2011-12

Examen Final de Modelos de Optimización I
Nombre:
Ciencia de la Computación, curso 11-12
A. La división de investigación y desarrollo de una compañía manufacturera ha desarrollado cinco
nuevos productos y se dispone de dos plantas para fabricarlos. En la siguiente tabla se indican los
parámetros de producción y venta estimados.
Horas de de producción
Horas disponibles (por semana)
(por unidad de producto)
P1 P2 P3 P4 P5
Planta 1
3
4
2
3
4
50
Planta 2
4
6
2
4
5
60
Ganancia unitaria
5
7
3
4
6
(miles de $)
Ventas potenciales 7
5
9 10 8
(unidades por semana)
Se conoce que el proceso tecnológico que sigue el producto 5 requiere, independientemente del
volumen a producir, de un ajuste de la cadena productiva a un costo de 3.5 miles de $ y 2 horas
adicionales de trabajo. Se quiere evitar la diversificación excesiva de la línea de productos de la
compañía y por ello sólo se fabricarán tres de los cinco productos que han sido desarrollados, y sólo
una de las plantas se utilizará para fabricarlos. Por razones de política comercial los productos 1 y 2
no podrán ser escogidos simultáneamente y deberán ser fabricadas al menos tres unidades
semanales del producto 3 destinadas a un mercado especial que ofrece un precio tres veces menor
que el habitual. Como el director de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de PL, le
pide formular un modelo que permita maximizar la utilidad.
B. Sea el PPLE P: { max 21x1 + 11x2 / 7x1 + 4x2  13, x1  0, x2  0, x1, x2 enteros} y sea la
siguiente tabla representativa de la solución óptima del problema relajado de P.
B.1 Realice la primera iteración del algoritmo Gomory I, diga si ha
encontrado, o no, la solución óptima para P, justifique.
z
B.2 El árbol de la figura 1 resulta de aplicar el algoritmo de
X1
Ramificación y Poda al problema P. Uno de los problemas parciales
derivados de P coincide con el problema que resulta de aplicarle el primer corte Gomory I, mientras
que la solución óptima de otro de estos subproblemas se alcanza en el punto extremo que se obtiene
al aplicar sobre P dos cortes del algoritmo Primal Todo Entero.
b
39
13/7
X1
0
1
X2
1
4/7
h
3
1/7
B.2.1 Ubique en el árbol la mayor cantidad posible de los siguientes datos de forma tal que no haya
contradicción con el algoritmo.
(i) (x1= 5/7 ; x2= 2; z= 37 )
(ii) (x1=-1.5 ; x2=2; z=38.5 )
(iii) (x1=0 ; x2= 13/4; z= 35.75 )
(iv) (x1=0 ; x2=3; z= 33 )
(v) (x1=3 ; x2=3; z= 33 )
(vi) (x1=1 ; x2= 8/4; z= 43 )
B.2.2 Coloque al lado de cada arco la restricción correspondiente.
P0
B.2.3 Indique cuáles nodos han sido podados y por qué.
B.2.4 ¿Ha finalizado el algoritmo? Justifique. En caso negativo
indique el próximo nodo a expandir.
B.2.5 Detalle la mejor solución parcial admisible
hasta el momento.
P1
P2
inad
2
P3
P4
P
P
P1
3
3P6
1
P
P2
P2
P5
P
P2
12
1
P2
12
P7
inad
P
1
21
C. Dado el siguiente PPL:
maximizar Z = 3x1 + 5x2
C.1 Resuélvalo gráficamente.
Sujeto a
3x1 + 2x2  18
C.2 Resuélvalo aplicando el Simplex. Relacione cada tabla obtenida con
x1
 4
el gráfico de C.1.
x2  6
C.3 Formule el problema dual correspondiente. Describa, si existe,
x1, x2  0
su solución óptima.
C.4 Sea ahora el vector de coeficientes de disponibilidad/demanda b* = (18+t, 4+t, 6+t). Hallar t tal
que la base óptima obtenida en el inciso C.2 se mantenga.
C.5 Se introduce la restricción 2x1 + 3x2  24. Muestre el efecto gráfico de ese cambio respecto al
modelo original. Introduzca dicha restricción en la tabla óptima (escrita de forma explícita). Estudiando
la nueva tabla, explique lo geométricamente observado. Reoptimice si fuera necesario.
C.6 Proponga algún cambio en los parámetros de la función objetivo para que la solución óptima
obtenida en el inciso C.2 no sea única.
C.6.1 Escriba la fila de la función objetivo para la nueva tabla óptima.
C.6.2 Represente geométricamente todas las soluciones óptimas y descríbalas de forma analítica.
C.6.3 Indique la solución óptima del problema dual asociado. ¿Qué tipo de solución especial es?
D. Imagine que usted ha resuelto el PPL de la figura 1, diseñado para determinar las cantidades
óptimas de los productos 1, 2 a fabricar y vender por la empresa E s.a, siendo xi la cantidad a
fabricar y vender de producto i. En el proceso de solución obtuvo la Tabla Óptima que se adjunta.
Figura 1 Modelo de Programación Lineal (MPL)
max Z = 80X1 + 100X2 (80 es el beneficio por unidad de X1 y 100 es el beneficio por unidad de X2)
sa: X1 + X2 <= 4 (kilos de Recurso1/mes)
b
X1
X2
h1
h2
e3
5X1+ 3X2 <= 15 (kilos de Recurso2/mes)
z
400
20
0
100 0
0
X2 >= 2 (unidades requeridas/mes)
e3 2
1
0
1
0
1
X1 >= 0
h2 3
2
0
-3
1
0
x2 4
1
1
1
0
0
Ahora se le ha encargado un informe con objeto de determinar cuál debe ser la táctica a seguir ante
cada una de las siguientes situaciones, justificando claramente.
D.1 Se sabe que la demanda del producto 2 en el mercado es inestable, ¿A partir de qué pedido de
dicho producto el esquema de producción actual deja de ser óptimo?
D.2 ¿Nos ofrecen $105 por una unidad del recurso 1 ¿Será conveniente vender?
D.3 ¿Será conveniente incorporar un nuevo producto y venderlo a un precio 100 veces mayor que la
cantidad de recurso 1 requerida para su elaboración?
D.4 Por un descuido los coeficientes técnicos asociados al recurso 2 se intercambiaron. En cuánto se
ve afectado el beneficio si se corrige el error.
D.5 Sugiera a la empresa E s.a una estrategia para aumentar los dividendos o bien, anúnciele una
posible situación de riesgo para alcanzar las utilidades actuales.