Solución del Test

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
ANTENAS
27 de Enero de 2011
Duración: 60 minutos. Respuesta correcta: 1 punto, respuesta incorrecta: -1/3 puntos
CÓDIGO A
SOLUCIÓN: ACCDC CBABB BDBCC
~ =
~ = E0 e−jkr j2 r̂ + 1 θ̂ , H
1. El campo de una cierta antena es de la forma E
r
r
E0 −jkr
η e
1
r ϕ̂
. La polarización es
a) lineal
b) circular a derechas
c) circular a izquierdas
d) elı́ptica, ni lineal ni circular
2. Para un dipolo corto de longitud l, el campo en su dirección ortogonal depende de l, para I(0) fijo, como
√
a) 1l
b) l
c) l
d) l2
~ = M ẑ, los campos a grandes distancias cumplirán
3. Sea una distribución de corriente magnética de la forma M
~ = E ẑ
~ = H ẑ
~ = E ϕ̂
~ = E θ̂
a) E
b) H
c) E
d) E
4. Una bocina piramidal cuadrada se alimenta con una guı́a también cuadrada que propaga el modo T E10 . El máximo
error de fase en la apertura es de 45o . ¿Qué afirmación es incorrecta?
a) El ancho de haz en el plano E es menor que en el plano H
b) la relación NLPS es mayor en el plano H
c) El primer cero del plano E no está claramente definido
d) Los diagramas plano E y H son iguales por ser la bocina simétrica
5. Una bocina sectorial plano H tiene un error de fase máximo en la apertura de −120◦ . Si aumentamos ligeramente
la anchura de la boca de la bocina sin modificar la longitud ni la frecuencia,
a) el error de fase disminuye
b) la eficiencia de iluminación aumenta
c) la directividad aumenta
d) el NLPS aumenta
6. ¿Cuál de los siguientes monopolos se puede hacer resonante con ayuda de un condensador serie colocado a la
entrada?
a) λ/20
b) λ/8
c) 3λ/8
d) 5λ/8
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones para el dipolo doblado en λ/2 respecto al dipolo simple, es incorrecta?
a) La impedancia de entrada es cuatro veces mayor
b) La directividad es el doble
c) La longitud efectiva es el doble
d) El ancho de banda es mayor
8. Para una agrupación triangular de 5 elementos con espaciado d = λ/4, ¿Cuál de los siguientes desfases progresivos
produce menor ancho de haz?
a) α = 0
b) α = 45◦
c) α = 60◦
d) α = 90◦
CÓDIGO A
9. Si en una agrupación uniforme de 5 antenas con espaciado d = λ/4 el desfase progresivo pasa de ser nulo a ser de
−90◦ , la directividad
a) aumenta 6 dB
b) aumenta 3 dB
c) aumenta 1,5 dB
d) se mantiene constante
~ = 10 x̂ + j ẑ. ¿Cómo deberı́amos
10. El vector de radiación de una antena situada en el origen de coordenadas es N
orientar un dipolo situado en la dirección (θ = 90◦ , ϕ = 0◦ ) para conseguir captar la máxima cantidad posible de
señal de dicha antena?
a) según x̂
b) según ẑ
c) según
1
10 x̂
+ ẑ
d) según x̂ +
1
10 ẑ
11. Un reflector parabólico con f /D=0,25 tiene unas pérdidas de iluminación en el borde respecto del punto central,
debido a la diferencia de caminos, de
a) 3 dB
b) 6 dB
c) 9 dB
d) 12 dB
12. ¿Qué antena utilizarı́a para alimentar un cilindro parabólico?
a) Dipolo en el foco
b) Ranura en el foco
c) Apertura elemental en el foco
d) Array lineal en la lı́nea focal
13. A igualdad de área de las siguientes aperturas uniformes con polarización horizontal, ¿cuál de ellas tiene mayor
relación de lóbulo principal a secundario en el diagrama plano E?
a) Cuadrada
b) Romboidal (giro de 45◦ de la cuadrada)
c) Circular
d) Rectangular con relación ancho/alto 2:1
14. Si una apertura circular uniforme aumenta su área al doble, manteniendo la misma iluminación de campos, el
campo radiado en la dirección del máximo aumenta un factor
a) 1
b) 1,4
c) 2
d) 4
15. Si una apertura circular uniforme aumenta su radio un factor 2, manteniendo la misma potencia radiada total, el
campo en la dirección del máximo aumenta un factor
a) 1
b) 1,4
c) 2
d) 4
SOLUCIÓN
Cuestión 1 Los campos producidos por la antena nos dicen que son
1
j
r̂ + θ̂
2
r
r
~ = E0 e−jkr 1 ϕ̂
H
η
r
~ = E0 e−jkr
E
En estas expresiones hay términos que se atenúan con la distancia de la forma r12 . Estos términos son de campo
cercano, y no se consideran en la región de campos radiados de la antena, donde tan sólo quedarı́an los términos
que se atenúan según 1r . Por tanto en la región de campos radiados las expresiones de los campos serán:
−jkr
~ = E0 e
E
θ̂
r
−jkr
~ = E0 e
H
ϕ̂
η
r
Como se puede apreciar en la zona de campo radiado el campo tan sólo tiene una componente vectorial, y por
tanto la polarización es lineal.
Cuestión 2 Para un dipolo corto el vector de radiación es:
~ = I(0) H ẑ = I l ẑ
N
2
Y el campo radiado:
−jkr
~ = −jωµ e
~ · θ̂) θ̂ + (N
~ · ϕ̂) ϕ̂)
E
((N
4πr
−jkr
l
~ = −jωµ e
E
(− sin θ I ) θ̂ + 0 ϕ̂)
4πr
2
−jkr
l
~ = jωµ e
sin θ I θ̂
E
4πr
2
En la dirección normal (θ = π/2):
−jkr
l
~ = π/2) = −jωµ e
E(θ
I ẑ
4πr
2
Por tanto el campo depende de l.
~ = M ẑ es un dipolo magnético a lo largo del eje
Cuestión 3 Una distribución de corriente magnética de la forma M
z. Esto es el caso dual de un dipolo eléctrico según z. De manera que si el dipolo eléctrico en z produce un campo
eléctrico polarizado según θ̂ y un campo magnético polarizado según ϕ̂, en el caso del dipolo magnético según z
es al revés, y el campo eléctrico está polarizado según ϕ̂ y el magnético según θ̂.
Cuestión 4 Puesto que tanto la guı́a como la bocina piramidal son cuadradas, las dimensiones a y b de la boca de la
bocina son iguales, y las longitudes de la bocina en ambos planos LE y LH también lo son. Por tanto los errores
de fase en ambos planos (t = a2 /(8λLH ) y s = b2 /(8λLE )) también son iguales.
Se trata por tanto de una apertura cuadrada separable, con igual error de fase cuadrática en ambos planos, pero
con una distribución de campo de tipo coseno en el plano H y uniforme en el plano E, por tanto los diagramas
plano E y plano H no serán iguales.
El resto de opciones sı́ son ciertas. Como existe error de fase, se produce un efecto en el diagrama de relleno de
nulos, y el primer cero del diagrama en el plano E no está claramente definido.
Por otro lado la distribución uniforme (plano E) tiene el lóbulo principal más estrecho (menor ancho de haz) y
menor NLPS que la distribución coseno (plano H).
Cuestión 5 En una bocina plano H el error de fase máximo es −2π t. En este caso el error de fase máximo es −120◦ .
Por tanto el parámetro t será:
π
−2π t = −120
→ t = 0, 33
180
Por otro lado la relación de t con la anchura de la boca de la bocina es
t=
a2
8λ LH
Si aumentamos ligeramente a manteniendo constante LH , el error de fase aumentará, y en consecuencia la
eficiencia de iluminación disminuirá y el NLPS disminuirá. Como el valor óptimo de t que maximiza la directividad
es topt = 3/8 = 0, 375, al aumentar a ligeramente y aumentar t se aproximará más al valor óptimo y la directividad
aumentará.
Cuestión 6 Si colocamos un condensador serie a la entrada del monopolo, la impedancia de entrada del mismo
será (ver figura):
Zin = Rm + jXm − j
1
ωC
−j
ωC
Zm = Rm + jXm
Zin = Rm + jXm − j ω1C
Para que la antena sea resonante debe suceder que su reactancia Xm sea positiva e igual a 1/(ω C). La
reactancia de un monopolo será la mitad que la de un dipolo. Y la reactancia de un dipolo de longitud H
será aproximadamente la misma que la de una lı́nea de transmisión de longitud H terminada en circuito abierto
(XLT = −j Z0 cotan(kH)). Por tanto la reactancia del dipolo será aproximadamente:
Xm '
XLT
j Z0
=−
cotan(kH)
2
2
De todos los posibles valores de H que dan en la cuestión como posibles soluciones, tan sólo H = 3λ/8 proporciona
una reactancia positiva para el monopolo, pues en ese caso
Xm
Z0
' −j
cotan
2
2π 3λ
λ 8
Z0
= −j
cotan
2
3π
4
=j
Z0
2
El hecho de que sólo el dipolo de H = 3λ/8 es inductivo se puede apreciar también en la gráfica de la reactancia
de la lı́nea de transmisión terminada en circuito abierto en función de H/λ.
XLT
H=
3λ
8
H/λ
H=
H=
λ
8
0.5
H=
5λ
8
1
1.5
λ
20
Cuestión 7 El dipolo doblado de longitud λ/2 tiene mayor ancho de banda que el dipolo de la misma longitud sin
doblar, tiene una impedancia cuatro veces mayor, el doble de longitud efectiva, pero la misma directividad.
Cuestión 8 La transformación de Ψ a θ no es lineal. Eso hace que el mismo lóbulo (con la misma anchura constante
en Ψ) tenga una anchura diferente en θ según esté en el centro o en el extremo del margen visible.
En la figura se muestra cómo obtener mediante el método gráfico el diagrama para la agrupación triangular de 5
antenas (2 ceros dobles entre Ψ = 0 y Ψ = 2π) con d = λ/4 y para cada uno de los posibles valores de α. Como
se puede observar cuando α = 0◦ es cuando el lóbulo principal es más estrecho en θ (espacio real).
|F A(Ψ)|
−π−3π − 2π
3
0 -2π
|F A(Ψ)|
Ψ
π −π
2π
3
2π 0
− 2π
3
2π
3
(c) α = 0◦
0 -2π
Ψ
4π2π
(d) α = 45◦
|F A(Ψ)|
−π −3π− 2π
3
3π π
|F A(Ψ)|
2π
3
π −π
Ψ
− 2π
3
2π
0
(e) α = 60◦
2π
3
3π
π
Ψ
4π 2π
(f) α = 90◦
Cuestión 9 En este caso la agrupación pasa de ser broadside a ser endfire. La directividad de la agrupación broadside
para valores pequeños de d/λ (hasta aproximadamente d/λ = 0, 8) es
Dbroadside ' 2N
d
λ
Y como N = 5 y d/λ = 0, 25
Dbroadside ' 2 · 5 · 0, 25 = 2, 5
En cambio para d/λ = 0, 25 la directividad de la agrupación endfire es exactamente igual a N , en este caso 5.
Por tanto la directividad ha cambiado de la siguiente forma
Dendf ire
5
=
= 2 = 3 dB
Dbroadside
2, 5
Cuestión 10 Para conocer la respuesta a lo que se pregunta en esta cuestión el primer paso es determinar cómo es
la polarización de la onda radiada por la antena en la dirección (θ = 90◦ , ϕ = 0◦ ). Y para ello hay que calcular
el campo radiado en esa dirección:
−jkr
~ = −jωµ e
~⊥
E
N
4πr
~ ⊥ son las componentes del vector de radiación perpendiculares a la dirección de propagación. En este
donde N
caso la dirección de propagación es el eje x, por lo tanto las direcciones perpendiculares son ŷ y ẑ. De modo que
el campo radiado será:
−jkr
e
~
(Ny ŷ + Nz ẑ)
E(eje
x) = −jωµ
4πr
Como el vector de radiación en este caso sólo tiene componente en ẑ y no en ŷ:
−jkr
e
~
(j ẑ)
E(eje
x) = −jωµ
4πr
Por tanto la polarización de la onda radiada por la antena en la dirección del eje x es lineal según ẑ. En
consecuencia para captar la máxima cantidad de potencia posible lo mejor es orientar el dipolo en esa dirección.
Cuestión 11 El decaimiento de campo en bordes del reflector como consecuencia de la diferencia de caminos recorridos
como onda esférica es:
τ (β) = 40 log10 (cos(β/2))
En este caso β es (f /D = 0, 25):
tan
1
β
= = 1 → β = 90◦
f
2
4 D
Por tanto:
τ (β = 90◦ ) = 40 log10 (cos(45◦ )) = −6 dB
Cuestión 12 En un reflector parabólico de revolución el foco es un punto. En cambio, en un cilindro parabólico el
foco es una lı́nea, como se muestra en la figura. Por tanto la antena más adecuada es la agrupación lineal que se
extiende a lo largo de la lı́nea focal, pues el resto de antenas son antenas puntuales.
Cuestión 13 En el caso de la apertura cuadrada, el diagrama plano E es la transformada de Fourier del pulso
rectangular, cuyo NLPS es 13,2 dB. Para la apertura romboidal el diagrama es la transformada de Fourier del
pulso triangular, cuyo NLPS es 26,4 dB. En el caso de la apertura circular en NLPS es 17,6 dB. Finalmente, en
el caso de la apertura rectangular el diagrama es la transformada de Fourier del pulso rectangular y el NLPS es
13,2 dB. Por tanto, el mayor NLPS es el de la apertura romboidal.
~a
E
~a
E
~a
E
~a
E
Cuestión 14 La directividad, potencia radiada y campo radiado máximo están relacionados mediante la siguiente
ecuación:
D=
~ 2max 4π r2
|E|
η
Wr
a2
a1
~a
E
~a
E
Para cada una de las aperturas, y teniendo en cuenta que son aperturas uniformes y por tanto con eficiencias de
iluminación iguales a 1, las directividades serán:
4π
π (a1 )2
λ2
4π
D2 = 2 π (a2 )2
λ
D1 =
Para que la segunda apertura tenga el doble de área que la primera, la relación entre a1 y a2 debe ser:
π (a2 )2 = 2π (a1 )2 → a2 =
√
2 a1
Por tanto la directividad se ha duplicado (D2 = 2 D1 ).
Por otro lado la potencia radiada en cada caso será:
Z Z
W r1 =
S1
Z Z
W r2 =
S2
~ a |2
~ a |2
|E
|E
dS =
π (a1 )2
η
η
~ a |2
~ a |2
|E
|E
dS =
π (a2 )2 = 2 Wr1
η
η
De tal manera que el campo máximo radiado por cada apertura será:
D 1 W r1 η
4π r2
D2 Wr2 η
2 D 1 2 W r1 η
~ 2max
=
=
= 4 |E|
1
4π r2
4π r2
~ max = 2 |E|
~ max
|E|
2
1
~ 2max =
|E|
1
~ 2max
|E|
2
Cuestión 15 En este caso el radio de la apertura se duplica, pero el campo en la apertura cambia de tal forma que
la potencia radiada permanezca constante.
2a1
a1
~a
E
1
~a
E
2
La directividad de cada apertura será:
D1 =
D2 =
4π
π (a1 )2
λ2
4π
4π
π (a2 )2 = 2 π (2 a2 )2 = 4 D1
λ2
λ
De esta forma la relación entre campos radiados máximos (teniendo en cuenta que Wr1 = Wr2 ) será:
~ 2max =
|E|
1
~ 2max =
|E|
2
D1 Wr1 η
4π r2
4 D 1 Wr 1 η
D2 Wr2 η
~ 2max
=
= 4 |E|
1
2
4π r
4π r2
~ max = 2 |E|
~ max
|E|
2
1