Polinomios.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.
1
Polinomios.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Repasar las operaciones básicas con números reales.
Repasar el cálculo del m.c.m. y m.c.d.
Repasar las operaciones con fracciones.
2.
Monomios.
Un monomio es una multiplicación entre números y letras. Por ejemplo:
3 · x2 · 2y 3 · 5x
Normalmente, la multiplicación entre números y letras no se suele indicar:
3 · x2 · 2y 3 · 5x ↔ 3x2 2y 3 5x
Por ello cuando nos encontremos números y letras juntos se considerará que están multiplicando.
Cunado en un monomio hay varios números multiplicando, lo más habitual será realizar dicha multiplicación entre los números:
3x2 2y 3 5x = 3 · 2 · 5x2 y 3 x = 30x2 y 3 x
Para la letras se aplicarán las propiedades de las potencias:
30x2 y 3 x = 30x2+1 y 3 = 30x3 y 3
donde se ha aplicado la propidad de las potencias: an · am = an+m
A las letras de un monomio se las denomina parte literal. El orden que tengan las letras nos será indiferente.
Por ejemplo:

3x2 y 2 
5y 2 x2
→ Los tres monomios tienen la misma parte literal. Es decir, en los 3 monomios hay 2 x’s y 2 y’s.

2xxy 2
Ej.:
3x2 y 3 z
5xy 3 xz
6zyyyx2
9yyzyxx




→ Estos monomios tienen la misma parte literal. En los 3 monomios hay 2 x’s, 3 y’s y una z.



Cuando se tiene un monomio, siempre hay que multiplicar todos los números (que no sean exponentes):
3x2 2y 2 = 3 · 2x2 y 2 = 6x2 y 2
2 MONOMIOS.
2
Al número que queda como resultado se le llama coeficiente. Por ejemplo:
3x2 2y 2 = 6x2 y 2 →
6
|{z}
coeficiente
parte literal
z}|{
x2 y 2
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras (de la parte literal). Por ejemplo:
6x2 y 2 tiene grado 4 → Hay 2 x’s y 2 y’s
2x2 y 3 z tiene grado 6 → Hay 2 x’s, 3 y’s y una z
Por lo tanto, el grado de un monomio representa el número de letras que tiene su parte literal (Recordad que
cuando se escribe x3 , realmente se quiere decir x3 = x · x · x).
2.1.
Operaciones con monomios.
2.1.1. Suma y resta.
Sólo se pueden sumar monomios cuando tengan la misma parte literal. Lo que se hará es sumar (o restar)
los coeficientes y dejar la parte literal inalterada.
Por ejemplo:
3x2 y 3 z + 5x2 y 3 z = 8x2 y 3 z
5x2 + 3x2 + 2x2 = 10x2
5x2 y − 2x2 y = 3x2 y
5x2 + 3x2 − 2x2 = 6x2
5x2 y + 3yx2 − 2xyx = 6x2 y ← Se pueden sumar pues tienen la misma parte literal.
5x2 + 3y 2 =No se puede hacer nada pues no tienen la misma parte literal. Se quedarı́a como está.
2x2 + 3y − 5x2 + 2y = −3x2 + 5y ← Se operan los x2 con los x2 y los y con los y.
5x2 + 2x + 3x2 − 2x2 + 3x = 6x2 + 5x
5xx + 3x2 + 2y = 8x2 + 2y
6x2 + 6x2 y + 7x + 3x2 = 9x2 + 6x2 y + 7x
Cuando no hay coeficiente, se considera que es 1:
x2 + 2x2 = 1x2 + 2x2 = 3x2
2.1.2. Multiplicación.
Los números se multiplican entre sı́, con las letras se aplican las propiedades de las potencias:
(3x2 yz) · (2xy) = 3 · 2x2 yzxy = 6x3 y 2 z
(2x2 y 3 ) · (3x2 z 2 ) = 3 · 2x2 y 3 x2 z 2 = 6x4 y 3 z 2
Para la división se debe operar de forma idéntica:
3
3
3x2 y 3
= x2−1 y 3−1 = xy 2
2xy
2
2
4x2 y 3 z
4 2 3−4 1−2
x2
2 −1 −1
=
x
y
z
=
2x
y
z
=
2
2z 2 y 4
2
yz
3 POLINOMIOS.
3.
3
Polinomios.
Un polinomio es una suma de monomios:
3x2 − 2x + 1
Al monomio que no tiene x se le llala término independiente. En el polinomio 3x2 − 2x + 1 el 1 serı́a el término
independiente.
Se llamará grado de un polinomio al mayor de los grados de sus monomios. Por ej.:
5x6 + 3x2 + 1 → Tiene grado 6
5x2 + 1 → Tiene grado 2
5 → Tiene grado 0
Los polinomios se suelen indicar con letras mayúsculas y poniendo entre paréntesis las letras que intervienen
en él:
P (x) = x2 + 5x + 1
Q(x) = 2x + 1
Ası́ cuando se escribe P (x), como en el caso anterior, nos estamos refiriendo al polinomio x2 + 5x + 1. Cuando
se escribe Q(x) nos referirı́amos al polinomio Q(x) = 2x + 1.
3.1.
Valor de un polinomio para x = a.
Se llama valor de un polinomio al resultado de sustituir la ‘x’por un número. Por ejemplo:
Sea el polinomio P (x) = x2 − 2x + 3
Se desea hallar el valor del polinomio para x = 2. Esto se indicará escribiendo P (2):
P (2) = 22 − 2 · 2 + 3 = 4 − 4 + 3 = 3
Para x = 1:
P (1) = 12 − 2 · 1 + 3 = 1 − 2 + 3 = 2
Para x = 0:
P (0) = 02 − 2 · 0 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3
3.2.
Operaciones con polinomios.
3.2.1. Suma.
Una suma de polinomios va a consistir en realizar la suma de los monomios correspondientes. Por ejemplo:
Sean: P (x) = 2x2 + 3x + 1
Q(x) = 3x2 + 2x − 1
La suma de ambos:
P (x) + Q(x) = |2x2 +{z3x + 1} + |3x2 +{z2x − 1} = 5x2 + 5x
P (x)
Q(x)
Realizar los siguientes ejercicios:
Sean P (x) = x2 − 5x + 3, Q(x) = 2x5 − 3x4 − 5x3 + 4x2 − 2x + 3, R(x) = x2 − 21 x + 2 Realizar las
operaciones siguientes:
1. P(x)+Q(x)
2. P(x)+Q(x)+R(x)
3 POLINOMIOS.
4
3. P(x)-Q(x)
4. P(x)-Q(x)+R(x)
3.2.2. Producto.
Se debe multiplicar cada monomio de los polinomios por cada uno de los monomios del otro. Por ejemplo:
Sean los polinomios: P (x) = 2x + 1
Q(x) = 3x + 2
Se desea realizar el producto de ambos:
+ 1 · 2} = 6x2 + 4x + 3x + 2 = 6x2 + 7x + 2
P (x) · Q(x) = (2x + 1) · (3x + 2) = |2x · 3x{z
+ 2x · 2} + |1 · 3x{z
⋆
∗
⋆ Se multiplica el primer monomio 2x por todos los monomios del otro polinomio.
∗ Se multiplica el segundo monomio 1 por todos los monomios del otro polinomio.
Por ejemplo:
P (x) = 3x2 + 1
→ Q(x) · P (x) = (2x + 1) · (3x2 + 1) = 2x · 3x2 + 2x · 1 + 1 · 3x2 + 1 · 1 =
Q(x) = 2x + 1
= 6x3 + 2x + 3x2 + 1 = 6x3 + 3x2 + 2x + 1 ← Se debe procurar ordenar los monomios por sus grados.
Realizar los siguientes ejercicios:
Sean P (x) = x2 − 5x + 3, Q(x) = 2x5 − 3x4 − 5x3 + 4x2 − 2x + 3, R(x) = x2 − 12 x + 2 Realizar las
operaciones siguientes:
1. P (x) · Q(x)
2. P (x) · Q(x) + R(x)
3. P (x) · R(x)
4. P (x) · Q(x) · R(x)
3.2.3. División.
Veamos la división con un ejemplo: Se divide P (x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 entre Q(x) = x2 − 3x + 2
❶ Se hace la siguiente figura dejando los huecos de los monomios que faltan:
3x4 +5x3
−2x +3 x2 − 3x + 2
Hay que fijarse en que se ha dejado el hueco del monomio x2 , ya que, no hay monomio x2 en P (x).
❷ Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del divisor. En
este caso:
3x4
= 3x2
x2
3x4 +5x3
−2x +3 x2 − 3x + 2
3x2
❸ El producto de 3x2 por el divisor, cambiado de signo, se coloca bajo el dividendo y se suma:
3 POLINOMIOS.
5
3x4 +5x3
−2x +3 x2 − 3x + 2
−3x4 +9x3 −6x2
3x2
3
2
0 14x −6x
❹ El primer resto que se obtiene es 14x3 − 6x2 . Se repiten los pasos anteriores después de “bajar” el monomio siguiente (−2x):
3x4
−3x4
+5x3
−2x +3 x2 − 3x + 2
+9x3 −6x2
3x2 + 14x + 36
3
2
14x
−6x
−2x
−14x3 +42x2 −28x
+36x2 −30x +3
−36x2 +108x −72
78x −69
Hay que recordar siempre que:
Dividendo divisisor
Resto Cociente
Ası́, en el caso anterior:
Dividendo: 3x4 + 5x3 − 2x + 3
Divisor: x2 − 3x + 2
Cociente: 3x2 + 14x + 36
Resto: 78x − 69
Como es una división, se debe cumplir siempre:
Dividendo = Divisor · Cociente + Resto
Ası́:
(x2 − 3x + 2)(3x2 + 14x + 36) + 78x − 69 = 3x4 + 5x3 − 2x + 3
Que es una forma de comprobar que las operaciones han sido correctamente realizadas.
Es recomendable que el lector realice las siguientes divisiones, y verifique que están realizas correctamente
usando la propiedad de Dividendo = Divisor · Cociente + Resto:
1.
(x4 − 3x3 − 2x2 − 1) : (x2 − 3x − 1)
2.
(x5 − x3 − 3x2 − 1) : (x3 + x2 − 2x + 1)
3.
(x5 − x3 − 3x2 − 1) : (x3 − 2x + 1)
4.
(2x5 − x4 − 3x2 − 1) : (2x2 − 2x − 1)
3 POLINOMIOS.
6
3.2.4. Método de Ruffini.
El método de Ruffini es una forma de realizar las divisiones de polinomios en las que el divisor sea de la
forma x − a, donde a es un número.
Por ejemplo, la división del polinomio 5x4 − 3x3 − 4x2 + 6x − 1 entre x − 2 se puede realizar como en el
caso anterior, o bien, aplicar la regla de Ruffini.
Veámoslo con un ejemplo:
Se quiere hacer la división 5x4 − 3x3 − 4x2 + 6x − 1 entre x − 2 para ello:
❶ Se colocan los coeficientes del polinomio divisor colocándolos ordenados según el grado del monomio
al que corresponden. Es decir, se ordena el polinomio de mayor a menor según el grado de sus monomios y se
toman los coeficientes:
5x4 −3x3 −4x2 +6x −1
5
−3
−4
+6 −1
∗
2
∗
En esta posición se coloca el número, cambiado de signo, que se encuentra en el polinomio divisor (x − 2).
❷ Se “baja” el primer coeficiente:
5 −3 −4 +6 −1
2
5
❸ Se multiplica el coeficiente que se ha bajado por el 2. El resultado se coloca bajo el siguiente coeficiente:
2
5 −3 −4 +6 −1
10
5
❹ Se hace la suma (o resta) correspondiente:
5 −3 −4 +6 −1
2
10
5 7∗
∗
Se repiten los pasos ❸ y ❹ con este coeficiente:
2
5 −3 −4 +6 −1
10 14
5 7
10
❺ Se repiten los pasos ❸ y ❹ hasta acabar con todos los coeficientes:
2
5 −3 −4 +6 −1
10 14 20 52
5 7
10 26 51
❻ El último número que se obtiene es el resto de la división, los otros números son los coeficientes del
polinomio cociente:
5 −3 −4 +6 −1
2
10 14 20 52
5 7
10 26 51
3 POLINOMIOS.
7
Resto: 51
Cociente: 5x3 + 7x2 + 10x + 26
Compara estos resultados con la división de 5x4 − 3x3 − 4x2 + 6x − 1 entre x − 2.
Veámoslo con otro ejemplo:
Dividir el polinomio x3 + x entre el polinomio x + 1 usando Ruffini.
Procedemos de forma similar al caso anterior:
❶ Se colocan los coeficientes del dividendo:
1 0 +1 0
−1
En el caso de faltar algún monomio, su coeficiente es 0. ❷ Se baja el primer coeficiente:
1 0 +1 0
−1
1
❸ Se multiplica el coeficiente bajado por −1:
1 0
+1 0
−1
−1
1
❹ Se hace la suma (o resta) correspondiente:
1 0
+1 0
−1
−1
1 −1
❺ Se repiten los pasos ❸ y ❹ hasta acabar con todos los coeficientes:
1 0
+1 0
−1 1
−2
1 −1 2
−2
−1
❻ Escribimos el cociente y el resto:
Resto: −2
Cociente: x2 − x + 2
Ejemplos:
Hacer las siguientes divisones aplicando Ruffini:
3 +x
Solución:
a) xx−1
1
b)
x3 +x+1
x+2
1 0 1 0
1 1 2
1 1 2 2
Solución:
−2
1 0
1 1
−2 4 −10
1 −2 5 −9
3 POLINOMIOS.
d)
x3 +x+1
x−2
8
Solución:
2
3.3.
1 0 1 1
2 4 10
1 2 5 11
Teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio por un polinomio de la forma x − a es el valor numérico del polinomio para x = a.
3
+x+1
es el valor del polinomio para x = 2.
Por ejemplo: El resto de la división x x−2
3
3
En este caso P (x) = x + x + 1 Ası́ P (2) = 2 + 2 + 1 = 8 + 2 + 1 = 11
3
+x+1
Ejemplo: Calcular el resto de la división x x+2
En este caso P (x) = x3 + x + 1 y x = −2. Ası́ P (−2) = (−2)3 + (−2) + 1 = −8 − 2 + 1 = −9
Esta regla es útil para comprobar si hemos hecho correctamente una división.
3.4.
Factorización de polinomios.
Se dice que un polinomio divide a otro cuando al dividorlos el resto de la división es cero.
Por ejemplo: x + 1 divide a x2 + 2x + 1. Sólo hay que calcular el resto de la división
probarlo.
x2 +2x+1
x+1
para com-
Para calcular los divisores de un polinomio se procede de la siguiente forma:
Por ejemplo, se desean calcular los divisores de x2 − 4x + 4.
❶ Se calculan los divisores del término independiente (el coeficiente que no tiene letra):
Los divisores de 4 son los números que dividen a 4 y se obtiene resto 0: 1,-1,2,-2,4,-4
❷ Se comprueba, aplicando Ruffini, si cada uno de estos números puede dar de resto 0:
1
1 −4 4
1
−3
1 −3 1
No da resto 0.
1 −4 4
−1 5
−1
1 −5 9
No da resto 0.
2
1 −4 4
2
−4
1 −2 0
Sı́ da resto 0.
Como el 2 sı́ da resto 0, vamos a decir que el monomio x − 2 (se le cambia de signo al número) divide al
3 POLINOMIOS.
9
polinomio x2 − 4x + 4.
Siguamos, una vez que un número da resto 0:
2
1 −4 4
2
−4
1 −2 0
Resto: 0
Cociente: x − 2
Se siguen buscando los divisores usando el cociente. En lugar de usar el polinomio x2 − 4x + 4 usaremos el
polinomio x − 2 que se ha obtenido como cociente.
✎ Nota:
Cuando uno de los divisores es válido, se sigue pero usando el cociente que se obtiene al aplicar dicho divisor.
Cuando un número da resto 0 se sigue probando con él hasta que deje de dar:
2
1 −2
2
1 0
En este caso se ha vuelto a obtener resto 0. El polinomio x − 2 vuelve a dividir al polinomio x2 − 4x + 4
Cuando el cociente está formado por sólo un término independiente, el proceso de cálculo termina.
❸ Finalmente se expresa el resultado como producto de factores y se multiplica por el último número que
ha quedado en el cociente de Ruffini. Veámoslo.
Hemos obtenido que el polinomio x − 2 divide 2 veces al polinomio x2 − 4x + 4. La forma correcta de
expresar este resultado es la poniendo lo como producto de factores:
(x − 2)2
En el último Ruffini aplicado se obtuvo:
2
1 −2
2
1 0
El 1 que está en negrita es el cociente de la división, por lo que también se debe multiplicar a los factores:
1 · (x − 2)2
Por lo que x2 − 4x + 4 descompuesto en factores vale:
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2
Si se hacen las operaciones se puede comprobar que (x − 2)2 es x2 − 4x + 4.
Veámos un ejemplo vamos a descomponer el polinomio: 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12
3 POLINOMIOS.
10
❶ Se hace una lista con los divisores del término independiente:
1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 12, -12
❷ Se va haciendo Ruffini con cada uno de los números de la lista:
2 −14
34 −34 12
1
2 −12
22 12
2 −12
22 −12 0
Hemos tenido suerte y el 1 es divisor, puesto que el resto de aplicar Ruffini vale 0. Como 1 es divisor
decimos que (x − 1) divide a 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12.
Se sigue operando con el 1, hay que usarlo hasta que deje de valer, usando el último cociente de Ruffini válido:
2 −12
22 −12
2 −10
12
1
2 −10
12
0
Se vuelve a obtener resto 0, por lo que (x − 1) vuelve a dividir a 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12.
Se sigue probando, hasta que deje de valer:
2 −10 12
2 −8
1
2 −8
4
Se obtiene que el resto vale 4. Por lo que el 1 deja de valer. Se prueba con el siguiente número de la lista, el -1:
2 −10 12
−1
−2 12
2 −12 24
Tampoco es válido. Se usa el siguiente número, el 2:
2
2 −10
12
4 −12
2 −6
0
Hemos tenido suerte y el 2 es divisor, puesto que el resto de aplicar Ruffini vale 0. Como 2 es divisor decimos
que (x − 2) divide a 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12.
Ahora volverı́amos a probar el 2, pero se puede comprobar que no funciona. Con un poco de piardı́a se puede
pasar el 3 que se puede ver que sı́ funciona:
2 −6
6
3
2
0
Como 3 es divisor decimos que (x − 3) divide a 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12.
Llegados a este punto se pasa al siguiente punto.
❸ Se escribe la solución correctamente, como en el último Ruffini realizado se obtiene 2 como cociente se
multiplica este 2 a los factores que se han ido obteniendo:
2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12 = 2 · (x − 1) · (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
11
O lo que es lo mismo:
2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12 = 2 · (x − 1)2 · (x − 2) · (x − 3)
Si se hace el producto 2 · (x − 1)2 · (x − 2) · (x − 3) se debe obtener 2 x4 − 14 x3 + 34 x2 − 34 x + 12.
Como ejercicio para el alumno se deja demostrar que las siguientes factorizaciones de polinomios son
correctas:
1. x4 − 5 x3 + 5 x2 + 5 x − 6 = (x − 3) (x − 2) (x − 1) (x + 1)
2. x4 − 5 x2 + 4 = (x − 2) (x − 1) (x + 1) (x + 2)
3. 2x4 − 18x2 + 8x + 24 = 2 (x − 2)2 (x + 1) (x + 3)
4. 3x4 − 9x3 − 45x2 + 57x + 90 = 3 (x − 5) (x − 2) (x + 1) (x + 3)
4.
Operaciones con fracciones de polinomios.
Básicamente se realizarán las operaciones como en las frácciones numéricas. Veámoslo:
4.1.
Suma de fracciones.
Importante: Antes de ver este punto es recomendable que el alumno se repase la suma de fracciones del
primer tema. Incluso es necesario que se haga algún ejemplo.
Si se tiene que sumar 2 ó más fracciones se operará de la siguiente forma:
x+2
x−1
+
− 4x + 2 x − 2
❶ Se calcula el m.c.m de las fracciones para poder buscar el denominador común:
x2
Para la fracción:
x2
x−1
− 4x + 4
Se descompone el denominador, x2 − 4x + 4, en factores. Como se vio en la sección 3.4 la descomposición de este
polinomio es x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 .
Para la fracción:
x+2
x−2
El denominador ya está descompuesto, por lo que se pasa a calcular el m.c.m.
El m.c.m. hay que recordar que para su cálculo se descomponı́an los denominadores en factores y después se tomaban
los factores comunes y no comunes al mayor exponente:
x2 − 4x + 4=(x − 2)2
x − 2=(x − 2)
m.c.m=(x − 2)2
m.c.m. = (x − 2)2 = x2 − 4x + 4
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
12
Se calculan las fracciones equivalentes, para ello se divide el m.c.m entre el denominador de cada fracción:
x2 − 4x + 4
x−1
⇒
=1
x2 − 4x + 4
x2 − 4x + 4
Se multiplica el resultado por el numerador de la fracción y se le pone el m.c.m. como denominador común:
x2
x−1
x2 − 4x + 4
1 · (x − 1)
x−1
⇒ 2
=1⇒ 2
= 2
− 4x + 4
x − 4x + 4
x − 4x + 4
x − 4x + 4
Ídem con la otra fracción:
x+2
x2 − 4x + 4
(x − 2) · (x + 2)
x2 − 4
⇒
=x−2⇒
= 2
x−2
x−2
x−2
x − 4x + 4
Se obtienen las fracciones
x−1
x2 −4x+4
y
x2 −4
x2 −4x+4
que ya tienen denominador común.
❷ Se suman los numeradores de las fracciones de denominador común calculadas.
x2
x−1
x+2
x−1
x2 − 4
x2 + x − 5
+
= 2
+ 2
= 2
− 4x + 2 x − 2
x − 4x + 2 x − 4x + 2
x − 4x + 2
❸ Se simplifica el resultado.
Se descomponen en factores el numerador y el denominador de la fracción
Para el numerador x2 + x − 5 = x2 + x − 5 no se puede descomponer.
Para el denominador x2 − 4x + 2 = (x − 2)2 .
Se puede ver que no se puede simplificar nada:
x2 +x−5
x2 −4x+2 :
x2 + x − 5
x2 + x − 5
=
2
x − 4x + 2
(x − 2)2
Por lo que el resultado es:
x2
x+2
x−1
x2 − 4
x2 + x − 5
x−1
+
= 2
+ 2
= 2
− 4x + 2 x − 2
x − 4x + 2 x − 4x + 2
x − 4x + 2
Veámos otro ejemplo:
x2
x+2
x−2
+ 2
− 3 x + 2 x − 2x + 1
❶ Se calcula el m.c.m.:
Factorizando los polinomios y aplicando el cálculo del m.c.m.:
x2 − 3x + 2=(x − 1)(x − 2)
x2 − 2x + 1=(x − 1)2
m.c.m.=(x − 1)2 (x − 2)
m.c.m. = (x − 1)2 (x − 2) = x3 − 4 x2 + 5 x − 2
❷ Se calculan las fracciones con denominador común:
x2
x+2
x3 − 4 x2 + 5 x − 2
(x − 1)(x + 2)
x2 + x − 2
⇒
=x−1⇒ 3
= 3
2
2
−3x+2
x −3x+2
x −4x +5x−2
x − 4 x2 + 5 x − 2
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
13
x3 − 4 x2 + 5 x − 2
(x − 2)(x − 2)
x2 − 4x + 4
x−2
⇒
=
x
−
2
⇒
=
x2 − 2x + 1
x2 − 2x + 1
x3 − 4 x2 + 5 x − 2
x3 − 4 x2 + 5 x − 2
❸ Se suman las fracciones:
x−2
x2 + x − 2
x2 − 4x + 4
2x2 − 3x + 2
x+2
+
=
+
=
x2 − 3 x + 2 x2 − 2x + 1
x3 − 4 x2 + 5 x − 2 x3 − 4 x2 + 5 x − 2
x3 − 4 x2 + 5 x − 2
❹ Por último se simplifica la solución.
En este caso se puede comprobar que la solución no se puede simplificar.
Serı́a recomendable que el lector hiciera los siguientes ejercicios:
Comprobar que las siguientes sumas están bien realizadas:
x+2
x−2
2 x2 − x + 6
+
=
x2 − 3 x + 2 x2 − 1
x3 − 2 x2 − x + 2
x+2 x−2
2 x3 − 4 x + 4
x−1
+
+
=
x2 − 1 x − 2 x − 1
x3 − 2 x2 − x + 2
x−1
x+2
x−2
2 x3 − 6 x2 − 8 x + 14
+
+
=
x2 − 1 4 − 3 x x − 1
3 x3 − 4 x2 − 3 x + 4
x+3
x−2
2 x3 − 5 x2 − 6 x + 29
x−1
+
+
=
x2 − 1 4 − 3 x x − 3
3 x3 − 10 x2 − x + 12
4.2.
Producto de fracciones de polinomios.
Al igual que en el caso de las fracciones numéricas el producto se realiza multiplicando los numeradores
por un lado y los denominadores por otro. Por ejemplo:
x−1 x+2
(x − 1)(x + 2)
x−1
·
=
=
x+2 x+1
(x + 2)(x + 1)
x+1
x−1 x−1
(x − 1)(x − 1)
x2 − 2x + 1
·
=
= 2
x+2 x+1
(x + 2)(x + 1)
x + 3x + 2
Siempre se simplificarán los resultados.
Se recomienda que el alumno verifique que las siguientes operaciones son correctas:
x2 − 1
(x + 1)
x−1
· 2
=
(x − 1) (x + 2 x + 1)
x+1
x2 − 3 x + 2
x2 − 1
x2 − 3 x + 2
· 2
=
(x − 1) (x + 2 x + 1)
x+1
x2 − 5x + 6 x2 − 3x + 2
·
= x2 − 4 x + 4
x−1
x−3
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
4.3.
14
Cociente de fracciones de polinomios.
Es recomendable que el alumno repase las operaciones con fracciones del primer tema, antes de ver este
apartado. Incluso serı́a necesario hacer algún ejercicio.
Al igual que en el primer tema la división de fracciones se realizará multiplicando los términos en cruz. Por
ejemplo:
(x − 1)(x − 4)
x2 − 5x + 4
x−1 x−3
:
=
= 2
x−2 x−4
(x − 2)(x − 3)
x − 5x + 6
Por lo demás es como hacer una multiplicación de fracciones.
x−1
x + 2 = (x − 1)(x + 2) = x − 1
x+1
(x + 2)(x + 1)
x+1
x+2
Comprobar que las siguientes operaciones son correctas:
x−1
x−4
x2 − 5x + 4
: 2
=
x+1
x + 2x + 1
x+1
x2 − 4
x+2
:
=1
2
x − 5x + 6 x − 3
4.4.
Operaciones combinadas.
Hasta ahora se ha visto la suma, multiplicación y división por separado. ¿Y qué pasa cuando están mezcladas? Sólo hay que aplicar la prioridad de operaciones, como se comentaba en el tema 1. Antes de continuar
es recomendable que el lector se repase la prioridad de las operaciones y haga algún ejercicio. También ees
rcomendable haber realizado ejercicios de las operaciones con polinomios y fracciones de polinomios vistas
anteriormente. Si el lector, “se pierde” al leer este apartado es debido a una falta de base en los contenidos que
se deben repasar.
Vamos a hacer un ejemplo:
2 x2 +
Se comienza haciendo los paréntesis:
x
2 x+1
x+1
−
x−1
x+2
x−1
+ 2x
2x + 1 x − 1
−
x+1
x+2
+1
Es una resta de fracciones. En este caso el m.c.m. es fácil de calcular y vale: m.c.m. = (x + 1)(x + 2) =
x2 + 3x + 2
Se puede usar como denominador común. Las fracciones se modificarán:
x2 + 3x + 2
(x + 2)(2x + 1)
2 x2 + 5 x + 2
2x + 1
⇒
=x+2⇒
=
x+1
x+1
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
x−1
x2 + 3x + 2
(x + 1)(x − 1)
x2 − 1
⇒
=x+1⇒
=
x+2
x+2
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
Por lo tanto:
2x + 1 x − 1
−
x+1
x+2
=
15
x2 − 1
x2 + 5x + 3
2 x2 + 5 x + 2
−
=
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
Este resultado no se puede simplificar. Con lo que:
2 +5x+3
x+1
− x−1
x 2x+1
+ 2x
x xx2 +3x+2
x+2 + 2 x
2
2
+ 1 = 2x +
+1
2x +
x−1
x−1
Lo siguiente a realizar son las multiplicaciones y divisiones:
x
x3 + 5x2 + 3x
x2 + 5x + 3
=
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2
Este resultado no se puede simplificar. Con lo que:
2 +5x+3
x+1
x 2x+1
− x−1
+ 2x
x xx2 +3x+2
+ 2x
x+2
2
2
2x +
+ 1 = 2x +
+ 1 = 2 x2 +
x−1
x−1
x3 +5x2 +3x
x2 +3x+2
+ 2x
x−1
+1
Si nos fijamos en:
x3 +5x2 +3x
x2 +3x+2
+ 2x
x−1
Se puede escribir como:
x3 + 5x2 + 3x
+ 2x
x2 + 3x + 2
: (x − 1)
Por lo que habrá que realizar el paréntesis:
3
x + 5x2 + 3x
3 x3 + 11 x2 + 7 x
+
2
x
=
x2 + 3x + 2
x2 + 3 x + 2
Con este resultado se obtiene:
2 +5x+3
x−1
x+1
− x+2
+ 2x
x 2x+1
x xx2 +3x+2
+ 2x
2
2
+ 1 = 2x +
+ 1 = 2 x2 +
2x +
x−1
x−1
2
= 2x +
3 x3 +11 x2 +7 x
x2 +3 x+2
x−1
x3 +5x2 +3x
x2 +3x+2
+ 2x
x−1
+1=
+1
Habrá que realizar la división:
3 x3 +11 x2 +7 x
x2 +3 x+2
x−1
3 x3 + 11 x2 + 7 x
x3 + 2 x2 − x − 2
=
Ası́ pues:
2
2x +
x
2 x+1
x+1
−
x−1
x+2
x−1
+ 2x
2
2
+ 1 = 2x +
2
= 2x +
3 x3 +11 x2 +7 x
x2 +3 x+2
+5x+3
+ 2x
x xx2 +3x+2
x−1
+ 1 = 2 x2 +
2
+ 1 = 2x +
x3 +5x2 +3x
x2 +3x+2
+ 2x
x−1
+1=
3 x3 + 11 x2 + 7 x
+1
x3 + 2 x2 − x − 2
x−1
Sólo resta realizar la suma de fracciones:
2 +5x+3
x−1
x+1
− x+2
+ 2x
x 2x+1
x xx2 +3x+2
+ 2x
2
2
+ 1 = 2x +
+ 1 = 2 x2 +
2x +
x−1
x−1
x3 +5x2 +3x
x2 +3x+2
+ 2x
x−1
+1=
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
3 x3 +11 x2 +7 x
x2 +3 x+2
3 x3 + 11 x2 + 7 x
2 x5 + 4 x4 + 2 x3 + 9 x2 + 6 x − 2
+
1
=
x−1
x3 + 2 x2 − x − 2
x3 + 2 x2 − x − 2
Se puede comprobar que el resultado no se puede simplificar, por lo que finalmente se obtiene:
x+1
− x−1
x 2x+1
x+2 + 2 x
2 x5 + 4 x4 + 2 x3 + 9 x2 + 6 x − 2
+1 =
2 x2 +
x−1
x3 + 2 x2 − x − 2
2
= 2x +
+ 1 = 2 x2 +
Ejercicios:
1. Sean P (x) = x2 + 3 x − 2 y Q(x) = x2 − 5 x + 3. Realizar las siguientes operaciones:
a) P(x)+Q(x)
b) P(x)-Q(x)
c) P(x)-2 Q(x)
d) 3 P(x)-2 Q(x)
e) P(x)·Q(x)
Sol. 2 x2 − 2 x + 1, 8 x − 5, −x2 + 13 x − 8, x2 + 19 x − 12, x4 − 2 x3 − 14 x2 + 19 x − 6
2. Realizar las siguientes divisiones de polinomios:
a) x2 + 3 x − 2 : x2 − 5 x + 3
b) x5 − 2x2 + 3 : x2 − 1
c) 2 x3 + 5 x2 − 7 x + 2 : 2x − 1
Sol. 1 +
8x−5
x2 −5 x+3 ,
x3 + x − 2 +
x+1
x2 −1 ,
x2 + 3x − 2
3. Realizar las siguientes divisiones de polinomios usando Rufini:
a) x3 − 11 x + 6 : x − 3
b) x3 + x2 − 4 x + 2
Sol. x2 + 3 x − 2, x2 + 2 x − 2
4. Factorizar los siguientes polinomios:
a) x2 − 1
b) 2 x3 − 8 x2 + 10 x − 4
c) 2 x5 − 16 x4 + 48 x3 − 68 x2 + 46 x − 12
Sol. (x + 1)(x − 1), 2 (x − 2) (x − 1)2 , 2 (x − 3) (x − 2) (x − 1)3
5. Calcular el mcm de los siguientes polinomios:
a) x2 − 1, x − 1
b) x2 − 1, x2 − 2x + 1
Sol. (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, x3 − x2 − x + 1
16
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
17
6. Calcular las siguientes sumas de fracciones:
2x
x+2
−
x − 1 x2 − 1
2
2x − 2 x + 1
b) 2
−
+
x −1
x+1
x−1
x+1
x−2
2x
c) 2
−
+
x − 4x + 4 x + 1 x − 2
a)
Sol.
x2 +x+2
(x−1) (x+1) ,
2
x −6 x−1
− (x−1)
(x+1) ,
x3 +5 x2 −14 x+9
(x−2)2 (x+1)
7. Sean los polinomios x2 − 3x + 2 y 2x3 − 3x2 + 4x + 3. Calcular los valores de los mismos para:
a) x = 1
b) x = −3
c) x = − 34
8. Realizar las siguientes operaciones combinadas. Recuerde que el resultado se debe simplificar siempre:
a)
x2 + 3x − 1 x − 1 3x − 1
+
−
x−1
x+1
x−2
b)
x−1
+
x+1
c)
x−1
−
x−2
3x + 2x
d)
(x2 − 2x − 3)
x+1
x−1
−
2x−1
x+2
x−1
x2 −2
x−1
+
x2 −1
x+2
x−2
x−1
−
− x2
x−2
x2 −4
2x
x2 −1
x+1 − x−1
2x+2
x−2
x−1 − x2 −1
x−2
x+2
− (x − 1)2
9. Se puede verificar que los resultados de un cálculo son correctos dando valores a la x y sustituyendo en
la expresión inicial y en el resultado. Si ambos coinciden, el resultado es correcto. Por ejemplo, antes se
ha obtenido que:
x−1
x+1
− x+2
+ 2x
x 2x+1
2 x5 + 4 x4 + 2 x3 + 9 x2 + 6 x − 2
+1=
2 x2 +
x−1
x3 + 2 x2 − x − 2
Si se le da a la x el valor 2, x = 2 y se sustituye:
x+1
2·2+1
2−1
x 2x+1
− x−1
2
·
−
+
2
x
x+2
2+1
2+2 + 2 · 2
95
2 x2 +
+ 1 = 2 · 22 +
+1=
x−1
2−1
6
2 x5 + 4 x4 + 2 x3 + 9 x2 + 6 x − 2
2 · 25 + 4 · 24 + 2 · 23 + 9 · 22 + 6 · 2 − 2
95
=
=
3
2
3
2
x + 2x − x − 2
2 +2·2 −2−2
6
Coinciden, por lo que el resultado es correcto.
Comprobar que los resultados, obtenidos por el lector, del ejercicio 2 son correctos.
4 OPERACIONES CON FRACCIONES DE POLINOMIOS.
18
10. No es sólo importante saber hacer operaciones con polinomios. También es importante saber darle significado. Por ejemplo:
Se dispone de un recinto rectangular, en el que un lado es el doble del otro. Expresar su área.
En este caso no se sabe cuanto mide el lado pequeño. Se le llamará x. El otro es el doble del pequeño,
por lo que el otro lado tendrá 2x. El área de un rectángulo es base · altura, por lo que el área pedida será:
A = x · 2x = 2x2 . Sólo hay que dar valores a la x para obtener el área total.
Expresar en forma algebraica los siguientes enunciados:
a) Se dispone de un recinto rectangular, en el que un lado es el la mitad del otro. Expresar su área.
b) Se quiere saber el volumen de una caja. La caja tiene un lado que es la suma de los otros 2. De los
otros 2 lados, hay uno que es el doble del otro.
c) Expresar en forma algebraica la suma de 3 números consecutivos.
d) Hay 3 números. El tercero es igual a 2 veces el primero más el segundo. El segundo es la cuarta
parte del primero más 3.