x xy -

1
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
II TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE #2 (EXPRESIONES ALGEBRAICAS)
PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O CRESPO)
LOGROS DE APRENDIZAJE






Conoce el concepto de expresión algebraica.
Distingue las clases de términos algebraicos.
Conoce la nomenclatura algebraica.
Determina el valor numérico de una expresión algebraica.
Determina el grado absoluto y relativo de polinomios y monomios.
Resuelve operaciones básicas con expresiones algebraicas.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS (INICIACIÓN AL ÁLGEBRA)
4.1 Concepto de álgebra: es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus
propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus
propiedades, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra. Estudia
las cantidades consideradas del modo más general posible.
4.2 Expresión algebraica: es una forma simbólica que emplea números o constantes,
variables y operaciones matemáticas.
3x  4xy
Ejemplos:
2 3
7a b
5x3 y 4
2
2  a  b
4.3 Términos: son cualquier sumando de una expresión algebraica.
Ejemplo:
4 x3 
término es
2x
 6x  5
3
4x3 , el segundo
en esta expresión algebraica hay cuatro términos, el primer
2x
, el tercero 6x
3
y el cuarto
5.
4.4 Partes de una expresión algebraica: coeficientes numéricos y parte literal.
4.5 Coeficiente numérico: son los números o constantes que aparecen en la expresión
algebraica.
4.6 Parte literal: se refiere a todas las letras incógnitas o variables que aparecen en la
expresión algebraica.
CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS
4.7 Términos semejantes: Son términos semejantes, aquellos que tienen los mismos
factores literales, es decir que tienen las mismas letras o variables con los mismos
exponentes.
2
Ejemplos:
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
3rs2 , 2rs 2
4x,6x
8
3t ,5t, t
7
4.8 Términos no semejantes: son aquellos cuyas partes literales son diferentes.
Ejemplos:
2
aby, 6cy3
3
2x3 y, 6xy3 z
4.9 Términos positivos: son aquellos que van precedidos del signo más (+). Observación:
cuando una expresión algebraica no tiene signo siempre es positiva. Ejemplos:
3x ,
5
abc ,
2
3 xy
4.10 Términos negativos: son aquellos que van precedidos del término menos
Ejemplos:
(-).
7
2 x2 ,  xy ,  2 xy
2
4.11 Términos libres o independientes: son aquellos donde solo aparecen coeficientes
numéricos. Ejemplos:
3,
5
, 4
3
4.12 Términos enteros: son aquellos donde no aparecen números ni letras en el
3
denominador. Ejemplos:
2xy , 5x yz
4.13 Términos fraccionarios: son aquellos donde intervienen fracciones; el denominador
puede ser números o letras. Ejemplos:
3
5xy
,
4a
7
4.14 Términos irracionales: son aquellos donde aparecen letras dentro de una raíz.
Ejemplos:
5xy
3x
xy ,
4.15 Términos opuestos: son aquellos términos semejantes, con el mismo coeficiente
numérico, pero con signos contrarios. Ejemplo:
3ab , 3ab
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE ACUERDO AL NÚMERO DE
TÉRMINOS
4.16
Monomios:
Ejemplos:
3x 4 ,
es
2 3 2
xy
5
una
expresión
algebraica
que
tiene
un
solo
término.
3
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
4.17 Binomio: polinomio formado por dos términos. Ejemplo:
4.18 Trinomio: Polinomio formado por tres términos.
5x  y
1
2x  y  ab
3
tiene 2 términos.
Tiene 3 términos.
4.19 Polinomios: son las expresiones algebraicas que constan de más de un término; donde
cada
término
se
separa
de
otro
mediante
los
signos
(+
ó
-).
2
ax
 7x  8 y  4
Ejemplo:
GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
4.20 Grado relativo (con relación a una letra): es el mayor exponente con relación a dicha
letra. Ejemplo:
x6 y3  3x2 y2  6x
con respecto a la letra x su grado relativo es 6, y con
respecto a la letra y su grado relativo es 3.
4.21 Grado absoluto: cuando interviene una sola letra el grado lo determina el mayor
exponente de dicha letra y cuando intervienen más de una letra el grado absoluto se
obtiene mediante la suma de los exponentes de cada letra y la suma mayor representará el
grado del polinomio.
Ejemplo:
x4  6 x2  x
como interviene una sola letra su grado es 4 pues es su mayor
exponente, En el trinomio
2x4 y3  8xy
como intervienen más de una letra su grado
absoluto se obtiene sumando los exponente de cada término y el mayor será el grado
absoluto, es decir 4+3=7.
4.22 Orden de un polinomio: ordenar un polinomio equivale a escribir sus términos de
modo que los exponentes de una letra o variable escogida como la letra ordenatriz, queden
en orden descendente o ascendente.
Ejemplo:
Ordenar
de
forma
ascendente
y
descendente
el
polinomio
6a3  4a5  2a  3a4  6
De forma descendente
De forma ascendente
4a5  3a4  6a3  2a  6
6  2a  6a3  3a4  4a5
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
4.23 Concepto: es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números
determinados y realizar las operaciones indicadas.
Ejemplo:
4
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
Hallar e valor numérico de
x2  y 2  2 z 2
para
x  5, y  1, z  2
x2  y 2  2 z 2   5  1  2  2 
2
2
2
 25  1  2  4 
 25  1  8
 18
Solución:
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Adición de monomios y polinomios:
4.24 Adición de monomios: para sumar monomios, se agrupan aquellos que son
semejantes, luego se suman los coeficientes numéricos conservando en el resultado las
mismas letras o parte literal.
Ejemplo:
Sumar:
4ab  5ab  2ab
4ab  5ab  2ab  11ab
Sumar:
4x3 y2  5x2 y3  x2 y2  6x2 y3  x3 y2 10x2 y 2
4 x3 y 2  5x2 y3  x 2 y 2  6 x 2 y 3  x3 y 2  10x 2 y 2   4x3 y 2  x3 y 2    5x 2 y 3  6x 2 y 3    x 2 y 2  10x 2 y 2 
 3x3 y 2  11x2 y3  9 x 2 y 2
Ejemplos:
5
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
4.25 Adición de polinomios: para sumar polinomios, se agrupan aquellos términos que
son semejantes, luego se suman los coeficientes numéricos de dichos términos,
conservando en el resultado las mismas letras o parte literal.
Ejemplos: sumar los siguientes polinomios:
3x  5 y  2z , 6x  3 y  8z , 6x  4 y  2z
Solución:
 3x  5 y  2z    6x  3y  8z    6x  4 y  2z    3x  6x  6x   5 y  3 y  4 y    2z  8z  2z 
 9x  6 y  4z
mar los siguientes polinomios:
Su
4a2b  2ab2  5a2b2 , 4ab  2ab2  5a2 b
Solución:
 4a b  2ab
2
2
 5a 2b2  8   4ab  2ab2  5a 2b    4a 2b  5a 2b    2ab2  2ab2    5a 2b2   8   4ab 
 a2 b  0  5a 2b2  8  4ab
 a2 b  5a2b2  8  4ab
4.26 Sustracción de monomios: para restar monomios, se le resta al coeficiente numérico
del minuendo, el coeficiente numérico del sustraendo, conservando en el resultado el
mismo factor literal.
Ejemplo: de
5a
restar
3a
Solución:
5a  3a  2a
4.27 Sustracción de polinomios: para restar polinomios hay que tener presente que el
signo menos (-) le cambiará el signo a todos los términos del polinomio que representa el
sustraendo, luego se agrupan los términos semejantes y se reducen.
Ejemplo: de
9a2  7a  6c
restar
4a  5a2  3c
9a2  7a  6c   4a  5a2  3c   9a 2  7a  6c  4a  5a 2  3c
  9a2  5a2    7a  4a    6c  3c 
Solución:
 14a2  3a  3c
CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL #1 (4 INTEGRANTES)
Resuelve los siguientes problemas:

Indique el grado absoluto de las siguientes expresiones algebraicas:
6
a)

MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
5x5 y2  8x3 z 7  2xy  5
Encuentre
el
valor
b)
2 x2 y 7 z  4 y5 z 4  5 y3 z 9  5 y
numérico
de
las
siguientes
expresiones
algebraicas
para
x  3, y  1, z  4
a)

3x2  2 y  3z
b)
4x
 3y2  z
2y
sume:
7 x2 y  5xy2  2 y3 , 6xy2  8x2 y  5 y3 , 15 y3 12x2 y  3xy 2 10xyz

Sume:
6ma1  7ma2  5ma3 ; 4ma1  7ma2  ma3 ; 5ma1  3ma2 12ma3

Sume:
1 3
2
1
3
3 5
1
1
1
4
x  2 y3  x2 y  3;  x2 y  2 y3  xy 2   x3  y3 ;  y3  xy 2 
3
5
3
4
6 4
2
2
8
8


De
7a3  8a2 x  9ax2  4  5x3
De
3 3 3 2 1 3 3
x  xy  y  ab
4
5
25
10
Restar
10x3  4a3  12a2 x 15ax2 16
Restar
5
4
4
7
 x3  xy 2  ab  y3
2
6
5
15
4.28 Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios debemos tener presente
que al multiplicar potencias de igual base los exponentes se suman es decir,
a m  a n  a m n
y además debemos tener presente las leyes de los signos de la
multiplicación:
  
Ejemplo:
Solución:
multiplicar
   
  
 2x y  5xy 
2
2
 2x y  5xy   10x y
2
2
3 3
   
7
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
4.29 Multiplicación de un monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada
término del polinomio.
2x3  4x2  6x  3 y 
Ejemplo: multiplicar
2 x3  4 x2  6 x  3 y   2 x3  4 x4   2 x3  6 x   2 x3  3 y 
Solución:
 8x7  12 x4  6 x3 y
4.30 Multiplicación de polinomios: se debe multiplicar cada término del primer polinomio
por cada término del segundo polinomio, luego se suman los términos semejantes si los
hay. Ejemplo: Multiplique los siguientes polinomios:
 x  3y   x5 y  2x3  4x 
Solución:
 x  3 y   x5 y  2x3  4x   x  x5 y   x  2x3   x  4x   3 y  x5 y   3y  2x 2   3y  4x 
 x6 y  2 x4  4 x2  3x5 y 2  6 x 2 y 12 xy
Observación: en este caso no quedaron términos semejantes para reducir.
4.31 Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios: se debe multiplicar
cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, luego se
suman los términos semejantes si los hay. Además se debe recordar el proceso para
multiplicar fracciones
Ejemplo: Multiplicar
Solución:
 a  c  ac
 b  d   bd ; b  0, d  0
  
3 
 5 2 1  5
x
y

xy
x

y
4
3 
5 

 2
3  5 2 5  5 2  3  1 5  1  3 
 5 2 1  5
 4 x y  3 xy  2 x  5 y   4 x y  2 x   4 x y   5 y   3 xy  2 x   3 xy   5 y 



 


 


25
15
5
3
 x3 y  x2 y 2  x2 y  xy 2
8
20
6
15
25
3
5
1
 x3 y  x2 y 2  x2 y  xy 2
8
4
6
5
4.32 División de monomios: para dividir monomios debemos tener presente que al dividir
potencias de igual base los exponentes se restan es decir,
debemos tener presente las leyes de los signos de la división:
a m  a n  a m n
y además
8
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
  
  
20x2 y8
4xy3 z 6
Ejemplo: dividir
5x y z
 xyz
4
Dividir:
  
Solución:
6 3
Solución:
  
20 x2 y8 4 x21 y83 4xy5

 6
4xy3 z 6
z6
z
5x4 y6 z3
 5x41 y61 z31  5x3 y5 z 2
 xyz
4.33 División de polinomios entre monomios: se divide cada término del polinomio entre
el monomio.
Ejemplo: dividir
8a5b  5a4b2  16a3b5
entre
4a3b
Solución:
8a5b  5a 4b2  16a3b5 8a5b 5a 4b2 16a3b5



4a3b
4a3b 4a3b 4a3b
5a 43b21
53 11
 2a b 
 4a33b51
4
5ab
 2a 2 b0 
 4a0b4
4
5ab
 2a 2 1 
 4 1 b4
4
5ab
 2a 2 
 4b4
4
Observación: cualquier número o letra, elevados a la potencia 0, su valor es uno, tal es el
caso de
b0  1 y de a0  1
4.34 División de polinomios entre polinomios: Para dividir polinomios, se ordenan los
términos del dividendo y del divisor de acuerdo a los exponentes decrecientes de una de
las letras. Cuando falta un término se completa con (0).
Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias
de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la
división numérica.
Ejemplo: Dividir
x4  3x3  3x2  3x  2 entre x  2
9
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
Observación: el algoritmo de la división continúa hasta que el residuo sea cero o hasta que
el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.
10
MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS
CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL #2 (4 INTEGRANTES)
12a b  9a b 8ab
5x  4x  3x  7 xy 
4 5
2 3
6
 7a5b8c 

Multiplique:

multiplique:

dividir
12x4b3  6x4 y2  24x7 y6

Dividir
72x5 y8 z  64x9 y  40x8 y 4  4x6 y5 z  2xy

Dividir

3
7
5
entre
2x2 y3
entre
19x2 10x3  x5 14x  6 entre x2  1  2x
2
2
4
4
2 2
3
Dividir 2 x  3 y 13x y  14 xy entre x  2 xy  3 y
ACTIVIDAD DE NIVELACIÓN
Hallar el perímetro de la figura.
Completa la colmena mediante el producto entre monomios.
8x3 y 4