- Manejo
Fundamento Básico del Distanciómetro.
- La radiación es modulada en intensidad, según una ley de tipo senoidal por un
oscilador de alta frecuencia.
- El haz emitido tiene una dispersión del orden de 15'
- Para medir las distancias se adopta como unidad de longitud la de la propia
onda:
- nº entero de ondas.
- una fracción de onda: importancia del desfase.
4.1.4.- FUNDAMENTO DE LOS MÉTODOS ESTADIMÉTRICOS.
Retículo disco de vidrio con dos hilos grabados.
Cruz filiar: centro del retículo (colimar)
Mira: regla graduada.
K constante DIASTIMOMETRICA
K=100
1 cm. mira _ 100 cm.= 1 m.
1 m. mira _ 100 m.
T4 - 4
TAQUÍMETRO
Tipos de Mira.
- Graduadas:
Parlantes.
Mudas.
- Material.
- Forma.
Alcance de los estadímetros:
- Apreciar con seguridad la media división de la mira.
- Límite de visibilidad:
Claridad en la mira.
Iluminación
- A simple vista( normal) la media división en una mira de doble centímetro se
aprecia a 20 m:
1 cm. se aprecia a 11 m.
0,5 cm. se aprecia a 6 m.
- A través del anteojo de "a" aumentos no se multiplican por "a" las distancias
(absorción de la luz, claridad del anteojo, aberraciones,...).
- Ejemplos de apreciación de media división.
Aumentos Día despejado
Visibilidad Media
Sol de frente
Sol de espaldas
1 cm.
2 cm.
1 cm.
2 cm.
1 cm.
2 cm.
10
100
180
140
230
80
140
20
150
245
190
285
125
200
30
200
310
250
350
170
260
T4 - 5
TAQUÍMETRO
Error relativo el que se comete a la distancia límite que permite apreciar en la mira la media
división: ε= v K/(2D); donde v es el valor de la división, K es la constante diastimométrica, D
distancia límite.
Aumentos División de la mira
Valores de K
a
v (m.)
50
100
200
250
10
0,02
0,36
0,72
-
-
0,01
0,31
0,62
-
-
0,02
0,25
0,50
1,00
-
0,01
0,20
0,40
0,80
1,00
0,02
0,19
0,38
0,77
0,96
0,01
0,14
0,29
0,58
0,73
20
30
Falta de verticalidad de la mira: ε= δ" tag α/r"
Alturas de horizonte( α )
Inclinación de la mira( δ").
30'
1°
1°30'
2°
0°
0,00
0,00
0,00
0,00
5°
0,08
0,15
0,23
0,30
10°
0,15
0,31
0,46
0,62
20°
0,31
0,62
0,93
1,25
30°
0,50
1,01
1,51
2,02
T4 - 6
TAQUÍMETRO
4.2.- TAQUÍMETRO.
Instrumento topográfico que evalúa simultáneamente ángulos y distancias.
4.3.- USO DEL TAQUÍMETRO
Determinación simultanea de la cota por métodos taquimétricos. Indicado para itinerarios.
Apreciación: 0,5 m : 2,0 m.
Graduación sexagesimal o centesimal.
Hilos:
3 (raramente 5).
4.4.- DESARROLLO DE LA LIBRETA
Uso:
1.- Medida de ángulos.
2.- Medida de longitudes.
3.- Cálculo del desnivel.
Orientación del instrumento: error de cierre.
T4 - 7
TAQUÍMETRO
4.5.- CALCULO DEL DESNIVEL
Utilización. Cálculo del desnivel ZEA entre el punto de estación (E) y otro punto del terreno
(A).
Orden:
- Altura del aparato "i".
- Lectura de mira "m".
- Evaluación del ángulo γ.
- Evaluación de la distancia D.
- Cálculo del desnivel ZEA.
1.- El terreno "ascendente".
tag γ =t/D → t=D tag γ
ZEA = t+i-m
Si se verifica i=m (cabeza de mira nula): ZEA = t
2.- El terreno es "descendente".
La expresión del desnivel obtenida, ZEA = t+i-m, es general. Así resultaría como se aprecia
en la figura:
ZEA = t-i+m
el desnivel y el término t son negativos: ZEA = -t-i+m=-( t+i-m)
T4 - 8
TAQUÍMETRO
Existen aparatos llamados AUTOCORRECTORES:
m=i
t = D tag γ
cos2α
Distancia natural D'
Para obtener la distancia natural D' sería necesario inclinar la mira para lograr una perfecta
perpendicularidad.
Así:
D'= M'N' x K
D = D' cosα= K M'N' cos α
Considerando las rectas MM' y NN' como paralelas y perpendiculares a M'N', resulta: M'N'=
MN cosα
La expresión de la distancia REDUCIDA es:
D = K MN cos2α
donde:
K es la constante DIASTIMOMÉTRICA
MN es la lectura de la mira vertical
α es el ángulo de la visual con el plano horizontal.
T4 - 9
NIVEL
5.4.- NIVEL. FUNDAMENTO.
Goniómetro Ángulos
Niveles: visuales horizontales.
Clisímetros: visuales con una cierta pendiente.
Barómetros: diferencias de presión.
Equialtímetros: medida del desnivel.
Niveles de anteojo. Tipos:
- Niveles de plano.
- Niveles de línea.
- Niveles automáticos.
Niveles expeditos: trabajos rápidos, poco precisos.
Eje del nivel: tangente al ecuador del nivel trazada en el punto central.
Retículo: disco de vidrio con dos hilos, líneas grabadas, cruz filiar, centro del retículo (colimar).
Anteojo:
Eje óptico: el centro óptico del objetivo y del ocular.
Eje mecánico: recta de centro óptico paralelo a la de cualquier punto del tubo ocular.
Eje colimación: el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.
5.4.1.- Niveles de plano.
Estacionados y bien vertical el eje del aparato describe en su giro un plano horizontal.
Modelos antiguos en desuso.
Tipos según la posición del anteojo y del nivel:
anteojo reversible y nivel fijo.
anteojo y nivel fijos.
Movimientos:
T5 - 1
NIVEL
- el del nivel.
- del retículo.
- ligero desplazamiento vertical (tornillo de elevación).
Comprobaciones:
- Eje de colimación: no varíe en puntería a diversas distancias.
Correcciones:
- Eje del nivel sea horizontal cuando la burbuja esté calada.
- Eje de colimación coincida eje óptico y eje mecánico.
- Eje de colimación paralelo al del nivel.
5.4.2.- Niveles de línea.
El eje de colimación admite ligeras inclinaciones respecto al eje de rotación aunque el eje del aparato no esté
vertical en cada visual.
5.4.3.- Niveles automáticos.
Nivelación grosera.
Mecanismo compensador: horizontal automáticamente.
5.4.4.- Miras altimétricas:
Divisiones
en milímetros.
en centímetros (no doble centímetros).
doble escala de centímetros.
5.4.5.- Niveles de alta precisión.
El error de horizontalidad se reduce a límites de casi 5".
horizontalidad: eh=s/20
puntería: ep=10(1+4a/100)/a
5.5.- CAUSAS DE ERROR.
sistemáticos: construcción y ajuste.
accidentales: horizontalidad: eh=s/3
puntería: ep=50(1+4a/100)/a
T5 - 2
NIVEL
Error Kilométrico.
125 pasos ≈ 100 metros.
Ejemplo.D = 50 m.
a = 30
s = 20''
horizontalidad: eh = s/20 = 20/20 = 1"
puntería: ep = 10(1+4a/100)/a = 0.73"
Error total: et = ( eh 2 + ep 2 )1/2 = ( 1" 2 + 0.73"2)1/2 = 1,24"
Error de lectura: el = etD/206265 = 1,24 x 50000/206265 = 0,3 mm.
Error kilométrico: ek = el(1000/D) 1/2 = 0,3(20) 1/2 = 1,35 mm.
T5 - 3
NIVEL
5.4.- NIVEL. FUNDAMENTO.
Goniómetro Ángulos
Niveles: visuales horizontales.
Clisímetros: visuales con una cierta pendiente.
Barómetros: diferencias de presión.
Equialtímetros: medida del desnivel.
Niveles de anteojo. Tipos:
- Niveles de plano.
- Niveles de línea.
- Niveles automáticos.
Niveles expeditos: trabajos rápidos, poco precisos.
Eje del nivel: tangente al ecuador del nivel trazada en el punto central.
Retículo: disco de vidrio con dos hilos, líneas grabadas, cruz filiar, centro del retículo (colimar).
Anteojo:
Eje óptico: el centro óptico del objetivo y del ocular.
Eje mecánico: recta de centro óptico paralelo a la de cualquier punto del tubo ocular.
Eje colimación: el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.
5.4.1.- Niveles de plano.
Estacionados y bien vertical el eje del aparato describe en su giro un plano horizontal.
Modelos antiguos en desuso.
Tipos según la posición del anteojo y del nivel:
anteojo reversible y nivel fijo.
anteojo y nivel fijos.
Movimientos:
T5 - 1
NIVEL
- el del nivel.
- del retículo.
- ligero desplazamiento vertical (tornillo de elevación).
Comprobaciones:
- Eje de colimación: no varíe en puntería a diversas distancias.
Correcciones:
- Eje del nivel sea horizontal cuando la burbuja esté calada.
- Eje de colimación coincida eje óptico y eje mecánico.
- Eje de colimación paralelo al del nivel.
5.4.2.- Niveles de línea.
El eje de colimación admite ligeras inclinaciones respecto al eje de rotación aunque el eje del aparato no esté
vertical en cada visual.
5.4.3.- Niveles automáticos.
Nivelación grosera.
Mecanismo compensador: horizontal automáticamente.
5.4.4.- Miras altimétricas:
Divisiones
en milímetros.
en centímetros (no doble centímetros).
doble escala de centímetros.
5.4.5.- Niveles de alta precisión.
El error de horizontalidad se reduce a límites de casi 5".
horizontalidad: eh=s/20
puntería: ep=10(1+4a/100)/a
5.5.- CAUSAS DE ERROR.
sistemáticos: construcción y ajuste.
accidentales: horizontalidad: eh=s/3
puntería: ep=50(1+4a/100)/a
T5 - 2
NIVEL
Error Kilométrico.
125 pasos ≈ 100 metros.
Ejemplo.D = 50 m.
a = 30
s = 20''
horizontalidad: eh = s/20 = 20/20 = 1"
puntería: ep = 10(1+4a/100)/a = 0.73"
Error total: et = ( eh 2 + ep 2 )1/2 = ( 1" 2 + 0.73"2)1/2 = 1,24"
Error de lectura: el = etD/206265 = 1,24 x 50000/206265 = 0,3 mm.
Error kilométrico: ek = el(1000/D) 1/2 = 0,3(20) 1/2 = 1,35 mm.
T5 - 3
METODOS PLANIMETRICOS
6.- METODOS TOPOGRAFICOS. PLANIMETRICOS.
6.1.- Agrimensura. Idea general. Método de las mediciones. Método de la descomposición en triángulos.
Método de las abscisas y ordenadas. Método de las casi perpendiculares. Método de las alineaciones.
6.2.- Coordenadas. Coordenadas cartesianas. Coordenadas generales y parciales. Convergencia de meridianos.
Cálculo de acimutes y distancias.
6.3.- Método de Radiación. Orientación de un instrumento. Desorientación de una vuelta de horizonte. Ventajas
e inconvenientes del método. Distancias máximas de radiación.
6.4.- Método Itinerario o poligonal. Diversas clases de itinerarios. Itinerario con goniómetro e itinerario con
brújula. Influencia del error angular en los itinerarios (goniómetro, brújula). Comparación de los errores
transversales de los itinerarios con goniómetro y brújula. Error lineal. Error total. Error de cierre. Desarrollo
gráfico y cálculo de los itinerarios.
6.5.- Método de intersección. Fundamento de la intersección directa. Elipse de tolerancia. Error máximo.
Longitud máxima de las visuales. Intersección gráfica. Cálculo de coordenadas. Fundamento de la intersección
inversa.
APENDICES
1.- EJEMPLOS DE BASES DE REPLANTEO.
2.- SEÑALIZACION
3.- PLANIMETROS
T6 - 1
METODOS PLANIMETRICOS
6.- METODOS PLANIMETRICOS.
Coordenadas: Cartesianas.
Relativas
Polares.
Error gráfico: 0,2 mm.
Método encadenado: error de medida; error de dibujo.
n___ 0,2 √n
6.1.- AGRIMENSURA.
Método de las mediciones.
- Escala 1/M.
- Separación máxima admisible (m.): 0,0002 M
- Triangulación con cinta o cadena y jalones:
- longitud 300 a 400 m.
- ángulos mayores de 20°(25g) menores de 160° (175g).
- Superficie:
S=
p ( p − a )( p − b)( p − c)
Descomposición en triángulos.
- Triangulación.
- Cálculo de la superficie mediante producto de (1/2) por base por altura.
T6 - 2
Absolutas
METODOS PLANIMETRICOS
Abscisa y ordenadas.
Casi perpendiculares.
La utilización de la escuadra de agrimensor.
- Triángulo rectángulo de lados 3, 4, y 5.
T6 - 3
METODOS PLANIMETRICOS
α (g )
a (m)
17
32
15
53
13
94
11
182
9
404
Alineaciones
T6 - 4
METODOS PLANIMETRICOS
6.2.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
Dos puntos en el paralelo 40°(medio de España) separados 10 Km. hay una convergencia de los
meridianos correspondientes de 4' 31'', apreciable con cualquier goniómetro.
δ" = ∆M sen{(L1+L2)/2}
siendo las latitudes L1 y L2.
T6 - 5
METODOS PLANIMETRICOS
6.3.- RADIACION.
- Fundamento.
- Orientación del aparato. Desorientación de una vuelta de horizonte.
- Transporte gráfico al plano.
- Coordenadas cartesianas.
- Ventajas:
Longitud de los radios reducida.
Rapidez; cualquier clase de terreno.
Produce errores homogéneos en el sentido radial, pero no en el perimetral.
- Error máximo elipse de tolerancia: el mayor.
- perpendicularidad.
- independencia.
- Error gráfico: eg= 0,2 mm.
- Escala del plano: 1/M
- Error angular acimutal: eta (s).
El error máximo del aparato es igual al de dirección acimutal en una brújula
pues se autoorienta; en caso de un taquímetro orientado hay que visar dos direcciones: una para radiar y otra
para orientar (e <ea√2)
- Error transversal: eT < eta(s)D/r(s)
- Error lineal relativo: ξ
- Error longitudinal: ξL < ξ D
- D= mínimo(DT,DL):
DT= eg M r(s) / eta(s)
DL= eg M / ξ
- Error total de radiación: eR = Máximo ( eta, ξ )
T6 - 6
METODOS PLANIMETRICOS
Ejemplo.- Se quiere realizar una radiación para un plano a escala 1/1.000, con una taquímetro con un anteojo de
30 aumentos, una constante estadimétrica 100, una apreciación de 20s y cuyo nivel tiene una sensibilidad de
40s.
1.- Error acimutal:
1.1.- Error de verticalidad:
ev= ss/12= 40s/12= 3s,3
1.2.- Error de dirección: con plomada óptica(2,5 cm). Tomando un valor pequeño de la distancia
de radiación: 50 m.
ed= (ee+es)rs/D= 0,025 636620/50= 318s,3
1.3.- Error de puntería:
ep= 30s(1+4a/100)/a= 30(1+4x30/100)/30= 2s,2
1.4.- Error de lectura: en el caso de una brújula se hace la lectura de las dos puntas el valor sería
el promedio y el error se divide en √2.
el= 2m/3=2x20/3= 13s,3
El error por dirección acimutal es:
ea= (ev2 +ed2 +ep2 +el2) 1/2 = ( 3s,32 + 318s,32 + 2s,22 + 13s,32)1/2
ea= 318s,6
La distancia de radiación por razón del error transversal es:
DT≤ eg M r(s)/eta(s) = 0,2 . 1000 . 636620/318,6 = 399,6 m.
2.- Error lineal:
2.1.- Error relativo en la medida de distancias, por métodos estadimétricos y con mira con
divisiones en centímetros (figura 2):
ed= 0,25%=0,0025
2.2.- Error por inclinación de la mira 7g (figura 3):
El error lineal es:
em= 0,17%=0,0017
ξ = ( 0,252+ 0,172)1/2= 0,30
El error longitudinal es:
ξL = ξ D = eg M = 0,2 1000 = 0,2 m.
D< eg M/ ξ = 0,2/0,0030= 66,7 m.
La distancia por razón del error longitudinal es:
Luego la distancia de radiación es Min (399.6, 66.7) = 66.7 m.
El error de radiación es:
eR = Máximo (eta, ξ)= Max.(( 318,6/636620); 0,0030)= 0,0030
T6 - 7
METODOS PLANIMETRICOS
6.4.- METODO ITINERARIO.
6.4.1.- ITINERARIO O POLIGONAL
- Estaciones.
- Ejes.
6.4.2.- DIVERSAS CLASES DE ITINERARIOS
- Clases: principio-final.
Abierto.
Cerrado:
principio y final conocidos: Encuadrado.
Final desconocido: Colgado.
Error de cierre.
- Elementos: Goniómetro.
Brújula.
- Aparatos:
Orientados.
No orientados.
- Estaciones: Recíprocas.
Alternas.
T6 - 1
METODOS PLANIMETRICOS
6.4.3.- INFLUENCIA DE LOS ERRORES ANGULARES EN LOS ITINERARIOS CON GONIOMETRO.
- Error del angular del aparato: ea
- Número de tramos del itinerario: n
- Longitud del itinerario: L
- El error total es:
T6 - 2
METODOS PLANIMETRICOS
Ejemplo.- Sea un taquímetro con 26 aumentos, una sensibilidad de 1m y una apreciación de 20s. Error
admisible: 0,8m.
1.- Distancia máxima: 185 m.
2.- Error angular:
2.1.- Error de verticalidad: ev=s/12=100/12=8,3s
2.2.- Error de dirección: ed=0,025*636625/185=68,8s
2.3.- Error de puntería: ep= 30(1+4a/100)/(a√2)
2.4.- Error de lectura: el=2m/(3√2)=9,4s
ea=( ev2+ ed2 + ep2 + el2 )1/2 =70,0s
3.- Error por itinerario:
et≤ l ea √2 [n (n+1) (2n+1) /6 ]1/2=
= 185 . 70/636620 √2 [n (n+1) (2n+1) /6 ]1/2≤ 0,8
n (n+1) (2n+1)_4639,9
n=12 _ et≤0,73 m.
n=13 _ et≤0,82 m.
4.- Error de distancia:
4.1.- Tanto por ciento de error en la distancia: 0,25%.
4.2.- Inclinación de la mira 7g: 0,17%
4.3.- Mediciones: 4
el=(0,252 +0,172 )1/2/√4= 0,15%=0,0015
el= 954,93s>ea
eT ≤ l el √n=185 . 0,0015 √n ≤ 0,8
n=8
8*185 = 1480 ≈ 1500 m.
La longitud máxima para un itinerario es de 1500 m, el número de tramos a lo sumo 8 y la longitud de cada
tramo no mayor de 185 m.
T6 - 3
METODOS PLANIMETRICOS
6.4.4.- INFLUENCIA DE LOS ERRORES ANGULARES EN LOS ITINERARIOS CON BRUJULA.
- Error del angular del aparato: ea
- Número de tramos del itinerario: n
- Longitud del itinerario: L
- El error total es:
T6 - 4
METODOS PLANIMETRICOS
Ejemplo.- Sea un brújula con 20 aumentos, una sensibilidad de 2m y una apreciación de 25m. Error admisible:
0,8m.
1.- Distancia máxima: 155 m.
2.- Error angular:
2.1.- Error de verticalidad: ev=s/12=200/12=16,7s
2.2.- Error de dirección: ed=0,05*636625/155=205,4s
2.3.- Error de puntería: ep= 30(1+4*20/100)/20=2,7s
2.4.- Error de lectura: el=2*2500/(3√2)=1178,5s
2.5.- Mediciones:2(rumbo directo e inverso)
ea=( ev2+ ed2+ ep2+ el2)1/2/√2= 846,0s= 846,0/636620
ea= 0,00133
3.- Error de distancia:
3.1.- Tanto por ciento de error en la distancia: 0,30%.
3.2.- Inclinación de la mira 7g: 0,17%
3.3.- Mediciones: 2
el=(0,302 +0,172 )1/2/√2= 0,24%=0,0024
e= max (el,ea)
4.- Error por itinerario:
eT≤ l e √n=155 0,0024 √n≤ 0,8
n=4 _ eT≤ 0,74 m.
n=5 _ eT≤ 0,83 m.
n=5
5*155=775 ≈ 800 m.
La longitud máxima para un itinerario es de 800 m, el número de tramos a lo sumo 5 y la longitud de cada tramo
no mayor de 155 m.
T6 - 5
METODOS PLANIMETRICOS
Hay que destacar que si fueran 11 tramos de 100 m, la longitud alcanzada es de 1100 m. y el error es de eT≤
0,80 m..
6.4.5.- COMPARACION DE LOS ERRORES TRANSVERSALES DE LOS ITINERARIOS CON
GONIOMETRO Y BRUJULA.
- Los errores máximos por dirección de:
goniómetro: eat.
brújula: eab.
- Igualando los errores del itinerario se obtiene el número de tramos del itinerario en que da igual
el tipo de aparato:
Ejemplo.- Los errores máximos por dirección para un taquímetro es 1,5s y para una brújula es 13,5s; el número
de tramos en que los errores angulares totales son iguales es:
n= (1,2 13,5/1,5)-1= 9,8
Con diez tramos o más se comete menos error con la brújula y el taquímetro para menos.
T6 - 6
METODOS PLANIMETRICOS
6.4.6.- ERROR LINEAL
El error lineal o longitudinal será debido a la medida de distancias:
- Error relativo: ε.
- Número de tramos del itinerario: n
- Longitud del itinerario: L
El error en un tramo será:
Luego, en los n tramos resulta:
6.4.7.- ERROR TOTAL.
- Los errores angulares son perpendiculares a los longitudinales.
- Los errores angulares y longitudinales son independientes.
- Conclusión: el error total es igual al mayor de los dos.
6.4.8.- ERROR DE CIERRE.
6.4.9.- DESARROLLO GRAFICO.
- Error de cierre: e-e'.
- Tolerancia del error de cierre gráfico:
T≤ 0,2 mm.√n
T6 - 7
METODOS PLANIMETRICOS
- Compensación gráfica:
1.- Afinidad.
1.1.- División de el segmento e-e' en partes como tramos.
1.2.- Paralelas al segmento e-e' por todas las estaciones.
1.3.- Unión ascendente desde la estación origen a la extrema.
2.- Homotecia
2.1.- Papel transparente extremos inicial(a) y final(e).
2.2.- Girar el papel entorno a (a) hasta que coincida el radio a-e, con el e-e'; éste se dividirá en
tantas partes como tramos.
2.3.- Unión de las estaciones intermedias con (a); se tomará tantas partes como tramos menos
uniéndose los extremos.
2.4.- Deshaciendo el giro a continuación.
T6 - 8
METODOS ALTIMETRICOS
7.- MÉTODOS ALTIMÉTRICOS.
7.1.- Superficies de nivel. Cotas, altitudes y desniveles. Corrección por
esfericidad. Corrección por refracción. Corrección conjunta de la esfericidad y refracción.
Clasificación de los métodos altimétricos.
7.2.- Nivelaciones geométricas: Nivelación simple (Métodos punto medio, punto
extremo, estaciones recíprocas, equidistantes, estaciones exteriores). Nivelación compuesta.
Error de cierre. Error kilométrico.
7.3.- Nivelaciones trigonométricas: Nivelación simple. Error por falta de
verticalidad de la mira. Error de cierre. Error kilométrico.
7.4.- Nivelaciones barométricas.
T7 - 1
METODOS ALTIMETRICOS
7.1.- SUPERFICIES DE NIVEL.
- "esféricas".
(Topografía) - "equidistantes".
- "paralelas".
COTAS: Alturas sobre un plano de comparación.
ALTITUD: Cota sobre el nivel del mar. Nivel medio del mar en Alicante.
DESNIVEL: Diferencia de cotas.
CORRECCIÓN ORTOMÉTRICA: Falta de paralelismo entre las superficies de nivel.
Consideraciones:
- La forma de las superficies definidas como equipotenciales depende de la
aceleración de la gravedad.
- Aceleración de la gravedad no es constante.
- El movimiento de giro alrededor del eje polar: Fuerza centrífuga.
- La aceleración de la gravedad crece con la latitud.
La corrección será negativa en los recorridos en que aumente la latitud y negativa en sentido
contrario. Altitudes Ortométricas.
ORDEN DE MAGNITUD DE LA CONVERGENCIA:
Entre las superficies 0 a 100 m es de unos 50 cm. desde el Ecuador hasta los Polos.
Cotas GEOPOTENCIALES: Trabajo necesario para elevar hasta ellas la unidad de masa.
T7 - 2
METODOS ALTIMETRICOS
ERROR DE ESFERICIDAD
(R+Ce)2 =R2 +D2
Ce=D2 /(2R)
Radio de la Tierra: R = 6.370.000 m
ERROR DE REFRACCIÓN.
(R+Cr)2 = R'2 + D2
R/R' = 2K
Cr = D2/2R'= K D2/R
En España: K ≈ 0,08 ___ R'≈ 6,25 R
T7 - 3
METODOS ALTIMETRICOS
CORRECCIÓN CONJUNTA:
Ce - Cr = (0,5-K) D2/R = 0,42 D2/R ≈ (D{Km}/4)2
En España Ce - Cr = 0,066 D{Km}2
D
CORREC.
D
CORREC.
100 m
0,7 mm
1000 m
66 mm
200 m
2,6 mm
2000 m
264 mm
300 m
5,9 mm
4000 m
1.055 mm
500 m
16 mm
8000 m
4.220 mm
T7 - 4
METODOS ALTIMETRICOS
7.2.- NIVELACIONES GEOMÉTRICAS.
DESNIVEL VERDADERO: Zv= Za+ Ce- Cr
MÉTODOS
SIMPLES:
Punto medio.
Punto extremo (radial).
Estaciones recíprocas.
Estaciones equidistantes.
T7 - 5
METODOS ALTIMETRICOS
Estaciones exteriores.
COMPUESTAS:
Itinerario altimétrico por el método del punto medio.
T7 - 6
METODOS ALTIMETRICOS
Ejemplo.- Cálculo del error kilométrico, en un aparato de 28 aumentos, 50s sensibilidad y
distancias de 80 metros:
Error de verticalidad:
ev= 50/3= 16,7s
Error de puntería:
ep= 150(1+4a/100)/a = 150(1+4*28/100)/28= 11,4s
Error angular:
ea= (16,72+11,42)1/2= 20,2s
Error de la mira:
em= 20,2*80000/636620= 2,5 mm
Error kilométrico:
ek= 2,5 (1000/80) 1/2 = 8,8 mm.
Error de cierre (3 Km):
e = ek √K = 8,8_3=15,3 mm.
TOLERANCIA:
T ≤ 70 mm. √K
Líneas de doble nivelación(anillo):
T ≤ 30 mm. √K
T ≤ 40 mm. √K
El ejemplo anterior tendría la redacción distinta de prefijar el error kilométrico y se calcula el
error de horizontalidad:
ek=6 mm. ≤ [( ev2+11,42) 1/2 *80000/636620] (1000/80) 1/2
ev2 ≤ (6*636620/80000)2*80/1000- 11,42 = 52,4
ev= 7,2''
T7 - 7
METODOS ALTIMETRICOS
7.3.- NIVELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ZAB= t + i- m
Error en t:
t = D cotag V
e't ≤ D (1+ e% /100) cotag V - D cotag V
e''t ≤ D cotag (V+ea) - D cotag V
Error en i:
ei ≤ 1 cm.
Error en la mira:
em ≤ mB (b''/r'') tag(a+b)
Error en la cota:
ez=( e't2+ e''t2+ ei2+ em2)1/2
Tolerancia: T= ez √2
T7 - 8
METODOS ALTIMETRICOS
Ejemplo.- Un aparato de tipo T1 de 30 aumentos en su anteojo, la constante estadimétrica
100, la sensibilidad del nivel 50s, y una apreciación en el limbo vertical de 3s, en el supuesto
de que la longitud de la visual fuera 100 m, en terrenos con pendientes de 5g, y que la mira de
3 metros dividida en centímetros y de 3 m altura se sitúa con un error de 3g en su verticalidad.
Calcular la tolerancia.
1.- Error de verticalidad:
ev= 50s/3= 16,7s
2.- Error de puntería:
ep= 150(1+4a/100)/a = 150(1+4*30/100)/30= 11,0s
3.- Error de lectura:
el= 2m /3= 2*3/3= 2s
4.- Error angular: ea= (16,72+11,02+22 )1/2= 20,1s
Este error se produce tanto en puntos del terreno ascendentes como descendentes.
5.- Error en t:
t = D cotag V
e't ≤ D (1+ ε% /100) cotag V - D cotag V
(Fig. 3.) ε% = 0,49
e't ≤ 100 (1+ 0,49/100) cotag(100-5)g - 100 cotag(100-5)g = 0,039 m
e't ≤ 39 mm.
e''t ≤ D cotag (V+ea) - D cotag V
e''t ≤ 100 cotag[(100-5) +ea]g -100 cotag(100-5)g =
=100 cotag(95+0,00201)-100 cotag(95)= 0,003 m= 3 mm.
Error en i:
ei ≤ 1 cm.
Error en la mira:
T7 - 9
METODOS ALTIMETRICOS
em ≤ mB (b''/r'') tag(a+b)
tomando
mB= 3 m
a = 5g
b = 3g
em ≤ 300 (30000''/636620'') tag(5+3)= 1,8 cm.
Error en la cota:
ez= (e't2+e"t2+ei2+em2)1/2 = (392+32+102+182)1/2 = 44,2 mm.
Tolerancia:
Al cometer un error ez en sendas ZAB y ZBA la tolerancia sería:
T ≤ ez √2 mm.
T ≤ ez √2 = 44,2 √2 = 62,5 mm. ≈ 63 mm.
T7 - 10
METODOS ALTIMETRICOS
7.4.- NIVELACIONES BAROMÉTRICAS.
Presión atmosférica.
T7 - 11
LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS
9.- LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO.
9.1.- Relieve del terreno.
9.2.- Redes del levantamiento altimétrico.
9.3.- Dibujo del plano.
T9 - 1
LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS
9.1.- RELIEVE DEL TERRENO
La línea de máxima pendiente es el gradiente de la superficie
Divisoria
Vaguada
Elevación
Hoya
Collado / puerto - Divisoria / vaguada
9.2.- REDES DEL LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO
Error de altitud de un punto interpolado
Error altimétrico ez(medidas)
Error de flecha diferencia entre la aproximación lineal y el terreno real. Es independiente del error
altimétrico.
Error de altitud de la curva:
e2f + e2z
ec =
Error de interpolación: e la separación (e/2 ; e/4)
Error total:
e2i + e2c =
etotal =
e2i + e2f + e2z
Dando valores:
e=
e
2
2
+ e
4
2
+ e
4
2
= 0,6 e
e=
e
4
2
+ e
4
2
+ e
4
2
= 0,4 e
9.3.- DIBUJO DEL PLANO
Curvas de nivel
- Líneas cerradas
- El número de curvas interrumpidas en el papel es par
- Una curva de nivel no puede cortarse, ya que asciende o desciende.
- No se cortan ni se cruzan
- Existe dos curvas de igual cota ni par de líneas de nivel
- Divisoria de collado por un punto
- Acantilados o escarpados utilizar signo convencional
T9 - 2
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS.
13.1.- SUPUESTO REAL.
13.2.- DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN.
13.3. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON BRÚJULA.
13.4. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON TAQUÍMETRO.
13.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN
13.6. NIVELACIÓN POR ALTURAS.
13.7. RECAPITULACIÓN FINAL DE ERRORES. TOLERANCIAS Y
AJUSTES
T13 - 1
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS.
Los errores no deben sobrepasar los 0,2 mm. del plano a la escala correspondiente. Para
realizar un repaso de los errores, a estudiar, se pondrá un supuesto real.
13.1. SUPUESTO REAL.
Se trata de realizar un levantamiento a escala 1/5.000 de una zona de terreno ligeramente
ondulado y que abarca una superficie de 30.000 Has. La equidistancia elegida es de 1 m. y se
prevén pendientes de las visuales del orden de los 7g. En cuanto a los instrumentos de que se
dispone responden a los tipos siguientes:
- Teodolito de un sólo índice y de 2'' de apreciación, tanto acimutal como vertical,
nivel general de 50'' de sensibilidad y anteojo de 28 aumentos.
- Taquímetro de un sólo índice y de 20'' de apreciación, sensibilidad de 1' en su
nivel general y del eclímetro, y 26 aumentos en el anteojo.
- Brújula taquimétrica de 25' de apreciación acimutal y de 2' en su limbo vertical.
La sensibilidad del nivel es de 2' y 20 aumentos del anteojo.
- Nivel de 50'' de sensibilidad con anteojo de 26 aumentos.
13.2. DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN.
13.2.1. Para poder concretar el error se hace preciso fijar la condición de que en la
superposición del hilo del retículo sobre la mira se pueda llegar a apreciar su media división.
Llamando a la división de la mira "d", el error máximo posible en una lectura será:
2d d
=
32 3
(1)
por lo que en el segmento de mira comprendido entre los dos hilos se producirá un error de:
2
d
3
(2)
y si es "K" la constante estadimétrica, el error absoluto con que resulta la distancia es:
T13 - 2
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
eD ≤ 2
d
K
3
(3)
100 d
K
3 D
(4)
y el error relativo en tanto por ciento, será:
εD ≤ 2
El procedimiento más adecuado para conocer la distancia D es determinarla
experimentalmente. En la figura (1), que se utilizará, se representan los valores medios de
tales distancias en función de los aumentos del anteojo y de los tipos usuales de divisiones de
mira.
Figura (1)
En la figura (2) se deduce el tanto por ciento de error que, como máximo, puede afectar a las
distancias para una constante estadimétrica K=100, pero que puede usarse, indistintamente,
para cualquier otra, ya que existe proporcionalidad, y así, para K = 200, los errores serán el
doble de los de la figura. Los valores de la misma se han obtenido a partir de la figura (1) con
la expresión (4).
Figura (2)
T13 - 3
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
La falta de verticalidad de la mira implica un error adicional que crece con el ángulo
pendiente de la visual. En la figura (3) puede deducirse el porcentaje de error para un 1g de
inclinación de la mira, existiendo también, prácticamente, proporcionalidad entre errores e
inclinaciones.
Figura (3)
La radiación se realiza con la brújula cuyo anteojo tiene 20 aumentos a unas distancias
máximas de 155 m y 240 m, según el tamaño de las divisiones de la mira (figura 1), a las que
corresponde para K=100, errores máximos de 0,30% y 0,39% (figura 2), respectivamente. A
estos hay que añadir el derivado de la inclinación de la mira, por lo que suponiendo que ésta
sea de 1g, como se prevén ángulos de pendiente de 7g, dicho error será (figura 3) de 0,17%.
En su consecuencia, los errores totales serán (5):
mira de 1 cm : 0,30 2 + 0,17 2 = 0,34% = 0,0034
mira de 2 cm : 0,39 2 + 0,17 2 = 0,43% = 0,0043
que a aquellas distancias máximas representan unos errores en las mismas de (6):
mira de 1 cm : 155 x0,0034 = 0,53m
mira de 2 cm : 240 x0,0043 = 1,03m
Estos valores indican que el empleo de las miras de doble centímetro produce errores
demasiado grandes, pues incluso a la distancia tope de 240 m. llega a rebasar de 1 m. que es
el gráfico de 0,2 mm a la escala 1/5.000 del levantamiento. Podría pensarse en acortar dicha
T13 - 4
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
distancia para disminuir el error, pero entonces se perdería la ventaja que representa una
radiación de esa longitud, cuando el error relativo seguiría siendo elevado. De aquí, que se
considere más conveniente el uso de las miras divididas en centímetros y fijándose así un
primer valor límite de la radiación en 155 m.
13.2.2. El segundo de tales valores límites resulta del error planimétrico que se
deriva del error angular del instrumento que se va a utilizar, para lo que se procederá
empezando por determinar el error por dirección de la brújula. Se supone un error de 0,05 m
para el conjunto de estación y señal, la distancia será de 155 m (que es la que ya se conoce), y
que las lecturas se harán con una sola punta de la aguja. En estas circunstancias, se tendrá (7):
ev ≤
ed ≤
ep ≤
s 200
=
= 17"
12 12
ee + e s
0,05
r" =
636620" = 205"
D
155
30" ⎛
4 A ⎞ 30" ⎛ 4.20 ⎞
⎜1 +
⎟ = 3"
⎜1 +
⎟=
A ⎝ 100 ⎠ 20 ⎝
100 ⎠
el ≤
2
2
a = 2500" = 1667"
3
3
2
Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa
+ El2 = 17 2 + 205 2 + 3 2 + 1667 2 = 1680"
Para cada unas de las redes se deben fijar un error máximo que sea inferior al gráfico, para
que como consecuencia del revertido de los errores de unas redes sobre otras no se rebase el
límite. Se tomará como tope el 80% del error, en el supuesto que se estudia es 0,80 m. La
máxima distancia D, será aquélla para la que se verifique (8):
1680
D = 0,00264 D ≤ 0,80m
636620
D≤
0,80
= 303 m
0,00264
límite superior a los 155 m de la percepción de la media división de la mira.
13.2.3. El tercero de los límites es el derivado de los errores altimétricos de la
radiación, mayor que el planimétrico. Así (9):
ev ≤
s 200
=
= 67"
3
3
T13 - 5
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
ep ≤
150" ⎛
4 A ⎞ 150" ⎛ 4.20 ⎞
⎜1 +
⎟ = 14"
⎜1 +
⎟=
20 ⎝
100 ⎠
A ⎝ 100 ⎠
el ≤
2
2
a = 200" = 133"
3
3
2
Etc ≤ E vc2 + E pc
+ El2 = 67 2 + 14 2 + 133 2 = 150"
Para el cálculo de los errores independientes que afectan al desnivel se admitirá un error en la
altura de instrumento de 1 cm., que se visa a una altura de 2 m y con pendiente de la visual de
7g e inclinación de mira de 1g, por lo que se tendrá (10):
[
]
e´t ≤ D[(1 + ε )tagα − tagα ] = D (1 + 0,0034)tag 7 g − tag 7 g = 0,000375D
[
]
e"t ≤ D[tag (α + ea ) − tagα ] = D tag 7,0150 g − tag 7 g = 0,000238D
ei ≤ 0,01m
em ≤
2 . 10000"
mβ
tag (α + β ) =
tag (8 g ) = 0,004 m
r"
636620"
Dado que el error total no debe rebasar, al igual que planimétricamente, del 80% del límite, y
éste es la cuarta parte de la equidistancia, se tendrá (11):
2
Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa
+ El2 = 0,000375 2 D 2 + 0,000238 2 D 2 + 0,012 + 0,004 2
ea ≤
80 1
e = 0,20 m
100 4
0,000000197 D 2 ≤ 0,039884
D≤
0,039884
= 450 m
0,000000197
distancia que como cabía esperar es mayor que los 303 m del límite planimétrico.
13.2.4. De los tres valores calculados, el más corto señala la máxima distancia de
radiación, 155 m, y el error máximo con ella de 0,53 m.
T13 - 6
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.3. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON BRÚJULA.
Las poligonales con brújula habrán de observarse por estaciones recíprocas pues el de
alternas, incluso en su variante de punto de control, no garantiza la precisión necesaria par un
trabajo en escala 1/5.000, además del riesgo que representa por la posibilidad de cometer
equivocaciones inadvertidas. El operar por recíprocas implica que los rumbos y las distancias
se medirán dos veces, en sentido directo y recíproco, y en cuanto a los rumbos se leerán,
además, con las dos puntas de la aguja.
El error final de un itinerario con brújula, como consecuencia de los errores angulares, viene
dado por la expresión (12):
l ea
n
y el derivado de los errores en las distancias, tiene como valor (13):
lε
n
El error total de la poligonal será igual al mayor de los dos, y teniendo ambos una expresión
análoga, la superioridad de uno sobre otro sólo dependerá de la relación que exista entre ea y
e. En cuanto al valor de ea debe corregirse el cálculo ya que los rumbos se van a leer con las
dos puntas de la aguja, siendo el error de lectura (14):
el ≤
1 2
1 2
a=
2500" = 1179"
23
23
(15):
2
Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa
+ El2 = 17 2 + 205 2 + 3 2 + 1179 2 = 1197"
Como se miden los rumbos directo y recíproco, y se promedian, en definitiva resulta (16):
ea ≤
1
1179
= 0,00133"
2 636620
El error relativo e, para una medida simple resultó ser de 0,0034, pero al tomar el valor medio
de la distancia directa y recíproca, se obtiene (17):
ε≤
0,0034
2
= 0,00240"
Evidentemente e es mayor que ea, por lo que el error total vendrá dado por la expresión (13) y
tendrá que cumplirse que al cabo de los n tramos no se rebase dicho error de 0,80 m (18):
eB ≤ l ε
n = 155 . 0,00240 . n ≤ 0,80 m
T13 - 7
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
n≤
0,80 m
= 2,15
155 . 0,00240
n = 4,6 ≈ 5 tramos.
Las poligonales de brújula quedan pues limitadas a un máximo de 5 tramos, lo que representa
un desarrollo total de (19):
5 x 155 = 775 m
que es el ancho que habrán de tener las mallas de la red intermedia que constituye el apoyo de
la de relleno. El error total que corresponde a dichas poligonales, a los efectos de la
recapitulación final, es (20):
155 . 0,00240 . 5 = 0,83 m
Si los tramos de los itinerarios se tomasen menores de 155 m (p.e. 100 m) se llegaría a la
conclusión de que se podrían tener 11 tramos, con un desarrollo de 1.100 m, que señalaría un
nuevo ancho de las mallas de la correspondiente red intermedia. La disminución del trabajo
de taquímetro que ello pudiera representar es engañosa; la cantidad de trabajo que hay que
realizar para establecer la red de relleno es siempre superior al de la intermedia.
T13 - 8
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.4. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON TAQUÍMETRO.
13.4.1. Las poligonales con taquímetro habrán de observarse por el método de
Moinot (las observaciones en las diversas estaciones se realizan visando la estación de atrás
en posición C.D. del círculo, primeramente, anotando las medidas de distancia y las angulares
acimutales y verticales; y seguidamente se visa la estación de delante) midiendo las distancias
por cuadruplicado (en las posiciones de C.D. y C.I. al aplicar la regla de Bessel para los
ángulos y en el sentido directo e inverso, respectivamente) mejorándose la precisión
estadimétrica y podrán alargarse estos itinerarios, en los que la longitud de los tramos queda
fijada en 185 m. pues la distancia máxima para la que con los 26 aumentos del anteojo (fig.1)
puede apreciarse la media división de la mira. Se admite un error de 0,02 m para los errores
de estación y señal, y habida cuenta de las restantes características del taquímetro a emplear,
el error por dirección acimutal, resultará (21):
ev ≤
ed ≤
ep ≤
s 100
=
= 8"
12 12
ee + e s
0,02
r" =
636620" = 69"
D
185
30" ⎛
4 A ⎞ 30" ⎛ 4.26 ⎞ 1
= 2"
⎟=
⎜1 +
⎟
⎜1 +
A ⎝ 100 ⎠ 26 ⎝
100 ⎠ 2
el ≤
1 2
1 2
a=
20" = 9"
23
23
2
Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa
+ El2 = 8 2 + 69 2 + 2 2 + 9 2 = 70"
El error final de un itinerario con taquímetro, como consecuencia de los errores angulares,
viene dado por la expresión (22):
eT ≤ l . ea . 2 .
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
70
. 2.
= 185 .
≤ 0,80m
6
636620
6
n(n + 1)(2n + 1) ≤ 4639,9
n = 12,8 ≈ 13 tramos.
Las poligonales de taquímetro quedan pues limitadas a un máximo de 13 tramos.
Para saber el límite de los errores de las distancias se obtiene el error relativo (fig.2) e =
0,25% y el error por inclinación de la mira es 0,17% (23):
T13 - 1
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
0,25 2 + 0,17 2
4
= 0,15% = 0,0015
El límite por razón de los errores longitudinales se obtiene de la expresión (24):
eT ≤ l . ea . n = 185 . 0,0015 . n = 0,2775 . n ≤ 0,80m
n = 8,3 ≈ 8 tramos.
que por ser inferior al anterior de 13 tramos señala el tope máximo permitido, al cabo de los
cuales el error podrá llegar a ser (25):
eT ≤ 185 . 0,0015 . 8 = 0,78m
A su vez, los 8 tramos con sus 185 metros de longitud determinan la separación máxima que
podrá existir entre los vértices de la triangulación, es decir, el lado de la misma, que resultará
(26):
8 x 185 = 1.480 m ≈ 1.500 m
13.4.2. Límite de los itinerarios por los errores altimétricos. Las redes
altimétricas, previas a la de relleno, pudieran ser suficiente con una red de nivelación
trigonométrica para envolver toda la zona, pero si esto no es posible deberá realizarse una
nivelación geométrica cuyas estaciones serán los puntos de arranque y cierre de las
nivelaciones trigonométricas. Se necesita determinar la longitud máxima que pueden tener
estas nivelaciones y para ello se empieza por calcular el error de dirección vertical
correspondiente al taquímetro(27):
ev ≤
ep ≤
s 100
=
= 33"
3
3
150" ⎛
4 A ⎞ 150" ⎛ 4.26 ⎞ 1
= 8"
⎜1 +
⎟
⎜1 +
⎟=
26 ⎝
100 ⎠ 2
A ⎝ 100 ⎠
el ≤
1 2
1 2
a=
20" = 9"
23
23
2
Etc ≤ E vc2 + E pc
+ El2 = 33 2 + 8 2 + 9 2 = 35"
Para el cálculo del error en el desnivel de cada tramo se sigue el siguiente razonamiento:
como el error relativo con que se obtienen las longitudes promediadas de los tramos es de
0,0015(23) y los ei y em se consideran iguales a los de la brújula(10), resulta:
T13 - 2
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
[
]
e´t ≤ D[(1 + ε )tagα − tagα ] = 185 (1 + 0,0015)tag 7 g − tag 7 g = 0,031
[
]
e"t ≤ D[tag (α + ea ) − tagα ] = 185 tag 7,0150 g − tag 7 g = 0,010
ei ≤ 0,01m
em ≤
2 . 10000"
mβ
tag (α + β ) =
tag 8 g = 0,004 m
r"
636620"
( )
e z ≤ e´t2 + e"t2 + ei2 + em2 = 0,0312 + 0,010 2 + 0,012 + 0,004 2 = 0,034m
por lo que el desnivel promedio de cada tramo podrá tener un error de:
0,034
2
Si se desea que el error al acabo de n tramos de nivelación trigonométrica no rebase de 0,20
m, que es el límite para este caso, se tendrá que verificar:
0,034
2
n ≤ 0,20m
n ≤ 8,3
n ≈ 69 tramos, que representa una longitud de: 69 x 185 = 12.765 m
Este valor demuestra la necesidad de establecer una red de nivelación geométrica, ya que para
abarcar una superficie de 30.000 Has., aún en el supuesto de representar una forma circular se
necesitaría un desarrollo de 61.400 m que es una distancia muy superior a aquélla.
13.4.3. Itinerarios secundarios.
Puesto que los vértices de la triangulación van a estar separados 1.500 m(26) y para los
itinerarios con brújula se necesitan mallas de 775 m (19), es lógico que no todos los
itinerarios de taquímetro podrán ser primarios, esto es, con comienzo y final en dichos
vértices. Debe pensarse en la observación de itinerarios secundarios y se hace necesario
calcular el error que en ellos se puede producir. Estas poligonales, al no tener que establecerse
entre vértices, podrán tener un número menor de tramos, que se finjan en 5. El error final para
los secundarios será:
185 . 0,0015 . √5 = 0,62 m
T13 - 3
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN
13.5.1. Se calcula el error de dirección acimutal del teodolito, suponiendo un error de estación y
señal de 0,05 m. y que se aplicará la regla de Bessel (33):
ev ≤
ed ≤
ep ≤
s 50
=
= 4"
12 12
ee + e s
0,05
r" =
636620" = 21"
D
1500
30" ⎛
4 A ⎞ 30" ⎛ 4.26 ⎞ 1
= 2"
⎜1 +
⎟=
⎜1 +
⎟
A ⎝ 100 ⎠ 26 ⎝
100 ⎠ 2
el ≤
1 2
1 2
a=
2" = 1"
23
23
ea ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 = 4 2 + 212 + 2 2 + 12 = 21"
Como se medirán y compensarán de error de cierre los tres ángulos de cada triángulo, el error por dirección
observada puede reducirse en un 80%(34):
ea ≤ 21
80
= 16,8"
100
Para alcanzar los bordes de la zona desde el centro de la misma, que es donde estará medida la base, se
necesitarán, al menos (fig. 4), 13 triángulos encadenados ya que así se conseguiría un radio de(35):
7 x AB = 7 x 1.500 = 10.500 m
con lo que se puede cubrir una superficie de 34.600 Has.
Al cabo de un encadenamiento de ese número de triángulos, los errores angulares producen finalmente un error
de (36):
l.
ea
13 . 14 . 27
n(n + 1)(2n + 1)
16,8"
.
.
+ 3 = 1500 .
+ 3 = 1,13m
r"
6
636620"
6
inadmisible, pues excede del permitido para todo levantamiento y está clara la necesidad de dos órdenes de
triangulación: una principal y otra secundaria.
La separación entre los vértices de la secundaria no debe rebasar los 1500 m. Los lados de la
triangulación principal están limitados por la dificultad de visuales mayores de 5.000 m, lo que supone en este
caso 5 triángulos secundarios y un lado de 4.500 m de la triangulación principal.
T13 - 1
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.5.2.1. Error de la triangulación secundaria. Según lo expuesto por el encadenamiento de 5
triángulos se producirá un error de (37):
l.
ea
5 . 6 . 11
n(n + 1)(2n + 1)
16,8"
.
.
+ 3 = 1500 .
+ 3 = 0,30m
r"
6
636620"
6
13.5.2.2. Error de la triangulación principal.
El error de dirección se disminuirá al ser más larga la visual y, por tanto, el total de la triangulación (38):
ed ≤
ee + e s
0,05
r" =
636620" = 7"
D
4500
ea ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 = 4 2 + 7 2 + 2 2 + 12 = 8,4"
valor que para los ángulos compensados de cierre quedará reducido a (39):
80
. 8,4" = 6,7"
100
Como consecuencia de esto los errores angulares suponen uno final de (40):
T13 - 2
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
l.
ea
5 . 6 . 11
n(n + 1)(2n + 1)
6,7"
.
+ 3 = 4500 .
.
+ 3 = 0,36m
r"
6
636620"
6
Para calcular el error que se comete como consecuencia de la base, se supondrá que ésta se mide con estadía
horizontal, fraccionándola en trozos de 30 m ó 40 m, con lo que se puede conseguir un error relativo de
1/50.000. Así pues el error por esta causa será (41):
n +1
5 +1
1
. AB . ε =
. 4500 .
= 0,27 m
2
2
50000
13.6. NIVELACIÓN POR ALTURAS.
Se dispone del nivel descrito para realizar esta nivelación de apoya a otra trigonométrica o por pendientes. Se
comprueba la precisión del nivel determinando el error por visual que le corresponde y que será (42):
ev ≤
ep ≤
s 50
=
= 16,7"
3 3
150" ⎛
4 A ⎞ 150" ⎛ 4.26 ⎞
⎜1 +
⎟ = 11,8"
⎜1 +
⎟=
26 ⎝
100 ⎠
A ⎝ 100 ⎠
ea ≤ ev2 + e 2p = 16,7 2 + 11,8 2 = 20,4"
En el terreno ligeramente ondulado se puede admitir una distancia media de 30 m. desde el nivel a la mira, es
decir, un error en la altura de la mira de (43):
e´m ≤
20,4"
30000 = 0,96mm
636620
Por la inclinación de la mira, en el supuesto de visarla a una altura de 2 metros(44):
e"m ≤
2000 . 10000"
mβ "
tagβ =
tag 1g = 0,49 mm
r"
636620"
( )
y en la nivelada de 30 m se producirá un error total de (45):
em ≤ 0,96 2 + 0,49 2 = 1,08mm
El error kilométrico correspondiente será consecuencia del número de niveladas de aquella longitud que es
preciso observar para alcanzar un kilómetro:
ek ≤ 1,08
1000
= 6,24mm
30
que representa una precisión más que suficiente. Como ejemplo si se admite un desarrollo de nivelación de 100
Km, con ellos se podrían circunvalar unas 80.000 Has. Y, aún así, el error que se cometería tendría un valor de:
6,24 100 = 62,4mm = 0,06m
bastante menor que el permitido de 0,20 m
T13 - 3
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.7. RECAPITULACIÓN FINAL DE ERRORES. TOLERANCIAS Y AJUSTES.
Se han calculado los errores que pueden afectar a cada una de las redes del levantamiento, quedando ahora por
estudiar si el efecto acumulado de los mismos sobre el punto radiado hace que se rebase o no del tope, en este
caso de 1 m.
El error de posición relativa de un punto es el error que tiene respecto de la red principal en que se enmarca el
levantamiento. Este error será máximo en la parte central de la figura encuadrada, e igual a la componente
cuadrática de la mitad del error propio de aquella figura y del error máximo de posición relativa que corresponda
a los puntos de la red que la encuadran.
El error de posición absoluta de un punto es el que tiene respecto de su verdadera posición del terreno, y
evidentemente, inferior al límite gráfico.
La tolerancia en el cierre o ajuste de una figura encuadrada entre dos puntos conocidos es la componente
cuadrática de los errores máximos de posición relativa de ambos puntos y del error propio de la figura.
Fase
Error (m)
Medida de la base..........................
0,27
(41)
Ángulos de la triangulación principal......
0,36
(40)
Ángulos de la triangulación secundaria.....
0,30
(37)
Itinerarios primarios de taquímetro........
0,78
(25)
Itinerarios secundarios de taquímetro......
0,62
(32)
Itinerarios de brújula.....................
0,83
(20)
Radiación..................................
0,53
(6)
13.7.1. Triangulación principal
13.7.1.1. Tolerancia en el cierre. No corresponde determinarla, ya que dicha triangulación no es figura
encuadrada entre puntos conocidos.
13.7.1.2. Error máximo de posición relativa: el semieje mayor de la elipse de error (48):
a=
L . ea
sen
α
2
=
4500 . 6,7"
= 0,09m
66 g 66´ 67 "
636620" sen
2
13.7.1.3. Error máximo de posición absoluta: el error total es igual a la componente cuadrática de los errores
debidos a la mediada de la base y de los ángulos (49):
0,27 2 + 0,36 2 = 0,45m
T13 - 1
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.7.2. Triangulación secundaria.
13.7.2.1. Tolerancia en el cierre. Puesto que los dos vértices de la triangulación principal entre los que se ajusta,
uno no tiene error de posición relativa y el otro puede tener un valor máximo de 0,09 m., resulta (50):
0,09 2 + 0,30 2 = 0,31m
13.7.2.2. Error máximo de posición relativa (51):
2
⎛ 0,30 ⎞
0,09 + ⎜
⎟ = 0,17m
⎝ 2 ⎠
2
13.7.2.3. Error máximo de posición absoluta (52):
0,17 2 + 0,45 2 = 0,48m
13.7.3. Itinerarios primarios.
Los cálculos siguientes están referidos al caso más desfavorable, en el que tanto el vértice de salida como de
llegada pertenecen a la triangulación secundaria.
13.7.3.1. Tolerancia en el cierre. (53):
0,17 2 + 0,17 2 + 0,78 2 = 0,82m
13.7.3.2. Error máximo de posición relativa (54):
2
⎛ 0,78 ⎞
0,17 + ⎜
⎟ = 0,43m
⎝ 2 ⎠
2
13.7.3.3. Error máximo de posición absoluta (55):
0,43 2 + 0,45 2 = 0,62m
13.7.4. Itinerarios secundarios.
Los cálculos siguientes están referidos al caso más desfavorable, en el que tanto el vértice de salida como de
llegada pertenecen a itinerarios primarios.
13.7.4.1. Tolerancia en el cierre. (56):
0,43 2 + 0,43 2 + 0,62 2 = 0,87m
13.7.4.2. Error máximo de posición relativa (57):
2
⎛ 0,62 ⎞
0,43 2 + ⎜
⎟ = 0,53m
⎝ 2 ⎠
T13 - 2
ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
13.7.4.3. Error máximo de posición absoluta (58):
0,53 2 + 0,45 2 = 0,70m
13.7.5. Itinerarios con brújula.
Tanto el vértice de salida como de llegada pertenecen a itinerarios secundarios de taquímetro.
13.7.5.1. Tolerancia en el cierre. (59):
0,53 2 + 0,53 2 + 0,83 2 = 1,12m
13.7.5.2. Error máximo de posición relativa (60):
2
⎛ 0,83 ⎞
0,53 + ⎜
⎟ = 0,67m
⎝ 2 ⎠
2
13.7.5.3. Error máximo de posición absoluta (61):
0,67 2 + 0,45 2 = 0,81m
13.7.6. Puntos radiados.
13.7.6.1. Tolerancia en el cierre.
No cabe determinar la tolerancia en el cierre, pues los puntos radiados no constituyen figura escuadrada, y por
no realizarse ninguna compensación, la posición relativa es la totalidad del error propio.
13.7.6.2. Error máximo de posición relativa (62):
0,53 2 + 0,67 2 = 0,85m
13.7.6.3. Error máximo de posición absoluta (63):
0,85 2 + 0,45 2 = 0,96m
T13 - 3
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
14.- PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS
14.1. DIFICULTAD DE CALCULAR EL PRESUPUESTO
14.2. TRABAJOS NECESARIOS Y RENDIMIENTOS MEDIOS
14.2.1. Trabajos de triangulación
14.2.2. Trabajos de taquímetro
14.2.3. Trabajos de brújula
14.2.4. Trabajos de nivelación por alturas
14.2.5. Pérdidas
14.3. EJEMPLO.
14.3.1. Triangulación
14.3.2. Itinerarios con taquímetro
14.3.3. Itinerarios con brújula
14.3.4. Nivelaciones geométricas.
14.3.5.Resumen de los trabajos
14.4. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE CAMPO.
14.5. ORGANIZACIÓN DE LOS TRABAJOS DE GABINETE.
14.6. TRABAJOS DE GABINETE.
14.6.1. Cálculos:
14.6.2. Dibujo:
14.6.3. Soporte.
14.6.4. Soporte magnético del dibujo.
14.6.5. Tinta y desgaste del material de dibujo.
14.7. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE GABINETE.
14.8. PRESUPUESTO TOTAL
T14 - 1
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
APÉNDICES
1.- Tarifas de alquiler de equipos topográficos
2.- Tarifas de honorarios profesionales
T14 - 2
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
14.1. DIFICULTAD DE CALCULAR EL PRESUPUESTO
Escala, terreno, clima, vegetación, _
14.2. TRABAJOS NECESARIOS Y RENDIMIENTOS MEDIOS
14.2.1. Trabajos de triangulación
14.2.2. Trabajos de taquímetro
14.2.3. Trabajos de brújula
T14 - 3
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
14.2.4. Trabajos de nivelación por alturas
14.2.5. Pérdidas
Días no trabajados: fiestas(20%) y mal tiempo(lluvia, nieve, _)(ver estadística del lugar)
14.3. Ejemplo.
Sea un levantamiento a escala 1/2.000 de 5.000 Ha de terreno llano. Se precisa el parcelario
de la misma, siendo 0,2 el índice correspondiente (número de parcelas por Ha.). Los vértices
de la triangulación se señalizarán de modo permanente mediante tubos rellenos de hormigón.
La señal de nivelación más próxima desde la que se puede dar la altitud al punto altimétrico
fundamental se encuentra a 30 Km; recorrido que puede considerarse llano, y dentro de la
zona se prevé realizar 40 Km de líneas de nivelación geométrica para su apoyo altimétrico.
En tales condiciones, los trabajos necesarios para las diversas fases serán:
14.3.1. Triangulación
El número de vértices será (1):
2
5000
= 100vértices
100
El tiempo en proyecto y observación (2):
100
= 18 jornadas
5,5
14.3.2. Itinerarios con taquímetro
T14 - 4
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
El número de estaciones (3):
0,45 x 5000 = 2250 estaciones
El tiempo invertido (4):
2250
= 56 jornadas
40
14.3.3. Itinerarios con brújula
El número de estaciones (5):
6 x 5000 = 3000 puntos
El número de parcelas existentes en la zona (6):
0,2 x 5000 =1000 parcelas
para las que se necesitarán (7):
3,5 x 1000 = 3500 puntos
Dada la escala será de aplicación la nota al pie del cuadro según la cual corresponde una
reducción de la mitad de (5) y que como máximo será la mitad de (7), ósea (8):
3000 + 3500 - 1750 = 31750 puntos
El tiempo invertido (9):
31750
= 159 jornadas
200
14.3.4. Nivelaciones geométricas.
Distando 30 Km el punto altimétrico, el desarrollo es (10):
2 x 30000 = 60000 m
Admitiendo una separación entre miras de 85 m (valor medio de terreno llano) (11):
60000
= 706estaciones
85
El tiempo invertido (12):
706
= 6 jornadas
125
T14 - 5
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
Los 40 Km de nivelaciones dentro de la zona pueden ser sencillos (13):
40000
= 471estaciones
85
471
= 4 jornadas
125
14.3.5. Resumen de los trabajos
Fase
Triangulación
Taquimetro
Brujula
Nivel
Totales
Jornadas reales Pérdidas Jornadas totales Peones Peonadas Residencias
18
6
24
1
24
24
56
20
76
2
152
76
159
56
215
3
645
215
6
2
8
2
16
8
4
1
5
2
10
5
243
85
328
847
328
T14 - 6
Transportes
18
56
159
6
4
243
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
14.4. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE CAMPO.
Precios unitarios: operador, peón, _ .
Transporte:
Residencia:
Señales permanentes, banderolas, estacas, _
Permisos (Normalmente por cuenta de la Propiedad)
Gastos Generales
Beneficio
Total
14.5. ORGANIZACIÓN DE LOS TRABAJOS DE GABINETE.
La organización depende de: la dependencia entre las redes de levantamiento y el número de
operadores.
14.6. TRABAJOS DE GABINETE.
14.6.1. Cálculos:
Jornadas reales
40% de 243
Pérdidas
20% de 97
Jornadas totales
97
19
116
T14 - 7
PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
14.6.2. Dibujo:
Horas
5000/4 =
1250
Jornadas reales
1250/8 =
156
Pérdidas
20% de 156 =
Jornadas totales
31
187
14.6.3. Soporte.
En la escala 1/2000, 1 Ha está representada por 25 cm2, luego:
5000 Ha<>125000 cm2
12,50 m2
Desperdicio
11,25 m2
90% de 12,50 m2
Total soporte
23,75 m2
14.6.4. Soporte magnético del dibujo.
Actualmente, es una norma habitual facilitar la información cartográfica en soporte magnético
en ficheros con extensión estándar.
14.6.5. Tinta y desgaste del material de dibujo.
10% del precio de los 23,75 m2 de soporte.
14.7. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE GABINETE.
14.8. PRESUPUESTO TOTAL
T14 - 8
PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
15. PETICIÓN DE OFERTA
15.1. PETICIÓN DE OFERTA PARA UN TRABAJO TOPOGRÁFICO
15.2. EJEMPLO
APÉNDICES
1.- CASO REAL DE PETICIÓN DE OFERTA
2.- CASO REAL DE OFERTA
T15 - 1
PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
15. PETICIÓN DE OFERTA
Permítame el alumno que este capítulo le inicie dando las gracias a D. Alberto Bazaga Doral,
y a la empresa SAT, Servicios Técnicos S.A., a quienes debo mi primera petición de oferta y
que en aquella ocasión fue para las obras civiles de una pequeña central hidroeléctrica.
15.1. PETICIÓN DE OFERTA PARA UN TRABAJO TOPOGRÁFICO
La petición de oferta es un documento que se genera para solicitar la realización de un trabajo
topográfico, en este caso, especificando, en sus distintos apartados, el objeto, su alcance, las
condiciones técnicas del material y de ejecución, las condiciones económicas de contratación,
los elementos de control, los plazos de ejecución.
15.2. EJEMPLO
El índice de una petición de oferta sería el siguiente:
1. OBJETO
2. ALCANCE
3. CONDICIONES TÉCNICAS
3.1. CONDICIONES DEL MATERIAL
3.1.1. MATERIAL DE CAMPO
3.1.2. MATERIAL DE GABINETE
3.2. CONDICIONES DE EJECUCIÓN
3.2.1. EJECUCIÓN EN CAMPO
3.2.2. EJECUCIÓN EN GABINETE
4. CONDICIONES ECONÓMICAS
El contenido de cada apartado, lógicamente, queda abierto a las condiciones peculiares del
trabajo pero en líneas generales contendría los siguientes puntos.
1. OBJETO
Este punto apunta los datos necesarios para dar una idea del entorno del trabajo:
Una reseña del problema que se quiere solucionar
Antecedentes administrativos
T15 - 2
PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS
Trabajos paralelos que se realizarán con el resultado del levantamiento
Trabajos análogos realizados en la zona.
2. ALCANCE
Enumeración pormenorizada de los todos los trabajos a realizar, junto con sus características
de peculiares.
3. CONDICIONES TÉCNICAS
Este punto define las condiciones
3.1. CONDICIONES DEL MATERIAL
3.1.1. MATERIAL DE CAMPO
3.1.2. MATERIAL DE GABINETE
3.2. CONDICIONES DE EJECUCIÓN
3.2.1. EJECUCIÓN EN CAMPO
3.2.2. EJECUCIÓN EN GABINETE
4. CONDICIONES ECONÓMICAS
T15 - 3