Olimpiada Estatal de Matemáticas 2014

Olimpiada Estatal de Matemáticas 2014
Quinta Etapa
Sesión de entrenamiento de verano
GEOMETRÍA
1. Las áreas de los triángulos de la figura son 5 y 10, según se muestra. Las 3 líneas
horizontales son paralelas y la distancia entre las dos líneas extremas es de 6 ¿Cuál
es la longitud PQ?
2. Sea ABC un triángulo tal que el ángulo en A=100, en B=50 y en C=30, sea H el pie
de altura desde A y M el punto medio de AC, encontrar el ángulo MHC.
3. En la siguiente figura se ha trazado una circunferencia cualquiera con centro en O y
se han tomado dos puntos A y B cualesquiera sobre la circunferencia. Luego se ha
trazado una recta a través de B que interseca a la circunferencia en E y a la
prolongación de OA en D, de tal modo que ED resulte igual al radio del círculo.
Demuestre que el ángulo BDA es una tercera parte del ángulo BOA.
4. Sea ABC un triangulo equilátero de lado 𝑎, se trazan circunferencias tangentes con
centro en B y C como en el dibujo.
Demostrar que el perímetro del área sombrada es
𝜋𝑎
𝑎+
3
y el área sombreada es
𝑎2 √3 𝜋 2
− (𝑅 + 𝑟 2 )
4
6
5. Sea h la longitud de la altura de un triangulo equilátero ABC y sea P un punto
cualquiera dentro del triangulo. Sean R, S y T los pies de las perpendiculares desde
P a cada uno de los lados del triangulo, demostrar que:
𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇 = ℎ
6. Se inscribe un circulo de radio R en un cuadrado, un circulo menor de radio r es
tangente al círculo mayor como a dos lados del cuadrado, encontrar r en términos
de R.
7. Se inscribe un círculo dentro de un cuarto de círculo como en la figura, si el radio del
circulo mayor es R encontrar el radio del circulo menor.
8. Sobre los tres lados de un triángulo rectángulo se han construido semicírculos, tal
como se ilustra en la figura. Demuestre que el área del triángulo es igual a la suma
de las áreas de las figuras sombreadas.
9. Sea ABC un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia de centro O y
diámetro BC. Las perpendiculares al diámetro de la circunferencia, trazadas desde
O y A, intersecan a la circunferencia en los puntos D y P respectivamente (del
mismo lado de CB). Si el ángulo DCP es igual a 15º. Calcula la medida del ángulo
ABC.
10. Sea ABC un triángulo con ∠A=60°. La mediatriz del lado AB corta a la recta AC en el
punto N. La mediatriz del lado AC corta a la recta AB en el punto M. Si el lado BC es
igual a 5, encontrar la longitud del segmento MN.