Cap II MFA (Seccion 2_3 2_4)x

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
2.3 Teoría de la Columna Rígida
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Deducción de la Ecuación de la Cantidad de Movimiento
Esta teoría asume que el fluido es incompresible y que los cambios que se producen en
la cañería son lentos, es decir las variaciones en la densidad del fluido se pueden despreciar.
Expresa que la variación sustancial en el tiempo de la cantidad de
movimiento es igual a la resultante de las fuerzas exteriores al volumen
de control:
(
∂ m ⋅V
También, si el flujo cambia lentamente, los efectos de la variación de la densidad se
hacen insignificantes y bajo estas condiciones el flujo puede ser tratado como incompresible.
∂t
Tres tipos de problema se pueden abordar con esta teoría:
luego, se cumple que:
)=
∑F
(
d m ⋅V
dt
Vaciamiento de estanques (inercia despreciable)
Establecimiento de flujo (se considera sólo inercia)
Movimiento Oscilatorio (se considera sólo inercia)
)= ∂
dt
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Ecuaciones para la Teoría de la Columna Rígida
La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento L2 para una
tubería de diámetro D se expresa como:




con
H = z+
P
γ
Si la tubería contiene una columna rígida, es decir, la velocidades
constante en cada instante a lo largo de toda la tubería, entonces: ∂V = 0
∂H ∂z
1 ∂P
=
+
⋅
Además se puede expresar:
∂x ∂x ρ ⋅ g ∂x
 ∂z
f ⋅V ⋅ V
∂V
∂
1
P
= −g ⋅ +
⋅
+
Obteniéndose:
 ∂x ρ ⋅ g ∂x D ⋅ 2 ⋅ g
∂t

∂V
∂z 1 ∂P f ⋅ V 2
= −g ⋅ − ⋅
−
∂t
∂x ρ ∂x D ⋅ 2
José F. Muñoz Pardo
SC
Aplicando esta ecuación al volumen de control:
(
 ∂H f ⋅ V ⋅ V
∂V ∂V
+V ⋅
= −g ⋅
−
 ∂x
∂t
∂x
D⋅2⋅ g

∫ ρ ⋅V ⋅ dVC + ∫ V ⋅ ρ ⋅V ⋅ d A
∂t VC
d m ⋅V
José F. Muñoz Pardo
η =V
N = m ⋅V
∂x




ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
)
Se obtiene:
2
∂
∂
=
ρ ⋅ A ⋅ V ⋅ ∆x +
ρ ⋅ A ⋅ V ∆x
∂t
∂x
(
)
(
)
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Integrando entre dos puntos de la tubería, separados una longitud L y cotas z2 y z1, se
obtiene:
2
∂V
1
f ⋅V
L⋅
= − g ⋅ ( z2 − z1 ) − ⋅ ( P2 − P1 ) −
∂t
ρ
D⋅2
2
−
P
P
(
) f ⋅ L ⋅ V + L ⋅ ∂V = 0
( z2 − z1 ) + 2 1 +
γ
D 2 ⋅ g g ∂t
Que corresponde a una ecuación de cantidad de movimiento aplicada a un volumen de control de
una tubería de largo L, diámetro D, con un fluido incompresible, en una tubería rígida sin
pérdidas singulares.
L ∂V
El término ⋅
corresponde a las pérdidas instantáneas que se producen a lo largo de toda la
g ∂t
cañería entre 1 y 2, debido a la aceleración del flujo. También se conoce como la inercia del
flujo. También se puede analizar el problema como si fuera una ecuación de energía entre 1 y 2:
2
2
2
V1
P2 V2
f ⋅L V
L ∂V
z1 + +
= z2 + +
+
⋅
+ ⋅
γ 2⋅ g
γ 2⋅ g
D 2 ⋅ g g ∂t
P1
José F. Muñoz Pardo
con V1 = V2
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
2
2
2
V1
P2 V2
f ⋅L V
L ∂V
z1 + +
= z2 + +
+
⋅
+ ⋅
γ 2⋅ g
γ 2⋅ g
D 2 ⋅ g g ∂t
2
P2 − P1
f ⋅L V
L ∂V
+ ( z2 − z1 ) +
⋅
+ ⋅
=0
D 2 ⋅ g g ∂t
γ
P1
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
2.4 Establecimiento de Flujo en una cañería
con V1 = V2
Aplicaciones de la ecuación de la columna rígida:
1. Problema pseudo permanente: Efecto de inercia es despreciable cuando el flujo
cambia lentamente como el caso del vaciamiento de estanques. En cada instante de
tiempo las condiciones de escurrimiento son tratadas como si fuera un escurrimiento
impermanente.
Suponga que se tiene un estanque conectado a una cañería horizontal de
largo L, tal como se muestra en la figura. Esta cañería posee una válvula que
impide el vaciamiento del estanque. Debido a los efectos de la inercia del
fluido, si se abre la válvula, la velocidad no se establecerá en forma
instantánea, entonces, lo que se quiere es determinar cómo varía la velocidad
en el tiempo, desde el instante en que la válvula se abre.
H0
2. Establecimiento de flujo. Cierre o abertura brusco de una válvula. Efecto de inercia es
importante ya que la velocidad varía de un instante a otro en forma importante. Esta
teoría considera que toda la columna se mueve a la misma velocidad.
(1)
V
( 2)
L
3. Movimiento oscilatorio. Cierre o abertura rápida de una válvula en una cañería con
chimenea de equilibrio. La variación de la velocidad de un instante a otro es
amortiguada por la chimenea de equilibrio.
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
2.4 Establecimiento de Flujo en una cañería
t=0
H0
(1)
V
( 2)
H = H0
2
f ⋅V
∂V
dz
1 dP
∫L ∂t ⋅ dx = ∫L − ρ ⋅ dx ⋅ dx − ∫L g ⋅ dx ⋅ dx − ∫L D ⋅ 2 ⋅ dx
Válvula se abre para t=0
−
L
Cuando los efectos de inercia son importantes: Cómo es V = V (t ) = ?
La ecuación de cantidad de movimiento L2 es:  ∂H f ⋅ V ⋅ V
∂V ∂V
+V ⋅
= −g ⋅
−
 ∂x
∂t
∂x
D⋅2⋅ g

∂V
1 dP
dz f ⋅ V
=− ⋅
−g⋅ −
∂t
ρ dx
dx
D⋅2
José F. Muñoz Pardo
Integrando la ecuación de la cantidad de movimiento
entre (1) y (2):




1
V2
dv
⋅ L − g ⋅ ( z2 − z1 ) = L
dt
2⋅ D
ρ
Considerando las condiciones de borde:
P2 = 0
P1 = ρ ⋅ g ⋅ H 0
z 2 = z1
(Se desprecia la altura de velocidad frente a H0)
( f y V independientes
2 de x) V
dV
⋅L = L
2⋅ D
dt
V2
L dV
⇒ H0 − f ⋅
⋅L =
2⋅ D⋅ g
g dt
⇒ g ⋅ H0 − f ⋅
2
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⋅ ( P2 − P1 ) − f ⋅
José F. Muñoz Pardo
Ecuación General
Flujo Impermanente
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
64 64 ⋅ V
=
Re v ⋅ D
2
64 ⋅ν V
L dV
32 ⋅V ⋅ v ⋅ L
⋅
⋅L =
= g ⋅ H0 −
Reemplazando: g ⋅ H 0 −
V ⋅ D 2⋅ D
g dt
D2
a) Con factor de fricción en régimen laminar:
V
∫
Integrando:
0
f =
t
dV
= dt
g ⋅ H 0 32 ⋅ν ⋅ V ∫0
−
L
D2
g ⋅ H 0 32 ⋅ν ⋅ V
32 ⋅ν
x
=
−
⇒ dx = − 2 ⋅ dV
Con el cambio de variable:
L
D2
D
t=
g ⋅ H 0 32⋅ν ⋅V
−
L
D2
∫
g ⋅H 0
L
 g ⋅ H 0 32 ⋅ν ⋅ V
−


D2 
D2
D2
ln  L
−
 dx = −
g ⋅ H0
32 ⋅ν 
 32 ⋅ν ⋅ x 

L
Despejando V:
V=
En el gráfico se observa el tipo de curva que se obtiene, donde el valor de la
velocidad V para t = ∞.
Vt∞ =
D2 ⋅ g ⋅ H0
32 ⋅ν ⋅ L
t
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
f = cte.
b) Con factor de fricción en régimen turbulento:
2
f ⋅L V
L dV
⋅
=
D
2 ⋅ g g dt
dV
2
g ⋅ H 0 f ⋅V
−
L
2⋅ D
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Despejando V:
H0 −
Integrando:
t
V
0
0
∫ dt = ∫
Con el cambio de variable:
V
t=
f
2⋅ D
∫
0
t=
José F. Muñoz Pardo
x=
 32⋅ν ⋅t 
− 2  
D2 ⋅ g ⋅ H 0 
 1 − e D  


32 ⋅ν ⋅ L 






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José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
2
f ⋅V
f
⇒ dx =
⋅ dV
2⋅ D
2⋅ D

2⋅ D f 
dx

2 

 g ⋅ H0 L − x 
 
 − 1
 
 
 + 1
 
En el gráfico se observa el tipo de curva que se obtiene, donde el valor de la
velocidad para t = ∞.
2 ⋅ g ⋅ H0 ⋅ D
V∞ =
f ⋅L
 2 ⋅ g ⋅ H0 ⋅ D f ⋅ L + V 
D⋅L

⋅ ln 
2 ⋅ f ⋅ g ⋅ H0
 2 ⋅ g ⋅ H 0 ⋅ D f ⋅ L − V 
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
 2 f ⋅ g ⋅ H0
 exp 
D⋅L
2 ⋅ g ⋅ H0 ⋅ D 

V=
⋅
f ⋅L

 exp  2 f ⋅ g ⋅ H 0
D⋅L


t
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Una forma alternativa de resolver el establecimiento de flujo, es aplicar la
Ec de C.M. como una Ec. de Energía lo que permite considerar las pérdidas
de carga singulares:
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Como V 1 = V
Pero
(3)
P3 = P2 y
H0
(1)
V
2
2
L V
V
L dV
z3 + = z2 + + f ⋅
+K
+ ⋅
γ
γ
D 2g
2 g g dt
P3
P2
z3 − z 2 = H
2
L V
L dV

H = 1 + K + f 
+ ⋅
D  2 g g dt

( 2)
L
Ecuación general entre (1) y (2)
Ecuación general entre (3) y (1)
2
L dV
P1
P2 f ⋅ L V
z1 + = z2 + +
⋅
+ ⋅
γ
γ
D 2 g g dt
2
2
P3
P1 V 1
V1
z3 + = z1 + +
+K
γ
γ 2g
2g
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José F. Muñoz Pardo
Velocidad final para
dV
=0
dt
VF =
2g ⋅ H
1+ K + f
L
D
Ecuación general para flujo impermanente se escribe como:
g⋅H
dV
2 ⋅ dt = 2 2
L ⋅V F
V F −V
José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
SOCIEDAD CHILENA DE INGENIERIA HIDRAULICA
XIV CONGRESO CHILENO DE HIDRAULICA
COMPORTAMIENTO HIDRAULICO IMPERMANENTE DE UN EMISARIO SUBMARINO
Integrando
Como V =0
y t = 0 ⇒ cte = 0
V
g ⋅ H ⋅t
= tanh
2
VF
L ⋅V F
V
= 0.96
0.96
VF
V
1
VF
0.5
0
José F. Muñoz Pardo
MUÑOZ PARDO, JOSE FRANCISCO[1]REYES SALAZAR, JORGE[2]VARAS CASTELLON, EDUARDO[3]
 V 
g ⋅ H ⋅t
1
−1
tanh   + cte
2 =
f
L ⋅V F
V F 
1
g ⋅ H ⋅t
2
2 L ⋅ VF
para
g ⋅ H ⋅t
=2
L ⋅VF2
Para que la hipótesis de fluido
incompresible sea válida, la duración del
establecimiento de flujo debe ser mayor
que el tiempo tomado por la onda de
presión en atravesar la cañería.
ICH-2102 Mecánica de Fluidos Aplicada
Se presenta un modelo numérico para estudiar el comportamiento del nivel del agua en la cámara de carga de un
emisario submarino frente a diversos escenarios de detención y arranque. El sistema está compuesto por tres tramos, el
primero con escurrimiento en superficie libre formado por una tubería de 231 m de largo y 1,125 m de diámetro, con
pendiente promedio de 0,6 o/o. El segundo, también con escurrimiento libre, formado por una tubería de 15,74 m de
longitud y 1,125 m de diámetro, con pendiente promedio de 10,8%, el cual descarga a la cámara de carga. El tercer tramo,
denominado emisario, se inicia en la cámara de carga y está constituido por tubería de 513 m de longitud y diámetro de
1,125 m, que descarga al mar; la cámara de carga tiene una geometría variable con la profundidad.
La variación del caudal en el tiempo a la salida del tramo con superficie libre se obtiene al resolver las
ecuaciones de Saint Venant considerando un canal prismático, sin ingresos ni salidas laterales. El comportamiento del nivel
de la cámara de carga se obtiene resolviendo simultáneamente las ecuaciones del momentum para el emisario y de
continuidad para la cámara.
El modelo desarrollado para determinar la fluctuación del nivel en la cámara considera el ingreso del
hidrograma proveniente del tramo con superficie libre y el área variable de la cámara con la profundidad incorporando el
área que aporta el tramo de la tubería cercana a la cámara. El modelo permite simular el comportamiento del nivel de la
cámara para distintos escenarios de detención y puesta en marcha, así como también distintas dimensiones y posiciones de
la cámara.
Se presenta en este artículo los resultados obtenidos con el diseño final de la cámara para diversos caudales de
funcionamiento y dos alturas del nivel del mar. Con el modelo se definen también los programas de partida y la operación
del sistema.
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
La ecuaciones que representan el movimiento del agua en un escurrimiento
unidimensional con superficie libre en régimen impermanente, conocidas como las
ecuaciones de Saint Venant, se pueden escribir para un canal prismático, sin aportes y
sin salidas laterales como sigue:
Figura Nº1. Sistema hidráulico original
Area 13,75 m2
88,84
87,14
-
Ecuación de continuidad:
-
Ecuación de la cantidad de movimiento:
Nivel del mar
L = 231 m
i = 0,006
L = 15,74 m
i = 0,108
Tramo Nº1
Tramo Nº2
∂y
∂V
∂y
+ Dh
+V
=0
∂t
∂x
∂x
(1)
∂V
∂V
∂y
= g ( S0 − S f )
+V
+g
∂x
∂t
∂x
(2)
L = 513 m
Cámara de
carga original
Tramo Nº3
Emisario submarino
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José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
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José F. Muñoz Pardo
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Estas ecuaciones permiten calcular la velocidad media (V) y la altura de agua (y)
en función de la profundidad hidráulica (Dh = A/L), el ancho superficial (L), la
aceleración de la gravedad (g), la pendiente del fondo (So) y la pendiente de la línea de
energía (Sf).
Ecuaciones del tramo 3: Emisario
La solución de las ecuaciones de Saint Venant se obtiene mediante el método de
las diferencias finitas (1993), los que se pueden expresar en forma linealizada como:
El nivel del agua en la cámara de carga se puede relacionar con las
características del escurrimiento en el emisario mediante la ecuación de continuidad:
y ik +1 =
Vi k +1 =
1 k
1 ∆t * k
1 ∆t * k
y i −1 + y ik+1 −
Di Vi +1 − Vi −k 1 −
Vi y i +1 − y ik−1
2
2 ∆x
2 ∆x
(3)
(
)
(
)
(
dH
+ VAt
dt
(5)
)
Qt = Ac
1 k
1 ∆t
1 ∆t * k
Vi −1 + Vi +k 1 −
g y ik+1 − y ik−1 −
Vi Vi +1 − Vi −k 1 + g∆t S 0 − S *f
2
2 ∆x
2 ∆x
(4)
(
)
(
)
(
)
Este tramo se encuentra con escurrimiento a presión por lo cual se aplican las
ecuaciones que gobiernan este tipo de flujo.
(
)
Por su parte, el escurrimiento de un fluido incompresible, en el emisario se
puede representar mediante la ecuación del momentum para una tubería rígida de
longitud L, como:
L  V V L dV

+
H = H max + 1 + K + f 
D  2g
g dt

(6)
La solución numérica de las ecuaciones de Saint Venant se obtiene al utilizar las
ecuaciones (3) y (4) sujeta a las siguientes condiciones de borde:
y1 = 0
x=0
t ≥0
y n = y n +1
x=L
t ≥0
José F. Muñoz Pardo
Las hipótesis de cálculo para este tramo son:
escurrimiento torrencial y n < y c
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-
El comportamiento del flujo es una columna rígida
El fluido es incompresible
José F. Muñoz Pardo
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
La integración de las ecuaciones (5) y (6) se efectuó utilizando el método de Euler
mejorado, que se expresa como:
Ψ ( H , v ,t ) =
A
dH Qt
=
−V t
dt
Ac
Ac
(7)
Hidrogramas de Ingreso al Emisario
Caudales: 3,25 ; 3,00 ; 2,00 ; 1,50 m3/s
dV g 
L V 

= (H − H mar ) −  1 + k + f 

dt
L
D  2g 

2
(8)
3.5
Si se considera Hn y Vn en el tiempo tn conocidos , se puede calcular H
tiempo t n+1 calculando H n' +1 y Vn' +1 como:
n+1
yV
n+1
H n' +1 = H n + Φ n ∆t
(9)
Vn' +1 = Vn + Ψn ∆t
(10)
donde Φ n y Ψn son funciones evaluadas con Hn ,Vn y tn , Con H n' +1 , Vn' +1 y t
los términos Φ 'n +1 , Ψn' +1 para expresar finalmente:
1
H n +1 = H n + Φ n + Φ 'n +1 ∆t
2
(
Vn +1 = Vn +
Figura Nº 2. Hidrograma de salida del tramo N°2 frente a una detención total en su
alimentación, para caudales de funcionamiento de 3,25 m3/s.
2.0
1.5
1.0
se evalúan
0.0
0
(11)
1
Ψn + Ψn' +1 ∆t
2
(12)
)
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2.5
0.5
n+1
)
(
3.0
en el
Caudal ( m3/s )
φ ( H , v ,t ) =
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
50
100
150
200
Tiempo ( s )
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ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Figura Nº3. Fluctuación del nivel del agua en la cámara para una detención brusca de los
caudales 1,50; 2,00; 3,00 y 3,25 m3/s.
Figura Nº4. Diseño propuesto del sistema.
Q=3,00 m3/s
Q=3,25 m3/s
92
92
Oscilación del nivel
Nivel minimo ingreso
de aire a la camara
90
90
Nivel de Cámara
Nivel de Cámara
88
86
84
88
Area 30 m2
88,34
88,78
86
87,22
Nivel del mar
87,14
84
82
82
Tiempo (s)
80
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
80
0
600
100
Q=2,00 m3/s
200
300
400
500
600
L = 231 m
i = 0,006
Empalme
L = 513 m
Q=1,50 m3/s
92
92
Nivel minimo ingreso de
aire a la camara
Nivel del Mar (pleamar)
Nivel minimo ingreso
de aire a la camara
Nivel del Mar (pleamar)
90
Nivel de Cámara
90
Nivel de Cámara
89,90
Nivel minimo ingreso de
aire a la camara
Nivel del Mar (pleamar)
Nivel del Mar (pleamar)
88
86
84
Tramo Nº1 Tramo A
Original
88
José F. Muñoz Pardo
100
200
300
400
500
600
Emisario
submarino
Modificada su longitud, pero no cota.
Tiempo (s)
80
0
Cámara de
carga propuesta
84
Tiempo (s)
80
Tramo C
Tramo Nº2
Original
86
82
82
Tramo B
0
100
200
300
400
500
600
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José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE
Figura Nº5. Fluctuaciones del nivel de agua en el sistema propuesto.
Nivel de cámara (msnm)
Caudal 3,25 m3/s
96
94
Nivel minimo
ingreso de aire a la
cámara
Nivel del mar
92
90
88
86
84
82
80
0
200
400
600
Tiempo (s)
José F. Muñoz Pardo
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