APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 2º Bachillerato

RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO.
APLICACIONES
DE LAS
DERIVADAS
2º Bachillerato
Si f es derivable en el punto x0, la ecuación de la recta tangente
a f en el punto x0 es:
y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x − x 0 )
Si f es derivable en el punto x0, la ecuación de la recta normal
a f en el punto x0 es:
y = f ( x0 ) −
1
( x − x0 )
f '( x0 )
RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO.
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f en el
punto x0 = 3.
x 2 − 2x
f es derivable y creciente en x0 ⇒ f ' ( x 0 ) ≥ 0
f (x) =
x +3
( 2x − 2 )( x + 3) − ( x 2 − 2x ) x 2 + 6x − 6
21 7
f '( x ) =
= 2
→ f ' ( 3) =
=
2
x + 6x + 9
36 12
( x + 3)
f es derivable y decreciente en x0 ⇒ f ' ( x 0 ) ≤ 0
f ' ( x 0 ) > 0 ⇒ f es derivable y creciente en x0
f ' ( x 0 ) < 0 ⇒ f es derivable y decreciente en x0
y = f (x)
1 7
y = + ( x − 3)
2 12
y = f (x)
α
tg α > 0
y=
1 1
− ( x − 3)
2 7
12
→
y=
tg α < 0
1 12
− ( x − 3)
2 7
α
x0
x0
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Estudia el crecimiento y decrecimiento en la función:
f ( x ) = x − 4x + 6
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
f tiene un máximo o mínimo relativo en x0 ⇒ f ' ( x 0 ) = 0
2
Dom ( f ) = »
f ' ( x ) = 2x − 4
y = f (x)
f '( x ) = 0 → x = 2
f '<0
f '>0
2
x0
x1
f es decreciente en ]−∞ , 2[ y creciente en ]2 , +∞[
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
f tiene un punto singular en x0 si f ' ( x 0 ) = 0
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Halla los máximos y mínimos de la función: f ( x ) = x 3 − 3x
Dom ( f ) = »
f ' ( x ) = 3x 2 − 3
 x = −1
f ' ( x ) = 0 → 3x 2 − 3 = 0 → x 2 − 1 = 0 → 
x = 1
f '>0
y = f (x)
x0
x1
x2
Los puntos singulares son máximos, mínimos o puntos de inflexión.
−1
Máximo
f '<0
1
f '>0
Mínimo
Máximo en x = −1 y mínimo en x = 1
CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
f es cóncava en x0 si la curva está por debajo de la recta
tangente en x0.
f '' ( x 0 ) < 0 ⇒ f es cóncava en x0
f '' ( x 0 ) > 0 ⇒ f es convexa en x0
f es convexa en x0 si la curva está por encima de la recta
tangente en x0.
y = f (x)
y = f (x)
y = f (x)
y = f (x)
x0
x0
x0
f es cóncava
f es convexa
CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Estudia la curvatura de la función: f ( x ) = x 3 + 3x 2
f ' ( x ) = 3x + 6x
Dom ( f ) = »
f '' ( x ) = 6x + 6
f '' ( x ) = 0 → x = −1
2
f es cóncava
x0
f es convexa
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Utilización de la segunda derivada para máximos y mínimos:
Si f ' ( x 0 ) = 0 y f '' ( x 0 ) < 0 ⇒ f tiene un máximo en x0.
Si f ' ( x 0 ) = 0 y f '' ( x 0 ) > 0 ⇒ f tiene un mínimo en x0.
Si f '' ( x 0 ) = 0 y f ''' ( x 0 ) ≠ 0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en x0.
Halla los máximos y mínimos de la función: f ( x ) = x 3 − 3x
f ' ( x ) = 3x 2 − 3
f '' < 0
−1
f '' > 0
f '' ( x ) = 6x
f es cóncava en ]−∞ , −1[ y convexa en ]−1 , +∞[
f tiene un punto de inflexión en x = −1
f '' ( x ) = 0 → x = 0
 x = −1
f ' ( x ) = 0 → 3x 2 − 3 = 0 → x 2 − 1 = 0 → 
x = 1
f '' ( −1) < 0 → x = −1 Máximo

f '' (1) > 0 → x = 1 Mínimo
f '' ( 0 ) = 0


 → x = 0 Punto de inflexión
f ''' ( 0 ) = 6 ≠ 0 
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Al limitar los problemas a las funciones suelen aparecer
máximos y mínimos que no tienen derivada nula:
a
x0
Mínimo
Absoluto
x1
b
a
x1
Máximo
Absoluto
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de
modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del
segundo sea máximo.
Primer sumando: x
Segundo sumando: y
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Si la función es no derivable o no continua en un punto,
estudiaremos los alrededores del punto para buscar máximos o
mínimos:
 x + y = 36 → y = 36 − x

2
2
→ P = x ⋅ ( 36 − x ) = x 3 − 72x 2 + 1296x
P = x ⋅ y
x1
b
Mínimo
Absoluto
Mínimo
Absoluto
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se va a instalar un
parterre rectangular y uno de sus lados está sobre el diámetro y el opuesto
a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones para
que su área sea máxima.
 x 2 + y 2 = 100 → y = 100 − x 2

→ S = 2x ⋅ 100 − x 2
S = 2x ⋅ y
P ( x, y )
y
x
144 ± 1442 − 4 ⋅ 3 ⋅1296 12
P ' = 3x − 144x + 1296 = 0 → x =
36 no vale
2⋅3
a
b
10
10
2
S' = 2 ⋅ 100 − x 2 + 2x ⋅
P '' = 6x − 144 → P '' (12 ) < 0 → x = 12 Máximo
−2x
2 100 − x 2
=
200 − 4x 2
100 − x 2
=0→
x =5 2
x = −5 2 no vale
Máx
Solución: Se divide en 12 y 24.
S' > 0
5 2
S' < 0
Las dimensiones son: 5 2m y 10 2m
REGLA DE L’HÔPITAL
f (x)
f '( x )
es del tipo 0/0 o del tipo ∞/∞ y existe lim
x →a g ( x )
x →a g ' ( x )
f (x)
f '( x )
= lim
entonces se cumple que lim
x →a g ( x )
x →a g ' ( x )
Si lim
REGLA DE L’HÔPITAL
3x 2 + 2x − 16
x →2
x2 − x − 2
lim
Calcula:
0
0
↑
3x 2 + 2x − 16
6x + 2 14
= lim
=
2
x →2
x → 2 2x − 1
x −x−2
3
lim
sen x
x →0
x
Calcula: lim
3x
x →+∞ x 3
Calcula: lim
0
0
↑
sen x
cos x
= lim
=1
x →0
x →0
x
1
lim
+∞
+∞
x ↑
+∞
+∞
↑
+∞
2 +∞
↑
3x ⋅ ( ln 3)
3x ⋅ ( ln 3)
3
3x ⋅ ln 3
= lim
= lim
= lim
= +∞
lim
x →+∞ x 3
x →+∞ 3x 2
x →+∞
x →+∞
6x
6
3