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3
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ALGEBRA
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~-
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._,_,_
~
~
~
1 álgebra se vale de la aritmética y es, a su vez, importantísimo
auxiliar suyo. En su lenguaje, claro y conciso, radica gran parte
ele su eficacia.
E
Al peculiar lenguaje algebraico se llegó ele forma paulatina: egipcios,
babilonios, árabes, hindúes y chinos resolvieron muchas situaciones
de carácter algebraico, aunque utilizaron un lenguaje cercano al natural. Las ecuaciones se proponían del siguiente modo:
¿Cuánto vale la cosa que si se triplica y se le miade diez, vale igual
que el1'esultado de multiplicar la cosa p or la cosa?
Más adelante simplificaron:
Tres veces la cosa más diez es cosa por cosa.
El camino para llegar a la sencilla expresión 3x + 10
largo.
=
x 2 fue muy
El simbolismo algebraico irrumpió con toda su fue rza a partir del siglo XVI. Las demás ciencias presionaban, ele manera indirecta, para
que aume ntara la eficiencia de las matemáticas. La notación algebraica que ahora utilizamos fue propuesta por el matemático y filósofo
fran cés René Descaltes (1596-1650).
Papiro de Rhind (1650 a .C.)
68
UNIDAD~
rREFLEXIONA Y RESUELVE
Puñado de almendras
Sin necesidad del álgebra
1í-es amigos, Antonio, Juan y Pablo, ./iteran con sus tres
hijos, Julio, }osé y Luis, a un almacén de frutos secos.
Un galgo persigue a una Liebre.
Ante un saco de almendras, el dueiio les dijo:
-
Coged las qu.e queráis.
Cada uno de los seis metió La mano en el saco un número n de veces y, cada vez, se llevó n almendras
(es deci1; si uno de ellos metió la mano en el saco 9
veces, cada vez cogió 9 almendras, y, p or tanto, se llevó 81 almendras). Ademcís, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo.
Mientras el galgo da dos saltos, la liebre da tres. Tm>
saltos del ga{qo equivalen a dnco de la lieb1'e.
¿Cuántos saltos dará cada uno hasta el momento de
la captura?
Antonio metió La mano 7 veces más que Luis, y julio,
15 más que Pablo.
• ¿"Cóm o se llama el hyo de Antonio?
• ¿Y el dejuan?
• ¿"Cuántas almendras se llevaron entre todos?
Las claves para resolver este problema son:
Este problema parece difícil. Sin embargo, si realizamos una buena representación y elegimos adecuadamente la unidad, puede ser muy sencillo . Veámoslo.
a) Cada persona se lleva un número ele almendras
que es cuadrado perfecto:
Se nos dice que tres saltos de galgo coinciden con
cinco saltos de liebre. Lo representamos:
x puñados ~ x 2 almendras
.3 saltos ele galgo
y puñados ~ y 2 almendras
'
b) La diferencia ele almendras que cogen cada padre
y su hijo es ele 45.
x2
-
y2
=
45 ~ (x +y) (x-y)= 45
5 sa ltos ele liebre
Parece razonable tomar como unidad ele longitud, u,
la quinceava parte del segmento AB.
(Recuerda: su.ma por diferencia es igual a d[/erencia de cuadrados) .
--
Tenemos, por tanto, el producto de dos nú meros
naturales igual a 45. Esto solo ocurre en los siguientes casos: 9 x 5; 15 x 3; 45 x 1
5 saltos ele liebre
Resuelve el problema razonadamente sobre esta gráfica:
• 1.cr caso: 9 x 5
(x +y) (x - y)
B
45
=
1 salto de galgo = 5u
1 salto ele liebre
x+y=9}
x - y = 5
Sumando:
2x
=
Restando:
2y
=
Solución: x
=
14
~
x
=
7
4
~
y
=
2
7, y = 2
• Interpreta esta solución, estudia los demás casos y
resuelve, finalmente , el problema completo.
=
3u
"Mientras el galgo da dos saltos, la liebre da tres" significa:
galgo
~
2 ·Su = 10u
liebre
~
3 · 3u
=
9u
El galgo avanza 1u más que la liebre.
• Prosigue así hasta terminar el problema.
3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
L div·s·bi · atl en los
olinomio
La divisibilidad en el conjunto de polinomios es muy similar a la
divisibilidad entre números enteros.
• Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando
el cociente P(x ) : Q(x) es exacto. En tal caso, P(x) : Q(x) = C(x).
Y, por tanto, P (x) = Q(x) · C(x).
Los polinomios Q(x) y C(x) se llaman divisores de P(x).
Por ejemplo: (3x3 - 14x2 + 4x + 3) : (3x + 1) = x 2
Por tanto: 3x3 - 14x2 + 4x + 3
=
(3x + 1) · (x 2
Sx + 3
-
5x + 3)
-
• Un polinomio se dice que es irreducible cuando ningún polinomio
de grado inferior es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles
OBSERVA
los polinomios irreducibles desempeñan,
en la divisibilidad entre polinomios, el
mismo papel que los números primos en la
divisibilidad entre números enteros.
•
-
los de primer grado: x , 2x- 1, ~ + 3,
-
los de segundo grado sin raíces: x 2 + 1, 2x2
-
3x + 5,
• Un polinomio de segundo grado con raíces a y b
descomponer en forma de producto: k(x- a) (x- b).
se puede
Por ejemplo, el polinomio 5x2 + Sx - 60 tiene dos raíces: x = 3, x = -4
(compmébalo resolviendo la ecuación 5x2 + 5x- 60 = 0).
Por tanto:
5x2
OBSERVA
la descomposición de un polinomio en
polinomios irreducibles es similar a la
descomposición de un número en factores
primos:
3x4 + 3x3 - 33x2 + 3x- 36
3x3 +
12x2
x- 3
3
60
=
5(x - 3) (x
+
4)
• Cualquier otro polinomio se puede descomponer en producto de
polinomios irreducibles.
Por ejemplo:
3x 4 + 3x3 - 33x 2 + 3x - 36
+ 3x + 12
3x2 + 3
3
+ Sx -
=
3(x - 3)(x + 4)(x2 + 1)
o bien,
=
(3x- 9) (x + 4)(x2 + 1)
o bien ,
=
x2 +
(x - 3) (6x + 24) ( T
•
1)
2
En este ejemplo vemos que hay muchas posibles descomposiciones.
Sin embargo, todas ellas son, esencialmente, la misma, pues los
polinomios que intervienen en ellas son, respectivamente, semejantes.
x - 3 es semejante a 3x - 9 pues 3x - 9
=
x + 4 es semejante a 6x + 24 pues 6x + 24
.
3(x - 3)
=
x 2 + -1 pues -x 2 + -1
2
2
2
2
x 2 + 1 es semeJante a -
6(x + 4)
=
1
- (x 2 + 1)
2
Por tanto, la descomposición de un polinomio en factores es,
esencialmente, única.
UNIDAD ~
Pr:acedimient
REFLEXIONA
En lo pág ina anterior hemos visto que
todo polinomio se puede factorizar como
producto de polinomios irreducibles. Sin
embargo, una cosa es que se pueda y
otro que sepamos hacerlo .
l
ara factori•ar un polín
Vamos a ver en qué casos sabemos descompo ner un polinomio e n factores y ele q ué procedimientos nos podemos valer.
• Siempre que se pueda, sacaremos la x factor común.
• La regla de Ru ffini nos permite localizar con eficacia las raíces enteras
de un polinomio, pues:
-
Si los coetk ientes de P (x) son números enteros, las raíces enteras
de P(x) son divisores de su término independiente.
-
Si P (a)
=
O, entonces P(x)
=
(x- a) Q(x).
• Si un polinomio ele grado mayor que 2 no tiene raíces enteras, es poco proba ble q ue podamos descomponerlo con los conoci.m.ientos que
poseemos.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Descomponer en Jact01'es
irreducibles el siguiente
polinomio:
x 6 - 15x4 - 42:x3 - 40x2
Ya hemos extraído el factor x dos veces. Ahora b usquemos las raíces
enteras de x 4 - 15x2 - 42x - 40 aplicando la regla de Ruffini y probando con los divisores de 40 (±1, ±2, ±4, ±5 , ±8, ±10, ±20, ±40).
Comprobamos que 1, - 1, 2 no son raíces (hazlo).
1
o
- 15 -42
-2
-2
1
-2
4
22
- 11
-20
-2 sí es raíz. Por tanto:
-40
40
x 4 - 15x2 - 42x - 40 =
l_Q_
= (x + 2)(x3- 2x 2
-
ll x- 20)
2
Buscamos las raíces enteras de x3 - 2..'\': - llx- 20. Probamos con los
divisores de 20 (ya no hemos de probar con 1, - 1 y 2, pero sí con -2) .
Compro bamos que - 2 no es raíz ( hazlo).
1
5
-2
-11 -20
20
J5
4 l_Q_
5
1
3
5 sí es raíz. Por tanto:
x3 - 2x 2
=
-
11x - 20
=
(x- 5)(x2 + 3x + 4)
Como el facto r que queda es de segundo grado, comprobamos si tiene
raíces resolviendo la ecuación correspondiente:
x 2 + 3x + 4
=
O no tiene raíces. Por tanto, x 2 + 3x + 4 es irreducible.
La descomposición queda así:
x6- 15x4 - 42x3 - 40x2
=
x2
·
(x + 2) · (x- 5) · (x2 + 3x + 4)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Descompó n facto rialmente los siguien tes polinomios:
x 4 + 4x3 + 8x 2 + 7x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es d ivisible po r
x 2 + x +l.
a) x6 - 9x5 + 24x4 - 20x3
b) x 6 - 3x5 - 3x4 - 5x3 + 2x2 + 8x
e) x 6 + 6x5
2. a) Intenta factorizar
+ 9x 4 - x 2 - 6x -
9
3. Intenta factodzar
6x-'~ + 7x3 + 6x2
- l. Vuelve a inel
1
1
' ces suyas.
.
tenta r1osa 1)Ien o que y "3 son ra1
2
r
3.2 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones enlre polinomios se comportan de forma muy parecida a
las fracciones numéricas.
Obse1va en las siguientes definiciones y procedimientos la gran similitud que existe enlre ambas.
POR QUÉ SE UTILIZA LA x
Lee el siguiente párrafo extraído de una
conocida novela actual:
"Omar Jayyam, poeta , astrónomo,
matemático persa del siglo XI, en un
libro sobre á lgebra, para designar la
incógnita utiliza el término árabe shay,
que significa cosa. Esto palabro, escrito
xay e n los obras científica s españolas,
ha sido reempla zado progresiva mente
por su primero letra, x, convertido en
el símbolo universal de lo incógnita".
Samarcanda. Amin Maalouf.
Se llama fracció n alge braica al cociente de dos polinomios, P(x)
Q(x)·
Son fracciones algebraicas:
x
3x
2 -
_ 1_ . x 2 - 3x + 2 . 3x - 5
5 ' x + 1 ' x3 + Sx - 6 '
7
.
=
l.x _ _.2._.
7
l.!_
7'
1
=
11
Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se p ueden
dividir por un mismo polinomio (de g rado mayor o igual que 1), al hacerlo se simplifica la fracción.
Si dividimos numerador y denominador por su máx.c.d., se o btiene una
fracción ir reducible.
máx.c.d. (P(x), Q(x)]
=
D(x);
RECUERDA
Pa ro obtener el máximo común d ivisor
(máx.c.d.) de dos poli nomios, se
descomponen factorialmente y se toman
los fa ctores que coincidan en ambos con
los menores exponentes que presenta n.
P (x) = P 1(x) · D(x) = P 1(x)
Q 1(x) · D(x)
Q(x)
Q 1(x)
Por ejemplo:
3x3 - 2x2 + 5x
x 2 - 3x
(3x2 - 2x + S)x
(x - 3)x
3x2 - 2x+5
x-3
En este caso hemos sacado x factor común en el n umerador y en el
denominador, y hemos dividido por él.
LA PALABRA ÁLGEBRA
Dos fracciones algebraicas son equivalentes si:
La obro más importante del matemá tico
árabe del siglo IX AI-Khowarizmi llevaba
el título de Al-¡abr wa '/ muqabalah.
• Una de ellas se obtiene simplificando la otra.
La primera pa la bra, al-¡abr, sirvió, en
adelante, para designar la ciencia que en
é l se tra ta ba.
Si dos fracciones, P (x) y M(x), son equivalentes, entonces "los pro-
• O bien, ambas, al simplificarse, clan lugar a la misma fracción .
Q(x)
N(x)
duetos cruzados" coinciden:
P(x) · N(x) = Q(x) · .M(x)
Por ejemplo, las fracciones
x-2
y
X
son equivalentes
x2 + x - 6
x 2 + 3x
porque al simplificarse ambas dan lugar a
1
x+3
Sus p roductos cruzados coinciden:
(x- 2)(x2 + 3x) = (x 2 + x - 6)x = x3 + x 2
72
-
6x
UNIDADjJ~
omin dor
educci · n a común
Al m ultiplicar el n umerado r y el denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, se o btiene una fracción equivalente.
Por ejemplo:
2x2 - x -1
(2x + l)(x - 1)
(3x2 - x)(x - 1)
2x + 1
3x 2 - x
3x3 - 4x 2 + x
son equivale ntes.
Si tenemos va rias fracciones algebraicas, podemos obtener o tras que,
siendo respectivamente equivalentes a las primeras, tengan entre sí el
mismo denominador. Se dice, en tonces, que se han reducido a denominador común.
Por ejemplo, si queremos reducir a denominador común las fracciones
RECUERDA
Para obtener el mínimo común múltiplo
(mín .c.m.) de dos polinomios, se
descomponen factorialmente, y se toman
todos los factores, coincidentes o no, con
los mayores exponentes que presentan.
l._ y x + 1 , calcularemos el mín.c.m. [x, x - 2]
x
2
X -
(x- 2)
x(x - 2)
os
111
=
x(x - 2) y o btend re-
· · · 1es y tte·
·
y (x + l)x que son eqlllva
1entes a 1as m1cta
(x- 2)x '
nen, ambas, el m ismo denominador.
Suma
r .r:ta
Para sumar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador
(si no lo están ya) y se suman sus nu merad ores.
La resta es un caso particular de la suma.
EJERCICIOS RESUELTOS
.....__
1. Efectuar:
X+ 7
- -+
X
• Hallamos el mín.c.m. de los denominadores:
X-
2
x(x + 1)
2x -J
----
nún. c.m . [x , x(x + 1), (x + 1)]
=
x(x + 1)
x+ l
• Reducimos las fracciones a común denominador y o peramos:
( x + 7) (x + 1) + x - 2
x(x + 1)
x(x + 1)
(2x - l) x
x(x + 1)
(x + 7)(x + 1) + (x- 2)- (2x- 1)x
x(x + 1)
x2 +
X
+ 7X + 7 + X - 2 - 2x 2 +
x(x + 1)
X
- x 2 + 10x + 5
x2 + x
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Reduce previamente a común denominador las
fracciones algebraicas siguientes, y súmalas:
x+7
2x + 1
X
x+1
2. Efectúa:
__1_+~ - ~
x2- 1
x +1
x- 1
li~ación
ulti
· división
El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores pattido por el producto de sus denominado res.
Por ejemp lo:
3x + 1 . ____?!___
x- 1
x + 1
=
(3x + 1)x
(x- 1)(x + 1)
Fracción inversa de otra:
.,
.
La fracc10n mversa de
x 2 - 5x
3x -1
es
3x 1
pues su producto es una
x 2 - 5x '
fracción equivalente al número l.
El co ciente de dos fracciones algebraicas es igual al producto de la p rimera por la inversa de la segunda.
Por ejemplo:
X
2x :x- 1= ~·-...E._ = ~
+ 1
x2
X + 1
X - 1
x2 - 1
EJERCICIOS RESUELTOS
2
a) x - 3 . x- 1
x +2
x - 3
1• Calculen-:
a) x
2
-
X+
b) x
2
3 .x- 1
X- 3
2
=
(x 2 - 3)(x - 1)
(x + 2) (x - 3)
x3-x2 -3x +
2x + 2 : 3x- 2
x- 1
x2
=
x3 - x 2
- 3x + 3
x2 - 3x + 2x - 6
3
x 2 -x- 6
-
b) x 2 - 2x + 2 : 3x - 2 = x 2 - 2x + 2 . ~ = (x2 - 2x + 2)x2
x - 1
x2
x - 1
3x - 2
(x - 1) (3x - 2)
2x3 + 2x2
2
3x -2x-3x+ 2
x4-
2. Efectum-:
1 :
1
)
x2
2.
(
2(x 2 -1)
EJERCICIOS PROPUESTOS
3. Efectúa estas operaciones:
-
3x -5x+2
2
2
1
x - 1)
x
( 1
3 ) x
3
)
(
x + 1 : -3- = 2. x + 1 . x-1 = 2. (x + 1)(x-1) =
2(x + 1)(x - 1)
2
2x3 + 2x2
2
Hacemos la división del paréntesis y después multiplicamos:
x; .(x: xJ
a) x
x4 _
2x + 3
x-2
b) x 2 - 2x + 3
x-2
2x + 3
x +5
2x + 3
x+5
4. Calcula:
a) x + 2 : ( x- 1 . _x
__ )
3
2x+1
x
UNIDAD
3.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Ecuaciones de 2. 0 grado, ax2 + bx +e= O
Sus solucio nes se obtienen aplicando la siguiente fórmula:
Si h 2
x =
j
Si
2a
4ac > O, hay dos soluciones.
-
b2 -
4ac = O, hay una solución.
2
4ac < O, no tiene solución.
Si b
-
Cuando b = O o e = O, la ecuación se llama incompleta y se puede
resolver de forma sencilla sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.
• ax 2 + e
=
O ~ se despeja x 2
h
•ax 2 +hx=O ~ x(ax+b) = O. Sussolucionesson x = O, x=--·
a
Ecuaciones bicuadradas, ax4 + bx2 + e
=O
Son ecuacio nes de cuarto grado sin términos de grado impar.
Para resolverlas efectuamos el cambio x 2 = y , y, por tanto, x 4 = y 2,
con lo que queda una ecuación de segundo grado en la incógnita y :
ax4 + bx2 + e
=
O ~ ay 2 + by + e = O
Por cada valor positivo de y habrá dos valores de x: x
=
±--fY.
EJERCICIOS RESUELTOS
~
------------~-----------------------
1. Resolver las siguientes
xZ -y
a) x 4 - 10x 2 + 9 = O ~ y 2 - lOy + 9 = O
ecuaciones:
a) x 4 - 10x 2 + 9 =O
b) x 4 - 2x 2 - 3
=
10 ± " 100 - 36
y=
O
c)x 4 - 5x2 =O
10 ± 8 _
2
=
2
-
<
1 ~ X = ± -{1_ = ± 1
9~x =±-f9=±3
Soluciones: - 1, 1, -3, 3
b) x 4 - 2x 2 - 3 = O
2
x =y
y 2 - 2y - 3
_ 2 ± "'-' 4 + 12 _ 2 ± 4 _
y2
-2-Soluciones:
<
O
=
-1 ~ No da solución para x .
3~x =± J3
---/3, --/3
e) x 4 - 5x 2 =O
xz
~ Y y 2 - 5y =O
y = O~x=O
y(y - 5) = 0<y=5
~
}
x =±-15
Soluciones: O, --{5, -{5
EJERCICIOS PROPUESTOS
2. Resuelve:
1. Resuelve las ecuaciones siguientes :
a)
x4 - x 2 -
12 = O
b)
x4 -
8x 2 -
9
=
O
a) x 4 + 10x 2 + 9 = O
b) x 4 - x 2 - 2
=
O
Ec ~ done
(On
rndicale
Ocasionalmente nos encontramos con ecuaciones en las que x se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolver este tipo ele ecuaciones:
• aísla la raíz cuadrada en un miembro;
• eleva ambos miembros al cuadrado.
En este proceso (al elevar al cuadrado) pueden aparecer soluciones falsas que, naturalmente, hay que rechazar. Por ello, en este tipo de ecuaciones es fundamental comprobar todas las soluciones.
EJERCICIOS RESUELTOS
-----------r-------------
1. Resolver las siguientes
a) -!2x -
ecuaciones:
=
x
-l2x- 3 = x - 1
a)-12x - 3 +J=x
b) -l2x-3 +
3+1
~ =4
2x - 3 = x
2
-
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2x + 1 ~ x 2 - 4x + 4 = O ~ Solución: x
Comprobación: -!2 · 2 - 3 + 1 =
b) -l2x - 3 + -!x + 7 = 4
-!2x-3 =4-~
26 = - 8-!x + 7
2
La solución es válida.
Despejamos una de las dos raíces:
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2x - 3 = 16 + (x + 7)- s-Jx + 7
X-
fl + 1 = 2
=
Aislamos en un miembro el término
en el que está la raíz:
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
x 2 - 52x + 676 = 64(x + 7) ~ x 2 -116x + 228 =O ~ x 1 = 2, x 2 = 114
Comprobación:
x 1 = 2 ~ -/2 · 2 - 3 +
~ = fl
+
.,[9 =
1 + 3 = 4 ~ x 1 es válida.
{ x = 114 ~ -!2 · 114 - 3 + -!114 + 7 = 15 + 11 :;t: 4 ~ x no es válida.
2
2
La solución de la ecuación es x
=
2 (única).
EJERCICIOS PROPUESTOS
4 . Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/ h
3 . Resuelve:
a) - -l2x -
b) -!2x - 3 - -!x + 7
e) 2 + { ;
el) 2-
en línea recta hasta P, y hemos caminado a
5 k.m/ h de P a C. Hemos tardado, en total,
99 minutos (99/ 60 horas).
3 +1= x
=
=
4
x
{; =X
e) -13x + 3 - 1
=
.Vs - 2x
¿Cu á 1 es la distancia, x, de
B a P?
•• - - - - · 6 km - - - - -- •·
'
'
:
ARENA
:
UNIDAD ~
~,
on la x
Ecu ,.ion
1
rl nomin rl r
Los denominadores algebraicos, al igual que Jos numéricos, se suprimen
multiplicando por el prod ucto ele todos ellos o, mejor, por su mínimo
común múltiplo. De este modo se llega a una ecuación que, probablemente, se sabe resolver.
En el proceso ele multiplicar por expresiones polinómicas, a veces aparecen soluciones falsas. Por tanto, siempre q ue lo hagamos, deberemos
comprobat· todas las soluciones obtenidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver estas ecuaciones:
6
X + J
+ -=6
x
x- 2
a) Para eliminar los denominadores de la ecuación mu ltiplicamos ambos
miembros por: x (x - 2).
a) -
X+
b) 2x - 3
+ --
x 2 -5x
4
3
=-
4
X
6(x- 2) + (x + l)x
=
6x (x- 2) ---7
---7 5x 2 -
=
O
---7 X =
19x + 12
19 ±
---7
,j 361 - 240
=
10
19 ± 11
10
=
<
~
5
Comprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas
son válidas.
SoLuciones: x 1 = 3, x 2
=
__±_
5
b) Para suprimix los denominadores de la ecuación multipl icamos ambos
miembros por: 4(x 2 - 5x) = 4x(x - 5).
4(2x - 3) + 4(x + 4) (x - 5)
---7
x 2 + 19x- 92
---7 X=
=
O
=
3(x2 - 5x)
---7
---7
-19 ± -1361 + 368 = -19 ± 27 =
2
2
<
-23
4
Comprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas
son válidas.
Soluciones: x 1
=
-23, x 2
=
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
S. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) -
1
x
1
+ -- = X+
3
b)_±_+ 2(x+ l )
x
3(x - 2)
c) -
x
2x
a) - - + - - = 3
3
10
=
1 +1- =3x
x2
4
6. Resuelve:
x- 1
4
x+l
b) - 5- + -X- =3- x +2
x+3
2
e) x + 3 _ x 2 + 1
X - 1
x2- 1
=
26
35
1
~7
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está
en el exponente.
Por ejemplo :
a) 3t-x' = 1/ 27
b) sx' - 5x+6
e) 31 - x'
el) 2x + 2x + 1
=
2
=
=
1
12
Para resolver ecuaciones del tipo a) y b) hay que expresar el segundo
miembro como una potencia ele la misma base que el primero
(1/ 27 = 3-3, 1 =5°). En el caso e) esto no es posible, ya que 2 no es potencia entera ni fraccionaria ele 3. Este tipo de ecuaciones se resuelve tomando logaritmos en los dos miembros. Para las ecuaciones del tipo d)
necesitarás realizar un cambio ele variable.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver las siguientes
ecuaciones:
a)
b)
3 1-
-
x'
=
_7_
27
sx'- 5x + 6 =
e) 31 -.x" = 2
1
a) Expresamos
27
como potencia de base 3:
~ 31 -x'= 3- 3 ~ 1 -x2= - 3 ~ x2 = 4 ~ x=±2
31-x' =_l_
27
7
Soluciones: x 1 = - 2, x 2 = 2
b) Expresamos el segundo miembro como potencia de base 5: 1
5x' -
5x + 6
=50
~
x2 _ 5x + 6 = Ü
~
X
= 5 ± .Y25- 24 =
2
=
5°
<
2
3
Soluciones: x 1 = 2, x 2 = 3
e) Puesto que el segundo miembro no se puede poner como potencia
entera ele base 3, hemos de tomar logaritmos y recuiTir a la calculadora:
(1 - x 2 ) log 3 = log 2 ~ 1 - x 2 = (log 2/log 3) ""0,6309298 ~
~ x 2 = 1- (log 2/ log 3)"" 1 - 0,6309298"" 0,3690702 ~ x "" ±0,6075
Soluciones: x 1 "" - 0,6075, x 2 "" 0,6075
el) 2x + 2x
+ 1 =
12. T-racemos el sigu iente cambio de variable:
2x = y. Por tanto, 2x
~
y+ 2y = 12
Solución: x
~·
78
----
~
=
2
+ 1
3y = 12
= 2x · 2 = 2y.
--7
y= 4 --7 2-'" = 4
~
X
=2
UNIDAD ~~
Ecuacione s lo gatitmicas son aquellas en las que la incógnita está
en una expresión afectada por un logaritmo.
Por ejemplo:
a) log x + lag 50= 3,
b) 5log 2(x + 3) = lug 2 32,
e) 2log x = lug(lO - 3x)
Se resuelven teniendo e n cuenta las propiedades ele los logaritmos. Es
conveniente comprobar las soluciones sobre la ecuación inicial, teniendo en cuenta que solo existe el logaritmo de nl"uneros positivos.
EJERCICIOS RESUELTOS
a) Tendremos en cuenta que:
1• Resolver:
ct) lag x + log
50 = 3
b) 5 log2 (x + 3)
e) 2/og x
=
=
log2 32
log (JO- 3x)
lug significa log 10
log A + log B = log
}
CA · B)
log(50 x) = log 1000 ---7 50x = 1 000 ---7
1 000
---7 x = - - = 20 ---7 Solución: x = 20
3 = log 1 000
50
b) Tend remos en cuenta que: ct log2 b
log 2 (x + 3)5 = log2 25
---7 X+
=
3=2
log2 bu
---7 X= -1 ---7
Solución:
X=
-1
e) Utilizando las propiedades de los loga1itmos:
log x 2 = log(lO- 3x)
---7
Posibles soluciones: x 1
=
x 2 = 10- 3x
2, x 2
---7
x 2 + 3x-10 = O
-5
=
La solución x 2 = - 5 no es válida porque en la ecuación original aparece log x y no se puede hallar el logaritmo de un número negativo.
Por tanto, la solución única es x 1
=
2.
(Si la ecuación inicial fuera log x 2
solucio nes).
=
log(lO- 3x), serían válidas las dos
EJERCICIOS PROPUESTOS
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 23x = 0,53x +
b) 34 -x'
=
2
_1_
9
4x - l
e ) --
2 x+ 2
el) T' +
2 =
= 186
5 764 801
8. Resuelve:
a) 3.x· + 3x + 2
b)
5x+ 1
=
30
+ 5x + 5x-1
J.L
=
5
e) 2/og x - log(x + 6)
=
3/og 2
3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES
Recuerda que:
• Una solución de una ecuación con varias incógnitas es un conjunto
ele valores (uno para cada incógnita) que hacen cierta la igualdad. Por
ejemplo, una solución de la ecuacJOn x 2 + y - z = 12
es
x = 2, y= 3, z = -5 porque 22 + 3- (- 5) es igual a 12.
• Las ecuaciones con más de una incógnita suelen tener infinitas soluciones.
• Un sistema de ecuaciones es un conjtmto ele ecuaciones ele las que
pretendemos encontrar su solución comCm (o sus soluciones comunes).
Por ejemplo, la solució n del siguiente sistema de ecuaciones:
x+y = 7
}
5x- 2y = - 7
es x = 1, y = 6 porque es
solución de ambas ecuaciones.
• Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios procedin'ticntos que repasaremos en los ejemplos que aparecen a continuación.
Dominando estos procedin'tientos y las técnicas para resolver ecuaciones (que hemos repasado en páginas anteriores) se puede afrontar con
solvencia una amplísima gama de siste mas de ecuaciones.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver los siguientes sistemas
a) Resolvámoslo por el método de sustitución.
de ecuaciones:
Despejamos y en la
2x - y=9
] il
ecuación: y= 2x - 9.
Sustitu imos en la 2ª:
a) {
...Jx+y+y=x
...Jx + 2x - 9 + 2x - 9
2 /og x - log y= 5
b) {
log (xy)
=
=
x
...J3x - 9
---?
9- x
=
Ele vamos al cuadrado ambos n'tiembros:
4
3x - 9 = (9 - x) 2
---?
---?
3x- 9
=
81 + x 2 - 18x
x 'l
=
6, x 2 = 15
x 2 - 21x + 90 = O
.
SoluciOnes:
{x
1 =
6, y 1
=
---?
---?
3
~
Comprobadas sobre las ecuaciones del sistema inicial, vemos q ue la
prime ra solución es válida, pero la segunda no.
b)
2 lag x - !og y
{ log(xy) = 4
=
5
2 log x - log y
log (A · 13) - /og A + log B
log x + log y
=
5}
4
=
Aplicamos el método de reducción.
Sumamos, miembro a miembro, las dos ecuaciones:
3 Jog X = 9 ---? log X = 3
}
log y = 4 - log x = 4 - 3 = 1
Solución: x
_
_ __
=
---?
lag X
=
fog y
=
3
1
---?
---?
X = 1QJ = 1 ÜÜÜ
y = 101 = 1 O
1 000, y= 10
_ ! . , ... .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ................... . . .. ....... .. ... .. ............................. .. .... .. ........... . ....... .. . . . ........ . ......................... ..
j
UNIDAD ~
- - - _ , . ................................................................................. ....................................... .... ..
2.
Resolver este sistema:
1
e =-1 2
4,8
{ e = 20(t- 18)
Este sistema describe los movimientos ele dos móviles, uno con aceleración un iforme y otro con velocidad constante. La solución buscada es el lugar y el
momento de encuentro ele ambos móviles (e en metros y t en segundos).
1 7
e= - t 4,8
{
e = 20(1 - 18)
Lo resolvemos p o r el método de igualación:
1 2=
48t
20 (t- 18) ~ t 2
=
4,8. 20 (t-18) ~ t 2 - 96t+ 1 728
= o
<
t 1 = 24
,
= 24
~
t2 = 72
~
¡
3.
Resolver el siguiente sistema:
t2 =
1
e = 120 } Los dos móviles coinciden en dos momentos:
1
a los 24 s están ambos a 120 m ele la salida,
e2 = 1 080
y a los 72 s, a 1080 m de la sal ida.
1
X
- -x
x+2
Sustituimos el valor ele y de la 1a ecuación en la 2ª: -
y = X+ 2
1
X
X
y
{ - - -
=
O
Multiplicamos por x (x + 2):
=0
(X+ 2)- X· X = 0 ~ x 2
X l
Xz
4.
72
Resolver este sistema:
log (x + y) - log Gx- y)= log 5
{ 2x = 4 · 2Y
= - 1 ~ y1 = 1 }
2 ~ Yz = 4
X- 2
-
=
0 ~
X¡=
-1, x 2
=
2
Comprobando en el siste ma inicial, vemos que
ambas soluciones son válidas.
=
Transformaremos la ecuación intentando que desaparezcan los logaritmos y las potencias.
x+y
x - y
1a ecuación: log
~ 4x
2ll ecuación: 2x
=
=
log 5
= 6y
~
~ 2x
2 2 · 2Y ~ 2 x
=
x + y
x-y
=
5
~
x +y= Sx- Sy
~
= 3y
2 2 + Y ~ X= 2 +y
Sustituimos la 2ª en la 1ª:
El sistema queda así: { 2x = 3y }
x = 2+y
2(2 +y)
=
Solución: x
3y
~ y =
=
6, y = 4
EJERCICIOS PROPUESTOS
1• Resuelve estos sistemas ele ecuaciones:
2x- y- 1 =O
a) { 2
X - 7=y+2
1
1
x +y
b)
{
xy
=
=
1
1 - xy
6
X = 2y + 1
e) { ..Jx + y - ..Jx- y= 2
2. Resuelve:
a)
x 2 + xy + y 2
X -
b)
=
21
{ x+y =1
{
y= 27
log x - 1
=
log y
) { log (x 2 +y)- log (x - 2y)
e
+ 1 = 25 Y + 1
sx
=
1
4
~ x =
6
NO
3.5 MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS LINEALES
Para los sistemas lineales de más de dos ecuaciones y dos incógnitas
existe una interesante generalización del método de reducción . Veámoslo para sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
istemas e calonados
SISTEMAS LINEALES
Observa los siguientes sistemas de ecuaciones:
Las ecuaciones polinómicas de primer
grado se llaman lineales. En ellas, las
incógnitas no están elevadas a ningún
exponente, ni multiplicadas entre sí, ni
bajo radicales, ni en el denominador.
a)
Un sistema formado por ecuaciones
lineales (todas ellas) se denomina sistema
¡
3x- 5y- 10z = - 15
2y + 5z = 4
3z = -6
b)
¡
y - 2z = -4
4y
= 24
2y + Z = -5
X-
a) La resolución del primero de ellos se realiza de forma muy sencilla:
lineal.
3~
ec.:
z=-j_ =-2
3
2~
ec.:
2y + 5. (-2) = 4
1~
ec.:
3x- 5 · 7- 10(-2) = -15
~
~
2y = 14
~
1
y= 24 = 7
3x = O
~
x =O
El proceso para llegar a la solución x = O, y= 7, z = -2 ha sido muy
sencillo por la .forma escalonada del sistema: cada ecuación tiene
una incógnita menos que la anterior.
b) Aunque su fisonomía sea menos clara, este otro sistema también es
escalonado:
6
2~
ec.:
y = 24
4
1~
ec.:
6-2z =-4
3~
ec.:
X-
=
2·6
+
~
5 = -5
- 2z = -4-6 =-10
~
X
= -5
+
~
z=5
12 - 5 = 2
Solución: x= 2, y= 6, z= 5
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se llama escalonado si en una de las ecuaciones solo aparece una incógnita y en
otra de las ecuaciones falta alguna de las otras dos incógnitas.
Es claro que los sistemas escalonados son muy fáciles de resolver.
EJERCICIOS PROPUESTOS
¡
¡
¡
x
a)
e)
=7
8
b)
3x + 4y
=O
2y
= -6
5x + y - z = 17
2x - 3y
=
3x + y - z
=
12
3x
=
=
-3
20
y
5y
2x + y - z
=
-2
y-z=7
a)
=
11
¡
¡
3x
=4
- z
¡
2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
1. Reconoce como escalonados y resuelve:
e)
y
=
-5
2z = 8
= 3
x - 5y + 3z = 8
3y- z = 5
4z = 4
b)
d)
X + 2y 3x + y
5y
¡
Z =
=
=
-3
-5
- 10
4x+ y-z = 7
2y
= 8
3x
=
9
UNIDAD~
Método de Gauss
Acabamos de ver que los sistemas escalonados son muy sencillos de resolver. El método de Gauss consiste en transformar u n sistema de ecuaciones lineales cualquiera en un sistema escalonado. Veámoslo con
unos ejemplos:
l.
ACLARACIONES 1
• Para suprimir la x de las ecuaciones
segunda y tercera.
•• Para suprimir la y de la segunda
ecuación.
{
x- 3y + 4z = 21
•
3x + y- z = -18 ~
2x - y+ 3z = 12
--------·
(3!) : 5
11.
ACLARACIONES 11
=
¡
-4, y = 1, z
2y + Z = 3
- z=9
3x + y- 2z= 13
X -
•• Es más fácil eliminar la z que la x
debido a que en la segunda ecuación
el coeficiente de la z es -1 .
(3 !)
•
Solución: x
=
¡
2, y
(3')
=
• • Para hacer más pequeños los
coeficientes de la segunda ecuación.
••
~
•••
~
- 3, z
=
(3•)
(!! ) +
~
~
~
23x - 10y
= 23
26x - 13y
= 26 ~
{ 6x- 4y + z = 8
3 . (3•)
(2•) + 4 . (3•)
(3•)
=
23
~
3
(1!)
~
(2!)
~
(3!)
~
=
=
-4
x = 2
z= -5
y= -3
~
2x - y
= 2
{
6x- 4y + z= 8
1, y= O, z
7
-5
3x
( 2!)
=
- z =9
(1~)
¡
(1!) - 10 . (2')
Solución: x
- 3z = 29
2x
(2!)
(3!)
= 2
6x- 4y + z= 8
••• Para suprimir la y de la primera
ecuación.
X=
=
3x +y- 2z= 13
23x - 10y
2x- y
(2!): 13
(3!)
~
X
2y - 3z = -1 •
2x + 3y - 4z = -6 ~
6x- 4y + z= 8
• Para suprimir la z de las ecuaciones
primera y segunda.
y= 1
2x
m. 5x +
ACLARACIONES 111
z
~
7x
¡
(2!)
~
(3!)
(1!)
¡
(2')
= 2
- z=9
3x +y - 2z = 13
(!!)- 3 . (2•)
••
~
~
(2!)
~
7
=
(P ) + 2 · (3' )
•
2x
• Puesto que la segunda ecuación no
tiene y, la suprimimos también de la
primera.
(3 ! ) - 2 . (!•)
¡
(2!) - 2 . (3! )
Solución: x
(2' ) - 3 . (! ! )
x - 3y + 4z = 21
- 3z = -21
y- z = -6
(1!)
••
~
x - 3y + 4z = 21
10y- 13z = -81
{
5y - 5z = -30
(1')
x =1
y=O
z=2
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
3. Resuelve por el método de Gauss:
a)
¡
x +y + z = 2
X - y+ Z = 6
x-y - z=O
b)
{ 2x + 3y
= 14
X - 2y + Z = -3
2x - y - z=9
4. Resuelve:
a)
¡
5x - 4y + 3z = 9
2x + y - 2z = 1
4x + 3y + 4z = 1
b)
¡
2x - Sy + 4z = -1
4x- 5y + 4z = 3
Sx
- 3z = 13
Sistemas incompatibles (sin solución)
Si un sistema de ecuacio nes es incompatible (no tiene solución), ¿cómo
evoluciona al intentar resolverlo por d método de Gauss? ¿Cómo reconoceremos, finalmente, que es incompatible? Veá moslo:
IV.¡3x + 2y - 2z 4 .
ACLARACIONES IV
W)- 2 ·
=
4x + y - z = 7 --7
x + 4y- 4z =O
• Para suprimir la y de las ecuaciones
primera y tercera.
Nos encontramos con un regalo
inesperado: también desaparece la z.
(1~)
--7
l
(2~)
(2~)
CY)- 4 · (2>)
l
(j•) - 3. ( 1•)
NOMENCLATURA
- 10
=
- 15x
X
= 2
4x+y - z = 7
Ox
= 2
: (- 5)
(2')
5x
-4x + y - z=7
--7
-28
=
La tercera ecuación es un
absurdo, imposible para
cualquier valor de x.
Llegamos a un absurdo. Por tanto, el sistema no tiene solución. Es
incompatible.
Sería más correcto decir que /as
ecuaciones que forman el sistema son
incompatibles.
Sin embargo, se abrevia diciendo que
el sistema es incompatible.
Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo
Ox + Oy + Oz = k (k* 0), entonces el sistema es incompatible .
•
in d s (
in m· as
lu · n s'
Hay sistemas en los que sobra una ecuación, pues no dice nada que no
se pueda deducir de las otras. Vamos a aprender a reconocerlos:
V . { 3x + 2y - 2z = 4
(1•) - 2 .
4x+ y- z=7 --7
X + 4y - 4z = - 2
(2' )
{
(3') - 3 · W)
{
X
4x +y -
z
=
=
2
7
=
4x +y Ox
8 +y -
--7
z
=
=7
=
-10
7
=
- 30
=
--7
La tercera ecuación no d ice
nada. La suprimimos y nos
quedamos con las otras dos:
2
7
=O
Z
5x
- 4~ + y - z
-15x
(3•) - 4 . (2')
X
(1') : (-5)
--7
l
(2~)
(2•)
Ji = Z
--7
-
1
--7
{J~
:!_
l
Para cada valor de z hay una solución.
Por ejemplo, para z
=
5
--7
1
x = 2, y = 4, z = 5
Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo
Ox + Oy + Oz = O, se s uprime. Si quedan menos ecuaciones que incóg-
nitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Se llama indeterminado.
EJERCICIOS PROPUESTOS
l
5. Intenta resolver por el método de Gauss:
a)
{
+ Ji +
2y 2x- y
X
Z =
X -
Z
-2
=3
=O
b)
X
+ y +
X -
2y -
2x- y
Z =
Z
-2
=3
=1
e)
l
x
+ z= 3
2x - y + 4z = 8
x+y - z=2
d)
l
x
+ z= 3
2x - y + 4z = 8
x+y- z= l
UNIDAD~
3.6 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación es una desigual dad entre expresio nes algebraicas.
Observa tres inecuaciones y un sistema de inecuacio nes:
b) x 2
a) 2x + 1 < 7
5x + 4 ~ O
-
e) ~ ~ 5
d)
3x-9<0
{ 2x + 1¡ ~O
Como ves, se trata de desigualdades en las q ue se usan los signos <,
> o
~.
~.
Solución de una inecuación es un valor de x con el cual se cumple
la desigualdad .
Por ejemplo: 22, 50, 1 000 son algunas soluciones ele la inecuación e).
Solución de un sistem a de inecuaciones es una solución común a
rodas las inecuaciones q ue lo forman . Por ejemp lo, x = O es solución
del sistema d), porque es solución de las dos inecuaciones.
Resolver una inecuación o un sistema de inecuaciones consiste en
encontrar todas sus soluciones. Habitualmente tienen infinitas, q ue se
agrupan en inte1valos de IR .
Ir-
a i n
li
ur
.r
Para resolver una inecuación lineal con una incógnita, se procede de
forma similar a como se hace con las ecuacio nes, pero teniendo en
cuenta las desigualdades. Sus soluciones son todos los puntos ele un
intetvalo infinito.
Las soluciones de un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita pueden formar un intetvalo, finito o infinito, o pueden no existir.
EJERCICIOS RESUELTOS
- 2x + 1 < 7
1. Resolver -2x + 1 < 7.
y =7
Restamos 1 en cada miembro: -2x < 6
7)\ •
1\
\
(-3,
Dividimos e ntre -2 (cambia la desigualdad): x > - 3
Soluciones: (x 1 x > - 3}
y= - 2x+
=
(-3, +oo)
Gráficamente se interpreta así: para valores de x mayores que -3, la
recta y= - 2x + 1 va por debajo de y= 7; es decir, -2x + 1 < 7.
\
2. Resolver:
3x-9<0
{ 2x+4~0
3x-9<0
{ 2x+ 4~ O
~ { 3x < 9
2x
~
{x< -32
~
-4
x
X
~
Las soluciones del sistema son las comunes
a las dos inecuaciones:
(X / X< 3
y
X~
-2}
= (X /
-2
X~
~X<
3}
=
X
l-2, 3)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resuelve estas inecuaciones:
a)
b)
3x- 2 ~ 10
X-
2>1
5~ 6
d) 3x + 1 ~ 15
e) 2x +
2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:
a)
{ 3x X -
2
~
2 >1
10
b) { 2x + 5
3x + 1
~6
~
15
En tu CD se te explica cómo trabajar:
con DERIVE (1) y
con CALCUlADORA GRÁFICA (2)
algunos aspectos de esta unidad.
Inecuaciones cuadráticas con una incógnita
Las soluciones de las inecuaciones ax 2 + bx + e < O (o bien ::::; O) y
ax 2 + bx + e > O (o bien ;::: O) dependen de la posición de la parábola
y= ax 2 + hx + e respecto al eje X y de que el signo sea <, ::::;, > o ;:::,
EJERCICIOS RESUELTOS
1• Resolver las inecuaciones:
a) x 2 - 5x + 4 ::::; O
b) x 2 - 5x + 4 <
5x + 4 ;::: O
d) x 2
5x + 4 > O
=
x2 - Sx + 4 corta al eje
X
En el intetvalo [1, 4] toma valores negativos
o nulos. Por tanto:
O
e) x 2 -
La parábola y
en 1 y en 4.
• Las soluciones de la inecuación a) son los
p u ntos del intervalo [1, 4].
• Las soluciones de b) son los p untos del inteJvalo (1 , 4).
Las soluciones de e) y d) son los valores de x para los cuales la parábola está encima del eje X. Por tanto:
• Soluciones de e): (-oo, 1] U [4, +oo).
• Soluciones de d): (-oo, 1) U (4, +oo).
La parábola queda toda ella por encima del
eje X.
2. Resolver las inecuaciones:
a) x
2-
5x + 7::::; O
b)x2 -5x+ 7;:::0
l
V
Po r tanto, la inecuación a) no tiene solución,
y cualquier número real es solución de la inecuación b).
1
Soluciones de la primera inecuación: [1, 4]
3. Resolver el sistema:
x 2 -5x + 4::::; O
{ 3x-9<0
Soluciones de la segunda inecuación: (-oo, 3)
o
1
2
3
4
Soluciones comunes: [1, 3)
EJERCICIOS PROPUESTOS
3. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x 2 - 3x- 4 < O
e) x 2
+ 7 <O
4 . Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
b) x 2 - 3x- 4 ;::: O
d)
x2
-1::::; O
a)
x 2 - 3x- 4;::: O
{ 2x-7>5
b){xx-4>1
2
-4::;o
LENGUAJE MATEMÁTICO
LAS IGUALDADES EN ÁLGEBRA
• Identidades. Cuando ponemos (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9 estamos diciendo que "la expresión algebraica (x + 3) 2 coincide con el polinomio x 2 + 6x + 9". Es decir, se trata de
una identidad: "operando" en el primer miembro se obtiene el segundo miembro.
Una buena parte de la actividad en álgebra consiste en conseguir identidades. Las operaciones con polinomios y con fracciones algebraicas, simplificaciones, descomposición factorial, .. . sirven para pasar de una expresión algebraica a otra, idéntica pero
más conveniente para lo que pretendemos.
• Ecuaciones. La igualdad x3 + x 2 = 12x no es cierta si la leemos como identidad entre
los dos miembros. Se trata de una ecuación en la que lo que se dice es: "deseamos
encontrar un valor de x para el cual el polinomio x3 + x 2 tome el mismo valor que el
polinomio 12x". O dicho de otra f01ma: "¿Para qué valor de x se cumple que x3 + x 2
es igual a 12x?". La solución "x = 3, x = -4, x = O" es la respuesta a dicha pregunta.
• Equivalencias. Al resolver una ecuación damos "pasos". Por ejemplo x3 + x 2 = 12x
~ x3 + x 2 - 12x = O. Cada paso conlleva una equivalencia: "la ecuación x3 + x 2 = 12x
es equivalente a la ecuación x3 + x 2 - 12x = 0". O dicho de otro modo: "la ecuación
x3 + x 2 = 12x tiene las mismas soluciones que x3 + x 2 - 12x = 0".
Ejemplo. Resolvamos una ecuación analizando qué se hace en cada paso:
x(x- 2) 2
=
16x- 5x 2 ...... .... .. Es una ecuación. Por tanto, hemos de averiguar los
valores de x que hagan cie1ta la igualdad.
x(x 2 - 4x + 4)
x3 - 4x 2 + 4x
x3 + x 2
-
16x - 5x 2.. . (x - 2) 2 es idéntica a x 2 - 4x + 4. La sustitución hace
que la nueva ecuación sea equivalente a la anterior.
=
=
16x - 5x 2 .... x(x 2 - 4x + 4) es idéntico a x3 - 4x 2 + 4x. Al sustituir
lo uno por lo otro se obtiene una ecuación equivalente.
12x = 0 ................... Al trasponer términos se obtiene una ecuación equivalente.
x(x 2 + x- 12)
O ................. x3 + x 2 - 12x es idéntica a x(x 2 + x- 12).
=
x =O o x 2 + x- 12 = 0 .. .... . Las soluciones de la ecuación anterior son x = O junto
con las soluciones de la ecuación x 2 + x- 12 = O.
x = O o x = 3 o x = - 4 .... . Estas son las soluciones de la última ecuación. Por tanto,
son las soluciones de la primera: la que se nos propuso.
EJERCICIOS
1 De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identi-
2 . Resuelve, paso a paso, la ecuación
dades?
a) (x- 3)(x- 2)x
=
x3- 5x 2 + 6x
b) (x - 3)(x- 2)x
=
x3
d) x3 - 3x- 5
x-2
=
x2 + 2x + 1 - _ 3_
x-2
Comprueba, en ellas, que la igualdad es cietta
para cualesquiera valores de las variables (haz
la comprobación para varios números).
(x 2 - 6x + 9)x 2
=
x 4 - 6x3 + 36
y explica en cada paso por qué la ecuación que
se obtiene es equivalente a la que había.
Cuando el paso consista en obtener una expresión idéntica a otra, señala cuál es la expresión
transformada, cuál es la obtenida y qué operación permite pasar de la una a la otra.
[1
Resolución de ecuaciones por factorización
R esuelve la ecuación:
Buscamos una raíz entera entre los d ivisores de -l.
6x3 + 7x 2 - 1 = O
6
6
7
o
-1
-6
-1
1
1
-1
Por tanto, - 1 es una raíz. Así:
6x3 + 7x 2 - 1
=
(x + 1)(6x2 + x - 1) = O
Al resolver 6x2 + x- 1
1
O, obtenemos las soluciones -
=
3
1
y
2
Luego las soluciones de nuestra ecuación son:
1
1
X = - 1, X=- y X=- 3
2
2 Fracciones algebraicas
Simplifica las fracciones:
a) Descomponemos en facto res el numerador y el denominador ele la
fracción :
P(x) = x3- Ll-1: 2 + 4x = x(x 2 - 4x + 4) = x(x - 2) 2 } A= x(x- 2) 2
x +2
x3 - 3x + 2
b)B = - - - - -
x 2 (x - 2)
Q(x) = x3 - 2x 2 = x 2 (x - 2)
Dividimos numerador y denominador por el máx.c.d. [P(x) , Q(x)]:
máx.c.d. IP(x), Q(x)J
x(x - 2)
=
~
1
A
=
x:
b) Factorizamos el denominador: x3 - 3x + 2
x+2
(x - 1) 2 (x + 2)
B=
(*)
1
(x - 1) 2
(*) lie mos dividido nume rador
~
lB
=
=
2
1
(x - 1) 2 (x + 2)
1
(x - 1)2
1
y de nom inador e ntre x + 2, que es el máximo co-
mün divisor.
3 Ecuaciones con valor absoluto
Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) lx 2 - 3xl
b) l2x - 31=
=
4
1x + 41
a) Si
1x
2
-
3x 1 = 4 puede ser: I) x 2
I) x 2
-
3x = 4 ~ x 2
II)x 2
-
3x = -4 ~ x 2
-
3x = 4
U) x 2 - 3x
=
-4
3x - 4 = O ~ Soluciones: 1x = 4; x = - 1 1
-
3x + 4 =O~ No tiene solución.
b) Los valores de 2x - 3 y x + 4 pueden ser iguales u opuestos.
I) 2x-3= x +4
~ lx=71
II)2x-3=-(x+4) ~ 2x - 3 =-x - 4 ~ 3x= - 1 ~ lx=-1131
4 Ecuaciones logarítmicas
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Aplicamos la definición de logaritmo:
Sx- 3 = 10415
4
a) log (5x -3) = 5
b)
21
Con la calculadora,
10-115 "" 6,3 ~ 5x- 3"" 6,3 ~ 1x"" 1,861
log (2x + 3) = log x
e) 111 (x -1) +In (x + 6) =
b)
21
log (2x + 3) = log x ~ log (2.,-x- + 3) = 2 log x ~
~ log (2.,-x- +
= ln (3x + 2)
3)
=
log x 2 ~ 2.,-x- + 3
~ x - 2x- 3 = O
2
<
x
1
x
e) Tenemos en cuenta que
Es la solución de la ecuación.
~ x 2 - 2x - 3 = O
-1
No vale; no existe log (- 1).
=
=
3
x2 ~
=
1
ln A + In B
=
In (A · B):
In [(x - 1) (x + 6)]
=
in (3x + 2) ~
~ (x- 1) (x +
=
3x + 2 ~ x 2 + 5x - 6 = 3x + 2 ~
~
x2
6)
lx =21
+ 2x- 8 =O
<
Solución.
x = -4
No vale.
S Ecuaciones exponenciales
Resuelve las tres ecuacio11es
siguientes:
23x- 1 = (2 2
a)23x- J = 4·'"+3
b) e·'·+l = 40
e) 3 .\" + _ 1_
3x+ 1
a) En ambos miembros las bases son potencias ele base 2, ya que 4 = 2 2 .
= 28
9
y +3
~ 2 }\·- 1
=
2 2.n 6 ~ 3x - 1 = 2x + 6 ~
1 X =
7
1
b) No podemos expresar 40 como una potencia de base e, que es la base
del primer miembro.
Tomamos logaritmos neperianos:
In e·'·+ 2
=
ln 40 ~ (x + 2) ln e = in 40 ~ x + 2
~ x
=
In 40- 2.
3x · 3
~
9y
2
-
=
1ª-- ~ y + - 19
28y + 3
3y
=
o
ln 40 ~
Con la calculadora: 1x"" 1,691
e) Hacemos el cambio de variable
3-" + 1 = 3.);". 3.
3-'" + - 1-
=
<
3""
=
teniendo en cuenta que
y,
1ª-- ~ 9y 2 + 3 = 28y ~
=
9
y =3
~ 3~·
=
3 ~
1X ¡ =
11
1
y =9
~
Comprobamos en la ecuación original y vemos que ambas soluciones
son válidas.
•
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
6 Sistemas de ecuaciones
Resuelve el siguiente sistema
de ecuaciones:
X + y= 10
{
3x = .!_ . 3Y
Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
y= 10 -x
{ 3x
~
=
9
Expresamos
.
1
9
310- x
como potencia de 3,
1
9
=
3- 2 , y operamos :
3x = 3-2. 310-x ~ Y'= 38 - x ~ X= 8 - X ~ 2x = 8 ~
1
X= 4
1
Sustituyendo ahora en la expresión de y:
y= 10 - X= 10- 4
17
=
6 ~
1
y= 6
1
Método de Gauss
Resuelve por el método de
Gauss:
¡
5x + 2y + 3z = 4
2x + 2y + z = 3
x - 2y+2z= - 3
Comenzamos eliminando la y de las ecuaciones primera y segunda .
Para ello ponemos la tercera ecuación en primer lugar y se la sumamos
a las otras dos:
x- 2y + 2z = -3
5x + 2y + 3z = 4
{ 2x + 2y + z
x - 2y + 2z
6x
+ 5z
=
=
z
=
Solución: x
=
6x
{ 3x
Cl')
C3•) + CV)
3
=
x - 2y + 2z = - 3
+ 5z = 1
Cl')
(2' ) +
(3~)
~
z= -1
1
-1
(2~)
~
6x= 1+ 5
(1 ~)
~
1- 2y - 2
=
(2')
+ 3z = O
-3 }
1, y= 1, z
(1')
2 · C3') - (2')
~
=
x =1
~
y= 1
-3
-1
8 Inecuaciones
Resuelve:
a)x + 1- 3(x -1) < 1- x
b)x 2 -x -6 C.O
a) Despejamos x sabiendo que al multiplicar o dividir una inecuación
por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
X + 1- 3X + 3 < 1- X ~ -X< -3 ~
1
X> 3,
(3, +oo)
1
b) Para saber cuándo es positivo o negativo el valor de un p olinomio, lo
decomponemos y estudiamos el signo de los distintos factores.
Buscamos las raíces resolviendo x 2 - x - 6
=
0: x 2 - x - 6
=
(x - 3) (x + 2)
Estudiamos el signo de los factores (x - 3) y (x + 2) en los intetvalos:
-2
X
x - 3
x+2
(x - 3) (x + 2)
<-2
- 2 <X< 3
-
-
-
+
- . - =
+
- .+
=-
+oo
3
x>3
+
+
+.+= +
Soluciones:
1
X$;
-2
O X
C. 3
t
IC-oo, - 2] U (3, +oo)l
9 Tres sistemas muy parecidos para resolver por el método de Gauss
2x +y - z = -1
a)
x - y+z-4
{
4x -y
= 2
a) Eliminamos la z de la segunda ecuación:
(1!)
2x+y -z =-1
(2~)
~
( 2!) + (1!)
3x
=
3
(3~)
~
X= 1
4 -y
=
2
4x-y
=
2
(1~)
~
2+ 2-
z
{
(3!)
2x + y - z = - 1
b)
x - y +z =4
{
4x - y+ z- 2
-1
y
=
~
2
z
=
5
Solución:
X= 1, y = 2,
2x +y - z- - 1
e)
x-y + z = 4
{
4x - y + z = 7
~
=
Z =
z de las ecuaciones segunda
b) Eliminamos la
2x + y- z
(1!)
3x
{
6x
(2!) + (J!)
(3' ) + ( 1!)
~
5
=
-1
=
3
=
1
(1!)
2x +y- z
=
-1
( 2!)
3x
=
Ox
=
3
-5
{
(3') - 2 . (2!)
y tercera:
La tercera ecuació n es un absurdo. Por tanto, el sistema es incompatible. No tiene solució n.
e) Eliminamos la z de las ecuaciones segunda y tercera:
2x +y-
( 1!)
(3!) + ( !!)
~
z
3x
{
6x
(2! ) + (1 ! )
=
-1
=
3
=
6
(l!)
2x +y- z
=
-1
(2!)
3x
=
3
Ox
=O
{
( 3') - 2 . (2!)
La última ecuación no dice nada y, por tanto, la podemos suprimir.
El sistema queda así:
2x +y - z
{ 3x
=
-1
=
3
~ {x
=
1
2 +y- z
=
-1
z
Para cada valor que le demos a la
ejemplo:
0
~
X = 1, y= -3,
z=5
~
x=1, y =2 , z=5
Z =
Z =
-2
~
X= 1, y = - 5,
0
Z =
Z
~
= -2
y
=
z- 3
habrá una solución. Por
•
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
X
X -e )X
- · - - -----=- "-'
·
x - 2
x - 1
x 2 - 3x + 2
Factori:zación
d)
Descompón en factores estos polinomios y di
cuáles son sus raíces:
a) x3 -
2x 2 - x
+2
b)x 4 - 5x 2 +4
3x 2 -
e) 2x3 -
(~
~)
-
x
x+2
(1 + x+2
_ X
)
e) (] _ X+ 1 . X + 3 ) . _ 1_
x+2
x+2 · x+2
6 Demuestra las siguientes identidades:
9x + 10
el) x5 - 7x4 + 10x5 -
(1 +1
2x-+ 2
a) <
x 2 + 7x - 10
1-
X
X
2
a -1
a2 - 3a + 2
f) x 5 - 16x
)(1- - 1) - -1
X
-
X
a + 2a + 1
a 2 - a- 2
=
2
b) -~----"--
e) 6x4 - 5x3 - 23x 2 + 20x - 4
1
e) ( x- 2 _ x - 3 ) : ( _ 1_ _ _ 1_) = 2x _ 5
x - 3
x-2
x-3
x-2
g) 4x 2 - 25
h) 4x 2 +
:
!L'\:
+1
Ecuaciones de primer
2
Halla, en cada uno ele los siguientes casos, el
máx.c.d . [A(x), B(x)] y el mín.c.m. [A(x), B(x)]:
a) A(x) = x
b) A(x)
=
2
+ x- 12; B(x)
x5 + x
2 -
=
x3- 9x
x - 1; B (x)
e) A(x) = x 6 - x 2 ; B(x)
=
x3 - x
x3 - x 2 + x - 1
=
y segundo grado
7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos
que no tienen solución, dos q ue tienen infinitas
soluciones y dos que tienen solución única. Identifica cada caso y resuelve las que sean posible:
a) x + 1 = x _ 2x + 3
2
3 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando
previamente:
b)x+
a) x3 - 7x -
6= O
b) 2x3 - 3x 2
-
9x + 10 =
e) x 4 - 5x3 + 5x 2 + 5x el) 3x3 -
10x 2
2
3.x
=
(.x + 1) 2
1+ x
16
2
=
(x - 1) 2
16
2+x
d) 0,2x + 0,6- 0,25(x - 1) 2 = 1,25x - (O,Sx + 2)2
e) (5x - 3) 2
-
5x(1x - 5)
=
4
Sx(x- 1)
f) 2x + 1 _ (x + 1) (x - 2) = x - 2 _ (x - 2) 2
7
=
O
Fracciones algebraicas
Sim plifica las fracciones:
3x3 - 2x 2 - 7x - 2
b) --"---------'--x-3 - 4.x
2
3a + 3 .. .-::.Ca:.:. _+_ 1=-<)_
12a- 12
a2 - 1
(.x- 2)2
x2 - 1
2
2
2
8 Resuelve las siguientes ecuaciones:
,,2
1
2
a) -""·- -_ + (.x- 2)
.x2 + 2
= ....::..:.._----'=-
3
2
b) 0,5 (.x -
1) 2 -
0,25(.x + 1) 2 = 4 -
e) (O,S.x - 1) (0,5.x + 1) = (.x +
el) ; (
S Opera y simplifica el resultado:
.x 2 + 2x- 3
b) ..:.:___.:::::.:._____:ó_
(.x - 2)3
-1
6=O
O
=
g) x 3 - x 2 + 4x - 4
a)
X
e)
e) xS - 16x =O
4
f3
o
+ 9x - 2 = O
f) x3 - 3x 2 + 2x
4
e
)
~
_
.x(.x - 3)
2
o o,3x 2 -
2r _X; 1
=
+ .x(.x + 2)
4
~
1) 2 _
X
9
X11
(3.x- 2) 2
+ 1
8
x - 1j = o
• Expresa los decimalesjJeriódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones enteras.
9 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fórmula general y
comprueba las soluciones:
,.. Recuerda: ax 2 + e = O se resuelve despejando x.
a.x 2 + bx = O se resuelve sacando factor común e
igualando a cero cada .factor.
a) (x + 1) 2
b)
x
2 -
(x- 2) 2
-
2x + 5
2
x
-
=
2
+ 3x
4
x
2
=
2 -
-
14 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez ele las soluciones:
x + 2
. c:.5.: . :x_+_6::__
+x=
3
x
2
a
) --
20
1x + 15
8
b)
x +2
- - 3-
d) (x - a) 2 + x(x + h) = 8h 2 - x(2a - b) + a 2
12 -
x +6 +
6
=
x2- 1
5x 2 + 3
2
3x + 1
e) - 3-
(x + 3) 2 + x 2
Ecuaciones con la x en el
denominador
11
O
b) x 4 + 3x 2 - 4
=
O
=
X
x -6
2
e)
3x+1
x3
x+ l
+ -x
f)
x + {2
{2
X
prueba las soluciones :
=
1
,.. Ten en cuenta que 2- x
Ecuaciones bicuadradas
a) xlt - 5x 2 + 4
=
e) _x_-_ 2 = _ __x_-2_ _ _
x - 1
(x - 1) (x - 2)
el) ~ _ 1_
1O Resuelve estas ecuaciones bicuadraclas y com-
X
x - 6
+
6
X
=
_ _x_-_ 1
2- x
-(x- 2).
+6
6-x
=
1 +
2x+3
-=-=----;c-"'--
x2
fix
=
e) x 4 + 3x 2 + 2 = O
Ecuaciones exponenciales
d) x 4
y logarítmicas
9x 2 + 8
-
=
O
15 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
Resuelve :
a) (x 2
-
2) 2
1
=
4
b) 3x - 1 + l_ (x4 _ 2 _ l_ x2)
4
2
2
=
x
2
- 5
V9"
_. E.:~;;presa
b) 2"' . 2x + 1
Ecuaciones con radicales
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba
las soluciones:
a)
.Ysx + 6
=
3 + 2x
b) x + .Y7 - 3x
e)
=
.Y2 - 5x + x...J3
·~ --¡-
_. Divide los dos miembros por 5.
16
=
=
o
-fiX =
_L
49
f)21/x= 16
33.~· - 2
g)
+ .Ysx - 6
b)A~ =
e) 5 · 7 -x = 35
e)
O
13 Resuelve:
&
=
3x+ 3
=
81
4
Sx-7
6
e) ...Jx - 2 + .Yx + 1 =
8
_. O, 5 es una potencia de base 2.
el) .Y2x + 3 + ~
a)
=
_. Multiplica el pn:mer miembro.
d) (0,5)X
1
=
como potencia de base 3.
4
3
h) (
52 )X
i) 2\'.
=
8
125
5"' = 0,1
_. Recuerda que 2 ·'· · 5·'· = (2 · 5)"'-
16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:
1
b ) ex- 9
a ) - = 27
ex
e) 2"' · 3x
=
=m
81
21
Resuelve:
y2
a)
- 2y + 1 = X
{ rx+y=5
b)
{2~ =y+
2x- 3y
17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un
cambio de variable:
a)
zx + 21-
X
=
b) 2 x+l + 2 x -l
=
í..
2
=
1I
d) 22x - 5 ·
16
=
2x-y= 5
y- X= 1
a) { 2x + 2Y
2
a) log (x + 1) -lag (x 2 - 1)
b) In (x - 3) + In (x + 1)
=
log
=
13
12
23 Resuelve:
In 3 + In (x - 1)
a) { log x + log y = 3
log x - log y = - 1
log2 x + 3log2 y = 5
1
=
b)
19 Resuelve las ecuaciones:
2 + log x
=
e)
b) log "./3x + 5 + log ~
=
1
e) 2 (lag x) 2 + 71og x - 9
=
O
x2
{ lag2 - y
{ lag x
3x
+
36)
e)
2
=
1 + log (x + 3)
=
f) In x + In 2x + In 4x
=
f)
3
=
=
3
2
6 + lag y 2
{x2 -y2
d)
= 11
log x - log y
X -
d) log (x 2 - 7x + 110)
=
log (x 2y)
.- Haz log x =y.
+
b) { 5x. 5Y = 1
5x: sY = 25
12
=
In x - In 4
=
d) log (x + 3)- log (x - 6)
e) log (x 2
12
22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
18 Resuelve las ecuaciones:
a) log (x + 9)
=
{"X+ y + 2 X+ 1
d)
zx + 4 =o
e) 9x - 3x- 6 = O
e) 2/n (x - 3)
e) { "./ 3 (x + y) + x
2x - y=6
3
e) 81 + x + 2 3x- 1
1
1
=
{
=
1
y = 25
lag y
=
log x - 1
in x - In y = 2
{ in x +In y= 4
Sistemas de ecuaciones
Método de Gauss
20 Resuelve:
X·
a)
{
x
y= 15
=
y
e) { x
x
2
1
b)
2_
3
{
1
5
- +- =X
y
6
24 Resuelve por el método de Gauss:
2x + 3y= 2
a)
2
+ y - 5x - 5y + 10 = O
y 2 - 5x + 5y + 2 = O
2-
X - y - Z = -10
x + 2y + z = 11
{
2x- y + z=8
X
=
7
{ X+ y+ Z = 3
2x - y + z = 2
x-y+z =1
25 Resuelve aplicando el método de Gauss:
.- Suma las dos ecuaciones.
(x + y) (x - y)
d)
{ 3x - 4y=O
b)
a)
x
{
X
+ y +Z
- z
- 2y + Z
=
18
=
6
= Ü
{
b)
X
+ y +
Z =
2
2x + 3y + 5z = 11
X -
5y + 6z = 29
26 Resuelve p or el método de Gauss:
a)
PARA RESOLVER
2.,~ - 3y + z
x+y - 2z=9
2x - y + 4z = 4
{
2x- y+ 6z = -1
b)
{
=
o
3x + 6y - 2z = O
4x+ y- z=O
32 Un inversor, que tiene 28000 € , coloca parte de
su capital en un banco al 8% y el resto en otro
banco al 6%. Si la primera parte le produce
anualmente 200 € más que la segunda, ¿cuánto
colocó en cada banco?
27 Resuelve aplicando el método de Gauss:
y
=1
{ X + 2y + Z = 3
+ 6y - 5z = -4 b) x - 2y + 5z = 5
x+ y- z=O
5x-2y+17z= 1
X -
2.,~
a)
{
e)
x+ y+3z=2
{ 2x - y - z=2
2x + 3y + 4z = 1 d)
3x - 2y - 2z = 2
{
- 2x- y-8z=-7
-5x+3y+5z= -1
x+y+ z=3
e) - x + 2y + z = 5
{
x + 4y + 3z = 1
- 2x + y+ z
O 3x + 2y - z
{
-X + 4y + Z
=
=
=
33 Dos grifos llenan un depósito de 1500 litros en
una hora y doce minutos. Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el
segundo. ¿Cuánto tardaría en Uenar el depósito
cada grifo por separado?
34 Un granjero espera obtener 36 € por la venta
ele huevos. En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo
beneficio, aumenta en 0,45 € el precio de la
docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?
1
O
2
,.. Iguala el cos/e de las docenas que se rompen a lo
que aumenta el coste de las que quedan.
,.. Encontrarás sislemas compatibles (delerminados
e indeterminados) y sistemas incompatibles.
35
Inecuaciones
28
Resuelve estas inecuaciones:
a) 5(2 + x) > -5x
x-1
b) - >X - 1
2
e) x 2 + Sx <O
d ) 9x 2
e) x 2 + 6x + 8 2: O
f) x 2
-
-
4 >O
Un tendero invierte 125 € en la compra de una
partida ele manzanas. Desecha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 €
cada ki lo sobre el precio de compra, por 147 €.
¿Cuántos kilogramos compró?
,.. Iguala el coste de las que se desechan más las gancmcias al aumen/o de coste de las que quedan.
2x - 15 :::; O
36 Varios amigos toman un refresco en una terra7.a y
29 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a){4x-3<1
x+6 >2
e)
5 - X< - 12
{ 16 - 2x < 3x- 3
b){3x-2> - 7
5-x<1
el)
2x-3 > 0
{ 5x+1<0
,. Resuelve cada inecuación y husca las soluciones
comunes. Uno de los sistemas no tiene solución.
30 Resuelve:
a) x 2
-
7x + 6 :::; O
e) (x + 1) x 2 (x - 3) > O
b) x 2 - 7x + 6 > O
el) x(x 2 + 3) < O
31 Resuelve estas inecuaciones:
2
a) - - > O
x- 3
x2
e) - - < O
x+4
b) 3x + 5 ;::: 0
x2+ 1
d)
X- 3 < 0
x+2
deben pagar 6 € por el total ele las consumiciones.
Como dos no tienen dinero, los demás les invitan,
debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada
uno. ¿Cuántos amigos son?
37 El cuadrilátero centra l es un rombo ele ltO m de
perúnetro. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo q ue la base es el triple de la altura.
IS SJ
38 El número de vrsJtantes a cie rta exposrcron
durante el mes de febrero se incrementó en un
12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en
marzo sufrió un descenso del 12% res pecto a
febrero. Si el nCrmero de visitantes de enero
superó en 36 personas al ele marzo, ¿cuántas personas vieron la exposición en enero?
r
~5
l
39 La superficie de un triá ngulo equilátero es de
44 Resuelve:
50 m 2 . Calcula el lado.
b)
lx 2 - 11
=
3
40 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos ele baldosas:
45 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a
dos en las que puedes despejar la incúgnita:
E
3x +25
- =O
5
9x 2
A
"',...,
b)
X
1
e)---= O
2
x2
el) _].___ - 5x3 = O
B
4 dm
5 dm
Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas
menos que si se e ligiera el tipo n. ¿Cuál es la superficie ele la habitació n?
41
a) -
x
-
8
_2_
81x·'
5x
e) x + 1 - ~ -
x2
X
. 1
x3 + x 2
+ 1
=
0
2
O
=
46 Resuelve:
En un número de dos cifras, las decenas son el
triple de las unidades. Si se invierLe el orden de
las cifras, se obtiene otro número 54 unidades
menor. Calcula el número inicial.
a)
{"X + y - "X - y -fiY
=
x+y=R
b) { "4y + 2x
42 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con c/nu-ros en la cafetería de la esquina?
=
"3y + x - 1
y + X= - 5
(x + 3) (y - 5)
e) {
(x - 2) (y - 1)
-No sé, nunca me be fijado.
- Pero bombre ... , lo acabamos de tomar mamá,
la abuela, mis dos hermanas, tú y yo. ¿Cuánto
has pagado?
=
O
=
O
47 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1x -
51
=
3x - 1
b)
1X + 21
=
b) lnx
=
1X
-
61
-A lgo más de 14 eums.
-El domingo pasado, además de nosotros seis,
invitaste a dos amigos míos. ¿Cuánto pagaste?
- Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.
¿Cuánto va le el chocolate con chu rros en la cafetería de la esq uina?
=
1
+2
d) - - +
X
5(x + 3)
=
g)
49 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones,
sabiendo que tienen una solución en el intervalo indicado:
= -
3
10
e-& + 3) = o
(;/x- X
+ 2)X
=
=
O en [0, 1]
ciones, 330 euros entre tres personas de forma
que la p rimera reciba 20 euros más que la segunda y la tercera la mitad de lo que han recibido
entre las otras dos. ¿Cómo lo hacemos?
2
e) x · (x + 1) · (x - 2) · (x -
9)
-x
50 Queremos repattir, mediante un sistema de ecua-
x +2
e) "2x - 3 - "x - 5
f) Cx 2 -
a) 2x = x3
b) 3x3 + x 2 - 3
75x 2 = O
b) "4x + 5
X
Resuelve por tanteo:
a) x3 - x - 2 = O en [1, 2]
43 Resuelve:
a) 3x 4 -
48
0
+)
= O
51 ta suma de las tres cifras de un número es igual
a 7. La cifra de las decenas es una unidad mayor
que la suma de las otras dos.
Si invertimos el orden de las cifras, el nú mero
aumenta en 99 u nidades. ¿Cuál es ese número?
CUESTIONES TEÓRICAS
PARA PROFUNDIZAR
¿Qué valores ha de tomar el parámetro k para
que x 2 - 6x + k = O no tenga soluciones reales?
57 Resue lve estas ecuacio nes de segundo grado en
las que la incógnita es x :
a) abx 2 - ( el + b) x + 1
53 Halla m para que al dividir el po linomio
2x 4
+ 9x3 +
2x 2 - 6x
+m
a 2 + b 2 - 2ah = (a - b) 2
b) (x- a)Z - 2x (x + a) - 4a 2
54 Escribe un po linomio de grado 4 que solo tenga por raíces O y l.
55 Justifica po r qué este sistema de ecuaciones no
puede tener solución:
58 Resuelve las siguientes inecuaciones:
1
e)
21
4 - x2
b) x3 - x 2 - 6x < O
>O
el)
(x - 3) 2
el) o, 1,-1 y
<o
agua en una proporción de 3 a 7. En otra vasija
la proporció n es ele 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos
de sacar de cada vasija para obtener 12 cazos de
una mezcla en la que la proporción alcoholagua sea de 3 a 5?
b) 5; 0,3 y -2
y 0,7
-2
(x - 1}~
59 Una vasija contiene una mezcla de alco hol y
los valores:
e) O,
O
el) (a + b) x 2 + hx- a = O
a) x 4 - 4x 2 <O
56 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones
=
e) ax 2 + bx + b - a = O
x + y - z=3
2x - y + z = 5
x + y - z= 2
-fi Y - -fi
O
_. Al aplicar la fónnula general, verás que el discrim inan/e es un cuadrado pe¡.fecto:
emre x + 4, e l resto sea igual a 12.
a) 3, - 3,
=
31
AUTOEVALUACIÓN
1. Resuelve factori za ndo previamente.
3x5
+
x4 -
4 Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
9x3 - 9x2 - 2x = O
y - 2x = O
a) {
2. Opera y simplifica el resultado.
x2
x2 - 1 -
(
X
x )
+ 1 :
h)
..Js + 2x -
x
3x
e) x2- 4
el) 3x -
l
x +6
X
4
3
=-
e ) 22.\' - 6 . 2-" + 8
=
o
+ In 4 = 2 In (x + 1)
g) l3x + 11
=
-9
X -
1
b)
{
=
3
x + y + 3z = O
-2x + 3y + 3z
=
1
S. Resuelve:
b)
x 2 + 2x + 1
x +3
~o
6. La suma de las tres cifras ele un número es igua l
a 7. La cifra ele las decenas es una unidad mayor
que la suma ele las otras dos.
1
--13
D In x
=
a) x (x - 1) - 2(x + 2) < x(x + 1)
=
x + 2
~·
x + 2y + 2z
3x
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4 - 3x2 + 2 = O
,
3.1 - 6. 3"
lx - 3 1
Si invertimos el orden de las cifras, el núme ro
aume nta e n 99 unidades. ¿Cuál es ese nú me ro?
3. y 4. En tu CD tienes una auroevaluación más
amplia y las resoluciones de los ejercicios.
r
~7
1. De entre las ecuaciones siguientes:
2
33x
25x + 2
-
=
O
2x
2
11. Simplifica la expresión del término general de la
4
-
siguiente sucesió n e indica su límite:
=o
9x2 + 4 =O
x 2 +x- l= O
1
2
3
11
11
11
a
= -2+ - +
- 2+ .. . + n
2
11
11 2
a) Señala las que no tienen soluciones en O .
12. Factoriza los siguientes polinomios:
b) ¿Cuáles tienen solución en IR ?
W
2. Compara
y
~./386 reduciéndolas a índice
común.
a) x 3 - 9x
b) 3x 5 - 4x4 - 5x3 + 2x 2
x2
13. Simplifica:
+ 3x + 2
x2 _
1
3. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a)
b)
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
{;;3- 2av;;,z + 3a~ - Va12
~-m
- ,.-;:-;
'\'96
e) (
a) (x + 4) 2 - 7 = (2x + 3) 2 + 2x
_e
b) 2x4 - 3x2 - 2
. 30'\' 3
e) -..f2x +
-v2 + --/3)(-16 - 1)
d)
d) _2_ +
-J6
=
6
x -
5x3 + 2x2
3x5 - 4x4 -
=
O
15. Resuelve los s iguientes sistemas:
{6 + 3-fi
tres cifras significativas y da una cota del error
absoluto y otra del error relativo cometido:
(5 . 10-18)(3,52 . 1015)
5. Si lag k
(- 2,18 . 10-7) 2
:
-1,3 calcula el valor de las siguientes
expresiones:
1
k
a) lag Je3
b) lag k
e) lag lOO
x+ y =3
a) {
xy + x = O
3x l
=
2
7. Calcu la x para que 2x +
b)
1 =
lx
2
-
31
=
1
3x.
b)
{x+l >3
2x-l::;;9
16. Opera y simplifica:
~ ~) -
(::: : : 3
=
6. Halla x en cada caso:
17 -
2x
o
2
4. Expresa el resultado de la siguiente op eración con
a)
3-
=
(x
2
-
3x)
1 7 . Resuelve:
7-x
x
+--
=
e) 42x - 2 · 4x +
1
O
d) lag (x + 1)
1 + lag x
a)
x2
+4x+ 4
=
x+ 2
+ 16
=
1
b) 3x2 -
2
1
=-
3
18. Resuelve los siguientes siste mas :
8. Calcula la suma de los doce primeros términos de
una progresión aritmética de la que conocemos
a 3 = 24 y a 2 + a 11 = 41.
9. Si al comienzo de cada año ingresamos 500 € en
un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al
final del quinto año?
a)
X {
4y
=
5
lag (x + 1)
X+
2y +
=
1 + lag y
Z =
1
z = -5
3x - y + 3z = 10
b) -2x + y {
19. Resuelve: x 2
+ 4x + 3 2:: O
1O. Estudia el comportamiento de las s iguientes sucesiones para términos avanzados e indica su límite:
3
an = -z
n
11 2
b
+1
5 --
=
4n- 5
2n + 1
11
d
11
1
n
=
20. Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de
tiempo que otro B. Abiertos simultáneamente, llenan el depósito en dos horas. ¿Cuánto tarda cada
grifo por separado?
En tu CD tienes las reso luciones de estos ejercicios.