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APUNTE DE PROGRAMACION LINEAL
ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010
Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización
(maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o
desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y
de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las
que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre
recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del
problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programación
matemática. En particular, aquellas donde la función objetivo y las restricciones se expresan
como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.
Un problema de programación lineal
Ejercicio 1: Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal por
maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o
desigualdades lineales.
Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe
maximizarse, considere el siguiente problema de producción con dos variables:
Un granjero tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya
sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo
disponible durante la estación crucial del verano. Dados
márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados
a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar
para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?
Maiz:
Utilidad: $40 por ha.
Trabajo: 2hs por ha.
Trigo:
Utilidad: $30 por ha.
Trabajo: 1hs por ha.
Solución: Como primer paso para la formulación matemática de
este problema, se tabula la información dada. Si llamamos X1 a las hectáreas de maíz e X2 a
las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total Z=40 X1+30 X2 Que es la función objetivo por
maximizar.
Maíz
Trigo
Elementos
disponibles
Horas
2
1
800
Hectáreas
1
1
480
$40
$30
Utilidad por unidad
La cantidad total de tiempo para sembrar maíz y trigo está dada por 2X1+X2 horas que no debe
exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad: En forma
análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por X1+X2, que no puede exceder las
hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad.
X1 e X2 no pueden ser negativas, de modo que X1≥0 X2≥0
En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo Z sujeta a las
desigualdades.
El planteo del problema es:
Max Z=40 X1+30 X2
Sa: 2 X1+ X2≤800
X1+ X2≤480
X1,X2≥0
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Si el problema consiste en Minimizar el modelo seria de la siguiente manera:
Ejemplo 2: Una destilería produce dos tipos de Whisky mezclando solo dos maltas destiladas distintas, A y
B. El primero tiene un 70% de Malta A y su costo es de 12 $/litro, mientras que el segundo tiene un 50%
de dicha malta y su costo es de 16$/litro. Se debe utilizar como mínimo: malta A 132 litros y B 90 litros.
¿Cuántos litros de cada Whisky debe producir la destilería para minimizar sus costos?
El planteo del problema es:
Min Z=12 X1+16 X2
Sa: 0,7 X1+ 0,5 X2≥132
0,3 X1+ 0,5 X2≥90
X1,X2≥0
Existen distintas formas de formular un problema de PL:
Forma Canónica o de Inecuaciones:
Por ejemplo si el problema es de maximización con dos variables y tres restricciones el PL se puede
formular de la siguiente manera:
MAX Z=c1X1 + c2X2
SA:
a11X1+a12X2≤b1
a21X1+a22X2≤b2
a31X1+a32X2≤b3
X1,X2≥0
Sistema de inecuaciones
o forma Canónica
Los coeficientes c se denominan coeficientes del funcional, los coeficientes a coeficientes tecnológicos,
SA: sujeto a: y los b son los términos independientes.
Forma estándar:
MAX Z=c1X1 + c2X2
SA:
a11X1+a12X2+X3
=b1
a21X1+a22X2
+X4
=b2
a31X1+a32X2
+X5=b3
X1,X2, X3,X4, X5≥0
X3, X4, X5 se llaman variables
slacks y se agregan según la
cantidad de restricciones
Producto Matricial:
Y
matriz A
vector X
es decir
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vector B
AX=B
y
c1 c2 c3 c4 c5
vector C
CX
vector X
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Producto Vectorial:
MAX Z=c1X1 + c2X2
Ejercicio 1: Para el ejemplo del granjero formule los cuatro tipos de formas vistas anteriormente.
Ejercicio 2: Para el ejemplo de la destilería formule los cuatro tipos de formas vistas anteriormente.
Resolución de problemas:
Para resolver el problema de PL se lo puede hacer gráficamente y analíticamente.
Cuando tenemos modelos con solo dos variables básicas el problema resulta muy sencillo para resolverlo
gráficamente, ya que la interpretación geométrica se produce en el plano, pero cuando tenemos mas de dos
variables se lo resuelve con un método no grafico llamado Simplex.
Tomando el
gráficamente.
ejemplo
del
granjero
resolveremos
Primero lo que tenemos que hacer es trazar las rectas de las
desigualdades (en nuestro ejemplo son 2)
Luego pintamos la región que aparece entre las rectas y los
ejes cartesianos.
Siempre se trabaja en el cuadrante positivo, recordemos que
las variables son ≥ 0
Cada punto de la región S es candidato para resolver este
problema y se conoce como solución factible.
El objetivo es encontrar el o los puntos óptimos que se
encuentren entre las soluciones factibles.
Se lo conoce como solución optima
S
En particular los puntos candidatos para ser solución optima se
encuentran en los vértices de la región.
(A, B, C y D).
S
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Luego se traza la recta del funcional Z, anulando Z=0 nos queda 0=40x+30y.
Si despejamos y obtenemos y(-40/30)x que pasa por el origen de
coordenadas.
Por ultimo si proyectamos la recta Z paralelamente hacia
arriba, iremos tocando los vértices de la región, primero
pasaremos por A, luego por C y en ultimo lugar por B.
Es decir que el optimo de todos los candidatos es el
punto B que se encuentra mas alejado de la recta Z que
pasa por el origen.
El punto B es (320,160), por lo tanto la solución optima
se obtiene reemplazando en la recta Z.
Z= 40(320)+30(160) = 17600
Podria pasar que en otros casos la solución optima coincida con un borde, se dice entonces que tiene
infinitas soluciones optimas
Resolución Analítica:
Para resolver este problema analíticamente, de las infinitas soluciones posibles se deberían calcular solamente
aquellas que constituyan bases, y dentro de las soluciones básicas se deberían tomar solamente aquellas que sean
factibles. Para empezar debemos escribir el problema de forma canónica:
Max Z=40 X1+30 X2
sa: 2 X1 + X2≤800
X1 + X2≤480
X1,X2≥0
Para llevarlo a
forma estándar se
agregan las variables
slacks X3, X4
MAX Z=40X1 + 30X2
sa:
2X1 + X2 + X3
X1 + X2
+ X4
=800
=480
X1,X2, X3,X4 ≥0
En un problema de PL con n variables (reales y slacks) y m restricciones, se define como solución básica a aquella en
la que por lo menos n-m variables son nulas. En nuestro caso n=4 y m=2, por lo tanto n-m=2 son las que deberían ser
nulas.
A continuación mostramos una tabla para la resolución analítica de nuestro ejemplo:
Variables anuladas
X1 X2
X1 X3
X1 X4
X2 X3
X2 X4
X3 X4
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Sistema de ecuaciones
Solución
X3 = 800
X4 = 480
X2 = 800
X4 = -320
X2 = 480
X3 = 320
X1 = 400
X4 = 80
X1 = 480
X3 = -160
X1 = 320
X2 = 160
Valor del funcional
Punto en la grafica
Z=0
D
NO FACTIBLE
FUERA DEL
RECINTO
Z = 14400
A
Z = 16000
C
NO FACTIBLE
FUERA DEL
RECINTO
Z = 17600
B
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Claramente, como se muestra en la tabla, la solución optima es 17600 (vértice B) con X1=320 y X2=160.
Para el caso de minimización, la grafica se resuelve de la siguiente manera:
Supongamos otro ejemplo:
Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al
menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo.
Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg
de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10
mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2).
¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al
menor costo?
Marca A
Marca B
Requerimientos mínimos
Hierro
40 mg
10 mg
2400 mg
Vitamina B-1
10 mg
15 mg
2100 mg
Vitamina B-2
5 mg
15 mg
1500 mg
Costo por píldora (US$)
0,06
0,08
Entonces el modelo de PL será:
Min Z=6 X1+8 X2
sa: 40X1 + 10X2 ≥ 2400
10X1 + 15X2 ≥ 2100
5X1 + 15X2 ≥ 1500
S
X1,X2≥0
En particular los puntos candidatos para ser
solución optima se encuentran en los vértices de la
región.
(A, B, C y D).
Si proyectamos la recta Z hacia arriba de
manera paralela el primer punto que
tocaríamos de la región será B, es decir que
es el optimo. El punto B es (30,120) por lo
tanto el Z = 6(30)+8(120)
Z = 1140
Ejercicio 3: Hallar la solución del ejercicio del nutricionista de modo analítico.
Ejercicio 4: Hallar la solución del ejercicio de la destilería de modo analítico.
Casos especiales en la solución:
No siempre obtenemos la solución optima (única), también se puede obtener solución alternativa (mas de una
solución), esto ocurre cuando la recta Z (funcional) coincide con dos vértices. Por ejemplo:
Al Problema del granjero le hacemos una modificación en el funcional:
Max Z=30 X1+30 X2
sa: 2 X1 + X2≤800
X1 + X2≤480
X1,X2≥0
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Para llevarlo a
forma estándar se
agregan las variables
slacks X3, X4
Max Z=30 X1+30 X2
sa: 2 X1 + X2 + X3 =800
X1 + X2 + X4 =480
X1,X2, X3,X4 ≥0
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La tabla con la solución analítica quedaría de la siguiente manera:
Variables anuladas
X1 X2
X1 X3
X1 X4
X2 X3
X2 X4
X3 X4
Sistema de ecuaciones
Solución
X3 = 800
X4 = 480
X2 = 800
X4 = -320
X2 = 480
X3 = 320
X1 = 400
X4 = 80
X1 = 480
X3 = -160
X1 = 320
X2 = 160
Valor del funcional
Punto en la grafica
Z=0
D
NO FACTIBLE
FUERA DEL
RECINTO
Z = 14400
A
Z = 12000
C
NO FACTIBLE
FUERA DEL
RECINTO
Z = 14400
B
Es decir que la solución es alternativa, porque Z=14400 se da en dos de los vértices B y A.
Entonces podemos concluir que la solución esta en la recta y = 480 – X.
Ejercicio 5: Hallar la solución de este último ejercicio gráficamente.
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TRABAJO PRACTICO Nº 6: PROGRAMACION LINEAL
ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010
Ejercicio 1: Resolver Gráficamente y Analíticamente los siguientes Programas Lineales
b) Max z = x1 + 2x2
sa: x1 + x 2 ≤ 4
a) Max z = x1 + x 2
sa: x1 + x 2 ≤ 4
x1 + 5 x 2 ≤ 1
x1 + 2 x 2 ≤ 2
x2 ≤ 2
x1 , x 2 ≥ 0
x1 , x 2 ≥ 0
c) Min z = x1 + x 2
sa: x1 + 2 x 2 ≥ 2
d) Max z = 9 x1 + 2 x2
sa: 4 x1 + 5 x 2 ≤ 2
− 5 x1 + 10 x 2 ≤ 1
3 x1 − x 2 ≥ 1
x1 , x 2 ≥ 0
Ejercicio 2:
a)
sol: 2
sol: recta X2=4-X1
sol: 1.285714
x1 , x 2 ≥ 0
sol: 4.5
Resolver gráficamente y analíticamente el ejercicio 1 d) cambiando el funcional Z por 16X1 + 20X2
Sol: recta X2=(2-4X1)/5
b)
Resolver gráficamente y analíticamente el ejercicio 1 d) cambiando el funcional Z por X1 - 2X2
Sol: recta X2=-(1-10X1)/5
Ejercicio 3: Plantear y resolver el siguiente problema de minimización: Una empresa produce sacos para la
preparación de cemento usando los ingredientes A y B. Cada kilo de ingrediente A cuesta $ 6 y contiene 4 unidades
de arena fina, 3 de arena gruesa y 6 de pedregullo. Por su parte cada kilo de ingrediente del B cuesta $7 y contiene 3
unidades de arena fina, 5 de gruesa y 2 de pedregullo. Cada saco debe contener por lo menos 11 unidades de arena
fina, 10 de gruesa y 9 de pedregullo.
Sol: $ 18.09
Ejercicio 4: Plantear y resolver el siguiente problema de maximización: Estudiantes de Turismo necesitan ganar
dinero y deciden pedir trabajo en una agencia para realizar encuestas, la misma contrata a dos tipos de equipos de
jóvenes: Tipo A: parejas (un chico y una chica) y Tipo B: cuatro jóvenes (3 chicas y un chico).
Los estudiantes interesados están conformados. ¿Como deberán distribuirse para sacar el mayor provecho
económico, sabiendo que disponemos de 10 chicos y 20 chicas?
Sol: $ 4000
Ejercicio 5: Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo
A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo
A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el
doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Resolverlo Graficamente únicamente.
Sol: € 20700
Ejercicio 6: En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto
de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio
Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer
diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer
mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea
máximo el beneficio? Resolver gráficamente únicamente.
Sol: $ 45000
Prof: Martin Goin