Linea recta2M_19_C - MigueldeCervantesySaavedra

Guía de Matemática
Segundo Medio
Liceo Miguel de Cervantes y Saavedra
Departamento de Matemática
Profesora: Cristina García.
Aprendizaje Esperado:
1. Analizan la ecuación de la recta; establecen la dependencia entre las variables y la
expresan gráfica y algebraicamente.
2. Identifican e interpretan los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las
ordenadas tanto en la forma y = mx + n como en ax + by + c = 0 de la ecuación de la
recta. Reconocen estos parámetros en las respectivas gráficas.
Contenido Mínimo Obligatorio:
1. Ecuación de la recta, distancia entre dos punto, punto medio, pendiente e
intersección.
Habilidades:
1. Los alumnos y las alumnas identifican y resuelven ejercicios usando elementos de la
función de la recta.
I.
EJES DE COORDENADAS.
El sistema de ejes coordenados está formado por
dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical
llamadas ejes.
El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las
abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de
las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden
ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b),
como lo muestra la figura.
En este punto P(a, b) los elementos a y b se llaman
coordenadas del punto P
II.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
Supongamos que P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
Son dos puntos del plano tal como se observa en la
figura.
La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por
ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la
siguiente manera:
P P 
1 2
2
=(x 2  x1 )2 +(y2  y1 ) 2
Así la distancia de P1 a P2 es:
P1P2 = (x 2  x1 )2 +(y2  y1 )2
Ejemplo: La distancia entre los puntos A (-4,7) y B (3, -5) es:
AB 
 3   4     5  7 
AB  49  144
AB  193
2
2
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Ejercicios:
1. Determina en cada caso la distancia entre los puntos dados:
a) A (-5, -4) y B (1, 4)
b) P (15, 4) y H (-3, -2)
2. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos, considerando las coordenadas dadas
para cada uno de los vértices:
a) Un triángulo ABC, con A (1, 6); B (-1, 1) y C (3, 1).
b) El cuadrilátero EFGH, cuyos vértices son: E(6,1); F(3, .1); G(1,2) y H(4, 4)
III. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LÍNEA RECTA.
En toda igualdad de la forma ax  by  c , donde a, b, c  , representa una ecuación
lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par
ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
Gráfica.
Ejemplo: La ecuación L: x  y  4
Tabla de valores
x
y
 x, y 
2
1
0
-1
2
3
4
5
(2,2)
(1,3)
(0,4)
(-1,5)
Ejercicios:
Gráfica las siguientes rectas en tu cuaderno:
a) x  y  0
b) 3x  y  1
Observaciones:
 A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
gráficamente una recta.
 Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que
es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esta ecuación.
 Los puntos representados por cada par ordenado, pertenecen a la recta
correspondiente.
IV. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
Como ves en la figura, el segmento AB está
determinado por las coordenadas A(4, 0) y B(0, 4). Para
determinar las coordenadas del punto medio M de AB ,
40
debes calcular el promedio de las abscisas
y de las
2
04
ordenadas
, obteniendo el punto medio M(2, 2).
2
De la situación anterior podemos deducir que:
“Dado el segmento AB de coordenadas A(x1, y1) y B(x2,
y2); el punto medio M de este segmento AB tiene por
coordenadas:
x x y y 
M 1 2, 1 2
2 
 2
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Ejercicios:
Considera el cuadrado ABCD, cuyo vértices son: A(-2,1); B(2,-3); C(6,1); D(2,5).
Calcular:
a) El punto medio de sus lados.
b) El punto medio de sus diagonales (E)
c) El perímetro del triángulo ABE
V.
PENDIENTE DE UNA RECTA.
Se denomina pendiente “m” de una recta al
grado de inclinación “  ” que tiene respecto del
eje de las abscisas (eje x).
m
y2  y1
x2  x1
Ejercicios:
Supongamos que se tienen 4 rectas L1, L2, L3 y L4 de modo que:
L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1);
L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5, 2);
L3 pasa por los puntos: D(1, 2) y E(1, -5);
L4 pasa por los puntos: R(1, 2) y T(-2, -6);
a) Gráfica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
b) Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas.
c) Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de
estas rectas con respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente.
d) ¿Qué ocurre cuando y2 = y1 ?, ¿y si x2 = x1 ?
Interpreta y dibuja las siguientes situaciones:
2
2
e) m 
f) m  
3
3
Nota:
“Decimos a tres o más puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta”,
determina, en cada caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico
correspondiente:
g) A(2, 3); B(4, 5); C(6, 7)
h) A (-5, 1); B(1, 15), C(-4,15)
Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema se ejes
coordenados y establece conclusiones válidas respecto lo que observas en ellas.
i) L1: y  2 x  1
j) L3: x  y  3
k) L4: y  x
l) L5: 2 x  y  3  0
1
x
2
n) x  2 y  1
m) L2: y 
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VI. PUNTO DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LOS EJES
COORDENADOS.
Según la gráfica que se muestra a continuación, los
puntos donde la recta L corta al eje x son de la
forma (x, 0) y dónde corta al eje y, de la forma
(0, y)
Ejemplo:
Hallar la intersección de la recta 2 x  3 y  12 con los ejes coordenados:
A) Intersección con el eje x: se hace y = 0
Resulta: 2x = 12
De donde: x = 6
Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0)
B) Intersección con el eje y: se hace x = 0
Resulta: -3y = 12
De donde y = -4
Así la recta corta al eje y en el punto (0,-4)
Ejercicios:
Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección de ellas con los ejes de coordenados:
o) x  2 y  2
p) 3x  6 y  18
1
q) x  y  1
2
1
1
r) x  y  1
2
3
VII. ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA.
Toda igualdad de la forma ax  by  c , donde a, b, c  , también se puede escribir en la
forma y  mx  n , es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de
dirección y n es la intersección de la recta con el eje y, llamada también coeficiente de
posición.
De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen.
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A) Dos puntos de ella.
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5,4) y B(7,8)
Los puntos son:
Identificar los puntos:
P1  x1, y1 
P2  x2 , y2 
Debes determinar la pendiente:
y y
m 2 1
x2  x1
Luego, se calcula el coeficiente de posición con:
y  mx  n
Finalmente, reemplaza en la siguiente fórmula:
y  mx  n
A  5,4 
B  7,8 
Calculemos la pendiente:
84
4
m
 m  m2
75
2
Calculemos el coeficiente de posición:
considerando el punto A  5,4  y la fórmula y  mx  n
con x  5 e y  4
tenemos:
4  2 5 n
4  10  n
4  10  n
6  n
Finalmente, reemplazamos m y n:
y  2x  6
B) Un punto y su pendiente.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene
pendiente -4.
Como el punto dado es A(2, -5) con x  2 e y  -5 y el valor de la pendiente es m  -4
Entonces y  mx  n
Tenemos:
5  4 2  n
5  8  n
5  8  n
3n
Luego, reemplazamos m y n:
y  4 x  15
Ejercicios:
Encuentra la ecuación de la recta que:
1). Pasa por el punto P(-1,3) y cuya pendiente es -2.
2). Pasa por los puntos R(-1, 2) y T(1,7).
3). Su pendiente es m=0.
4). Sus ecuaciones son de la forma x=a
5). Sus ecuaciones son de la forma y=mx
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VIII. POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL PLANO.
1). Rectas paralelas.
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son paralelas
si y sólo si tienen igual pendiente.
Dadas:
L1 : y  mx1  n1
L2 : y  mx2  n2
L1 L2  m1  m2
Ejemplo:
L1: y=2x L2: y=2x+4 L3: y=2x-8
L1; L2 y L3 son paralelas pues todas tienen pendiente
igual a 2
2). Rectas coincidentes.
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son coincidentes
si y sólo si tienen igual pendiente e igual coeficiente
de posición.
Dadas:
L1 : y  mx1  n1
L2 : y  mx2  n2
L1 es coincidente a L2  m1  m2 y n1  n2
Ejemplo:
L1: 2 x  3 y  5  0
L2 : 10 x  15 y  25  0
L1 y L 2 son coincidentes pues tienen igual pendiente e
igual coeficiente de posición.
3). Rectas perpendiculares.
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son perpendiculares
si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Dadas:
L1 : y  mx1  n1
L2 : y  mx2  n2
L1  L2  m1 m2  1
Ejemplo:
2
5
L1: y  x  2 L2 : y 
x6
x
2
L1 y L 2 son perpendiculares pues al multiplicar sus
pendientes resulta -1.
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4). Rectas no paralelas o secantes (concurrentes).
Recuerda que son rectas son secantes en un plano si y
solo si se intersectan en un único punto.
IX. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA.
Se escribe de la forma:
m: pendiente (ángulo de inclinación).
y  mx  n n: coeficiente de posición (donde corta eje y).
X. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Se escribe de la forma:
a
m
b
ax  by  c  0 a, b, c 
c
n
b
XI. ¿CUÁNDO UN PUNTO PERTENECE A UNA RECTA?.
Un punto pertenece a una recta cuando sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha
recta, y no pertenece a ella en caso contrario.
Ejemplo:
Si C(4,7) en la recta y  x  3
y  x3
7  43
77
 El punto C(4,7) pertenece a la recta y  x  3