tema 6 - IES La Nía

MATEMÁTICAS I
RECTAS
TEMA 6: LA RECTA EN EL PLANO
1. ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta está formada por infinitos puntos del plano. Hallar una ecuación de una recta es encontrar
una condición que cumplan todos esos puntos y sólo ellos. La ecuación de una recta debe servir para
decirnos qué puntos del plano están o no están en dicha recta.
Una recta va a quedar determinada por dos puntos, o bien, por un punto y una dirección, dada por un
→
→
vector V . Todos los vectores proporcionales a V tendrán la misma dirección, y llamaremos a
cualquiera de ellos vector director de la recta.
→
Sea P( x0 , y 0 ) un punto conocido de la recta, sea V = (v1 , v 2 ) un vector director y X ( x, y ) un punto
→
cualquiera: ¿qué condición debe cumplir X para estar en la recta que definen P y V ?
En la figura se observa que para que X esté en la recta r los
→
→
→
r
vectores V y PX deben ser proporcionales: PX = λV .
→
→
→
Como, además OX = OP + PX , se cumplirá que:
→
→
→
OX = OP + λ V , llamada ecuación vectorial de la recta.
Como conocemos las coordenadas: ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) + λ (v1 , v 2 )
Si desarrollamos esta expresión e igualamos componentes:
 x = x0 + λv1
, que son las ecuaciones paramétricas de la recta.

 y = y 0 + λv 2
Despejando el parámetro λ de cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando las expresiones:
x − x0
λ=
x − x0 y − y 0
v1
=
→
, esta expresión es la ecuación continua de la recta.
y − y0
v1
v2
λ=
v2
Si en la ecuación continua operamos y ordenamos los términos:
v2 x − v 2 x0 = v1 y − v1 y 0 → v2 x − v1 y − v 2 x0 + v1 y 0 = 0 , si llamamos A al coeficiente de x, B al
coeficiente de y, y C al término independiente se obtiene una ecuación lineal con dos incógnitas de la
forma: Ax + By + C = 0
Esta expresión se conoce como ecuación general, implícita o cartesiana de la recta.
Despejando “y” en la ecuación anterior: y = −
A
C
x − , que se puede escribir en la forma y = mx + n
B
B
y es la ecuación explícita de la recta.
1/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
Ejercicios:
r
1º) Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por P(1,-2) y tiene la dirección del vector V (4,5)
2º) Ecuaciones de la recta que pasa por P(2, −3) y Q(5,l). Di si los siguientes puntos están en esa recta:
A(0,l), B(−l, −7), C(−4, − 11), D(3,7)
3º) Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(3,-4) y que tiene por vector director
r
V (−1,3)
4º) Dada la recta (x,y)=(-1,5)+λ(2,-3), averigua si los siguientes puntos pertenecen a ella (5,-4),
(3,-10), (7,14), (-1/3, 4)
x = 2 + 3t 
x −1 y + 2
5º) Da dos puntos, un vector director y dibuja cada una de las rectas: a)
=
 b)
y = 3 − 2t 
2
−3
c) y−3 = 0
d) 4x−3y + 1 = 0
e) y = 4x−3
f) (x,y) = (0,l) + t(−3,2).
2. PENDIENTE DE UNA RECTA. ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
En la ecuación explícita de la recta hemos obtenido y = mx + n , con m = −
v
v
A
=− 2 = 2 .
B
− v1 v1
Al coeficiente de x en la ecuación explícita, m, se le llama pendiente de la recta, y, acabamos de ver
v
que coincide con 2 . Cuando x=0 se obtiene el punto (0,n) que es el punto de la recta perteneciente al
v1
eje de ordenadas, de ahí que n reciba el nombre de ordenada en el origen.
Recuerda que la pendiente de una recta es el aumento o disminución de “y” por cada unidad de
aumento de “x”.
Observando la figura:
tgα =
(m ⋅ a + n) − n ma
=
=m
a
a
Luego la pendiente de la recta coincide con la
tangente del ángulo que ésta forma con la dirección
positiva del eje OX.
Luego:
Si m>0 → tgα>0 → 0<α<90º → La recta es creciente
Si m<0 → tgα<0 → 90º<α<180º → La recta es decreciente
Si m=0 →tgα=0 → La recta es horizontal (constante)
Si tomamos la ecuación continua de la recta:
x − x0 y − y 0
v
v
=
→ y − y 0 = 2 ( x − x 0 ) , como m = 2
v1
v2
v1
v1
y − y 0 = m( x − x0 ) que se llama ecuación punto-pendiente de la recta (ya que utiliza un punto
P ( x0 , y 0 ) y la pendiente m de la recta).
2/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
Ejercicios:
6º) Escribe, en forma explícita, la ecuación de la recta que corta al eje de ordenadas en y=3 y cuya
pendiente es 7.
7º) Ecuación de la recta que pasa por (−1,2) y tiene pendiente −1/2
8º) Pendiente de las siguientes rectas: a) 4x + 3y = l
b) y = 2x + l
c) x = 2y−3
d) y + 3 = 0
e) x −l = 0
f) y−x−l = 0
g) pasa por (2,1) y (−3,5)
9º) Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que unen los pares de puntos:
a) (−8, −4), (5,9) [45°]
b) (10, −3), (14, −7) [135°]
c) (−11,4), (−11,10) [90°]
10º) Ecuación de la recta que pasa por el punto A(−2 , l/3) y tiene la misma pendiente que la recta que
pasa por P(2,l) y Q(3,4)
11º) Halla el valor de "k" de modo que:
a) 3kx + 5y + k = 2 pase por (−1,4) b) 4x−ky = 7 tenga pendiente 3
c) kx−y = 3k−6, tenga abscisa en el origen 5
12º) Calcula el área limitada por 3x + 2y = 6, el eje de abscisas, el de ordenadas y la ordenada
correspondiente a x = 4.
3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS. PARALELISMO
Dos rectas, r y s, son paralelas si sus pendientes, mr y ms, son iguales o si los vectores que determinan
r
r
su dirección, Vr y Ws , son proporcionales. Se escribirá r║s:
→
r
r║s ↔ mr = ms ↔ Vr = k ⋅ Ws
Por ejemplo, las rectas r : 6 x − 2 y + 7 = y s : ( x, y ) = (0,4) + λ (1,3) son paralelas, puesto que:
mr = −
v
A 6
3
= = 3 y ms = 2 = = 3
B 2
v1 1
Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes:
Secantes
Un punto en común
Paralelas
Ningún
común
punto
Coincidentes
en Todos los
comunes
puntos
Para ver cuál es la posición relativa de dos rectas, basta con resolver el sistema formado por las dos
ecuaciones de dichas rectas.
•
SCD: una solución → rectas secantes (el punto de corte es la solución del sistema)
•
SCI: infinitas soluciones → rectas coincidentes
•
SI: ningún punto en común → rectas paralelas
3/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
Ejercicios:
13º) Comprueba si las rectas r : y = −2 x + 3 y s : ( x, y ) = (2,0) + k (−2,4) son paralelas
14º) Estudia la posición relativa de las rectas r y s de ecuaciones:
a)
− x + y = −1 

2 x + 3 y + 3 = 0
b)
x + 2 y = 2 

2 x + 4 y + 1 = 0
c)
− x + y = 1 

2 x − 2 y = −2
Si nos fijamos en los coeficientes de las ecuaciones anteriores, observaremos que no es necesario
resolver el sistema para determinar la posición relativa. Podemos saber la posición relativa de dos
rectas de forma inmediata comparando los coeficientes de la ecuación general, y también analizando
los vectores directores y las pendientes:
r
r : Ax + By + C = 0, v = (v1 , v 2 )
,
pendiente m
r
s : A' x + B ' y + C ' = 0, u = (u1 , u 2 ) ,
pendiente m’
POSICIONES
ECUACIÓN
GENERAL
Paralelas
A B C
=
≠
A' B ' C '
Coincidentes
A B C
=
=
A' B ' C '
Secantes
A B
≠
A' B '
VECTORES
DIRECTORES
Proporcionales
v2 u 2
=
v1 u1
Proporcionales
v2 u 2
=
v1 u1
No proporcionales
v2 u 2
≠
v1 u1
PENDIENTES
Iguales
m=m’
Iguales
m=m’
Distintas
m ≠ m’
*Observad que con la ecuación general se puede determinar exactamente la posición mientras que con
los vectores directores o con la pendiente, en el caso de ser paralelas o coincidentes, necesitaríamos
utilizar otro dato más para determinarlo (normalmente se utiliza un punto de una recta y se comprueba
si pertenece a las dos –coincidentes- o sólo a una –paralelas-)
Ejercicios
15º) Posición relativa de los siguientes pares de rectas:
2x − y + 6 = 0 
5x − 2 y + 7 = 0 
a)
b)


3 x + 5 y − 1 = 0
− 10 x + 4 y + 3 = 0
c)
5x − 2 y + 7 = 0 

− 10 x + 4 y − 14 = 0
 x = 1 + 3λ
16º) Halla la ecuación general de una recta paralela a r : 
y que pasa por A(4,3)
 y = −3 − 5λ
17º) Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2,3) y es:
a. Paralela a la recta
x −1 y + 2
=
3
1
b. Paralela a 5x+2y=0
c. Paralela al eje X
d. Paralela al eje Y
e. Paralela a la bisectriz del primer cuadrante
f. Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante
18º) Halla la ecuación de la recta paralela a 3x+6y+5=0 que tenga ordenada en el origen -2.
4/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
19º) Halla la ecuación de la recta que pasa por (-2,3) y es paralela al eje de ordenadas.
20º) La recta que pasa por M(2,3) y es paralela a y=3x+1 determina con los ejes coordenados un
triángulo. Calcula su área.
21º) Determina k para que las rectas x−y+1=0, x−2y+3=0, 3x+y−k=0 se corten en un mismo punto.
[k=5, P(1,2)]
22º) La recta r:2x−y−2=0 corta al eje de ordenadas en el punto A y la recta s:2x−3y+6=0 corta al de
abscisas en el punto B. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r y s, y es
paralela a la que pasa por A y B. [2x+3y−18=0]
4. PERPENDICULARIDAD
r
r
Dos rectas, r y s, son perpendiculares si sus vectores directores, Vr y Ws , son ortogonales, es decir, si
r r
Vr ⋅ W s = 0 .
Vamos a buscar una relación entre las pendientes de r y s:
r
r r
r
Vr = (v1 , v 2 ) , Ws = ( w1 , w2 ) ; si Vr ⋅ Ws = 0 → v1 ⋅ w1 + v 2 ⋅ w2 = 0 → v 2 ⋅ w2 = −v1 ⋅ w1 → (:w2.v1)
v2
w
= − 1 , el primer miembro es la pendiente de r y el segundo es el nº inverso y opuesto de la
v1
w2
1
“Las pendientes de dos rectas perpendiculares son inversas y opuestas”.
pendiente de s → mr = −
ms
→
Ejercicios:
23º) ¿Son las rectas r:x+4y+7=0 y s : ( x, y ) = (−2,4) + λ (2,5) perpendiculares?
24º) Halla unas ecuaciones paramétricas de la perpendicular trazada desde el punto A(-2,5) a la recta
(x,y)=(8,-3)+k(5,1).
1
11

25º) Ecuación de la recta perpendicular a y = −3x+5 que pase por A(-2,3)  y = x + 
3
3

26º) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de 3x-5y+9=0, 4x+7y-29=0, y
cumple:
a) Pasa por A(-3,-5) [8x-5y-1=0]
b) Pasa por B(4,2)
[x+2y-8=0]
c) Es paralela a 2x+3y-5=0 [2x+3y-13=0]
d) Es perpendicular a 4x+5y-20=0 [5x-4y+2=0]
27º) Halla la perpendicular trazada por el punto (−1,4) a la recta que pasa por A(2,3) y B(5,0).
[x−y+5=0]
28º) Dos rectas perpendiculares se cortan en el punto Q(2,−3). Si un vector director de una de ellas es
r
Vr =(1,5), halla la ecuación continua de una y la explícita de la otra.
29º) Dadas las rectas 2x+y−1=0, x−2ay+4=0, halla el valor de “a” para que: 1º) sean paralelas, 2º)
sean perpendiculares. [a=-1/4, a=1]
5/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
5. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
r
180º-α
α
α
180º-α
s
El ángulo que determinan dos rectas secantes es el
menor de los dos ángulos que determinan. Para hallarlo,
se calcula el ángulo que forman sus vectores directores,
tomando el valor absoluto (para que el coseno sea
r
r
positivo y, por tanto, el ángulo sea agudo). Si Vr y Ws
r r
V ⋅W
son los vectores directores de r y s: cos α = r r
V ⋅W
Ejercicios:
 x = −1 − λ
x+2
30º) Halla el ángulo determinado por las rectas r : 
y s:
= y [30,96º]
−1
 y = 3 + 4λ
31º) Calcula el ángulo formado por r y s:
 x = 5 + 7t
a )r ≡ ( x, y ) = (3,5) + α (2,−6)
s≡
 y = -1 + 3t
x +1 y − 3
x−4 y+5
b) r :
s:
=
=
c) r : y = 4 x − 12
s : 5x + 3 y − 2 = 0
2
4
5
−1
32º) Las rectas 3x+2y=1, x+ky=2 forman un ángulo de π/3 rad. Calcula el valor de k.
6. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia entre un punto y una recta es la mínima de las distancias entre
P y un punto cualquiera de la recta r, y se alcanza al trazar la perpendicular
a r que pasa por P.
En esta figura puedes ver cómo el segmento PP0 es el más corto de todos los
segmentos que unen P con r: d ( P, r ) = d ( P, P0 ) . Dicho punto P0 recibe el
nombre de proyección ortogonal de P sobre r.
Para calcular esa distancia hay dos procedimientos:
→
1) Obtener las coordenadas del punto P0: d ( P, r ) = PP0
2) Utilizar la fórmula d ( P, r ) =
6/9
Ax p + By p + C
A2 + B 2
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
1) Para calcular la distancia de P a r utilizando su proyección
ortogonal P0:
a) Calcular la recta s perpendicular a r que pasa por P.
b) Calcular el punto de corte de las rectas r y s (P0).
→
c) d ( P, r ) = d ( P, P0 ) = P0 P
2) Justificación de la fórmula d ( P, r ) =
Ax p + By p + C
A2 + B 2
, siendo P(xp,yp) y r : Ax + By + C = 0
Escribimos las componentes de todos los vectores que intervienen:
→

Vr = (− B, A)
r
r 
U = ( A, B)por ser ortogonal a Vr 
→

EP = ( x p − a, y p − b)

r → 
U ⋅ EP 
sen α = cos(90º −α ) = r →

r →
U ⋅ EP 
d
U ⋅ EP
→ → = r →
d

EP U ⋅ EP
sen α = →

EP


r →
U ⋅ EP A( x p − a ) + B( y p − b) Ax p − Aa + By p − Bb
Luego: d =
=
,
r =
U
A2 + B 2
A2 + B 2
como
E(a,b)∈
r
,
sus
coordenadas deben cumplir la ecuación de r : Aa + Bb + C = 0 → C = − Aa − Bb , sustituyendo en la
Ax p + By p + C
fórmula anterior: d ( P, r ) =
A2 + B 2
Considerando que la distancia nunca debe ser negativa: d ( P, r ) =
Ax p + By p + C
A2 + B 2
Ejercicios:
33º) Calcula la distancia de P(1,2) a r : 3x + y − 15 = 0 . [ 10 ]
 x = 3 − 2λ
r :
 y = −λ
rectas s : 2 x + 3 y − 1 = 0 y t : x + y + 2 = 0 . [ 4 5 ]
34º) Calcula la distancia de la recta
al punto de intersección de las
35º) Calcula la longitud de la altura correspondiente al vértice A en el triángulo de vértices A(1,4),
B(7,5) y C(-1,-3). [ 5 2 2 ]
7/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
7. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
Para calcular la distancia entre dos rectas sólo consideraremos
el caso de rectas paralelas, ya que en caso contrario se cortan y
su distancia sería cero. La distancia entre las dos rectas es la
longitud del segmento perpendicular a ambas.
El cálculo de la distancia entre las dos rectas se reduce al
cálculo de la distancia entre un punto cualquiera de una de ellas
a la otra recta:
d (r , s ) = d ( Pr , s )
Ejercicios:
36º) Distancia entre las rectas x+y−4=0, x+y+3=0 .[4,9]
37º) Halla el valor de k en cada caso de forma que:
a) (2+k)x−(3−k)y+4k+14=0 pase por (2,3) [k=−1]
b) kx+(3−k)y+7=0 su pendiente sea 7 [k=7/2]
c) 5x−12y+3+k=0, la distancia al punto (−3,2) sea 4 [−16 y 88]
38º) Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasando por el punto P(0,2) tiene
pendiente −1. [ 2 ]
39º) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A(-1,2), B(3,-1) y C(1,5). [9]
8. MEDIATRIZ. MEDIANA. ALTURA
A) Mediatriz de un segmento AB: Recta perpendicular al segmento AB
por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan
de los extremos.
Circuncentro: Las tres mediatrices de los lados de un triángulo
coinciden en un punto llamado circuncentro. Puesto que equidista de los
tres vértices, dicho punto es el centro de la circunferencia que pasa por
los tres vértices (circunferencia circunscrita al triángulo).
B) Mediana de un triángulo: es la recta que une cada
vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro: Las tres medianas de un triángulo concurren
en un punto llamado baricentro. Es el centro geométrico
del triángulo y sus coordenadas se pueden obtener
sumando las coordenadas de los tres vértices y dividiendo entre tres.
8/9
IBR-IES LA NÍA
MATEMÁTICAS I
RECTAS
C) Altura de un triángulo: Es la recta
perpendicular a un lado que pasa por el vértice
opuesto (en muchas ocasiones hay que
prolongar el lado para apreciar la
perpendicularidad)
Ortocentro: Las tres alturas de los lados de un
triángulo coinciden en un punto llamado
ortocentro.
Ejercicios:
40º) Dado el triángulo de vértices A(2,3), B(0,−1) y C(4,−5), calcula:
a) Mediana que pasa por B
b) Altura que pasa por B
c) Mediatriz del lado AC y área del triángulo. [y=1/4x-7/4; 12u2]
41º) La recta 2x+3y-6=0 determina con los ejes coordenados un segmento AB. Halla la ecuación de la
mediatriz de AB. [6x-4y-5=0]
42º) La recta x+2y=9 es mediatriz de un segmento AB, cuyo extremo A es (2,1). Halla las
coordenadas de B. [B(4,5)]
43º) Calcula el circuncentro, baricentro y el ortocentro del triángulo de vértices A(2,0), B(0,1),
C(−3,−2). [Or(-2/3,8/3), Cir(-1/6,-11/6), Bar(-1/3,-1/3)]
44º) Calcula el área del círculo circunscrito al triángulo del ejercicio anterior. [25,3 u2]
45º) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(l,2) y por el simétrico de B(−l,3) respecto al
origen de coordenadas. [x=l]
46º) Calcula m y n para que las rectas de ecuaciones 3x-my=2, nx+4y=5 sean paralelas y la primera
pase por (2,2). [m=2;n=-6]
47º) Halla el valor de k para que la recta 3x+ky+2=0 forme un ángulo de 60º con el sentido negativo
del eje de abscisas. [k= 3 ]
48º) Halla el punto simétrico A' de A(3,2) respecto a la recta 2x+y-12=0. [A’(31/5,18/5)]
49º) El paralelogramo ABCD tiene los vértices A(-1,1), B(0,-1), C(3,2). Halla las coordenadas de D y
su área. [D(2,4), 9]
50º) Las rectas de ecuaciones 3x+4y-12=0, x+y−6=0 determinan con los ejes coordenados un
cuadrilátero. Calcula su perímetro y su área. [ 10 + 6 2 u ; 6 + 5 2 u 2 ]
51º) El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos A(−1,.−1) y B(4,0). El vértice C
pertenece a la recta x−2y+8=0. Determina C, la longitud de la altura hc y el área del triángulo.
52º) Calcula el valor de k para que las rectas kx+(2k-1)y+3=0, (4k-7)x-(k+2)y=8:
1
63
a) Sean paralelas y calcula la distancia entre ellas.[1 y 7/9;
y
]
3 2
5 74
b) Sean perpendiculares.
53º) Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r: y=5x+2, s: x+3y+7=0, y el vértice
exterior a ellas es P(4,6):
a) Ecuaciones de las rectas que contienen a los lados [y=5x-14, x+3y-22=0]
b) Coordenadas de los vértices [(1,7), (-13/16,-33/16), (35/16,-49/16)]
c) Área del paralelogramo [29 u2]
54º) Ecuaciones de las rectas paralelas a 8x−15y+34=0 que distan 3u del punto A(−2,3)
55º) Calcula el baricentro, el ortocentro y el circuncentro del triángulo A(-5,6), B(-1,-4), C(3,2). [Bar(1,4/3), Or(7/4,3/2), Cir(-19/8,5/4)]
9/9
IBR-IES LA NÍA