versión pdf - Mural UV - Universitat de València

Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad
Dr. J. Fausto Oria, Profesor Titular de Electromagnetismo
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2ª Edición
Editor: Manolo Sobrino
Indice:
I. Formulación Covariante Lorentz del Campo Electromagnético
1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial...................................
I
1
2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz..............................................
I 14
3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell..............................................
I 33
4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación..................
I 43
5. Transformaciones gauge...........................................................................................................
I 53
* Las métricas de la relatividad especial......................................................................................
I 54
II. Formulación Lagrangiana del Campo Electromagnético
1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético.....................................
II 1
2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas..............................................
II 2
3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana..................................................
II 9
4. Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange....................................................
II 14
5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento.......................................
II 20
III. Radiación de Cargas en Movimiento
1. Los potenciales de Liénard-Wiechert.......................................................................................
III 1
2. Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación......................................................
III 9
3. Funciones de Green covariantes...............................................................................................
III 18
4. Expresión covariante de los campos.........................................................................................
III 26
Bibliografía
Apéndices
AI: Representación de la potencia radiada por una carga acelerada en un sincrotrón y en un linac
AII: "Formulación geométrica del campo electromagnético"
AIII: Lecturas aconsejadas
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El Dr. J. Fausto Oria proveyó sus apuntes de clase y gentilmente se prestó a corregir las versiones
preliminares, reelaborando varios apartados y proporcionando material adicional para estos apuntes, que
se ajustan así a los contenidos de la asignatura Electrodinámica Clásica de la Licenciatura en Física de
la Universitat de València. Manolo Sobrino preparó las distintas ediciones, revisó el texto y completó la
transcripción. Luis Aloy transcribió la primera versión de la parte III y Roberto Pérez secciones de la
primera versión preliminar.
Mientras sea posible mantendremos en: http://mural.uv.es/masoro/edclas/errata/index.html una
lista de erratas. Las contribuciones son bienvenidas, para cualquier comentario, visitad la página de
soporte: http://mural.uv.es/masoro/edclas/index.html, donde se puede obtener la versión más reciente.
Valencia, septiembre de 2003
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"Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos tomado en consideración aquí [las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromagnéticos de los cuerpos en
movimiento] revelan su ser interno con completa sencillez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobre
nosotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada."
Hermann Minkowski (1909)
Copyright © 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino. Valencia, Spain. All rights reserved.
Redistribution without modification allowed at no other cost than ordinary copying fee. FOTOCOPIA AUTORIZADA.
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y RELATIVIDAD
Formulación covariante Lorentz del campo electromagnético
1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial:
Medida de intervalos espaciales y sincronización de relojes en S, (definición de t):
Consideremos observadores inerciales de la clase O: {O1, O2, ... On, ...}, en un sistema inercial S.
Y
O1
On
S
X
O
Z
O2
Consideremos inicialmente que los observadores de la clase O están en reposo entre
sí. Lo pueden comprobar, por ejemplo, mandandose pulsos de radar y determinando el
tiempo que tarda el pulso en ir y venir.
Vemos la necesidad de relojes para determinar distancias, aún en un mismo sistema
inercial S.
Definición de tiempo en S a partir de los relojes:
Todos los observadores que están en sus "laboratorios" en los diferentes puntos del
sistema inercial S tienen relojes. Para establecer un tiempo en S siguen los pasos:
Primero: Comparan la marcha de los diferentes relojes en O. Así los relojes Ro, Ro1,
Ro2, ... Ron están sincronizados en O. (Marchan al mismo ritmo).
Se concluye que si marchan al mismo ritmo en O, así lo harán en O1, en O2, ...
en On. Es decir, en cualquier punto de S.
Segundo: Cada observador se va a su lugar de observación con su reloj. Ahora es
necesario un criterio para medir tiempos y definir el "tiempo", en el sistema inercial S.
I 1
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
Tercero: Si cada observador O, utiliza su propio reloj para medir el tiempo en su en-
torno, tendremos un tiempo válido en O1, en O2..., en On . ¡No un tiempo t para todo el
conjunto de observadores O! No un tiempo t definido en S.
Cuarto: Para tener ese tiempo t definido en S hay que introducir un criterio para sin-
cronizar los relojes de O1, O2, ... On, ... ¿Pero no estaban ya sincronizados?. Si, lo estaban cuando, poniéndolos a cero, los hacíamos funcionar todos en un mismo punto O.
Ahora está cada uno en su sitio O1, O2, ... On, ... y hay que decirles cómo han de empezar a funcionar. Esto es definir el tiempo para el sistema inercial S.
Quinto: Si O es quien tiene que dar la orden de comenzar a marcar el tiempo, (poner
los relojes en funcionamiento) es lógico que envíe una señal a los observadores en O1,
O2, ... On, ... para decirles que pongan en marcha sus relojes. Para ello escogerá una señal que se transmita lo más rápidamente posible entre O y O1. Esta señal será un pulso
electromagnético que se propagará a velocidad c en S.
Sexto: En el sistema S se procede así. El observador O pone la manecilla de su reloj
en el origen de tiempos t = 0 y el reloj empieza a funcionar en O, cuando es emitido el
pulso electromagnético de velocidad c.
Cuando el pulso alcanza el reloj O1 cuya distancia a O es OO1 , se conviene que O1
ponga en marcha su reloj, colocando inicialmente sus manecillas en la indicación
t01 =
OO1
.
c
Lo mismo hará O2 con su reloj cuando le alcance el pulso, poniéndose a funcionar en
t 02 =
OO2
c
. Así para todos los relojes de los observadores de la clase O que estén en S.
Séptimo: Por definición, diremos que ha quedado establecido el modo de medir el
tiempo t en S. Diremos que un suceso se produce en un punto Oi de S en un tiempo ti
cuando el observador Oi que está en el lugar donde se produce el suceso, al consultar su
reloj ve que la manecilla del mismo marca el tiempo ti.
Tal procedimiento para definir cómo se determina el tiempo en S no hubiera sido necesario si existiese una señal que se propagara con velocidad infinita, ya que entonces t0
= 0 = t01 = t02 = ... = t0n = ...
I 2
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Hemos definido así un tiempo t en S, pero si consideramos otro sistema inercial S'
que se mueve respecto de S ¿Será el tiempo definido en S el tiempo en S'? Esto es, ¿estarán sincronizados en S' los relojes que estaban sincronizados en S? La respuesta, negativa, la hallamos en el articulo fundamental de Einstein: "Zur Electrodynamik
bewegter Körper", Annalen der Physik, 17: 891, 1905 ("The Principle of Relativity" A.
Einstein & Others, Methuen & Co. Ltd. of London 1923, incluye la traducción de la
referencia anterior bajo el título: "On the Electrodynamics of moving bodies"*).
Sean todos los observadores de la clase O' del sistema inercial S' y procedan del
mismo modo con sus relojes para definir cómo se determina el tiempo en S'. Concluido
el proceso, podemos del mismo modo decir que si un suceso se produce en el punto Oj'
en el tiempo tj', es porque el observador que estaba en ese lugar, al mirar su reloj vio
que marcaba el tiempo tj'.
La cuestión está en relacionar las posiciones y tiempos de un suceso que referenciado
respecto de S tiene las coordenadas (x, y, z, t), y referenciado respecto de S' tiene las
coordenadas (x', y', z', t'). Según la física Newtoniana tal relación era:
(t ′, r ′) = (t, r − v t )
Para: v =
Transformación de Galileo
d OO '
. ¿Hasta qué punto es correcta esta ley?
dt
Efecto Doppler para ondas de sonido:
Es interesante repasar el efecto Doppler para el sonido, o para la perturbación acústica que se propaga en un medio, por ejemplo el aire.
Para el sonido consideramos un medio elástico (más o menos) que es el que transmite la onda longitudinal. La perturbación es de tipo escalar. La propagación consiste en
la transmisión en el medio del conjunto de compresiones y rarefacciones que constituyen la onda sonora. Al llegar estas ± ∆P a nuestro tímpano, éste vibra y notamos la
sensación sonora.
Así pues, en primer lugar: Existe un medio que transmite la onda sonora. Respecto
de ese medio, en reposo, tenemos el observador, "el oyente" podríamos decir en este
caso. Tal observador, con sus detectores adecuados, en reposo respecto del medio, es el
que hace las medidas sonoras, por ejemplo de la frecuencia de la onda sonora f, y de la
*
John Walker tiene disponibles varias versiones digitales de este artículo, ahora de dominio público, en
http://www.fourmilab.ch
I 3
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
velocidad de la perturbación en el medio v. Evidentemente lo que produce el sonido o
fuente estará en reposo respecto del medio, y por tanto del observador O.
Por lo tanto, existe un medio o marco en donde el observador O fija sus ejes de coordenadas y se sitúa en reposo respecto de ese medio o marco, que permanece estable y
con propiedades características. La fuente F en otro punto de ese medio o marco, emite
ondas sonoras de frecuencia f que se propagan de F hasta O a través del medio, con velocidad v y longitud de onda λ (según constatan los aparatos que utiliza O). Tenemos:
λ⋅ f =v
Este medio o marco es lo que llamamos espacio absoluto (el espacio absoluto de
Newton). Tanto el observador O como la fuente F están en reposo respecto del marco
absoluto y por tanto en reposo entre sí.
Evidentemente, si O se mueve respecto del marco (también respecto de F como resultado), lo notaría. Notaría el viento en la cara o el "viento del éter" (según se decía en
la física de principios del s. XX).
a) Fuente en movimiento. Observador en reposo:
Supongamos que la fuente emisora se mueve con velocidad u respecto del observador (evidentemente se mueve también en el marco o medio con velocidad u). El observador mide ahora otra frecuencia f ' para la perturbación emitida por la fuente.
+u
F
O
–u
Tal frecuencia será*:
f '= f
[I]
1
1+ u
( v)
(si la fuente se aleja )
f '= f
1
1− u
( v)
Donde:
(si la fuente se acerca)
•
f = frecuencia de la onda sonora.
•
v = velocidad de la onda sonora en el medio. Velocidad respecto del marco o espacio absoluto.
•
f ' = frecuencia medida por el observador (Receptor).
*
El efecto Doppler clásico se explica en cualquier texto de Física General. Véase, por ejemplo: R. Resnick - D. Halliday: Física, Editorial Continental, México 1982 Tomo I, sección 20-7.
I 4
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
La velocidad u de la fuente tiene signo + si la fuente se aleja de O y signo – si la
fuente se acerca a O.
b) Fuente en reposo. Observador en movimiento:
Ahora es la fuente la que permanece en reposo respecto del medio y el observador se
mueve respecto de la fuente (o del medio, es lo mismo) alejándose o acercándose a la
misma con velocidad u. La variación de frecuencia que se observa por los sistemas de
medida utilizados por O dan para la medida de f '' en este caso:
F
[II]
–u
O
+u
u
f ' ' = f 1 + 
v

Conclusión:
A la vista de las ecuaciones [I] y [II] hallamos que lo importante para explicar el
efecto Doppler en el sonido es la velocidad absoluta de la fuente F o del observador O
respecto del medio y la velocidad v de la perturbación respecto del medio.
• En el caso a) se mueve la fuente (p. ej. acercándose a O) y el resultado es f '.
• En el caso b) se mueve el observador (p. ej. acercándose a F) y el resultado es f ''.
Resulta que f ' ≠ f '', en el mismo caso de movimiento relativo, pero en distinto caso de
movimiento absoluto. En el caso a) el observador no nota el "viento del éter" y en el b) sí.
Veamos qué ocurre cuando desaparece el medio entre el observador y la fuente y
estudiamos el efecto Doppler para la luz.
Efecto Doppler para la luz:
Cuando tenemos una perturbación electromagnética emitida por una fuente F y recibida por un observador O puede existir el vacío entre F y O.
De este modo, así como para el sonido necesariamente ha de existir un medio (en
donde la velocidad de éste es v), para la luz entre F y O podemos tener el espacio vacío,
entonces la velocidad c no es la velocidad de la luz respecto de ningún medio o
marco de referencia asociado a la presencia de dicho medio, sino la velocidad con la
que la perturbación recorre la distancia que separa F y O.
I 5
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
Si esa distancia OF ≡ FO es la misma según va transcurriendo el tiempo que marca el reloj que va asociado al observador O, entonces el observador y la fuente están
en reposo relativo. No podemos decir que F y O están en reposo respecto del medio
porque simplemente ese medio no existe.
Si la distancia entre O y F varía con el tiempo, podemos eventualmente asociar a la
fuente una velocidad uniforme u que acerca o aleja la fuente del observador O.
Tenemos que hacer dos reflexiones:
1) El movimiento es relativo. La velocidad u se puede interpretar también como la
velocidad con que el observador O se acerca o se aleja de la fuente. Ahora, que se mueva F, o se mueva O es lo mismo. Es más, no podemos hablar de velocidad absoluta u
sino de velocidad de F respecto de O.
Si O se acerca o se aleja de F, eso no podemos ponerlo de manifiesto pues O no nota
el "viento del éter", sencillamente porque no hay medio o éter.
2) La velocidad de la luz c es en el vacío. Es decir, cuando el vacío está "separando" F y O. En un instante F emite un pulso de radar o señal (luz) y esta señal es detectada por los instrumentos que posee el observador O. Una vez emitida la señal por F, se
propaga a través del vacío hasta llegar a O con velocidad c.
Es decir, c es una constante propia de la propagación de la perturbación en el vacío y
totalmente independiente de la velocidad relativa u entre la fuente y el observador:
"El observador siempre atribuye a la perturbación electromagnética en el vacío la
velocidad c, independientemente del estado de movimiento de la fuente"
Éste es el postulado básico de la "Relatividad Especial".
En las ecuaciones anteriores consideramos como v la velocidad constante c (que no
es la velocidad respecto de ningún medio, sencillamente porque no hay medio), y tendremos:
1
1− u
( c)
f ' ' = f (1 + u )
c
f '= f
Foco aproximándose
Observador aproximándose
I 6
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Siendo u la velocidad relativa de la fuente F y el observador O. Ahora bien ¿Con qué
fórmula nos quedamos, ya que ahora no tenemos la posibilidad de distinguir (como
para el sonido) el caso a) ó b)? Si fuera posible medir el valor f ' y el valor f '', entonces
podríamos saber quién se mueve, bien la fuente, bien el observador, y por lo tanto
sería posible determinar la velocidad u, respecto del espacio absoluto.
Como u es una velocidad relativa (igual en el caso a que en el caso b), lo más probable es que ni f ' ni f '' sean las frecuencias previstas del efecto Doppler para la luz.
Efectivamente, la frecuencia observada para la luz emitida por una fuente en movimiento relativo, con velocidad u respecto de un observador O, viene dada por la expresión (según se demostrará con posterioridad):
f '= f
1+ u
c
u
1−
c
No hay dos casos, pues u es la velocidad relativa. Así pues, por esta medida de frecuencia f ' sólo podemos detectar el movimiento relativo de la fuente F respecto del
observador O.
Una aplicación inmediata de esta relación en Astronomía proporciona la medida de
la velocidad radial con la que los cuerpos luminosos celestes se mueven con respecto de
la Tierra. Nótese que las medidas hechas sobre las radiaciones recibidas de las distintas
galaxias y otras radiofuentes, parecen indicar para todas una velocidad de recesión o
alejamiento, que es tanto mayor cuanto mayor es la distancia de la fuente en cuestión a
nuestro planeta (Ley de Hubble). Estas observaciones son la base del concepto de Universo en expansión*.
En cuanto a las expresiones de la frecuencia dadas en a), b), y para la luz, podemos
aproximar, teniendo en cuenta que prácticamente siempre tenemos u<<c, con:
(
1− u
)
−1
v
 u  (− 1)(− 2 )  u 
= 1 + (− 1) ⋅  −  +
 −  + ...
2
 v
 v
2
*
Se plantea una cuestión interesante: Si todas las galaxias se alejan de la Tierra... ¿Es nuestro planeta el
centro de expansión del Universo? ¡Qué chocante que tuviéramos que volver al geocentrismo, después de
haberlo desechado desde los tiempos de Copérnico y Galileo! No es así, cualquier punto del Universo
podría ser el centro de expansión. Un observador allí situado vería de igual modo alejarse de él a todas las
galaxias. Podemos establecer una analogía entre un universo bidimensional en expansión, y la superficie
de un globo (con galaxias pintadas...) que se está hinchando. Al expansionarse la superficie, todos los
lunares se alejan unos de otros con una velocidad relativa proporcional a la distancia medida (sobre la
superficie).
I 7
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
Para el caso a):
  u   u 2

f ' = f .1 +   +   + ...
  c   c 

Para el caso b):
  u 
f ' = f .1 +   
  c 
Para la luz:
  u  1  u 2

f ' = f .1 +   +   + ...
  c  2  c 

u
Para todas las fuentes monocromáticas disponibles, casi siempre u<<c y   , por
c
tanto, tiene un valor muy pequeño. Nuestro sistema de medida ha de ser capaz de dis2
u
tinguir y medir con una aproximación de   para hallar que el último caso es el coc
rrecto (experimental y conceptualmente es el de mayor contenido lógico y el más ele2
u
gante). Los términos en   son los términos de corrección relativista, que se ponen de
c
manifiesto cuando u se aproxima a c.
Definición de Simultaneidad:
a) Medidas de longitudes y posiciones:
Supongamos un observador O que quiera posicionar cualquier objeto en reposo respecto de él. Para ello establecerá un sistema coordenado, por ejemplo cartesiano, y con
referencia a los tres ejes, cuyo origen puede tomar en el punto que él mismo ocupa,
asignarle coordenadas al punto en cuestión P (x1, y1, z1).
Por los métodos de la geometría euclídea la distancia OP será:
OP = x12 + y12 + z12
Y esta distancia será la que, con los patrones de longitud establecidos y colocándolos
directamente sobre la línea OP, dará el resultado de la medida. Cualquier otro punto
Q(x2, y2, z2) distará de P:
QP ≡ PQ =
(x2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
Distancia que será el resultado directo de la aplicación de la unidad de longitud sobre
la línea recta que une P con Q. La medida de distancias puede hacerse de otro modo:
El punto P, siendo estacionario respecto de O, puede posicionarse en el sistema coordenado como sigue: El observador O tiene un reloj a su disposición, y un emisor y un
I 8
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
receptor de pulsos electromagnéticos. Emite un pulso en la dirección (θ', ϕ'). Espera a
recibirlo y ajusta el detector para que reciba la máxima señal reflejada por P en la dirección (θ, ϕ). Si el tiempo en que es emitida la señal (una vez calibrada la dirección (θ,
ϕ)) es t0 = 0 (por ejemplo), y esta es recibida de vuelta por el reloj estacionario del observador en O en t0', y haciendo la hipótesis de que el pulso tarda lo mismo en viajar
de O hasta P, que de P hasta O, y que lo hace a velocidad c, se tendrá:
2 OP = 2 R = t 0′ ⋅ c
Así pues quedará determinado P(R, θ, ϕ), o bien P(x, y, z).
Podríamos operar del mismo modo para todo punto Q y para muchos otros puntos
donde podrían situarse observadores locales con sus aparatos de medidas, para reseñar
todo suceso que ocurriera en su proximidad. Todos los sucesos observados en los diferentes puntos tendrían una localización precisa. Todos los observadores en los diferentes
puntos serían equivalentes entre sí, ya que están en reposo respecto de O y podrían utilizar la misma referencia que O para posicionar su situación o cualquier otra. Diremos
que estos observadores pertenecen a la clase O. Son observadores de la clase O.
b) Medida del tiempo para los observadores de la clase O:
Supongamos que queremos describir la posición de una partícula que se mueve respecto del observador O (por lo tanto respecto de cualquier otro de los de la clase O). Tal
partícula varía su posición en función del tiempo. Así pues hemos de definir de modo
preciso cómo miden el tiempo los observadores de la clase O.
Tomemos un conjunto de relojes que consideramos aptos para medir el tiempo, y
compruebe el observador en O que todos los relojes marchan al mismo ritmo en O. Diremos entonces que están sincronizados en O.
Los llevamos al punto P y los observamos por medio de nuestro observador en P.
Vemos que si estaban sincronizados en O, también están sincronizados en P y, del mismo modo, estarán sincronizados en Q, y para cualquier observador situado en cualquier
punto, si es de la clase O.
Ahora cada observador toma un reloj, de los que hemos visto sincronizados y denominaremos como aptos para medir el tiempo, y se lo lleva al punto que ocupará: P,Q,...
y donde realizará las observaciones.
I 9
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
Ahora es cuestión de definir claramente cómo sincronizamos los relojes, uno en O,
otro en P, otro en Q... etc., para medir el tiempo en que un determinado suceso ocurre en
O, en P o en Q y que este sea el criterio de sincronía que rige para el tiempo asociado a
los observadores de la clase O.
La sincronización de relojes situados en reposo, en dos puntos diferentes, se efectuará mediante una señal. Si existiera una señal que se propagara instantáneamente de un
punto a otro, en todas las direcciones, lo que vamos a exponer ahora no tendría sentido.
No es así, ya que la luz en el vacío es la señal con mayor velocidad posible c. Utilizamos pues un pulso (de radar p. ej.) para sincronizar.
Como sabemos la distancia que existe entre O y el resto de los observadores de la
clase O situados en los diferentes puntos P,Q, ... etc., mandamos poner las manecillas
del reloj correspondiente en la siguiente posición:
•
Para el reloj del observador O, poner la manecilla en:
•
Para el reloj del observador P (en P), poner la manecilla en:
•
Para el reloj del observador Q (en Q), poner la manecilla en:
t0 = 0
tp =
tq =
OP
c
OQ
c
Y así para cualquier observador situado a la distancia d de O, que tendrá que situar la
manecilla de su reloj en la división:
t=
d
c
Cómo calculamos este tiempo:
Según Einstein: Sean observadores en reposo en O y P, con relojes sincronizados, aptos para medir el
tiempo en S. Son ambos de la clase O y utilizan las mismas coordenadas para referenciar los sucesos en S.
P
R
O
Supongamos que el observador O manda un pulso
electromagnético en t = 0, el pulso viaja con velocidad c
hasta P, rebota en P (en tp), y se recibe de nuevo en O en
el tiempo t'. Por definición, la distancia 2 R = c t', y por lo
tanto: t ' = 2 R .
c
I 10
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Supongamos ahora que el pulso fue recibido por P en el instante tp (marca del reloj en P). Como parece lógico, el tiempo que tardó la señal en ir de O hasta P ha de ser el mismo que el que tarda en ir de P
hasta O y, por lo tanto, podremos poner:
(t
p
) (
)
− 0 = t ′ − t p ⇒ 2t p = t ′
[tiempo de la señal en ir de O hasta P] = [tiempo para ir de P hasta O]
y teniendo en cuenta la relación anterior:
2t p = t ′ =
2R
c
tP = R
⇒
c
Que es la indicación del reloj en el punto P, en el momento de la llegada del rayo.
Convengamos que, en t0 = 0 para O, se emite por tal observador una señal electromagnética que pone en marcha el reloj en O y, sucesivamente, los relojes de los diferentes observadores situados en los diferentes puntos del espacio. A partir de que el pulso los alcanza, y los relojes de S están funcionando, diremos que tales relojes están sincronizados con O y sincronizados entre sí.
Definición: Diremos que un suceso que ocurre en un punto P, ocurre en el tiempo t,
si el reloj en P marca el tiempo t al suceder el mismo.
Definición: Sucesos que ocurren en un punto P y en un punto P' diremos que son simultáneos, si los relojes en P y en P' señalan el mismo tiempo t.
De esta definición de simultaneidad se deriva una conclusión inmediata: Dos sucesos, uno en P y otro en Q, si son simultáneos no pueden estar conectados causalmente.
Un suceso que ocurre en P en el tiempo tp y otro que ocurre en Q en el tiempo tq sólo
pueden estar conectados causalmente si se verifica que:
PQ
tq − t p
≤c
De este modo queda definido un tiempo universal para todo el sistema de referencia
S (para todos los observadores de la clase O). Ahora queda definido un tiempo común
para P y para Q, no un tiempo válido en O y un tiempo válido en Q como hubiera sucedido si midiéramos el tiempo transcurrido en P y en Q sin hacer ninguna afirmación
adicional.
Finalmente, sea un observador O' que se mueve con velocidad v respecto del observador O, y por tanto respecto de todos los observadores de su clase, y que utiliza unos
I 11
Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial
ejes coordenados x', y', z', ligados a O' y en donde pueden situarse observadores P', Q'...
en diferentes puntos, en reposo respecto de O' y por supuesto entre sí. Tales observadores se denominarán de la clase O' y miden sus distancias mutuas y las distancias de O' a
cualquier punto de la forma que lo hacían los observadores de la clase O. En este caso
con patrones de medida en reposo respecto de O'.
También los relojes han sido sincronizados por señales de radar emitidas por O' y recibidas por los observadores de su clase, del mismo modo que se hizo para los relojes de
la clase O.
Esto supone aceptar como principio la hipótesis: El pulso de radar se mueve con velocidad c en el vacío tanto respecto de los observadores O como para los observadores O'.
Principio de constancia de la velocidad de luz independiente de la velocidad del foco.
Diremos que un suceso ocurre en un punto dado P, en el instante t respecto de S
(conjunto de observadores O) y en un punto P', en el instante t' respecto de S' (conjunto
de observadores O'), si los relojes de los observadores en P y en P' marcan el tiempo: t,
y t' respectivamente, al ocurrir el suceso.
Relaciones entre las coordenadas y tiempos para un suceso referido a dos clases de
observadores inerciales:
La relación clásica existente entre las coordenadas y tiempos para un mismo suceso
referido a dos clases de observadores O y O' es la Transformación de Galileo.
Supongamos que los observadores O referencian los sucesos respecto del sistema S,
de origen de coordenadas O. Los observadores O' utilizan el sistema S', de origen O',
con ejes orientados según la figura. Y convenimos que en el instante en que O y O'
coinciden tomamos el origen de tiempos para t = 0 y t' = 0.
Y
Y'
P ≡ P'
(x, y, z, t) coordenadas del suceso en S
v
(x', y', z', t') coordenadas del suceso en S'
Q ≡ Q'
O
X ≡ X'
O'
(x0, t0) en S
Z
Z'
(x0', t0') en S'
I 12
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
El Principio de la Relatividad Galileana nos dice que las relaciones entre las coordenadas y tiempos del mismo suceso medido respecto de las dos clases de observadores
O y O' son:
[I]
x ′ = x − vt , y ′ = y ,
z′ = z ,
t′ = t
Cualquier ecuación de la mecánica expresada en coordenadas (x, y, z, t) tiene idéntica
expresión en coordenadas (x', y', z', t'). Es decir, ante una transformación de coordenadas como la anterior las ecuaciones de la mecánica son covariantes. La expresión matemática de la ley tiene la misma forma, escrita respecto de S o respecto de S'.
Las dudas acerca de la validez de las ecuaciones [I] surgen ante el hecho de que las
ecuaciones del campo electromagnético no son covariantes ante transformaciones
de este tipo. Por tanto, las anteriores relaciones han de ser modificadas de modo que el
principio de covariancia (invariancia de forma bajo transformaciones de coordenadas
entre sistemas inerciales) sea valido para todas las ecuaciones de la física.
Supongamos que en el momento en que coinciden O y O', un rayo de luz abandona el
origen de coordenadas y llega al punto Q≡Q'. Si las coordenadas del suceso medido por
el observador Q en S son (x0, t0) y las del observador Q' estacionario en S' son (x0', t0'),
x0
=c
t0
se cumplirá:
Veamos cuánto vale
x ′ x − vt 0 x 0
x 0′
. Según la transformación [I]: 0 = 0
=
−v =c−v
t0′
t 0′
t0
t0
Luego la velocidad de la luz medida por los observadores de la clase O' sería (c − v),
en desacuerdo con el postulado de constancia de la velocidad de la luz.
Hay que sustituir la transformación [I] por otra que esté de acuerdo con tal postulado.
Tal transformación es la de Lorentz. En este caso particular, esta transformación es:
x ′ = γ (x − vt )
[II]
 vx 
t′ = γ t − 2 
 c 
con: γ =
1
1− β
2
y: β = v
c
Utilizando tal transformación la velocidad de la luz es c, tanto en S como en S'.
I 13
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
 x0

 − v
t0
x ′o
γ (x 0 − vt 0 )
 = c−v = c
=
= 
v
vx   vx 
t 0′

γ  t 0 − 20  1 − 2 0  1 − c
c   c t0 

En efecto:
Y tal transformación que preserva la velocidad de la luz, c en S', es la que adoptaremos en el estudio de los fenómenos electromagnéticos.
2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz:
Espacio de Minkowski m4:
Cada suceso para el conjunto de observadores de la clase O se describirá con un
conjunto de cuatro números que representan el tiempo y la posición del suceso, medido
por cualquiera de los observadores de la clase O. Así un suceso P será:
P (t, x, y, z)
Podemos representar el suceso en un espacio cuadridimensional m4, el espacio de
Minkowski y tomar ejes adecuados para que P tenga coordenadas respecto de tales ejes:
(
P = x 0 = c.t , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z
)
Así pues, tenemos en un diagrama tiempo/espacio:
X
0
P(x0, x1, x2, x3)
X1
Es evidente que el mismo suceso se puede referenciar por observadores de la clase
{O }, que se mueven con velocidad v respecto de {O} sobre el eje x = x común. Tal
suceso se referenciará por P(x , x , x , x ) . Si tomamos unos ejes adecuados en el espa0
1
2
3
cio de cuatro dimensiones tendremos:
P(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )
X1
X0
I 14
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Ya conocemos las relaciones que han de existir entre las observaciones realizadas del
suceso P por {O} y {O }. Tales relaciones son:
x = γ (x − vt )
y=y
z=z
 vx 
t = γ t − 2 
 c 
Transformación de Lorentz
Que definen a los sistemas coordenados Lorentz: {Xα}. Así, para la transformación de
coordenadas entre sistemas coordenados Lorentz: X α = X α (X β ), tendremos:
x 0 = γ (x 0 − β .x1 )
x 1 = γ (x1 − β .x 0 )
[I]
En donde: γ =
x 2 = x2
1
1− β 2
, β=v
c
x 3 = x3
Si tuviéramos la transformación inversa: X α = X α (X β ):
x 0 = γ (x 0 + β .x 1 )
x 1 = γ (x 1 + β .x 0 )
[II]
x2 = x 2
x3 = x 3
Transformación de coordenadas en m4:
De este modo cualquier punto (suceso) P en m4 puede representarse en coordenadas
respecto del sistema de ejes x ó x . En principio la transformación de coordenadas o
cambio de ejes puede ser cualquiera, y vendrá dado por las funciones:
( )
Xα = Xα X β
[I']
De tal forma que la relación entre X α y X β será de la forma:
X µ = Λµ ν X ν
con:
Λµν =
∂X µ
∂X ν
Para transformaciones de la forma [I], [I'].
En el caso de transformaciones [I], Λµν tiene las componentes:
Λ0 0 =
∂X 0
∂X 0
=γ
Λ01 =
∂X 0
∂X 1
= −γ β
Λ10 =
∂X 1
∂X 0
= −γ β
...etc.
Dando lugar a la matriz de cambio de coordenadas:
x0   γ
 x1   − γβ
 2 =  0
x3 
 x   0
− γβ
γ
0
0
0
0
1
0
0  x 0 
0  x 1 
0  x 2 
1  x 3 
 
I 15
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
Para la transformación inversa:
( )
Xα = Xα X β
[II']
La relación será de la forma: X µ = Λµ ν X ν
Donde las cantidades definidas por la transformación son:
∂X µ
µ
Λ ν =
∂X ν
Y con la relación que se establece en las ecuaciones [II] éstas son:
∂X 0
∂X 0
∂X 1
0
1
Λ0 0 =
=
γ
Λ
=
=
γ
β
Λ
=
=γ β
1
0
∂X 0
∂X 1
∂X 0
...etc.
dando lugar a:
x0   γ
 x1  γβ
 2 =  0
x3 
0
 x  
γβ
γ
0
0
0
0
1
0
0  x 0 
0  x 1 
0  x 2 
1  x 3 
 
Una transformación es inversa de la otra. Luego para cualesquiera que sean las transformaciones [I'] y [II'] se tendrá:
Λµν Λν α = δ µ α
y las matrices representativas serán una la inversa de la otra.
En particular, si Λ y Λ describen la transformación de ejes establecida en m4 por las
ecuaciones [I] y [II], serán las transformaciones que fijen las relaciones que existen entre sucesos descritos por observadores de la clase {O} y { O }.
Métrica en m4:
En particular dos sucesos pueden ser sucesos próximos descritos por {O} de modo
que correspondan a P y P + dP según dx que puede ser expresado en componentes respecto al sistema coordenado x ó x .
P+dP
dx
P
(
(
)
)
dx µ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3
dx 
îdx µ dx 0 , dx 1, dx 2 , dx 3
dx µ y dx µ se relacionan a través de las matrices Λ. Así:
dx µ = Λµν dxν
Definimos un tensor g métrica en m4, que tendrá componentes en S, y que nos servirá para calcular la distancia entre dos puntos o el modulo del vector dx de la forma:
I 16
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = dxν dxν
( ) − (dx ) − (dx ) − (dx )
ds = dx
2
0 2
1 2
2 2
Por definición
3 2
Donde hemos utilizado dxν = g µν dx µ .
Mirando la expresión y teniendo en cuenta que las componentes del vector dx son
(
)
dx ≡ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 , tendremos que:
g µν = diag (1, − 1, − 1, − 1)
(
dx µ ≡ dx 0 , − dx1 , − dx 2 , − dx 3
y por tanto:
)
Por otra parte, la distancia entre los puntos o módulo del vector dx se puede expresar:
( ) − (dx ) − (dx ) − (dx )
ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = dxν dxν = dx 0
2
1 2
2 2
3 2
Por lo que identificamos las componentes g µν como:
g µν ≡ diag (1, − 1, − 1, − 1)
g αβ g βγ = g α γ = δ α γ = δ γα = diag (1, 1, 1, 1), la identidad.
Es evidente que:
dxν = g νµ dx µ
Y que:
La expresión así definida para ds 2 es propiamente una distancia, vale lo mismo en S
y en S (Invariancia del intervalo en forma y número). En efecto:
2
2
2
(
2
)
(
2
ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = γ 2 dx 0 + βdx 1 − γ 2 x 1 + βdx 0
2
2
2
) − dx
2
2
22
− dx 3
2
2
= γ 2 dx 0 + γ 2 β 2 dx 1 + 2 βγ 2 dx 0 dx 1 − γ 2 dx 1 − γ 2 β 2 dx 0 − 2 βγ 2 dx 1dx 0 − dx 2 − dx 3
(
)
(
2
)
2
2
= γ 2 1 − β 2 dx 0 − γ 2 1 − β 2 dx 1 − dx 2 − dx 3
(
(
Donde:
(
dx 0 = γ dx 0 + βdx 1

dx 1 = γ dx 1 + βdx 0
 2
2
dx = dx
 3
3
î dx = dx
2
)
)
)
En definitiva, ya que: γ 2 1 − β 2 = 1 , se tiene:
( ) − (dx ) − (dx ) − (dx )
ds 2 = dx 0
2
1 2
2 2
3 2
= ds 2
Utilizando la métrica en componentes en el sistema S :
ds 2 = g µν dx µ dx ν
Lo que quiere decir que:
g µν = diag (1, − 1, − 1, − 1).
I 17
2
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
Transformaciones de Lorentz:
Como g es un tensor, sus componentes g ó g están relacionadas entre sí por matrices Λ. Así pues: g = Λ Λ g , ó bien: g µν = Λµ β Λν γ g βγ , donde Λ es la matriz de la
( )
x µ = x µ xα
transformación:
Λµ β =
∂ xµ
∂ xβ
Se define como transformación de Lorentz cualquier transformación Λ de las coordenadas que deje invariante la métrica:
ΛΛ
g (1, − 1, − 1, − 1) → g (1, − 1, − 1, − 1)
Tales transformaciones se denominan ortogonales en el sentido de la métrica y
determinan sistemas coordenados Lorentz en m4.
Cono de luz:
Una vez visto que el intervalo entre dos sucesos tiene el mismo valor en cualquier
sistema de coordenadas (es decir, puede servir como distancia entre dos puntos) podemos clasificar los intervalos del siguiente modo:
1) Intervalo de tipo temporal:
Si: ds 2 > 0 ⇒
2
2
2
2
ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = c 2 dτ 2 > 0
El intervalo entre sucesos es mayor que cero. Si un suceso es posterior a otro en un
sistema coordenado Lorentz es siempre posterior en cualquier otro sistema Lorentz.
O dicho de otra forma. Si un suceso es posterior a otro para un observador inercial,
siempre es posterior para cualquier observador, está en el Futuro Absoluto. Si es anterior a otro en un sistema coordenado Lorentz, es anterior en cualquier otro sistema Lorentz, está en el Pasado Absoluto.
En particular hay un observador para el cual los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. En este caso, el tiempo transcurrido se denomina Intervalo de Tiempo Propio.
2) Intervalo de tipo espacial:
Si: ds 2 < 0 ⇒
2
2
2
2
2
2
2
ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = − dx 1 + dx 2 + dx 3  < 0


Un suceso del intervalo puede suceder antes o después que el otro según el sistema
de referencia desde el que se observe. En particular pueden suceder en el mismo tiempo,
aunque en dos puntos espaciales diferentes. Tales sucesos se dice que están en la región
del espacio de Presente Condicional.
I 18
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
3) Intervalo isótropo:
2
2
2
2
2
2
2
2
Si: ds 2 = 0 ⇒ ds 2 = dx 0 − dx1 − dx 2 − dx 3 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = 0
En cualquier sistema coordenado Lorentz, o para cualquier observador inercial {O}, los
dos sucesos están separados espacialmente, y ocurren en el intervalo de tiempo dt tal que:
dx 2 + dy 2 + dz 2
= c2
2
dt
Se dice que los sucesos están separados, o conectados, por un rayo de luz. Así pues,
para todo suceso P podemos dividir el espacio de Minkowski en las siguientes regiones:
x0
m4
Línea de Universo que
Sucesos en el Futuro
pasa por P
Absoluto de P
P
Puntos de Presente
Condicional
x2, x3
Puntos de Presente
x1
Condicional
Sucesos en el Pasado
Puntos sobre el cono de luz
Absoluto de P
Cono de luz de vértice P
Que definen la estructura causal del espacio-tiempo. La historia de una partícula puntual
es un conjunto conexo de sucesos, una curva continua en m4: una línea de Universo.
Cuadrivectores sobre m4:
De la misma forma que al espacio ordinario R3 se le asocia un espacio vectorial euclídeo V3, caracterizado por el producto escalar ordinario, para formar un espacio afín
euclídeo E3, al espacio métrico m4, caracterizado por g, se le puede asociar un espacio
vectorial V4 de cuadrivectores, cuyas componentes en los sistemas coordenados Lorentz se transformarán como las coordenadas de los puntos de m4.
Para un cuadrivector A se pueden considerar sus componentes contravariantes:
Aµ (A0, A1, A2, A3), y sus componentes covariantes Aµ , relacionadas por: Aµ = gµνAν ,
de manera que: Aµ (A0 = A0, A1 = –A1, A2 = –A2, A3 = –A3).
Bajo una transformación de coordenadas, las componentes contravariantes se trans∂X µ ν
formarán con las Λ:
Aµ =
A = Λµ ν Aν
∂X ν
∂X ν
ν
Y las componentes covariantes, con las Λ :
Aµ =
A = Λ µ Aν
µ ν
∂X
I 19
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
El producto escalar de dos cuadrivectores se define con la métrica:
( )
A ⋅ B = g A, B = Aµ gµν Bν = Aµ Bµ = A0B0 + A1B1 + A2 B2 + A3B3 = Bµ Aµ
= B0A0 + B1A1 + B2 A2 + B3A3
= A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3
El producto escalar de dos cuadrivectores es un escalar Lorentz, esto es, es invariante
bajo cambios de coordenadas Lorentz.
Llamaremos norma o módulo de un cuadrivector al cuadrado del cuadrivector:
A ⋅ A = Aµ gµν Aν = Aµ Aµ = A0A0 + A1A1 + A2 A2 + A3A3
= (A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2
Los cuadrivectores pueden clasificarse según su módulo, así para:
•
•
•
Si A ⋅ A < 0 , A es de tipo espacial.
Si A ⋅ A = 0 , A es de tipo luz o nulo.
0
Si A ⋅ A > 0 , A es de tipo temporal.
La componente A de un cuadrivector A se llama temporal, y las componentes (A1,
A2, A3) espaciales. Para las transformaciones puramente espaciales, A0 es un escalar y A
= (A1, A2, A3) un vector. Podemos escribir así las componentes contravariantes de un
cuadrivector como: Aµ (A0, A), y las covariantes como: Aµ (A0, – A), con lo que el pro-
ducto de cuadrivectores A ⋅ B se indicará: Aµ Bµ = A0B0 – A·B. Y el módulo de un cua-
drivector A ⋅ A : Aµ Aµ = (A0)2 – |A|2.
Relación entre ds, dτ y dt:
Supongamos una línea de Universo, curva de
m4 con parámetro s, τ, ó t, de modo que el inter-
ds2
valo entre dos puntos cualquiera próximos sea de
P
P+dP
x (s )
tipo temporal: ds2 = c2 dτ2
El parámetro que identifica la posición del
afijo del vector puede estar definido de modo
x = x (s ), ó: x = x (τ ) , ó: x = x (t )
que:
Tomemos un sistema coordenado Lorentz particular S. Las componentes del vector
x (t ), o las coordenadas del punto P serán:
(
x µ (t ) ≡ (ct , x, y , z ) ≡ x 0 , x 1 , x 2 , x 3
)
I 20
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Por tanto, el vector que une P y P+dP será en tal sistema coordenado:
(
)
dx µ ≡ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 ≡ (cdt , dx, dy , dz )
{
Y el intervalo:
ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = c 2 dt 2 − dx 2 + dy 2 + dz 2
O bien:

1
ds 2 = c 2 dt 2 1 − 2
c
î
 dx  2  dy  2  dz  2  
  +   +    
 dt   dt   dt   
}
Si tal intervalo es de tipo temporal: ds 2 > 0 , y dr = dxi + dyj + dzk podría ser el
desplazamiento de una partícula observada por {O} en un tiempo dt, de modo que:
v = dr = dx i + dy j + dz k = (v
dt
Por lo que:
dt
{
dt
ds 2 = c 2 dt 2 1 − v
2
c2
}
dt
x , v y , vz
)
Y esta es la relación entre ds y dt:
γ ds = c dt
con: γ =
1
1− v
2
c2
También podríamos haber referido el vector dx a componentes en el sistema de referencia Lorentz en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial, ya que el
intervalo es de tipo temporal. Esto es, en S :
(
)
dx ≡ dx µ = dx 0 , 0, 0, 0 = (cdτ , 0, 0, 0 )
El intervalo de tiempo transcurrido es, por definición, el tiempo propio (intervalo de
tiempo propio). Calculando ds2:
{
ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 1 − v
2
c2
}
Por lo que la relación entre dt y dτ será:
γ ds = c dt = γc dτ
⇒
dt
=γ
dτ
Vector tangente a la línea de Universo:
El vector tangente unitario a la línea de Universo lo obtendremos al derivar respecto
del arco tomado como parámetro. Así pues:
dx (s ) = tg
ds
Si derivamos respecto de otro parámetro obtendremos un vector que es proporcional
al t g . En particular podemos derivar:
I 21
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
dx (τ )
,
dτ
o bien:
dx (t )
dt
dx (τ )
se denomina cuadrivector velocidad: u . Las componentes de tal
dτ
vector en un sistema coordenado Lorentz en particular serán:
El vector
Y por lo tanto:
dx (τ ) dx µ (τ ) dt dx µ
dx µ
d
d

≡
=
=γ
= γ  (ct ), r (t )
dτ
dτ
dτ dt
dt
dt
 dt

α
dx (τ )
uα ≡
= γ (c, v )
dτ
La componente espacial de tal cuadrivector en un sistema coordenado Lorentz particular
nos indica la velocidad con que se describe la trayectoria dr .
Podemos, como anteriormente, tomar el sistema coordenado Lorentz propio S para
referir las componentes del cuadrivector u . Respecto de S las componentes son:
uα = (c, 0)
El cuadrivector es el mismo. En particular, su módulo será calculado:
•
en S :
g (u , u ) = gαβ u α u β = c 2
 v2 
g (u , u ) = gαβ u α u β = γ 2 c 2 − γ 2 v 2 = γ 2 c 2 1 − 2  = c 2
 c 
Cuadrivector aceleración y cuadrivector momento:
Consideremos el campo escalar cons•
en S:
tante de parámetro m0, asociado a cuala)
quier punto de la línea de Universo y defi-
m0 u
namos el cuadrivector momento:
p = m0 u
b)
cuyas componentes en el sistema coorde-
m0 u
nado S son:
p α = m0 u α = (m0γ c, m0γ v ) = (mc, mv )
En donde hemos definido:
m=
m0
1−
v2
c2
Tal cantidad la denominamos masa de la partícula m0, observada desde O, al desplazarse sobre la trayectoria r = r (t ) con velocidad v .
En particular, en el sistema coordenado Lorentz S podemos tomar componentes de p :
p α = m0 u α = (m0 c, 0, 0, 0)
I 22
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Tal observador inercial O se movería con velocidad v respecto de O, y por tanto la
partícula estaría en ese instante en reposo respecto de O .
Evidentemente el cuadrivector p es el mismo, y en particular su módulo:
(
)
g ( p , p ) = g p α , p α = gαβ p α p β = m02 c 2
es de tipo temporal.
Partícula libre:
Sobre la línea de Universo a) tanto el cuadrivector p , como el u son constantes y
podemos hacer:
dp
= 0,
ds
dp
= 0,
dτ
o bien:
dp
=0
dt
Ya que los parámetros s, τ, y t están relacionados linealmente entre si. En particular:
dp
dt dp
dp
=
=γ
=0
dτ dτ dt
dt
Lo que significa que:
d
(m0γc ) = 0 ⇒
dt
⇒
dp
dp α
=0 ⇒
=0
dt
dt
d
(γ ) = 0
dt
⇒ γ = cte
⇒ v = cte
d
(γ m0 v ) = m0  dγ v + m0  dv γ = 0 ⇒ dv = 0 ⇒ v = cte
dt
dt
 dt 
 dt 
0
Lo que nos indica que en cualquier sistema inercial, en particular para O, tanto el módulo
como la velocidad de la partícula, y por tanto su momento, son constantes con el tiempo.
No habrá por tanto fuerza alguna aplicada sobre la partícula: partícula libre.
Las partículas libres describen líneas rectas en el espacio de Minkowski (geodésicas).
Partícula ligada (aceleración):
La partícula sobre la línea de Universo b) cambia la dirección de la velocidad y, por
lo tanto, del cuadrimomento. Así podemos hacer:
du
≠ 0,
ds
du
≠ 0,
dτ
d
(m0 u ) = k ≠ 0 .
dτ
Lo que manifiesta una propiedad geométrica: la línea de Universo tiene curvatura.
dp
es perpendicular al cuadrivector u , ya que es proporcional a
dτ
du
du
du ⊥
, y se verifica que:
2 u = 0 Luego:
u .u = c 2 ⇒
u
τ
d
dτ
dτ
El cuadrivector k =
Tal vector define la dirección normal de la curva (curvatura normal). La línea de
Universo de una partícula ligada es una línea curva.
I
23
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
El cuadrivector:
du = u se denomina cuadrivector aceleración.
dτ
Cuadrivector fuerza k :
Veamos qué significado le podemos atribuir a k . Tomando componentes en el sistema coordenado Lorentz S tendremos:
d
dt d
d
m0 u α =
m0 u α = γ (m0γ c, m0γ v )
dτ
dτ dt
dt
(
kα =
•
)
(
)
para las componentes α = 1, 2, 3:
(
)
( )
( )
kα d
d
d α
=
m 0γ v α =
mv α =
p
γ
dt
dt
dt
Luego, si la derivada temporal del momento representa la fuerza que O ve aplicada
sobre la partícula y que hace que ésta se desplace con la trayectoria r = r (t ) , se tendrá:
( )
kα d α
=
p = Fα ⇒
γ
dt
(
k = k 0 , γF
)
La componente espacial del cuadrivector fuerza k tiene información de la fuerza que
se aplica sobre la partícula que en el instante de tiempo t está en la posición r = r (t ) ,
con velocidad v = v (t ) según un observador inercial O.
•
para la componente α = 0:
El valor de k
0
, teniendo en cuenta que k . u = 0 :
k 0γ c − γ 2 F ⋅ v = 0 ⇒
F ⋅v
k =γ
c
0
Por tanto, en componentes respecto de S, el cuadrivector fuerza:
 F ⋅v 
, F 
k ≡ γ 
c


dp De modo que la ecuación
= k representa en S:
dτ
dp α
• para α = 1, 2, 3:
= F α ≡ F Ley de movimiento de m0 para O.
dt
dp 0
dt dp 0
F ⋅v
d
F ⋅v
0
(m0γ c ) =
• para α = 0 :
=k ⇒
=γ
⇒
dτ
dτ dt
c
dt
c
Y, por lo tanto, si c = cte:
d
mc 2 = F ⋅ v
dt
O bien:
d mc 2 = F ⋅ v dt = F ⋅ dr = −∇Φ dr = − dΦ
( )
( )
si la fuerza F proviene de un potencial Φ (fuerza de un campo conservativo).
I 24
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Veamos qué ocurre entre dos puntos de la línea de Universo correspondiente a
parámetros τ 1 y τ 2, o bien para valores de t1 = t1(τ 1) y t2 = t2(τ 2). Integrando la última
ecuación:
τ2
∫1 d (mc
2
2
) = −∫
2
1
dΦ ⇒ m2 c 2 − m1c 2 = −[Φ 2 − Φ 1 ]
τ1
Donde m2 es la masa que la particula de masa m0 tiene en el punto r 2 = r 2 (t 2 ), donde
su velocidad es v 2 en el sistema de referencia de los observadores {O}. Lo mismo para
el punto r 1 = r 1 (t1 ), luego:
m2 c 2 + Φ 2 = m1c 2 + Φ 1 = mc 2 + Φ = E
Por lo que denominamos energia total de una partícula en cualquier punto de su
trayectoria a:
E = Φ + mc 2 = Φ +
m0
1− v
c 2 ≈ Φ + m0 c 2 +
2
1
3
v4
m0 v 2 + m0 2 + ...
2
8
c
c2
Energía no relativista:
La definimos como la energía cinética más la potencial, en el sentido clásico; luego:
E NR = lim (E − m0 c 2 )
v →0
c
donde m0 c 2 es la energía propia de la partícula en reposo.
Energía cinética relativista:
Comportará todos los términos que dependen del estado de velocidad:
(
)
T = E − m0 c 2 − Φ = m0 c 2 (γ − 1)
Momento en función de la energía:
Ya hemos visto que p puede ponerse en componentes respecto de S.
p ≡ p α (mc, mv )
En el sistema S : p α (m0 c, 0 ).
En el primer sistema podemos escribir p en función del momento y la energía atribuida a la partícula por el observador inercial {O}. Así:
I
25
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
 E −Φ
,
pα 
 c

p 

;
p α (m0 c, 0)
Luego, conociendo la energía y el momento en un sistema S, podemos conocer la
masa m0 de la partícula. En el caso de la partícula libre: Φ = 0 , el módulo de p será:
p α pα ≡ p =
2
E2
2
− p 2 = m0 c 2
2
c
( E 2 = p 2 c 2 + m0 c 4 )
2
Cualquier partícula de masa m0 > 0 tendrá un cuadrivector momento de tipo temporal.
Partículas de masa nula:
Para una partícula de cuadrivector momento de tipo luz o nulo:
2
 E  E
 E
0 = p µ p µ =  , p  , − p  = 2 − p 2 = m0 c 2
 c  c
 c
⇔ m0 = 0
y:
E = pc
Además se asume que el cuadrivector velocidad es de tipo nulo, lo que significa que tal
partícula viaja a velocidad c. Tales partículas de masa nula y velocidad c son los fotones.
La transformación de masa en radiación (energía: fotones) es posible por la ley de
conservación del momento relativista.
(1)
(2 )
Sea, por ejemplo, la reacción: m0 → f1 + f 2 en la que una partícula de masa m0 se
desintegra a dos fotones*. Consideramos la partícula en el sistema propio:
Como p (1) = p (2 ): momento total del estado 1 = momento total del estado 2, se tiene que:
ω
ω 1   ω 2 
, k1  + 
, k2 
con: h =
λ
c
 c
  c

ω1
ω
Entonces, de: k 1 = − k 2 ⇒
u 1 = 2 u 2 , por tanto, tendremos para los dos fotones
c
c
frecuencias angulares: ω 1 = ω 2 , y serán emitidos en direcciones opuestas.
(m0 c, 0) = 
Si ω 1 = ω 2 = ω, la componente cero de p :
Y la frecuencia de los fotones será:
p = m0 c = 2
0
ω=
ω
c
m0 c 2
2
Ondas de de Broglie:
Se puede asociar una onda de frecuencia y energía dada a una partícula material de
masa m0 . Tal onda es la onda material de de Broglie. (Comportamiento dual, partícula/onda de materia).
*
e.g. la desintegración a 2 fotones de los piones neutros: π0→2γ; mπ0 ≈ 135 MeV/c2.
I 26
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
A cada partícula material de masa m0 > 0 le asociamos una frecuencia y un vector
ω = E
de onda tales que:
k = p
El cuadrivector momento en el sistema S, (medidas del observador {O}):
pα = E , p
c
(
Por lo tanto:
m0 2 c 2 =
)
de módulo:
m0 c 2 = p α pα
2
E2
ω 2 2
2
−
p
=
− p2
2
2
c
c
Despejando, la frecuencia que le corresponde a la partícula es:
ω2 =
p 2c 2
2
+
m0 2 c 4
2
Que se comprueba experimentalmente*.
Así cada partícula tiene asociados los observables:
Energía (E):
E= ω
Momento (p):
Frecuencia:
ω = E
Nº de onda:
p= k
p
k= Efecto Doppler y Aberración de la Luz:
Sea un sistema de referencia en donde se observa una onda electromagnética plana
de frecuencia ω y de dirección de propagación k . En la región del espacio que contiene
campo electromagnético tenemos en m4 definido el cuadrivector de propagación α .
Referido a coordenadas Lorentz, sus componentes son:
(
αν = ω c , k
)
La frecuencia y dirección en S. El cuadrivector momento para un fotón es:
p

µ
foton = α foton ≡ p foton 
ω 
, k
 c

Otro observador S' que detectara el campo electromagnético le asignaría diferente
frecuencia y dirección de propagación.
Si S' se mueve con velocidad v a lo largo de un eje x = x' común, utilizará coordenadas Lorentz xµ' en m4, de tal forma que para S' y S tendríamos las relaciones entre αν y
αν' por medio de:
αν' = Λν'µ αµ
*
Davisson, C. J. Germer, L.H.: Physical Review, 30, 705 (1927)
I
27
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
Así pues:
De donde:
[I]
[II]
ω '   γ
− γβ
 c 
γ
 k ' x  =  − γβ
 k'y   0
0

  0
0
 k'z 
ω' = γ ω − β k
x
c
c
k'x = γ kx − β ω c ,
(
(
0   ω c 
0  kx 

0  k y 
1  k 
 z 
0
0
1
0
)
)
k'y = ky ,
k 'z = k z
La situación será la siguiente en S y S':
ω, k
y
ω', k '
y'
S
S'
δ
x
δ'
β
x'
k =ω

c
Teniendo en cuenta que α es un cuadrivector nulo: α ⋅ α = 0 ⇒   k ' = ω'c
î
ω

k x = c cosδ
ω'
ω
1 v

Y las relaciones: 
⇒
= γ ω  − 2 cosδ  = γ [1 − β cosδ ]
c
c
c c

k ' x = ω ' cosδ '
c
î
ω'
ω
vω
ω
k ' x = cosδ ' = γ  cosδ −
= γ [cosδ − β ]

c
c c
c
c
Podemos ver las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la dirección de propagación
de la onda en S y en S':
cosδ ' =
cosδ − β
1 − β cosδ
Aberración de la luz
ω ' = γ ω [1 − β cosδ ]
Efecto Doppler para la luz
Que sólo depende de la velocidad relativa de S y S' , β .
Casos particulares:
a) Cuando δ = 0:
En S' el ángulo que forma el vector de propagación con el eje x' es δ ':
cosδ ' =
1− β
=1 ⇒ δ '= 0
1− β
No hay aberración
El signo de (1 − β) difiere del considerado para la luz en el caso del efecto Doppler [Ver
p. I 6], porque aquí están los sistemas alejándose con v y no acercándose con u.
I 28
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
ω, k (k x , 0, 0)
y
S
ω', k ' (k ' x , 0, 0)
y'
S'
δ=0
δ' = 0
β
x
x'
La frecuencia observada en S':
ω ' = γω (1 − β ) = ω
Se tiene que para todo β > 0 :
ω' < ω
1− β
1− β 2
1− β
1+ β
=ω
Efecto Doppler longitudinal
Si hacemos una observación astronómica del espectro de emisión de una estrella de
S, estamos en S', cuando la estrella se aleja vemos un corrimiento al rojo.
b) Cuando δ = π /2:
ω, k (0, k y = ω / c, 0) y'
y
S
(
ω', k ' k ' x , k ' y , 0
)
S'
δ = π /2
x
θ'
β
x'
La frecuencia observada en S':
ω ' = γ ω (1 − β cos δ ) = γ ω
cos δ =0
⇒ ω'<ω
Efecto Doppler transversal
Y corrimiento al violeta de la frecuencia.
En cuanto al vector de onda de la señal electromagnética, se tiene en S':
ω
ω

k'x = γ kx − β  = − γ β
c  con k =0
c

x
k'y = ky
k'z = kz = 0
 ω ω  Luego: k ' = k ' x , k ' y , 0 ⇒ k ' =  − γ β , , 0  ⇒ k ' = − γ β k y , k y , 0 : Aberración de la
c c 

luz, esto es, desviación respecto de su dirección de emisión.
(
)
Podemos hallar el ángulo θ ' desde:
(
tan (θ ' ) =
)
ky
k'x
= −γ β
= −γ β
k' y
ky
I
29
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
Objetos geométricos en m4:
Cuando hablamos de objetos geométricos nos referimos a escalares, vectores, tensores, formas diferenciales..., etc. Es decir, entes que estarán definidos en m4 y que tendrán propiedades intrínsecas, independientes de su expresión en los diferentes sistemas
coordenados.
Normalmente estos objetos se pondrán en correspondencia unos con otros por medio
de relaciones. Si esas relaciones se establecen como igualdad de las componentes de los
objetos en los sistemas coordenados Lorentz, tendremos la relación expresada como una
relación covariante Lorentz. Si no hacemos referencia a ningún sistema coordenado al
establecer la correspondencia, diremos que la relación o ecuación propuesta es "geométrica".
Los objetos son de diferente rango, dependiendo de su complejidad al expresarse en
los diferentes sistemas coordenados. Los más sencillos son los escalares: objetos de
rango cero. Luego los objetos de rango 1 ó vectores, los de rango 2, tensores. En general podremos tener objetos de rango n=0 o n≠0.
Sobre estos objetos se pueden efectuar operaciones: las más importantes son las diferenciales.
Cuando propongamos una igualdad entre objetos definidos en m4, los objetos a ambos lados de la igualdad han de tener igual rango.
Así pues el modo de proceder será el siguiente:
•
•
•
Introducir objetos en m4.
Relacionarlos por operaciones diferenciales.
Proponer tales relaciones en componentes en los sistemas coordenados Lorentz.
Y por tanto estas relaciones covariantes Lorentz, serán las relaciones que se escriban
en los sistemas de referencia inerciales, ya sea S ó S .
Reproducirán por tanto la teoría física descrita como la relación entre las magnitudes
observadas en S, o bien en S , según expresemos las componentes de los objetos en un
sistema coordenado Lorentz u otro.
Operaciones diferenciales sobre objetos de m4, operador ∂:
Procedamos a definir objetos sencillos en m4:
Campo escalar: Es una función que asigna un número a todo punto x de la región R4 de
m4 donde tal función esté definida:
Ψ: ∀ x ∈ R4 →
x ) ∈ R
I 30
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Tomamos coordenadas Lorentz para el punto x ≡ xα y por tanto:
x
α
)=
x
α
)
Evidentemente, en el sistema de referencia S ó S asociado a los sistemas coordenados
Lorentz: xα, x α , tendremos el valor asociado a la propiedad:
x
α
)≡
x
α
)=
r , t ) = r , t )
Definida en el punto espacial y en el instante dado en los correspondientes sistemas
inerciales.
Veamos la variación de Ψ en un punto x y en un punto próximo x + dx :
R
O
4
dΨ =
dx#
∂Ψ
∂x
0
dx 0 +
∂Ψ
∂x
1
dx1 +
∂Ψ
∂x
2
dx 2 +
∂Ψ
∂ x3
dx 3
En uno de los sistemas coordenados Lorentz que podamos tomar en m4, tenemos la expresión del vector dx :
x"
(
dx ≡ dx α ≡ dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3
)
Luego el escalar dΨ se puede poner como:
!
d Ψ = (∂ Ψ )µ dx µ = (∂ Ψ )(dx )
En donde se explicita, de modo geométrico en la última igualdad, la contracción de
un objeto (1-forma) que sobre un vector dx da un número: dΨ. El objeto 1-forma, tiene
por expresión, con índices abajo (índices covariantes):
(∂ Ψ ) ≡ (∂ Ψ )µ
 ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ 
= ∂µΨ =  0 , 1 , 2 , 3 
 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 
En todos los sistemas coordenados Lorentz.
Es por tanto posible decir que tenemos un operador ∂ que en coordenadas Lorentz
tiene por componentes:
 ∂
∂
∂
∂ 
∂µ ≡  0 , 1 , 2 , 3 
 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 
!
 ∂

∂ µ ≡  0 , ∇
 ∂ x

⇒
Y que actúa sobre los escalares (objetos de orden cero) para obtener objetos de orden
uno (1-formas).
Es evidente que las componentes de ∂ pueden expresarse con índices "arriba" por
medio de la métrica. En todo caso, se podría escribir:
(
)
d Ψ = (∂ Ψ )µ dx µ = ∂ µ Ψ dx µ =
∂Ψ
∂x
0
dx 0 +
∂Ψ
∂x
1
dx1 +
∂Ψ
∂x
2
dx 2 +
∂Ψ
∂x3
dx 3
I
31
Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz
(
)
Y teniendo en cuenta que dx µ ≡ dx 0 ,−dx 1 ,− dx 2 ,− dx 3 se tendrá para la expresión ∂ µ :
 ∂

∂ µ ≡  0 , − ∇
 ∂ x

$
La aparición de objetos de orden ó rango uno con índices arriba, o con índices abajo
se lleva a cabo por la métrica. La métrica establece una correspondencia biunívoca entre
los vectores (índices arriba) y 1-formas (índices abajo).
Campo vectorial y campo asociado a 1-forma: A todo punto x% de la región R4 se le asigna un objeto, que viene definido por cuatro funciones cuando se representa en componentes respecto a cualquier sistema coordenado establecido en m4:
Campo vectorial
Campo 1-forma
J% : ∀ x% ∈ R4 → J µ (x% ) ∈ m4
J% : ∀ x% ∈ R4 → J µ (x% ) ∈ m4
Jµ =gµνJν
Relacionados por la métrica g:
Jµ =gµνJν
Ascenso de rango, derivada exterior:
El operador ∂ puede actuar sobre objetos de rango cero dando objetos de rango uno.
Cuando tal operador sube el rango del objeto, diremos que ∂ actúa como derivada exterior: d. Se tiene ∂ ≡ d, si sube rango:
Así pondremos:
∂: Ψ
d
(rango cero)
(sube rango)
dΨ
(rango uno)
A esta operación se le denomina normalmente obtener el gradiente.
Descenso de rango, divergencia:
En geometría diferencial el operador ∂ puede bajar el rango del objeto. En particular,
un objeto de rango uno (vector), puede ponerse en correspondencia por medio de ∂ con
un escalar. Por ejemplo, para un campo vectorial J% :
Así pondremos:
∂: J%
δ
(rango uno)
(baja rango)
(∂J% )≡ (δJ% )= Ψ
(rango cero)
( )
El cuadrivector J% se pone en correspondencia con el escalar δJ% , por medio del
operador δ denominado codiferencial.
Su forma de actuar en los sistemas coordenados Lorentz es:
δ ⇒ ∂µ J µ = Ψ = ∂µ J µ =
∂J 0 ∂J 1 ∂J 2 ∂J 3
+
+
+
∂ x 0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
I 32
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
 ∂

∂ µ ≡  0 , ∇

 ∂ x
 ∂

∂ µ ≡  0 , − ∇
 ∂ x

&
Donde:
&
En síntesis: ∂, actuando como codiferencial: ∂ ≡ δ sirve para bajar el rango.
Las operaciones derivada exterior y codiferencial, actuando sobre campos escalares y
vectoriales, son operaciones diferenciales respecto de coordenadas y tiempos de funciones que se utilizan para representar magnitudes físicas para los diferentes observadores
inerciales S asociados a los sistemas coordenados Lorentz utilizados en m4.
Vamos a definir objetos en m4 y ponerlos en correspondencia por medio de los operadores δ y d. Tales correspondencias serán las que denominamos relaciones geométricas. Las relaciones geométricas tendrán expresión en los sistemas coordenados Lorentz,
como relación entre las componentes de los objetos. Tales relaciones serán las mismas:
Se dirá que son covariantes Lorentz o invariantes (en forma) Lorentz. Al pasar a la dependencia de las funciones en coordenadas y tiempo tenderemos las relaciones en cualquier sistema inercial S.
Las anteriores relaciones podrán describir leyes de la física según los observadores
asociados a un sistema inercial S. En lo que sigue tratamos de establecer las leyes del
campo electromagnético en el espacio-tiempo de Minkowski m4.
3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell:
Leyes del campo electromagnético:
En primer lugar vamos a describir las fuentes ρ ( r' , t ) , J& ⊥ ( r& , t ) : (densidades, respectivamente, de carga y de corriente) para un observador inercial S*.
z
&
r
En cada punto r& , y en cada instante t se-
'
ρ (r , t)
& &
gún S, se definen las dos funciones que des-
& &
&
J ⊥ ( r , t ) = v ( r , t ) ρ (r , t )
y
x
*
criben las densidades de carga y corriente. En
ese punto r& , hay un campo de velocidades
que describe el movimiento de las partículas
que dan lugar a la corriente J& ⊥ .
El subíndice ⊥ indica aquí vector en R3.
I
33
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
Y de este modo señalaremos el vector densidad de corriente en el espacio tridimensional observado por S. Veamos qué se puede definir en la región asociada de m4:
Cuadrivector densidad de corriente:
Trabajamos en cualquier punto x+ ∈ R4,
línea de
Universo
R
4
con coordenadas xα en un sistema Lo-
* *
rentz xα = (ct, r) ) , es decir, en cualquier r) , y
u (x )
(
para cualquier tiempo t, según los obser-
m4
ρ0 (x)
vadores de la clase S. Asociamos un cam-
)
po escalar ρ 0 (x) ) y formamos el cuadri-
x
vector: J) (x) ) = ρ 0 (x) )u) (x) ) , en donde u) (x) ) en
componentes: u α (r) , t ) ≡ (γ c, γ v) (r) , t )) .
El cuadrivector velocidad u) (x) ) lleva la información de la velocidad asociada al mo-
vimiento de las partículas cargadas que en (r,
) t ) dan lugar a la corriente J) ⊥ (r) , t ) observada
en S.
Veamos las componentes de J) ( r) , t ) :
( )
)
( ) ( ) ( ( )
( )) ) )
J α x α ≡ J α (r , t ) = ρ 0 x β u α x β = ρ 0 x β γ c, ρ 0 x β γ v(r , t )
Luego:
( )
)
J 0 x α ≡ ρ 0 (r , t )γ c
Si tomamos: ρ 0 (r) , t )γ = ρ (r) , t ) , se tendrá:
( )
)
J 0 x α ≡ ρ (r , t ) c
) )
)
) )
) ) )
) )
J ⊥ ( r , t ) = ρ 0 (r , t )γ v (r , t )
y:
J ⊥ ( r , t ) = ρ (r , t )v (r , t )
y:
La función J 0 representará la densidad de carga multiplicada por c, del sistema de
partículas según se observa en S. Las funciones J 1, J 2, J 3 se asociarán a la densidad de
corriente dada por el movimiento de las partículas en S: J) ⊥ ( r) , t ) = ρ (r) , t )v) (r) , t ) .
Al cuadrivector J α(xα ) se le denominará cuadrivector densidad de corriente, y pa-
ra que describa adecuadamente ρ y J) ⊥ deberá cumplir la condición geométrica:
) )
δJ ( x ) = 0
O bien, en los sistemas coordenados Lorentz:
)
∂µ J µ (x) = 0
O como relaciones en el sistema inercial S:
∂ 0 J 0 + ∂1 J 1 + ∂ 2 J 2 + ∂ 3 J 3 =
∂J
1 ∂
(ρ c ) + ∂ J x + y + ∂ J z = 0
∂x
∂y
∂z
c ∂t
I 34
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Lo que escribimos en S como:
∇J ⊥ (r , t ) +
, ,
[I]
∂ ρ (r , t )
=0
∂t
,
Y que establece la ley de conservación de la carga. Así pues todo campo vectorial de
divergencia nula en m4 podrá servir para representar densidades de carga y corriente
físicamente aceptables en los sistemas de referencia inerciales. Y viceversa, cualquier
distribución de carga y corriente en S físicamente aceptable (es decir, que cumpla la ley
de conservación de la carga), podrá representarse en m4 por un campo vectorial de divergencia nula. Así pues [I] se escribirá:
,
δJ =0
[Ia]
Y es uno de los ejemplos de cómo el operador ∂ actuando como δ asocia al objeto de
rango uno (vector), un escalar (rango cero), en este caso el escalar es una constante
igual a cero.
Laplaciana:
La operación de bajar y subir índices se puede combinar en un operador que pone en
correspondencia objetos del mismo rango. Tal operador se conoce con el nombre de
operador de Laplace-Beltrami o laplaciana, y se define como:
-
= dδ + δd
d sube el rango, δ lo baja una unidad y por lo tanto podremos poner la correspondencia
(p.ej.: entre campos vectoriales en m4) del modo:
- : A.
,
kJ
Este operador pondrá en correspondencia objetos del mismo rango, lo que significa
para la relación entre cuadrivectores:
- A. = dδ A. + δd A. = k J
,
Donde k será una constante de dimensiones adecuadas para que la igualdad sea dimensionalmente correcta.
Es evidente que
- A. tendrá las derivadas segundas de las componentes de A.
en los
sistemas coordenados Lorentz, que estarán relacionadas con las componentes de J. que
representan cargas y corrientes en los sistemas de referencia inerciales.
Es de esperar que A. contenga información sobre los potenciales electromagnéticos
, (
)
A⊥ Ax , A y , Az y Φ (potencial vector y potencial escalar).
I
35
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
Tomemos un campo vectorial A/ tal que: δ A0 = 0 , que en los sistemas coordenados Lorentz se escribe: ∂α Aα = 0 , y en S se representa:
1 ∂ A0 ∂ A1 ∂ A 2 ∂ A3
+
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
c ∂t
Si tomamos A1, A2, A3 como componentes Ax, Ay, Az que representen el potencial
vector A0 ⊥ en S y A0 = Φ/c como potencial escalar en S; los potenciales Φ, A0 ⊥ cumplirán:
00
∇A⊥ + ε 0 µ 0
∂Φ
=0
∂t
Y podrán ser una pareja de funciones potenciales en S que cumplan el gauge de Lorenz.
Así, con δ A0 = 0 la correspondencia entre A/ y k J0 definida por la relación:
1 A/ = k J0
[II]
Se escribirá en los sistemas coordenados Lorentz (expresión de δd A/ en coordenadas
Lorentz):
0
0
∂ µ ∂ µ A = kJ
Y: • = ∂ µ ∂ µ =
se escribirá:
0
1 ∂
− ∇ 2 , en un sistema de referencia inercial, por tanto la ecuación [II]
c 2 ∂t 2
2
( 0 ) ( 0 )
 1 ∂2

∂ µ ∂ µ Aα = kJ α ⇒  2 2 − ∇ 2  Φ , A⊥ = k ρ c, J ⊥
 c ∂t
 c


0
E igualando componentes 0, 1, 2, 3, se obtienen con k = µ 0 y c 2 =
1
, las ecuaciones
ε0µ0
de ondas para potenciales válidos en S:
0
∇2 Φ −
1 ∂ 2Φ
ρ
=−
2
2
ε0
c ∂t
0 0
∇ 2 A⊥ −
0
1 ∂ 2 A⊥
c
2
∂t 2
0
= −µ0 J ⊥
Con la condición δ A0 = 0 , que en S expresa que Φ, A0 ⊥ es un par de potenciales del
gauge de Lorenz.
2-forma Campo Electromagnético:
El cuadrivector potencial A0 (x ) definido en m4 lleva información de los potenciales
que utilizan los observadores inerciales para definir los campos E0 y B0 en su sistema de
referencia. Tales campos se obtendrán del modo usual:
0
0
E = −∇Φ −
0
∂ A⊥
∂t
0 0 0
B = ∇ × A⊥
I 36
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Por medio de derivadas espacio-temporales de primer orden.
Tales derivadas se ejecutan con el operador ∂ que en m4 actuará sobre A2 . Ya vimos
la posibilidad de que ∂ actuara como δ bajando el orden del objeto (condición de Lorenz).
Hagamos ahora actuar ∂ como d sobre A2 para subir el orden del objeto de 1 a 2. Así:
d
∂: A3
(rango uno)
F4 / F4 = dA3
(sube rango)
(rango dos)
El objeto que se obtiene a partir de la 1-forma diferencial A2 es la 2-forma F campo
electromagnético. En los sistemas coordenados Lorentz la correspondencia anterior se
expresa como relaciones entre las componentes de los objetos del modo:
F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ
Como un tensor de 2º orden. Y si reproducimos la anterior relación entre magnitudes,
según se observan en S, se tendrá:
F 01 = ∂ 0 A1 − ∂1 A0 =
Y por tanto:
F 01 = −
Ex
,
c
( ) = 1  ∂Φ + ∂A
Φ
1 ∂ Ax  ∂ c
− −
∂x
c ∂t





c  ∂x
x 
∂ t 
de este modo se obtiene la componente x del cam-
po eléctrico en S a partir de las funciones potenciales.
De la misma forma:
F 02 = −
Ey
c
F 03 = −
Ez
c
Si procedemos a obtener las componentes en índices espacial-espacial (i, j) (1, 2, 3),
se tendrá:
F 12 = ∂1 A 2 − ∂ 2 A1 = −
Y del mismo modo:
F 13 = B y
∂A y
+
∂x
∂Ax
= − Bz
∂y
F 23 = − B x
No necesitamos obtener más componentes, pues el objeto F = d A2 es antisimétrico,
como claramente se deduce de la expresión de sus componentes en los sistemas coordenados Lorentz (nótese que: F νµ = ∂ν A µ − ∂ µ Aν = − (∂ µ Aν − ∂ν A µ ) = − F µν ).
Podemos ordenar las componentes de F en forma de filas y columnas, tendremos:

 0

 Ex
F µν ( r , t ) =  c
 Ey

 c
 Ez
 c
5
Ey
Ex
c
−
0
− Bz
Bz
0
− By
Bx
−
c
Ez 

c 
By 


− Bx 

0 

−
I
37
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
Evidentemente el ente geométrico es F = d A6 , que tiene estas componentes contravariantes en un sistema Lorentz particular. Es decir, tiene la información de los campos
electromagnéticos observados en el sistema inercial S.
7
7
7
7
7
Fα β ( r , t ) = g αµ F µβ ( r , t )
F α β ( r , t ) = F αν ( r , t ) gνβ ;
o mixtas:
7
Fαβ ( r , t ) = gαµ F µν ( r , t ) gνβ
Podemos ver F con componentes covariantes:
Tales componentes se pueden ordenar en forma de matriz con gµν = (1, –1, –1, –1):

 0

− Ex
Fαβ ( r , t ) =  c
 Ey
−
 c
− Ez
 c
Ex
c
Ey
0
− Bz
Bz
0
− By
Bx
7
c
Ez 

c 
By 
 ; F α β (r , t) =

− Bx 

0 

7

 0

 Ex
 c
Ey

 c
 Ez
 c
Ex
c
Ey
0
Bz
− Bz
0
By
− Bx
c

Ez 
 0

c 

− E x
− By 
β
 ; F (r , t ) =  c
α
 Ey

Bx 
−
 c

− Ez

0

 c
7
−
Ex
c
−
Ey
c
0
Bz
− Bz
0
By
− Bx
Tensor dual de F:
Al tensor F le está asociado de forma unívoca su dual *F , *F = ε F, otro tensor antisimétrico de propiedades geométricas definidas.
En un sistema coordenado Lorentz tiene componentes *Fαβ que se calculan del modo:
* Fαβ =
1
ε αβγδ F γδ
2
Donde ε es el tensor totalmente antisimétrico:
ε αβγδ
+ 1 permutación par de índices

= − 1 permutación impar de índices ;
0
algún índice repetido
î
ε αβγδ = – ε αβγδ
Así pues, algunos componentes de *F, serán:
*F01=
1
2
ε 01βγ Fβγ =
1
2
ε 0123 F 23 +
1
2
ε 0132 F 32 =
1
1
(–Bx) – Bx = – Bx
2
2
Operando del mismo modo podemos representar *F en forma de matriz:
0

Bx

* Fαβ ( r , t ) = 
By

 Bz

7
− Bx
0
Ez
c
Ey
−
c
− By
E
− z
c
0
Ex
c
− Bz 
Ey 

c 
E ;
− x
c

0 

 0

−
 Bx
αβ
* F (r , t) = 
− B y


− Bz

7
Bx
0
Ez
c
Ey
−
c
By
−
Ez
c
0
Ex
c
Bz 

Ey 
c 
E 
− x
c 

0 

I 38
Ez 

c 
− By 


Bx 

0 

−
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
8
9 8
E / c → −B
Nótese que *Fαβ ( r8 , t ) se obtiene de Fαβ ( r8 , t ) al hacer los cambios: 
8
î B → E /c
Tal transformación se conoce en S como transformación de dualidad.
Primer par de ecuaciones de Maxwell:
Ligan los campos con las fuentes. En función del tensor campo electromagnético:
∂µ Fµν = µ0 Jν
[I]
o bien:
∂ µ Fµν = µ0 Jν
Esta relación en componentes en los sistemas coordenados Lorentz es la expresión de la
correspondencia geométrica obtenida por [I]:
8
δ F = µ0 J
La correspondencia geométrica entre objetos [I] y la relación en componentes se
puede referir a relaciones entre magnitudes observables en S.
•
Así, para ν = 0, se tendrá:
∂ µ F µ0 = µ0 J 0
Y con: J 0 = ρ ( r8 , t ) c , tal relación expresa:
8
µ 0 ρ ( r , t )c = ∂1 F 10 + ∂ 2 F 20 + ∂ 3 F 30 =
8 8
∇⋅E =
Por tanto:
8
1  ∂Ex ∂Ey ∂Ez 
+
+


c  ∂x
∂y
∂z 
ρ (r , t)
ε0
La primera ecuación de Maxwell, que relaciona al campo eléctrico con las cargas.
•
para ν = 1, 2, 3, se obtienen las ecuaciones que ligan los campos magnéticos con
las corrientes en S.
Así, por ejemplo, para ν = 1:
8
∂ µ F µ 1 = µ 0 J x ( r , t ) = ∂ 0 F 01 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 = −
Y por tanto obtenemos:
(8 8 )
∂ Dx
1 ∂ E x ∂ Bz ∂ B y
+
−
= −µ 0
+ µ0 ∇ × H
2
∂y
∂z
∂t
c ∂t
x
(∇8 × H8 )x = J x + ∂∂Dt x
Que es una de las ecuaciones de la relación vectorial entre campo magnético y corrientes libres y de desplazamiento en S:
8 8
8
∇× H = J +
8
∂D
∂t
Segundo par de ecuaciones de Maxwell:
Son las ecuaciones homogéneas:
[II]
∂α *Fαβ = 0
o bien:
∂ α *Fαβ = 0
Que se corresponden con la expresión en los sistemas coordenados de la relación geométrica:
δ *F = 0
I
39
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
El tensor *F se denomina tensor dual ó 2-forma dual de F. También se llama transformado de Hodge de la 2-forma F que, como hemos visto, se obtiene de la 1-forma
potencial A: según la correspondencia establecida por la derivada exterior d, del modo
indicado anteriormente:
F = d A:
Con esta propiedad se dice que la 2-forma F admite potencial vector A: . También se
dice que la 2-forma F es exacta. Según una propiedad de las formas diferenciales conocida como Lema de Poincaré, si una forma es exacta entonces tiene derivada exterior
nula. Es decir:
Si: F = d A:
⇒ dF = 0
O lo que es lo mismo, sobre cualquier forma, al aplicar dos veces la derivada exterior se
tiene dd = 0.
Toda forma F que cumpla dF = 0, se dice que es cerrada. Así podemos decir:
i) Toda forma exacta es cerrada.
O bien:
F = d A:
⇒
dF = 0
⇒
F = d A:
Y también se verifica el recíproco del Lema de Poincaré:
ii) Toda forma cerrada es exacta.
O bien:
dF = 0
Y dadas las condiciones necesaria y suficiente, entonces:
F = d A:
⇔ dF = 0
Las propiedades de forma cerrada y forma exacta son equivalentes*.
Estas propiedades se pueden enunciar para la forma dual *F. Diremos entonces:
Si: F = d A:
⇒ δ*F = 0
La propiedad dF = 0, para F, también se puede expresar en términos de su forma dual,
diciendo que ésta tiene divergencia nula:
δ*F = 0
O bien:
∂α *Fαβ = 0,
En los sistemas coordenados Lorentz.
Si tenemos en cuenta la información contenida en *F, tendremos:
•
para β = 0:
Esto es:
•
∂ B y ∂ Bz 
∂B
∂ α * F α 0 = ∂1 * F 10 + ∂ 2 * F 20 + ∂ 3 * F 30 = −  x +
+
=0
∂y
∂z 
 ∂x
; ;
∇⋅ B = 0
para β = 1, 2, 3 se obtendrá la ecuación vectorial en S:
; ;
∇× E = −
;
∂B
∂t
*
No hemos afirmado nada sobre los dominios de integración de las formas. El recíproco del lema de
Poincaré se verifica en principio para dominios estrellados. En los casos topológicamente más sencillos
las condiciones de forma cerrada y forma exacta son equivalentes (Véase: H. Flanders: Differential Forms
with Applications to the Physical Sciences p.27, y: M. Spivak: Cálculo en Variedades Sec. 4-10, 4-11).
I 40
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
La propiedad δ*F = 0, ∂α *Fαβ = 0, reproduce las ecuaciones de Maxwell internas.
Esta propiedad se expresa para F como dF = 0, lo que se escribe en componentes en los
sistemas coordenados Lorentz como:
Fαβ,γ + Fβγ,α + Fγα,β = 0
Donde la "coma" en los índices significa derivada respecto de la componente con índice
que le sucede, es decir:
∂ Fαβ
∂ xγ
= Fαβ ,γ . La expresión anterior reproduce, obviamente, to-
mando la información contenida en Fαβ, las ecuaciones de Maxwell internas.
En definitiva, las relaciones δ*F = 0, y dF = 0, expresan la misma propiedad y, por
tanto, conducen a las mismas ecuaciones para los observadores inerciales.
Fuerza de Lorentz:
Otro de los objetos a considerar es el
línea de
Universo
cuadrivector K< = q Fu< . Para una carga q
<( )
ux
α
que describe una línea de Universo en la
región en que existe un campo electro-
q
magnético F, en coordenadas Lorentz:
Kα = q Fαβ uβ ; Kα será un cuadrivector.
Veamos qué significado podemos atribuirle a esta relación expresada en componentes:
Calculemos la expresión en el sistema propio de la partícula, donde los campos son
< <
E0 , B0 y el cuadrivector velocidad uβ (c, 0). Tendremos:
 K0 = 0
Kα = q Fα0 u0 = q c Fα0 , y como  i
⇒ Kα(0) ≡ (0, q E< 0 )
î K = qEi
El observador que instantáneamente viera la carga en reposo mediría precisamente la
fuerza: q E< 0 . Así pues, es de esperar que Kα nos dé la fuerza de Lorentz en el sistema
en que la carga se mueve con velocidad v< .
En un sistema cualquiera S en que se observe la carga, los campos que se medirán serán E= , B= , y uβ será: uβ (γc, – γ v< ).
I
41
Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell
Las componentes de Kα son:
> >
> >]
> >]
> >]
>
qγ

0
 K = c (v ⋅ E )

 K 1 = qγ E + v × B
α
αβ
K = q F uβ = 
 K 2 = qγ E + v × B


î K 3 = qγ E + v × B
>
[
>
[
>
[
> > >
x
> > >
F ⋅v 
,F
Kα ≡ γ 
 c

⇒
y
z
Donde F = q[E + v × B] es la fuerza de Lorentz sobre la partícula.
Para la partícula que se mueve en un campo eléctrico externo, se tiene la relación:
Kα = q Fαβ uβ =
d
(pα) = d (m0 uα)
dτ
dτ
Válida en todo sistema de referencia.
Cuadrivector densidad de fuerza volúmica:
>
En la región en que se tiene un campo de corrientes J , que interacciona con un campo electromagnético F se puede definir de igual modo el objeto:
@
?
D = F⋅J
En coordenadas Lorentz se tendrá:
Dα = Fαβ Jβ , Dα es un cuadrivector
@ @
Expresemos Dα en un sistema de referencia S, donde los campos son E , B y el cua-
>
drivector corriente contiene la información del sistema de cargas y corrientes ρ y J ⊥ .
>
>
>
J α = ρ 0 uα = (ρ 0 γ c, ρ 0 γ v ) = (ρ c, J ⊥ )
Donde ρ, J ⊥ serán las densidades de carga y corriente para el observador estacionario en
S. Dando valores al índice libre α = 0, 1, 2, 3, se obtienen las cuatro ecuaciones:

0
0β
 D = F Jβ

 D1 = F 1β J β =
α
αβ
D = F Jβ = 
D 2 = F 2β J =
β

 3
î D = F 3β J β =
> >
> > >
[ρE + J × B]
> > >
[ρE + J × B]
> > >
[ρE + J × B]
=
1
(J ⋅ E)
c
x
y
> >
> > >
 J ⋅E

, ρE + J × B 
⇒ D ≡ 
 c

α
z
Las componentes espaciales nos dan la densidad de fuerza volúmica y la componente
temporal, la potencia disipada por unidad de volumen por el campo al mover las cargas.
Todo ello para el observador estacionario en S. Así pues, al cuadrivector Dα se le conoce con el nombre de densidad de fuerza volúmica.
I 42
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Intentaremos deducir este cuadrivector densidad de fuerza volúmica Dµ como la divergencia de un tensor Tσµ que, por razones que veremos luego, denominaremos tensor
energía-momento.
4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación:
Tensor energía-momento del campo electromagnético:
Vamos a establecer una correspondencia entre DA y un objeto de 2-orden: T, por
A
D =δT
medio de la relación:
Dµ = Fµν J ν
Partimos de:
Por la relación de Maxwell: J ν =
1
µ0
∂σ Fσν
Sustituyendo en Dµ:
[I]
µ0Dµ = Fµν ∂σ Fσν = ∂σ (Fµν Fσν) – Fσν ∂σ Fµν
Teniendo en cuenta la antisimetría del tensor campo electromagnético:
[II]
Fσν ∂σ Fµν = Fνσ ∂σ Fνµ ≡ Fσν ∂ν Fσµ
σ  . Por otro lado:
con sólo cambiar en la última expresión νσ →

î →ν 
[III]
Fσν ∂σ Fµν = – Fσν (Fνσ,µ + Fσµ,ν ) = – Fσν (∂µ Fνσ + ∂ν Fσµ)
al hacer uso de la segunda de las ecuaciones de Maxwell.
Sumando [II] y [III], se obtiene:
2 Fσν ∂σ Fµν = – Fσν ∂µ Fνσ = Fνσ ∂µ Fνσ =
Por tanto:
1
∂µ (Fνσ Fνσ)
2
Fσν ∂σ Fµν = ∂µ (Fνσ Fνσ)
1
4
Sustituyendo en [I] queda:
(
)
µ 0 D µ = ∂ σ Fµν F σν −
(
)
(
)
(
1
1
∂ µ F νσ Fνσ = ∂ σ Fµν F σν − ∂ σ δ σ µ F νσ Fνσ
4
4
(
)
(
)
)
1
1




= ∂ σ  Fµν F σν − δ σ µ F νσ Fνσ  = ∂ σ  − F σν Fνµ − δ σ µ F νσ Fνσ 
4
4




Así, la densidad de fuerza volúmica del sistema de corrientes JB es:
Donde:
(
)
Dµ = −
1
1


∂ σ  F σν Fνµ + δ σ µ F νσ Fνσ  = −∂ σ T σ µ
4
µ0


Tσ µ =
1
µ0
(
)
1 σ
 σν

νσ
 F Fνµ + 4 δ µ F Fνσ 


Tensor energía-momento del CEM F
I
43
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
El tensor energía-momento contravariante, desde Tσα = Tσµ gµα, es:
T σα =
1
µ0
(
)
1 σα νσ
 σν

µα
 F Fνµ g + 4 g F Fνσ 
T=
Simbólicamente se representa:
1
µ0
g


 F ⋅ F + 4 (F : F )
Y lo obtenido se corresponde con la relación geométrica que buscábamos: En la región del espacio considerada M ⊆ m4, en términos del tensor energía-momento T del
campo electromagnético F (x) / x ∈ M, la densidad de fuerza volúmica del sistema de
D
corrientes JC (x ) / x ∈ M, es: D = − δ T .
∂σ Tσµ = – Fµν Jν
Así:
El tensor Tσα así construido es simétrico: Tσα = Tασ, y su divergencia tensorial da la densidad de fuerza volúmica del campo electromagnético:
∂α Tασ = Dσ
Además T es un tensor de traza nula, esto es: T σσ = 0.
Evidentemente este tensor del que se deriva D no es único, se le puede sumar cualquier tensor de divergencia tensorial nula. Veremos en la Parte II de estos apuntes que T
es el tensor energía-momento simétrico del CEM: Θ, y que difiere del tensor canónico energía-momento justo en un tensor de divergencia nula.
Contenido de T ασ en sistemas coordenados Lorentz:
En ausencia de fuentes, el tensor energía-momento es de divergencia nula:
∂α Tασ = 0
Veamos cuáles son las componentes de Tασ: En primer lugar consideremos el invariante Lorentz FνσFνσ:
(F
νσ
)
Fνσ = −
2
c2
[E
2
− c2 B2
Por lo tanto, para la componente temporal pura:
(
]
)
1


µ 0 T 00 =  F 0ν Fνµ g µ 0 + g 00 F νσ Fνσ 
4


Y desarrollando el primer término del paréntesis:
F 0ν Fνµ g µ 0 =
Con lo que, agrupando términos:
T 00 =
(
E2
c2
D D D D
1
D⋅E + B⋅H
2
)
I 44
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Que representa la densidad de energía electromagnética: U, observada para los
campos en S.
Del mismo modo las componentes temporal-espacial:
T
0i
E E
(
E × H)
P
= ε c (E × B ) =
=
c
c
E E
i
0
i
i
Las componentes temporales son las componentes del vector de Poynting.
Así mismo las componentes espacial-espacial:
E E E E
δ ij

T ij = −  Di E j + H i B j −
D⋅ E + B⋅ H
2

(
) ≡ −T (
ij

M)
Donde Tij(M) es el tensor de tensiones de Maxwell.
El tensor Tασ puede escribirse en forma matricial abreviada:
E
T ασ =
U
P
c
E
P
c
− Tij(M )
Donde, como hemos visto: U = T 00. Las componentes T 0i están relacionadas con el
E
E
vector densidad de momento del campo electromagnético: g = p
Las formas covariante y mixta son: Tασ =
E
−P
U
E
−P
c
− Tij(M )
c
, y:
c2
por: T 0i = c gi.
T ασ =
E
U
−P
P
Tij(M )
E
c
c
Leyes de conservación para el campo libre:
En ausencia de fuentes se anula la cuadridivergencia: ∂α Tαβ = 0, esta condición implica que existen magnitudes conservadas asociadas a los campos, del mismo modo que:
∂α J α = 0, implica la ley de conservación de la carga.
•
De donde:
E E
1 ∂U 1

+ ∇P 
 c ∂t c

para β = 0, se tiene: 0 = ∂α T α 0 = 
E E
[Ley de conservación de la energía]
∂U
+ ∇P = 0 que es la forma diferencial para el Teorema de Poynting
∂t
cuando no existen cargas ni corrientes.
Integrando a un volumen V en S, se tiene:
E
E E
E
E
E E

d
d 
U d 3 r + ∇P d 3 r = 0 ⇒ −  U d 3 r  = P ds

dt
dt 
V
V
V
 S
∫
∫
∫
∫
Que es el Teorema de Poynting en forma integral: "La disminución de la energía
en el volumen V se debe al flujo de PF a través de la superficie S que lo encierra".
I
45
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
G
G
Las cuatro cantidades: U c , P 2  ≡ U c , gG , con: gG = P

(
c 
)
c2
, densidad de momento elec-
tromagnético por unidad de volumen, son las componentes de un cuadrivector:
G)
(
Pα ≡ U , g
c
ya que la expresión: ∂α P α = 0, es covariante Lorentz.
Si se realiza la integración a un volumen V en S que no contenga cargas se tendrá:
G
∫
1
W
U d 3r =
, donde W es la energía total electromagnética en V.
c
c
V
G
∫G G
G = g d 3r ,
Se define:
momento total asociado al campo en V.
Así pues, las cantidades W c , GG , tienen la misma expresión que el cuadrivector enerV
(
)
gía-momento de una partícula con masa m, y el campo en V puede considerarse como
una partícula cuya energía es W, y su momento total GG .
Si el campo en V fuera solamente de radiación (campo libre), la cantidad:
G G
W2
− G ⋅G = 0
c2
sería nula, lo que corresponde a una partícula de masa nula. El concepto de campo de
radiación clásico, y el asociar energía y momento a un volumen V que contenga estos
campos, es consistente con el concepto de fotón.
Si
G G
G)
(
W2
− G ⋅ G ≠ 0 , no es invariante Lorentz: W c , G no es un cuadrivector.
c2
Consideremos dos hipersuperficies espaciales σ
1
yσ
que delimitan el volumen
2
cuadridimensional R4.
La cantidad ∂αTαβ puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4:
Tma Gauss
←   →
∫∂ T
α
Re gión m 4
αβ
dx
4
=
∫T
αβ
dσ α =
Frontera
∫T
σ (t )
0β
G
d r−
3
1 1
∫T
σ (t )
0β
σ1
G
d r =0
3
R
4
σ2
2 2
En el sistema coordenado Lorentz en el que el vector normal a la hipersuperficie tiene únicamente componente temporal: dσ α = (dx dy dz, 0, 0, 0). La componente no nula
dσ 0 representa el volumen tridimensional observado en un tiempo t.
Lo que implica si se integra a V ≡ todo el espacio:
∫T
σ (t )
0β
G
d 3 r ≡ constante con tiempo t
⇒
∫
G
d
T 0β d 3r = 0 ⇒
dt
V
∫
G
d
U d 3r = 0
dt
V
d
g d 3r = 0
dt
∫G G
V
La energía y el momento total del campo se conservan
I 46
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
•
para β = i = (1, 2, 3), y en ausencia de fuentes:
0 = ∂ α T αi =
∂ gi
−
∂t
3
∂
∑ ∂x T (
ij
j =1
M)
[Ley de conservación del momento]
j
Integrado a un volumen V se obtiene:
d
dt
∫
H
3
gi d 3r =
V j =1
V
H
∂
∫ ∑ ∂x
Tij(M ) d 3 r =
∫ ∑T
S β
j
(M )
iβ dS β
Donde hemos aplicado el Teorema de la Divergencia, siendo S la superficie que delimita el volumen V.
La integral:
H
∫g d r =P,
3
i
es la componente i del momento total del campo en el volumen V.
i
V
La variación del momento total del campo en el volumen V es igual al momento inyectado al interior de V por el mismo campo a través de la superficie S, que es lo que
representa la integral del segundo miembro.
Leyes de conservación para el campo electromagnético en presencia de fuentes:
En este caso la cuadridivergencia del tensor energía-momento es distinta de cero:
∂α Tαβ = Fλβ Jλ
Las componentes espaciales y temporales de esta ecuación en S son:
•
HH H H
∂U
+ ∇P = J ⋅ E
∂t
β = 0:
[Ley de conservación de la energía]
[Balance de energía en todo punto del campo]
•
∂ gi
−
∂t
β = i:
3
∂
∑ ∂x T (
ij
j =1
M)
[
(
H H
= − ρ Ei + J × B
)]
i
[Ley de conservación del momento]
j
[Balance de momento en todo punto del campo]
Que son precisamente las ecuaciones de conservación de la energía y el momento pa-
H
ra campos electromagnéticos en interacción con fuentes descritas por J α ≡ ( cρ, J ).
La cuadridivergencia puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4 del modo
siguiente:
∫D
[I]
β
dx 4 =
Re gión m 4
x0
∫∂
αT
Re gión m 4
αβ
dx 4 =
∫T
αβ
dSα = P β (σ 2 ) −P β (σ 1 )
Frontera
Donde P β (σ ) = ∫ T αβ dSα , es el cuadrimomento
σ2
σ1
σ
del campo electromagnético, la integral está extendida a una hipersuperficie tridimensional de tipo
espacial.
I
47
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
Escribiendo [I] en un sistema de referencia S, dx4 es el cuadrivolumen formado por
todo el espacio entre los tiempos t y t + dt. Así pues, [I] en S será:
∫D
β
dx 3 c dt = P β ( dx 3 , t + dt ) − P β (dx 3 , t )
V ,dt
Donde V es todo el volumen tridimensional en donde exista campo electromagnético.
∫
c D β dx 3 =
Por lo que:
V
•
para β = 0, implica:
−
∫
d β d
P =
T 0 β dx 3
dt
dt
V
I
I I I
d
U d 3r = J ⋅ E d 3 r
dt
∫
∫
V
V
La pérdida de energía del campo se produce por el efecto de conducción de corriente
•
∫
∫
d
T 0i dx 3 = c D i dx3
dt
para β = i:
V
V
I I
d I
∫ g d r = ∫ D dx = − dt P
d I
[P + PI
]= 0
d
dt
Como:
Se tiene:
i
3
3
part .
V
V
campo
dt
prtículas
El momento total (campo+partículas) del sistema se conserva
Tensor momento angular del campo electromagnético:
Momento angular del campo electromagnético:
Hemos visto que el tensor energía-momento del campo electromagnético Tαβ es simétrico. Llamaremos a este tensor simétrico Θαβ para distinguirlo del tensor energíamomento canónico ordinario. La expresión de su divergencia:
∂α Θαβ = Dβ
Resume las leyes de conservación de la energía y el momento para el campo electromagnético en presencia de fuentes.
Desarrollando las componentes tiempo-espacio se obtuvo:
[I]
Donde:
∂ gi
−
∂t
3
∂
∑ ∂x T (
ij
M)
[
(
I I ) ]= − f
= − ρ Ei + J × B
i
i
Ig = EI × HI , es la densidad de momento del CEM y fI
j =1
j
c2
es la densidad de fuerza
volúmica (densidad de fuerza de Lorentz) del CEM.
El momento angular del campo, en el volumen V respecto de un punto fijo de vec-
I
tor de posición r , se define como:
I
I I I
J (t ) = r × g (r , t )dv
∫
V
I 48
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Veamos en qué condiciones se conserva esta cantidad. Su variación con el tiempo es:
[II]
J
J
∫ J
J
J
∫ (J ) ∫ J (

∂g 
dJ
 = − dv r × f + dv r × ∇ ⋅ T (M )
= dv  r ×
∂
dt
t


V
V
V
Donde hemos considerado que
J
J
)
∂r
= 0 , (momento angular respecto de un punto fijo), y
∂t
por ∇ ⋅ T (M ) se quiere representar el vector:
∂Tij(M )
[III]
∂x j
J
≡ ∇ ⋅ T (M )
La ecuación [II] se ha escrito teniendo en cuenta la igualdad [I] en forma vectorial:
J J
J
∂g
− ∇ ⋅ T (M ) = − f
∂t
Consideremos algunas componentes del último integrando de [II], e.g.:
[rJ × ∇J ⋅ T ( ) ]
(J
= y ∇ ⋅ T (M )
M
por [III]:
x
) − z (∇J ⋅ T ( ) )
= y ∂ i Tiz − z ∂ i Tiy
M
z
(
y
)
(
)
(
= −∂ x T xy z − Txz y − ∂ y T yy z − T yz y − ∂ z Tzy z − Tzz y
Que se puede escribir:
)
Nótese que Tij es simétrico.
En la ecuación anterior, los paréntesis son términos de la forma:
(
)
∂ i Tiy(M ) z − Tiz(M ) y = ∂ i M ix
Donde:
M ix = (Tiy(M ) z − Tiz(M ) y ) = (Ti(M ) × rJ )x
Del mismo modo, las componentes y, z:
(
= (T (
) (
) )= ( (
x
T
J)
)×J )
r
M iy = Tiz(M ) x − Tix(M ) z = Ti(M ) × r
M iz
M)
y
ix
− Tiy(M
i
M
y
z
Se puede construir el pseudotensor de 9 componentes densidad de momento:
L
K
M = T (M ) × r
Y la expresión del trivector [rJ × (∇J ⋅ T (M ) )], se puede escribir:
J (J
) J
r × ∇ ⋅ T (M ) = −∇ ⋅ M
La integral
J
∫ dv (rJ × f ) es el par resultante impartido por el campo a las cargas y co-
V
rrientes en el volumen V, y por tanto será igual a la variación con el tiempo del momento angular total mecánico de las masas asociadas a las cargas y corrientes, esto es:
J dL
∫ dv (rJ × f ) = d t
V
Así la ecuación [II] queda:
[IVa]
(J J ) ∫ (J
V
) ∫ J
d
J + L = − dv ∇ ⋅ M = − ds ⋅ M
dt
S
I
49
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
Que escrito en componentes es:
(M M )
d
J +L
dt
[IVb]
j
∫
∫
= − dv ∂ i M ij = − ds i ⋅ M ij
V
S
"La variación del momento angular total del sistema en el volumen V está provocada
por el flujo de momento angular del campo a través de la superficie S que delimita a V"
O
La cantidad M = T (M ) × rN , transmite el momento angular del mismo modo que T(M) (el
tensor de tensiones de Maxwell), es el transmisor de momento lineal a través de S.
Las ecuaciones [IV] pueden escribirse como una ecuación de continuidad:
M M
M
M M
∂
(r × g ) + ∇ ⋅ M = −r × f
∂t
[V]
Que en los puntos de V en los que no existan partículas sobre las que el campo pueda
producir momento se reduce a:
M
M M
∂
(r × g ) + ∇ ⋅ M = 0
∂t
Generalización covariante:
Obtener la ecuación [V] requiere formar el vector densidad de momento angular
M M
r × f , que en 3 dimensiones tiene 3 componentes independientes y se transforma como
un pseudovector.
Si desde la expresión ∂α Θαβ = Dβ, en la que aparece el cuadrivector densidad de
fuerza queremos formar una cantidad análoga que sea invariante Lorentz, tendremos
que expresar dicha cantidad con las componentes de un tensor antisimétrico de 2º orden:
M µν = x µ Dν − xν D µ
Tensor momento de la densidad de fuerza volúmica. En un sistema S dado, Mµν tendrá por componentes espaciales:
(M M ) ,
M 12 = r × f
Donde:
z
M ij = x i D j − x j Di
(M M ) ,
M M M M M
M
f = ρ E + J × B = ρ [E + uM × B ]
M 13 = − M 31 = − r × f
Y las componentes espacio-temporales:
M i0
= − M 0i = c f i t − x i
M M
M M
y
(M M )
M 23 = r × f
x
M M
 f ⋅u 
ρu ⋅ E
J ⋅E

= c f i t − xi
= c f i t − xi 
 c 
c
c


El procedimiento seguido sugiere utilizar la expresión del cuadrivector fuerza:
∂α Θαβ = Dβ
I 50
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
De modo que: M µν = x µ ∂ α Θαν − xν ∂α Θαµ = ∂α (x µ Θαν − xν Θαµ )+ Θ µν − Θνµ = ∂ α P
αµν
Donde escribimos un tensor energía-momento simétrico Θ.
Consideremos el tensor de tercer orden densidad de momento angular Q
P
αµν
= x µ Θαν − xν Θαµ = −
P
αµν:
∗
ανµ
Como se ve, antisimétrico respecto de los dos últimos índices, y respecto del que se
deriva otra variable dinámica: el tensor momento angular Lµν, que viene dado por:
P
∫
Lµν ≡ dσ α
σ
αµν
La simetría del tensor energía-momento está relacionada con la conservación del tensor momento angular. En efecto, si Lµν se conserva, esto es, si se considera un sistema
en el que no hay cargas ni corrientes (caso del CEM libre), Q
∂α
de continuidad:
(∂
Esto es:
α
)
P
αµν
αµν
cumple una ecuación
=0
(
)
Θαν x µ + Θ µν − ∂ α Θαµ xν − Θνµ = 0
Vemos que el hecho de escribir la densidad de momento angular en términos de un
tensor energía-momento simétrico: Θ µν = Θνµ , en caso de que éste se conserve:
∂ α Θαµ = 0 , garantiza la conservación del momento angular.
**
Consecuencias de la conservación del momento angular:
Acabamos de ver que la ecuación: ∂α P
αµν
= 0 , implica la conservación del momento
angular del campo libre en forma covariante.
Las ecuaciones que tienen interpretación física son: ∂α P
αk 0
=0
Considerando α = l (1, 2, 3), k = 1, 2, 3, se obtiene:
•
para l = 0:
P
P
lk 0
= x k g l + t Tlk(M )
0k 0
= xk W + c 2t gk
Donde se ha considerado la expresión en componentes de Θαβ , siendo gl la componente l del trivector densidad de momento en S, W la densidad de energía y xk la componente k del trivector posición del elemento de volumen en S. Tlk(M ) son las componentes lk del tensor de Maxwell.
*
Diferente del tensor (canónico) definido a partir del tensor energía-momento canónico.
Véase: A.O. Barut op. cit. Cap. III Sec.4, y: M. Brédov, V. Rumiántsev: Electrodinámica Clásica, Ed
Mir 1986. Secc.16.1, 16.2 y Comp. VI.
**
I
51
El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación
La ecuación de conservación: ∂α R
(S
= 0 reproduce las componentes de la ecuación
αk 0
S S S
(
S)
)
∂
r W − c 2 t g + c 2 ∇ ⋅ g ⊗ r + t T (M ) = 0
∂t
vectorial:
Donde ⊗ es el producto diádico de vectores, en este caso un tensor de componentes:
S S
[
[g ⊗ r ]ij
= gi ⋅ rj
]ij
Esta ecuación se puede integrar en S, a todo el espacio para un tiempo dado t, de modo
d
dt
que:
S
S
S S ( ) S
∫ (rW − c t g )dv + c ∫ (g ⊗ r + t T 0 )ds = 0
2
2
V
M
S
Para una superficie S que englobe todo el volumen donde existe campo, la integral de
superficie es nula.
S
La integral: ∫ r W dv , se puede utilizar para definir el centro de masas del campo:
S
∫ r W dv
V
T
r
=
CM
∫ W dv
S
∫ r W dv
1
WT
=
V
V
V
Del mismo modo que el centro de masas en mecánica, ya que W
c2
es la densidad de
masa equivalente a la energía W.
Así, el resultado de la integración al volumen V podrá expresarse:
( S
d
WT r
dt
S
)
− c 2t P = 0
CM
Siempre que el momento y la energía se conserven, la ecuación anterior es la ley de
movimiento del centro de masas del campo:
S
WT
d r
S
= c2 P
CM
dt
Con lo que la velocidad del centro de masas del campo es:
S
v
Propiedades del tensor U
αµν
S
CM
c2P
=
WT
:
a) Es antisimétrico en los dos últimos índices:
er
R
αµν
R
=–
ανµ.
3
b) Es un tensor de 3 rango, por tanto tiene 4 = 64 componentes.
c) Por antisimetría, las 16 componentes
R
αµµ
son nulas.
d) De las 48 componentes no nulas, por la antisimetría
independientes.
e) De estas 24 componentes, sólo las 12:
R
αkl
=–
R
R
αlk,
αµν
=–
R
ανµ,
quedan sólo 24 componentes
con kl = 12, 23, 31, relacionan el flujo de
momento angular y el momento angular del campo.
I 52
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
W
W
V
f) De estas 12 componentes, 9 se identifican con las componentes del pseudotensor M = T × r , que
representa la densidad de flujo de momento angular, para α = 1, 2, 3.
g) Las otras tres:
X
0kl
=–
X
Y Y
se refieren a las componentes del vector r × g y representan la densi-
0lk,
dad de momento angular.
X
h) Las tres componentes independientes del tensor antisimétrico Mkl = ∂ α αkl, con kl = 12, 23, 31,
∂
dan la descomposición vectorial de:
(r × g ) + ∇ ⋅ M = − r × f , que describe cómo se conserva el
∂t
momento angular.
Y Z
Y Y
i) Las tres ecuaciones Mµν = ∂
α
X
αµν
Y Y
= 0, con µν = 10, 20, 30, implican tres magnitudes conservadas,
y describen el movimiento del centro de masas de un campo electromagnético como uniforme. Esto
Y
es, que se comporta como un sistema libre con velocidad: v
CM
=
Y
c2P
.
WT
5. Transformaciones gauge:
El tensor campo electromagnético no queda determinado por un único cuadrivector
Aµ. Cualquier transformación a partir de Aµ de la forma:
[I]
Aµ′ = Aµ +
∂Λ
= Aµ + Λ, µ
∂ xµ
con: Λ escalar Lorentz
Define un nuevo cuadrivector potencial A'µ que da lugar al mismo campo electromagnético. En efecto:
F'µν = Aν,µ + Λ,νµ – Aµ,ν – Λ,µν = Fµν
luego:
F'µν = Fµν
Y los campos son invariantes ante dicha transformación de potenciales. Tal transformación se conoce como una transformación gauge.
Únicamente las cantidades invariantes gauge serán observables físicos.
Las ecuaciones del campo: ∂ µ F µν = F,µµν = µ 0 J ν , toman la forma en función del cuaF, µµν = A,νµ,µ − A,µµ,ν = ∂ µ ∂ µ Aν − ∂ν ∂ µ A µ = µ 0 J ν
dripotencial:
Se puede hacer uso de la transformación [I], de modo que se tenga un Aµ tal que:
∂ µAµ = 0, esto es:
∂Aµ
∂ xµ
=0
condición de gauge de Lorenz*
En este gauge, las ecuaciones de campo se escriben simplemente:
[
Aµ = µ 0 J µ
con:
∂Aµ
=0
∂ xµ
*
Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las
que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A.
Lorentz. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294).
I
53
Transformaciones gauge
Elegir potenciales del gauge de Lorenz es siempre posible. En efecto, si Aµ no cumple dicho gauge, se transforma a \
\
con una función Λ de modo que:
µ
= Aµ – Λ , µ
En donde ∂ Aµ ≠ 0, según la hipótesis.
µ
Al exigir que \
µ
cumpla la condición de Lorenz:
µ
\
µ
,µ
= Aµ , µ – Λ ,µ , µ = ∂ µAµ – ∂ µ ∂µ Λ = 0
Hay que escoger una función Λ que cumpla que:
∂ µ ∂µ Λ = ∂ µAµ
Aún dentro del gauge de Lorenz, los potenciales siguen estando indeterminados. Si
\
Aµ es de Lorenz,
µ
también lo será si transformamos con Λ tal que ] Λ = 0.
**********************************************************************************************************
Las métricas de la relatividad especial
Métricas pseudoeuclídeas para m4:
Reproducen la invariancia del intervalo: ds 2 = g µν dx µ dxν = g µν dx ′ µ dx ′ν = ds ′ 2
g µν
1

 −1


=
−1



− 1

Tr g µν = −2
^
{ }
^
−1



1
~

g µν = 
1



1 

Tr g~µν = +2
~
~
x µ = (− c t , r )
x µ = (c t , r )
x µ = (c t ,− r )
1

∂ µ =  ∂ t ,−∇ 
c

1

∂ µ =  ∂ t , ∇
c

^
{ }
^
x = (c t , r )
µ
^
^
^
~
 1

∂µ =  − ∂t ,∇
 c

^
~
1

∂µ =  ∂ t , ∇
c

Las leyes del electromagnetismo en m4:
A partir del tetrapotencial: A µ = φ , A  , y del tetravector corriente: J µ = cρ , J :
 c 
~
~
~
F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν A µ
~ ∗ ~ µν
~ ~ µν
∂ µ ∗ F µν = 0
∂ µ F µν = µ 0 J ν
∂µ F = 0
∂ µ F = − µ0 J ν
^
( ^)
Para cambiar de tensor métrico hay que permutar los índices del tensor F.
El espacio de coordenada imaginaria:
Una alternativa al espacio-tiempo real de 4 dimensiones con métrica indefinida (R4; ηµν) es el
espacio (I × R3; δµν), en el que: ds 2 = δ µν dx µ dxν = δ µν dx ′ µ dx ′ν = ds ′ 2
^
^
x µ = (i c t , r )
x µ = (i c t , r )
 i

∂µ =  − ∂t ,∇
 c

 i

∂ µ =  − ∂t ,∇
 c

^
^
Como la métrica es euclídea, las componentes contravariantes coinciden con las covariantes.
Las leyes del electromagnetismo en el espacio de coordenada imaginaria:
En este espacio de coordenada-0 imaginaria, A µ =  i φ , A  , J µ = i cρ , J , se verifica que:
 c 
^
F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ
∗
∂µ F
µν
=0
∂µ F
µν
= µ0 J
ν
La forma explícita del tensor campo electromagnético es:
F µν
 0
i E
= ic x
 c Ey
 i c Ez

^)
(
−
i
c
Ex
0
Bz
− By
− ic Ey
− Bz
0
Bx
−
c Ez 
By 

− Bx 
0 
i
I 54
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Formulación Lagrangiana del campo electromagnético
1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético:
La Lagrangiana Relativista:
Ha de generar las ecuaciones del movimiento a través de:
d  ∂
dt  ∂ qi
[I]
 ∂
−
 ∂q = 0
i

Ecuaciones de Euler-Lagrange
Donde: = (qi , qi , t ) , Lagrangiana del sistema con n grados de libertad, que será función
de las coordenadas generalizadas: {qi (t )}in=1 , las velocidades generalizadas: {qi ≡ qi ' (t )}in=1 ,
y eventualmente del tiempo t. Con la definición del momento canónico conjugado de la
coordenada qi : pi =
∂
dp
∂
, las Ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma: i =
∂ qi
dt
∂ qi
a) Para la partícula libre:
Con la Lagrangiana:
Se tiene, por [I]:
= −m0 c 2 1 − v
2
c2
d
(mvi ) = 0
dt
Que son las ecuaciones del movimiento de una partícula libre de masa: m = m0
1
1− v
2
c2
b) Para la partícula en un campo conservativo:
Con: Ψ (qi ) , energía potencial o potencial conservativo, tal que: F = −∇Ψ ,
2
la Lagrangiana será:
= − m0 c 2 1 − v
Pues genera, por [I]:
d
(mvi ) = − ∂Ψ = Fi
∂x i
dt
c2
−Ψ
Ecuaciones de movimiento de una partícula de masa m sometida a una fuerza: F = −∇Ψ .
c) Para la partícula en un campo conservativo generalizado, (carga en un CEM):
Si se considera la función potencial U (qi , qi ) / U = qφ − qA ⋅ v , potencial generalizado*.
La Lagrangiana será:
= − m0 c 2 1 − v
2
c2
− qφ + qA ⋅ v
Los momentos canónicos son: pi = mvi + qAi , y las ecuaciones del movimiento:
dp
∂
= i ,
∂ qi
dt
*
desarrollando:
∂A y
 ∂φ ∂Ax

∂A
∂L
= q −
+
vx +
v y + z vz 
∂x
∂x
∂x 
 ∂x ∂x
Véase: H. Goldstein, Mecánica Clásica. Secc. 1-5, 7-8.
II
1
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
d
(mv x + qAx ) = d (mv x ) + q  ∂Ax dx + ∂Ax dy + ∂Ax dz + ∂Ax 
dt
dt
∂ z dt
∂t 
 ∂ x dt ∂ y dt
 ∂A
∂A
∂A
∂A 
d
= (m v x ) + q  x v x + x v y + x v z + x 
dt
∂y
∂z
∂t 
 ∂x

 ∂A


 
d
(mv x ) = q  − ∂φ − ∂Ax +  y − ∂Ax v y +  ∂Az − ∂Ax v z 
dt
∂y 
∂z  
 ∂ x ∂ t  ∂ x
 ∂x

 ∂φ ∂Ax

= q −
−
+ v × ∇ × A x  = q Ex + v × B x
x
t
∂
∂


Igualando:
( (
E = −∇φ −
Ya que:
∂A
,
∂t
(
)]
B = ∇× A
y:
[
))
Resultan las ecuaciones del movimiento de una partícula de carga q y masa
m = m0
1
1− v
sometida a la fuerza de Lorentz:
2
c2
(
d
(mv ) = q E + v × B
dt
)
Hemos derivado la fuerza de Lorentz desde un potencial generalizado:
∂U d  ∂U 

+ 
∂ x dt  ∂ v x 


d
(mv x ) = ∂ − q dAx = −q  ∂ φ − A ⋅ v − d  ∂ φ − A ⋅ v
dt
dt
dt  ∂ v x
∂x
 ∂ x
Fx = −
(
)
(
)

2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas:
El procedimiento anteriormente expuesto es relativista, pues es válido, no importa
cual sea la velocidad de la partícula y se reduce a las expresiones usuales en Mecánica
Galileana cuando v << c. Sin embargo, la formulación no es covariante, es decir, válida
en cualquier sistema de coordenadas, pues (t, x, y, z ), v , A,φ son: tiempo, posiciones, velo
cidad y funciones particulares de un sistema inercial S determinado.
Vamos a escribir la ecuación de movimiento:
[I]
d
(mvi ) = Fi
dt
En cualquier sistema coordenado Lorentz. La generalización al espacio de Minkowski
es evidente:
[II]
(
)
d
m0 u µ = k µ
dτ
Donde k µ es el cuadrivector fuerza, u µ el cuadrivector velocidad y dτ el invariante o
escalar tiempo propio. Esta relación es independiente del sistema coordenado.
Veamos si se puede expresar la forma [I] de la forma [II]: Si la fuerza aplicada sobre
dAi 
 ∂
φ −v⋅A +
 , teniendo en cuenta que
i
dt 
 ∂ x
la carga q es la fuerza de Lorentz: Fi = − q 
(
)
II
2
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
φ , A  son las componentes del cuadrivector: Aµ ≡  φ , A  en S, y la velocidad v de la
 c 
 c 
partícula corresponde a la cuadrivelocidad u µ ≡ γ (c, v ) en S, el producto escalar: A µ u µ
(
Por otra parte:
)
Aµ u µ = γ φ − A ⋅ v .
(invariante Lorentz), será:
dAi dAi dτ  1  dA i
1
, donde = 1 − v 2 c 2 ; por lo que Fi podrá ob=
=  
γ
dt
dτ dt  γ  dτ
tenerse como:
(
)
 ∂
1
dA 
Fi =   ⋅ q ⋅ 
Aµ ⋅ uµ − i 
dτ 
γ 
 ∂ xi
[III]
El corchete que aparece en [III] contiene las componentes espaciales de un cuadrivector
 ∂
dAµ 
kµ = q ⋅ 
Aν ⋅ uν −

dτ 
 ∂ x µ
(
k µ definido como:
•
)
Las componentes espaciales µ = i = 1, 2, 3 de dicho cuadrivector están relacionadas
 
1
con la fuerza tridimensional en S del modo: Fi =   ki
γ
 
•
La componente cero de k µ se obtendrá de:
k µ uµ =
(
)
d
d  m0 µ  d  m0 c 2
m0 u µ u µ =
u uµ  =

dτ
dτ  2
 dτ  2

=0


Así, de: k ⋅ u = 0 , ó bien: k µ u µ = 0 , se tiene:
F ⋅v
k =γ
c
⇒
k u 0 − k ui = 0
i
0
k cγ = γ F ⋅ γ v
0
⇒
0
 F ⋅v

, Fi 
kµ ≡γ 
 c



Luego en S se tiene:
•
para: µ = 1, 2, 3:
(
)
d
m0 u i = k i , evidentemente reproduce en S la ecuación:
dτ
d
(mv ) = F
con: m = γ m0
dt
•
(
)
d
d
(m0γ c ) = γ F ⋅ v = dt d (m0γ c ) = γ d (m0γ c ) ,
m0 u 0 = k 0 , resulta:
dτ
dτ
c
dτ dt
dt
d
mc 2 = F ⋅ v
Y, por tanto:
dt
para: µ = 0:
( )
La potencia suministrada por el campo de fuerzas se emplea en variar la energía cinética de la partícula.
La Lagrangiana Covariante:
Las Lagrangianas consideradas hasta ahora son relativistas, pero no covariantes. No
todo problema relativista podrá plantearse en forma covariante, pues las fuerzas que
II
3
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
consideremos han de tener propiedades de transformación adecuadas. Hemos usado las
fuerzas electromagnéticas porque se pueden escribir de forma covariante, sin embargo,
la formulación de
de la forma:
= − m0 c 2 1 − v
2
− qφ + A ⋅ v
c2
Que conduce a las ecuaciones del movimiento mediante:
d ∂

dt  ∂ v i
[I]
 ∂
−
 ∂x = 0
i

O bien la ecuación variacional para el principio de Hamilton:
t2
δ I =0
I=
donde:
∫
dt
t1
No es apta para trabajar en el espacio-tiempo pues se refiere a los valores observados en
S. También se observa que en [I] se singulariza el papel de t, siendo en realidad x 0 en
m4 una coordenada más, no distinta de las otras tres x i .
Una teoría covariante no ha de hacer referencia a ningún sistema coordenado especial y ha de tratar a todas las coordenadas por igual.
Lagrangiana de la partícula en m4:
La trayectoria de una partícula en m4 es su línea de Universo, que vendrá descrita
por: x µ = x µ (τ ) , donde τ es un parámetro arbitrario que describe el progreso de la partícula en esta línea de Universo.
Así, hemos de considerar una Lagrangiana
=
(x
µ
(τ ), x µ (τ ), τ ) , que será función de
las coordenadas, las "velocidades", y de τ en general.
x µ (τ ) + δ x µ (τ )
x2 µ
Para un valor de τ = τ1 , se tendrá el
punto x1µ (τ 1 ) y para otro τ 2 , el punto
x 2µ (τ 2 ) . Entre estos dos puntos la tra-
yectoria será la línea de Universo:
x1
µ
x µ (τ )
xµ = xµ (τ )
Y esa será la función que tendrá que determinarse por las ecuaciones del movimiento, una vez resueltas con las condiciones de contorno adecuadas (valores en τ =τ1, y en
τ =τ2).
II
4
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Entre todas las posibles trayectorias, la descrita físicamente será aquella que haga
τ2
I=
estacionaria la integral:
∫ (x (τ ), x (τ ), τ ) dτ
µ
µ
τ1
δ I = 0 ; sobre toda trayectoria variada, para
Esto es, se precisa que:
τ fijo.
Así, en lugar de x µ = x µ (τ ) , se consideran las trayectorias variadas:
x µ = x µ (τ ) + δ x µ (τ )
x µ = x µ (τ ) + δ x µ (τ )
Efectuando la variación del integrando:
∂
∂
δ
=
∂x
δ xµ +
µ
∂x
δ xµ
µ
=
Hagamos uso de la relación: δ 
xµ
 dτ (δ )
d
τ


 dx µ 
Y la anterior variación de
d
[variación de la derivada = derivada de la variación]
quedará:
 ∂

d
d  ∂  µ d  ∂
∂
∂
δ x +
δ xµ + µ
δ xµ =  µ −
δ xµ 
µ
µ
µ




dτ  ∂ x 
dτ  ∂ x
∂x
∂ x dτ
 ∂ x


d
De los dos términos que aparecen en
, uno se ha restado para mantener la igualdad.
dτ
δ
( )
=
Por tanto, la variación que se produce en I : δ I, será:
τ2
δ I =δ
τ2
∫
∫
τ1
τ2
∂
d  ∂
dτ =  µ −
dτ  ∂ x µ
∂x
τ1 
dτ = δ
τ1
∫
 µ
 δ x dτ


La segunda integral se anula, por ser δ x µ = 0 en τ = τ 1 , τ = τ 2 , en efecto:
τ2
∫
τ1
τ2
 ∂

 ∂


δ x µ  dτ =  µ δ x µ 
 ∂xµ

 ∂ x
τ 1


d
dτ
La variación δ x µ es arbitraria en el intervalo, pero δ x µ (τ 1 ) = δ x µ (τ 2 ) = 0 , para fijar las
condiciones de contorno.
Si δ I = 0 , siendo la variación δ x µ arbitraria en el intervalo, se tendrá:
d  ∂
∂
−
∂ x µ dτ  ∂ x µ
[II]

=0


para todo x µ
Que son las ecuaciones del movimiento, totalmente análogas a las de Euler-Lagrange:
[I], pero ahora sin hacer referencia a ningún sistema coordenado especial. En particular
será la Lagrangiana covariante:
=
(x
µ
(τ ), x µ (τ ), τ )
II
5
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
Tal que por [II] reproduzca las ecuaciones del movimiento:
(
)
d
m0 u µ = k µ
dτ
Que traducidas al sistema coordenado S dan:
d
 dt (m v ) = F

 d mc 2 = F ⋅ v
î dt
( )
m = m0
con:
1
1− v
2
c2
Que representan la transferencia de energía y momento del campo de fuerzas a la partícula de masa propia m 0.
Ejemplos de Lagrangianas covariantes:
a) Lagrangiana de una partícula libre (no sometida a fuerzas externas):
Por medio de [II] tendrá que reproducir:
(
)
d
m0 u µ = 0 .
dτ
d
La analogía de la anterior ecuación con: (m vi ) = 0 , cuya Lagrangiana es:
dt
sugiere para
=
1
mvi v i ,
2
covariante:
=
m0 ν
u uν
2
Que es un escalar Lorentz. Como:
∂
= 0;
∂ xµ
(
∂
= m0 u µ = p µ
∂uµ
)
d
m0 u µ = 0
dτ
Aplicando [II] se obtiene:
El resultado esperado, un línea recta en m4. El cuadrimomento: p µ = m0 u µ , no varía con
τ sobre la línea de Universo, una línea con vector tangente u constante para τ:
d
u =0
dτ
b) Lagrangiana de una partícula en un campo electromagnético externo:
Vamos a considerar la Lagrangiana:
=
m0 µ
u u µ + q u λ Aλ
2
∂
dx λ
Con: u =
= x λ , luego los momentos canónicos son: pν = ν = m0 uν + q Aν .
dτ
∂x
λ
Las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a:
(
d
(m0uν + qAν ) = ∂ν q u λ Aλ
dτ
∂x
)
II
6
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Que se puede escribir como:
(
)


d
(m0 uν ) = q ∂ν u λ Aλ − dAν  = kν
dτ
dτ 
 ∂x
d
 (m vi ) = Fi
⇒  dt
 d m c 2 = F .v
î dt
( )
Con: kν = q  ν (u λ Aλ )− ν  , que es la fuerza de Minkowski correspondiente al campo
dτ 
 ∂x
electromagnético que actúa sobre la partícula.
 ∂
dA 
En efecto, con el término:
Resulta:
∂A dxα
∂A
dAν
= να
= να x α
τ
dτ
d
∂x
∂x
 ∂A

 ∂A
∂A
∂A
kν = q  u λ νλ − να u α  = q u λ  νλ − νλ
 ∂x


∂x
∂x


 ∂x

 = qu λ Fνλ


Pues x λ = u λ , y se renombra el índice mudo: α = λ. Tenemos que: Fνλ =
∂Aλ
∂x
ν
−
∂Aν
∂xλ
es el
tensor campo electromagnético. Así:
k = qF u
Cuadrivector fuerza de Lorentz
Momento canónico de la partícula en un campo electromagnético externo:
Como se ve, los momentos canónicos difieren del momento canónico de la partícula
libre en el término que toma en cuenta el potencial electromagnético.
•
para p0:
p 0 = γ m0 c + q
φ m c 2 + qφ T + qφ E
=
=
=
c
c
c
c
Donde E = T + q φ es la energía total de la partícula. La componente temporal del momento canónico proporciona la energía total.
•
para pi:
p i = m 0 u i + q Ai
Con las componentes contravariantes: m0 u i = p i − q Ai y las covariantes: m0 ui = pi − q Ai ,
realizando el producto escalar miembro a miembro, resulta:
El primer miembro de la igualdad:
m0 2 u i u i = m0 2 c 2
El segundo miembro será:
(p
i
)
(
)
φ
φ

 

− q Ai ( pi − q Ai ) =  p 0 − q , p − q A  ⋅  p0 − q ,− p − q A 
c
c

 

2
(
)
(
)
2
2
φ
T2

 p0 − q  − p − q A = 2 − p − q A
c
c

Por lo que:
(
)2
T 2 = p − q A c 2 + m0 2 c 4
II
7
Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas
Donde: p es el trimomento, y: A = (Ax , Ay , Az ), la función potencial vector. Las compo
nentes espaciales del momento canónico proporcionan la energía cinética T.
El Hamiltoniano Relativista:
Utilizando la expresión de la Lagrangiana relativista:
= − m0 c
2
− qφ + q A ⋅ v = −m0 c 2 1 − v
γ
2
− qφ + q A ⋅ v
c
2
∂
= mvi + q Ai , donde: m =
∂ vi
Con los momentos canónicos: pi =
m0
1− v
2
c2
Obtenemos el Hamiltoniano del modo usual:
HR =
=
∑p v
−
i i
∑ (mvi + q Ai )vi −
= mv 2 + q A ⋅ v + m0 c 2 1 −
v2
c
2
+ qφ − q A ⋅ v
 v 
= mv 2 + mc 2 1 − 2  + qφ = mc 2 + qφ = T + qφ
 c 


2
Resulta que: H R = T + qφ Energía total de la partícula. Aparecerá en la componente
temporal del cuadrimomento: p 0 =
T + qφ H R
.
=
c
c
Si expresamos T, como veíamos anteriormente, en función de los momentos canónicos: T =
(p − qA)2 c 2 + m0 2 c 4 , entonces HR también se puede escribir como:
(p − qA)2 c 2 + m0 2 c 4 + qφ
HR =
El Hamiltoniano Covariante:
Generalizando la expresión correspondiente al Hamiltoniano relativista se obtendrá:
H C = p λ uλ −
Donde
es la Lagrangiana covariante:
=
m0 λ
u u λ + q u λ Aλ .
2
Las ecuaciones del movimiento serán ocho en total, dadas por las ecuaciones de Hamilton:
[I]
∂H C
∂p
λ
=
dx λ
;
dτ
∂H C
∂x
λ
=−
dp λ
dτ
Donde el tiempo t ha sido generalizado al invariante τ. Las anteriores ecuaciones son
obviamente invariantes Lorentz.
II
8
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Con los momentos canónicos definidos como: p λ = m0 u λ + q Aλ , el Hamiltoniano covariante toma la expresión:
m
1
H C = m0 u λ u λ + q A λ u λ − m 0 u λ uλ − qu λ Aλ = 0 u λ u λ
2
2
HC =
m0 λ
u uλ
2
O en función de los momentos canónicos:
[II]
HC =
1
2m0
∑ (p
− q Aλ )
2
λ
λ
Que se empleará en [I] para obtener las ecuaciones del movimiento.
Con este Hamiltoniano, la parte espacial de las ecuaciones [I] debe conducir a las
ecuaciones del movimiento. Además, hay dos ecuaciones adicionales que se obtienen
con el índice λ = 0. Una de ellas simplemente indica que p0 es proporcional a la energía
total, resultado ya obtenido anteriormente.
En efecto, derivando en [II]:
∂H C
∂p
0
=
p0 − q A0
dx
= u0 = 0
m0
dτ
Por tanto
p 0 − q A0 = m0 u0 = m0 γ c
De donde:
p 0 = mc + q φ
c
=
mc 2 + qφ T + qφ
=
c
c
⇒
p0 =
E Total
c
3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
Formulación Lagrangiana para sistemas continuos:
Toda la formulación Lagrangiana discutida hasta el momento ha sido diseñada para
tratar sistemas con un número finito de grados de libertad.
En algunos sistemas mecánicos, los sistemas continuos, el movimiento se ha de describir especificando para todos los puntos las coordenadas en función del tiempo.
P. ej. al estudiar las vibraciones de un sólido elástico ha de expresarse cómo contribuye a la oscilación cada uno de los puntos del sólido.
El método más sencillo para considerar las vibraciones del sólido es considerarlo
como un sistema discreto y pasar entonces al límite continuo, obteniendo en este las
ecuaciones de movimiento.
II
9
Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
Transición del sistema discreto al sistema continuo:
Consideremos un sólido elástico unidimensional infinitamente largo (varilla elástica)
que puede vibrar longitudinalmente, esto es sus partículas constitutivas oscilan en la
dirección de vibración en torno a sus posiciones de equilibrio.
El sistema se aproxima a una sucesión (discreta) de partículas, dispuestas en cadena,
de masa m, con puntos de equilibrio separados una distancia a, sobre las que actúan
fuerzas elásticas recuperadoras de constante k.
El esquema sobre el que se desarrollará el estudio es el siguiente:
ηi–1
ηi
ηi+1
Llamando ηi al desplazamiento de la partícula i-ésima desde su posición de equilibrio, la energía cinética de la misma será:
T=
∞
1
1
mηi 2 , y para todo el sistema: T =
2
2
∑ mη
1
2
∑ k (η
La energía potencial será de la forma:
V=
2
i
i =1
∞
i +1
− ηi )2
i =1
k es la constante elástica del material, que aparece en la ley de Hooke.
Ya que, en efecto, la fuerza sobre la partícula i se obtendrá derivando dicha expresión respecto de ηi :
Fi = −
∂V
= k (ηi +1 − ηi ) − k (ηi − ηi −1 )
∂ηi
El término k (ηi +1 − ηi ) da la fuerza recuperadora debida a la interacción elástica con la
partícula de la derecha y − k (ηi − ηi −1 ) , con la partícula de la izquierda.
II 10
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
La Lagrangiana del sistema será:
= T −V =
1
2
∑ [m η
∞
− k (ηi +1 − ηi )2
2
i
i =1
]
Que se puede también escribir de la forma:
=
1
2
2
m 2
 η −η  
a  ηi − k a  i +1 i   =
a

 
i =1 
a
∞
∑
∞
∑a
i
i =1
Como suma de Lagrangianas de todas las partículas. Las correspondientes ecuaciones de movimiento ηi(t), se obtienen sin más que aplicar las condiciones de EulerLagrange a las coordenadas generalizadas ηi , ηi :
d ∂

d t  ∂ηi
 ∂
m
 η −η
 −
= 0 ⇒ ηi − k a  i +1 2 i
a
∂
η
 a
i


 η −η 
 + k a  i 2 i −1  = 0 Ecuaciones de movimiento

 a

Consideraciones en el paso al continuo:
1º) El límite continuo para el sólido elástico unidimensional se obtendrá para a→0. Claramente la cantidad m → µ , (masa por unidad de longitud del sistema continuo), pero el
a
valor límite de ka no es tan evidente.
2º) Para un sólido elástico que cumpla la ley de Hooke, el alargamiento por unidad de
longitud es directamente proporcional a la fuerza o tensión aplicada, relación que se
puede escribir:
F =Y
∆
, esto es:
F = Yξ
Donde ξ es el alargamiento por unidad de longitud e Y es el módulo de Young. Es evidente que el alargamiento de una longitud a de un sistema discreto, por unidad de longitud, es:
ξ=
(ηi +1 − ηi )
a
La fuerza necesaria para estirar el resorte esta cantidad es:
 η −η 
F = k (ηi +1 − ηi ) = k a  i +1 i  = k aξ
a


Por lo que ka debe corresponder al módulo de Young de la varilla continua.
3º) Al pasar del caso discreto al límite continuo, el índice entero i que caracteriza a la
masa puntual particular se convierte en la coordenada de posición continua x. Así, para
a→0, ηi →η (x). La coordenada generalizada ηi pasa a ser la función campo η (x).
Además, como ηi (t), entonces: η (x, t).
II 11
Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana
Por tanto, la cantidad ξ en el límite:
η i +1 − η i
η ( x + a ) − η ( x ) dη
= lim
=
a →0
a
a
dx
lim
a →0
Ya que a pasa a desempeñar el papel de dx.
4º) De igual modo, la suma extendida a todas las partículas se convierte en una integral
sobre x, la longitud de la varilla, y la Lagrangiana del sistema aparece como:
=
[I]
1
2
∫
2

 dη  
 µη 2 − Y 
  dx
 dx  

5º) En las ecuaciones de movimiento, en los dos últimos términos se tiene en el paso al
límite:
Y  dη   dη  
 −
 
a î  dx  x  dx  x −a 
lim − 
a →0
Que define claramente una segunda derivada de η en x.
Por tanto, la ecuación de movimiento para el sólido elástico unidimensional será:
µ
[II]
d 2η
dt
2
−Y
d 2η
d x2
=0
Ecuación de ondas unidimensional, con velocidad de fase: v =
Y
, que tendrá que
µ
satisfacer la función η (x, t).
Consideraciones:
1ª) Por un proceso variacional enunciado para [I], ha de ser posible obtener la ecuación
de ondas [II].
2ª) Lo más importante a considerar es el papel que desempeña la coordenada de posición x. ¡No es una coordenada generalizada!. Sólo sirve como índice continuo que sustituye al índice discreto i. Así como a cada valor de i le corresponde una coordenada
generalizada distinta ηi , a cada valor de x le corresponde η (x): coordenada generalizada. Como ηi depende del parámetro t, puede considerarse la coordenada generalizada
η (x) dependiente también de t:
η (x, t)
3ª) Si el sistema continuo es tridimensional, la coordenada generalizada depende de
tres índices continuos además de t, por lo que tendremos que considerar:
η (x, y, z, t)
En este caso, la Lagrangiana
[III]
tendrá la forma:
= ∫ ∫ ∫ dx dy dz
II 12
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Donde
!
se conoce como Densidad Lagrangiana* del sistema.
Para las vibraciones longitudinales estudiadas anteriormente en el sólido lineal, la
densidad Lagrangiana será:
[I]
2
2
 ∂η  
1   ∂η 




µ
−
Y

 ∂x  
2   ∂ t 

 
î
=
"
Que corresponde al límite continuo de la Lagrangiana
#
i.
Es la densidad Lagrangia-
na, la magnitud que determina la descripción del movimiento del sistema.
En síntesis, para las ecuaciones de movimiento vistas en el caso discreto:
m
 η −η 
 η −η 
ηi − k a  i +1 2 i  + k a  i 2 i −1  = 0
a
 a

 a

$
$
∂ 2η (x , t )
∂t 2
Tendremos:
ηi ⇒
Que podrá ponerse:
ηi +1 − ηi
∂η (x , t )
⇒
∂ x en x
a
$
$
 η −η
− ka  i +1 2 i
 a
Y el término:

η −η 
 + ka  i 2 i −1 

 a

ηi − η i −1
∂η (x, t )
⇒
∂ x en x − ∆x
a
Y:
∂η (x t ) 
Y ∂η (x t )

  ⇒ −Y
Así pues tendremos, si: ka =Y ⇒ − 
− 
a î ∂ x  x − ∆x  ∂ x  x 

, 
,  

∂ 2η (x, t )
∂x2
Y, por tanto, en el límite continuo, las ecuaciones de movimiento son:
[II]
µ
∂ 2η
∂ 2η
−
=0
Y
∂t 2
∂t 2
Sobre un principio de acción correctamente formulado con la densidad Lagrangiana
!
y aplicando las ecuaciones resultantes (ecuaciones de Euler-Lagrange), se podrán ob-
tener las ecuaciones que cumple el campo (ecuaciones [II]). Este será el objetivo a conseguir.
Lagrangiana de un sistema continuo:




∂η
∂η
En [I], la Lagrangiana depende de: η =   , y de:   , siendo x, t, considerados
 ∂t 
 ∂x 
$
como parámetros. En general, en un sistema continuo tridimensional, la densidad Lagrangiana puede depender de funciones, y de sus derivadas espaciales y temporales; de
η (x, y, z, t), así como explícitamente de x, y, z, t. Entonces la densidad Lagrangiana
tendrá una expresión general:
*
También recibe los nombres de Lagrangiano (en Teoría de Campos), o sencillamente Lagrangiana.
II 13
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
[IV]
 ∂η ∂η

,
, x, y , z, t  ;
= η ,
 ∂ xk ∂ t

%
%
xk = x, y, z
4. Principio variacional en m4 Ecuaciones de Euler-Lagrange:
Principio variacional en m4:
Las ecuaciones de movimiento provendrán de un principio variacional del mismo
modo que en el caso discreto, a partir de una acción definida de la forma:
2
I=
∫∫∫∫
dx dy dz dt
%
1
Donde x, y, z, t son considerados como parámetros. En el volumen de integración:
(x, y, z) ∈ V; t ∈ [t1, t2], lo que varía en cada punto (x, y, z, t = cte), es el valor de la coordenada generalizada η (x, y, z, t), y por tanto también se producirá una variación de
 ∂η 
η =   y de
 ∂t 
&
 ∂η

 ∂ xk

 .

La función η (x, y, z, t) será la función correcta que describa el sistema físico en estudio, si cualquier variación δη hace que la acción I sea estacionaria (máxima o mínima), esto significa que su variación δI sea nula:
2
δI =δ
∫ ∫∫∫
2
dx dy dz dt =
%
1
∫∫∫∫ δ
%
dx dy dz dt = 0
1
La variación de la densidad Lagrangiana se puede escribir:
%
=
3
∂
∂
∂
δη +
δη +
∂η
∂η
∂η
k =1 
∂ 
 ∂ xk
%
δ
∑
%
&
&
%
 ∂η
δ 
  ∂ xk





Donde por conveniencia: x, y, z, se han renombrado xk , k =1, 2, 3.
El principio de Hamilton, se puede expresar entonces:
2
δI =
∫∫∫∫
1


 ∂ δη + ∂ δη +
 ∂η
∂η


%
%
&
&


 ∂ η 
∂
 dx dy dz dt = 0
δ
∂ η   ∂ x k 
k =1 


∂ 

 ∂ xk 
3
∑
%
Que podemos escribir:


 ∂ ∂ 
∂ ∂
∂
 δη +  δη  −   δη +
∂ t  ∂η  ∂ t  ∂η 
 ∂η

2
∫ ∫∫∫
%
%
1
&
%
î
&


∂  ∂
∂ x k   ∂η
k =1
 ∂ 
  ∂ x k
3
∑
%


δη  −
 
 
 


∂  ∂
∂ x k   ∂η
k =1
 ∂ 
  ∂ x k
3
∑
%




 δη  dx dy dz dt = 0



 

 

II 14
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Haciendo uso de las relaciones:
∂
(δ η ) = δ  ∂η  = δ η
∂t
 ∂t 

∂
(δ η ) = δ  ∂η
∂ xk
 ∂ xk
y:
'



Evidentemente, la variación que efectuamos δη puede ser cualquiera en todos los
puntos fijos (x, y, z) dentro del volumen de integración, pero tal que se anule en la frontera de dicho volumen. Así pues, las integrales en que aparece la derivada en t y en xk ,
de las expresiones entre corchetes [ ], al integrar en el volumen darán:
Valor en la frontera t 2
∂
δη
= 0,
∂η
Valor en la frontera t 1
(
pues δη (x, y, z, t1 ó t2) = 0
'
Valor en la frontera x k ( 2)
∂
(
 ∂η
∂ 
 ∂ xk



δη
pues δη (xk , t) = 0
= 0,
Valor en la frontera x k (1)
De este modo, el principio variacional δI = 0 dará:
2
∫ ∫∫∫
1


∂ − ∂ ∂ −
 ∂η ∂ t ∂η


)
)
*


∂  ∂

∂ x k   ∂η
k =1

 ∂ ∂ x
  k
3
∑
)










 δη dx dy dz dt = 0



Para cualquiera que sea la variación producida δη (x1, x2, x3, t) = 0, de la función η (x1,
x2 , x3 , t) en el volumen V, lo que es posible sólo si se satisface:


∂ ∂
∂  ∂
+

∂ t ∂ η k =1 ∂ x k   ∂ η

 ∂ ∂ x
  k
3
)
*
∑
)


 ∂
=0
−
  ∂η



)
Que es la ecuación de movimiento del sistema. Una ecuación en derivadas parciales
de 2º orden (¡las ecuaciones de la física!), que una vez resuelta con los valores de contorno adecuados, nos dará la función:
η = η (x, y, z, t)
Que describe adecuadamente la propiedad η asignada a todo punto P ∈V en el intervalo
de tiempos t1< t < t2. Es decir, nos proporciona la función campo.
Posibles elecciones de valores de contorno son:
a)
∂η
,
∂t t = t
1
b)
∂η
∂η
,
,
∂t t = t ∂ xk =
t t1
1
η (x, y, z, t1),
para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.
para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.
II 15
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
Las condiciones:
(a) Son las condiciones de Dirichlet en el contorno.
(b) Son las condiciones de Neumann en el contorno.
Como se puede ver, el problema de determinar el movimiento del sistema es totalmente análogo a determinar la trayectoria de la partícula pues hay que conocer la posición (valor de la función η) y la velocidad, valor de las derivadas en el contorno.
Caso de varios grados de libertad:
Las forma anterior de la densidad Lagrangiana y la consiguiente ecuación del movimiento ha sido discutida, suponiendo que el sistema puede describirse únicamente por
una función η = η (x, y, z, t).
En un problema más complicado, por ejemplo la vibración de un sólido elástico tridimensional, pueden producirse desplazamientos independientes a lo largo de tres ejes
coordenados y, por lo tanto, se necesitarán tres funciones η1, η2, η3, que nos den dichos
desplazamientos.
En general el sistema físico necesita para su descripción de un número determinado
de funciones, η j (xk , t), es decir, de j coordenadas generalizadas, y por tanto su densidad
Lagrangiana dependerá de estas η j coordenadas y de sus derivadas, tanto en t como en
las xk. De este modo se obtendrán j-ecuaciones de movimiento; cada una involucra un
grado de libertad, (una función η j (xk , t)).
Así pues las ecuaciones de movimiento serán:


∂ ∂
∂  ∂
+

∂ t ∂ η j k =1 ∂ x k   ∂ η j
∂
  ∂ xk
 
3
∑
+
,
+


 ∂
=0
−
  ∂η j



+
j = 1, 2, 3
A veces se introduce el concepto de derivada funcional o derivada variacional. La
derivada funcional de la Lagrangiana respecto de η j se define como:
δ
∂
∂
=
−
δ η j ∂η j k =1 ∂ x k
3
∑
.
-
∂
 ∂η j
∂ 
 ∂ xk
-




Una definición similar se hace para la derivada funcional de
ro ya que
/
/
con respecto a η j , pe0
no depende de los gradientes de η j , se tiene simplemente:
0
δ
∂
=
δ η j ∂η j
.
0
-
0
II 16
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Así, la variación de la acción δI, con estas definiciones, se convierte simplemente en:
δI =
∫∑


 ∂
δη j −

 ∂η j


∫∑
δ

δ

δη j +
δη j  dV
δη j

δηj


V
Esto es:
δI =
V
j
j
2



∂
∂
δη j +
δη j  dV
∂η j
∂η j 

k =1 

∂ 


 ∂ xk 

3
∑
3
2
2
1
1
3
1
1
Que es exactamente la expresión que se hubiera obtenido aplicando δ a la ecuación
[III], ignorando la dependencia en los gradientes de η. Las ecuaciones de movimiento
tomarían la forma simple en derivadas funcionales:
∂ δ
δ
−
=0
∂t δ η j δ η j
3
3
1
Conclusiones:
Mientras que la expresión en derivadas funcionales simplifica grandemente algunas
operaciones al aplicar el principio variacional, tiende a ocultar el hecho de que las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, respecto de
tiempo y espacio. Del mismo modo, singulariza la coordenada tiempo respecto de las
otras tres, aunque hemos indicado que tanto una (t) como otras (xk) juegan el mero papel
de simples parámetros que aparecen en la densidad Lagrangiana . Esta identificación
4
en el trato a las cuatro coordenadas es lo que se produce en Relatividad y, por tanto, el
proceso descrito previamente a éste es el que podrá incorporarse fácilmente a la formulación covariante. El producto dx1 dx2 dx3 dt es esencialmente el elemento de volumen
cuadridimensional en m4, invariante bajo transformaciones Lorentz.
El principio de Hamilton se convierte automáticamente en covariante Lorentz si
4
es
un escalar en el espacio-tiempo.
Las ecuaciones de movimiento en notación covariante se escribirán pues de la forma:


∂  ∂

∂ xµ   ∂η j
µ =0
 ∂ 
∂x
  µ
3
∑
Invariantes Lorentz, si
4
5


 ∂
−
=0
  ∂η j



5
es un escalar Lorentz y las ηj tienen las propiedades de trans-
formación adecuadas.
II 17
Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange
Principio variacional, campo escalar unidimensional:

∂η ∂η

Veamos el principio variacional sobre un Lagrangiano: = η , , , x, t  , para un
 ∂ x ∂t

6
∂η
∂η
.
+δ
∂x
∂x
(x, t) dado tomamos las funciones variadas: η + δ η , η + δ η ,
7
6
7
Si hemos construido la acción:
t2
I=
∫
x2 t 2
8
∫ ∫
dt =
t1
dx dt
6
x1 t1
Veamos cuánto vale su variación δI:
x2 t2
δI=
∫ ∫δ
dx dt
6
x1 t1
 ∂η 
 ∂η  ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
=
(δ η ) + ∂
(δ η )
=
δη +
δ 
δ 
δη +


∂
η
∂
∂
t
∂η
 ∂η   ∂ t 
 ∂η   ∂ x 
 ∂η 
 ∂η  x




∂ 
∂ 
∂ 
∂ 




 ∂t 
∂x
 ∂t 
∂x
6
6
δ
6
6
6
6
6




















∂
∂
∂
∂
∂  ∂
∂
∂
∂

=
δη +
δ η − 
δ η −
δ η +

δ η
∂η
∂ t   ∂η   ∂ t   ∂η  
∂ x   ∂η   ∂ x   ∂η  
 


 


 ∂ 
 ∂ 
 ∂ ∂t  
∂∂ x 
  ∂ x  


  ∂ t  
 
 
6
6
6
6
6
La integral queda:
x
t






 2

 2




x 2 t2 
t2 
x


2


∂  ∂
∂ − ∂  ∂
 ∂
 dt +  ∂
 dx
dx
dt
δI=
δ
η
−
δ
η
+
δ
η
δ
η


 ∂η ∂ t   ∂η  
  ∂η  
  ∂η  
∂
x


∂
η
 ∂
∂

 
 
 
x1 t1 
t1  ∂ 
x1  ∂ 
  ∂t 
  ∂ x  

  ∂ t   x
  ∂ x   t



 



1
1
∫ ∫
Ahora bien:
6
6
∫
6
δη
6
∫
6
x2
⇒ δ η (x 2 , t ) = δ η (x1 , t ) = 0
x1
Pues ambos términos se anulan. En un principio variacional de extremos fijos: η (x1),
η (x2) son constantes con el tiempo. De la misma forma:
δη
t2
⇒ δ η (x, t 2 ) = δ η (x, t1 ) = 0
t1
por ser η (t1), η (t2) constantes con la posición. Así pues, para que δI = 0, para toda variación δη, se ha de satisfacer:












∂
∂
∂
∂
∂
− 
−

=0
∂ η ∂t   ∂η   ∂ x   ∂η  




 ∂ ∂t  
∂∂ x 


 
 
9
9
9
Ecuación de Euler-Lagrange
II 18
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Es una ecuación en derivadas parciales respecto de la posición y el tiempo que se ha
de resolver para determinar la función campo η = η (x, t).
Ejemplo: Dada la densidad Lagrangiana anteriormente propuesta para el sólido elástico
unidimensional, encontrar por aplicación de las condiciones de Euler-Lagrange, las
ecuaciones de movimiento. Así:
2
2
 ∂η  
1   ∂η 
∂




Y
µ
−

 ∂ x   , se tiene ∂ η = 0 ;
2   ∂ t 

 
î
∂
= µη ;
 ∂η 

∂ 
 ∂t 
:
;
:
=
µ
<
∂ 2η
∂ 2η
Y
−
=0
∂t 2
∂t 2
 ∂η 
∂
 , por tanto:
= −Y 
∂ x 
 ∂η 


∂ 
∂x
:
Ecuación del movimiento
Campo escalar tridimensional:
Definido por una densidad Lagrangiana:
:
:
El principio de mínimo sobre la acción: I = ∫
V





∂
∂  ∂
− 
−
∂ η ∂ t   ∂ η  


 ∂ ∂t  

 
;
Lagrange:
;


∂  ∂

∂ xk   ∂η
k =1

 ∂ ∂ x
  k
3
∑
;
 ∂η ∂η ∂η ∂η

,
,
,
, x, y , z, t 
= η ,
 ∂ x ∂ y ∂ z ∂t

t2
∫
:
dx dy dz dt , genera la ecuación de Euler-
t1



 = 0 ; que




determina el campo η=η(x, y, z, t).
Campo vectorial tridimensional:
Definido por tres funciones campo: Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) , esto es Ψ α = Ψx , y , x . Su densidad
=
Lagrangiana será:
:

∂ψ α k 
, x , t , con k = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3.
= ψ α ,

∂ xk


:
Del principio de mínimo I = ∫
V
Euler-Lagrange:
=
∂
;
∂ψ α
t2
∫
t1
:
 α ∂ψ α k 
ψ ,
, x , t  dx dy dz dt , se tienen α-ecuaciones de


∂ xk




∂  ∂
− 
∂ t   ∂ψ α
 ∂  ∂ t
 
;



−






∂  ∂

∂ x k   ∂ψ α
k =1
 ∂  ∂ x
k
 
3
∑
;



 =0.




Tres ecuaciones, una para cada valor del índice α.
II 19
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor Energía-Momento:
Lagrangiano de un campo:
Así como la partícula queda descrita en mecánica clásica por su masa m, y su función
posición r (t ) en términos del parámetro tiempo; un campo queda definido por un con>
junto de funciones que toman valores en todos los puntos del espacio.
El campo electromagnético está descrito por un conjunto de funciones definidas, no
en un único punto de m4, sino en cualquier punto xµ. Dar el campo significa dar las funciones Aµ (xµ) o las funciones Fµν (xµ) que comprenden tanto las variaciones espaciales
como las temporales en cualquier punto xµ de m4.
Las componentes del campo son las coordenadas generalizadas en cuyos términos se
construye el Lagrangiano del sistema.
Así aplicaremos un principio variacional, con una densidad Lagrangiana definida en
m4 de modo que:
[I]
δI = 0, con: I =
∫
V4
?
µ
 µ

 A (x ), ∂A (x ) , x  dx 4
ν


∂x


En general las funciones Aµ (x) pueden ser cualesquiera, es decir escalares Lorentz,
componentes de un cuadrivector (como en el caso electromagnético) o componentes de
un tensor (como en el caso gravitatorio), etc. La condición para que la teoría mantenga
la invariancia relativista es que
@
sea un escalar Lorentz, en el caso general, que sea una
densidad escalar.
Procederemos en el caso continuo del mismo modo que procedimos en el caso discreto:
Las funciones Aµ (x) serán las que describen físicamente el sistema continuo y hacen
mínima la acción definida en [I]. Es decir, en cada punto xµ ∈ V4, en lugar de Aµ (x),
consideramos la función variada:
S
Aµ (x) + δAµ (x)
V
4
De tal forma que δAµ (x) = 0, para x ∈ S (el contorno de V4)
Con tales variaciones en las funciones Aµ (x) se tendrá:
∂
∂
∂
∂ A µ (x )
A µ (x ) + δ A µ (x ) − ν A µ (x ) = δ
δ A µ (x ) = δ A µ ,ν ;
= δ A µ ,ν
ν
ν
∂x
∂x
∂x
∂ xν
[
] (
[
)
]
(
)
(
)
Esto es, la variación de la derivada es igual a la derivada de la variación:
(
) (
)
δ A µ ,ν = δ A µ ,ν
II 20
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Con lo que podemos ver cuánto varía
∫
Tendremos entonces: δ I = δ
dx 4 =
B
V4
si variamos las Aµ (x) y Aµ,ν (x).
A
∫ (δ
)dx 4
B
V4
Como consecuencia de la variación de las funciones campo:
δ
B
=
∂
B
ν
∂A
∂
δ Aν +
∂
B
ν
∂A
∂  µ
 ∂x
 ∂x



µ
[δ A ] =
∂
ν
B
ν
∂A
=
δ Aν +
(
∂
B
∂ ∂ µ Aν
)∂ (δ A ) =
ν
µ
 ∂

 ∂
 ν
∂
δ Aν + ∂ µ 
δ Aν  − ∂ µ 
δ A
ν
ν
ν
∂A
 ∂ ∂ µ A

 ∂ ∂ µ A 
(
B

Restando el término que falta para que quede: ∂ µ 
(
∂
B
ν
 ∂ ∂ µ A
)
B
(
)
B

)(δ A )
ν

Si las funciones hacen mínima la acción, la variación ha de anularse. La acción es un
extremo, por lo que:
δI = 0 ⇒ 0 =
∂
 ∂
 ν

 δ A (x )dx 4 + ∂ µ  ∂
 ν − ∂µ 
δ Aν
ν
 ∂ ∂ µ Aν 
A
A
∂
∂
∂


µ



V4 
V4
∫
(
B
∫
)
B
(
B
() ) dx
4

La integral en volumen puede pasar a integral en el contorno de modo que:
 ∂
∂µ 
δ Aν
ν
 ∂ ∂ µ A
V4
∫
Pues
∫∂
R4
µP
µ
dx 4 =
∫P
µ
(

() ) dx = ∫ ( ∂ A )δ A
∂∂

B
4
B
S
µ
ν
ν
dS µ = 0
ν
dS µ , y la variación de las funciones campo es tal que δA (x) = 0
∂R 4
para x ∈ S, por lo que la expresión anterior se anula.
Como para x ∈ V4 las δAν (x) son arbitrarias, la acción sólo puede anularse si:
 ∂
 ∂
=
, ν = 0,1,2,3
∂µ 
ν
 ∂ ∂ µ A  ∂ Aν


(
)
B
B
Los índices repetidos indican suma, esto es, se tiene:
∑
µ
 ∂
 ∂
=
∂µ 
 ∂ ∂ µ Aν  ∂ Aν


(
B
)
B
ν es el índice que hace aparecer tantas ecuaciones como variables campo se tenga.
• Para un campo escalar sólo tenemos una función A1(x), y una ecuación.
• Para un campo vectorial, cuatro funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3, y cuatro ecuaciones.
• Para un campo tensorial, 4×4=16 funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3....15, y 16 ecuaciones.
En general, como hemos visto, las funciones campo Ψ α , pueden ser un conjunto de
funciones Ψ α (x µ ) , α = 1, 2, ... N; µ=0,1,2,3, tanto reales como complejas y pueden ser
escalares, vectoriales, tensoriales etc.
II 21
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
Con ellas construimos la densidad Lagrangiana (invariante Lorentz si deseamos una
teoría relativista)
a partir de las funciones Ψ α y sus derivadas:
C
=
D
(ψ
D
α
(x ),ψ ,αµ (x ), x µ )
Formalmente construida con las funciones y sus derivadas de primer orden. Las
ecuaciones del campo se obtendrán (ecuaciones de 2º orden, las comunes de la física),
 ∂
∂
− ∂µ 
α
 ∂ψ ,α
∂ψ
µ


=0


∂
∂
D
Λα =
como:
Donde llamaremos:
D
α
≡
D
D
∂ψ
α
;
µ
α≡
D
D
Λα ≡
;
∂ψ ,αµ
D
α
− ∂µ
D
µ
α
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de campo.
Fijémonos que la variación se ha impuesto en las funciones campo, y se ha fijado el
volumen, y su contorno. Esto es, se ha operado una variación que no afecta al volumen
de integración ni a las coordenadas.
La dinámica del sistema (ecuaciones del campo) queda pues especificada una vez
conocida la Lagrangiana. El problema físico que se nos plantea es escoger la Lagrangiana adecuada. Esta será conveniente si conduce a las ecuaciones correctas. Es decir,
ecuaciones que una vez resueltas, determinan funciones que describen adecuadamente
los fenómenos físicos observados.
Es importante constatar que no hay una única Lagrangiana para un sistema físico
concreto. Toda función Lagrangiana puede modificarse añadiéndole un término de
divergencia, resultando las mismas ecuaciones.
Así:
D
=
D
(ψ
α
(x ),ψ ,αµ (x ), x µ ) ,
y:
D
=
(ψ
D
α
(x ),ψ ,αµ (x ), x µ )+ ∂ µ Γ µ (ψ α (x ), x µ )
Dan las mismas ecuaciones, ya que:
δ
∫(
D
)
+ ∂ µ Γ µ dx = δ
R
∫
D
dx + δ
R
∫∂
µΓ
dx = δ
R
δ
Como consecuencia de:
∫ Γ (ψ
µ
(
∂ Γµ ψ α , xµ
∂ψ
α
)δ ψ
∫
D
dx + δ
α
)
, x µ dσ µ =
∫ Γ (ψ
µ
α
)
, x µ dσ µ = δ
∂R
R
∂R
Ya que: δ Γ µ (ψ α , x µ ) =
µ
∫ δ Γ (ψ
µ
α
∫
D
dx
V4
)
, x µ dσ µ = 0
∂R
α
, y δ ψ α = 0 en el contorno de R: ∂R.
II 22
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Campos complejos: Si las cantidades Ψ α (x ) son complejas, podemos tomar las partes real e imaginaria como funciones independientes. O de manera alternativa los dos
campos Ψ α y Ψ α * como independientes.
Campo electromagnético: Se pueden dar varias formas de Lagrangiana para el
campo electromagnético. Unas y otras diferirán en un término de divergencia.
Se pueden expresar en función de Aµ (x) o de Fνµ (x), o de ambos, por ejemplo:
(
ε0 c2
ε
Fµν F µν = 0 E 2 − c 2 B 2
4
4
=−
E
I
)
Para el campo electromagnético libre, las funciones Aµ (x) son las funciones campo,
aunque escribamos
F
I
en función de Fνµ (x) para mostrar su invariancia ante una trans-
formación gauge para los potenciales.
Es fácil ver que:
∂
∂
E
∂A
=0;
I
µ
E
= Fµν
I
∂ A µ ,ν
F,νµν = 0
por lo que las ecuaciones de campo dan:
O bien en términos de los potenciales:
G
Ecuaciones del campo libre
Aµ = 0
Si se toma la condición subsidiaria en los potenciales:
A,µµ = 0
Condición de Lorenz
Veámoslo detalladamente:
La Lagrangiana del CEM libre:
= K Fµν F µν , con: K = −
E
ε 0 c2
, con la que se calculan
4
 ∂
 ∂
las ecuaciones de Euler-Lagrange: ∂  β α  − α = 0
∂ ∂ A  ∂A
∂
En primer lugar:
no depende explícitamente de los Aα.
=0 ⇒
α
∂A
E
β
E
(
)
E
F
En segundo lugar:
Con:
(
∂
E
∂ ∂ β Aα
∂ F µν
(
β
α
∂∂ A
∂
∂
∂F
∂F
, donde F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ .
= 2 KF
∂ F ∂ ∂ β Aα
∂ ∂ β Aα
E
)
=
)
=
(
(
∂ ∂ µ Aν − ∂ν A µ
(
) = 2KF
(
)
µν
)
β
α
(δ
µ ν
β δα
∂∂ A
E
∂ ∂ β Aα
(
)
⇒
)=δ
(
)
µ ν
β δα
− δ νβ δ αµ ,
)
− δ νβ δ αµ = 2 KFβα − 2 KFαβ = − 4 KFαβ
∂ β Fαβ = 0
Finalmente:
∂ β − 4 KFαβ = 0
O bien:
2
∂ β ∂ α Aβ − ∂ β Aα = ∂ α ∂ β Aβ − ∂ 2 Aα = 0 ⇒ ∂ Aα = 0 ⇒ Aα = 0
(
)
G
Simbolizamos: ∂ β ∂ β ≡ ∂ 2 ó
G
Con la condición para fijar el potencial: ∂ β Aβ = ∂ β A β = 0 : condición de Lorenz.
II 23
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
Ejemplo: Lagrangiano de Fermi.
En el sistema de unidades naturales:
H
II
( )
1
1
= − Fµν F µν − A,µµ
4
2
No es invariante gauge, pero conduce al resultado:
2
I
2
Aµ = 0 , sin condiciones adicionales
sobre los potenciales.
Nota: Tomamos Aµ como funciones de campo, aunque explícitamente aparezca Fνµ.
Lagrangiano de interacción con partículas cargadas:
El término de interacción ha de ser también un escalar Lorentz, para que lo siga siendo la densidad Lagrangiana. De las ecuaciones que dan la densidad de energía electrostática y magnetostática:
ρΦ ,
J⋅A
J
J
podemos expresar la generalización covariante Lorentz:
J α Aα
Con este escalar Lorentz que contiene las fuentes de campo, escribiremos la densidad
Lagrangiana:
[I]
H
=−
ε0 c2
Fαβ F αβ − J α Aα
4
Hemos de tener en cuenta que las funciones campo son Aα. Expresando [I] en función de estos potenciales:
[II]
H
=−
(
)
g λµ gνσ F µσ = g λµ F µ σ = Fλν
Donde hemos utilizado:
 ∂
∂β 
 ∂ ∂ β Aα

H
Hallemos las ecuaciones del campo:
ε 0 c2
∂
=
−
g λµ gνσ
4
∂ ∂ β Aα
H
Con:
)(
ε 0 c2
ε c2
Fλµ F λµ − J α Aα = − 0 g λµ gνσ ∂ µ Aσ − ∂ σ A µ ∂ λ Aν − ∂ν A λ − J α Aα
4
4
(
)
(
 ∂
−
=0
 ∂ Aα

H
)
δ βµ δ ασ F λν − δ βσ δ αµ F λν


×
+

δ λ δ ν F µσ − δ ν δ λ F µσ
β α
î β α
Los cuatro términos son iguales, dada la antisimetría de Fνµ y la simetría de gαβ.
En efecto:
g λµ gνσ δ βµ δ ασ F λν = g λβ gνα F λν = g λβ F λ α = Fβα
− g λµ gνσ δ βσ δ αµ F λν = − g λα gνβ F λν = − g λα F λ β = − Fαβ = Fβα
II 24
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
g λµ gνσ δ βλ δ αν F µσ = g βµ gασ F µσ = g βµ F µ α = Fβα
− g λµ gνσ δ νβ δ αλ F µσ = − gαµ g βσ F µσ = − gαµ F µ β = − Fαβ = Fβα
(
Así:
∂
K
β
α
∂∂ A
Como:
[III]
)
= −ε 0 c 2 Fβα = ε 0 c 2 Fαβ
∂
= −Jα
∂ Aα
K
Las ecuaciones del movimiento son:
ε 0 c 2 ∂ β Fαβ = − J α
⇒
∂ β Fαβ = − µ 0 J α
Que son las ecuaciones no homogéneas de Maxwell en forma covariante.
Las ecuaciones homogéneas se cumplen automáticamente, por la forma en que se ha
definido el tensor campo electromagnético en función del cuadrivector potencial:
∂α*Fγµ = ∂α
1 αβγµ
1
ε
Fγµ = ∂α εαβλµ (∂λ Aµ − ∂µ Aλ )
2
2
1
1
= ∂α εαβλµ ∂λ Aµ − ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ
2
2
Ya que por la antisimetría, y al ser los índices mudos:
− ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = − ∂α εαβµλ ∂λ Aµ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ
Por tanto:
∂α*Fαβ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ ≡ 0
Nulo por ser el operador ∂α∂λ simétrico y εαβλµ antisimétrico en todos sus índices, para
todas las permutaciones impares. Así las ecuaciones de Maxwell homogéneas:
∂α *Fαβ = 0
se obtienen de modo trivial.
Del mismo modo vemos que Jα es de divergencia nula pues:
∂ α J α = ε 0 c 2 ∂ α ∂ β Fβα = −ε 0 c 2 ∂ α ∂ β Fαβ = −ε 0 c 2 ∂ β ∂ α Fβα = −ε 0 c 2 ∂ α ∂ β Fβα
El orden de derivación no cambia el resultado.
Entonces:
∂α J α = 0
Lagrangiano de Proca:
En el Lagrangiano anterior hemos considerado el término de interacción del cuadrivector corriente con el cuadrivector potencial. Introduzcamos un término µ de interac-
II 25
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
ción escalar con el cuadrivector potencial. Para que la densidad Lagrangiana continúe
siendo un escalar, el término más sencillo será de la forma:
ε 0 c2 2
µ Aα Aα
2
Donde el coeficiente
ε0 c2
se ha puesto por conveniencia. Veremos más adelante qué
2
significado puede darse al escalar µ.
La Lagrangiana resultante se conoce como Lagrangiano de Proca:
L
PROCA
ε 0 c2
ε c2
Fαβ F αβ + 0 µ 2 Aα Aα − J α Aα
4
2
=−
Las ecuaciones de movimiento son:
∂ β Fβα + µ 2 Aα = µ 0 J α
En contraste con las ecuaciones de Maxwell, en las que aparecen únicamente los
campos, que son los que tienen significado físico real (observables), aquí aparecen también los potenciales, que se harían observables a través del término µ.
La ecuación anterior se puede escribir:
(
)
∂ β ∂ β Aα − ∂ α Aβ + µ 2 Aα = ∂ 2 Aα − ∂ α ∂ β Aβ + µ 2 Aα = Aα + µ 2 Aα = µ 0 J α
M
donde hemos utilizado el gauge de Lorenz: ∂ β Aβ = 0 .
Esto es:
[I]
M
Aα + µ 2 Aα = µ 0 J α
Que en el límite estático (si los potenciales no son funciones del tiempo) queda:
∇ 2 Aα + µ 2 Aα = − µ 0 J α
Si la fuente es una carga puntual en reposo se tendrá: J α (r ) = (c qδ (r ), 0, 0, 0) , y por tanto
N
N
la única componente no nula en S será:
∇ 2 A0 + µ 2 A0 = − µ 0 c qδ (r )
N
Teniendo en cuenta que A0 =
Φ (r )
, la solución para la última ecuación es:
c
N
Φ (r ) =
N
1 q e−µ r
4πε 0
r
Potencial de Yukawa
Este será el potencial de una carga puntual q, con parámetro asociado µ ≠ 0, que no
tiene el comportamiento predicho por la ley de Coulomb.
II 26
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Significado de µ:
Sabemos que en ausencia de fuentes, una onda electromagnética que en S se propaga
en una dirección dada k viene determinada por funciones potenciales del campo elecO
tromagnético de la forma:
− j ω t − k u r 
P
Aα = A 0α e
O
Si, en ausencia de fuentes, las funciones Aα han de cumplir la ecuación [I], en S se
−
tendrá:
ω2
ω2
2
2
0
+
+
µ
=
⇒
= k2 + µ2
k
c2
c2
Multiplicando esta ecuación por
2
Q
, se tendrá:
2
 ω
2
2

 = ( k) + ( µ)
 c
R
R
R
Fijémonos que la partícula con energía y momento
( ω , k)/
Q
Q
 ω

, k
Pµ = 
 c

R
R
S
2
ω
Y cumple:   − ( k )2 = 0 , es el fotón, que tiene masa nula.
R
R
 c
2
 ω
2
2
2 2

 − ( k ) = ( µ ) = m0 c
 c
Así que la ecuación:
R
R
R
µ
.
c
R
Corresponde a asignar al fotón una masa en reposo: m0 =
Si µ = 0, mγ = 0. Luego un parámetro µ ≠ 0 significaría una masa del fotón no nula
ya que su energía-momento no sería de tipo luz.
Para la evidencia experimental de que µ = 0, véase: J.D. Jackson "Electrodinámica
Clásica", sección 12.9.
Tensor energía-momento:
Se corresponde con el Hamiltoniano que contiene los aspectos energéticos asociados
al movimiento de partículas.
Si la Lagrangiana es:
=
U
U
(x
µ
, x µ ,τ
T
)
Se definen los momentos canónicos del modo:
pα =
∂
∂
U
V
α
T
X
Y se forma
W
del modo:
∂
;
d α
dτ
U
=
d α
=
dτ
V
V
= pα
V
T
α
−
V
T
α
= velocidad generalizada
U
II 27
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
Para un campo φ k, tenemos una Lagrangiana que depende de las funciones campo
y sus derivadas:
Y
=
k
 k

 φ , ∂ α φ k = ∂φ , x k 
α


∂x


Y
Tomemos el equivalente a las velocidades. Para la función φ k, las velocidades serán:
∂φ k
= ∂α φ k
∂ xα
(
De donde el momento canónico:
∂
Y
)
∂ ∂α φ k
Multipliquemos el momento por cualquiera de las velocidades:
(
∂
Y
∂ ∂α φ k
)
∂βφ k =
(
∂
∂φ k
∂ xβ
Y
)
∂ ∂α φ k
Que es una cantidad que depende de dos índices α y β. Le restamos
Z
haciendo aparecer
dos índices con la métrica g, tendremos:
T αβ =
(
∂
Y
)(∂ φ )− g
β
∂ ∂α φ k
k
αβ
Y
Que es un objeto denominado tensor energía-momento, que se espera contenga información de las propiedades del campo.
Tensor energía-momento del campo electromagnético:
Se obtendrá de la correspondiente Lagrangiana del campo. Para el CEM libre:
≡
Y
Y
em
=−
ε0 c2
ε c2
F ⋅ F = − 0 Fµν F µν
4
4
Y, por tanto el tensor energía-momento correspondiente:
T αβ =
∂
) (∂
Y
(
em
∂ ∂ α Aλ
β
)
A λ − g αβ
Y
em
(
El tipo de derivada que hemos hecho anteriormente es:
(
Para:
Y
em
=
(
ε0 2
E − c2 B2
2
Y
∂ ∂α A
)
T αβ = −ε 0 c 2 F α λ ∂ β A λ − g αβ
Y por lo tanto:
∂
λ
)
= −ε 0 c 2 F α λ
Y
em
)
Podemos referir las componentes de Tαβ en un sistema S dado*:
T 0i
(
)
ε0 2
E − c 2 B 2 + ε 0 ∇ ΦE
2
= ε 0 c E × B i + ε 0 c ∇ Ai E
T 00 =
(
[
[
)
( )
( )
[
[
[
[


1 ∂
(ΦEi )
T i 0 = ε 0 c 2 E × B i + ε 0 c  ∇ × ΦB i −
0
c
∂x


(
*
[
[
)
(
[
[
)
Véase: J. D. Jackson "Electrodinámica Clásica", Sec. 12.10
II 28
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
1 ∂E
Donde hemos hecho uso de: ∇ ⋅ E = 0 , y: ∇ × B −
=0
c ∂ x0
]
]
]
]
\
Extendamos a todo el volumen tridimensional las siguientes integrales:
∫T
00
dv =
V
∫ (E
ε0
2
)
∫ (ΦE ) dS = energía total del campo
− c 2 B 2 dv + ε 0
2
]
]
S →∞
V
0
los campos tienden a cero en el infinito
Del mismo modo:
∫T
0i
dv = ε 0 c
V
∫ (E × B )
]
]
i
∫ (A E )dS = c × componente i del momento total del campo
dv + ε 0 c
]
]
i
S →∞
V
0
(E × H ) = g (densidad de momento).
Hemos tenido en cuenta que ε 0 (E × B ) = ε 0 (E × H )µ 0 =
2
]
]
]
]
]
]
]
c
Cálculo de la divergencia del tensor energía-momento:
 ∂
em
∂ α T αβ = ∂ α 
∂ β Aλ
λ
 ∂ ∂ α A
(
)
^
(

) − ∂

αg
αβ
^
em
 ∂
em
= ∂α 
 ∂ ∂ α Aλ

(
^

Utilizando las ecuaciones de movimiento: ∂α 
)
 β λ  ∂
em
 ∂ A +

 ∂ ∂α Aλ


(
(
∂
)
^
 ∂ ∂α A
∂ α T αβ =
∂
_
em
λ
∂A
Luego, como
^
∂ β Aλ +
em
=
^
em
∂
_
(
em
∂ ∂ α Aλ
(A
λ
, ∂α
λ
)
(
^
)

 ∂ ∂ β A λ − ∂ g αβ
α
 α

^
em
 ∂
−
= 0 , resulta:
 ∂ Aλ

^
)∂ (∂ A )− ∂ = ∂ (A , ∂ A )− ∂ (A , ∂ A ) = 0
A ), y no es función explícita de x , el tensor energíaβ
α
λ
β
_
em
β
_
em
λ
α
λ
β
_
em
λ
α
λ
λ
`
momento canónico cumple:
∂ α T αβ = 0
δT = 0
como relación geométrica
Existen ciertos inconvenientes, para esta definición de T:
a) T no es simétrico.
b) T 00, T 0i, difieren de las expresiones del momento y la energía del
CEM que se usan habitualmente.
c) T contiene explícitamente a los campos y a los potenciales, y sólo
debe contener a los campos, que son los entes con sentido físico.
La solución a estas objeciones está en simetrizar T, y obtener un tensor equivalente
que contenga su misma ley diferencial δT. Tal tensor se denomina tensor energíamomento simétrico.
II 29
Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento
Simetrización:
En este caso, tomemos:
F λβ = ∂ λ A β − ∂ β A λ
⇒
∂ β A λ = − F λβ + ∂ λ A β
Sustituyendo en la definición de T, y con la expresión de la Lagrangiana:
(
)
T αβ = −ε 0 c 2 F α λ ∂ β A λ − g αβ
= ε 0 c 2 F α λ F λβ +

= ε 0 c 2  F α λ F λβ

a
em
(
)
 ε c2
= −ε 0 c 2 F α λ − F λβ + ∂ λ A β − g αβ  − 0 Fµν F µν

4





ε 0 c 2 αβ
g Fµν F µν − ε 0 c 2 F α λ ∂ λ A β
4

g αβ
+
(F : F ) − ε 0 c 2 F α λ ∂ λ A β
4

Donde significamos con (F:F) el escalar obtenido por la doble contracción de índices.
Con lo que: T αβ = Θαβ + TDαβ , siendo TDαβ un tensor de divergencia nula, y el tensor
Θαβ , el tensor energía-momento ya conocido, ahora simétrico, que correctamente tiene
asociadas a sus componentes las magnitudes que representan energía y momento del
CEM.
Veamos que TDαβ es un tensor de divergencia nula:
•
Primero transformamos:
[
]
(
TDαβ = −ε 0 c 2 F α λ ∂ λ A β = −ε 0 c 2 F αµ ∂ µ A β = −ε 0 c 2 F αµ ∂ µ A β + A β ∂ µ F αµ = −ε 0 c 2 ∂ µ F αµ A β
)
Ya que: ∂ µ F αµ = 0 , si el campo es libre (J = 0).
•
Y calculamos su divergencia:
(
(F
∂ α TDαβ = −ε 0 c 2 ∂ α ∂ µ F αµ A β
= −ε 0 c 2 ∂ µ ∂ α
µα
Aβ
)
)= ε
0c
2
(
)
(
∂ µ ∂ α F αµ A β = ε 0 c 2 ∂ α ∂ µ F αµ A β
)
igual, y de distinto signo, luego: ∂α TDαβ = 0
Así:
∂ α T αβ = ∂ α Θαβ
Luego T αβ y Θαβ darán lugar a las mismas leyes, tras operar sobre ellos la tetradivegencia. Es preferible considerar siempre el tensor energía-momento simétrico Θαβ .
Existe un método general de simetrización*.
*
Véase: L. D. Landau, E. M. Lifshitz "Teoría Clásica de los Campos", Sec. 33
II 30
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Radiación de cargas en movimiento
1. Los potenciales de Liénard-Wiechert:
Los potenciales de Liénard-Wiechert generan los campos de una carga q en movimiento arbitrario sobre una trayectoria definida: f (t ) .
Al estar q acelerada radia energía y moPosición
retardada
mento. Si tiene una velocidad: u (t ) = f ' (t ),
f (t )
q,t
entonces tiene una energía y un momento
t' < t
definidos.
R (t ' )
q,t'
r ' (t )
P (r, t)
Vamos a estudiar los campos generados
por la carga en movimiento cuando viaja so-
r ' (t ')
bre su trayectoria. Consideraremos los campos
r
en el punto r y en el instante t. Estos campos
O
han sido emitidos desde la posición retardada de la carga, esto es, desde r ' (t ' ) .
En un instante t' anterior a t, la posición de la carga sobre la trayectoria es: r ' (t ' ) ,
tendremos el vector relativo: R = r − r ' (t ' ) que une un punto fuente: r ' (t ' ) con un
punto campo: r . El módulo del vector relativo es: R = r − r ' (t ' ) , y ha de satisfacer:
2
R = c 2 (t − t ' ) 2 *, puesto que la información no ha viajado desde q hasta P con una velocidad infinita, sino que ha tardado un tiempo finito para hacerse efectiva en r , ya que
los campos se propagan a la velocidad de la luz c. La condición de retardo que han de
+ R = c (t − t ' ) .
satisfacer los tiempos (t, t') es:
La densidad de fuente para una carga q en un punto del espacio es:
ρ ( r , t ) = qδ ( r − f (t ))
Con la delta de Dirac se describe a una carga puntual que sigue la trayectoria f (t ) .
Los potenciales electromagnéticos escalar y vector que crea esta carga en el espacio
Φ (r , t ) ;
son:
*
A(r , t )
El intervalo entre la carga y el punto campo es de tipo isótropo, así pues:
(
)(
)
s q, P 2 = c (t − t ' ), R c(t − t ' ), − R = c 2 (t − t ' )2 − R
2
=0
⇒
c 2 (t − t ' )2 = R
2
III 1
Los potenciales de Liénard-Wiechert
Para hallar el potencial escalar cabe resolver la ecuación:
1 ∂ 2φ
q δ r − f (t )
ρ (r , t )
2
∇ φ− 2 2 =−
=−
ε0
ε0
c ∂t
(
)
Que tendrá dos soluciones: el potencial retardado (correspondiente a: + R = c (t − t ' ) ),
y el potencial avanzado (correspondiente a: − R = c(t − t ' ) ).
La solución físicamente aceptable para esta ecuación diferencial es el potencial retardado. El potencial avanzado no tiene realidad física, ya que considerarlo significa poder
determinar los campos creados por una carga en un instante t', posterior a t.
Así, propondremos como solución:
φ (r , t ) =
1
[ ρ (r ' , t )] 3 d r'
4πε 0 V '∫(r ' ) r − r '
Con la notación: [ ρ (r ' , t )] , significamos considerar el valor de ρ (r ' (t '), t ) en el punto r '
y en el instante t' tal que:
c(t − t ' ) = R = R = r − r ' (t ' )
Entonces:
Con lo que:

r − r ' (t ')  
 = f  t − R 
f (t ' ) = f  t −


c
c



 
r − r'
δ  r '− f  t −


c
q


φ (r , t ) =
4πε 0 V '∫(r ' )
r − r'


  3
d r'
Y hay que extender la integración a todo el volumen V ' donde se pueden encontrar las
cargas.
Haremos un cambio de variable para imponer la condición de retardo. Si suponemos
 R
que:
[I]
r1 (t, t ' ) = r ' (t ' )− f  t − 
 c
La expresión anterior para el potencial escalar se puede escribir como:
δ (r1 (t, t ' )) d 3 r1
q
φ (r , t ) =
4πε 0 V ∫(r ) r − r ' J
1 1
Ahora se integra sobre las coordenadas: (x1, y1, z1), en el volumen V1. Al realizar el
cambio de variable definido por [I], la relación entre los elementos de volumen es:
∂( x1 , y1 , z1 ) 3 d 3 r1 =
d r ' = J d 3r '
∂( x' , y' , z ' )
Donde: J, es el Jacobiano de la transformación r ' (x', y', z') → r1 (x1, y1, z1).
III 2
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Entonces, se tiene que:
1
q
q
δ (r1 (t, t ' )) d 3 r1
[II]
=
∫
4πε 0 V (r ) r − r ' J
4πε 0 J R 1 1
r1 =0
Pues la contribución de la δ aparece cuando: r1 = 0 . Hemos visto que:
 R
r1 (t, t ' ) = r ' (t ' )− f  t − 
 c
Imponiendo esta última condición, tenemos que:
 R
R
y por tanto:
r ' (t ') = f  t −  ,
t' = t − .
c
 c
Así, la condición r1 = 0 , nos indica que hay que calcular [II] referido a la posición
φ (r , t ) =
retardada de la carga, esto es, en el instante retardado t'. Esta es la condición de retardo.
Cálculo del Jacobiano:
Para pasar de un punto con coordenadas (x1, y1, z1) a otro con coordenadas (x', y', z'),
hemos de operar la transformación:
[I']
(
(
(
)
)
)
 x1 = x '− f x t − R
c

R
 y1 = y '− f y t − c

7 z1 = z '− f z t − R c
Según la relación que se estableció en [I]. El Jacobiano de: (x', y', z') → (x1, y1, z1), es:
∂x1
∂x '
∂y1
J=
∂x '
∂ z1
∂x '
∂x1
∂y '
∂y1
∂y '
∂ z1
∂y '
∂x1
∂z '
∂y1
∂z '
∂ z1
∂z '
Hay que calcular las derivadas, por ejemplo:
∂x1
 1  ∂R
= 1− f 'x − 
∂x '
 c  ∂x '
Como: R =
(x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2 , entonces:
(x'− x )
∂x1
= 1+ f '
(x − x') , y por tanto:
∂R
=−
R
∂x '
Rc
∂x '
Donde f ' x es la derivada de la componente x de la función vectorial f respecto del
x
argumento.
Haciendo lo mismo con cada una de las derivadas, el Jacobiano queda:
III 3
Los potenciales de Liénard-Wiechert
1+
J=
(x'− x ) f '
Rc
(x'− x ) f '
y
Rc
(x'− x ) f '
z
Rc
x
(y ' − y ) f '
x
Rc
(
y '− y )
1+
f 'y
Rc
( y '− y ) f '
z
Rc
(z '− z ) f '
x
Rc
(z '− z ) f ' = 1 + 1 (r '−r ) f '  t − R  = 1 − R f '  t − R 




y
Rc
cR  c 
cR
 c
(z'− z ) f '
1+
z
Rc
Sustituyendo el valor del Jacobiano en [II] teniendo en cuenta que: R = r − r ' , y que
u = f ' (nótese que la derivada es respecto del argumento) es la velocidad de la carga en
un punto sobre la trayectoria; el potencial escalar va a quedar como:
φ (r , t ) =
1
q
4πε 0 
R ·u 
R −

c 

0
El subíndice |0 indica que se satisface: r1 = 0 . Es decir, el corchete se calcula en el
instante retardado t'. Esta es la expresión del potencial escalar de Liénard-Wiechert
para una carga puntual q en movimiento.
Procediendo análogamente con el potencial vector, nos encontramos con que se ha de
resolver la ecuación diferencial:
2
(r , t ) = − µ J (r , t ) = − µ ρ (r , t )u
1
A
∂
∇ 2 A(r , t ) − 2
0
0
c
∂t 2
Donde: J (r , t ), es la densidad de corriente y, como hemos visto, u representa la velocidad de la carga en cualquier punto de la trayectoria. La solución de esta ecuación diferencial es el potencial vector de Liénard-Wiechert:
µ0 q
u
A (r , t ) =
4π 
R·u 
R −

c 

0
Para sistemas inerciales, tanto A (r , t ) como φ (r, t ) serán parte de las componentes de
un cuadrivector que representaremos por Aµ (x) en el espacio de Minkowski.
Obtención de los campos:
Los campos eléctrico y magnético que genera la carga en P (r , t ) se calcularán con
∂A(r , t )
estos potenciales:
E (r , t ) = −∇φ (r , t ) −
∂t
B(r , t ) = ∇ × A(r , t )
III 4
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Al calcular tanto el rotacional como el gradiente en coordenadas cartesianas, hemos
de tener en cuenta derivadas parciales del tipo:
∂φ
φ ( x + ∆x , y , z , t ) − φ ( x , y , z , t )
= lim
∂ x ∆x→0
∆x
1
q
Con la expresión del potencial: φ (r , t ) =
, se tendrá que:
4πε 0 
R ·u 
R −

c 

0
 ∂R u ∂R R ∂ u 
1
∂φ (r , t )
q
=−
− ⋅ 
2 − ⋅
4πε 0 
∂x
∂
x
c
∂
x
c ∂ x


R ·u
0
R −

c 

Calculada en el tiempo t', es decir, con: c (t − t ' ) = R .
Es preciso notar que si (en el punto campo) pasamos del punto de coordenada x al
x + ∆x , para calcular el valor de φ tenemos que considerar que el punto fuente: (x', y',
z') se mueve sobre la trayectoria hasta el punto próximo: ( x'+ ∆x ' , y '+ ∆y ' , z '+ ∆z ' ), pues
se tiene que seguir cumpliendo la condición: c (t − t ' ) = R . Así pues, al calcular las derivadas tendremos que considerar la dependencia de las coordenadas del punto fuente.
Al pasar de x a x + ∆x , sobre la tra-
(
(x'+∆x', y'+∆y', z'+∆z')
u r ' + ∆r '
()
)
u r'
(x', y', z')
R
r'
r
f (t )
(x, y, z)
O
(x+∆x, y, z)
yectoria, se tendrá en general otro valor
de u en el punto variado r '+ ∆r ' , luego
hay que considerar también la derivada
∂u
sobre la trayectoria.
∂x
Evidentemente, tanto R como R = R
varían con x, y además con: x', y', z', que
hemos visto que varían para mantener la
condición de retardo.
Calculemos algunas derivadas parciales para obtener los campos:
•
∂R
: Con: R = +
∂x
(x − x')2 + (y − y ')2 + (z − z')2 , se tiene:
III 5
Los potenciales de Liénard-Wiechert
∂R (x − x ' )  ∂ x '  (y − y ' )  ∂ y '  (z − z ')  ∂ z ' 
1−
=
+
−
+
−
R  ∂ x 
R  ∂ x 
R  ∂ x 
∂x
 R
Por la condición de retardo r ' = f  t −  :
 c
∂ x'
∂ y'
∂ z'
 1  ∂R
 1  ∂R
 1  ∂R
;
;
= f 'x − 
= f 'y − 
= f 'z  − 
∂x
∂x
∂x
 c∂x
 c∂x
 c∂x
Con: u = f ' x , f ' y f ' z , y: R = (x − x ') i + (y − y ' ) j + (z − z ') k , sustituyendo y agrupando términos:
(x − x')
∂R
∂R (x − x ' ) R · u ∂R
=
,
despejando:
=
+
∂x 
R
cR ∂ x
∂x
R ·u 
R −

c 

0
El subíndice |0 indica que el corchete se calcula en el instante retardado t'.
(
)
∂R
∂R
y
obtenemos que:
∂y ∂z
1
R
∇R =
=ϑ R
ϑ=
Donde:
0



·u 
R
R ·u
R −

R −

c 
c 


0
Operando del mismo modo para
Este factor: ϑ, es de aparición típica en las expresiones y, como hemos visto, proviene
del retardo en la propagación desde el punto fuente al punto campo.
∂R
∂A
.
: Que aparecerá al calcular la derivada
•
∂t
∂t
∂ R ∂ r ∂ r'
∂R
∂ r'
Con: R = r − r ' ⇒
, pues estamos consideran=
−
⇒
=−
∂t ∂t ∂t
∂t
∂t
do el mismo punto campo: r = x i + y j + z k , para todo instante t.
1 ∂R
∂ t'
∂ r ' (t ' ) ∂ r ' ∂ t '  1 ∂ R 

De:
, luego:
t' = t − R c ⇒
= 1−
=
= u 1 −
c ∂t
c
t
∂t
∂t
∂ t' ∂ t
∂


Teniendo esto en cuenta, a partir de la derivada del producto:
∂ R⋅ R
∂ R2
∂R
, y como: R = R u R , con: u R = 1 , se tiene que:
=
= 2R
∂t
∂t
∂t
∂R
∂ r'
 1 ∂R
1 ∂ R⋅ R
∂R

=
= uR ⋅
= −u R ⋅
= − u R ⋅ u 1 −
∂ t 2R ∂ t
∂t
∂t
 c ∂t 
u  1 ∂R
R ·u
∂R
1 ∂R
= −ϑ R · u
 ,
=−
Luego:
despejando:
= −u R ⋅ 1 −
∂t
c ∂t
c  c ∂t 

R ·u 
R −

c 

(
) ( )
( )
III 6
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
•
•
∂R
:
∂t
∂R
= −ϑ R u
∂t
 1 ∂R
∂R
∂ r'
 = −u ϑ R ,
=−
= −u 1 −
∂t
∂t
 c ∂t 
∂u
: Como: u = f ' t − R , derivada respecto del tiempo retardado: tr = t − R :
c
c
∂t
(
)
(
)
(
)
∂u
=ϑ Ru
∂t
R
R
∂ u ∂ u ∂ tr d u ∂ t − c ∂ t − c  1 ∂ R   = uϑ R ,
=
=
=u
= u 1 −
∂ t ∂ tr ∂ t d tr
∂t
∂t
 c ∂t 
•
)
(
R
1 ∂ R
ϑ Rx
∂u
∂ u ∂ u ∂ tr d u ∂ t − c
,
=
=
= −u
= −u
:
∂x
∂ x ∂ t r ∂ x d tr
∂x
c ∂x
c
∂u
ϑ Rx =−
u
∂x
c
Tras calcular todas las derivadas y agrupar términos, se obtiene para los campos derivados de los potenciales de Liénard-Wiechert:
qϑ 3  u 2
E (r , t ) =
1 −
4πε 0  c 2
B (r , t ) cε 0
H (r , t ) =
=
µ0
R
 
u  R  u
 R − R  + ×  R − R  × u 

c  c2 7 
c  

[R × E (r , t )]
0
0
Si observamos las expresiones de los campos, vemos que son sumas de términos de
pendientes de u y de u , se pueden desdoblar entonces en:
E = Ev + E a
H = Hv + Ha
Que son los campos de velocidad y de aceleración.
Campos de velocidad:
Acompañan a la carga en su movimiento por el espacio y la arropan en sus proximidades. Son campos estáticos que varían a grandes distancias con R–2. Se denominan
campos ligados.
Con la notación:
β =uc ,
y:
n = uR
La forma explícita de los campos de velocidad, haciendo u = 0 en la expresión general:
q 1 1 − β 2
Ev =
4πε 0 R 2 1 − β · n
H v = cε 0 n × Ev
(
(
n −β)
)
3
III 7
Los potenciales de Liénard-Wiechert
Al calcular el vector de Poynting de estos campos: P = E × H , vemos que su flujo a
través de una superficie esférica de radio R muy grande tiende a cero, por tanto están
ligados a la carga.
Y es que: P ∝ 1
R4
; como: dS ∝ R 2 , entonces: P ⋅ dS ∝ 1
R →∞
R2
→ 0 , y:
P
∫ ⋅ dS = 0
R→ ∞
Para el límite de bajas velocidades: β → 0 , obtenemos los campos determinados por
las leyes de Coulomb y de Biot-Savart:
Ev β →0
Hv β →0
q 1 n
4πε 0 R 2
q 1 (u × n )
=
4π R 2
=
Campo de Coulomb
Campo de Biot-Savart
Podemos observar que no se nota el efecto de retardo, es decir: r ' (t ') ≅ r ' (t ) , son campos estáticos.
Campos de aceleración:
Liberan energía y momento en forma de campo electromagnético radiado a velocidad
c. Una vez emitidos evolucionan libremente en el espacio, cumpliendo las ecuaciones de
Maxwell en el vacío. Son campos que varían a grandes distancias con R–1. Se denominan campos libres o campos de radiación.
Su forma explícita, haciendo u ≠ 0 en la expresión general:
{(
(
) }
)
1 n × n − β × u
q
Ea =
4πε 0 c 2 R
1− β ·n 3
H a = cε 0 n × E a
Si calculamos con estos campos de aceleración el vector de Poynting, y determinamos su flujo a través de una superficie esférica de radio R muy grande, vemos que ahora
no es cero, como ocurría con los campos de velocidad, sino una cantidad finita:
Y es que:
P∝ 1
R2
; como: dS ∝ R 2 , entonces:
P
∫ ⋅ dS ≠ 0 .
R→ ∞
Este flujo finito representa la energía-momento que abandona el sistema de la carga,
y lo hace asociado a los campos de aceleración que se comportan así como radiación
electromagnética.
III 8
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
2. Radiación de una carga puntual acelerada. Invariante de radiación:
Potencia radiada por una carga acelerada:
Si calculamos explícitamente el vector de Poynting de los campos de aceleración:
2 P(r , t ) = Ea (r , t ) × H a (r , t ) = cε 0 E a (r , t ) × {n × E a (r , t )}= cε 0 Ea (r , t ) ⋅ Ea (r , t )n = cε 0 Ea (r , t ) n
Vemos que su dirección en el instante t es la del vector radial desde la posición retardada de la carga.
Con el módulo de Ea resulta que el vector de Poynting de la carga acelerada:
µ q 1
P (r , t ) = 0 2
16π c R 2
2
{(
(
) }
)
n × n − β ×u
1− β ⋅n 6
2
n
Cuyo flujo a través de una superficie es la potencia radiada por la carga, potencia que se
recibe en el punto campo r en el instante t.
Obtenemos el flujo a través de dS , situado en el punto campo r :
2
n × n − β × u n ⋅ dS
µ0 q 2
α=
, donde:
P(r , t ) ⋅ dS = α
16π 2 c
R2
1− β ⋅n 6
n ⋅ dS
Por definición de ángulo sólido: dΩ = 2 . Que es el ángulo sólido con el que se ve el
R elemento de superficie del punto campo: dS , desde el punto fuente (la propia carga).
{(
(
) }
)
Esta ley es no local, pues calcula la
cantidad de energía en el punto r y en el
R = c(t − t ')n
u
n
r ' (t ')
dS
retardada de la carga).
P (r , t )
r
Para hallar una ley local, consideraremos la cantidad de energía dW|0 que
f (t )
instante t con magnitudes definidas en la
posición r ' y en el instante t' (posición
emite la carga en dt', en la dirección del
O
ángulo sólido:
dW|0 =
Donde
(t') dt'
(t') es la potencia emitida por la carga acelerada en el punto campo. Se tiene
que la energía medida en t es:
dW =
(t) dt
III 9
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
Como dW|0 = dW, entonces: (t') dt' = (t) dt
Y ya que en t:
d (t ) = P (r , t )⋅ dS
d
Se tiene que:
(t') = P (r , t )⋅ dS dt
dt '
dt
:
dt '
3
∂ R dx' i
R  dR 
Como R (r = cte,r ' ) :  
=∑
= − ⋅ u = −n ⋅ u
R
 dt '  r =cte i =1 ∂ x ' i dt '
Tenemos que calcular
dt '
dt '
dR
dt '
 dt '  dR dt '
,
⇒ 1−
= −n ⋅ β
= c 1 −  =
= −n ⋅ u
dt
dt
dt
dt
 dt  dt ' dt
dt
1
dt '
1
=
−
β
⋅n
=
⇒
dt '
dt 1 − β ⋅ n
De R = c (t − t '):
despejando:
Sustituyendo en la expresión de la potencia:
n× n − β ×u
dt
d (t ' ) = P (r , t ) ⋅ dS
=α
dt '
1 − β ⋅n 6
{(
(
) } ) (1 − β ⋅ u )dΩ
2
Así, la potencia radiada por la carga q por unidad de ángulo sólido será:
2
2 n × n − β ×u
d (t ' ) µ 0 q
=
[I]
dΩ
16π 2 c
1− β ⋅n 5
{(
(
) }
)
Y es potencia emitida, en el instante t' y en el punto r ' , por unidad de ángulo sólido en
la dirección n . Esta expresión es local, pues queda determinada por las propiedades de
la carga en r ' y t'.
Con esta expresión podemos calcular la distribución angular de la radiación en el ins
tante t' para cualquier dirección n .
Integrando [I] a todo el ángulo sólido, obtenemos la potencia total radiada: energía
total radiada por unidad de tiempo en el instante t' por la carga q desde la posición r ' :
[II]
(t') =
n× n − β ×u
1− β ⋅n 5
{(
(
µ0 q
16π 2 c Ω∫
2
) }
) dΩ ,
2
evaluando la integral:
( )
2
µ0 q 2 u 2 − β × u
(t ') =
6π c 1 − β 2 3
(
)
Que es la potencia total radiada por la carga en el instante t' desde la posición r ' .
III 10
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Adviértase que la expresión anterior es siempre positiva. Para u = 0 ⇒
(t ') = 0 : Sólo
hay potencia radiada cuando la carga se acelera.
Radiación a bajas velocidades:
Cuando β → 0 , la expresión de la potencia radiada por unidad de ángulo sólido en la
2
2 uR ×
u
−
β
×
u
R
d (t ' ) µ 0 q
dirección u R = n :
,
=
2
dΩ
16π c
1 − β ⋅ uR 5
2
d (t ' ) µ 0 q 2 se convierte en:
=
u
×
u
R
dΩ
16π 2 c
∧
2
2
2
Que, como:
donde: θ = β , u R
u R × u = u sin θ ,
{(
(
) }
)
( )
queda:
d
(t' ,θ ) =
dΩ
µ0 q 2 2 2
u sin θ
16π 2 c
En la figura podemos ver el diagra-
P(θ)
ma polar de potencia de la radiación.
La potencia por unidad de ángulo só-
θ
lido se distribuye de forma proporcional
β
a sin 2 θ . En este caso tendremos radiación dipolar. En θmax = π
2
se encuentra
el máximo de radiación.
La potencia total radiada, considerando β → 0 en la expresión [II] es:
(t ') = µ0 q
2
6π c
u 2
Esta es la Fórmula de Larmor para partículas cargadas.
Esta expresión es todavía válida para casos que no sean extremadamente relativistas,
es decir, cuando β ≠ 0 sin ser β muy próximo a 1. Está calculada en el sistema de referencia en el que la carga está instantáneamente en reposo.
Como u es la aceleración de la carga, y ésta es independiente del sistema de referencia inercial que se considere, se puede formular una cantidad invariante: el invariante
de radiación para la potencia total radiada.
III 11
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
Radiación a altas velocidades:
Recordemos que la potencia total radiada viene dada por:
2
µ0 q 2 u 2 − β × u
(t ') =
6π c 1 − β 2 3
1
Si llamamos χ al ángulo que forman β y u , con: γ =
, podemos escribir la
1− β 2
expresión anterior como:
2
(t ') = µ0 q u 2γ 6 1 − β 2 sin 2 χ
6π c
Cuando: u → c , entonces: γ → ∞. Como:
(
( )
)
[
(t ') = µ 0 q
2
6π c
(t ') = µ0 q
2
6π c
]
[
u 2 γ 6 sin 2 χ + cos 2 χ − β 2 sin 2 χ
[
u 2γ 4 γ 2 cos 2 χ + sin 2 χ
]
]
!#"
Para β || u , χ = 0, sin χ = 0. Cuando: u → c, entonces
(
)→ ∞ como γ 6.
• Para β ⊥u , χ = π , cos χ = 0. Cuando: u → c, entonces
(!#" )→ ∞ como γ 4.
2
Si en el caso β || u queremos aumentar, p.ej. en 1 km/s, la velocidad de la carga, la
•
cantidad de energía a suministrar cuando la velocidad de ésta es de 10 km/s es mucho
menor que cuando la velocidad es de 1000 km/s. El escalón de energía necesario para
aumentar la velocidad una cantidad determinada, en un cierto tiempo, es la energía que
va a ser radiada por la carga durante el proceso de aceleración*.
Cada vez va a ser más difícil acercar la carga hasta la velocidad de la luz (haría falta
una energía infinita para darle a una velocidad exactamente igual a c).
Del mismo modo, para β ⊥u , a altas velocidades es cada vez más difícil (requiere
más gasto de energía) "doblar" la trayectoria de la partícula.
Conocida la velocidad y la aceleración de una partícula cargada, utilizaremos [I]:
2
2 uR ×
u
−
β
×
u
R
d (t ' ) µ 0 q
=
dΩ
16π 2 c
1 − β ⋅ uR 5
para calcular la distribución angular de la radiación en la dirección de observación u R .
{(
(
) }
)
*
De la misma forma, cuando una partícula cargada libre cambie su velocidad, por ejemplo al interaccionar con materia en reposo sufrirá una brusca desaceleración, perderá una cantidad de energía que será
emitida en forma de radiación. Este es el origen de la radiación de frenado o Bremsstrahlung, de la que
las ecuaciones anteriores dan un explicación clásica.
III 12
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Aceleradores lineales:
% %$
Cuando se aceleran partículas cargadas de manera que: β || u , estamos empleando un
acelerador lineal o linac.
 % % $ ∧% 
En este caso, en términos del ángulo: θ =  β || u , u R  , se tendrá:




&
sin 2 θ
d (t ' ;θ ) µ 0 q 2 $ 2
=
u
dΩ
(1 − β cosθ ) 5
16π 2 c
Tenemos nodos de radiación, direcciones en las que las cargas no radian. Así, para:
&
d (t ' ,θ )
se tiene que:
• θ = 0, π ,
=0
dΩ
Hay que señalar que el máximo de radiación se ha desplazado respecto del caso de
radiación dipolar visto para bajas velocidades, que estaba en:
&
d
d
(t' ;θ ) ≠ 0
ahora se tiene que:
• θ =π ,
2
dθ dΩ θ =π
2
Y el lóbulo de emisión se centra en un ángulo: θmax < π . Hallemos la dirección del
2
máximo:
Igualando a cero la derivada de:
d
&
(t ' ;θ ) , respecto de cos θ, se tiene:
dΩ
1 
2
 1 + 15β − 1 ⇒ para β ≠ 0 : θ max < π 2

3β 
1
que escribimos en función de γ =
, se tiene para la dirección del máximo:
1− β 2
cosθ max =
12
cosθ max
Si β → 1, entonces 1
γ
2

15 
41 −
1
 16γ 2  −

= 
12

1 

3 1− 2
 γ 


<< 1, y al desarrollar en potencias de: 1
γ
2
⇒ cosθ max ≅ 1 −
1
.
8γ 2
Si, por otra parte, desarrollamos la función coseno para ángulos pequeños:
1 2
1
cosθ max ≈ 1 − θ max
≅ 1− 2 ,
2
8γ
con lo que:
θ max ≅
1
2γ
Cuando: β → 1, θ max → 0 , la dirección en la que se emite la radiación máxima se acerca cada vez más a la dirección de la velocidad de la partícula acelerada.
III 13
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
Al aumentar la velocidad, el patrón de potencia se inclina en el diagrama de radiación,
y se aproxima cada vez más al tipo rayo, no al tipo dipolar*. Veámoslo en la figura:
Para β = 0.90, se tiene: γ ≅ 2.29, con lo
1
≅ 0.218 .
que: θmax = 0.224 rad, y:
2γ
θ=π/2
La radiación calculada con estos valo-
θmax
'(
u
'
β
res en la dirección de θmax con la fórmula:
*
d (t ' ;θ ) µ 0 q 2 ) 2 2
=
u sin θ
dΩ
16π 2 c
resulta ser 1700 veces mayor que la calculada en la dirección θ = π .
2
Acelerador sincrotrón:
+ +)
En el caso en que: β ⊥u , tenemos radiación de tipo sincrotrón. Para la aceleración
+ +)
de partículas cargadas en órbitas circulares estables (en las que permanentemente β ⊥u )
+
+)
se utiliza un acelerador sincrotrón. El plano que determinan β y u es el plano orbital.
La posición del máximo, desde la fór-
+)
u
mula general:
P
d
q
+
β
(t') =
plano orbital
2
el numerador tenemos:
+ +) +
+ +
+
+)
uR − β u ⋅u R − u 1 − β ⋅u R
)(
(
Al elevar al cuadrado, tal expresión se convierte en:
+ +
+) +
)
u 2 1 − β ⋅ uR 2− 1 − β 2 u ⋅ uR 2
+ +
+) +
)
Como:
y:
β ⋅ u R = β cosθ ,
u ⋅ u R = (u sin θ ) cosφ ,
(
*
+
{(u+ + − β )× u+ ) }
(1 − β ⋅ u+ )
+
uR ×
2
R
µ0q
2
5
dΩ
16π c
R
+ +)
+ +)
Como: β ⊥u , el producto: β ⋅u = 0 . En
φ
θ
*
) (
)(
) (
)
2
)
el numerador queda:
Véase el Apéndice AI
III 14
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
(
)
u, 2 (1 − β cos θ )2 − 1 − β 2 u, 2 sin 2 θ cos 2 φ
Con lo que la potencia emitida por unidad de ángulo sólido en la dirección determinada por los ángulos (θ, φ ) será:
d
-
(t' ;θ , φ ) =
dΩ


µ0 q2
1− β2
u, 2
2
2 
1 −
sin
cos
θ
φ

16π 2 c (1 − β cos θ )3  (1 − β cos θ )2

Esto permite estudiar la radiación emitida por la carga en las diferentes direcciones:
nodo
anillo sincrotrón
/
/
u.
u.
0/
0/
lóbulo secundario
nodo
lóbulo principal
Sección φ = 0 que contiene a la carga
Sección θ = π / 2 que contiene a la carga. Para
secciones adelantadas, el patrón tiende a una
elipse* de eje menor en el plano orbital.
La mayor parte de la potencia radiada se emite en la dirección tangencial a la trayectoria, para θ = 0, en el lóbulo principal. Hay un lóbulo secundario de emisión hacia
atrás, que se curva hacia adelante según aumenta la velocidad.
Para velocidades suficientemente altas, la relación del máximo del lóbulo principal al
máximo del lóbulo secundario es aproximadamente de 103.
Nótese que la distribución de la potencia emitida depende del cuadrado de la aceleración, por tanto no de su signo. El lóbulo principal apunta en la dirección de la velocidad,
es lo que se conoce como efecto faro.
Si queremos conocer la radiación en cualquier estado de movimiento de la carga, hay
que usar la fórmula general, que contempla todos los valores posibles de los ángulos
1 1
1
que pueden formar β , u, y u R .
*
Véase el Apéndice AI
III 15
Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación
Invariante de Radiación:
Recordemos que la potencia radiada por una carga, medida en un sistema de referencia
3 32 2
2
4
µ0 q 2 u 2 − β × u
inercial S es:
=
6π c 1 − β 2 3
(
( )
)
Cuando: β → 0, hallamos la fórmula de Larmor:
4
µ q2 3 2
a
= 0
6π c
3
Donde
es el vector aceleración de la carga, que también podemos escribir como:
a
3
32 32
β = u c = a c . Es la aceleración de la carga medida cuando se desplaza con una veloci3
dad u en S.
En un sistema coordenado Lorentz particular, tenemos que:
•
3
La velocidad de la carga: v , en el sistema inercial S, está contenida en las compouα =
nentes de la cuadrivelocidad:
•
dx α
dτ
3
La aceleración de la carga: a , en S, está contenida en las componentes del cuadri2
du α
uα =
dτ
vector aceleración:
Se puede formar un invariante Lorentz,
5
5
u=
línea de
Universo
de la carga
dx
dτ
56
5
du
u=
dτ
q
5
x (τ )
que nos dé la potencia emitida por la carga
en un punto cualquiera de la trayectoria.
Sea este invariante de radiación:
3 2
4
µ 0 q 2  du 
=−
 
6π c  dτ 
Reproduzcámoslo como relaciones en3
tre las componentes del cuadrivector u en
un sistema coordenado Lorentz:
Tomando el cuadrivector velocidad en el sistema coordenado Lorentz en el que las
3
componentes del vector velocidad son:
uα = (γ c, γ v )
El cuadrivector aceleración es:
3
du α dt du α
d
=
= γ (γ c, γ ν )
dτ
dτ dt
dt
Para hallar esta derivada, necesitamos derivar el factor γ respecto de t:
III 16
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Como:

1
d
d
γ = 
dt
dt  1 − β 2

7
dβ 7 8
=β,
dt
con7 7

7 7
 = β 2 = β β = − 1 1− β ⋅ β
·

2

(
7
7 dβ
− 2β ⋅
dt
) ( )
−3 2
se tiene que:
7 78
d
γ = γ 3β ⋅ β
dt
La parte espacial del cuadrivector velocidad queda:
7
7 7
7
7
d 7
dγ 7
dv
(γ v ) = v + γ = γ 3  ββ8  cβ + γ cβ8
dt
dt
dt
 
Con lo que las componentes del cuadrivector aceleración en un sistema coordenado
Lorentz quedan:
7 78
7 78
7
78 





u8 α = γ γ 3c  β ·β  , γ 3  β ·β  c β + γ cβ 






Reordenando:
7 7 78
7
  7 78 

 8
u8 α = γ 2 c γ 2  β · β  , γ 2 β  β · β  + β 



 

En la expresión del invariante de radiación aparece el módulo del cuadrivector aceleración, calculémoslo:

7 78 2  7 7 78
7 8 2 


2 
u8 u8 α = γ c γ  β ·β  − γ β  β ·β  + β  



 
 

7 7 8 2 
7 78 2
7 78
7 7 8 

= γ 4 c 2 γ 4  β ·β  −  γ 4 β 2  β ·β  + β8 2 + 2γ 2  β ·β   β ·β  
 




 
 
7 78 2
7 78 2

= γ 4 c 2 γ 4 1 − β 2  β ·β  − β8 2 − 2γ 2  β · β  



 

7 78 2
7 78 2
7 7 8 2


= γ 4 c 2 γ 2  β · β  − β8 2 − 2γ 2  β ·β   = −γ 4 c 2  β8 2 + γ 2  β ·β  


 

 
 

7 78 2
7 78 2
 82

= −γ 6 c 2  β 2 +  β ·β   = −γ 6 c 2  β8 2 1 − β 2 +  β ·β  

 

 
 γ

7 78 2

= −γ 6 c 2  β8 2 − β8 2 β 2 +  β ·β  

 

7 7
7 8 7 7 8 

= −γ 6 c 2  β8 2 − β  ββ8 2 − β  β ·β  

 

78
7 78
La cantidad encerrada entre llaves es el triple producto vectorial: β ×  β × β  . Así:


α
4 2 4
(
)
(
)
III 17
Funciones de Green covariantes
: :
: : 

u9 α u9 α = −γ 6 c 2  β9 2 − β ⋅  β9 ×  β × β9  

 

: :
: : 
: :
: :
Por rotación del producto mixto:
β ⋅  β9 ×  β × β9   =  β × β9  ⋅  β × β9 

 


Se tiene:
: : 2

u9 α u9 α = −γ 6 c 2  β9 2 −  β × β9  

 

Sustituyendo el módulo del cuadrivector aceleración en la expresión del invariante de
radiación, recuperamos la expresión de la potencia radiada por el sistema:
: : 2
 β × β9 
2
: :
9
β
−


;
µ0 q 2 2
µ 0 q 2 u9 2 − β × u9


=
c
=
6π c
6π c 1 − β 2 3
1− β 2 3
(
)
(
( )
2
)
Vemos que el invariante de radiación calculado en S nos da la potencia que se mide en S.
Así, para un sistema coordenado S en el que la carga esté instantáneamente en repo:
so, se tiene para el cuadrivector velocidad: uα = c, 0 , y para el cuadrivector acelera:
ción: u9 α = (0, a ), (en este caso: γ = 1). Si operamos con las componentes del cuadri-
( )
vector aceleración, su módulo resulta ser:
:
:
:
u9 α u9 α = (0, a )(0, − a ) = − a
2
Con lo que la potencia radiada por la carga, en el sistema coordenado en el que la carga
está instantáneamente en reposo, es:
;
µ0 q 2 :
=
a
6π c
2
Vemos que al traducir la expresión del invariante de radiación a un sistema coordenado en el que la carga está instantáneamente en reposo, se reproduce la forma de la
potencia emitida por la carga que vimos al suponer que ésta se mueve a velocidades
pequeñas: la fórmula de Larmor*.
3. Funciones de Green covariantes:
Vamos a ver cómo se obtienen en m4, para los campos, las expresiones vistas en los
sistemas inerciales, con el método de las funciones de Green covariantes.
*
No hay más alternativas a la generalización covariante que hemos visto de la Fórmula de Larmor. Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd ed. (footnote on p.666).
III 18
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Carga puntual en m4:
Supongamos una región del espacio de
q(x'αa)
2:τa
∆xα
línea de
Universo
de la carga
Minkowski: M ⊂ m4 ; en cualquier punto
de esa región se pueden definir objetos
como: F(x), A(x) ó J (x).
P(xα)
Las posibles trayectorias de una partícula en los distintos sistemas inerciales, se
1:τr
representan en M por una única línea de
q(x'αr)
Universo.
Consideremos el caso de una partícula cargada. En un sistema coordenado Lorentz su
línea de Universo contiene la información de las coordenadas y tiempo asociados al
punto campo en S. Denotaremos por P( x< ) = P(xα) el punto campo de S. El punto fuente
q( x< ) tendrá, en S, coordenadas q(x' α).
( ) ( )
=
En cualquier punto P vamos a estudiar los objetos A< x α y F x α , y proponer expre-
siones en m4 que, en sistemas coordenados, nos van a dar potenciales y campos conocidos que ya hemos expresado en los sistemas inerciales S.
Toda señal electromagnética de q sólo se notará en P si la línea de Universo de q pasa por el cono de luz de P, y es que como tal señal tiene la velocidad c, sólo se propaga
en los conos de M. La línea de Universo de q podrá cruzar el cono de luz de P en dos
puntos: 1, 2. Estos serán los puntos fuente a considerar para obtener los campos en P.
Como el cuadrivector relativo ∆xα entre el punto fuente q y el punto campo P es isótropo, su módulo es cero. Así pues:
(
)
∆x α = x α − x 'α = (c (t − t ' , r< − r< '))
∆x α ∆xα = c 2 (t − t ' )2 − (r< − r< ' )2 = c 2 (t − t ' )2 − R< = 0
2
Donde R< = r< − r< ' es el vector relativo entre punto fuente y punto campo en S. Por tanto:
c(t − t ' ) = ± R<
Hay dos posibilidades:
R<
es el instante retardado, y se corresponde con la posición de la carga
• t 'r = t −
c
en un instante t' anterior a t (posición retardada).
III 19
Funciones de Green covariantes
•
t 'a = t +
>
R
es el instante avanzado, y se corresponde con la posición de la carga en
c
un instante t' posterior a t (posición avanzada).
Como las señales que vienen de la posición avanzada no tienen interés físico, pues
considerarlas significaría que los campos aparecen en el punto P antes de ser emitidos
por la carga en el punto fuente, se descartan (no son compatibles con el concepto usual
de causalidad).
Así tendremos en cuenta que, en el caso de utilizar un cuadrivector de módulo cero,
hemos de considerar la contribución a los campos desde la posición retardada de la carga, que es la única solución físicamente aceptable.
Vamos a proponer una ecuación en m4 que nos permita encontrar potenciales asociados a cada punto. Estos serán los potenciales de Liénard-Wiechert, que vimos para una
carga puntual en movimiento.
Hemos de resolver la ecuación diferencial para el potencial cuadrivector:
>
? >
A = µ0 J
>
>
O bien:
[I]
∂α ∂α A(x ) = µ 0 J (x )
En los sistemas coordenados Lorentz.
>
Dado J (x ), podremos resolver el problema fácilmente por el método de las funciones
de Green si, para una fuente arbitraria, se conoce la solución de la ecuación:
0, si x ≠ x'


∂α ∂α D (x; x ' ) = δ ( 4 ) (x − x ') , con: δ ( 4 ) (x − x ') →  f (x )δ ( 4 ) (x − x ' )d 4 x = f (x '), si x' ∈V 4
∫
V 4
Conocida la función D (x; x ' ) , se obtiene una solución de [I] con el cuadripotencial:
>
>
A(x ) = µ 0 ∫ D ( x; x ' ) J ( x ' )d 4 x '
x'
Donde d 4 x' representa el elemento de volumen del espacio de Minkowski, y la integral
se extiende a todo el espacio representado por las coordenadas: x'.
> >
La función A(x ) así construida es solución de la ecuación [I] al considerar:
En efecto:
∂α ∂α D (x; x ' ) = δ ( 4 ) (x − x ').
>
>
>
>
∂α ∂α A(x ) = µ 0 ∫ ∂α ∂α D ( x; x ' ) J ( x ' )d 4 x ' = µ 0 ∫ δ ( 4 ) (x − x ' ) J (x ' )d 4 x ' = µ 0 J (x )
x'
x'
Y, por la presencia de la función delta, sólo contribuye a la integral el punto: x = x'.
III 20
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
La función D (x; x ' ) se conoce como función de Green del operador ∂ 2 = ∂α ∂α . La
cuestión será hallar la función de Green que permita hallar la solución de [I] para todo
@
cuadrivector J (x ).
La fuente de campo electromagnético más sencilla es la carga puntual. Propondre@
mos la expresión de J (x ) para una línea de Universo de tipo temporal a la que asociamos el parámetro q.
Cuadrivector densidad de corriente para la carga en m4:
Recordemos que el cuadrivector densidad de corriente referido a un sistema de coordenadas tiene como componentes:
@ @
@
@
J α (r , t ) = cρ (r , t ), J ⊥ (r , t )
@ @
@
@ @
@
@ @
Donde:
y: J ⊥ (r , t ) = q v (t )δ (r − r ' (t ))
ρ (r , t ) = qδ (r − r ' (t )) ,
(
)
@
coordenadas del punto campo en el sistema S.
r,
@
r ' (t ) , función que describe la trayectoria de la partícula en el sistema S.
Dará la posición de la carga en todo instante: coordenadas del
punto fuente.
@
Veamos en m4 cómo describir el campo vectorial J , densidad de corriente. Si x es un
Con:
punto de m4 , el cuadrivector densidad de corriente de una carga puntual q con línea de
Universo z(τ ) se puede definir como:
@
J (x ) = qc ∫ u(τ )δ ( 4 ) (x − z (τ ))dτ
τ
m4
Donde u (τ ) es el cuadrivector velocidad de
uA (τ )
@ @
J (x )
@
z (τ )
@
x
la partícula. Llamamos x al punto P de m4:
@
@
x α ≡ x 0 , x , donde x son las coordenadas es-
( )
paciales en S.
Esta integral sólo va a tener valores diferentes de cero cuando: x = z (τ ) , es decir, sobre
la línea de Universo de q.
Vamos a obtener las expresiones de la densidad de carga y de la densidad de co@
rriente para observadores inerciales. Esperamos que la forma propuesta para J (x ) reproduzca correctamente las densidades de carga y corriente de la carga puntual en S.
III 21
Funciones de Green covariantes
B
Si referimos la expresión de la densidad de corriente J (x ) a un sistema coordenado
Lorentz, se tiene que:
(
)
B B
J α (x ) = qc ∫ uα (τ )δ ( 4) (x − z (τ ))dτ = qc ∫ u α (τ )δ x 0 − z 0 (τ ) δ (x − z (τ )) dτ
τ
Pues:
(
τ
0
)
B B
δ ( 4) (x − z (τ )) = δ x 0 − z (τ ) δ (x − z (τ ))
Extendiendo la integral a todo τ , y aplicando la propiedad de la función δ :
f (τ )
i
∫ f (τ ) δ (g (τ ))dτ = ∑i f (τ i ) dg (τ i ) = ∑i gC (τ i )
1
dτ
Donde τ i son los ceros de la función g (τ ) , esto es: g (τ i ) = 0 .
(
)
Si consideramos: g (τ ) = x 0 − z 0 (τ ) , como la función g sólo contribuye a la integral
en los puntos en que se anula el argumento de la función δ, resulta que:
B B
dz α (t ) dt
δ (x − z (t ))
α
dt dτ = qδ (xB − zB (t )) dz (t )
J α (x ) = qc
dt
dz 0 (τ )
dt 
≡ c 
dτ 
dτ 
Tomando componentes, se tendrá:
B D
B B
d (ct )
J 0 = qδ (x − r ' (t ))
• para α = 0
= qδ (r − r ' (t )) c = ρ c
dtB
B
D
d
(r (t )) = qδ (xB − rB ' (t )) vB (t )
J α = qδ (x − r ' (t ))
• para α = 1, 2, 3
dt
B
Donde r ' (t ) es la trayectoria de la partícula, con la que se calcula la posición de la carga
puntual en S. Podemos escribir entonces en un sistema coordenado Lorentz:
B
B
 B ρ (r , t ) = q δ (r − r ' (t ))
α B
B
B
B B
J (r , t ) = 
J ⊥ (r , t ) = q v (t ) δ (r − r ' (t ))
Potenciales de Liénard-Wiechert:
Consideremos, para la carga q sobre la línea de Universo: z(τ ), el potencial cuadriB
vector: A(x ), en cualquier punto x de m4:
C
B
µ0 c q
z (τ )
C
A(x ) =
4π z (τ )⋅ (x − z (τ )) τ
r
Calculado en τr, que se corresponde con la posición retardada de la carga: t' < t, pues
entonces:
(x − z (τ r ))⋅ (x − z (τ r )) = 0 ,
(x − z (τ r ))σ (x − z (τ r ))σ
B B
2
2
= c 2 (t − t ' ) − r − r ' (t ') = 0
esto es:
⇒ en S estará calculado en t'.
III 22
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Veamos que este cuadrivector contiene los potenciales de Liénard-Wiechert tomando
F
componentes. Como: z σ = (ct ' , rE ), y: z σ = (γ c, γ vE ), entonces:
(
F
z σ (x − z (τ ))σ = γ c 2 (t − t ' ) − γ vE · RE = γ cR 1 − βE ⋅ uE R
•
Para la parte temporal:
( )
A0 x α =
•
)
µ0c q
γc
4π γ cR 1 − βE ⋅ uE R
(
)
φ
c
⇒
= A⊥i
⇒
=
τr
φ (rE , t ) =
1
q
4πε 0 R 1 − βE ⋅ uE R
)
µ q
vE
AE ⊥ (rE , t ) = 0
4π R 1 − βE ⋅ uE R
)
(
t'
Para la parte espacial:
( )
Ai x α =
µ0c q
γ vi
4π γ cR 1 − βE ⋅ uE R
(
)
(
τr
t'
Que son los potenciales de Liénard-Wiechert de una carga q, que se mueve con velocidad vE en el sistema de referencia S.
Cálculo del potencial de Liénard-Wiechert con las funciones de Green covariantes:
La ecuación geométrica que liga el
zG (τ )
potencial AE (x ) con JE (x ) se puede resol-
z(τa)
ver, para obtener la expresión de AE (x ), si
z(τ)
conocemos la función de Green D (x; x ' )
x
del operador ∂ 2 tal que:
∂α ∂ α D (x; x ') = δ ( 4 ) (x − x ' )
z(τr)
Proponemos dos funciones de Green, covariantes Lorentz, que llamamos Dr y Da :
(
) [
(
) [
Dr ( x − x ' ) =
1
ϑ1 x 0 − x '0 δ ( 4 ) (x − x ' )2
2π
Da ( x − x ' ) =
1
ϑ2 x ' 0 − x 0 δ ( 4) (x − x ' )2
2π
]
]
retardada
avanzada
El cuadrivector (x − x ' (τ )) está sobre el cono de luz, luego su módulo es nulo:
(x − x' (τ ))⋅ (x − x' (τ )) = (x − x' (τ ))α (x − x' (τ ))α
Así:
c(t − t ') = ± R ,
por tanto:
= c 2 (t − t ' )2 − rE − rE ' (t ' ) = 0
2
τ r se corresponde con t' < t
τ a se corresponde con t' > t
III 23
Funciones de Green covariantes
Si se elige como solución la función de Green adecuada, se asegura la condición de
retardo para todo sistema coordenado Lorentz. Así, la función Dr asegura que la señal
aparece en el punto campo desde la posición retardada de la partícula: τ r , que se corresponde con x' 0 < x 0 , si definimos:
(
)
1, 0 > 0
ϑ1 x 0 − x' 0 =  x 0 x' 0
0, x < x'
Del mismo modo, Da contribuirá con la señal desde la posición avanzada si se define
(
)
1, 0 > 0
ϑ2 x ' 0 − x 0 =  x' 0 x 0
0, x' < x
ϑ2 como:
H
La solución para A(x )será:
H H
H
A(x ) = µ 0 ∫ Dr (x; x ' ) J (x ' )d 4 x '
con la densidad de fuente:
x'
H
I
J (x ) = qc ∫ z (τ ) δ ( 4 ) (x − z (τ )) dτ
τ
Tendremos, tomando componentes:
I
A µ (x ) = µ 0 c q ∫ ∫ Dr (x; x ' )z µ (τ )δ ( 4 ) (x '− z (τ ))d 4 x ' dτ
τ x'
(
) [
]
I
µ0c q
2
dτ ∫ ϑ1 x 0 − x' 0 δ ( 4 ) (x − x ' ) z µ (τ ) δ ( 4) (x '− z (τ )) d 4 x '
∫
2π τ x '
I
µ cq
= 0 ∫ ϑ1 x 0 − z 0 δ ( 4 ) (x − z (τ ) )2 z µ (τ ) dτ
2π τ
=
(
) [
]
Ya que, al integrar a todo x', habrá contribución cuando se anule el argumento de δ (4) ; es
decir para: x ' = z (τ ) .
Para la integración en τ, se tendrá en cuenta que la contribución de los puntos en que
I
se anula el argumento de la función δ se ha de dividir por g (τ ) , donde:
g (τ ) = (x − z (τ )) . Así:
2
I
d
dz σ (τ )
2
(x − z (τ )) = − 2(x − z (τ ))σ
= 2 (x − z (τ ))σ z σ (τ )¶
dτ
dτ
De los dos puntos donde se anula el argumento de la función δ , se selecciona el correspondiente a: τ = τ r , ya que ϑ1 sólo no se anula para: x 0 > x ' 0 .
Por lo tanto:
I
µ 0c q
z µ (τ )
A (x ) =
I
4π (x − z (τ ))σ z (τ )σ
µ
τ =τ r
Que es la expresión propuesta anteriormente para el potencial de Liénard-Wiechert covariante.
¶
Nótese que esta cantidad es siempre positiva, pues la línea de Universo es de tipo temporal.
III 24
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
Obtención del tensor campo electromagnético:
Para hallar el tensor campo, se puede derivar la expresión obtenida para Aµ (x ), y de
F µν (x ) = ∂ µ Aν (x )− ∂ν Aµ (x )
este modo calcular:
O alternativamente, derivar las expresiones integrales de Aµ en términos de las funciones
de Green, que es más sencillo y es lo que vamos a hacer.
J
Considerando la expresión de J (x ) para la carga puntual q, tenemos que:
A µ (x ) = µ 0 c q ∫ ∫ Dr (x; x ' ) zK µ (τ )δ ( 4) (x '− z (τ )) d 4 x ' dτ = µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ )) zK µ (τ ) dτ
τ x'
τ
∂D (x; z (τ )) µ
A µ ,ν (x ) = µ 0 c q ∫ r
zK (τ ) dτ
∂
x
ν
τ
Derivamos respecto a xν :
Notemos que la función de Green es una función cuadrática de: x − z (τ ) , por lo que*:
Aµ ,ν = µ 0 c q ∫
τ
∂ [(x − z )2 ] µ
dDr
zK dτ = µ 0 c q ∫ 2(x − z )ν zK µ
dτ
2
2
∂ xν
(
)
[
]
d [(x − z ) ]
d
x
−
z
τ
dDr
(
dτ
d Dr
x − z )ν zK µ d Dr
= µ 0 c q ∫ 2(x − z ) zK
dτ = − µ 0 c q ∫
dτ
(x − z )σ zK σ d τ
d [(x − z )2 ] d τ
τ
τ
ν
Donde hemos sustituido:
µ
dτ
d [(x − z )2 ]
, por el inverso de:
d [(x − z )2 ]
= −2(x − z )σ zK σ .
dτ
Integrando por partes:
Aµ ,ν
 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )

(
(
)
)
;
= −µ0c q 
D
x
z
τ

r
σ
 (x − z (τ ))σ zK (τ )

+∞
−∞
+ µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ ))
τ
d  (x − z (τ ))ν zK µ (τ )

 dτ
dτ  (x − z (τ ))σ zK σ (τ )
El primer término vale cero, pues en τ = ±∞ : x ≠ z (τ ), y la función Dr (x; z (τ ))se anula.
Nos quedamos con:
 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )

 dτ
σ
(
(
)
)
(
)
K
x
−
z
τ
z
τ


σ
τ

 (x − z )ν zK µ 
µ0c q
2 d
0
0
( 4)
(x − z (τ ))
=
ϑ1 x − z (τ ) δ

 dτ
2π ∫
dτ  (x − z )σ zK σ 
Aµ ,ν = µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ ))
(
d
dτ
) [
]
Donde hemos sustituido la expresión de la función de Green retardada. Integramos tef (τ )
niendo en cuenta la propiedad conocida:
∫ f (τ ) δ (g (τ ))dτ = ∑i gK (τ ii )
Donde ahora:
*
f (τ ) =
d
dτ
 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )

 , y:
σ
 (x − z (τ ))σ zK (τ )
Haremos uso de: ∂ µ Dr ( f (τ )) = ∂ µ f (τ )
g (τ ) = (x − z (τ ))2
dDr ( f (τ ))
dτ dDr ( f (τ ))
= ∂ µ f (τ )
d ( f (τ ))
d ( f (τ ))
dτ
III 25
Expresión covariante de los campos
L
L
d g (τ )
= g (τ ) = 2(x − z (τ ))σ zσ (τ )
dτ
Por lo que:
A
Así:
µ ,ν
L
µ0c q
1
d  (x − z (τ ))ν z µ (τ ) 
=


L
L
4π (x − z (τ ))σ z σ dτ  (x − z (τ ))σ zσ (τ )
τr
Operando ahora para obtener el tensor campo:
F
µν
=A
µ ,ν
ν ,µ
−A
L
L
µ0c q
1
d  z µ (x − z )ν − zν (x − z )µ 
=


L
4π (x − z )σ zσ dτ 
(x − z )σ zL σ

τr
Derivando respecto de τ, resulta la expresión completamente general:
F µν =
[
µ 0 qc 3
(x − z )µ zLL ν A − (x − z )µ zL ν B + (x − z )µ zL ν − (x − z )ν zLL µ A + (x − z )ν zL µ B − (x − z )ν zL µ
3
4π A
L
A = (x − z (τ ))σ zσ (τ ) ,
Donde:
y:
LL
B = (x − z (τ ))σ zσ (τ )
4. Expresión covariante de los campos:
Con el tensor campo expresado de forma covariante en términos de la trayectoria en
m4 de la partícula cargada, asegurada la condición de retardo para todo sistema coordenado Lorentz, podemos calcular los campos que genera una partícula en cualquier sistema.
Campos de la carga puntual en reposo:
Una carga puntual que se mueve con velocidad constante, en un sistema de referencia inercial, puede describirse en otro SRI como una carga en reposo. En el sistema de
referencia en el que la carga está en reposo S:
x µ = (ct , rM )
z µ = (ct ' , rM ' = cte )
L
z µ = (c, 0)
LL
z µ = (0, 0)
Luego B = 0. Calculemos el término A:
L
L
L
A = (x − z )σ z σ = x 0 − z 0 z 0 − (xM − zM ) zM = c 2 (t − t ' ) = cR
(
Ya que:
•
F
)
c(t − t ' ) = RM = rM − rM '
La componente F 01 del tensor campo electromagnético en el sistema S:
01
[
]
µ 0 qc 3
µ 0 qc 3
0 L1
1 L 0
(x − z ) z − (x − z ) z = − 3 3 [(x − x')c] = − µ 0 c q3 Rx = − E x
=
3 3
4π c R
4π c R
4π R
c
Simplificando con: c 2 =
1
, obtenemos la componente x del campo eléctrico:
ε 0µ0
q RM x
Ex =
4πε 0 R 3
()
III 26
]
τr
Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad
•
Trabajando con las componentes F 0 i del tensor campo electromagnético vemos que:
N
N
q R
Campo de Coulomb
E=
4πε 0 R 3
•
Del mismo modo podemos ver otras componentes F ij , por ejemplo: F 21 , que tendrá
el término: (x − z ) zO 1 − (x − z ) zO 2 = 0 , luego Bz = 0. Operando con el resto de comN
ponentes se encuentra que: B = 0
2
1
Campos de la carga en movimiento uniforme:
Para el sistema en el que la carga se mueve con velocidad constante:
N
N
N
x µ = (ct , r )
z µ = (ct ' , r ' (t ' ))
zO µ = γ (c, v = cte )
zOO µ = (0, 0)
Luego B = 0. Calculemos A:
(
N N
N N
σ
A = (x − z ) zO σ = c (t − t ' ) γc − R γv = γ Rc 1 − β ⋅ u R
•
)
Veamos la componente F 01 :
N
(x − z )0 zO 1 − (x − z )1 zO 0 = c(t − t')γv x − R xγc = Rγv x − Rxγc = γR c  v x − Rx  = γR c(β − uN R )x
Por tanto:
F
01
 c
N N
E x µ 0 qc 3 γRc β − uN R x
=−
=
N
4π γ 3 R 3c 3 1 − β ·u R
c
)
N
1− β
(
− β)
q
E =
4πε R
(1 − β ·u )
N N
N
µ q (1 − β N ) (β × u )
B=
4πR
(1 − β ·uN )
2
Despejando E x , se obtiene:
)
(
x
2
(
)N (uN N
0
R
R 
3
x
3
(cf. III 7)
R
2
Para el campo magnético:
0
R
2
3
(cf. III 7)
R
Campos de la carga acelerada:
Considerando la carga puntual acelerada:
N
N
x µ = (ct , r )
z µ = (ct ' , r ' (t ' ))
N
zO µ = γ (c, v ' (t '))
zOO µ = γ
N
d
(c, v ' (t'))
dt '
Se recuperan los campos de aceleración:
N
N
N
 N − β × βO 
×
u
u


R
R
N
q

N
Ea =
N 3
4πε 0 Rc
1 − β ·u R
(
N
µ q
Ba = 0
4πcR
(uN
R
(
)
)
(cf. III 8)
N
N O N N
N
NO 
− β × β + u R ⋅ u R  β × β  


N N
(cf. III 8)
3
1 − β ·u R
)
(
)
III 27
Bibliografía:
Básica:
Barut A. O.
"Electrodynamics and Classical Theory of Fields & Particles", Dover reprint 1980
Jackson J. D.
"Electrodinámica Clásica", 2ª ed. Alhambra 1980
"Classical Electrodynamics", 3rd ed. Wiley 1998
Konopinski E.J. "Electromagnetic Fields and Relativistic Particles", McGraw-Hill 1981
Landau L.D.
"Teoría Clásica de los Campos", 2ª ed. Reverté 1973
Complementaria:
Brédov M. &
Rumiántsev V. "Electrodinámica Clásica", Mir 1986
Goldstein H.
"Mecánica Clásica", 2ª ed. Reverté 1980
"Classical Mechanics", 3rd ed. Pearson 2002
Ingarden
R.S. &
Thidé B.
Classical Electrodynamics", Elsevier 1985
"Electromagnetic Field Theory", Communa Upsilon Books 2001
http://www.plasma.uu.se/CED/Book
Adicional sobre Relatividad:
Introductoria: Skinner R.
Referencia:
"Special Relativity", Blaisdell 1969
Das A.
"The Special Theory of Relativity. A Mathematical Exposition", 2nd
ed. University of Bangalore Press 1997
Kay D.C.
"Teoría y Problemas de Cálculo Tensorial", McGraw-Hill,
Schaum 1991
Synge J.L. &
Schild A.
"Tensor Calculus", University of Toronto Press 1966
Matemáticas:
Tensores:
Formas:
Boothby W. M. "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian
Geometry", 2nd ed. Academic Press 1986
Flanders H.
"Differential Forms with Applications to the Physical Sciences",
Dover 1989
Frankel T.
"The Geometry of Physics. An Introduction", Cambridge University Press 1999
Schutz, B.F.
"Geometrical Methods in Mathematical Physics", Cambridge
University Press 1980
Otras referencias:
Itzykson C. &
Zuber J. B.
"Quantum Field Theory", McGraw-Hill 1980
Mandl F. &
Shaw G.
"Quantum Field Theory", Wiley 1984
Rohrlich F.
"Classical Charged Particles", Addison-Wesley 1990
AI
Cada unidad (u) de los ejes representa: 1 u = (q2µ0/16π2c)×(1m/s2)2 Acelerador sincrotrón:
Distribución esférica de la potencia radiada por una carga puntual q acelerada 1 m/s2:
r
β
r r&
β ⊥β
β = 0.10
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
r&
β
r
β
β = 0.20
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]
r&
β
r
β
β = 0.50
θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]
r&
β
Cada unidad (u) de los ejes representa: 1 u = (q2µ0/16π2c)×(1m/s2)2 Acelerador lineal:
Distribución esférica de la potencia radiada por una carga puntual q acelerada 1 m/s2:
r
β
r r&
β || β
r
β
β = 0.90
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
r&
β
β = 0.10
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
r
β
r&
β
β = 0.50
θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]
r&
β
AII
FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
GEOMETRIC FORMULATION OF ELECTROMAGNETIC FIELD
Resumen
Se exponen de forma geométrica las leyes del electromagnetismo clásico como una consecuencia
inevitable del principio de relatividad. Este tipo de formulación, independiente de sistemas coordenados particulares y del conjunto de observadores, sería la forma ideal y el modelo para la formulación de las teorías físicas. Naturalmente, dicha formulación geométrica reproduce las expresiones
usuales que toman las leyes de Maxwell para los observadores locales.
Abstract
We present geometrically the laws of classic electromagnetism as an unavoidable consequence of
the principle of relativity. This kind of geometric formulation, index-free and simple, would be the
ideal form and model for the formulation of physics. Naturally, this geometric formulation provides
the usual expressions of Maxwell´s equations for local observers.
M.A. ABIÁN
J.F. ORIA
Departamento de Física Aplicada
Universidad de Valencia
C/ Dr Moliner, 50 (Ed. Jerónimo Muñoz 0005)
Burjassot (Valencia) - 46100
I. FORMULACIÓN DE LAS LEYES FÍSICAS
La teoría que se ocupa de establecer las bases conceptuales para la correcta expresión de las leyes de la
física es la teoría de la relatividad. Concretamente, su
primer postulado o principio de relatividad es el fundamento filosófico y la guía que ha de seguirse cuando
se propone una ley física, expresada de la forma usual,
como relaciones matemáticas entre objetos. De este
modo, el segundo de los postulados (La velocidad de la
luz ha de ser la misma para todos los observadores)
puede considerarse como una consecuencia directa de
este primero. Consistiría pues únicamente en enunciar
una de las leyes de la física. Aunque de modo todavía
impreciso, podemos formular el primer postulado de
relatividad diciendo: Las leyes físicas han de tener la
misma forma, no importa qué observadores las formulen. Nuestra labor en estas páginas será precisar el
significado de tal principio.
I.1. Sistemas coordenados
El observador que propone una ley física emplea
un conjunto de funciones con las que pretende describir
las experiencias realizadas. La relación que establece
entre tales funciones será lo que proponga como ley
física.
Para ello, previamente, ha de definir en su laboratorio un sistema coordenado. Esto es: precisar el
modo en que asigna a un suceso los cuatro números
precisos para definir la posición y el tiempo. Así, funciones de la posición y el tiempo, establecidas en su
sistema coordenado y relacionadas entre sí por medio
de derivadas parciales, entrarán en la expresión matemática de la ley física.
Es evidente que el contenido de la ley tendrá que
ser independiente de la formulación concreta que tal ley
adopte en un particular sistema coordenado. Cuando
una ley se escribe como relaciones a ambos lados de
una igualdad, de tal modo que, ante un cambio de sistemas coordenados, la nueva expresión de la ley mantiene la forma, se dice que tal ley está escrita de modo
i
covariante. El objetivo del observador ha de ser formular la ley de modo que su expresión no haga referencia
a ningún sistema coordenado concreto. Indicará la
operación que se tendrá que realizar sobre un objeto
definido y nos dirá a qué otro objeto tendrá que igualarse, de modo tal que ambos objetos y la operación queden unívocamente definidos sin hacer mención a ningún sistema coordenado particular. Cuando esta condición se cumpla, diremos que se ha expresado la ley de
manera geométrica.
La aparición de índices en la expresión de una ley,
es decir, la expresión usual de las leyes físicas por los
métodos del cálculo tensorial, hace referencia a la covarianza de la misma en una clase de sistemas coordenados y, por tanto, necesariamente ha de nombrarse el
conjunto de sistemas coordenados en los que la ley es
invariante en forma. Lo usual en relatividad especial es
proponer la ley invariante en forma para los sistemas
coordenados Lorentz y, en consecuencia, se dice que su
expresión es covariante Lorentz. En caso de utilizar el
observador un sistema coordenado no Lorentz, puede
proponerse la ley por los métodos del cálculo tensorial
de modo covariante general. La ley propuesta será covariante general o invariante en forma ante una transformación general de coordenadas. Éste es el modo de
proponer las leyes en relatividad general.
I.2. Observadores
No solamente el contenido de la ley ha de hacerse
independiente de su expresión en los distintos sistemas
coordenados posibles que pueda utilizar un determinado observador. También ha de ocurrir esto con la misma ley, no importa qué observador la formule. Paradójicamente este es el contenido del principio de relatividad: todos los observadores establecerán la misma ley.
La ley es única. En un universo ausente de observadores los acontecimientos siguen produciéndose del mismo modo.
La formulación geométrica de la ley será independiente del observador y del sistema coordenado y únicamente describirá la relación entre los objetos que
intervienen en la ley física o teoría que se quiere construir.
II. LA VARIEDAD CUADRIDIMENSIONAL
¿Cuál es el marco adecuado para formular las leyes físicas? Según la teoría de la relatividad especial es
la variedad cuadridimensional V 4 , dotada de la estructura diferenciable y métrica adecuada. La estructura
diferenciable establecida se denomina un atlas Ω. Un
atlas en una n-variedad V n consiste en una familia de
cartas locales φ i definidas en conjuntos abiertos ui
pertenecientes a V n , siendo ui un recubrimiento de V n .
En particular, puede ocurrir que la carta local φ k pueda
extenderse a toda la variedad con lo que u k = V n y el
homeomorfismo φ k :
φ k : u k → φ k (u k ) ⊆ R n
define una coordinatización, o un sistema coordenado
global válido para identificar cualquier punto de la
variedad. En esa coordinatización de la variedad escribiremos para todo X ∈ u k φ k ( X ) = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ,
que serán las coordenadas del punto X .
II.1. Espacio tangente
Definiremos como F 0 (uk ) el conjunto de las funciones continuas f definidas en uk con valores en R .
f : uk → R f ∈ F 0 (uk )
Para la carta (uk , φ k ) tendremos el modo de proceder:
f ( X ) = f (φ k ( X )) = f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R
En el sistema coordenado φ k , cada uno de los
 ∂ 
operadores vi =  i  son parte del conjunto de vec∂ x X
tores tangentes en X y constituyen la base natural de
vectores tangentes en X para φ k . De este modo, todo
 ∂ 
a se podrá expresar como a = a i  i  . Tales vecto∂ x X
res residen en el espacio tangente a uk en X , que se
simboliza por TX (uk ). Cualquier a ∈ TX (uk ) actúa
sobre los elementos de F 0 (uk ) dando lugar a números,
es decir:
a: F o (uk ) → R a ∈ Tp (uk )
Al conjunto de valores a i se les denomina componentes de a en la carta φ k . Para otra carta (v k , ψ k )
X
las
coordenadas
del
punto
serán
ψ k ( X ) = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) y las componentes de a en esa
carta ψ k serán ( a 1 , a 2 ,..., a n ) donde la base natural en
 ∂ 
TX (uk ) serán los vectores vi =  i  . Ya que debe
∂ x X
existir una relación x j = x j ( x i ) por ser φ k , ψ k homeomorfismos de uk ∩ v k en R n , las componentes del
vector a quedan relacionadas por la expresión:
 ∂ xi 
j
ai = 
j a
∂ x 
que es la conocida ley de transformación de las llamadas componentes contravariantes de un vector.
ii
II.2. Espacio cotangente
A los elementos del conjunto de funciones continuas F 0 (uk ) se les denomina también 0-formas. Existen otro tipo de objetos que residen en el espacio cotangente (dual del tangente) que simbolizamos por
TX* (uk ). Los objetos de este espacio son las 1-formas y
el conjunto de las mismas en X se simboliza como
TX* (uk ). En la coordinatización φ k , la base de 1-formas
es la basada en las diferenciales ( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) ,
 ∂
∂
∂ 
. Cualquier 1que es la dual de  1 ,
, ...,
2
∂ x
∂x
∂ xn 
forma es combinación lineal de las 1-formas base, de
modo que:
α = ai dx i
donde (a1 , a2 , ..., an ) son las componentes de α para
la carta (uk , φ k ) . Si cambiamos de carta en un entorno
del punto X , de modo que ahora usamos la carta
(v k , ψ k ) , las componentes de la 1-forma serán
( a 1 , a 2 , ..., a n ) y tendremos la relación:
 ∂ xi 
a
aj =
∂ x j  i


que se conoce como la ley de transformación de las
componentes covariantes. En cálculo tensorial clásico,
se llama vector covariante en X al conjunto de n cantidades que se transforman según la anterior ley.
Una 1-forma es una aplicación lineal de TX (uk )
en R . Así, para todo α ∈ TX* (uk ) y para todo
v ∈ TX (uk ) tendremos:
∂
∂
α (v ) = a i dx i v β
= a i v β (dx i
)=
β
∂ x
∂ xβ
= a i v β δ βi = a i v i ∈ R
Los objetos en TX (uk ) (vectores) y en TX* (uk ) (1formas) deben únicamente su existencia a la estructura
diferenciable establecida en V n .
Si queremos conocer el módulo de un vector o saber si dos vectores son ortogonales, hemos de introducir
en TX (uk ) una estructura adicional: la estructura métrica. Introducimos (en terminología de Wheeler) en
cada punto X ∈ uk , una máquina g simétrica, bilineal y no degenerada, capaz de aceptar vectores y dar
números. Es decir:
g (u, v ) =< u, v > ∈ R
En particular, para los vectores base de φ k tendremos
las componentes de g :
 ∂
∂ 
 = g(ei , e j ) = gij =< ei , e j >
g i ,
∂ x ∂ x j 
La métrica induce un isomorfismo entre TX (uk ) y
TX* (uk ). Para cada v ∈ TX (u k ) se establece una correspondencia con la 1-forma v * ∈ TX* (uk ) definida por
v → v * / v * (u) =< v , u > ∀ u ∈ TX (uk )
Con esta definición pondremos:
< v , u >=< v α eα , u β e β >= v α u β < eα , e β >=
v α u β gαβ = v β u β = v α uα = v * (u) = u* (v )
Las operaciones v β = gαβ v α y uα = gαβ u β se conocen como bajar índices. De forma similar podemos
subir índices, utilizando la matriz inversa g αβ .
II.3. El espacio de Minkowski
Es la variedad cuadridimensional dotada de estructura diferenciable y estructura métrica. En particular, existe un conjunto de cartas equivalentes (uk , φ k )
extensible a toda la variedad en que la métrica para
todo X ∈ uk tiene por componentes g (ei , e j ) = ±δ ij , lo
que nos dice que la base es ortonormal. En tal base hay
un +1 y tres -1, por tanto el índice de la métrica es 3.
Diremos que hemos establecido una coordinatización
Lorentz para el espacio-tiempo y pondremos
uk = V 4 = M . Todas las cartas equivalentes preservan
las componentes de la métrica y definen un sistema
coordenado Lorentz que se denominará ( M , φ k ) . Los
objetos que se definan en M cuando se representan en
componentes en la carta φ k particular elegida describirán las magnitudes físicas asociadas a las medidas
realizadas por uno de los particulares observadores
pertenecientes a la misma clase inercial que llamaremos S k . Dicho de otro modo: cada observador S k se
corresponde con la descripción de los objetos en el
sistema coordenado Lorentz o carta φ k .
III. FORMAS DIFERENCIALES
El conjunto de 1-formas definidas en un punto
X ∈ uk ∈ V n , y que hemos denominado TX* (uk ) tiene
estructura de espacio vectorial. Tal espacio vectorial
base lo simbolizamos como Λ1 (V n ) y para p=2,3,... n
se construye un nuevo espacio vectorial que denominaremos Λ p (V n ) . En una coordinatización dada φ k la
base
de
serán
las
diferenciales
Λ1 (V n )
n
1
2
( dx , dx ,... dx ) y por lo tanto cualquier α , β se
i
i
expresará como α = ai dx β = bi dx . Los elementos
del conjunto Λ2 (V n ) serán todos los posibles productos:
α ∧ β = ai dx i ∧ b j dx j = ai b j dx i ∧ dx j
iii
donde la operación ∧ se denomina producto exterior.
Las propiedades del producto exterior nos permiten
obtener en tal coordinatización la base del espacio de 2formas Λ2 (V n ) . Las 2-formas base serán todos los
posibles productos dx i ∧ dx j (1 ≤ i < j ≤ n) y por tanto
 n
la dimensión de Λ2 (V n ) será  . Del mismo modo, la
 2
base de Λ p (V n ) será la siguiente: para cada conjunto
de p índices: H = h1 , h2 ,... h p con la ordenación
{
}
1 ≤ h1 <... < h p ≤ n la totalidad de los elementos
dx H = dx h1 ∧ dx h2 ∧... dx
hp
constituye una base de
n 
p
n
Λ (V ) cuya dimensión es   . En particular, la di p
n
mensión de Λn (V n ) es   = 1 y Λ p ( n) = 0 para p>n.
n
Si ω es un elemento de Λ p (V n ) , se tendrá:
a H dx H
ω=
∑
H
por lo que dx H constituye una base ortonormal de
n
Λ p (V n ) . En particular, ω = dx 1 ∧ dx 2 ∧... dx es una
n
n
base
ortonormal
de
y
Λ (V )
(ω , ω ) = (dx 1 , dx 1 )(dx 2 , dx 2 )... (dx n , dx n ) = (−1) ( n −t ) / 2
donde t es la signatura de Λ1 (V n ) .
III.1. El operador de Hodge
Es la transformación lineal que hace corresponder
a cada p-forma ω ∈ F p (uk ) la (n-p)-forma
∗ω ∈ F ( n − p ) (uk ) . La (n-p)-forma ∗ω se conoce con el
nombre de transformado Hodge o dual de la p-forma
ω.
El modo de proceder para cualquier ω es sencillo
si sabemos como transformar cualquier p-forma de la
base del espacio F p (uk ) . Para la coordinatización φ k ,
una cualquiera de las p-formas base será
dx H = dx 1 ∧ dx 2 ∧... dx p con H = {1,... p} , donde
sumado sobre todos los conjuntos ordenados H. En
general, una forma diferencial de orden p se representará como
a H ( x 1 , x 2 , ..., x n ) dx H
ω=
donde los factores a H ( X ) son funciones continuas
definidas en todos los puntos de uk y diferenciables
tantas veces como se precisen.
Si ω es una p-forma y η una q-forma ω ∧ η es
un elemento del espacio de (p+q)-formas que se expresará como ω ∧ η = a H bK dx H ∧ dx K . Ahora ω , η y
ω ∧ η pertenecen al conjunto de p, q y (p+q)-formas
que
se
simbolizan,
respectivamente,
por
F p (uk ), F q (uk ) . y F p + q (uk ). Además del producto
exterior ∧ en cada espacio vectorial Λ p (V n ) se define
un producto interno × como una aplicación:
× : Λp (V n ) × Λ p (V n ) → R
que se calcula fácilmente si se toma la coordinatización
en que ( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) es una base ortonormal de
H
con
Λ1 (V n ) . De este modo, siendo dx
( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) es una base ortonormal de F 1 (uk ) .
Sea K el conjunto q de n-p índices k={p+1,... n}, el
transformado Hodge de dx H será:
∗ dx H = ( dx K , dx K ) dx K
para cualquier conjunto H de p índices y K de (n-p)
índices.
H = h1 < h2 <... < h p una base de Λ p (V n ) , tenemos
Derivada exterior: La derivación exterior queda
representada por el operador d y es una aplicación que
hace corresponder a cada p-forma ω p ∈ F p (uk ), la
(p+1)-forma ω p +1 (uk ) ∈ F p +1 (uk ) . Es decir,
d : F p (uk ) → F p +1 (uk )
Tal correspondencia entre objetos existe y es única; conduce a relaciones diferenciales de primer orden
entre los objetos cuando se expresa en una coordinatización dada. Tal correspondencia es independiente de
la coordinatización y, por tanto, geométrica. Aplicando
∑
{
}
para dos cualesquiera elementos de la base el producto
interior que se simboliza del siguiente modo
(dx H , dx K ) =|(dx H , dx K )|
y es cero cuando H ≠ K, pues el determinante tiene una
fila y una columna todo ceros. Si H=K todos los elementos del determinante son nulos salvo los de la diagonal principal que son ±1 y por tanto
( dx H , dx K ) = ±δ H , K
III.2. Relaciones entre formas diferenciales
La correspondencia que establece el operador ∗
entre el espacio de p-formas F p (uk ) y el de (n-p)formas F n − p (uk ) no describirá una ley física, pues en
la coordinatización φ k esto no representará relación
diferencial alguna, que es en última instancia, lo que
propondrán como ley los diferentes observadores. Así
pues, es preciso definir correspondencias entre objetos
(formas) que se traduzcan en relaciones diferenciales.
Tales correspondencias se conocen con el nombre de
derivada exterior, codiferencial y operador de LaplaceBeltrami o Laplaciana.
iv
de modo sucesivo d sobre el objeto ω da resultado
nulo. La propiedad d (dω ) = 0 se conoce con el nombre
de Lema de Poincarè. Así la correspondencia simbolizada por d diremos que “aumenta el rango del objeto”.
Codiferencial: Queda representada por el operador
δ y es la aplicación que hace corresponder a cada pω p ∈ F p (uk )
forma
una
(p-1)-forma
p −1
p −1
ω
∈ F (uk ). Es decir,
δ : F p (uk ) → F p −1 (uk )
Tal correspondencia entre objetos existe, es única,
y conduce a relaciones diferenciales de primer orden
entre los objetos cuando se expresa en una coordinatización dada. Esta relación, al ser independiente de la
coordinatización, es geométrica. A este operador también se le denomina operador divergencia y la correspondencia con el operador de Hodge y la derivada exterior es:
δω = ( −1) n ( p +1) + t +1∗ d ∗ ω
donde n es la dimensión de la variedad, t el índice de la
métrica y ∗ el transformado de Hodge. La correspondencia simbolizada por δ diremos que “disminuye el
rango del objeto”.
El operador de Laplace-Beltrami: Es la última de
las correspondientes geométricas y conduce en el cálculo con los objetos en la coordinatización elegida a las
ecuaciones diferenciales de segundo orden de la física.
Se simboliza por ∆ y hace corresponder a cada p-forma
ω p ∈ F p (uk ) la p-forma ω p ∈ F p (uk ). Es decir,
∆: F p (uk ) → F p (uk )
De tal correspondencia se dirá que “mantiene el rango
del objeto”.
Así pues tales operaciones suben, bajan o mantienen el rango del objeto y son geométricas aunque su
expresión en las diferentes cartas (φ k , ϕ k ...) puede ser
diferente. En las coordinatizaciones φ k en que la ley
mantenga la forma se dirá que la ley es covariante.
Ahora sólo queda elegir los objetos con los que proponer la teoria física cuyas ecuaciones conocen los observadores y que normalmente escriben en sus particulares
sistemas coordenados como relaciones en derivadas
parciales.
IV.
FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS
LEYES DEL ELECTROMAGNETISMO
En electrodinámica clásica, las leyes del campo
electromagnético
se obtienen de un campo vectorial
A( x ) definido en la variedad cuadridimensional M de
la relatividad especial. Tales funciones son las variables
dinámicas con las que se construye la densidad Lagrangiana asociada al campo. En principio no tendremos
por qué ceñirnos al espacio plano de Minkowski, pues
localmente la variedad riemaniana permite tomar dominios abiertos (uk ) entorno a un punto dado, en donde la coordinatización φ k tomada puede ser localmente
Lorentz. Según la relatividad general, en la carta
(φ k , uk ) las leyes serían las propuestas por un observador local en movimiento geodésico (Principio de Equivalencia fuerte). Veamos el modo de formular la teoría
por medio de las correspondencias geométricas comentadas en los apartados anteriores.
Si partimos de
una 0-forma o campo escalar f ( x ) , únicamente podremos ponerlo en correspondencia con 0-formas
(manteniendo el rango) por medio de ∆ o con 1-formas
(aumentando el rango) por medio de d . No podemos
operar por medio de δ sobre un campo escalar (bajando el rango) pues obtendríamos idénticamente cero.
Para cualquiera de las ecuaciones no triviales que pueden obtenerse aplicando sobre f ( x ) los operadores ∆ y
d no hay relaciones que, propuestas por los observadores locales, puedan atribuirse a ninguna teoría física
conocida. Así pues, un campo escalar o una 0-forma
resulta demasiado pobre en contenido.
Partiendo de un campo vectorial o 1-forma A( x )
(conocida con el nombre de 1-forma potencial) pueden
obtenerse las leyes físicas que descritas por los observadores locales se conocen como leyes del campo electromagnético.
En efecto:
a) Bajemos el rango de la 1-forma potencial por la
aplicación de δ y, en particular, anulemos la 0-forma
resultante:
δ A=0
(1)
La aplicación así establecida en una coordinatización
Lorentz reproducirá lo que se conoce como condición
de Lorentz para las funciones A µ que representarán los
potenciales electromagnéticos para el observador inercial S. La expresión covariante Lorentz de la relación
geométrica (1) es:
∂µ Aµ = 0
b) Subamos de rango A por medio de d y obtengamos la 2-forma denominada campo electromagnético:
dA = F
(2)
El espacio de las 2-formas es de dimensión 6, es decir,
tenemos seis 2-formas base y podemos representar F
en componentes respecto de una base. Si la coordinatización es Lorentz,
dichas componentes se asociarán a
3
los campos E y B en ( E , t ) , según los obtiene un
observador inercial S de sus funciones potenciales. En
expresión covariante Lorentz (2) se pondrá:
F
µν
=∂
µ
ν
ν
A −∂ A
ν
v
c) Mantengamos el rango de A por la operación
∆ ; la 1-forma así obtenida se denominará 1-forma
densidad de corriente J . De este modo,
∆ A = kJ
(3)
siendo k una constantes de dimensiones adecuadas.
Teniendo en cuenta que ∆ = dδ + δ d , con lo exigido
que δ A = 0 podemos escribir ∆ A = δ d = kJ o bien,
usando (2):
δ F = kJ
(4)
La ecuación (3) en coordinatización Lorentz toma la
expresión covariante:
µ
α
α
∂ ∂ µ A = kJ
que en un sistema particular es la ecuación de ondas
para los potenciales según el observador inercial S. La
ecuación (4) queda:
∂ µ Fµν = kJ ν
que es la expresión Lorentz de las ecuaciones de Maxwell externas. Las ecuaciones anteriores son las que S
propondrá como
∂D
∇⋅ D = ρ
∇× H = J +
∂t
en su sistema coordenado.
d) La propiedad ddA = dF = 0 es automática por
el lema de Poincarè. La 2-forma F (también conocida
como MAXWELL) es exacta pues dA = F . Necesariamente toda forma exacta es cerrada, con lo cual dF = 0.
Lo anterior equivale a decir que la 2-forma transformada Hodge o dual ∗ F (conocida como FARADAY) tiene
divergencia nula. Así de la la propiedad de F
δ ∗F = 0
Cuya expresión en sistemas Lorentz es:
µ
∂ ∗ F µν = 0
y para el observador S reproduce las ecuaciones de
Maxwell internas:
∂B
∇⋅ B = 0
∇× E = −
∂t
e) Por último, para que la teoría sea consistente y
las componentes de J puedan representar para los
observadores cargas y corrientes físicamente aceptables,
la 1-forma J no puede ser cualquiera, sino que tiene
que cumplir
δJ=0
lo que en expresión covariante Lorentz se escribe como
µ
∂ Jµ = 0
y el observador S escribirá la ley de conservación de la
carga eléctrica
∂ρ
∇⋅ J +
=0
∂t
en su sistema coordenado.
V. CONCLUSIÓN
En resumen: la teoría electromagnética descrita
para cualquier tipo de observadores y cualesquiera que
sean los sistemas coordenados que usen los mismos
consiste en expresar en ellos y para ellos las siguientes
relaciones geométricas:
a) Condición de Lorentz (δ A = 0 )
b) Definición de campos electromagnéticos
(dA = F )
c) Ecuaciones de ondas (∆ A = δ d = kJ )
d) Ecuaciones de Maxwell (δ F = kJ y δ ∗ F = 0)
e) Ley de conservación de la carga (δ J = 0)
El objeto A es el más simple. No existe otro objeto más sencillo en la variedad cuadridimensional al
que, por aplicación sucesiva de las correspondencias
establecidas por δ , d , ∆ se le pueda atribuir contenido
asociado a las observaciones realizadas por cualesquiera de los diferentes observadores S en sus laboratorios.
BIBLIOGRAFÍA
1 C.W. MISNER AND J.A. WHEELER: Annals of
Physics 2, 525 (1957).
2 H. FLANDERS: Differential forms with application
to the Physical Sciences, (Academic Press, NY, 1963).
3 Edited by H.Y. CHIU AND W.F. HOFFMANN:
Gravitation and relativity, (W.A.Benjamin Inc,
NY,1964).
4 C.W. MISNER AND K.S. THORNE AND J.A.
WHEELER: Gravitation, (Freeman, San Francisco,
1973).
5 W. THIRRING: A course in Mathematical Physics,
(Springer-Verlag, NY, 1979).
6 C. VON WESTENHOLTZ: Differential Forms in
Mathematical Physics, (North-Holland Publishing
Company, Amsterdam, 1981).
7 G.G. EMCH: Mathematical and Conceptual Foundations of 20TH-Century Physics, (North-Holland,
Amsterdam, 1984).
8 Edited by W.S. BERGER: J.C. Maxwell, the sesquicentennial symposium, (Nort-Holland, Amsterdam,
1984).
9 W.D. CURTIS AND F.R. MILLER: Differential
Manifolds and Theoretical Physics, (Springer-Verlag,
NY, 1985).
!"$#%'&(#)*+&(-,
Classical Electrodynamics, (Elsevier, Amsterdam,
1985).
11 S.R. PARROT: Relativistic Electrodynamics and
Differential Geometry, (Springer-Verlag, NY, 1986).
vi
AIII
Lecturas aconsejadas:
El lector interesado en el desarrollo ulterior de la Teoría de Campos, hará bien en consultar los tratados de A. O. Barut, y el ya clásico volumen II del Curso de Física Teórica de L. D. Landau. Los libros
de Teoría Cuántica de Campos ofrecen breves exposiciones del formalismo clásico: véase p.ej: F. Mandl,
G. Shaw: Quantum Field Theory, y la obra de mismo título de C. Itzykson y J-B Zuber.
Es posible que el lector se sienta con ganas de revisar la mecánica de los medios continuos, para ello
le remitimos a H. Goldstein: Mecánica Clásica; referencia que no aconsejamos para una revisión de la
Teoría de la Relatividad, por seguir el anciano formalismo de métrica euclídea con coordenada temporal
imaginaria, en vez de nuestra métrica pseudoeuclídea con Tr{gµν}= −2, que es el modo "moderno" de
hacer las cosas, cuando no el correcto*. Para un estudio de la relatividad sugerimos J.D. Jackson: Electrodinámica Clásica, que es además la mejor referencia general para estos apuntes.
La Electrodinámica Clásica, como teoría clásica de campos locales no es una teoría acabada, interesantes problemas de consistencia se exponen en Classical Charged Particles, de F. Rohrlich. La interacción electromagnética es un fenómeno cuántico, que se explica por el intercambio de fotones virtuales, y
la emisión/absorción de fotones reales según la Electrodinámica Cuántica (QED), la teoría más afinada
que conocemos. La introducción más accesible a todo ese mundo de teorías gauge renormalizables probablemente sea: Introduction to Elementary Particles, de D. Griffiths.
Una discusión de los métodos geométricos que hemos visto nos llevaría muy lejos. El Cálculo Exterior se expone someramente en Classical Electrodynamics de R. S. Ingarden y A. Jamio kowski, y de
modo más extenso en los libros de física y geometría de, p.ej: Frankel, Boothby ó Schultz.
No hemos tratado el teorema de Noether y sus aplicaciones. El teorema establece que para cada simetría continua de la densidad Lagrangiana existe una 4-corriente conservada asociada, cuya componente-0
integrada en el 3-espacio es una carga conservada, y se puede utilizar para derivar todas las leyes de conservación que hemos visto como consecuencia de simetrías del Lagrangiano de interacción; véase
Goldstein §12.7 ó Itzykson §1.2.
M.A.S., abril de 2001
Para una introducción a los métodos de la geometría diferencial y a las formas diferenciales se incluye
el artículo adjunto y para posterior estudio, las referencias bibliográficas que allí se citan.
J.F.Oria, abril de 2001
*
La recensión se refiere a la 2ª edición, editada en español por Reverté. La 3ª edición presenta un tratamiento moderno y accesible.
© 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino