UTN-FRBA-Finales de A.Mat. II

TEMA 1 – 05/12/95
1.- Dada la superficie S de ecuación X = ( u , v , u 2 + v 2 ) con (u, v ) ∈ℜ 2 y la curva C de ecuación
X = ( t , t , 2 t 2 ) con t ∈ℜ
y X = ( x , y , z ) ∈ℜ 3 .
a) Demuestre que en el punto A = ( 1 , 1 , 2 ) la recta tangente a la curva es perpendicular a la recta normal a la
superficie.
b) Halle la ecuación en forma implícita de S y demostrar que C ⊂ S .
2.- Sea z = f ( x, y) con ( x, y) = ( cos ϕ , sen ϕ )
Indique bajo que hipótesis vale la regla de derivación de funciones compuestas.
dz
= 0 ⇒ f ( x, y) = cte o bien x f ′ = y f ′
a) Demuestre que
y
x
dϕ
b) Halle dz siendo f ( x, y) = x 2 y − y 2
r
 z = 5− x2 − y2
, calcule la circulación de f ( x , y , z) = ( x , y x , z x ) a lo largo de C desde
3.- Sea C = 
y
=
2
x
A = ( 1 , 2 , 0 ) a B = ( 0 , 0 , 5 ) . ¿Es posible verificar usando función

4.- Calcule el flujo de f ( x, y, z) = ( x y , x , z y ) a través de la porción de cilindro x = y 2 en el 1° octante con
x + y + z ≤ 2.
TEMA 2 – 14/12/95
r r
1.- Sea S = { X = ( x, y, z) ∈ ℜ / X = F( u, v) ∧ ( u, v) ∈ D }
 a1) ¿Bajo qué condiciones se puede decir que S es una superficie, y qué otras condiciones agregaría para

indicar que S es regular según esta representación (la dada por F en D) ?.
a)  a2) ¿cuando puede asegurarse que z = f ( x, y) con ( x, y) ∈D es la ecuación de una superficie regular?,

justifique basándose en a1.

3
b) Siendo F( u, v) = ( u + 1 , v + 1 , 2 − u − v ) , D = {( u, v) ∈ℜ 2 / − 1 ≤ v ≤ 1 ∧ v ≤ u ≤ 2 − v } . Grafique D ,
grafique S remarcando su frontera y halle las ecuaciones en forma vectorial de los arcos de curva que constituyen la frontera de S.
2.- Dado el campo vectorial f ( x, y) = ( 2 y , 2 x − 2 y )
a) Calcule la circulación de f a lo largo de la curva de ecuación y = y(x) con y ≥ 0 que es solución de
y y’ + x = 0 desde A = ( 1 , 0 ) hasta B = ( − 1 , 0 ) .
b) Justifique que f es un campo de gradientes y verifique “a” mediante la función potencial.
3.- Enuncie el teorema del rotor (o de Stokes) y aplíquelo para calcular la circulación de
f ( x, y, z) = ( 2 y , x z , x y ) a lo largo de la curva C de ecuación
X = ( 2 cos t , 3 , 2 sen t ) ∧ t ∈[ 0 , 2 π ]
con X = ( x, y, z) ∈ℜ 3 .
4.- Analice la existencia de extremos relativos (o locales) del rendimiento (η) de un proceso, clasifíquelos y calcule su valor si
x
1 1
η=
+ − − y + 70
2k
x y
siendo k una constante positiva tal que el volumen del cuerpo comprendido entre el paraboloide x 2 + y 2 = k z y el plano z = k resulta 4π. .
TEMA 3 – 22/12/95
1.- Sea f : D ⊂ ℜ n → ℜ con n >1
(
a) Defina f ′ ( A , v) y justifique (indicando las hipótesis necesarias) la fórmula de cálculo de dicha derivada
direccional mediante el ∇f ( A ) .
 x3 + 2 y3 + x y (1 + 2 x + y )

b) Siendo f ( x, y) = 
x2 + y2

0
si ( x, y) ≠ (0 , 0)
si ( x, y) = (0 , 0)
r
(
(
(
Verifique que si v = (1 , 1) / 2 ⇒ f ′( 0 , v ) ≠ ∇f ( 0 ) . v , ¿qué hipótesis falla en este caso?, justifique.
2.- Una chapa plana de densidad superficial constante tiene como frontera la curva C de ecuación
X = g ( t ) con t ∈[ 0 , 3 ] tal que
(t , 0 )


g(t) =  ( 2 − t , t − 1 )
 ( 0 , 3− t )

si t ∈ [ 0 ,1 ]
si t ∈ [ 1 , 2 ]
si t ∈ [ 2 , 3 ]
a) Calcule las coordenadas del centro de gravedad de la chapa.
b) Analice si la curva C es suave (o lisa) a trozos y calcule mediante integración la longitud de C.
3.- Defina solución general, solución particular y solución singular de una ecuación diferencial ordinaria de 1°
orden, obtenga la solución general de la ecuación x 2 y ′ = y x + y 2 y justifique que y = 0 es una
solución singular de la misma.
4.- Sea S la superficie frontera del cuerpo definido por y ≥ x 2 + z 2 con y ≤ 4 , calcule el flujo del campo f
a través de S sabiendo que f es un campo conservativo con función potencial U( x, y, z) = x y + z 2 + C .
TEMA 4 – 16/02/96
 x y [( x − 1) 2 + ( y + 1) 4 ]2

si ( x, y) ≠ (0,0)
1.- Dada f : D ⊂ ℜ 2 → ℜ / f ( x, y) = 
x2 + y2

0
si ( x, y) = (0,0)

2
a) Defina conjunto conexo en ℜ , represente gráficamente el dominio D de la función y
analice si D es conexo.
b) Demuestre que f ( 0 ) es un mínimo absoluto (en sentido amplio) de los valores de f en D
pero no es un mínimo relativo o local.
 y=x
interseca al paraboloide de ecuación z = x 2 + y 2 en el punto A
2
x
z
3
+
=

2.- La curva C = 
del 1° octante.
a) Analice si C es ortogonal al paraboloide en dicho punto.
b) Calcule la longitud del arco de C incluído en el 1° octante.
3.- Sea C la solución particular de 2 y = x y’ + 4 que pasa por el punto (1 , 3). Halle el punto
de C más cercano al origen de coordenadas y la distancia correspondiente.
4.-Enuncie el teorema de la divergencia, calcule el flujo del campo
y
f ( x, y, z) = ( x + z , x z − ln z , 4 z )
a través del trozo de esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 5 con z ≥ 1 mediante una conveniente aplicación de dicho teorema (note que el trozo de esfera es una superficie abierta).
TEMA 5 – 23/02/96
1.- a) Enuncie el teorema de derivación de funciones compuestas para el caso general ( h : ℜ n → ℜ m / h = f o g ) ,
e indique en qué casos se puede expresar la derivada como producto escalar de dos vectores , y cuándo como producto simple de dos derivadas.
b) Calcule la derivada direccional máxima de h = f o g en el punto A = ( x 0 , y 0 ) = ( 1 , 1 ) siendo
g : D g ⊂ ℜ 2 → ℜ 2 / g ( x, y) = ( x y 2 , y − x 2 )
si f : D f ⊂ ℜ 2 → ℜ / z = f ( u, v) queda definida en forma implícita por z − u 2 + v 2 + ln( v + z ) = 0 .
2.- Sea f : D ⊂ ℜ n → ℜ ( n > 1)
a) Defina cuando f es diferenciable en un punto A , y demuestre que si además f ( A ) es extremo relativo
(
(
(o local) de los valores de f entonces f ′ ( A , r ) = 0 ∀ r ∈ℜ n .
 ( x − 1) y
si ( x, y) ≠ (1, 0)
∂f

b) Dada f ( x, y) =  ( x − 1) 2 + y 2
demuestre que quedan definidas las funciones
y
x
∂

0
si ( x, y) = (1 , 0)
∂f
∀ X ∈ℜ 2 y además que , en este ejemplo , f no es diferenciable en (1,0).
∂y
3.- Sea S el trozo de plano de ecuación x + y + z = 2 en el 1° octante con z ≥ x + y . Calcule la circulación de
f ( x, y, z) = ( x y , z x , z y ) a lo largo de la curva frontera de S aplicando el teorema del rotor indicando
claramente en un gráfico:
- la orientación con la cual decidió circular la frontera de S.
- la terna x,y,z con la que está trabajando.
4.- Sea f :ℜ 2 → ℜ 2 un campo vectorial conservativo y Φ su función potencial, si la familia de líneas de campo
tiene por ecuación x 2 −
1 2
y = K 2 , halle la ecuación de la familia de líneas equipotenciales Φ( X) = cte ).
3
TEMA 6 – 12/03/96
1.- a) Enuncie el teorema de existencia de una función definida implícitamente por una ecuación, y deduzca la
fórmula de cálculo de las derivadas parciales de dicha función (en el punto que corresponda).
b) Sea w = f ( u, v) definida implícitamente por 2 v + u e w − w = 1 .
Si además u = x − y ∧ v = x + 2 y . Calcule en forma aproximada el valor de w cuando x = 0.98 e
y = 1.01 usando diferencial total.
2.- a) Defina derivada direccional de un campo escalar en un punto, y demuestre que si
(
(
(
∃ f ′( A , r ) ⇒ f ′( A , − r ) = − f ′( A , r ) .
(
(
b) Siendo f ( x, y, z) = 4 x 2 + y 2 z calcule f ′ ( A , r ) cuando A = (2 , 1 , − 1) y r es el versor normal exterior en dicho punto a la superficie definida implícitamente por: x 2 + 2 y 2 + z 2 − 7 = 0 .
3.- Defina coordenadas cilíndricas, indique cuales son sus superficies coordenadas en el espacio x,y,z y calcule
el volumen del cuerpo definido por x 2 + z 2 ≥ 4 y x 2 + z 2 + y ≤ 25 con y ≥ 0 .
4.- Obtenga la solución particular (SP) de y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e x que pasa por el punto ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 1 )
con y ′(0) = − 1
TEMA 7 – 24/05/96
1.- Enuncie el teorema de cambio de variables para integrales dobles y calcule
∫∫ e
D
x
1
dx dy mediante la
−1
transformación ( x , y ) = ( ln u , v ) , cuando la región D está en el 1° cuadrante limitada por las curvas
y = e x e y = e 2 x con x ≤ 1 .
2.- Dadas f : ℜ→ ℜ
y g : ℜ 2 → ℜ / g( x , y) =
y
x
a) Enuncie la regla de la cadena para h = f o g , ¿ cuales son en este caso las matrices jacobianas?.
b) Verifique que x h ′x + y h ′y = 0 .
3.- Sea z = f(x,y) definida implícitamente por x 2 + x y − 2 x z + y 2 − z 2 + 21 = 0 , analice la existencia de
extremos relativos (o locales) de los valores de f y calcule sus valores correspondientes.
4.- Sea σ la superficie de ecuación y 2 + z 2 = 4 en el 1° octante , con x + y ≤ 2 . Calcule la circulación
de f ( x, y, z) = ( x y , y , y z ) a lo largo de la curva frontera de σ
aplicando el teorema del rotor.
Nota: la circulación deseada es con la orientación ABCA , siendo:
A = (2 , 0 , 2)
,
B = ( 0 , 2 , 0)
y
C = (0 , 0 , 2) .
5.- Calcule el área de la región plana del 1° cuadrante limitada por la curva de ecuación y = 2 x / π
la curva solución de y ′′ + y = 0 tal que y(0) = 0 e y ′ (0) = 1 .
y
TEMA 8 – 11/07/96
1.- Dado el campo f ( x, y, z) =
( x,y,z)
( x + y 2 + z 2 ) 3/ 2
2
a) Calcule el flujo de f a través de la superficie esférica de ec. x2 + y2 + z2 = 4 .
b) Enuncie el teorema de la divergencia (o de Gauss), ¿puede aplicarse este teorema para el cálculo del flujo
indicado en “a”?, justifique su respuesta.
2.- Dada la curva C intersección de las superficies x + z = 2 con z = x − y2
a) Calcule la circulación de f ( x, y, z) = ( y − z , x , − x ) a lo largo de C desde A hasta B = ( 1 , 0 , 1 )
siendo A el punto de C perteneciente al plano y = 1.
b) Verifique el resultado obtenido en “a” usando función potencial.
3.- Dada f(x,y) = x3 − 2 a x2 y + 3 b x y + y2 + 1 determine los valores de “a” y “b” para que la superficie de ecuación z = f(x,y) tenga plano tangente horizontal en el punto (2, −1, zo). Analice si f(2,-1) es un
extremo relativo.
4.- Dada z = f(x,y) definida implícitamente por x + 2 y z + e z = 0 . Justifique que z ′x z ′′x y − z ′y z ′′x x = 2 ( z ′x ) 3
TEMA 9 – 17/07/96
1.- a) Enuncie el teorema de la divergencia.
b) Calcule el flujo de f a través de la semiesfera de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 sabiendo que existe un
campo g ∈ C 2 / f = rot ( g ) y que f ( x , y , 0 ) = ( 0 , − y , 1 − x ). Indique claramente en un gráfico la
orientación de los versores normales que utiliza.
2.- a) Defina derivada parcial de un campo escalar. Realice un gráfico y explique la interpretación geométrica de
f x′ ( x o , y o ).
b) Dada f(x,y) = x 4 + 4 x y 3 − 6 x 2 − 48 x y + 80 x . Halle los puntos del plano para los cuales se produce
un extremo de f x′ ( x , y ) y clasifique dichos extremos.
3.- Sea f un campo de fuerzas infinitamente diferenciable, tal que:
f ( x , y ) = ( y h( x) + y cos( x) , h( x) + x 2 + sen( x) ) .
Determine h(x) de manera que f resulte conservativo, y que f ( 0 , 1 ) = ( 3 , 2 ) .
4.- Calcule la masa del cuerpo definido por:
x2 + z2 ≤ a 2
, x + z ≥ a , y ≤ 3 , 1o octante , con a > 0 ,
si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde dicho punto al plano y,z.
Tema 10 – 17/09/96
1.- Sea S = { X = ( x , y , z ) ∈ℜ / X = ( u + v , u − v , 2 u 2 + 2 v 2 ) ∧ ( u , v ) ∈ℜ 2 }
a) Demuestre que S es una superficie regular.
b) Considere la curva C ∈ S, imagen de la recta u + v = 2 del plano u,v , halle la ecuación cartesiana del
plano normal a C en el punto A = ( 2 , 0 , 4 ) de la misma.
3
2.- Sea un campo de fuerzas f : D ⊂ ℜ 2 → ℜ 2
a) Defina cuándo se considera que f es conservativo; y demuestre, en este caso, que f es ortogonal en
cada punto a la línea equipotencial que pasa por dicho punto (¿es necesario agregar alguna hipótesis?).
b) Siendo f ( x , y ) = ( − 2 x , 1 ) halle la ecuación cartesiana de la línea de campo (línea de fuerza) que pasa
por el punto A = ( 1 , 3 ) .
3.- Sea la superficie cilíndrica de ecuación x 2 + y 2 = 1 con 0 ≤ z ≤ 4 .
Calcule el flujo de f ( x , y , z) = ( y z 2 , y z , x y 2 ) a través de ella mediante una conveniente aplicación del
teorema de la divergencia. Indique claramente en un gráfico la orientación de los versores normales considerados.
4.- Sea y − z + e z x = 0 que define implícitamente a z = f(x,y) calcule en forma aproximada f(0.01, − 0.02)
aplicando desarrollo de Taylor hasta términos de 2° orden inclusive.
TEMA 11 – 05/12/96
1.- Sea f : D ⊂ ℜ → ℜ ( n > 1)
n
(
(
a) Defina f ′ ( A , r ) (derivada direccional de f ) , y demuestre que si r ≠ 0 y existe f ′ ( A , r ) entonces
(
f ′( A , r ) = || r || f ′( A , r ) .
x y2
con ( x, y) ≠ (0,0) ∧ f (0 , 0 ) = 0 demuestre que f es derivable en toda
b) Dada f ( x , y ) = 2
x + y2
dirección en (0,0) y halle las dos direcciones para las que se produce derivada direccional máxima en este ejemplo.
2.- a) Defina solución general (SG), particular (SP) y singular (SS) de una ecuación diferencial ordinaria. Dada
la ecuación diferencial y = x y ′ + ( y ′) 2 demuestre que 4 y + x 2 = 0 e y = C x + C 2 son soluciones,
indique cual es la SG, cual la SS y un ejemplo de SP.
b) Dada a y ′′ + b y ′ + c y = 16 x , halle la SP / y(0) = −1 ∧ y ′( 0) = − 7 sabiendo que dos soluciones
l.i. de la homogénea son e
x
y e−
4x
.
3.- Si f es un campo conservativo cuya función potencial es φ( x, y, z) = x y + z 2 + C , calcule el flujo de f a
través de la superficie cilíndrica de ecuación y = x 2 en el 1° octante con x + y + z ≤ 2 ; indique claramente en un gráfico cuál es la orientación que Ud. ha elegido para el versor normal a la superficie.
4.- Dada
∫
π/2
π/4
2
cos ϕ + sen ϕ
0
cos ϕ dϕ ∫
ρ 2 dρ planteada en coordenadas polares, grafique la región de integración
en el plano x,y; plantee la integral en coordenadas cartesianas y resuelva la integral según crea más conveniente.
TEMA 12 – 09/12/96
1.- Dada f : D ⊂ ℜ 2 → ℜ
a) Defina “dominio” y “conjunto de nivel k de f ”. Halle y grafique el dominio de f cuando
f ( x, y) = ( x + y ) ( x − y − 2 ) , remarcando el conjunto de nivel 0.
b) Siendo f (x,y) = x + y 2 , calcule la longitud del “arco de curva de nivel 4” de f que se encuentra incluido en el intervalo [−5 , 5] × [−5 , 5] del plano x,y .
2.- Siendo f :ℜ 2 → ℜ 2 un campo conservativo, Df su matriz jacobiana y φ su función potencial (que suponemos clase C 2 en ℜ 2 ).
a) Explique porqué en todo punto en que se anula f y el det( Df ) > 0 se produce un extremo relativo (o local) de φ . ¿Es posible que φ produzca un extremo relativo en un punto en que no se anule f ?, justifique
su respuesta.
 0 4 y
 , analice la existencia de φ y obtenga
 4 y 4 x
b) Sabiendo que f ( 1 , 1 ) = ( 2 , 3 ) y que Df ( x, y) = 
su correspondiente expresión.
3.- Calcule el flujo de f ( x, y, z) = ( x 2 , x z , x 2 − y ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
x + y + z ≤ 2 , z ≥ y , y ≥ x en el 1° octante.
4.- Dada C = { X = ( x, y, z) ∈ℜ 3 / X = g ( t ) ∧ t ∈[0 , 2] } calcule la circulación de f a lo largo de C, siendo

( t , t 2 , 0 ) si t ∈[0 , 1]
rot ( f ) = ( − x , 0 , z − x ) y g ( t ) = 
.
 ( 2 − t , 2 − t , 0) si t ∈[1 , 2]
TEMA 13 – 17/12/96
1.- a) Defina extremos absolutos y extremos relativos; indique un ejemplo de función de dos
variables que presente un extremo absoluto y relativo en sentido amplio y otro ejemplo
con un extremo absoluto y relativo en sentido estricto. ( En cada ejemplo debe indicar:
expresión de la función , punto en que se produce el extremo , valor del extremo, tipo de
extremo y representación geométrica de la gráfica ).
b) La familia de curvas planas de ecuación y = k (1 − x2 ) “pasa” por los puntos
A = ( − 1 , 0 ) y B = ( 1 , 0 ) . Analice cual de las curvas de esta familia se debe utilizar
para “unir” dichos puntos, de manera de maximizar el valor de la circulación del campo
f ( x, y) = ( y , x y ) a lo largo de ella.
2.- a) Dada f : D ⊂ ℜ n → ℜ con n >1 . Defina cuando f es diferenciable en un punto y demuestre que la diferenciabilidad implica derivabilidad en toda dirección.
b) Siendo w = u2 − v3 con u = x 2 − y ∧ v = g( x, y) , resulta w = h (x , y ). Calcule aproximadamente h(1.02 , 0.99 ) usando diferencial total, si g(x,y) queda definida
implícitamente por x v + e v − y − 2 = 0 .
3.- El punto A = (1 , 1 , 3 ) es común a las superficies σ 1 y σ 2 de ecuaciones z = f(x,y)
y z = g(x,y) respectivamente, si las curvas de nivel de ambas funciones son familias ortogonales, y f(x,y) = x2 + 2 y2 , halle la ecuación de la curva de nivel de “g” que pasa
por el punto (1,1).
4.- Calcule el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide de ecuación z = x2 + 2 y2
y el cilindro de ecuación z = 8 − x2 .
TEMA 14 – 20/02/97
1.- a) Indique hipótesis suficientes para asegurar que f(x,y) = 0 es la ecuación en forma
implícita de una curva plana C que pasa por A = ( x 0 , y 0 ) y que es regular en dicho
punto. Demuestre la regularidad mencionada y el hecho que ∇f ( A ) es ortogonal a la
curva en A .
xy
b) Sea f ( x, y) = 2 e
+ y − x , halle la ecuación cartesiana de la recta tangente a la
curva de nivel 3 en el punto ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 1 ) de la misma.
2.- a) Defina coordenadas cilíndricas, indique las fórmulas de pasaje directa e inversa respecto
de las cartesianas, la fórmula de cambio de variables para integrales triples y grafique las
superficies coordenadas de cilíndricas en el espacio x,y,z como así también el correspondiente elemento de volumen.
b) Calcule la masa del cuerpo limitado por x 2 + z 2 = 4 , y 2 + z 2 = 4 en el 1° octante, si
su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x,z.
3.- Sea f ( x, y) = ( x y h( x) , h( x) − x 2 ) un campo conservativo tal que f(0,0) = (0 , −2) ;
demuestre que la circulación de f desde ( 1 , 1 ) a ( 0 , 3/2 ) es nula.
4.- Calcule el flujo de f ( x, y, z) = ( 2 x , 2 y z , z x y 2 ) a través del trozo de cilindro de
ecuación x 2 + y 2 = 1 en el 1° octante con z ≤ 2. Indique claramente en un gráfico la
orientación elegida para el versor normal a la superficie.
TEMA 15 – 28/02/97
1.- a) Defina punto regular de una curva C ⊂ ℜ 3 , obtenga las ecuaciones de la recta tangente y
el plano normal a C en dicho punto.
b) Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C en A = ( 2 , 1 , − 4 ) si se sabe
que los puntos de C pertenecen a la superficie de ecuación z = x y − 3 x , y que la proyección de C sobre el plano x,y es la parábola de ecuación y = x 2 − 3 .
(
2.- a) Dada f : D ⊂ ℜ n → ℜ ( n > 1) , demuestre que si existe f ′ ( A , r ) y f ( A ) es un extremo
(
relativo (o local), entonces f ′ ( A , r ) = 0 .
b) Dada f : D ⊂ ℜ 2 → ℜ / f ( x, y) = ( x 2 + y 4 ) x y , analice f(0,0) como mínimo absoluto de los valores de f en D y como mínimo relativo.
3.- Calcule la circulación del campo f a lo largo de la curva C aplicando el teorema del rotor,
 y x −2
 x+y+z = 2


.
sabiendo que D f ( x, y, z) =  z 0 x  y que C =  2
x + y2 = y

y x 0 
Indique claramente en un gráfico el sentido que Ud. eligió para recorrer C.
4.- Halle la ecuación cartesiana de la curva solución de y ′′ − y = 4 e x que pasa por el origen
de coordenadas con pendiente 2.
TEMA 16 – 05/03/97
1.- a) Enuncie el teorema de existencia y unicidad de una función definida implícitamente
por una ecuación, demuestre la correspondiente fórmula de derivación.
uv
con u = f ( x, y) ∧ v = g( x, y) / ( u x + y e u − x − 1 , v ) = ( 0 , x y 2 )
(
(
queda definida z = h( x , y) en un entorno de A = ( 0 , 1 ) , halle un r tal que h ′( A , r ) = 0 .
b) Dada z = u e
2.- a) Enuncie y demuestre en que condiciones la integral de línea de un campo vectorial no
depende del camino.
b) Dado el campo f ( x, y, z) = ( y 2 − 2 x z , 2 x y + z 3 , 3 y z 2 − x 2 ) analice si se cumplen condiciones suficientes que permitan asegurar la existencia de función potencial;
en caso afirmativo, halle la expresión de dicha función U imponiendo U(1,1,1) = 0.
3.- Sea π o el plano tangente a la superficie de ecuación z = x y − x 2 en ( 1 , 1 , 0 ) , halle
el punto de π o más cercano al ( 3 , 1 , 2 ).
4.- Calcule el flujo de f ( x, y, z) = ( 2 x y , z − y 2 , x z ) a través de la superficie frontera del
cuerpo cuyos puntos cumplen con: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 , x 2 + y 2 ≥ 4 en el 1° octante.
TEMA 17 – 22/05/97
1.- Sea f : D ⊂ IR → IR / f ( x , y ) = x 2 − 2 x + y 2 con recorrido R f = { z ∈ IR / 0 ≤ z < 1 } .
2
a) Demuestre que los valores de f no tienen extremo relativo (o local) pero si tienen un
mínimo absoluto en D, ¿en qué puntos se produce ese mínimo?.
2
b) Sea D1 = { ( x , y ) ∈ D ⊂ IR / x y ≥ 0 } . Calcule el área de D1 mediante una conveniente
integral de línea a lo largo de su frontera.
2
2.- Dada f : D ⊂ IR → IR con ∇f continuo y no nulo ∀A ∈ D .
a) Si f ( A ) = k , demuestre que la curva definida implícitamente por f ( x , y ) = k admite recta
tangente en A cuya ecuación vectorial es del tipo X = A + λ v con λ ∈ IR y v ⊥ ∇f ( A ) .
(
(
b) Siendo f ( x , y ) = x 2 y halle la ecuación de la curva ortogonal en ( 2 ,1) a la línea de
nivel que pasa por dicho punto.
 3x2
3.-Si la matriz jacobiana del campo vectorial f es Df ( x , y ) = 
2 x y
0
 calcule la circulación
x2
de f a lo largo de la frontera de D en sentido positivo, siendo D el conjunto plano de puntos
( x , y ) tales que
x + y ≤ 2 ∧ y ≥ x2 .
4.- Calcule el flujo de f ( x , y , z) =
( xy ,x
2 3
z , y sen x
) a través de la superficie frontera del
cuerpo definido por x 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ x , y ≤ 3 , en el 1° octante.
TEMA 18 – 24/07/97
1) a) Dada f : D ⊂ ℜ → ℜ n (n >1), defina f ′( a ) y demuestre que f es derivable en a si, y sólo
si, sus componentes son derivables en a.
b) Sea C la curva intersección de las superficies de ecuación x 2 + 4 y 2 = 1 con z = y 2 , halle una
ecuación vectorial para el plano normal a C en ( 0 , 1/2 , 1/4 ), y demuestre que dicho plano contiene al eje z.
2) Aplicando el teorema de la divergencia,
a) demuestre que si f ∈C 1 y tiene divergencia nula en ℜ 3 − 0 , su flujo a través de una superfi-
{}
cie cerrada que no pase por el origen, sólo depende de que la superficie encierre o no al origen
(
y no de la superficie particular que se considere (siempre con n saliente). Es decir:
z
(
(
S2
f ⋅ n dσ =
f ⋅ n dσ
S
4
S1
y
S3
x
∫∫
∫∫
∫∫
S1
S3
(
f ⋅ n dσ =
(
S2
∫∫
S4
(
f ⋅ n dσ
)
b) halle la expresión de g( y ) para que el flujo de f ( x , y , z) = x + y 2 , 4 + g( y ) , 3 z − x y a través
()
de la superficie frontera de un cuerpo D resulte igual a 6.Vol(D) , sabiendo que f 0 = 0 .
3)
Dada
f ( x , y , z) =
x + y + z
(
x2 + y2 + z2
)
3/ 2
plantee (indicando los correspondientes límites de
integración), la integral triple de f extendida al cuerpo en el 1° octante con x + y + z ≤ 4 , en
coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas; resuelva la integral en el sistema que crea más
conveniente.
4) Analice la existencia de extremos relativos de z = f ( x , y ) e indique el valor de dicho(s) extremo(s), cuando f queda definida implícitamente por 3 x 2 + 3 y 2 + 3 x y + 3 e z + 3 z − 3 x − 2 = 0 .
TEMA 19 – 31/07/97
1) a)
Sea f : IR → IR derivable en toda dirección en A , demuestre que f ′( A , − v ) = − f ′( A , v ) usando la definición
n
de derivada respecto de un vector.
b)
 y5

Dada f ( x , y ) =  x + y si x + y ≠ 0 .
 0
si x + y = 0

Demuestre que f es derivable en toda dirección ,
pero no es continua en (0,0).
2) a)
Sea S la superficie de nivel k de F ( x , y , z) , demuestre que ∇F ( A ) es un vector normal a S en el punto A de
b)
la misma, indique las hipótesis que considere necesarias.
El polinomio de Taylor de 2° orden para f en un entorno de (1,2) es 3 x + 10 y − x y + x 2 , halle la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuación z = f(x,y) en el punto A = (1 , 2 , z 0 ) de la misma.
(
3) Calcule la circulación en sentido positivo de f ( x , y , z) = x z 3 , x 2 y 2 , x y − z 2
) a lo largo de la frontera de la región
del plano x,y limitada por y = x 2 , y = 4 con x y ≥ 1 , aplicando el teorema del rotor.
4) Dada la ecuación diferencial y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 8 x , halle la solución particular que en el punto
tangente con ecuación y = 6 x + 8 .
( 0 , y0 )
tiene recta
TEMA 20 – 17/09/97
1) Dadas dos funciones f y g :
a) Indique condiciones para asegurar que queda definida h : D ⊂ ℜ n → ℜ m / h = f o g ; agregue hipótesis para f
y g que permitan asegurar que h es derivable en un punto y anote la expresión matricial de la regla de la cadena. Obtenga (desde la forma matricial) la expresión h ′( t 0 ) = ∇ f ( g ( t 0 ) ) ⋅ g ′( t 0 ) , considerando el tipo de funciones
b)
para las cuales es aplicable.
Halle la ecuación del plano que pasa por A = ( 1 , 4 , 3 ) y que contiene todas las direcciones de derivada nula de
h = f o g en dicho punto, cuando f ( u , v ) = u + v y g ( x , y , z ) = ( x y , z − y ) .
2) Considerando la
∫ f ⋅ ds
(circulación de f a lo largo de C ).
C
a)
b)
¿En qué condiciones dicha circulación no depende del camino?, justifique.
Dado el campo de fuerzas f ( x , y ) = x y , x 2 , demuestre que: 1°) su circulación a lo largo de cualquier circun-
(
)
ferencia con centro en el origen es nula, 2°) f no es conservativo.
3) Calcule el área de la superficie de ecuación z = x 2 + y 2 con z ≥ 2 y x 2 + y 2 ≤ 6 .
4) Calcule el flujo del campo f ( x , y , z) = y 2 − z 4 , 2 y z + x y , 4 z − z 2 − x z a través de la superficie frontera del cuer-
(
2
2
2
)
2
po definido por x + z ≤ 4 , y + z ≤ 4 , en el 1° octante.
1) a)
b)
TEMA 21 – 03/12/97
Defina superficie y punto regular de una superficie, considerando los casos de ecuación dada en forma vectorial
y de ecuación dada en forma implícita.
Halle los puntos del elipsoide de ecuación 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 3 en los cuales el plano tangente (al elipsoide) es
paralelo al plano de ecuación z = 2 x .
2) a)
Demuestre que todo campo escalar f diferenciable en A admite derivada direccional en toda dirección en dicho
punto; y que dichas derivadas son todas nulas si f ( A ) es extremo relativo.
b)
Dada f ( x , y , z ) = 4 x 3 − 5 y 2 z calcule la derivada direccional de f en (1,2,2), en la dirección de la normal exterior a x 2 + y 2 + 2 z 2 = 6 en (2,0,1).
(
3) Dado el campo f ( x , y , z ) = g( x ) , x + z , x y 2
)
si
g ′( x) = k
(constante para todo x), halle g( x ) tal que el flujo
de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por z ≥ x 2 + y 2 con z ≤ 9 resulte igual a 4π .
4) Calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( y , z , x
2
2
2
)
desde (2,4,0) a (−2,4,0) a lo largo de la curva intersección de las
superficies de ecuación x + z = 4 , y = x con z ≥ 0 .
TEMA 22 – 11/12/97
2
1) Sea f : D ⊂ IR → IR diferenciable.
a) Indique una ecuación vectorial para la gráfica S de f , y demuestre que si (a,b) es punto estacionario (o crítico) de f , las líneas coordenadas de x=a y de y=b son ortogonales en su punto común ( a , b , f(a,b) )∈S.
b) Si f ( x , y ) = y x 3 / 2 , calcule la longitud del arco de curva coordenada de y = 2 sobre la superficie de ecuación
(
)
z = f ( x , y ) desde 1 / 3 , 2 , 2 3 / 9 hasta
2) Sea f ( x , y ) =
( 3x
2
,− 1
(5 / 3 , 2 , 10
)
15 / 9 .
) un campo de gradientes con función potencial φ
, ) = 0.
tal que φ (11
a)
Demuestre que la circulación de f desde un punto de la curva de ec. y = x 3 + 1 hasta otro punto de la curva
b)
de ecuación y = x 3 + 4 no depende del camino ni de los puntos elegidos.
Halle la ecuación general de las líneas de campo como fam
1) a)
b)
2) a)
b)
TEMA 25 – 27/02/98
Sean F : IR → IR y φ : IR → IR , indique hipótesis suficientes para que φ sea la función potencial de F en
IR2 y demuestre que, en ese caso, las líneas de campo y las equipotenciales son familias ortogonales.
Si x y + y = C es la familia de curvas equipotenciales de un campo de fuerzas F , halle la ecuación de la línea
de fuerza que pasa por el punto (1,1).
Sea f : D ⊂ IR n → IR ( n > 1 ) diferenciable en todo punto de D, demuestre que f es derivable en toda dirección en todo punto de D.
y2
Demuestre que f es derivable en toda dirección en
Sea f ( x , y ) =
si ( x , y ) ≠ ( 0, y ) , con f ( 0, y ) = 0
(0,0), y que no es diferenciable en (0,0).
x
2
2
2
3) Una partícula se mueve sobre la curva intersección de las superficies de ecuación: 3 y = 4 x y 4 z = y 3 / 2 , desde el
punto (0,0,0) hasta el (48,64,128). Calcule la longitud del camino recorrido.
( x , y , 18 x y ) a través del trozo de cilindro de ec. y = x 2 con 0 ≤ z ≤ 9 − x 2 ,
usando versor normal orientado desde la superficie hacia el plano x,z.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) =
TEMA 26 – 06/03/98
1) Siendo f ( x , y ) = x y si x y ≥ 0 y
a)
f ( x , y ) = x si x y < 0 .
Calcule f ′ ( ( 0,0) , (1,−1) ) aplicando la definición y usando la fórmula en base al ∇f .
b)
En (a) los resultados difieren, ¿existe la derivada pedida?; si existiera, ¿cual es su valor?. Justifique sus respuestas.
2) La superficie de ecuación z = f ( x , y ) tiene plano tangente horizontal en el punto (−1, 1 , 3 ).
a)
Si x + 1 + 3 x y + f ( x , y ) = 0 define implícitamente a y = g( x ) , halle la ecuación de la recta normal a esta curva
plana en el punto (−1,1).
b)
Si el Hessiano de f es H ( x , y ) =
halle una expresión que permita calcular f ( x , y ) en todo
2 x −2 y
−2 y −2 x
( x , y ) ∈ IR2 ,sabiendo que f es polinómica de 3° grado.
3) Calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( x y , x , y z ) a lo largo de la curva intersección de z = x 2 − y 2 con x = 2 y
desde el punto (2 , 1 , 3) hasta el punto (−2 , −1 , 3).
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( 3 x , 2 y − 4 , x y ) a través de y = 4 − x 2 − z 2 mediante una conveniente aplicación del
(
teorema de la divergencia. Indique gráficamente el n que ha elegido.
TEMA 27 – 21/05/98
1) Considere ecuaciones diferenciales ordinarias de 2° orden a coeficientes constantes.
a) Demuestre que si y = y1 ( x ) e y = y 2 ( x ) son soluciones de a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) , y de a y ′ ′ + b y ′ + c y = g( x )
respectivamente, la función h = y1 + y 2 es solución de la ecuación diferencial a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( x ) + g( x ) .
b)
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (2 , −2) , sabiendo que y = e x + x 2 − x 3 es una solución particular de la ecuación diferencial y ′ ′ − y ′ = f ( x ) .
2) a)
Enuncie el teorema de Green y halle una expresión que permita calcular el área de una región plana mediante
integrales de línea.
Sea f = ( P , Q) ∈ C 1 , si Q x′ − Py′ es constante ( k ≠ 0 ), calcule la circulación de f a lo largo de la frontera de
b)
la región definida por | x + y | ≤ 1 con | x | ≤ 1 , recorrida en sentido positivo.
3) Calcule el flujo del ∇U a través de la frontera del cuerpo limitado por z ≤ 4 , z ≥ x + y en el 1° octante, con versor
normal saliente, cuando U ( x , y , z ) = x y − z 2 + 2 x z .
4) Analice la existencia de extremos relativos de f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z + 2
rial X = ( u − 3 , v + 4 , 2 u − 2 v − 2 )
con
( u , v ) ∈ IR .
2
evaluada en puntos del plano de ecuación vecto-
TEMA 28 – 31/07/98
1) a)
b)
Defina función potencial. Demuestre que si f ∈ C 1 ( IR3 ) admite función potencial, f debe ser irrotacional.
(
Dado f ( x , y , z ) = x y , x z , z 2
que
∫C
) verifique que no es irrotacional, y demuestre aplicando el teorema del rotor
f ⋅ ds = 0 para cualquier curva cerrada
C
obtenida como intersección del cilindro de ecuación
x 2 + z 2 = r 2 (r > 0) con un plano paralelo al x,z.
2) a)
Sea f un campo escalar diferenciable en D. Demuestre que si A ∈ D y ∇f ( A ) ≠ 0 , la dirección de ∇f ( A ) es
b)
la de máxima derivada direccional de f en A .
Dada f ( x , y , z) = x 2 + y z − x z 2 , el punto A = ( 1 , 2 , 4 ) y el punto genérico X = ( x , y , z ) , halle una ecuación
cartesiana para la superficie que contiene a los puntos X tales que f ′( A , X − A
3) Calcule el área del trozo de cono de ecuación z =
x2 + y2
con
z ≤ 16 , y ≤
) = 0.
3 x en el 1°octante.
4) Calcule la masa del cuerpo limitado por x 2 + y 2 = 1 , z = − 1 , z = x 2 + y 2 , si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.
TEMA 29 – 07/08/98
1) a)
Enuncie el teorema de Green. Bajo las condiciones impuestas por sus hipótesis, demuestre que si f : IR 2 →IR 2
tiene matriz jacobiana simétrica, entonces la circulación de f a lo largo de toda curva cerrada resulta nula.
b)
2) a)
b)
Verifique el teorema de Green con f ( x , y ) = ( 2 y , 5 x ) a lo largo de una circunferencia con centro en (0,0) y
radio 2.
Defina solución general de una ecuación diferencial ordinaria de 1° orden; basándose en la definición demuestre
que y = y h + y p es la SG de y ′ + P( x ) y = Q( x ) si y p es una SP , e yh es la SG de y ′ + P( x ) y = 0 .
Dada y ′′ − y ′ = 2 x halle la solución particular cuya recta tangente en (0,3) tenga ecuación y + 2 x = 3
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥ 5 x 2 + 5 y 2 , z ≤ 1 + x 2 + y 2 , y ≥ x , x ≥ 0 .
4) Halle extremos relativos de f ( x , y , z ) = x 2 z + 3 x z + 4 z y + y 2 evaluada en puntos donde div(gra d ( f )) = 2 x + 2 .
1) a)
b)
TEMA 30 – 25/09/98
Enuncie el teorema de Green y obtenga una fórmula de cálculo del área de una región plana con integrales de
línea.
g( x, y)
Sea f ∈C 1 en IR2 , con matriz jacobiana D f ( x , y ) = 

y
3x 
 . Si la integral de línea de f desde (-2, 0)
h( x , y ) 
hasta (2 , 0 ) a lo largo del eje x resulta igual a 4 , calcule el valor que corresponde al realizarla entre dichos
puntos pero a lo largo de la curva de ecuación y = 4 − x 2 .
2) a)
Indique hipótesis para asegurar que la ecuación F ( x , y , z) = 0 define implícitamente una superficie S en un en-
torno del punto A . Demuestre que, en ese caso, ∇F ( A ) es normal a S en A .
b)
Halle el punto de la superficie S de ecuación z = x 2 + 2 y 2 , tal que la recta normal a S en dicho punto sea paralela a la determinada por la intersección de los planos x + y − z = 4 con y + z = 2 .
3) Calcule la masa del cuerpo definido por x + y + z ≥ 2 , x + y + z ≤ 4 en el 1° octante si la densidad en cada punto es
proporcional a la distancia desde el punto al plano y,z .
4) Sea no la recta normal a la curva C en el punto (1 , -1) de la misma. Calcule la distancia desde no al punto (3,7),
sabiendo que C es solución de la ecuación diferencial x y ′ = ( x + y ) .
TEMA 31 – 11/12/98
1) a) Indique hipótesis para asegurar que la ecuación F ( x , y ) = 0 define una curva C en un entorno del punto
( )
A = ( x 0 , y 0 ) ; demuestre que, en ese caso, ∇F A es perpendicular a C en A .
b) Sea y = f ( x ) definida implícitamente por x y − 1 + ln ( y ) = 0 , halle un polinomio de 2° grado que permita
aproximar los valores de f en un entorno de x 0 = 1 .
2) a) Defina solución general (SG), solución particular (SP) y solución singular (SS) de una ecuación diferencial
ordinaria; en especial, si y = C x + 3 C 2 es la SG , halle la ecuación diferencial y demuestre que y = −
x2
es
12
una SS.
b) Halle la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas definido por y = C x 2 + 2 .
Calcule la masa del cuerpo definido por z ≤ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 32 , en el 1° octante, si su densidad en cada
punto es proporcional a la distancia del punto al plano x,y.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x , y , y z ) a través del trozo de cilindro de ecuación x − 1 = y 2 en el 1° octante con
3)
x + z ≤ 5 . Indique claramente en un esquema la orientación del versor normal que Ud. ha elegido.
TEMA 32 – 18/12/98
1) a)
3
3
Sea f : W ⊂ IR →IR
y la superficie S de ecuación vectorial X = F ( u , v ) con ( u , v ) ∈ D . Defina flujo de f a
través de S y obtenga la fórmula de cálculo del flujo para el caso en que la superficie viene dada en forma explícita, del tipo z = g ( x , y ) con ( x , y ) ∈ H . (No olvide indicar hipótesis para f y S ).
b)
2) a)
(
tal que f ( x , y , z) = x 3 + h( y , z) , y 3 + g( x , z ) , z
Calcule el flujo de f ∈C 1 (IR3 )
)
a través de la superficie S
(
frontera del cuerpo definido por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 con 1 ≤ z ≤ 3 . Indique gráficamente el n que considera en
cada parte de S.
Defina extremo relativo (o local) de un campo escalar, demuestre que si f es diferenciable en A y f ( A ) es
extremo relativo, f ′( A , r ) = 0 ∀r ∈IRn .
(
b)
(
Analice la existencia de extremos relativos (y de existir clasifíquelos) para f : IR2 →IR / f ( x , y ) = x 2 + y 2 + y x 2 .
3) Calcule el momento estático respecto del plano x,y (Mxy) del cuerpo H con densidad constante definido por
x2 + z2 ≤ 8 , z ≥
x 2 + 2 y 2 , y ≤ x , en el 1° octante. (Nota: M xy =
∫∫∫H z δ ( x, y, z) dx dy dz )
4) Calcule la circulación de f ( x , y ) = ( x , − y ) desde A = ( 1 , 1 ) hasta B = ( 2 , e ) a lo largo de la curva solución de
y′ − y = 0 .
1) a)
b)
TEMA 33 – 29/12/98
Defina diferenciabilidad de un campo escalar en un punto; demuestre que la diferenciabilidad implica continuidad y derivabilidad de dicho campo en ese punto.
 x + y si x y ≠ 0
, analice si la gráfica de f admite plano tangente en (0,0,1).
Dada f ( x , y ) = 
 1 si x y = 0
2) Sea X = g (t ) con g (t ) =
a)
b)
(t
2
, 2−t2
)
∧ t ∈[−1 , 1] la ecuación de un arco de curva C en el plano x,y.
Calcule la distancia entre los puntos más alejados de C y la longitud de la trayectoria definida por g .
Siendo z = f x , y definida implícitamente por x + y z + e z − 1 = 0 , demuestre que h = f o g produce un
(
)
extremo relativo (o local) en to = 0.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x cos( y ) , x sen( y ) , x z ) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación
z = sen( y ) con ( x , y ) ∈[0,2] × [0, π ] . Indique gráficamente la orientación del n que ha elegido.
(
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ 2 y , z ≤ x , z ≥ 0 .
TEMA 34 – 19/02/99
1) Sea f ( x , y ) =  2 − x 2 − y 2 , x + y , y − x 2  , siendo D el conjunto plano donde queda definida f con ima

3
gen en IR .
a) Defina extremo absoluto y extremo relativo (o local); demuestre que f produce un extremo relativo, clasifíb)
2) a)
b)
3)
quelo e indique (con fundamento) si es posible asegurar que es extremo absoluto en D.
Calcule el área de D.
Defina solución general, solución particular y solución singular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n.
Demuestre que y = − 2 es solución de x y ′ − x 2 y = 2 x 2 ; ¿qué tipo de solución es? , justifique su respuesta.
Dado f ∈ C1 tal que f ( x , y ) = ( y h ′( x ) , h ′( x ) + 2 h( x ) ) con f (0,1) = ( 2 , 2 ) . Aplique Green y determine h(x) tal que la circulación de f en sentido positivo a lo largo de la frontera de una región D resulte igual
a 4 área(D).
(
)
Sea Φ el flujo de f ( x , y , z ) = y z , x 2 z , 3 z + 1 a través de la semiesfera z = 4 − x 2 − y 2 orientada con ver(
(
sor normal tal que n (0,0,2) = − k ; calcule Φ utilizando una aplicación conveniente del teorema de la divergencia.
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + z 2 ≥ 1 , x 2 + z 2 ≤ 9 , y ≥ 3 x , x + y ≤ 12 , en el 1° octante.
1) a)
b)
TEMA 35 – 26/02/99
Demuestre que un campo vectorial es derivable en A si, y sólo si, sus componentes son derivables en A.
Calcule el área de D ⊂ IR2 donde queda definida la matriz jacobiana de
f ( x , y ) =  ln ( x + y ) , 1 − 4 x 2 − y 2 , ln ( y − x )  .


2) a)
b)
Independencia del camino en una integral de línea: enunciado y demostración del teorema correspondiente.
Sea Φ / Φ(1,1,1) = 5 la función potencial de f ( x , y , z ) = ( 2 x , 2 y + 2 z , 2 y ) definida en IR3 . Determine
las coordenadas de los puntos en los que la superficie de potencial 10 tiene recta normal paralela a la recta de
ecuación x = y = z .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x , y , x z ) a través de y = 9 − x 2 con x + z ≤ 2 , 1° octante. Grafique el n( que
ha elegido.
4) Calcule el área del trozo de cilindro de ecuación x 2 + z 2 = 2 cuyos puntos están en el 1° octante con
z ≥ x , y ≤ x.
TEMA 36 – 05/03/99
1) a)
( )
2
Dada φ : IR →IR demuestre que, bajo ciertas condiciones (indique hipótesis suficientes), el ∇φ A es perpendicular a la curva de nivel de φ que pasa por el punto A .
b)
2) a)
b)
Sea f : IR2 →IR2 / f ( x , y ) = ( 2 x , 8 y ) . Halle ecuaciones cartesianas para la línea equipotencial y para la línea
de campo que pasan por el punto ( 2 , 32 ).
Enuncie la regla de la cadena en forma matricial. ¿ Bajo qué condiciones h x′
k
( A ) = ∇f ( g ( A )) ⋅ g x′ k ( A ) ?,
justifíquelo.
Calcule z ′′yx (2 , 0) cuando z = f ( x , y ) queda definida en forma implícita por x ln ( x z ) + y z = 0 .
(
3) Aplique el teorema del rotor y calcule la circulación de f ( x , y , z ) = 2 − y 3 z , x 3 z , x y z
) a lo largo de la curva
intersección de z = 4 − x 2 − y 2 con z = x 2 + y 2 + 2 . Indique claramente en un gráfico el sentido de circulación
que Ud. ha elegido.
4) Calcule el volumen del cuerpo cuyos puntos cumplen con x 2 + y 2 ≤ 4 x , x + z ≤ 6 , x − z ≤ 6 .
TEMA 37 – 28/05/99
1) a) Sea el campo escalar f diferenciable en A , demuestre que f es continuo y derivable en toda dirección en dicho
punto.
b) ln( x z ) − y z + x − 1 = 0 define z = f ( x , y ) ; obtenga las direcciones de derivada máxima, mínima y nula de f
en (1,0).
(
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia; si f = ∇U , ¿qué debe cumplir U para que el flujo
f ⋅ n dσ = 0 ∀ S ?
S
b) El campo f : IR3 − 0 → IR3 tiene matriz jacobiana continua y divergencia nula en su dominio, demuestre que el
(
flujo
f ⋅ n dσ no depende de S, sólo depende de que S rodee o no al origen (se supone que 0 ∉S ).
S
3) Calcule la masa del cuerpo definido por y ≤ 4 − x 2 , y ≥ x 2 − 4 , z ≤ 2 , con densidad en cada punto pro-
∫∫
{}
∫∫
porcional a la distancia desde el punto al plano y,z.
v
4) Determine g para que el campo f ( x , y ) = ( y g ′′( x ) , 2 g( x ) ) admita función potencial; suponga f (0,1) = (2, 4) .
1) a)
b)
TEMA 38 – 29/07/99
Función def. implícitamente por una ecuación: enuncie el teor. de exist. y unicidad., demuestre la fórmula de
derivación.
2
Sean h = f o g , g x = ( e x , e x ) , f u, v definida implícitamente por y − 1 + ln ( y u v ) = 0 . Demuestre
( )
(
)
que y = h( x ) / h(0) = 1 es solución particular de la ecuación diferencial
2) a)
Enuncie el teorema del rotor, aplíquelo para calcular la circulación del campo f /
( 1+ y ) y ′ + ( 1+ 2 x ) y = 0 .
rot f ( x , y , z ) = ( x z − x , − y z , z − x )
a lo largo de la curva de ecuación X = ( 2 cos t , 2 sen t , 3 ) con t ∈[ 0,2π ] .
b)
Sean f / rot f ( x , y , z ) = k n ( k, n constantes), C curva frontera de D incluida en el plano ( X − A ) ⋅ n = 0 ,
demuestre que la circulación de f a lo largo de C es proporcional al área de D.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y , − x , z ) a través de z = x 2 + y 2 con x 2 + y 2 ≤ 2 x . Grafique el n( que ha
elegido.
4) Calcule la masa del cuerpo: y ≥ x 2 , x + y ≥ 2 , y ≤ 4 , | z | ≤ y , densidad proporc. a la dist. desde cada punto al
plano x,z.
TEMA 39 – 05/08/99
1) a)
(
)
Enuncie el teorema de la divergencia. Dado f ( x , y , z ) = 2 x z + g ( x − y ) , y + g ( x - y ) , g ( x + 2 y ) − z − z 2 , su1
b)
ponga g∈C y demuestre que el flujo de f a través de S cerrada no depende de S (indique hipótesis adicionales para
S).
Sea f ∈C1 / div f ( x , y , z ) = 1+ y + z ∧ f ( x , y , 4) = ( x y , 4 y , x 2 ) ; calcule el flujo de f a través del trozo
(
de paraboloide de ecuación z = x 2 + y 2 con z ≤ 4 . Indique gráficamente el n que ha elegido.
x −1

si ( x , y ) ≠ (1,1) analice si f (1,1) es

2
Defina extremo relativo de campo escalar; dada f ( x , y ) =  ( x − 1) + ( y − 1) 2
extremo relativo.

0
si ( x , y ) = (1,1)
b) Dada f (x,y) definida implícitamente por x 2 z + y 2 e z + z 2 − z = 0 determine los puntos en los que la gráfica de
f tiene plano tangente horizontal; halle por lo menos uno de ellos en los que el valor de f sea extremo local y
clasifíquelo.
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por x ≥ y 2 − 1 , x + y 2 ≤ 1 , z − x ≤ 2 , z ≥ x − 2 .
4) Dada C de ecuación X = ( 1 + cos( t ) , sen( t ) , 7 − cos( t ) − sen( t ) ) con t ∈[0,2π ] ,
2) a)
calcule
∫C f ⋅ ds
si rot f ( x , y , z ) = ( z , x , y ) .
TEMA 40 – 24/09/99
1) a)
b)
2) a)
b)
n
(
m
Sea f : D ⊂ IR →IR (n > 1, m > 1) tal que f ( X ) = f1 ( X ) , ⋅ ⋅ ⋅ , f m ( X )
)
con X = ( x1 , ⋅ ⋅ ⋅ , xn ) . Defina
derivada parcial de f respecto de xk en A ; demuestre que dicha derivada existe si, y sólo si, las componentes
de f son derivables en dicho punto (k = 1, ..., n).
(
Dada la superficie S de ecuación X = u 2 v − 1 , v u , u v
) con (u,v) ∈ IR × IR , verifique que A = (3 , 4 , 2)
+
+
es un punto regular de S ; halle ecuaciones cartesiana y vectorial para el plano tangente a S en A .
Proponga una fórmula para el cálculo de áreas planas usando integral de línea; demuestre la validez de la misma aplicando el teorema de Green, y aplíquela para calcular el área de la región definida por x2 + 4 y2 ≤ 4.
Determine g para que el trabajo del campo f ( x , y ) = ( y g ( x ) , g ( x ) ) no dependa de la trayectoria, y calcule
dicho trabajo desde (1,3) a (1,4). Suponga que f ( 0 , 2) = (6 , 3 ) .
3) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≥ x , y ≤ x , z ≤ 0.75 − x 2 en el 1° octante, si la densidad en cada punto
es proporcional a la distancia desde el punto al plano x,z.
4) Calcule el área del trozo de superficie cilíndrica definida por y = x2 con 0 ≤ z ≤ y1/2 , y ≤ 4 , x ≥ 0.
TEMA 41 – 07/12/99
1) Dado F : IR →IR , suponga que A = ( x 0 , y 0 ) ∈ L0 (conjunto de nivel 0 de F).
2
( )
a)
Enuncie hipótesis para asegurar que L0 admita recta tangente en A y demuestre que ∇F A ⊥ L0 en A .
b)
Suponga que y − x + ln( x y ) = 0 define y = f ( x ) , analice si f (1) es extremo relativo.
144244
3
F ( x ,y )
2) a)
b)
Ecuación diferencial ordinaria: defina solución general, particular y singular. Demuestre que en toda
ec.diferencial ordinaria lineal de 2° orden homogénea, la combinación lineal de soluciones particulares es solución de la ecuación.
Determine y grafique la solución particular de y dx + x + y 2 dy = 0 que pasa por el origen de coordenadas.
(
)
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( 2 x − y , 2 y + z , y − z ) a través de la superficie S frontera del cuerpo definido por
(
x 2 + y 2 ≤ 2 y con 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 . Indique gráficamente la orientación del n elegido en cada parte de S.
4) Calcule el trabajo del campo de fuerzas f ( x , y , z ) = ( x , y − z , z
intersección de y = x 2 con x + z = 2 desde
2x + z =1.
1) a)
b)
( 2 , y0 , z 0 )
)
a lo largo del arco de curva C definido por la
hasta el punto en el que C “corta” al plano de ecuación
TEMA 42 – 14/12/99
Enuncie el teorema de cambio de variables para integrales dobles; ¿qué representa el jacobiano de la transformación?.
Para resolver una integral doble se debe realizar una transformación del tipo ( x , y ) = ( w h( w) − t , w + t ) ; determine la
expresión de h de manera que el jacobiano resulte J ( w , t ) = 1 + w , y que
2) a)
b)
( w0 , t 0 ) = ( 1 ,1 ) se aplique en el ( − 1 2 , 2 ) .
Demuestre que si f ∈ C 1 (IR3 ) admite función potencial, su matriz jacobiana debe ser simétrica; es decir, rot( f ) ≡ 0 .
Verifique que f ( x , y , z ) =
(y
2
+ z , 2 x y +1− z , x − y
) es un campo de gradientes y halle una ecuación vec-
torial para el plano tangente a la superficie equipotencial que pasa por el punto (1, 3, 2) .
3) Sea H la región plana limitada por las curvas de ec. y = x , y = x 3 . Calcule la
circulación de f a lo largo de la frontera de H aplicando el teorema de Green.

Considere que Df ( x , y ) =  2 x y
 −1
x2

0
(x
, y , x z ) a través del trozo de cilindro de ecuación y = x 2 con 0 ≤ z ≤ 1 − y .
Indique en un esquema la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) =
1) a)
b)
2) a)
b)
TEMA 43 – 21/12/99
Enuncie el teorema de Gauss (o de la divergencia)
Sea f ∈ C 1 / f = rot( g ) , demuestre que el flujo de f a través de S cerrada, no depende de S. (indique hipótesis para S).
Defina superficie e indique condiciones para que una superficie sea regular.
Sea π o el plano tangente en A = (2 ,1 , 3) a la superficie S0 de ecuación X = 2 u 2 , v − u , v + u con (u , v ) ∈ IR2 ;
(
)
determine los puntos de S1 donde su plano tangente es paralelo a π o .La ecuación de S1 es x 2 + 2 x z − y z − 41 = 0 .
3) Calcule el área del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x 2 con y ≤ 4 , x ≥ | z | .
4) Calcule la integral de línea de f ( x , y ) = ( x − y , y ) desde A = (2 , 0) hasta B = ( −2 , 0) a lo largo de la curva solu-
ción de la ecuación y ′′ − y ′ = 2 x − 2 que pasa por dichos puntos.
TEMA 44 – 18/02/00
1) a) Defina superficie regular en forma paramétrica vectorial, basándose en dicha definición obtenga la condición de regularidad de una superficie dada en la forma z = f (x , y ) .
b) Considere la superficie de ecuación X = (u − v , u + v , v/u ) ∧ (u,v)∈ IR2, con plano tangente π0 en (1,1,0). Calcule el
área del trozo de π o cuya proyección sobre el plano xy es {(x,y) )∈ IR2 / y > | x | ∧ y < 2 }.
2) a) Condiciones para la independencia del camino en una integral de línea: enunciado y demostración.
b) Determine w(x ) tal que f (x , y ) = ( x y + 3 y w( x) , 2 x + 3 w( x) ) sea un campo de gradientes con f (0,2) = (8,4) .
3) Calcule la circulación de f (x , y , z ) = ( x y , z , y ) a lo largo de la curva intersección de las superficies z = 2 − y − x 2 con
y = x 2 en el 1° octante. Indique la orientación con la que ha decidido recorrer la curva (pto. inicial y pto. final).
(
4) Calcule el flujo de f (x , y , z ) = x 2 y , z − x 3 , x − y x 2
2
) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por z ≥ y
2
2
z ≤ 2 − 2 x − y en el 1° octante. Indique la orientación de los versores normales que considera.
TEMA 45 – 25/02/00
1) a) Demuestre que si f : D ⊂ IRn →IR es diferenciable en A , f ′( A , r( ) = ∇f ( A ) ⋅ r( ∀r( ∈ IRn.
b) Dada u = x v , con v = f ( x , y ) definida implícitamente por v x + ln( v y ) − x = 0 , resulta u = h( x , y ) . Calcule las
direcciones de derivada direccional máxima, mínima y nula de h en el punto (1,1).
2) a) Dadas y1 ( x ) = x e y 2 ( x ) = 4 , verifique que son l.i. en IR y construya la ecuación diferencial de 2° orden que
las tiene como soluciones de la homogénea, sabiendo que y p ( x ) = sen(3 x ) es una solución particular de la misma.
b) Calcule la circulación de f ( x , y ) = ( y − x , 2 x ) desde (1,1) hasta (0, – 4), a lo largo de la solución particular de la
ecuación diferencial x y ′ − 2 y = 8 que pasa por dichos puntos.
3) Calcule el flujo del gradiente de φ ( x , y , z ) = x 3 − 2 y z 2 a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
2 x + y ≤ 4 , x + z ≤ 2 , en el 1° octante. Indique la orientación que toma para los versores normales.
4) Calcule el área del trozo de cono de ecuación z =
x 2 + y 2 con x 2 + y 2 ≤ 4 y .
TEMA 46 – 03/03/00
1) a) Demuestre que un campo vectorial es derivable si, y sólo si, sus componentes son derivables.
b) Dado f ( x , y , z ) =
(x
2
)
− 1 + ln( z ) , y 2 − x 2 + x y − 2 z , x − y 2 + z 2 , calcule el volumen de la región de IR3 en el 1°
octante donde el rotor de f tiene componentes positivas. (Recuerde que el dominio de la función siempre incluye a
los de sus derivadas)
2) a) Demuestre que diferenciabilidad ⇒ continuidad y derivabilidad en toda dirección.
x y2 − y3
b) Dada f ( x , y ) =
si ( x , y ) ≠ (0,0) ∧ f (0,0) = 0 Analice la derivabilidad de f en (0,0) según distintas
2
2
direcciones y halle las direcciones de derivada nula.
x +y
(
3) Calcule la circulación de f ( x , y ) = y 2 − x y , 2 x y
) a lo largo de la curva frontera de la región plana definida por
x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 , y ≥ − x . Indique gráficamente el sentido con el que decidió recorrer la curva.
4) Dada la ec. dif. y ′′ + 4 y = 16 + 8 x , halle la sol. particular que en (0,y0) tiene recta tangente de ecuación 3 x + y = 2 .
,
TEMA 47 – 23/05/00
1) a) Perpendicularidad del gradiente a las superficies de nivel; hipótesis y demostración.
b) Sea n0 la recta normal a la superficie de ecuación x y − z ln( x ) + y e z −1 − 4 = 0 en A = (1 , 2 , z 0 ) . Halle el punto de
intersección de n0 con la superficie de ecuación X = ( u − v , 2 u , v ) con (u , v ) ∈IR2.
2) a) Sea f una función vectorial de una variable, defina f ′(t ) y demuestre que f es derivable si, y sólo si, sus com0
ponentes son derivables.
b) Aplique la fórmula de longitud de curva para calcular

la longitud de la curva frontera del dominio del campo f ( x , y ) = 


, ln 4 − x 2 − y 2 
y−x

)
(
xy
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥ x 2 , x + y + z ≤ 2 , en el 1° octante.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) =
( xz
2
, z y − z , z2
) a través del trozo de cilindro de ecuación
y 2 + z 2 = 4 en el 1°
octante con y ≥ x . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
TEMA 48 – 26/07/00
1) a) Independencia del camino en una integral de línea: hipótesis y demostración.
b) Determine la familia de funciones g de manera que f ( x , y ) =
( y g ′( x ) , x
2
)
− g ′( x ) admita función potencial.
2) a) Definición de punto regular de una superficie, ecuación del plano tangente (casos de superficie dada en forma vecto-
rial y en forma cartesiana explícita).
b) Sea π 0 el plano tangente al paraboloide de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 en el punto (1,1,2). Calcule el volumen del
cuerpo limitado por dicho paraboloide, el plano π 0 y los planos coordenados, en el 1° octante.
3) Calcule el área del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = 2 x 2 con z ≤ x , x ≤ 3 , en el 1° octante.
4) El campo f tiene matriz jacobiana Df según se indica. Calcule la circulación de f
 2
y

a lo largo de la curva intersección de z = x + y con z = 9 aplicando el teorema del Df ( x , y , z ) =  0
 z
rotor. Indique gráficamente la orientación con la que decidió recorrer la curva.

2
2
2xy
z
0
0

y
x 
TEMA 49 – 02/08/00
1) a) Defina LC (conjunto de nivel c) para un campo escalar f de dos variables. ¿Bajo qué condiciones se puede asegurar
que ∇f es perpendicular a LC en un punto?, demuéstrelo.
b) Dada f ( x , y ) = | y | + x 2 calcule el área de la región plana limitada por f ( x , y ) = 4 y f ( x , y ) = 9 .
(
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia; aplíquelo para demostrar que si f ∈C 2,
∫∫ rot( f ) ⋅ n dσ = 0 ∀S .
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) =
( x−y
S
2
, y + z x , sen( x − y )
) a través de la superficie frontera del cuerpo definido
por z ≥ 4 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 4 , z ≤ 8 .
3) Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación z = x 2 + y 2 con
4)
(
Dado f ( x , y ) = y e
x− y
+ x ye
x− y
, xe
x− y
− x ye
x− y
x2
a
2
+
y2
b
2
≤ 1 ( a ,b ∈IR+).
) demuestre que es un campo de gradientes y determine el
(los) punto(s) donde su función potencial produce extremo relativo, clasificando el tipo de extremo.
TEMA 50 – 23/09/00
1) a) Enuncie el teorema de Green y obtenga una fórmula para el cálculo del área de una región plana mediante integrales de línea.
b) Calcule la circulación del campo f a lo largo de la frontera de la
Dato: f tiene matriz jacobiana continua
y 
α ( x , y)
región plana definida por y ≥ x 2 − 2 x , y ≤ 2 x .
Df ( x , y ) =  2

Indique gráficamente el sentido de circulación que ha elegido.
 x + y β ( x , y )
2) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones (regla de la cadena). Demuestre que
z = f ( x − y , y − x ) con f ∈ C 1 satisface la ecuación z x′ + z ′y = 0 .
b)
Halle un polinomio de 2° grado que permita aproximar en un entorno de (0,0) a z = f ( x , y ) definida implícitamente
xz
por z 3 + y + e − 2 = 0 .
(
3) Calcule el flujo del campo f ( x , y , z ) = y − x 2 , 2 x y − 2 y z , z 2 + 3 z
) a través de la superficie frontera del cuerpo
(
definido por z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 8 − x 2 − y 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el n .
4) Sea F la familia de curvas ortogonal a y = k e x . Calcule la longitud del arco C∈ F con puntos extremos (1,2) y (3,0).
TEMA 51 – 06/12/00
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Bajo las condiciones del teorema, demuestre que si existe h ∈C2(IR3) tal que
f = rot(h ) , entonces el flujo de f a través de toda superficie cerrada es nulo.
b) Sea f ( x , y , z ) =
( xy−z
2
, x z sen( x + z ) , g ( x , y )
)
donde g : IR2→IR tiene derivadas parciales continuas. Cal-
cule el flujo de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por y + z ≤ 4 , y ≥ x , 1° octante.
2) a) Ecuación diferencial ordinaria: definición de solución, distintos tipos de soluciones. Analice si x = 0 es solución
singular de la ecuación diferencial x y ′ = 4 x 2 .
(
)
b) Determine g(x) / su gráfica pase por (1,2), y el campo f ( x , y ) = y g ( x ) − y , y 2 + g ( x ) admita función potencial.
3) Dada g ( x , y ) = ln( f ( x , y )) analice si g (1,2) es extremo local, en caso afirmativo clasifíquelo. La función f ∈C 2 y su
polinomio de Taylor de 2° orden en un entorno de (1,2) es p( x , y ) = 5 + 3 ( x − 1) + 2 ( x − 1) ( y − 2) + 2 ( y − 2) .
2
2
4) Calcule el área del trozo de plano de ecuación z = 2 y interior al elipsoide de ecuación 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 32 .
TEMA 52 – 13/12/00
1) a) Función potencial: definición, demostración de la condición necesaria de existencia (indique las hipótesis).
Dado f ( x , y ) = y g ( x ) , y 2 − g ( x ) + x 2 / f (0,2) = (2 , 3) , halle g(x) para que f tenga matriz jacobiana simétrica.
b)
2) a) Defina derivada parcial de un campo vectorial; demuestre que: “campo derivable” ⇔ “componentes derivables”.
b) Sea f ( x , y , z ) = ( 3 x sen( x ) , y sen( y ) + x z , z cos( z ) + x y ) , calcule la circulación de f a lo largo de la curva C
(
)
de ecuación X = ( 2 cos(u) , 2 sen(u) , 4 ) con u∈[0,2 π ], aplicando el teorema del rotor.
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥
4) Sea f ( x , y ) =
x sen( x y )
2
x +y
2
x2 + y2 , z ≤ 2 − x2 − y2 , y ≥ x .
si ( x , y ) ≠ (0,0) ∧ f (0,0) = 0 .
Determine las direcciones de derivada máxima y de
derivada nula en el origen. ¿Es f diferenciable en (0,0)?.
TEMA 53 – 20/12/00
1) a) Enuncie la regla de derivación de funciones compuestas (regla de la cadena) en forma matricial. Aplique dicha regla
 1 2
para calcular h ′ A , (0.6 , 0.8) cuando h = f o g , Df (u , v ) = v 2 2 u v , Dg A = 
 , g A = (2 ,1) .
 3 2
(
)
(
)
(
( )
( )
b) Suponga ϕ : IR→IR , ϕ ∈C 1 y calcule el flujo de f ( x , y , z ) = x ϕ ( x z ) , y 2 + x ϕ ( x z ) , y − z ϕ ( x z )
) a través de una
superficie esférica S de radio R con centro en el origen aplicando el teorema de la divergencia, indique gráficamente la orientación del versor normal a S.
2) a) Defina conjunto de nivel k de un campo escalar. Calcule el área de la región plana limitada por la curvas de nivel 1
2
2
y e del campo f ( x , y ) = e x +2 y −1 .
b) Dado ϕ ( x , y ) = x 2 + 4 y 2 , halle las trayectorias ortogonales a las líneas de nivel de ϕ ; indique en especial las
ecuaciones de las curvas de ambas familias que pasan por el punto (2,1).
3) Sea π el plano normal a la curva C en (1,0,1), determine el punto de π más cercano al origen de coordenadas,
o
o
sabiendo que C queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones z = x 3 − y ∧ z = x + y .
4) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≤ 10 − 2 x 2 − 2 y 2 , z ≥ 1 − x 2 − y 2 , si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.
TEMA 54 – 17/02/01
1) a) Sea f : IR →IR (n>1), demuestre que existe f ′(a ) si, y sólo si, todas las componentes de f son derivables en a.
b) Sea z = f ( x , y ) definida implícitamente mediante la ecuación z − y + ln( x z ) = 0 , calcule en forma aproximada
h(1.02) cuando h = f o g con g (t ) = ( t , t 3 ) .
2) a) Enuncie el teorema de Green y obtenga una fórmula para calcular área de región plana mediante integral de línea.
b) Sea f : IR2 →IR2 con matriz jacobiana Df , calcule ∫ + f ⋅ ds cuando C es la frontera
 3 y 3 x
C
Df ( x , y ) = 

 2 x 2 y
2
de la región plana definida por y ≥ x , x + y ≤ 2 .
(
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y , x , 2 y z ) a través de z = x con x 2 + 4 y 2 ≤ 4 . Grafique el n que ha elegido.
n
4) Determine g ( x ) tal que f ( x , y , z ) = g( x ) + y 2 + z 2 sea un campo armónico ( div(grad(f)) ≡ 0 ), y que la superficie de
nivel 1 de f pase por el origen de coordenadas y por el punto (2,2,2).
TEMA 55 – 24/02/01
1) a) Derivada parcial de un campo escalar: definición, interpretación geométrica (para n = 2).
b) Dada h = f o g con g ( x , y ) = ( x − y , y − x ) y f (u , v ) definida implícitamente por w − u + v + e w− u = 0 , determine la dirección de derivada direccional mínima de h en el punto A = (2 ,1 ) y el valor de dicha derivada.
2) a) Defina soluciones general, particular y singular de una ecuación diferencial ordinaria.. Analice si y = 2 − x es solución singular de la ecuación y ′′ − y ′ = 1.
b) Calcule la circulación de f ( x , y ) = ( y g ( x ) − y , g ( x )) de (0,2) a (2,3), si f es campo de gradientes y f (0,0) = (0,3) .
3) Calcule la circulación del campo f a lo largo de la curva C intersección de z = x 2 + y 2 con z = 8 − x 2 − y 2 , sabiendo
que rot( f ) = ( − 2 x z − 2 y z , − 1 − y , z + z 2 ) . Indique gráficamente el sentido que ha elegido para recorrer C.
4) Calcule el área del trozo de cono de ecuación z = x 2 + y 2 cuyos puntos cumplen con y ≥ x ∧ z ≤ 4 .
TEMA 56 – 03/03/01
1) Dada f ( x , y ) = ( x − y ) ( x + y ) si ( x , y ) ≠ (0,0) ∧ f (0,0) = 0 .
a) Defina conjunto de nivel k de f(x,y), ¿cómo se obtiene gráficamente?; determine y grafique el conjunto de nivel 0.
b) Analice si f(0,0) es extremo local de los valores de f .
2) a) Enuncie el teorema del rotor; demuestre que si f ∈ C 1 es un campo de gradientes, ∫ f ⋅ ds = 0 ∀C .
2
2
2
2
(
b) Dado el campo de fuerzas f ( x , y , z ) = y z , 2 y z , y
2
) , demuestre que
C
∫C f ⋅ ds = 0
∀C plana en el xy, pero f
no es conservativo.
3) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ x , 1° octante, si su densidad en cada punto es proporcional a
la distancia desde el punto al plano xz.
(
4) Sea f ( x , y , z ) = ( g ( x ) + y − z , y g ( x ) + z , x + y − z ) ∈ C 1 / f 0 = 0 , determine g(x) para que ∫∫ f ⋅ n dσ = 0 ∀S .
()
S
TEMA 57 – 31/05/01
1) a) Sea f campo escalar diferenciable en A , demuestre que f es continuo y derivable en toda dirección en dicho punto.
b) Dada z = x u 2 − x 2 + 2 con u = f ( x , y ) definida implícitamente por u x + ln(u y ) − u = 0 , resulta z = h( x , y ) ;
calcule en forma aproximada h( 0 .98 ,1.01) .
2) a) Defina extremos absolutos y relativos (o locales) para un campo escalar. Analice si f (11
, ) es mínimo local y también mínimo absoluto en IR2 de f ( x , y ) = 3 + ( x − 1) 2 + ( y − 1) 4 .
b) Halle ext. locales de f ( x , y , z ) = z 2 + ( y − x ) 2 evaluado en puntos de la superficie de ecuación z = e x 2 ( x − 1) .
3) Calcule el volumen de la región D⊂IR3 donde queda definido f ( x , y , z ) =  z − x 2 − y 2 , ln( 2 − z + x 2 + y 2 ) , x z .


4) Calcule la integral de línea del campo f ( x , y , z ) = ( x y , x , z y ) desde (2,–2, –2) hasta (1, –1,0) a lo largo de la curva C
definida por la intersección de las superficies S1 : z = x − y 2
do función potencial?, justifique su respuesta.
y S2 : x + y = 0 . ¿Es posible verificar el resultado usan-
TEMA 58 – 04/08/01
1) a) Sea f : IR →IRm ( m > 1) tal que f = ( f 1 , L , f m ) . Demuestre que f es derivable en t0 si, y sólo si, sus componentes son derivables en dicho punto.
b) Dada la curva C definida como intersección de z = x + y 2 con y = x 2 , analice si la recta tangente a C en (1,1,2)
tiene algún punto en común con el eje y.
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x + g ( x − y ) , g ( x − y ) , x y + z ) a través
de una superficie esférica con centro en el origen y radio R, suponiendo que se cumplen las hipótesis del teorema.
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x + y 2 z 3 , y − x sen 2 ( z ) , z + 1 ) a través del trozo de paraboloide de ecuación
z = 1 − x 2 − y 2 con z ≥ 0 . Indique gráficamente la orientación del versor normal que considera.
3) Sea f ( x , y ) = ( y g ( x ) + x , x 2 + g ( x ) + y 2 ) un campo de fuerzas conservativo tal que f(0,0) = (0,2). Halle su función
potencial.
4) Dado f ( x , y , z ) = ( x 2 y z , y , x z ) , calcule aplicando el teorema del rotor la circulación de f a lo largo de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 4 en el plano z = 2 . Indique gráficamente la orientación con la que ha decidido circular.
TEMA 59 – 11/08/01
1) a) Defina extremos relativos y extremos absolutos de un campo escalar. Dado f ( x , y ) = x 4 + y 8 + ( x − y ) 2 + 3 , analice si f(0,0) es extremo relativo (o local), y también si es extremo absoluto en IR2.
b) Dada f ( x , y ) definida implícitamente por x y − 3 y + y 2 + x 2 + 2 + e z + z = 0 , estudie la existencia de extremo(s)
relativo(s) de los valores de f y clasifíquelo(s).
2) a) Sea la ecuación diferencial a y ′′ + b y ′ + c y = 0 con a,b,c constantes, a ≠ 0 .Demuestre que si la ecuación caracter x
rística tiene raíz doble de valor rd , y = x e d es solución de la ecuación diferencial; indique la correspondiente
solución general y demuestre que está construyéndola mediante dos funciones con wronskiano no nulo.
b) Aplicando el teorema de Green halle g ( x ) tal que
& ( D) , cuando
∫C + f ⋅ ds = 2 area
f ( x, y) = ( y g( x) , g( x) − y )
con f ( 0,2) = (2 , − 1 ) , y la curva C es la frontera de D.
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥ x 2 , x ≥ z 2 , x ≥ | y | .
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( z 2 , 2 x y , x z ) a través del trozo de superficie esférica de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4
con z ≥ y , en el 1° octante. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
TEMA 60 – 29/09/01
1) a) Defina derivada parcial para un campo escalar de 2 variables, realice la correspondiente interpretación geométrica.
b) Dada f ( x , y ) definida implícitamente por z x − ln( z y ) − 2 = 0 , calcule en forma aproximada f (1.98 , 1.01) .
2) a) Sea f un campo escalar diferenciable; demuestre que si f ( A ) es extremo local, ∇f ( A ) = 0 .
(
b) Halle g ( x ) / g(0) = 3 ∧
f ⋅ n dσ = 0 ∀S suave a trozos, cuando f ( x , y , z ) = ( g ( x ) − x , z x + y g ( x ) , y − z ) .
∫∫S
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y , x , z ) a través del trozo de superficie cilíndrica S de ecuación z = 4 − y 2 , en el
1° octante, con y ≥ x 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a S.
4) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 2 − x 2 − y 2 , si la densidad en cada punto es proporcional a
la distancia desde el punto al plano x,y.
TEMA 61 – 07/12/01
1
1) a) Enuncie la regla de la cadena. Sean f ∈ C , h( x , y ) = f ( x 2 − y 2 , y 2 − x 2 ) ; demuestre que ∇h( x , y ) ⊥ ( y , x ) .
b) Dada z = x 3 + u 2 con u = f ( x , y ) definida implícitamente por u x + sen( x − y ) − 2 e u − 2 x = 0 , resulta z = h( x , y ) .
Halle una ecuación para el plano tangente a la superficie de ecuación z = h( x , y ) en A = (1 , 1 , z 0 ) .
2) a) Defina soluciones general, particular y singular de una ec. diferencial. Sean y p1 e y p2 dos soluciones particulares
de a y ′′ + b y ′ + c y = f ( x ) (a, b, c ctes., a ≠ 0 ), demuestre que y = y p1 − y p2 es una solución de la homogénea.
b) Sea y = C x 2 + 2 la familia de líneas equipotenciales de un campo f ∈ C 1 , halle la familia de líneas de campo y
determine las ecuaciones de las curvas de ambas familias que pasan por el punto (1,5).
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x , y , 2 z − y ) a través del trozo de paraboloide de ecuación z = x 2 + y 2 con y ≥ x 2 ,
z ≤ 6 , en el 1° octante. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Dado f ( x , y ) = ( y 2 − g ( y − x ) , y 2 + g ( y − x ) ) con g ∈ C 1 , calcule (usando teor. de Green) la circulación de f a lo
largo de la frontera de la región plana definida por x ≥ y 2 , x ≤ 2 − y 2 . Indique el sentido de circulación que ha elegido.
TEMA 62 (Tema 1) – 15/12/01
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia; sea f ( x , y , z ) = ( x + g ( z − x ) , z − 2 y , z + g ( z − x ) ) , suponga que se cumplen las hipótesis del teorema y demuestre que
∫∫Σ f ⋅ dσ = 0
∀Σ .
b) Sea f ∈ C 1 tal que div ( f )( x , y , z ) = y + 1, calcule el flujo de f a través de la superficie de ec. z = 4 − x 2 − y 2 con
(
z ≥ 0 , sabiendo que f sobre el plano x,y es f ( x , y , 0) = ( x y , x 2 , x 2 ) . Indique gráficamente el n que ha elegido.
2) a) Demuestre la propiedad de homogeneidad y aplíquela para justificar que f ′ ( A , − r ) = − f ′ ( A , r ) .
b) Analice la derivabilidad en distintas direcciones de f ( x , y ) =
x 2 sen( y )
x2 + y2
si ( x , y ) ≠ (0,0) ∧ f (0,0) = 0 .
3) Sea la curva C = C1 ∪ C2 donde C1 : X = ( t , t 2 ) con 0 ≤ t ≤ 1 , C2 : x = 1 con 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule la circulación de
f ( x , y ) = (2 x y , x 2 ) a lo largo de C desde (0,0) hasta (1,0); verifique el resultado usando función potencial.
4) Calcule la masa de la chapa plana definida por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 con y ≥ | x| , si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje x.
TEMA 62 (Tema 2) – 15/12/01
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia; sea f ( x , y , z ) = ( z − 2 x , y + g ( z − y ) , z + g ( z − y ) ) , suponga que se cumplen las hipótesis del teorema y demuestre que
∫∫Σ f ⋅ dσ = 0
∀Σ .
b) Sea f ∈ C 1 tal que div ( f )( x , y , z ) = x + 1 , calcule el flujo de f a través de la superficie de ec. z = x 2 + y 2 con
(
z ≤ 4 , sabiendo que f sobre el plano z = 4 es f ( x , y , 4) = (4 , x y , x 2 ) . Indique gráficamente el n que ha elegido.
2) a) Demuestre la propiedad de homogeneidad y aplíquela para justificar que f ′( A , r ) = || r || f ′ ( A , r( ) .
b) Analice la derivabilidad en distintas direcciones de f ( x , y ) =
y 2 sen( x )
x2 + y2
si ( x , y ) ≠ (0,0) ∧ f (0,0) = 0 .
3) Sea la curva C = C1 ∪ C2 donde C1 : X = ( t 2 , t ) con 0 ≤ t ≤ 1 , C2 : y = 1 con 0 ≤ x ≤ 1 . Calcule la circulación de
f ( x , y ) = ( y 2 , 2 x y ) a lo largo de C desde (0,0) hasta (0,1); verifique el resultado usando función potencial.
4) Calcule la masa de la chapa plana definida por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 con x ≥ | y| , si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y.
TEMA 63 – 29/12/01
1) a) Defina extremo local y extremo absoluto; dada f ( x , y ) = ( x − 1 + y ) 2 + x 2 − 2 x + 1 demuestre que f (1,0) es mínimo absoluto de los valores de f en IR 2 .
b) Sea la superficie S de ecuación X = ( u − v 2 , v , u + 4) con (u, v ) ∈IR2 , halle el punto A ∈ S más cercano al (0,0,0).
2) a) Enuncie el teorema de Green y obtenga una fórmula para el cálculo de un área plana mediante integrales de línea.
b) Analice si f ( x , y ) = ( x ln( x 2 + y 2 ) , y ln( x 2 + y 2 ) ) admite función potencial en IR2 –{ 0 }.
(
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y + x 2 , x + y 2 , z − 2) a través de x + y + z = 2 con x 2 + y 2 ≤ 2 x . Dibuje el n que usa.
4) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≥ x 2 + 4 y 2 ∧ z ≤ 16 − 3 x 2 , con densidad δ ( x , y , z) = k x 2 + y 2 (k cte.)
TEMA 64 – 16/02/02
1) a) Demuestre que todo campo diferenciable en A es continuo y derivable en toda dirección en dicho punto.
tg( x y )
si x y ≠ 0 ∧ f ( x , y ) = 0 si x y = 0 , analice su continuidad y derivabilidad en el origen.
b) Dada f ( x , y ) =
xy
(derivadas parciales)
( )
2) a) Demuestre la condición necesaria de existencia de función potencial; dado f X = X || X || con X = ( x , y ) , analice
2
si f admite función potencial en IR –{ 0 }.
b) Analice si y = x − 1 es solución singular de la ecuación diferencial y = x y ′ − 1 .
3) Calcule el volumen del cuerpo limitado por la superficie S de ecuación x 2 + z 2 = 2 , el plano tangente a S en (1,2,1)
y el plano de ecuación y = 4 , en el 1° octante.
4) Sea f ( x , y , z ) = ( 2 x , 2 y , 2 z ) con función potencial φ , cuya superficie de potencial 4 pasa por el punto (1,1,1). Calcule el flujo de f a través de una superficie de potencial k 2 + 1 , donde k es una constante real positiva.
TEMA 65 – 23/02/02
1) a) Función definida implícitamente por una ecuación: teorema de existencia y unicidad (enunciado). Bajo las hipótesis
del teorema, analice si z = f ( x , y ) definida por z x + ln( z + y ) = 0 es solución de z x′ = z ( y + z ) z ′y .
b) Dada w = u 2 ln(2 x − 1) con u = f ( x , y ) definida implícitamente por u y + e u − x = 2 , resulta w = h( x , y ) . Determine la dirección de mínima derivada direccional de h en (1,1) y el valor de dicha derivada mínima..
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia (o de Gauss). Dado f ( x , y , z ) = ( ϕ ( y − x ) , ϕ ( y − x ) , z 2 ) ∈ C 1 , demuestre que el flujo de f a través de una superficie esférica de radio R con centro en el origen no depende de R.
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x z , 2 y , x − 2 z ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por x ≥ 0 ,
y ≥0, x + y + z ≤ 4, z ≥2.
3) Calcule la integral de línea del campo f ( x , y ) = ( 2 x , 3 y ) desde (0,1) hasta (1,6), a lo largo de la curva C solución
particular de y ′ − 2 x = 4 que pasa por dichos puntos.
4) Calcule el volumen del cuerpo limitado por z = 0 , x = 2 y 2 , y el plano normal a la curva C en (3,3,6), sabiendo que C
queda definida por la intersección de y = 3 con x + 1 = ( z − 4) 2 .
TEMA 66 – 02/03/02
1) a) Defina superficie y punto regular de una superficie. Dada la superficie S de ecuación z = 1 + x 2 + y 2 , analice si
(0,0,1) es punto regular de S.
b) Dada la superficie S de ecuación x 2 − 8 y z + ln( x z ) = 0 , y la curva C ⊂ S cuya proyección sobre el plano x,y tiene
ecuación x = y + 1 , analice si la recta tangente a C en (2,y0 ,z0) tiene algún punto en común con el eje y.
2) a) Defina solución, S.G., S.P. y S.S. de una ec. diferencial, halle la S.P. / y(1) = 1 de y = y ′ ( x + 1) + ( x + 1) 2 + 1 .
b) Halle g ( x ) tal que f ( x , y , z ) = ( z + y 2 g ( x ) , y g ( x ) , x + z 2 ) admita función potencial; suponga f (0,11
, ) = ( 3,2,1) ..
3) Calcule la masa del cuerpo definido por x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 , x 2 + z 2 ≤ 4 , y ≥ 0 , si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y.
4) Sea el campo continuo f ( x , y , z ) = ( x y , ϕ ( x , y , z ) , x z ) , calcule el flujo de f a través del trozo de cilindro de ecua(
ción x = z 2 en el 1° octante, con y ≤ 4 , z ≤ 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el n .
TEMA 67 – 31/05/02
1) a) Defina extremos locales y absolutos. Analice si f (0,0) es extremo local de f ( x , y ) = 4 + x 3 + y 4 + x 2 y 2 .
b) Halle la recta normal a la curva C de ecuación y = 1 − x 2 en el punto de C del 1° cuadrante más cercano al (0,0).
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado f ( x , y , z ) = ( g ( x , y ) − 2 x z , g ( x , y ) , z 2 ) , halle una g ( x , y ) tal que
(
f ⋅ n dσ = 0 ∀S y que g x′ − g ′y = 4 x − 4 y (suponga que se cumplen las hipótesis del teorema).
∫∫S
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 − x + cos( y z) , sen( x z ) , z + 1) a través del trozo de paraboloide de ecuación
z = 1 − x 2 − y 2 con z ≥ 0 ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
3) Dadas las superficies S1 : X = ( u − v , u + v 2 , u + v ) con (u, v ) ∈IR 2 y S2 : z = 3 x − y sen(3 − y ) , halle una ecuación
vectorial para el plano que contiene a las rectas normales a dichas superficies en el punto (1,3,z0).
4) Calcule la longitud de la curva C incluida en la superficie de ecuación x 2 + z 2 = 1 sabiendo que C está en el 1° octante y que su proyección sobre el plano x,y tiene ecuación x = cos( y ) con y ∈[0, π 4] .
TEMA 68 – 17/07/02
1) a) Enuncie la regla de la cadena en forma matricial. Sea h = f o g con g ( x , y ) = ( x y , y − x ) , si la matriz jacobia-
(
)
na de f es Df (u, v ) = 2 u v u 2 , calcule la derivada de h en (1,2) en la dirección que va hacia el punto (3,4).
b) Dada z = f ( x , y ) definida implícitamente por x z − y sen( x − y ) + ln( y z − 1) − 2 = 0 , halle un polinomio que permita aproximar linealmente los valores de f en un entorno del punto (1,1), calcule aproximadamente f(0.98,1.01).
2) a) Enuncie el teorema de Green. Siendo C = frontera(D) simple, si
∫C + (3 y − x , x − y
b) Dado f con matriz jacobiana Df continua, calcule la circulación de f a lo lar2
2
go de la frontera de H⊂IR definida por y ≥ 2 x , 2 x + y ≤ 4 .
2
) ⋅ ds = − 6 , calcule área(D).
 h( x , y )
Df ( x , y ) = 
 x
x−y 

g ( x , y )
3) Sea f solenoidal con f ( x , y , 0) = ( x , y − 2, y 2 ) , aplique convenientemente el teor. de la divergencia para calcular el
(
flujo de f a través de S de ec. z = − 4 − x 2 − y 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el n .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≥ x 2 , z ≤ 8 − x 2 − 2 y 2 , en el 1° octante.
TEMA 69 – 31/07/02
1) a) Función potencial, condición necesaria de existencia (demostración). Siendo f un campo de fuerzas conservativo,
calcule
∫AB
f ⋅ ds sabiendo que
∫AC
f ⋅ ds = 16 y que
b) Sea f ( x , y , z ) = ( y 2 + 2 x z , 2 + 2 x y , x 2 ) , calcule
2) a) Defina continuidad para f : D ⊂IR n →IR m . Dada
∫AB
∫CB
f ⋅ ds = 8 .
f ⋅ ds usando función potencial; A = (11
, ,−2) , B = (0,1,2) .
f ( x, y) =
x 2 + cos( y ) − 1
x2 + y2
analice si puede definir f (0,0) de
manera que la función sea continua en el origen.
(
b) Halle la derivada direccional de f ( x , y ) = x y 2 en el punto (1,1) , en la dirección normal n = (n1 , n2 ) a la curva
integral de la ecuación diferencial x dx + (1 − y ) dy = 0 que pasa por dicho punto; considere el caso de n1 > 0 .
3) Calcule la masa del cuerpo definido por: x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 − 1 ≤ z ≤ 1 3 , si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x,y.
4) Aplicando el teorema del rotor calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( x − y z , y , z ) a lo largo de la curva intersección de
z = x 2 + y 2 con x 2 + y 2 + z 2 = 12 , indique gráficamente el sentido de circulación que ha elegido.
TEMA 70 – 28/09/02
1) a) Defina derivada direccional. Sea f definida según se indica,
determine las direcciones de derivada nula de f en (0,0).
( x y 2 + y 3 ) ( x 2 + y 2 ) si ( x , y ) ≠ (0,0)
f ( x, y) = 

0
si ( x , y ) = ( 0,0)
b) Dada z = u 2 − x con u = f ( x , y ) definida implícitamente por x 2 − u x + y ln( u + 1) = 0 , resulta z = h( x , y ) . Halle la dirección de máxima derivada direccional de h en (1,0) y calcule el valor de dicha derivada máxima.
2) a) Enuncie el teorema del rotor, suponiendo que se cumplen sus hipótesis calcule la circulación de f a lo largo de la
curva de ecuación X = ( 2 cos( t ) , 2 sen(t ) , 3) con t ∈[0,2π ] cuando f ( x , y , z ) = ( g ( x ) , x y + x z 2 , y + λ ( z ) ) .
b) Dado el campo f ∈ C 1 (IR3 ) tal que f ( x , y , z ) = ( y z g ( x ) , z g ′ ( x ) , y g ′ ( x ) ) con f (0,1,2) = ( 2 , 0 , 0 ) , determine
g ( x ) para que f admita función potencial.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 y , y sen( z ) , cos( z ) ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
1 − x 2 − y 2 ≤ z ≤ 2 − 2 x 2 − 2 y 2 , indique gráficamente la orientación que ha elegido para la superficie.
4) Calcule el área de la región plana para la cual f ( x , y ) = ( 1 − x y , ln( x − y ) , ln(8 y − x 2 ) ) ∈ IR 3 .
TEMA 71 – 07/12/02
1) a) Demuestre que un campo escalar f diferenciable en A es derivable según toda dirección en A . Considere f diferenciable en A y calcule f ′( A , ( 3,2)) sabiendo que f ′( A , (8, 6)) = 4 y que f ′( A , (1,3)) = 6 .
b) Dada z = f (u, v ) con (u, v ) = ( x y 2 , x y − 1) resulta z = h( x , y ) ; halle la dirección de máxima derivada direccional de h en (1,1) y el valor de dicha derivada, cuando f queda defina implícitamente por z − 2 u + ln( z + v − 1) = 0 .
2) a) Enuncie el teorema de cambio de variables para integrales dobles. Considere el caso de una transformación lineal
( x , y ) = (a u + b v , c u + d v ) y analice la relación entre las áreas de las regiones de integración de ambos planos.
b) Dada
2
∫0 dx ∫
4 − x2
2 x − x2
dy , dibuje la región de integración, plantee la resolución en coordenadas polares y calcule
la integral con el sistema que le resulte más sencillo; ¿qué significado geométrico tiene el resultado obtenido?.
3) Aplicando el teorema del rotor calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( x − y , y + z , z − x ) a lo largo de la curva intersección de z + 2 x = 3 con z = x 2 + y 2 , en el sentido dado por (1,0,1) → (0, 3 ,3) → ( −3,0,9) → (0,− 3 ,3) → (1,0,1) .
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y 2 − x z , y z + x 2 , x z ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por z ≥ y ,
x + y + z ≤ 2 , en el 1° octante.
TEMA 72 – 14/12/02
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Suponiendo que f = ∇U y que ∇ 2U ≡ 4 , demuestre (bajo las condiciones
(
del teorema) que
f ⋅ n dσ es proporcional al volumen encerrado por S.
Nota: ∇ 2U =& div (gra d (U ))
∫∫S
b) Dado f con div ( f ( x , y , z )) = x , calcule el flujo de f a través de la sup. S abierta de ecuación z = 1 − x 2 − y 2 ,
(
sabiendo que f en puntos del plano x,y es f ( x , y , 0) = ( y , 0 , 1 ) . Dibuje la orientación que ha elegido para n .
2) a) Defina solución, sol. general, particular y singular de una ecuación diferencial. Dada la ecuación y dx + x dy = 0 ,
analice si x = 0 e y = 0 son soluciones, en caso afirmativo clasifíquelas.
b) Halle g ( x ) para que ∇ 2 f =& div (gra d ( f )) ≡ 2 cuando f ( x , y , z ) = x g ( x ) − y + z 2 , f (11
, , )=2.
, ,1) = 0 , f x′ (111
3) Sea S el trozo de plano de ecuación x + y + z = a en el 1° octante, halle a ∈[1,2] para que el flujo de f a través de S
resulte máximo, con: f& ( x , y , z ) = ( y − z − 1 , x − y , a + z − x ) , versor normal a S orientado “alejándose” del origen.
4) Dada f ( x , y ) = x 4 − y x 2 , a) halle y grafique el conjunto de nivel 0, b) indique la zona del plano para la que f adopta
valores positivos, c) analice si f (0,0) es un extremo local de los valores de la función (justifique su respuesta).
TEMA 73 – 21/12/02
1) a) Demuestre la condición necesaria para la existencia de función potencial. Halle g(x) de manera que el campo
f ( x , y ) = ( g ( x ) + y 2 , y g ( x ) ) sea un campo de gradientes en IR2 ; suponga f (1,2) = (7 , 6 ) .
b) Sea y = k x 4 la ecuación de la familia de líneas equipotenciales de f , calcule el área de la región plana limitada
por la línea de campo que pasa por el punto (1,0).
x3
2) a) Defina derivada direccional. Analice derivabilidad en 0 (distintas direcc.) de f ( x , y ) =
con f (0,0) = 0 .
x2 + y4
b) Dada la superficie S de ecuación z = f ( g ( x , y )) con f,g diferenciables, halle una ecuación para el plano tangente a
S en (1,2,4) sabiendo que g ′ ((1,2), (u, v )) = u − v y que f ′( g (1,2)) = 3 .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( z , x z , x ) a través del trozo de paraboloide de ecuación y = x 2 + z 2 en el 1° octante
con x + y ≤ 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Calcule el trabajo del campo de fuerzas f ( x , y , z ) = ( x y , z 2 , x z ) desde (2,4,0) hasta (0,0,0) a lo largo de la curva
intersección de la superficies de ecuaciones z = x 2 − y , y = 2 x .
TEMA 74 – 15/02/03
1) a) Enuncie el teorema de Green, obtenga alguna fórmula de cálculo del área de una región plana con integral de línea.
b) Si
∫AB f ⋅ ds = 4 con A = (2,0) y B = (0,2) , calcule ∫C
f ⋅ ds donde CAB une A con B
AB
a lo largo x 2 + y 2 = 4 en el 1° cuadrante; f tiene matriz jacobiana Df continua en IR2 .
x
 •
Df ( x , y ) = 

2 + x ⊗ 
2) a) Defina extremos locales y absolutos de un campo escalar. Dada f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 2 y determine el máximo
absoluto de los valores de f en D = { (x,y)∈IR2 / x 2 + y 2 ≤ 1 }.
b) Sea C
la curva integral de x y ′ + 2 y = y −1 ( x 2 + 3 y 2 ) que pasa por (1,y0) con recta normal de ecuación
4 x + 17 y = 72 . Analice si f ( x , y ) = y 2 − 16 x 2 evaluada en puntos de C produce algún extremo local.
3) Sea π0 el plano tangente a S de ec. x 2 + y 2 + z ln( z − 1) = 2 en (1,1,z0), calcule el área del trozo de π0 en el 1° octante.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y , y 2 , y z ) a través de la frontera del cuerpo limitado por x 2 + z 2 = 9 con 0 ≤ y ≤ 5 .
TEMA 75 – 22/02/03
1) a) Función vectorial de una variable, demuestre: “ f derivable en un punto” ⇔ “componentes derivables en dicho
punto”. Sea f ( u) = ( u , sen(u) u ) si u ≠ 0 , f (0) = 0 ; analice la existencia de f ′(0) .
b) Dada
1
4− x
2
4− x
∫∫D ( x + y) dxdy = ∫0dx ∫2− x ( x + y) dy + ∫1dx ∫x ( x + y) dy , dibuje la región D de integración y calcule la inte-
gral aplicando el cambio de variables definido por ( x , y ) = ( 2 u + 2v , 2 u − 2 v ) .
2) a) Función potencial: demuestre la condición necesaria de existencia. Dado f ( x , y , z ) = ( y z , x z , g ( x , y ) ) , halle
g(x,y) para que el campo f admita función potencial, suponga f (1,11
, ) = ( 1 , 1 , 4) .
b) Sea n0 la recta normal en A = (1,0,1) a la superficie de ecuación z = x + y − 2 y 2 , calcule la integral de línea de
f ( x , y , z ) = ( y , sen(π z ) , x ) desde A hasta B = (3, y 0 , z 0 ) a lo largo de n0.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y , − x , 2 z ) a través del trozo de semiesfera de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 con
y ≥ | x| . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Calcule la masa del cuerpo definido por: 2 x 2 + 2 z 2 ≤ y ≤ 4 + x 2 + z 2 , si su densidad en cada punto es proporcional a
la distancia desde el punto al eje y.
TEMA 76 – 01/03/03
1) a) Enuncie el teorema del rotor. Dado f ( x , y , z ) = ( x z , y z , x ) demuestre que
∫C f ⋅ ds = 0 para toda C plana in-
cluida en un plano paralelo al x,y ; se supone que C cumple con las hipótesis del teorema.
b) Si f ( x , y , z ) = ( y 2 + 2 z , 2 x y , 2 x + 2 z ) , demuestre que
∫C
f ⋅ ds no depende de la curva CAB que une
AB
A con B , y calcule el valor de dicha integral cuando A = (0,0,1) y B = (2,1,0) .
2) a) Enuncie la regla de la cadena en forma matricial. Dada w = f (u, v ) definida por u ln( w − 1) + u v + w 2 = 5 , con
(u , v ) = ( z 2 − 3 x , y − x ) , resulta w = h( x , y , z ) ; calcule en forma aproximada h(101
. , 198
. , 2.03) .
b) Analice la existencia de extremos locales (relativos) de f ( x , y , z ) = y − x + ( y − 4) e z evaluada en puntos de la superficie de ecuación X = ( 1 − 6 v 2 , u 2 , ln(v ) ) con (u,v)∈IR ×IR+. Clasifique cada extremo y calcule su valor.
( ( (
3) Calcule el flujo de f a través de S orientada con n / n . k > 0 , cuando S está definida por z = 4 − x 2 − y 2 con z ≥ 0 ;
( (
se sabe que el flujo de f a través de z = 0 con x 2 + y 2 ≤ 4 y n = k es igual a 4, y que div ( f ( x , y , z )) = 2 z .
4) Siendo C1 y C2 las curvas integrales de y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 x − 3 que pasan por (0,1) con pendientes igual a 2 y 3 respectivamente, calcule el área de la región plana del 1° cuadrante limitada por C1 y C2 con x ≤ ln(3) .
TEMA 77 – 28/05/03
1) a) Defina diferenciabilidad de un campo f en A ; demuestre que diferenciabilidad en A ⇒ derivabilidad en A .
b) Siendo h( x , y ) = y x 2 g ( x , y ) calcule aproximadamente h(2.01,2.98) , sabiendo que la superficie de ecuación
z = g ( x , y ) tiene plano tangente de ecuación 3 x − y + z = 0 en (2,3,z0).
2) a) Enuncie el teorema del rotor. Analice si es conservativo el campo de fuerzas f ( x , y , z ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( y ), f 3 ( z ) ) ∈C1.
b) Halle g(x) tal que la circulación de f ( x , y , z ) = ( y g ( x ) , g ( x ) , z ) a lo largo de una curva C cerrada y simple en el
plano x,y resulte igual al doble del área de la región plana S limitada por C. Suponga f ( 0 ) = (0,−1,0) y que, en el
plano, C se circula en sentido positivo.
3) Calcule el área del trozo de superficie esférica de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 6 con z ≥ x 2 + y 2 ..
4) Siendo z = x + y u 2 con u = f ( x ) definida por ln(u + x ) − u x = 2 resulta z = h( x , y ) . Sea π0 el plano tg. en (−1,2,z0).a
la superf. de ec. z = h( x , y ) . Analice si la curva de ec. X = ( t 2 , t − 1 , t ) con t ∈ IR tiene algún punto en común con π0.
TEMA 78 – 19/07/03
1) a) Defina soluciones general, particular y singular de una ecuación diferencial. Demuestre que y = −2 x es solución
de la ecuación diferencial y ′′ − y ′ = 2 y analice qué tipo de solución es.
b) Sea F1 la familia de curvas tales que la pendiente de la recta tangente en cada punto es igual a la suma de las coordenadas del punto. Halle la curva de la familia ortogonal a F1 que pasa por (1,1). Sugerencia: aplicar y = u − x .
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Siendo f ( x , y , z ) = ( P ( x , y , z ) , Q( x , y , z ), 0 ) un campo solenoidal, demuestre que es nulo el flujo de f a través de toda superficie de ecuación z = (r 2 − x 2 − y 2 ) 1/ 2 con r ∈IR+ .
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( 3 x − y z , y 2 + e z , x − 2 y z ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido
por x + z ≤ 2 , x 2 + y 2 ≤ 4 , z ≥ 0 . De acuerdo al resultado, ¿el flujo es entrante al cuerpo?..
3) Calcule
∫C f ⋅ ds
si rot ( f )( x , y , z ) = ( sen( x ) , y − y cos( x ) , 2 x − z ) , C : X = ( π 2 , 3 cos( t ) , 3 sen(t ) ) con t ∈[0,2 π ] .
4) Sea w = u 2 + v 2 f ( x , y ) con (u, v ) = ( x y 2 , 2 x + ln( y − 1) ) ; si f ( x , y ) queda definida por z x + e x z −2 − y − 1 = 0 ,
resulta w = h( x , y ) . Calcule en forma aproximada h( 2.01 , 198
. ).
TEMA 79 – 02/08/03
1) a) Defina máximo local y máximo absoluto para un campo escalar. Analice si f(0,2) es máximo absoluto y/o local de
f ( x , y ) = 4 − x 2 + ( y − 2) 2 en D definido por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 .
b) Analice la existencia de extremos locales de f ( x , y ) = x 2 + y 3 + 2 x y , clasifique los extremos hallados.
2) a) Sea f : IR 2 →IR2 un campo de fuerzas conservativo ( f = ∇φ ), demuestre que las familias “líneas de campo” y “líneas equipotenciales” son ortogonales. Verifíquelo para f ( x , y ) = ( y , x ) en el punto (1,2), suponga φ (1,2) = 4 .
b) Dado el campo f ( x , y , z ) = ( 2 x y − 2 z , x 2 + 1 , − 2 x ) definido en IR3 , demuestre (usando condiciones suficientes
de existencia) que admite función potencial en su dominio, halle dicha función suponiendo que φ (0,0,0) = 3 , y calcule la circulación de f desde (0,1,7) hasta (1,2,6).
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x , − 2 y , 3 − 4 z ) a través de la superficie de ecuación z = x y + y 2 con x 2 + y 2 ≤ 4
con versor normal orientado hacia los valores crecientes de z.
4) Calcule la masa del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ 9 , − y ≤ z ≤ y , si la densidad en cada punto es proporcional a la
distancia desde el punto al plano x,y.
TEMA 80 – 02/10/03
1) a) Defina derivada parcial. Siendo f ( x , y ) =
sen( x 3 + y 4 )
2
x +y
2
si ( x , y ) ≠ (0,0) , f (0,0) = 0 . Analice la existencia de las
derivadas parciales en (0,0).
b) Sea f un campo escalar de dos variables independientes, demuestre que ∇f ( A ) es ortogonal al conjunto de nivel
de f que pasa por A ; indique las hipótesis que supone para poder desarrollar esta demostración.
2) a) Enuncie el teorema del rotor (Stokes). Siendo f ( x , y , z ) = ( x z , y z , y 2 ) demuestre que
∫C f ⋅ ds = 0
para toda C
incluida en un plano paralelo al x,y.
b) Demuestre que f ( x , y , z ) = ( y + z , x + 2 y z , y 2 + x ) tiene función potencial φ ; utilice φ para calcular
∫C f ⋅ ds ,
sabiendo que C se recorre desde A = (1,0,1) hasta B = (2,1,0) .
3) Calcule mediante una integral doble el área de la región plana del 1° cuadrante limitada por y = 4 x , 2 y = 3 x ,
y = f ( x ) , siendo esta última la solución particular de x y ′ + y = 2 que pasa por (1,4).
4) Sea f ( x , y , z ) = ( y z , x y , g ( x , y , z ) ) con g continua, calcule el flujo de f a través del trozo de superficie S de ecuación y = 4 x 2 con z ≥ −1 , z ≤ 2 , y ≤ 4 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a S.
TEMA 81 – 06/12/03
1
1) a) Demuestre que si f = ∇φ ∈ C la matriz Df es simétrica. Calcule
A = (0,−2) hasta B = (0,2) siendo f = ∇φ
y
π
∫0
∫AB f ⋅ ds
(a lo largo del segmento AB ) desde
f ( g ( t )) ⋅ g ′ (t ) dt = 4 cuando g (t ) = ( 2 sen( t ) , 2 cos(t ) ) .
b) Dado f ( x , y , z ) = ( 2 x y + z , x 2 + z , x + y ) verifique que resulta nula la integral de línea de f desde A = (11
, ,1)
hasta B = (1,3,0) a lo largo de todo arco de curva suave.
2) a) Defina solución, solución general y solución particular (SP) de una ecuación diferencial. Determine los coeficientes
de a y ′′ + b y ′ + c y = x − 2 sabiendo que y = x − 2 es una SP e y = sen( x ) es una solución de la homogénea.
b) Calcule el área de la región plana limitada por la curva integral de x y ′ = y + x 2 que pasa por (2,4) y la recta de
ecuación x + y = 6 .
3) Halle y clasifique extremos locales de la temperatura T = x − y − z en puntos de la superficie Σ de ecuación
X = ( u 2 + v , v 3 48 , u 2 v ) con (u,v)∈IR2 .
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y , x 2 z , y z ) a través del trozo de superficie cilíndrica Σ de ecuación y = 4 − x 2
con 0 ≤ z ≤ y . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
TEMA 82 – 13/12/03
1) a) Independencia del camino en una integral de línea (enunciado y demostración).
b) Dado f ( x, y ) = ( 2 x , y ) determine las ecuaciones cartesianas de la línea equipotencial y de la línea de campo
que pasan por (1,2); suponga que el potencial φ (0, 0) = 3 .
2) a) Defina derivada direccional de un campo escalar. Sea f diferenciable en A , calcule f ′( A, (0.6, 0.8)) sabiendo
que f ′( A, (1, 2)) = 4 y que f ′( A, (2,1)) = 6 .
b) Dada z = f ( x, y ) definida por x z + ln( x z − y ) − x − y = 0 , obtenga la dirección de mínima derivada direccional
y calcule el valor de dicha derivada mínima en A = (1, 2) .
3) Calcule la circulación de f ( x, y, z ) = ( x z − y , x , y z ) a lo largo de la curva C intersección de la superficie de ecuación z 2 = 5 x 2 + 4 y 2 − 16 con el plano de ec. z = x aplicando el teorema del rotor. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para circular C.
4) Calcule la masa del cuerpo definido por y ≥ x 2 + z 2 , y ≤ x , si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy.
TEMA 83 – 20/12/03
1) a) Enuncie el teorema de Green, obtenga (justificándolo) una fórmula que permita calcular el área de una región plana
mediante una integral de línea.
b) Siendo f ( x , y ) = ( y g ( x ) , g ( x ) + y ) , halle g(x) tal que
cual C es su circunferencia frontera, suponga g(0) = 2 .
∫
C+
f . ds resulte igual al doble del área del círculo del
2) a) Defina diferenciabilidad. Siendo f (0,0) = 0 , f ( x , y ) = x sen( y 2 ) ( x 2 + y 2 ) para ( x , y ) ≠ (0,0) , analice la derivabilidad de f en (0,0) para distintas direcciones; con lo obtenido ¿puede opinar sobre la diferenciabilidad en 0 ?.
b) Sea S la superficie de nivel 4 del campo escalar f ( x , y , z ) = x 2 + y ln( x z ) , analice si la recta normal a S en el
punto (2,3,0.5) tiene algún punto en común con la curva de ecuación X = ( t , 3 t , t 2 − 2 ) con t ∈ IR .
3) Calcule el área del trozo de plano de ecuación z = y con | x| ≤ 1 , en cuyos puntos (los del plano) los valores de la función f ( x , y , z ) = ( y − x 2 ) ( z + 2 − x 2 ) resultan negativos.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 3 + g ( y , z ) , y 3 + h( x , z ) , x + y 2 ) a través de la superficie frontera del cuerpo
definido por x 2 + y 2 ≤ z ≤ 16 con x ≥ | y| , sabiendo que f ∈ C 1 en IR3 .
TEMA 84 – 14/02/04
1) a) Defina extremos locales (relativos). Dada f : IR2 → IR / f ( x , y ) = y 2 − x 6 analice si f(0,0) es extremo local.
b) Sean f,g ∈ C2 tal que f ( x , y ) = x 2 + y 2 + w( x ) , g ( x , y ) = x 3 + y 2 ; sabiendo que la gráfica de f en (0,0,1) tiene
plano tangente paralelo al x,y, determine w(x) para que los hessianos de f y de g sean iguales en todo (x,y).
2) a) Enuncie el teorema de Green. Sea f : IR2 −{ A} → IR2 con matriz jacobiana continua y simétrica en su dominio y C
un arco de curva simple cerrado que rodea al punto A , demuestre que
∫C +
f ⋅ ds no depende de C .
b) Calcule mediante una integral de línea el área de la región plana definida por x 2 + y 2 ≤ 2 , y ≥ x 2 .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y , x 2 y , x z ) a través de y = x 3 en el 1° octante con x + y ≤ 2 , z ≤ 3 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Aplicando el teorema de la divergencia calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( z 3 − x 3 , z 3 − y 3 , x 2 y ) a través de la superficie
frontera del cuerpo definido por
x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 + y 2 . ¿Resulta flujo entrante, saliente o nulo?, ¿por qué?.
TEMA 85 – 21/02/04
1) a) Enuncie la regla de la cadena. Siendo h( x , y ) = f ( g ( x , y )) diferenciable, calcule aproximadamente h(1.02, 1.99)
 2 1
sabiendo que f ( u, v ) = 3 u + v 2 , g(1,2) = (3, 6 ) , y que la matriz jacobiana Dg(1,2) = 
.
 3 5
b) Dada f ( x , y , z ) = x 2 y + z u 2 con u = g ( x ) definida implícitamente por u x + ln(u) − 3 = 0 , determine la dirección de máxima derivada direccional de f en A = (3,1,2) y el valor de dicha derivada máxima.
2 cos(ϕ ) 2
π 4
ρ sen(ϕ ) dρ planteada
dϕ ∫
4
0
en coordenadas polares, determine integrando y límites de integración planteada en coordenadas cartesianas.
b) Calcule el área de la superficie Σ de ecuación y = f ( x ) con 0 ≤ z ≤ x , x ≤ 1, 1° octante, siendo y = f ( x ) la solu-
2) a) Enuncie el teorema de cambio de variables en integrales dobles. Dada
∫−π
ción particular de y ′ + y = x 2 + 2 x que pasa por (0,0).
3) Calcule la circulación del campo f ( x , y , z ) = ( y , x , z ) desde (2,8,4) hasta (0,0,0) a lo largo del arco de curva C definido por la intersección de las superficies de ecuación y = x 2 + z , z = 2 x .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ 9 , y ≤ 2 x , z ≤ 2 x , 1° octante.
TEMA 86 – 28/02/04
1) a) Defina continuidad de un campo escalar en un punto A . Dada f ( x , y ) = 4 + ( x 2 + y 2 ) ln( x 2 + y 2 ) si ( x , y ) ≠ (0,0) ,
analice si puede definirse f(0,0) de manera que f sea continua en el origen.
b) Defina punto regular de una curva y curva regular. Dada g (t ) = ( t 3 , sen( t ) t ) si t ≠ 0 , g (0) = ( 0,1) , demuestre
que g es derivable en IR y analice si la curva C de ec. X = g (t ) con t∈IR es regular según esta representación.
2) a) Defina soluciones general (SG) y particular (SP) de una ec. diferencial ordinaria de orden n. Si y p es SP que pasa
por (2,3) de x 2 y ′′ − 2 y = f ( x ) , verifique que y = x y p es SP de x y ′′ − 2 y ′ = f ( x ) que pasa por (2,y0); halle y0.
b) Sea la flia. de curvas de ec. y = C x + C , calcule la longitud de la curva de la familia ortogonal que pasa por (1,2).
3) Siendo rot( f ( x , y , z )) = ( x − 2 z , 2 y , − 3 z ) , calcule la circulación de f a lo largo de la curva intersección de las superficies de ec. 2 y = x 2 + z 2 , y = 6 − x 2 − z 2 . Indique gráficamente la orientación de circulación que ha elegido.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x + y − z , 2 y − x + z , z + y ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 ≤ 2 , z ≥ x 2 + y 2 + 1. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para la superficie.
TEMA 87 – 26/05/04
1) a) Defina punto regular de una superficie. Dada la superficie Σ de ecuación X = ( u v , 2 u , v ) con (u,v)∈IR2 , analice si
la recta normal a Σ en el punto (2,4,1) interseca a la superficie en algún otro punto.
b) Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ec. z + 1 = 3 x + y , y = z 2 . Analice si C tiene algún punto en común con el plano tangente a la superf. de ec. x 2 + y ln( x z ) + z ln( x y ) − 1 = 0 en el punto (1,1,1).
2) a) Defina continuidad de una función en un punto. Sea f ( x , y ) = x 2 / ( x 2 + y 2 ) si ( x , y ) ≠ (0,0) , f ( 0,0) = k (constante); I) ¿es f continua en IR 2 –{ 0 }?, II) ¿existe k para que f sea continua en (0,0)?. Justifique lo que afirma.
b) Dada h( x , y ) = f ( x y , x − y ) calcule la derivada direccional de h en (1,2) en la dirección que va hacia (3,5), conociendo la matriz jacobiana Df ( u, v ) = ( 2 u + v
u ).
3) Calcule la integral de línea de f ( x , y ) = ( x 2 y , y ) desde (0,1) hasta (2,3), a lo largo de la curva integral (solución particular) de y ′ − y = − x que pasa por dichos puntos.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y 2 + z 3 , y x 2 − z 3 , y 3 − x 3 ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido
(
por x 2 + y 2 ≤ 4 , z ≥ 2 ( x 2 + y 2 ) , z ≤ 10 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido ( n ) para la superficie.
TEMA 88 – 29/07/04
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Suponiendo que se cumplen las hipótesis del teorema y
que f es solenoidal, demuestre que
∫∫D f ⋅ dσ = ∫∫H f ⋅ dσ
z
para todo par de superficies abiertas
D
H
y
D y H convenientemente orientadas que tengan como borde la misma curva cerrada C; para indiC
(
x
car una orientación apropiada grafique versores normales ( n ) típicos para D y H.
b) Calcule el flujo de f ∈ C 1 a través de x = y 2 + z 2 con x ≤ 1, siendo: f (1, y , z ) = (0, z , y ) , div( f ( x , y , z )) = 2 x .
Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
2) a) Enuncie el teorema para derivación de la composición de funciones (regla de la cadena) en forma matricial; suponiendo que se cumplen sus hipótesis, analice si U = f ( z − x , x − y , y − z ) satisface la ecuación U x′ + U y′ + U z′ = 0 .
b) Dada h( x ) = f ( g ( x ) − x 2 , g ′( x )) con f escalar diferenciable y f u′ = f v′ no nulas, halle la familia de funciones a
la que debe pertenecer g para que h ′( x ) = 0 para todo x∈IR .
3) Sea π o el plano tangente en (1,1,z0) a la superficie definida por x z + y ln( x y ) + ln( x z ) − 1 = 0 , calcule el área del trozo
de π o cuyos puntos cumplen con x 2 + z 2 ≤ 4 .
4) Calcule la masa del cuerpo limitado por z = 4 − x 2 − y 2 , z = 8 − 2 x 2 − 2 y 2 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.
TEMA 89 – 05/08/04
1) a) Defina coordenadas polares, dibuje la líneas coordenadas y el elemento de área de polares en
el plano x,y. Siendo D la región sombreada del dibujo, calcule
∫∫D y ( x
2
+ y 2 ) −1 dxdy usan-
y
y=2
−5 −2 2 5
x
do coordenadas polares.
b) Calcule el flujo del campo f ( x , y , z ) = ( x + y , y − x , z ) a través del 1° octante de superficie esférica Σ con centro
en (0,0,0) y radio R = 2 ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para los versores normales a Σ .
2) a) Suponiendo que el campo f es diferenciable en A , demuestre que f es derivable en toda dirección en A .
b) Sea π o el plano tangente a la superf. de ec. z = f ( x , y ) en (1,3,8), halle el punto de π o más próximo al (0,0,0) sa-
biendo que: f ′((1,3), (1,2)) = 5, f ′((1,3), (1,−2)) = 1 . Nota: f ′( A , r ) indica la derivada de f respecto de r en A .
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + z 2 ≤ 9 , y + x 2 + z 2 ≤ 10 , y ≥ 0 .
4) Dado f ( x , y ) = ( y , y − 1) calcule la integral de línea de f desde (0,y0) hasta ( π 2 , y1 ) a lo largo de la curva integral de
y ′′ + y = 1 que en (0,y0) tiene recta tangente de ecuación y = x + 1 .
TEMA 90 – 22/09/04
1) a) Defina superficie y punto regular de una superficie. Analice si (0,0,0) es pto. reg. de la sup. de ec. z = x 2 + y 2 .
b) Sea π o el plano tangente a la superficie de ecuación z = x y 2 en (1,1,1); calcule el área del trozo de π o cuya proyección sobre el plano xy es el círculo de radio 2 con centro en (0,2).
2) a) Enuncie el teorema del rotor; aplíquelo para demostrar que si un campo tiene matriz jacobiana continua y simétrica,
resulta nula su circulación a lo largo de toda curva cerrada.
b) Siendo rot( f ) = ( x , x 2 − 2 x , − z ) calcule la circulación de f a lo largo de la curva C intersección de las superficies de ec.: z = 3 − x 2 − y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para recorrer C.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x , 2 y , x − z ) a través de la superficie Σ de ecuación y = 4 − x 2 con z ≤ y en el 1°
octante; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
4) Dado el campo f ( x , y , z ) = ( 12 x + 2 y z , 6 y + 2 x z , 2 x y ) demuestre que admite función potencial y determine los
valores de a para los cuales resulta nula su integral de línea desde (–a, a,1) hasta (1, a, a).
TEMA 91 – 04/12/04
1) a) Enuncie el teorema de Green. Dado f ( x , y ) = ( x y + h( x ) , x 2 − h( y ) ) definido en IR2 con h ′ continua, demuestre
que
∫C f ⋅ ds = 0 para toda circunferencia C
con centro en (0,0). Observe que f no tiene función potencial.
b) Sea y = h( x ) una solución de la ecuación y ′ − y = 2 x , calcule la circulación de f ( x , y ) = ( y h( x ) , h( x ) ) a lo largo
de la frontera de la región plana definida por 1 ≤ x ≤ 2 − y 2 . Indique gráficamente el sentido de circulación elegido.
2) a) Defina solución, solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Halle la
solución de y ′′ + y ′ = 2 cuya gráfica en (0,y0) tiene recta tangente de ecuación x + y = 3 .
b) Sea x 2 + 4 y 2 = C la ecuación de la familia de líneas equipotenciales del campo de gradientes f , halle una ecuación cartesiana para la línea de campo que pasa por el punto (1,3).
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≤ 2 − x 2 , z ≥ x + 2 y , 1° octante.
4) Dado f ( x , y , z ) = ( y , − x , 2 z ) , calcule el flujo de f a través de la superficie Σ (abierta) de ecuación z = x 2 + y 2
con z ≤ 1. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
TEMA 92 – 11/12/04
1) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones (regla de la cadena) en forma matricial. Calcule
en forma aproximada h(1.02, 1.97) si h = f o g , con: f (1, 1) = 5 , Df ( x , y ) = ( 2 x y x 2 ) , g (u, v ) = ( u 2 , v / 2) .
b) Siendo w = u 2 v + 2v con u = x y , v = g ( x , y ) def. implícitamente por ln(v − x ) + v y − 4 = 0 , resulta w = h( x , y ) .
Halle la dirección de máxima derivada direccional de h en (1,2), y el valor de dicha derivada máxima.
2) a) Independencia del camino en una integral de línea (enunciado y demostración).
b) Dado f ( x , y , z ) = ( y + 2 x z + y g ( x ) , x + g ( x ) , x 2 ) con g(0) = 2 , obtenga la expresión de g ( x ) para que f
admita función potencial y calcule
∫C f ⋅ ds
siendo C (abierto) un arco de curva desde (0,0,0) hasta (0,1,2).
3) Sea f ( x , y , z ) = x y 2 + ϕ ( x , y , z ) , calcule el flujo de ∇f a través de la superficie frontera del cuerpo limitado por
x 2 ≤ y ≤ 4, 1 ≤ z ≤ 2 , sabiendo que ϕ ∈C 2 es un campo escalar armónico ( div(∇ϕ ) ≡ 0 ).
4) Siendo π 0 el plano tangente a la superficie de ecuación z = x + ln( x y ) en (1,1,z0), calcule el área del trozo de dicho
plano cuyos puntos cumplen con x 2 + y 2 ≤ 9 .
TEMA 93 – 18/12/04
1) a) Enuncie el teorema de cambio de variables para integrales dobles. Plantee
∫∫D
x 2 + y 2 dxdy en cartesianas y en
polares y calcule según convenga; D el dominio natural de f ( x , y ) = ( ln( y − x ) , 4 − x 2 − y 2 , x ) .
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( z y 2 , y z 2 , x y 2 ) a través de la superficie Σ frontera del cuerpo D definido por
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ x 2 + y 2 , con versor normal a Σ saliente de D.
2) a) Defina derivada direccional y, en especial, derivada parcial de un
 x y ln( x 2 + y 2 ) si ( x , y ) ≠ (0,0)
campo escalar. Para el caso del campo f indicado, analice su deri- f ( x , y ) = 
0
si ( x , y ) = (0,0)

vabilidad en (0,0) según distintas direcciones.
b) Calcule (mediante una integral doble o una de línea) el área de la región plana acotada de frontera C , siendo C la
curva de la familia ortogonal a y 2 = K x que pasa por (1,0).
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 , 2 x y , x z ) a través del trozo de superficie cilíndrica Σ de ecuación y = 2 − x 2
con 0 ≤ z ≤ y . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
4) Dado f ( x , y ) = ( 9 x 2 + 2 y + y 2 , 2 x + 2 x y ) , demuestre que f admite función potencial φ en IR2 , analice la
existencia de extremos locales de φ ( x , y ) , clasifique y calcule dichos extremos suponiendo φ (0,0) = 2 .
TEMA 94 – 19/02/05
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Siendo f ( x , y , z ) = ( x g ( x y ), 3 y − y g ( x y ) , 2 z ) y suponiendo que
(
se cumplen las hipótesis del teorema, demuestre que
f ⋅ n dσ es proporcional al volumen de un cuerpo; ¿cuál
∫∫Σ
es ese cuerpo (en relación con Σ )?.
b) Dado f ( x , y , z ) = ( x + sen( y z ) , 2 y + cos( x z ) , z + 1 ) y la superficie Σ de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 , calcule el
flujo de f a través de Σ ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
2) a) Defina extremos locales (relativos). Dada f ( x , y ) = x 3 + y 4 definida en IR2 , analice si f (0,0) es extremo local.
b) Dada la superficie Σ de ecuación z = f ( x , y ) con f ( x , y ) = x 2 y 2 + 2 x y − 2 x 3 + 6 x , y considerando los puntos
donde Σ tiene plano plano tangente paralelo al x,y : b1) ¿cuál de ellos está más alejado del plano x,y?, b2) analice
si en alguno de ellos el correspondiente valor de f es un extremo local (de serlo clasifíquelo).
3) Determine k para que el campo de fuerzas f ( x , y , z ) = (2 x y + k z , x 2 − 2 , 4 x ) sea conservativo y calcule la circulación de f desde (0,2,1) hasta (2,2,0) usando función potencial.
4) Sea F1 la familia de curvas planas de ecuación y = K ( x − 1) , calcule la longitud de la curva C que pasa por (1,2) y pertenece a la familia de curvas ortogonales a F1.
TEMA 95 – 26/02/05
1) a) Enuncie el teorema de Green. Aplíquelo para demostrar que si f ( x , y ) = ( x y 2 , 3 x 2 y ) ,
∫C + f ⋅ ds = 0 cuando C
es la frontera de D definida por a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 , b > a ≥ 0 .
b) Dado f ( x , y ) = ( y sen( x ) , x 2 − cos( x ) ) calcule
∫C + f ⋅ ds
con C frontera de la región: y ≥ x 2 , y + 2 x ≤ 3 .
2) a) Enuncie el teorema de existencia y unicidad de las funciones definidas en forma implícita por una ecuación. Aplíquelo para analizar si z = f ( x , y ) definida por G ( x z , y z ) = 0 satisface la ecuación x z x′ + y z ′y + z = 0 .
b) Sea C la curva cuyos puntos cumplen con x y + z 2 = 2 y x y + x z − 2 x = 0 (intersección de dos superficies),
sea r0 la recta tangente a C en (1,1,1); calcule la longitud del segmento de r0 cuyos puntos están en el 1° octante.
3) Sea Σ el trozo de superficie esférica con centro en el origen y radio 5, cuyos puntos cumplen con y ≥ 2 x 2 + z 2 ; calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x − y , x + y , z ) a través de Σ con normal orientada hacia (0,0,0).
4) Los valores de f en un entorno de A = (2,1) pueden aproximarse con p2 ( x , y ) = x 2 + y 2 − x y − 3 x obtenido mediante
Taylor–2°orden. Siendo g = f 2 , analice si g ( A ) es extremo local y en caso afirmativo clasifíquelo.
TEMA 96 – 05/03/05
1) a) Enuncie la regla de la cadena en forma matricial (derivación de composición de funciones). Dada h = f o g tal que
h( x , y , z ) = f ( x / y , y / z , z / x ) , analice si A ⊥∇h( A ) . Suponga que en A = ( x 0 , y 0 , z 0 ) pueda aplicar dicha regla.
b) Sea C la curva intersección de x 2 + z 2 = 4 con y = x ; aplique el teorema del rotor para calcular
∫C f ⋅ ds , donde
f ( x , y , z ) = ( x , z g ( y z ) , y + y g ( y z ) ) . Indique gráficamente el sentido de circulación que ha elegido.
2) a) Defina soluciones: general (SG), particular (SP) y singular (SS) de una ec. diferencial ordinaria de orden n. Sea C la
, ) , halle la ecuación de la recta normal a C en A .
gráfica de la SP de y ′ + 4 e1− x y = 2 − x que pasa por A = (11
b) Dada la familia de curvas de ec. X = ( t , C t 3 ) con t∈IR , halle la curva de la familia ortogonal que pasa por (1,2).
3) Calcule el área del trozo de superficie Σ de ecuación z = 2 x 2 + 2 y 2 interior a la esfera de radio 12 con centro en 0 .
4) Calcule la longitud del camino recorrido por un móvil puntual desde A = ( 4, y 0 , z 0 ) hasta B = (11, y1 , z1 ) a lo largo de
la curva definida por la intersección de la superficies de ecuaciones 9 y 2 = 4 x 3 y
z = 2 x , en el 1° octante.
TEMA 97 – 26/05/05
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Dado f : IR3→ IR3 / f ( x , y , z ) = ( 2 x − y , 3 y − z , x − z ) y la superficie esférica Σ , calcule el radio de la esfera sabiendo que el flujo de f a través Σ resulta igual a 18π.
b) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( g ( y , z ) , h( x , z ) , 3 x 2 ) a través de Σ (abierta) de ecuación z = 5 − x 2 − y 2 con z ≥ 1;
(
suponga que puede aplicar convenientemente el teor. de la diverg. Indique la orientación que eligió para el n a Σ .
2) a) Sea f un campo diferenciable en A , demuestre que f es derivable en toda dirección en A .
b) Dada z = g (u, v ) con (u , v ) = ( x − y , y − x ) , resulta z = h( x , y ) . Halle la dirección de máxima derivada direccional
de h en (2,2) y el valor de dicha derivada máxima. Suponga g definida implícitamente por sen(u z ) + cos( v z ) − z = 0
3) Halle g ( x ) de manera que f ( x , y ) = ( y 4 g ( x ) , y 3 g ′ ( x ) ) admita función potencial en IR2 y que f (0,1) = (2 , − 4) ; bajo
estas condiciones, calcule la circulación de f a lo largo de un arco de curva regular desde (0,0) hasta (3,1).
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 , z ≤ 3 x 2 + 3 y 2 , 1° octante.
TEMA 98 – 16/07/05
1) a) Enuncie el teorema del rotor. Dado f ( x , y , z ) = (4 y , x z , z x ) , demuestre que
∫C f ⋅ ds = 0
para toda curva C
cerrada en el plano z = 4 que cumpla con las hipótesis del teorema.
b) Dado f ( x , y , z ) = ( y g ( x ) , g ′( x ) , g ( z ) ) , halle g ( x ) de manera que f admita función potencial φ en IR3 ; suponga
que f (0,0,0) = ( 0 , 2 , 2 ) y determine la expresión de φ imponiendo que φ (0,0,0) = 4 .
2) a) Defina extremos locales de un campo escalar; dado f ( x , y ) = x 4 (1 − y 3 ) definido en IR2 , analice si f(0,0) es extremo local de los valores de f .
b) Sea π o el plano tangente a la superficie de ecuación z = f ( x 2 y , y − x ) en (1,1,2); calcule el área del trozo de π o
cuyos puntos están en el 1° octante, sabiendo que ∇f (1,0) = ( −2, 1 ) .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( z , 2 x , 3 y ) a través de la superficie abierta Σ de ecuación z = 4 − x 2 con | y| ≤ 2 ,
z ≥ 0 ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el vector normal a Σ .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + z 2 ≤ 9 , y ≥ 2 x , y ≤ 2 x + 4 .
TEMA 99 – 30/07/05
1) a) Enuncie el teorema de Green. Aplíquelo para demostrar que si f : IR2 → IR2 tiene matriz jacobiana continua y simétrica en IR2 , el campo f admite función potencial en su dominio.
b) Calcule
∫∂D+ f ⋅ ds
siendo f : IR2 → IR2 / f ( x , y ) = ( x 2 , x y ) , cuando ∂D es la forntera de la región limitada por
y = 0, y = g ( x ) con 0 ≤ x ≤ 2 π , donde y = g ( x ) es la solución de y ′′ + y = 1 con y (0) = 0 , y ′(0) = 0 .
2) a) Defina diferenciabilidad de un campo f en un punto A ; demuestre que si f es diferenciable en A admite derivada derivada direccional en toda dirección en dicho punto.
b) Determine los puntos de la superficie de ecuación z = f ( x , y ) donde el plano tangente es paralelo al plano x,y, y
analice si en alguno de dichos puntos el correspondiente valor de f es extremo local (de serlo clasifíquelo); suponga f ( x , y ) = x − y 2 − x 3 + 2 x y definida en IR2 .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = r / || r || con r = ( x , y , z ) a través del 1° octante de una superficie esférica Σ con centro
en el origen y radio 4; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a Σ .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por y ≥ x 2 , x 2 + y 2 ≤ 2 , z ≥ 0 , z ≤ x .
TEMA 100 – 23/09/05
1) a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Analice si la curva
de nivel de f ( x , y ) = y + ( x + 1) 2 que pasa por (0,2) es una solución particular de y ′′ − y ′ = 2 x .
b) Sea D el dominio natural de f ( x , y ) = ( 4 − 4 y 2 − x 2 , ln( x + 2 y − 2) ) ; calcule el área de D.
2) a) Independencia del camino en una integral de línea (enunciado y demostración).
b) Analice si f ( x , y ) = ( y + x , y − x ) / ( x 2 + y 2 ) admite función potencial en IR2 –{ 0 }.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y + x , y − x , 3 z ) / ( x 2 + y 2 ) a través de la superficie abierta de ecuación x 2 + y 2 = 4
con y ≥ 0 , 0 ≤ z ≤ 8 . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie.
4) Dado f : IR3 → IR3 tal que f ∈ C 1 con div ( f ) = 4 , calcule el flujo de f a través de la superficie Σ frontera del cuerpo D definido por x 2 + y 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ; considere Σ orientada con versor normal saliente de D.
TEMA 101 – 05/12/05
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia; aplíquelo para demostrar que si div ( f ) = div ( g ) , para toda superficie Σ
(
cerrada resulta
( f − g ) ⋅ n dσ = 0 . Suponga que f , g y Σ satisfacen las hipótesis del teorema.
∫∫Σ
b) Sea f ( x , y , z ) = ( x + g ( x , y ) , y + g ( x , y ) , g ( x , y ) − 2 z ) calcule el flujo de f a través de la superficie frontera
del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ 4 con − 1 ≤ z ≤ 1 , sabiendo que ∇g ( x , y ) = ( x + y , x − y ) .
2) a) Enuncie hipótesis que permitan asegurar la igualdad de las derivadas cruzadas de una función de varias variables;
en estas condiciones, verifique que div ( rot ( f )) ≡ 0 .
b) Sea z = f ( x , y ) definida implícitamente por z ln( y − x ) + y ln( z − x ) = 0 , calcule aproximadamente f (0.98, 2.03).
3) Dado f ( x , y , z ) = ( z − y , x , z − x ) , calcule el flujo de f a través del 1° octante de la superficie esférica Σ de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 9 ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal en cada punto de Σ .
4) Calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies de ecuación y = x 2 , y = x , z = x , z = 0 .
TEMA 102 – 12/12/05
1) a) Enuncie: condición necesaria para existencia de función potencial; analice si el campo f indicado admite función potencial en IR2 –{(1,0)}.
f ( x, y) = (
b) Sea f ∈ C 1 / f ( x , y , z ) = { y z + p( x , z ) , 2 x z + q ( y , z ) , r ( x , y , z ) } ; calcule
y
2
( x − 1) + y
∫C f ⋅ ds
2
,
1− x
( x − 1) 2 + y 2
)
aplicando el teorema del
rotor, siendo C intersección de z = x 2 + y 2 con x 2 + y 2 + z = 128 . Indique gráficamente la orientación con la que circula.
2) a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Analice si
x y = − 2 es una solución particular de y dx + x dy = 0 .
(
b) Siendo D un cuerpo y Σ su superficie frontera, se desea asegurar que
f ⋅ n dσ = 4 Vol( D) . Halle g ( x ) para
∫∫∑
que esto se cumpla, cuando f ( x , y , z ) = ( g ( x ) + z , y g ( x ) , x y ) con f (0,0,0) = ( 1, 0, 0 ) .
3) Calcule el área del trozo de superficie Σ de ecuación z = 2 x 2 cuyos puntos cumplen con y ≤ x , z ≤ 6 , 1° octante.
4) Sea la superficie Σ de ecuación z = f ( x , y ) con f ( x , y ) = x 2 y + 4 x y − y 2 . Halle los puntos de Σ donde el plano
tangente es paralelo al plano xy ; analice si en alguno de ellos el valor de f es un extremo local y clasifíquelo.
TEMA 103 – 19/12/05
1) a) Defina conjunto de nivel de un campo escalar. Dado f ( x , y ) = x + y 2 halle la ecuación cartesiana de la familia de
curvas ortogonales a los conjuntos de nivel de f .
b) Calcule el área de la región plana en cuyos puntos son positivas las componentes de f ( x , y ) = ( 4 − x 2 − y 2 , 2 − x − y 2 ) .
(
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia; calcule
f ⋅ n dσ cuando: f ( x , y , 0) = ( x − y , 2 , x ) , div ( f ) ≡ 8 , Σ es
∑
(
una semiesfera en z ≥ 0 con centro en el origen y radio 5. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para n .
b) Dado f ∈ C 1 / f ( x , y , z ) = ( x + y , y + h( x ) , z + h( z ) ) con f ( 2,0,0) = ( 2 , 3, 5) , calcule el flujo de f a través de la
∫∫
superficie Σ frontera del cuerpo definido por y ≥ x 2 , y ≤ 18 − x 2 , 0 ≤ z ≤ 2 . Indique gráficamente cómo orienta a Σ .
3) Sea C la curva intersección de z = x 3 − y 2 con y = x 3 , calcule la longitud del segmento de recta tangente a C en (1,1,0)
cuyos puntos están en el 1° octante.
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + 2 y 2 + z ≤ 32 , z ≥ x 2 .
TEMA 104 – 15/02/06
1) a) Defina solución general (S.G.) y solución particular (S.P.) de una ecuación diferencial ordinaria; halle la S.P. de
x y ′ = x + y que pasa por (–1,2).
b) Sea F1 la familia de ecuación x y + C x = 3, halle F2 ortogonal a F1 y las curvas de F1 y F2 que pasan por (3,3).
2) a) Independencia del camino en una integral de línea: hipótesis y demostración.
b) Calcule
∫C + f ⋅ ds
con f = ∇g + h , g ( x , y ) = x 2 y , h ( x , y ) = ( 2 y , 3 x ) , C : frontera de 9 x 2 + 4 y 2 ≤ 36 .
3) Sea π o el plano tangente a la superficie de ecuación x ( z − y ) + ln( z + x − 2) = 0 en (0,2,z0); calcule el área del trozo
de plano π o cuyos puntos cumplen con: y ≤ x , x + y ≤ 1 , 1° octante.
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 3 + y 3 , x 3 + z 3 , x 3 + y 3 ) a través de la superficie Σ frontera del cuerpo H definido
por 3 ≤ z ≤ 7 − x 2 − y 2 , orientando Σ con versor normal saliente de H.
TEMA 105 – 22/02/06
1) a) Defina: derivada parcial y derivada direccional. Siendo f (0,0) = 0 ,
analice la existencia de f x′ (0,0) .
f ( x, y) =
x − x cos( x + y )
x2 + y2
si ( x , y ) ≠ (0,0) ,
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h en el
u = 1 − x
b) Dada y = f (u, v ) con 
, resulta y = h( x ) .
2
punto (1,y0) si f está definida por u y 2 + 2 ln( y − v ) = 0 .
v = x + 1
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x − y , y − z , z − x ) a través de la superficie
Σ , frontera del cuerpo definido por 1 + x 2 + y 2 ≤ z ≤ 9 − x 2 − y 2 ; indique gráficamente cómo ha orientado a Σ .
b) Calcule el flujo de rot ( f ) a través de la superficie abierta Σ de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 con z ≥ 0 , siendo
f ( x , y , z ) = ( 2 y , 4 x , g ( x , y , z ) ) ; suponga g ∈ C 2 . Indique gráficamente como ha orientado a Σ .
3) Calcule la integral de línea de f ( x , y , z ) = ( y , z , x ) desde (0,2,z0) hasta (1,1,z1) a lo largo de la curva definida por la
intersección de las superficies de ecuaciones: z = x − y , y = 2 − x 2 .
4) Si f ( x , y ) = ( y 2 + 2 y + y g ( x ) , 2 x y + g ′( x ) ) con f (0,1) = ( 2 ,−1 ) ; halle g ( x ) para que f admita función potencial en IR2.
TEMA 106 – 01/03/06
1) a) Sea f : D ⊂ IR → IR , defina diferenciabilidad de f en un punto; demuestre que diferenciabilidad ⇒ continuidad.
b) Dada f ( x , y ) = x + y − ln(3 − ( x + y ) 2 ) definida en su dominio natural D, grafique D y halle los puntos para los
cuales la gráfica de f tiene plano tangente horizontal (paralelo al plano xy).
2) a) Defina extremos absoluto y local (relativo) de un campo escalar. Dado f ( x , y ) = 4 + 2 x 2 + y 2 , halle el máximo y
n
m
mínimo absoluto de los valores de f en D = { (x,y) ∈ IR2 / x 2 + y 2 ≤ 4 }.
b) Sea C de ec. y = g ( x ) la solución de y ′ + y = x 2 + 1 que pasa por (1,2), halle el punto de C más cercano al (0,3).
3) Siendo f ( x , y , z ) = (4 y z + h( x , y ) , g ( x , y , z ) , 2 x y ) y C de ecuación X = (2 cos( u) , 4 , 3 sen( u) ) con u ∈[0,2 π ] , calcule
∫C f ⋅ ds aplicando el teorema del rotor; suponga
f ∈C 1 .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≥ x 2 + 1 , z + x 2 ≤ 17 , | y | < 2 .
TEMA 107 – 30/05/06
1) a) Defina derivada direccional; analice si f ( x , y ) = y + x x 2 + y 2 es derivable en (0,0) según distintas direcciones.
b) Siendo g ∈ C1 con aproximación lineal g ( x , y ) ≅ 3 + 2 x − 3 y en un entorno de A = (1,2) , calcule la máxima
derivada direccional de h = f o g en A , si w = f (u) queda definida implícitamente por w + 2 u + ln( w + u) = 0 .
2) a) Condición necesaria para la existencia de función potencial: enunciado y demostración.
b) Dado f ( x , y ) = (
−6 y
2
x +4y
2
,
6x
2
x +4y
2
) , analice si admite función potencial en IR2 –{(0,0)}.
3) Sea π o el plano tangente a la superficie de ecuación x 2 + 2 y z − z 3 − 1 = 0 en (1,2,2); calcule el área del trozo de π o
cuyos puntos cumplen con x 2 + z 2 ≤ 9 .
4) Dado f ∈ C1 tal que f ( x , y ,0) = ( 0 , 0 , x 2 )
y
div ( f ) ( x , y , z ) = x z , calcule el flujo de f a través de la superfi-
cie semiesférica de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 con normal orientada “alejándose del origen”.
TEMA 108 – 18/07/06
1) a) Enuncie el teorema del rotor. Aplíquelo para analizar si f : IR3 → IR3 / f ( x , y , z ) = ( x − y , y − x , g ( z ) ) admite
función potencial en su dominio, donde se supone que f cumple con las hipótesis del teorema..
b) Dados f ( x , y , z ) = ( 2 y z − x y , 5 x z − y z , sen( x y z ) ) y la curva C : X = ( r cos( t ) , r sen( t ) , 5 ) ∧ 0 ≤ t ≤ 2 π ,
calcule r∈IR+ sabiendo que
∫C f ⋅ ds = 12 π .
2) a) Defina continuidad; siendo f ( x , y ) =
1 − cos( x 4 + y 4 )
(x4 + y4 )2
si ( x , y ) ≠ ( 0,0)
analice si puede definir f(0,0)
para que la función f resulte
continua en el origen.
b) Si w = u ln( u v ) con ( u , v ) = ( x 2 − y , v ( x , y ) ) , resulta w = h( x , y ) ; calcule la máxima derivada direccional de h
en (2,3), sabiendo que la superficie de ecuación z = v ( x , y ) tiene plano tangente de ecuación x + z = 3 en (2, 3, zo).
3) Sea y = g ( x ) la solución particular de y ′′ − y ′ = 3 tal que g ( 0) = 7, g ′ ( 0) = −3 ; calcule la longitud del arco de
curva de ecuación y = g ( x ) con −2 ≤ x ≤ 5 .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ 2 y , y ≥ | x | , | z | ≤ 4 .
TEMA 109 – 01/08/06
1) a) Independencia del camino en una integral de línea: enunciado y demostración.
b) Siendo f ( x , y ) = ( y g ′ ( x ) , x g ( x ) ) con f (2, 2) = ( −6 , 6) , determine g ( x ) y D de manera que f = ∇Φ en D⊂ IR2 .
2) a) Defina extremos (máximo y mínimo) locales de un campo escalar. Dada f ( x , y ) = x 3 + x y 2 definida en IR2 , analice si f (0,0) es extremo local.
b) En la figura de la derecha se representa la forma de un recipiente cuya ecuación es
z = 8 x 2 + 8 y 2 − ( x 2 + y 2 ) 2 con ( x , y ) ∈ [ −2,2] × [ −2,2] ; el recipiente se apoya en
el plano x,y en las puntas y en el origen. Considere que la expresión dada permite
calcular z en centímetros cuando x e y están expresados en cm.
Calcule el volumen de líquido que contiene el recipiente cuando se lo llena exactamente hasta el borde superior.
3) Dado f ∈ C1 / rot( f ( x , y , z )) = ( g ( x ) , h( y ) , 2 z ) , calcule la circulación de f a lo largo de la curva Ψ intersección de
x 2 + y 2 + z 2 = 8 con z =
x 2 + y 2 ; indique gráficamente la orientación que ha elegido para circular a lo largo de Ψ .
4) Calcule el área de la superficie de ecuación x 2 + z 2 = 4 con z ≥ y , y ≥ 0 .
TEMA 110 – 20/09/06
1) a) Defina conjunto de nivel de un campo f : D ⊂ IR n →IR . Dado f diferenciable en A = ( x 0 , y 0 ) , calcule f ′ ( A , r0 )
siendo r0 ≠ 0 un vector director de la recta tangente a la curva de nivel 3 de f en A .
b) Aproximando por Taylor, f ( x , y ) ≅ 7 x + y + x y − y 2 − 4 x 2 en un entorno de A = (11
, ) ; analice si f ( A ) es extremo local, en caso afirmativo clasifíquelo.
2) a) Defina solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Dada la ecuación y ′′ + 2 b y ′ + 9 y = 18
verifique que si 0 < b ≤ 3 , toda solución particular y p cumple con lim y p ( x ) = 2 .
x→+∞
2
b) Halle g(x) de manera que f ( x , y , z ) = ( y g ( x ) , y g ( x ) , z ) resulte irrotacional y su función potencial φ cumpla
con: φ (0,0,0) = 1 , φ (0,2,0) = 5 .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 + y z , x z , 2 z 2 − 2 x z ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
1 ≤ z ≤ 5 − x 2 − y 2 ; indique gráficamente cómo ha orientado a la superficie,
4) Calcule el volumen del dominio natural D del campo f tal que f ( x , y , z ) = (
y − x2 ,
x − y 2 , ln( x − | z | ) ) .
TEMA 111 – 05/12/06
1) a) Dado f : D ⊂ IR →IR ( n > 1 ) diferenciable en A , demuestre que existe f ′( A , r ) ∀r ∈ IR n.
n
m
b) Sea z = f ( x , y ) la ecuación del plano normal en el punto (1,1,z0) a la curva C intersección de z = x + y 2 con
x 2 + y 2 + 2 z 2 = 10 ; calcule la derivada direccional de f en (1,1), en la dirección: (1,1) → (3,5).
2) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones (regla de la cadena). Aplíquelo para calcular
h ′( 2) cuando h( u) = f ( g ( u)) con f escalar, sabiendo que g (u) = ( u 2 , 2 u ) y ∇f ( x , y ) = ( 2 − y , x y ) .
b) Siendo f ( x , y ) = ( y + y g ( x ) , g ′( x ) ) , halle g ( x ) tal que f admita función potencial en IR2 con f (0,1) = ( 3 , 1 ) .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 , y z , 2 x z ) a través de la superficie Σ de ecuación z = 7 − x 2 con z ≥ x 2 + 2 y 2 − 1;
(
indique gráficamente la orientación que ha elegido para n (versor normal a Σ).
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: y ≤ 4 − x 2 , z + x ≤ 2 , z − x ≤ 2 , y ≥ 0 , z ≥ 0 .
TEMA 112 – 12/12/06
1) a) Defina derivada respecto de un vector. Dado f ( x , y ) = ( g ′ ( x ) , g ( x ) ) , halle g ( x ) tal que la suma de las componentes de f ′ ( A , (2,−2)) resulte igual a 3 para todo A ∈ IR2 , sabiendo que f (0, 1) = ( 0, 0) .
b) Con f ∈ C 1 , halle f ( x , y ) tal que: f (0,0) = 5 , f ′(( x , y ) , (1,0)) = y − 2 x y , f ′ (( x , y ) , (11
, )) = x + y − 2 x y − x 2 .
2) a) Sea f : IR2→ IR2 un campo de fuerzas conservativo, demuestre que las líneas de campo y las líneas equipotenciales
son familias ortogonales. Verifíquelo para f ( x , y ) = ( y , x ) .
b) Sean A y B los puntos donde la función potencial de f ( x , y ) = ( 6 x − 6 x 2 , 3 y 2 − 3 ) produce un máximo y un
mínimo relativo respectivamente. Calcule
∫C f ⋅ ds , circulando desde
A hasta B por una curva C .
3) Sea π0 el plano tangente a la superficie de ecuación x 2 + 4 y 2 + 2 z 3 = 7 en el punto (1,1, zo); calcule el área del sector
de π0 cuyos puntos cumplen con y ≥ x 2 , x + y ≤ 2 .
4) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y , 2 x 3 , z y ) a través de la superficie abierta Σ de ecuación y = 9 − x 2 con
(
0 ≤ z ≤ y , orientando Σ de manera que el versor normal en cada punto cumpla con n ⋅ (0,1,0) ≥ 0 .
TEMA 113 – 19/12/06
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Aplíquelo para demostrar que si φ ∈ C 2 es un campo escalar armónico, entonces es nulo el flujo de ∇φ a través de toda superficie cerrada que cumpla con las hipótesis del teorema.
b) Siendo f ∈ C 1 tal que f ( x , y , z ) = ( ϕ ( x , y , z ) , λ ( x , y , z ) , 1 + z ) con div ( f ( x , y , z )) = x + 3 , calcule el flujo de f a
través de la superf. abierta Σ de ecuación x 2 + y 2 = 9 con 0 ≤ z ≤ 2 ; indique gráficamente cómo ha orientado a Σ .
2) a) Sea C una curva plana definida implícitamente por F ( x , y ) = 0 . Demuestre que, bajo ciertas hipótesis,
∇F ( A ) ⊥ C en A ∈ C ; indique las hipótesis que considera.
b) Sea no la recta normal a la superficie de ecuación z = 2 x 2 − y en (2, 1, z0), calcule la circulación de f a lo largo
de no desde (2, 1, z0) hasta (4, y1, z1) , cuando f ( x , y , z ) = ( x − y , y − z , z − x ) .
3) Calcule mediante una integral doble o una apropiada integral de línea, el área de la región plana limitada por la curva
solución de 9 x + 4 y y ′ = 0 que pasa por el punto (2,0).
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 8 − x 2 , y ≥ x .
TEMA 114 – 16/02/07
1) a) Independencia del camino en integral de línea de campo vectorial: enunciado y demostración.
b) Dado f ( x , y ) = ( y − 1 , x − 2 y ) , calcule
∫C f . ds
desde (2,1) hasta (0,3) usando función potencial.
2) a) Sea f ( x , y ) = k la ecuación de la curva de nivel k de f que pasa por A = ( x 0 , y 0 ) , demuestre que ∇f ( A ) es
perpendicular a dicha curva en A ; indique las hipótesis que supone.
b) Sea C ⊂ IR3 una curva trazada sobre la superficie de ecuación z = x 2 − 2 y + 1 . Halle la ecuación del plano normal
a C en (0, y0, z0) sabiendo que la proyección de C sobre el plano xy es la solución particular de y ′′ − y ′ = 2 que, en
dicho plano, pasa por (0,1) siendo y ′ (0) = −2 .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x 2 − y + z , y − z , x − z ) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
z ≥ y 2 , z ≤ y , y ≥ x , 1° octante. Indique gráficamente cómo ha decido orientar a la superficie.
4) Dado f : IR2 → IR2 / f ( x , y ) = ( x − a 2 y , ( a + 2) b 2 x ) , halle los valores de a y b para que la
∫C
+
f ⋅ ds sea mínima
(mínimo local), siendo C una circunferencia de radio r > 0 con centro en (x0, y0). Sugerencia: aplique teor. de Green.
TEMA 115 – 23/02/07
1) a) Enuncie el teorema de Green. Calcule
∫∂D
+
f ⋅ ds , siendo: f ( x , y ) = ( 4 y − sen( x 2 ) , 7 x + cos( y 2 ) ) , ∂D la
frontera de la región plana definida por 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 64 .
2− y
x
b) Analice si f ( x , y ) = (
, 2
) admite función potencial en IR2 –{(0,2)}.
2
2
2
x + ( y − 2)
x + ( y − 2)
2) a) Defina diferenciabilidad de un campo en un punto. Indique propiedad(es) que permita(n) asegurar la diferenciabilidad de f : IR2 → IR / f ( x , y ) = x 2 y + x y calcule, en consecuencia, f ′((1,2) ,( 3,5)) usando el ∇f .
b) Sea la ecuación x + y ln( z − x ) + x z − 8 y = 0 que define z = f ( x , y ) , calcule aproximadamente f (2.01 , 0.97) .
2
3) Calcule el área del trozo de superficie de ecuación z = 1 + x con y ≤ x , x ≤ 1 , y ≥ 0 .
1
2
4) Dado el campo solenoidal f ∈ C tal que en puntos del plano xz queda definido por f ( x ,0, z ) = ( z , x , 2) , calcule el
flujo de f a través de la superficie de ecuación y = 4 − x 2 − z 2 con y > 0 , orientada hacia el plano xz.
TEMA 116 – 02/03/07
1) a) Dado f : D ⊂ IR n → IR m , defina continuidad de f en un punto A . Analice si puede definirse f (0,0) para que el
campo f sea continuo en (0,0), sabiendo que f ( x , y ) = ( x y − x 2 ) / ( x 2 + y 2 ) si ( x , y ) ≠ (0,0) .
b) Siendo f ( x , y , z ) = ( 2 y , 2 x − y , g ( x , y ) − x 2 − x y ) con g(0,0) = 2 , halle g ( x , y ) tal que f resulte irrotacional.
2) a) Dado el campo escalar f , ¿bajo qué condiciones su derivada direccional en A es máxima en la dirección de ∇f ( A ) ?:
hipótesis y demostración.
(
(
b) Sea f ( x , y ) = x 2 + y − x y ; analice si los versores r para los que f ′(( 0,2) , r ) = 0 , son tangentes en A = (0,2) a
la curva integral de y ′′ + 4 y = 8 que pasa por A y por (π /4, 3).
3) Calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( x y , y , 2 z ) a lo largo de la curva C desde (3, 0, 6) hasta (0, 3, 0) en el 1° octante, cuando C se define como la intersección del plano de ecuación z = 2 x con el cilindro de ecuación x 2 + y 2 = 9 .
4) Calcule la masa del cuerpo definido por z ≥ | y | , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 si la densidad en cada punto es proporcional a la
distancia desde el punto al plano xy.
TEMA 117 – 30/05/07
1) a) Regla de la cadena en forma matricial: enunciado. Aplíquela para determinar los versores según los cuales la deri(
vada direccional h ′((1,2) , r ) = 0 cuando h = f o g con f (u, v ) = u + v 2 y g ( x , y ) = ( x + y 2 , sen( 2 x − y ) ) .
b) Sabiendo que p(u, v ) = u + v + u v permite aproximar f ( u, v ) por Taylor en un entorno de (1,2), aproxime linealmente h( 2.02 , 2.99) cuando h( x , y ) = f ( y − x , x 2 − 2) .
2) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Analice qué hipótesis debería cumplir f para que
(
∫∫S rot( f ) ⋅ n dσ
= 0 ∀S.
b) Siendo f ( x , y , z ) = ( x 3 + g ( x − y ) , y + g ( x − y ) , 4 − z ) con f ∈ C 1 , calcule el flujo de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por: 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 .
3) Siendo f : IR2 → IR 2 un campo de gradientes, halle la ecuación cartesiana de sus líneas de campo sabiendo que su función potencial es φ( x , y ) = x − y 2 .
4) Calcule la circulación en sentido positivo de f ( x , y ) = ( x y , y + x ) a lo largo de la curva frontera de la región plana
definida por: y ≥ x 2 , x + y ≤ 6 .
TEMA 118 – 17/07/07
1) a) Defina extremo (máximo y mínimo) local o relativo. Analice si f(0,0) es extremo local de f ( x , y ) = 2 +
| x y| .
b) Dado f ( x , y , z ) = ( 6 a 3 x , 6 a b y , b 2 z ) determine los valores de las constantes a y b para los cuales el flujo
de f a través de Σ produce un extremo local, siendo Σ la frontera del cuerpo D definido por x 2 + y 2 ≤ 4
con 1≤ z ≤ 4 . Suponiendo Σ orientada hacia el exterior de D, el extremo hallado ¿es máximo o mínimo local?.
2) a) Enuncie el teorema de Green. Siendo f ( x , y ) = ( g ( x ) − y , x + y ) , aplíquelo para calcular
∫C + f ⋅ ds
con
C frontera de la región plana definida por: x + y ≤ 2 , x ≥ y 2 .
b) Dado f ( x , y ) = ( x y + y h( x ) , y 2 + h ′ ( x ) ) con f (0,2) = (4 , 6) , halle h( x ) para que f admita función
potencial.
3) Calcule la circulación de f a lo largo de la curva dada por la intersección de las superficies Σ 1 y Σ 2 en el 1er.
octante desde (a,b,0) hasta (0,0,5), siendo Σ 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 25 , Σ 2 : y = x , f ( x , y , z ) = ( x z , y − x z , z ) .
4) Calcule el área del trozo de plano tangente a la superficie de ecuación y = 2 + x 2 en (1,3,4), cuyos puntos
cumplen con y ≤ 4 − x 2 − z 2 .
TEMA 119 – 31/07/07
1) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones en forma matricial. Aplique la regla de
la cadena para hallar los puntos de la superficie de ecuación z = h( x , y ) donde la recta normal es paralela
al eje z, sabiendo que: h( x , y ) = f ( g ( x , y )) , f (u, v ) = 2 u − v , g ( x , y ) = ( x2 y , 8 y – 2 x ) .
b) Dado h( x , y , z ) = f ( ln( x + y + 2 z ) ) con f : IR → IR , f ∈ C 1 , calcule el flujo de ∇h a través del trozo
de plano de ecuación z = x + y + 3 con x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 4 .
2) a) Enuncie el teorema del cambio de variables en integrales dobles. Calcule
∫∫D ( x + y − 2)
2
dx dy aplicando
el cambio de variables definido por ( x , y ) = ( u + v , u − v ) , con D ={(x, y) ∈ IR2 / y ≥ | x | , x + 2 y ≤ 3 }.
b) Sean C1 que pasa por (1,1) y C2 por (1,–1) dos curvas de la familia F con ec. diferencial y = y ′ x , calcule el
área de la región limitada por C1, C2 y C3 con x ≥ 0 , si C3 pasa por (3,0) y pertenece a la flia. ortogonal a F.
3) Dado f ( x , y , z ) = ( y z + ϕ ( x ) , x + y z , x y + ϕ ( z ) ) con ϕ ′ continua, calcule la circulación de f a lo largo de la
curva intersección de z = x 2 + y 2 con z = 8 − x 2 − y 2 ; indique gráficamente el sentido de circulación que adoptó.
2
2
2
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: − x ≤ y ≤ x , z + x ≤ 1, x ≥ 0 , z ≥ 0 .
TEMA 120 – 27/09/07
Siendo f (0,0) = 0 , f ( x , y ) =
x4 + y3
si ( x , y ) ≠ (0,0) , determine las
x2 + y2
direcciones de máxima y mínima derivada direccional en (0,0) y el valor de dichas derivadas.
b) Dado el campo escalar f diferenciable en IR2 , determine f ( x , y ) sabiendo que f (0,0) = 2 y que para
(
todo versor r = (u, v ) resulta f ′( ( x , y ) , (u, v ) ) = (1 + y 2 ) u + (2 x y + 1) v .
1) a) Defina derivada direccional.
2) a) Condición necesaria para la existencia de función potencial: hipótesis y demostración.
b) Sea f = ∇φ ∈ C 1 (IR2), calcule la circulación de f a lo largo de C de ecuación X = ( 2 cos(t ) , 3 sen( t ) )
con 0 ≤ t ≤ π , sabiendo que en puntos del eje x el campo es f ( x ,0) = ( x 2 , 2 x ) .
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( sen( y − x ) , 1 − cos( y ) , z sen( y ) ) a través de la superficie de ecuación
z = sen( y ) con x ≥ 0 , y ≥ 0 , x ≤ π , y ≤ x . Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a la superficie.
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≤ 4 − x 2 , z ≥ y 2 .
TEMA 121 – 06/12/07
1) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones en forma matricial. Suponiendo que se cumplen
las hipótesis del teorema y siendo h(t ) = f ( g (t )) con f escalar, justifique que h ′(t 0 ) = ∇f ( g (t 0 )) ⋅ g ′(t 0 ) .
b) Dado F ∈ C 1 tal que F ( x , y , z ) = ( g ( x − y , y − x ) − x h( z ) , g ( x − y , y − x ) − y h( z ) , z h( z ) ) deter-
mine h( z ) para que F resulte solenoidal; suponga F (0,0,1) = (2,2,2) .
2) a) Enuncie el teorema de cambio de variables para integrales dobles. Si la región Dx y se corresponde con la región Du v
a través del cambio de variables ( x , y ) = ( u − 2 v , 2 u + v ) , calcule área(Du v) sabiendo que área(Dx y) = 7 .
b) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 4 x .
3) Calcule el flujo de f a través de la superficie abierta de ecuación z = 2 x 2 + 2 y 2 con z ≤ 18 , sabiendo que
div ( f ) ≡ 4 y que
f ( x , y ,18) = ( x sen( z ) , y sen( z ) , z ) .
4) Siendo f ( x , y , z ) = (1 + 2 x y , x 2 + z , y ) , calcule
∫C f ⋅ ds desde (1,2,0) hasta (2,0,3) usando función potencial.
TEMA 122 – 13/12/07
1) a) Defina diferenciabilidad; demuestre que si f es diferenciable en el punto A, es continua en A.
b) Dadas: Σ la gráfica de f con f ( x , y ) = x 2 + ln( x ) − 2 x cos( x + y − 1) ,
z = p( x , y ) la ecuación del
plano tangente a Σ en (1, 0, zo). Siendo h = f − p , analice si h(1, 0) es extremo local y de qué tipo.
2) a) Enuncie el teorema de Green. Verifique que la circulación de f ( x , y ) = ( sen( x ) − y , x + sen( y ) ) a lo largo
de la frontera de un rectángulo S es directamente proporcional a área(S); indique gráficamente cómo circula.
4x
y
b) Dado f = ∇φ en IR2 −{0} con φ(1,0) = 2 , halle ecuaciones carf ( x, y) = ( 2
,
)
2
2
4x + y
4 x + y2
tesianas para las líneas de campo y las líneas equipotenciales.
3) Siendo f ( x , y ) = ( x 2 , x y , x z ) y Σ de ecuación x 2 + y 2 = 2 y en el 1° octante con z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 4 , calcule el flujo de f a través de Σ ; indique gráficamente cómo a decidido orientar a la superficie.
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≤ 6 −
x2 + y2 , z ≥ x2 + y2 .
TEMA 123 – 20/12/07
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Suponiendo que se cumplen las hipótesis del teorema, calcule el
flujo de f ( x , y , z ) = ( x g ( x y ) + x , 2 y − y g ( x y ) , z + g ( x y ) ) a través de la frontera de un cuerpo de volumen 12.
b) Calcule el flujo de f solenoidal a través de Σ abierta de ecuación z = 3 + ( x − 1) 2 + y 2 con ( x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 ,
sabiendo que f en el plano z = 4 es f ( x , y ,4) = ( x y , y , 2 x ) ; indique gráficamente cómo ha orientado a Σ .
2) a) Defina máximo y mínimo local de un campo escalar. Analice si f(0,0) es extremo local de f ( x , y ) =| x | ln(1 + y 2 )
b) Sea f ( x, y ) = ( − y , 2 x ) ; calcule el área de la región plana limitada por la línea de campo que pasa por el
punto (1,0).
3) Calcule la masa del cuerpo definido por y ≥ x , z ≤ 4 −
x 2 + y 2 , 1° octante; cuya densidad en cada punto
es proporcional a la distancia desde el punto al plano y = 0 .
4) Sea C la curva intersección de las superficies de ecuaciones: z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 9 ; calcule la circulación de
f a lo largo de C sabiendo que rot ( f ( x , y , z )) = ( x − 1, y − 1, 3 z ) . Indique gráficamente cómo orienta a C.
TEMA 124 – 21/02/08
Tema I
1) a) Demuestre : “un campo vectorial f es derivable en A ” ⇔ “todas sus componentes son derivables en A ”.
b) Sea f = ( f 1 , f 2 ) diferenciable en A . Calcule aproximadamente f 2 ( A + (0.3, 0)) sabiendo que f x′ ( A ) = ( 2 , 5 )
y f ( A ) = ( 3 , 7) .
2) a) Enuncie el teorema del rotor. Siendo rot ( f ( x , y , z )) = ( 3 x + y , 2 y , 3 z ) calcule la circulación de f a lo largo de
la curva de ecuación X = ( 2 , cos( 2 u) , sen( 2 u) ) con 0 ≤ u ≤ π .
b) Dado f ∈ C 1 / f ( x , y , z ) = ( y + ϕ ( x ) , x + ϕ ( y ) , 2 z ) , calcule la circulación de f desde (1,2,1) hasta (1,2,4) y
justifique que el resultado no depende de la curva que utilice.
3) Calcule el área del trozo de plano de ecuación z = x + y en el 1° octante con z ≤ 4 − x 2 − y 2 + x + y .
4) Dado f ( x , y , z ) = ( x + sen( y z ) , 2 y + cos( x z ) , 3 z + x − y ) , calcule el flujo de f a través de la superficie frontera del
cuerpo definido por: y ≤ 2 − x 2 − z 2 , y ≥ 2 x 2 + 2 z 2 − 4 ; el flujo resultante: ¿es entrante o saliente del cuerpo?.
Tema II
1) a) Demuestre : “un campo vectorial f es derivable en A ” ⇔ “todas sus componentes son derivables en A ”.
b) Sea f = ( f 1 , f 2 ) diferenciable en A . Calcule aproximadamente f 2 ( A + (0, 0.2)) sabiendo que f y′ ( A ) = ( 2 , 3 )
y f ( A ) = ( 3 , 7) .
2) a) Enuncie el teorema del rotor. Siendo rot ( f ( x , y , z )) = ( 3 x , x − 2 y , 2 z ) calcule la circulación de f a lo largo
de la curva de ecuación X = ( cos(2 u) , 3 , sen(2 u) ) con 0 ≤ u ≤ π .
b) Dado f ∈ C 1 / f ( x , y , z ) = ( 2 x , z + ϕ ( y ) , y + ϕ ( z ) ) , calcule la circulación de f desde (1,2,5) hasta (4,2,5) y
justifique que el resultado no depende de la curva que utilice.
3) Calcule el área del trozo de plano de ecuación z = 2 + x + y en el 1° octante con z ≤ 6 − x 2 − y 2 + x + y .
4) Dado f ( x , y , z ) = ( 2 x + cos( y z ) , y + sen( x z ) , 3 z + y − x ) , calcule el flujo de f a través de la superficie frontera del
cuerpo definido por: x ≤ 2 − y 2 − z 2 , x ≥ 2 y 2 + 2 z 2 − 4 ; el flujo resultante: ¿es entrante o saliente del cuerpo?.
TEMA 125 – 28/02/08
Tema 1
(
(
1) a) Defina derivada direccional. Siendo f ( x , y ) = x y , con A = (1, 3 ) determine versores r tal que f ′ ( A , r )
sea igual a la mitad de la máxima derivada direccional de f en A .
1 3
b) Siendo h = f ( g ( x , y )) , calcule aproximadamente h(102
. , 198
. ) cuando la matriz jacobiana Dg(1, 2) = 
,
 2 4
g(1,2) = (3, 4) , estando f (u, v ) definida implícitamente por la ecuación w + u ln( w + v − 9) − 2 u = 0 .
2) a) Enuncie el teorema de Green. Aplíquelo para calcular la circulación de f ( x , y ) = ( e y − 2 y , x e y ) a lo largo de la
curva C de ecuación X = ( 3 sen(u) , 3 cos(u) ) con 0 ≤ u ≤ 2 π (recuerde que la parametrización orienta a C ).
b) Dado f ( x , y , z ) = ( x − y , z , x ) , calcule la circulación de f a lo largo de la curva intersección de y = x 2 con
TEMA 126 – 06/03/08
Tema 1
1) a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Halle la familia de
funciones a la que debe pertenecer h para que y = x + h( x ) sea solución de y ′′ + y = x .
b) Halle la ecuación cartesiana de la línea de campo de f que pasa por el punto (2, 2), siendo f ( x , y ) = ( x , x − y ) .
2) a) Defina extremo local (máx. y mín.) de un campo escalar. Analice y clasifique extremos de f ( x , y ) = 2 − x 2 + y 2 .
b) Sea f = ∇φ , si
∫AB f ⋅ ds = b − a
2
y
∫AC f ⋅ ds = b
2
+ a , ¿existe (a , b) para que
∫BC f ⋅ ds
sea mínima?.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x y , y z , y ) a través de la superficie abierta Σ de ecuación y = z 2 en el 1° octante
con 2 x + y + z ≤ 2 ; indique gráficamente cómo ha elegido la orientación de Σ .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥
x2 + y2 , z ≤ 6 − x2 − y2 , y ≥ x .
Tema 2
1) a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Halle la familia de
funciones a la que debe pertenecer h para que y = 2 + h( x ) − x sea solución de y ′′ + y = 2 − x .
b) Halle la ecuación cartesiana de la línea de campo de f que pasa por el punto (1, 2), siendo f ( x , y ) = ( x , y − x ) .
2) a) Defina extremo local (máx. y mín.) de un campo escalar. Analice y clasifique extremos de f ( x , y ) = 1 + x 2 + y 2 .
b) Sea f = ∇φ , si
∫AB f ⋅ ds = a − b
2
y
∫AC f ⋅ ds = a
2
+ b , ¿existe (a , b) para que
∫C B f ⋅ ds
sea máxima?.
3) Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( x z , y z , x ) a través de la superficie abierta Σ de ecuación x = z 2 en el 1° octante con
x + 2 y + z ≤ 2 ; indique gráficamente cómo ha elegido la orientación de Σ .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 12 − x 2 − y 2 , y ≤ x .
TEMA 127 – 28/05/08
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Calcule el flujo de f ( x , y , z ) = ( y g ( z − x ) , 3 y + z g ( z − x ) , y g ( z − x ) ) a
través de la frontera del cuerpo definido por x 2 + y 2 ≤ z ≤ 9 ; suponga g ′ continua.
b) Halle ϕ( x ) para que resulte nulo el flujo de f ( x , y , z ) = ( x ϕ ( x ) , 1 − 4 y , (1 − 2 z ) ϕ ( x ) ) a través de toda superficie
cerrada que cumpla las condiciones del teorema de la divergencia; suponga f (1,0,0) = ( 3, 1, 3) .
2) a) Condición necesaria para que un campo f admita función potencial: enunciado y demostración.
b) Aplicando el teor. del rotor, calcule la circulación de f ( x , y , z ) = ( x 2 , x y , x z ) a lo largo de la curva cerrada intersección de las superficies: x 2 + y 2 = 4 y , x 2 + y 2 = 2 y z . Indique gráficamente el sentido de circulación que ha elegido.
3) Calcule el volumen del cuerpo cuyos puntos son el dominio natural de f ( x , y , z ) = ( ln(4 − x 2 − z 2 ) ,
y − x2 , 4 − y ) .
4) Sea π o el plano normal en A = (0,0,2) a la curva C de ecuación X = (u 2 − 1 , u 2 + u , 2 + u sen(u + 1) ) con u ∈ IR .
Calcule el área de la región de dicho plano incluida en el 1° octante.
TEMA 128 – 22/07/08
1) a) Demuestre que si el campo f es diferenciable en A , es derivable en toda dirección en A .
v
(
(
, ) , r ) sea máxima si r = r /|| r || con r = (2,1) .
b) Dado f ( x , y ) = a 2 x y 2 − x 2 y − 3 a y , halle a para que f ′((11
2) a) Enuncie el teorema del rotor. Aplíquelo para calcular
curva C
∫C f ⋅ ds
sabiendo que rot f ( x , y , z ) = ( −3 x , 2 y , z )
y la
TEMA 131 – 04/12/08
1) a) Independencia del camino en integral de línea de campo vectorial: enunciado y demostración.
2
b) Sea f = ∇φ continuo en IR , calcule
∫C f ⋅ ds
siendo C : X = (u − 2 , u 2 − 2 u + 3) con 0 ≤ u ≤ 2 , sabiendo que
su función potencial φ es tal que φ ′x = φ .
2) a) Cambio de variables en integrales dobles: enunciado del teorema. Siendo I =
π /2
∫−π /4
dϕ
3
∫0 ρ
2
cos(ϕ ) dρ el plan-
teo de una integral doble en coordenadas polares, indique el planteo correspondiente en coordenadas cartesianas.
b) Sea π 0 el plano tangente a la superficie de ecuación z = x y + ln( x + y ) en el punto (1,0,0). Calcule el área de la
porción de π 0 cuya proyección sobre el plano xz es D = {( x , z ) ∈ IR2 / | z − x | < 1 ∧ | x | ≤ 2 } .
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 25 x ≥ 3 y 2 , 9 y ≥ 5 x 2 , x + 3 ≤ z ≤ x + 5 .
4) Dado
2
f ( x , y , z) = ( x , y , z ) / ( x 2 + y 2 ) , calcule el flujo de f
a través de la superficie abierta Σ de ecuación
2
x + y = 4 con z ≤ 2 x en el 1° octante. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para Σ .
TEMA 132 – 11/12/08
1) a) Sea f = ( f 1 , L , f m ) una función vectorial de una variable t : demuestre que f es derivable en t 0 si, y sólo si,
sus componentes son derivables en t 0 .
b) Dada la curva C de ecuación X = ( t − 1 , t 2 + t , e 2 t − 2 ) con t ∈ IR , calcule la longitud del segmento de recta
tangente a C en (0,2,1) cuyos puntos están entre los planos de ecuaciones y = 2 e y = 5 .
2) a) Trayectorias ortogonales: definición. Dada la familia de curvas planas de ecuación y = C sen( x ) , halle la ecuación
de la curva de la familia ortogonal que pasa por el punto (0,3).
b) Calcule el área de la región plana cuya frontera es la curva integral (sol. particular) de y ′ y + 2 x = 0 que pasa por (0,1).
3) Dado f ∈C 1 tal que f ( x , y , z ) = ( y z , g ( y ) , x z ) , calcule la circulación de f a lo largo de la circunferencia de radio
r = 3 con centro en (0,0,5) en el plano z = 5 . Indique gráficamente cómo ha decidido orientar la curva.
4) Calcule el flujo de f a través de la superficie abierta de ecuación y = x 2 + 1 con x + z ≤ 2 en el 1° octante, orientada
(
con normal n que en cada punto tiene componente en x positiva; siendo f ( x , y , z ) = ( x , 2 y − z , y + z ) .
TEMA 133 – 18/12/08
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Sea f = rot ( g ) + ( x , 2 y , z ) con g = ( P, Q, R ) ∈ C 2 , verifique que el flujo
de f a través de x 2 + y 2 + z 2 = 36 es proporcional al volumen del cuerpo definido por x 2 + y 2 + z 2 ≤ 36 .
b) Dado f ( x , y , z ) = ( g ( y , z) , y + h( x , z) , z 2 ) con g , h ∈C 1 , calcule el flujo de f a través de la superficie abierta Σ
de ecuación x 2 + y 2
+
z 2 = 29 con z ≥ 2 . Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a Σ .
2) a) Dado el campo f diferenciable en A ∈ IRn , demuestre que queda definida f ′ ( A , r ) para todo r ∈ IRn .
b) Calcule aproximadamente f(1.02 , 1.99) sabiendo que f ′( (1,2) , (2,4) ) = 14 y que el plano tangente a la superficie
de ecuación z = f ( x , y ) en (1,2,10) tiene ecuación z = a + 3 x + b y con a, b constantes.
3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z ≥ x 2 + 2 y 2 , z ≤ 48 − 2 x 2 − y 2 , y ≥ x .
4) Calcule el área de la región sombreada D de la figura, sabiendo que
la ecuación de C es X = ( 4 sen( u) , sen(2u) ) con 0 ≤ u ≤ π / 2 .
Sugerencia: utilice una conveniente integral de línea a lo largo de la
frontera de D.
TEMA 134 – 19/02/09
1) a) Defina conjunto de nivel. Halle una ecuación cartesiana para el conjunto de nivel 3 de la función potencial φ del
, )=4.
campo f ( x , y ) = ( y + 2 x , x ) , sabiendo que φ(11
b) Calcule el área de la región plana limitada por las líneas de nivel 1 del campo f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( x − y 2 ) + 1 .
2) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones en forma matricial. Calcule el valor de la máxima
27
derivada direccional de h = f o g en (1,2) sabiendo que: Df ( 3,4) = ( 1 6 ) , Dg(1,2) =  5 4 , g(1,2) = ( 3 , 4 ) .
 
b) Sea g ( x , y ) = x y + f ( x 2 + y ) con f ∈C 1 , calcule aproximadamente g(1.02 , 0.99) sabiendo que el plano tangente a la superficie de ecuación z = f ( x 2 + y ) en el punto (1,1, z0) de la misma tiene ecuación z = 2 x + y .
3) Calcule el flujo de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por x 2 + y 2 + z 2 ≤ 20 , x 2 + z 2 ≤ 4 cuando f ( x , y , z ) = ( x + y , y − x , x + z ) . Indique si el flujo resultante es entrante, saliente o nulo.
4) Dado f ( x , y , z ) = ( e x + y − z , e y + x − z , e z + y − x ) , calcule la circulación de f a lo largo de la curva intersección de la superficie de ecuación z = 4 − x 2 − y 2 con los planos coordenados en el 1° octante. Indique gráficamente
con qué orientación ha decidido realizar la circulación pedida.
TEMA 135 – 26/02/09
1) a) Enuncie el teorema de Green. Aplíquelo para calcular
∫C
+
f ⋅ ds siendo C : x 2 − 2 x + y 2 = 0 , f ( x , y ) = ( x y , x 2 ) .
y
b) Con orientaciones y puntos inicial y final según el gráfico, calcule
x 
 g( x, y)
que Df ( x , y ) = 
,
 2 x h ( x , y )
∫C
1
∫C f ⋅ ds
sabiendo
f ⋅ ds = 5 , C1 : y = x , C : y = x 2 , g , h ∈C 1 .
C1
(1,1)
C
(0,0)
x
2) a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Halle f ( x ) tal que
f (1) = 2 sabiendo que
TEMA 136 – 05/03/09
1) a) Defina extremos (máximo y mínimo) locales de un campo escalar. Analice y de existir clasifique, extremos locales
de f : IR2 → IR / f ( x , y ) = 5 + x 6 + y 4 .
b) Dada f ( x , y ) definida implícitamente por x + z ln( y z − 5) + e x z + x y − 1 = 0 , calcule aproximadamente f(0.3 , 1.9).
2) a) Defina función potencial de un campo vectorial f . Siendo φ( x , y ) = 2 x + y 2 la función potencial de f , calcule
∫AB f ⋅ ds
desde A = (2 , 0) hasta B = (3 , 2) .
−y
x −1
,
) con Df continua y simétrica en D = IR2 −{(1 , 0)} , analice si f ad( x −1)2 + y 2 ( x −1)2 + y 2
mite función potencial en D .
y
3) El círculo de la figura tiene centro en (0,2) y radio 2 ; calcule la circulación de f a lo largo de su
b) Dado f ( x , y ) = (
frontera recorrida en sentido positivo, si f ( x , y ) = ( y ϕ ( x y ) − x y , x ϕ ( x y ) ) . Suponga ϕ ∈C 1 .
4) Calcule el volumen del cuerpo definido por z ≤ 4 − x 2 + y 2 , 2 z ≥ x 2 + y 2 , 1° octante.
x