Circunferencia

Estudio de la circunferencia.
1. Ecuación de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha
circunferencia al centro.
Se cumple, por tanto:
(x- a) 2 + (y- b) 2 = r 2
De donde:
x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2by + b 2 − r 2 = 0
Si hacemos: D = -2a, E = -2b y F = a2+b2-r2
la ecuación adopta la forma:
x2 + y2 + D x + E y + F = 0
2. Intersección con una recta
Una recta y una circunferencia pueden adoptar las
posiciones siguientes:
Secante: Si tienen dos puntos comunes.
Tangente: Si tienen un punto común.
Exterior: Si no tienen ningún punto común.
Para averiguar los puntos comunes (y por consiguiente la posición) entre una recta y una
circunferencia, habrá que resolver el sistema de las ecuaciones de ambas líneas.
Pág.1 de 3.
Estudio de la circunferencia.
3. Potencia de un punto respecto de una circunferencia
La potencia de un punto respecto a una circunferencia la expresaremos por medio de la
fórmula siguiente:
Pot (P) = PA ⋅ PB = P ′A ⋅ P ′B = cte .
La potencia es en realidad el cuadrado de la
distancia del punto P(x1, y1) al punto M(a, b) de la
tangente a la circunferencia trazada desde P.
Pot (P) = ( x 1 − a ) 2 + ( y1 − b) 2 − r 2
4. Eje radical de dos circunferencias
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen igual potencia respecto de ambas.
Siendo
C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical de C1 y C2 es:
(D1 – D2) x + (E1 – E2) y + (F1 – F2) = 0
5. Intersección de dos circunferencias
Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos
circunferencias, son las siguientes:
Secantes: Si tienen dos puntos comunes.
Tangentes: Si tienen un punto común.
No se cortan: Si no tienen puntos comunes.
Para averiguar la posición que adoptan, habrá que
resolver el sistema de ecuaciones que surge al
considerar la ecuación de una cualquiera de las dos y la
del eje radical de ambas.
Pág.2 de 3.
Estudio de la circunferencia.
6. Centro radical de tres circunferencias
Se llama así al punto del plano que tiene igual potencia
respecto de las tres circunferencias.
En el caso de que exista habrá que resolver el sistema
que surge al hallar el eje radical de C1 y C2 con el eje
radical de C2 y C3.
7. Ecuaciones de la tangente y de la normal a una circunferencia en un punto.
Siendo p1 y p2 las coordenadas del punto de tangencia,
y C(a, b) el centro de la circunferencia, la ecuación de
la tangente se podrá escribir de la forma siguiente:
(p1-a)(x-a) + (p2-b)(y-b) = r2
La normal a esa circunferencia por el punto P es
perpendicular a la tangente por el mismo punto.
Pág.3 de 3.