Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE XIII.2

Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE XIII.2. Teorema fundamental del Cálculo y resultados relacionados
Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA
VARIABLE
XIII.2. Teorema fundamental del Cálculo y
resultados relacionados
Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE XIII.2. Teorema fundamental del Cálculo y resultados relacionados
1. Primitiva de una función en un intervalo
DEF. Sea f : I → R una función definida en un intervalo
generalizado.
Se dice que F : I → R es una primitiva de f cuando F es
derivable en I y F ′ (x) = f (x) ∀x ∈ I.
Observaciones:
En los extremos de I se entiende derivada lateral.
Dos primitivas cualquiera de f se diferencian en una
constante:
F1′ (x) = F2′ (x) = f (x) ⇒ F1′ (x)−F2′ (x) = (F1 (x)−F2 (x))′ = 0
Entonces F1 (x) − F2 (x) es constante.
El área bajo la gráfica de f a partir de un punto fijo
arbirario es una primitiva de f .
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2. Teorema Fundamental del Cálculo
Si f : I → R es una función continua y a ∈ I, entonces
f :
I → R
x
7→ F (x) =
Z
x
f (t) dt
a
es una primitiva de f en I.
Dem. F primitiva de f :⇔
F (x + h) − F (x)
F ′ (x) = lim
= f (x) ∀x ∈ I
Z x+h h→0
Z xh
Z x+h
F (x + h) − F (x) =
f (t) dt −
f (t) dt =
f (t) dt
a
a
x
Por el TVM del Cálculo Integral, ∃ch ∈ (x, x + h)/
Z x+h
f (t) dt = f (ch )h ⇒ F ′ (x) = lim f (ch ) = f (x)
x
h→0
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3. Regla de Barrow
Sea f : [a, b] → R una función continua.
Si G es una primitiva de f en [a, b] entonces
Z
b
f (x) dx = G(b) − G(a)
a
Dem. Por
Z el teorema Fundamental,
x
F (x) =
f (t) dt,
x ∈ [a, b] es una primitiva de f
a
Como F y G son dos primitivas de f en [a, b], existe c ∈ R/
G(x) = F (x) + c x ∈ [a, b]
Entonces, G(b) − G(a) = F (b) + c − (F (a) + c)
Z b
Z a
Z b
= F (b) − F (a) =
f (t) dt −
f (t) dt =
f (t) dt
a
a
a