Gráfico de control en un modelo multiplicativo

ESTADISTICA ESPAÑOLA
n ú m. 101, 1983, págs. 67 a 76
Gráfico de control en un modelo multiplicativo
por MIGUEL GUTIERREZ FERNANDEZ
ETS de Ingenieros Industriales de Sevilla
RESUMEN
En e^te trabujo ^e considera un modelo multiplicativo de errore^, los
cuales tie consideran idéntic^ e independientemente distribuidos entre tií.
Dicho modelo se pre^enta en aquelloti fenómenoti que siguen Id teoría de
lo^ etecto^ proporcionale^, de amplia uplicdción en numerosos campos,
tale^ como el mantenimiento de equipos que sufren un deterioro progre^;ivo.
f'r^lc^hrrc.l^ c^lcr^^c^: M^ntenimiento, control de calidad, modelos explicativos.
l,
I NTRCJUUCC IC^N
Hrecuentemente se presentdn situaciones en las que la característica medible es el
resultucio de numerosas cau^a^ independientes, que no ^;on susceptible^ de medición
directd, cuyo^^ et'ectoti son variables aledtoria^ multiplicativas. La aditividad de lu:^
correspondientes funciones logarítmicas y el Teorema Centrdl del Límite justifican, en
tale^ situacione^^ , modeliz^ir el tenómeno en cue^tión mediante una ley logarítmiconarmdl.
Ejemplos _de lo anterior los tenemos en todos aquellos fenómenos para los que e^
v^lida la denominacia «teoríu de los efectoy proporciondles», según Ia cual, el valor
observa^io en ld ^r-tiimd etapa e^ un porcentaje uleatorio del valor observado en la etap^
f^I^
t 1"TA[7itiT[(^A f^tiPA!^f()[_A
11-^Ima. E:tit^l tiltU^lC:IUn 1e ^r-e^ent^i cOn trecuenci^i en rrohlema^ de m^ntenimientc^
(tl
-
^i^^
eyui^c^^^ en lu^ yue el cleteric^rc^ cie ciertu^ cc^rm^c^nente^ tiene lugar en et^^^^
^rc^^r-e^i^ ^r^, c:un^,i^ier^^nclc^^e yue nu hay nece^idac( de intervenir ^iempre y cuancio el
^ieteri^^r^^ me^iie^, M, ^r lu I^^r^;c^ cie un pericx}o cie lon^,ituci, T, no exceci^i cie un nivel
^re^letermin^ ^^1u N. Situ^rcie)ne^ ^imil^re^ ^ueden cidr^e en la retiracid de depó^ito^
munet^rriu^ ^c^r ^.rrte r`ie lu^ trcreedore^ cie un^i entic(act cie crédito, el tam^ño cie un
^^r^^ini^rnu cuyu crecimient^^ ^e ^ehe ^i numeru^u^ im^ul^o^ ^equeñoti, etc.
^.
.^N.^^1.1:^1^ l^F 1_ MOt)Ei_(:)
^e^r X( t, ! el cunj^rntu ^ie meciicia^ corre^^un^iiente^ ^i I^s oh^ervaciune^ tomd^i^^s en
lu^ tiem^u^ r^, i-= l, ?. ..., tl, I^^^ cuale^ ^u^un^#remo^ que ^on valore^ aleutoriu^
incie^en^iiente^ e i^éntic^imente eii^trihuida^ con c(i^tribuc:ic^n lugnorm^il y sea N el
umhral u ni^el ^er-rni^ihle ^le cieteric^ro que, ca^o de ^er excec^iciu, exige una accic^n
currectur^^ . A lu I^ir^u ^ie un ^eríociu c^e cluración T, el cieterioro medio pracíucido es
1
^
M= T E[ X( r )j clt
0
[1j
Cun uhjetu ^ie yue el ^roceciimientu sea independiente cíel mdteriul que tiut^re el
^eteri^^ru, ti^it^icirremc^^ I^l^ oh^erv^iciune^ en Id t^rm^i ^iguiente
.^^; ^ _^" ( r ; ) --
X(tr)
[Zj
ce^n lu que el rrmhr^il rel^rtivu cie cteterioro ser^ ^iempre la uniddci.
^i ^i ^^if-tir^ ^e I^i^ uhtierv^iciune^ relativa^ .t^; consicierdmu^; unas nuev^^ vdridble^+ ^^,,
.^, _= 1l}'^', I^i hi^c^tetii^, mencic^n^c(a cie lugnormaliddci c1e Id., varidhle^ .i-; implica que la^
^uri^ihle^ ^^, ^e ^ii^trihuyen nurmalmente, ti^; E N(µ, cs).
l.c^ anterior eyuiv^ile ^i un madelo multi^licativo cie errore^ para las ob^ervacione^
rel^itiv^rti
.^-1 r; ) = ^^^ (r; )E;
[ 3j
^ienciu n^ ( r, l^in^i vtiri^ihle m^itemátic^i y E^ unu variable aleatoria lognormal con
E( lug E; j= 0
( 4j
V^rr [ Iv^; E; j= cs^
[ Sj
GRAFIC'O DE CONTROL. EN UN MODFLO MULTIPLICATIVO
y por consiguiente
^ ^. ^:
c• = ln 10
E(E!( = 10 ^
Var tE ;)= 10`^^[ 10`'^^ - 1)
[ 7)
µ= E[ l08 -r; l- log ^» (1; )
( K^
^
^ + _^^^^
M
--- - l0 2
N
3.
[ b]
( 9)
FORMULACION DEL CONTRASTE
Lds hipótesis nula y dlternativd del test que vamos a realizar son, respectivamente,
las siguientes:
c^
H^^ : M <_ N^ µ+ -- a^ 2<
_ 0
2
[ 10]
^•
H, : M> N ^ µ+--62 > 0
2
La decisión entre H„ y H, se realiza de modo que las probabilidades de los errores
tipo 1 y tipa I1 no excedan, respectivamente, a valore^ especificados ^c y R. Cuando esto
último no se veritica, no se adopta ninguna decisicín. Como vamos a ver a continuación,
existe, para las hipótesis anterioreti, un test uniformemente mús potente al nivel de
^;ignificacicín x .
Como es ^abido (^^, .^^' ) e^ un estadistico tiuticiente par^^ iµ, a`), siendo
i^ -=
[ 11 ]
n
.,^2
[12]
_ ;=^
^r - 1
7U
ESTADISTICA E5Pa[^cJLA
f'uc^tc^ que I^i di^trihueic^n cc^njunta de t i•, .+' ) eti
nt^_N ^=
^n- i^s' _ 2
__ ^,^
2
^_F__._
./^( i^ , .^^ ^ ) f s"^ ^^^
^
h^^c ie ndu
n -
t-
[ 141
tendremc^s c;^^mu cii^trihución cie las variables (^^ , t)
n-3
,^
^
r^c^.^)
^ ct-^^)
2
-H
^ - 2^
µ
^
^
cie mudu que en el símholo de propurcion^lidad queden absorbidos todos los factores
yue nu ^ean función de ^^ ni cie t, hubiendo denominacio
[ 16]
f) - - ^µ-
2^.z
Entonces, el construtite dnteriar ( 10) equivale al siguiente:
}-{^^ ' t^ >
nc•
^
^
[ 17]
nc•
H ^ : H < ----
4
H^ergution ha dernostrado que para las distribuciones del tipo [ 15] existe un test
inse^gacio U M P cie tdmañ© x cuya región criticd es i^ >^ (t ), estando determinada e^ (t )
^i partir de la condiciún
^I^' > ^(t)1t1 ^_ _t.
^^
4
Ahura hien, teniendu en cuenta que la f.d.d. condicional de [ v/t J es
n-3
(t
_ l^ )
2
E^ - 2H.v
•f^(i^lt) _
( 19]
n-3
^^
l t - ti' 2
^-^'i
^ - zey clti
71
GRAFICO DE C'C)NTROL EN UN MODELO MUL.TIPLICATIVU
se tiene que
n- 3
^ ^
(t
n
- -c_v
2
2
--
.;
^
w^^^
Y[ti^ ^ `p(t)'^^t^^n^.
[ 20)
n-^
^^
4
n
- _.._. c• ^
( t -- i^ ^ ) ^ e ^ u^i^
- v^f
Si, ddemáti, tenemo^ en cuenta que el numerador c^e esta últíma expre^ión e^
po^;itivo, la conc^ición [ 20j equivaie a la siguiente:
f
n-3
v t
(1
n
- -c_v'
- ^'2) 2 f ^ ^
< ^
n-3
^,' r
(1
-^
^2 )
Z
[2^]
n
-- -c v
c'
2
c/1'
-^, t
4.
REGLA DE DECISION
i•
= ^_, la anterior regla cie deci^ión se can-
Si hacemo^ el camhio c^e variable !r
t^^ 1
vierte en la tiiguiente:
Rc^c•lic^:.clr H„ sí, y tiúlo tii
I
,
(^
'
i• _ / ^•
n!?
-^ ac•
v^^•2+ n- I.^1 _
^
n
- !I ` )
2
c'
n-3
_
_
n
-r,c•
CI1'
-
n ñ I .^ 2
I ( ^^ , •ti• ' ) _ --I
(1
_!c `) 2 c^
2
-- -^_
i -^
.^
/ _r +
ti
"
- <x
Í 22]
clcr
_I
y c!c•c'^^tcl,- H„ en cu:^o contrario.
Puede demotitrarse de una forma tiimilar a[ 22^ que exitite un te^t in^esgado lJM P^1e
tdmaño ^3 para contrdstar N ^#•rente d H„ , c uyd regla de dec i^ión e^ I^^ siguie nte :
Ac•c'^^tccr H„ si, y^^c^lo tii, 1{i^, .ti^'} > 1-^3
[23J
Puesto que con el est j 22], ld probabilidad de error tipo 1 nca excec#e a x, mientr^i^
r tirA[)IS^TI('A E=^P,^1!VO[_A
yrft cun t^l te^t ^^?^ ^ , I^i ^rc)h^ihrlrcla^ c^el errc^r- ti^u I I nc) excec^e a^^, I^í re^l^i cte clecisicín
^c)nj^^nt: ^ ^er.i
Ace^t^ir N„ ^i, y ^c:ílc) ^i. I ( i•, .^' ^ > ^ --
,
Ace^t^ír H, ^i, y^^úlu tii, ll R'. ^` 1 < x
N c) tc)m^ir nin^una ^ieci^;icin en cu^lquier c)tru c^i^c).
t)h^ér^'e^e yue ^^ir^í /l - ?^^ + 1, ^ _>
^, _ ;
^in^ilíti^.imentc: cit^^irr^)Il^in^iu t 1
E^:I rt,ult^ic^c^ e^
- l^' )`
I , l;í^ inie^r^iles I ( ^^, ^` ) ^uec^en calcular^e
y calculancte) inte^r^íle^ ciel ti^o ,^r^ 2^c^ -^"cllr.
n-3
1 1 - r^' i
2
ll
ex^ ---c'r^
?
"._ -, ^,
'^, _ ^ + 1 I l l ^^.,
^ t 1^
^.
^
^
^'= + Il ^r
( ^^ ) r
rr z^ -.^
I ^51
ó (,,^ _ ^ ^ ^ .^;+ r
h^ihienclu ^enurnin^icic)
_
^l
_,
--['
1'
^
5.
^^ - 1 ,
-^
.1
ll
il
/Il
- ^
-=
7
C^kAt^^1CO^ [)E [^EC1S1ON
A^^ir-tir cte lu ^interic^r ^e ^uecien ^htener f^cilmente ^rúficc)^ c1e cc)ntr^l (u má^
^ru^iamente. ^r^iticc^^ cle cieci^icín) en t^uncicín ^ie I^i^ v^iriahle^ c1e cc)ntrc)I ( i', ., ), ^ar^metr'll_^ic.^U^ ^c)r (x, ^i) e inciex^íctc^^ ^ur Ir, númer'u cie c)htierv^icione^ de It^ mue^tr^^.
t_^i t•i^ur^i l mue^tr^i 1^iti re^ic^ne^ cte ciecitiiún ^^iru valc^re^ c^e tl, 3^^1 < 25, y^ara
^c = ^^ -= (},OS. (.a t-i^ur^i ? mc,e^trii la^ re^iune^ curreti^unciiente^ cie ^1eci^;i^n ^^ir^í Ic)^
mi^,rnc)^, ^^ilurt'^ cle rr y^^ir^i x._._ ^^ = (3.(}()l .
i^O1" cUn^i^lllt'_nIC. Í^1 ^lnt'.^í tr^l)nif'.r^i entre e^ «^eCh^íl_U t,ie ^,» y ^^i «^^ ^) ciecisiún»
^rre^ie uhtener^c.^ cie ^icuerctu cun el ^ruceciimientc) ^interiur: a^ignamc)^ un v^tlc)r ^.^ y
cittt'r^min^imu^ c,'I ^^^ilc)r- (^e ^' ^^ir^i ef yue ^e verit^ic^^ I^i i^u^ilci^ct ( 22^, re^itienctc) el
rrc)cc^eiimientu ^^ír^i ca^1a unu c^e lu^ v<ilc^re^ c^e .^ . A1 re^re^entar ^r^^tic^imente diver^c)^
^^^íle>rt^ ^íel ^^ir (.^, i^) ^)htenemu^, ^ie e^t^í ti)rm^i, I^i líne^^ cie ciem^rcacicín entre I^i re^i^n
cie « Rec h^irc) cle N„ » y I^i rc^n^i cle « Nu cteei^ic^n» .^'^ir^i uhtener I^i lí ne^i cie ^u^eraci^n
GRAF(CO I)i: CONTRO[. EN l?N MOUE:LU Ml^l_TiPL(C'ATIVO
7^
entre la^+ lUndti c^e «Acept;^ciún cle H„» y cte «Nu cieci^ic^n» ha^t^a ^u^tituir en el métc^c^
yue ^icah^mo^, de cie^cribir x pc^r ^i.
b.
DESCRIPCION ALGC)RtTMICA DEL PRC)CEDIMIENTC) LlE DECISIC)N
Pur c^n^iguiente, el proceclimiento cie ciecisiún re^ultd muy simple: un^ vez culculdcia
^^, la mecii^ mue^tral de la^ logaritmoti ciecimdles cie tds observaciones normalizaci^^s,
mectiante ^ l!^ y cietipuéti cie calculdr .^, cua^icie^vi^ciún típica muestral c1e las •^^, a travé^
^1e la r^^íz cu^ic^racta cie ( 1?J, entrdmo^ en gr^ifico^ cie cieci^;ión ^imilares c^ lo^ repre^ent^aciuti en lati tiguru^ t y 2, y actoptumo^ la cieci^iún aciecudcid tenienda en cuenta el
corre^ponciiente v^lor cie ^^ .
BlB1^lnGRAH1A
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74
ESTA©1ST1CA ESPAÑOLA
n - 3
0,2
n--4
=5
O,l
n = 15
^-`-- = n = 17
n -- 19
n = 21
n=23
= 25
_p,l
_p*2
--0,3
-0,4
- 0.5
n=25
^^,.,^,_- n = 23
- 21
^nn = 19
-0,6
n = 17
n = 15
_af^
= 13
-a,g
ACEPTACION
= 11
n =9
n = 3
I
0,1
F^G. 1.
n = 5
I
^,2
0,3
0,4
s, Desviación Típica Muestral
.,
7
0,5
Regiones de decisión para oc = a= S%.
?5
GRAFTCO DE CONTROL EN UN MODELO MULTIPLICATIVO
n=3
,0,4 ^
n=4
0,3
n -- S
0,2
n=7
'T``^,.^
0,1
n=9
n = 11
n - 13
n - 15
n=17
n=19
n=21
n-23
n -- 25
^INDECISION
-0,1
-0,2
- 0,3
-0,4
=0,5
n=25
n=23
n = 21
n = 19
^n = 17
-0,6
^n = 15
n = 13
n = 11
-0,7
0,1
F^C3. 2.
0,2
0,3
0,4
'^s, Desviación Típica Muestrai
0,5
Regiones de d+ccisión para a=^= 1%
t ^-rAr^tsr tc ^ t-:1t^,a^vc>t ,a
7t^
^; ^ ' ^^1 tié ^^^ IZ lr"
CON"1`kOl_ C'HAKT IN A MUl_Tl^I.ICATIVE MO[.^EI_.
"t^hi^ ^^r^^er e^tuelie^ a multi^hc:^ttive mex,ie^ ut• errur^ whieh are cun^i^lereci
^r^ i^ientically ^rnd in^e^enc)ently cli^trihute^i.
Thi^ muc.iel ^x:cur^ in thu^e
rhen^^men.r which ti^iluw the theury ut` ^ru^c^rtiunt^te ettect^, wiciely ^^^^lieci
tn n^rrny liel^i^ ^uch ^c^ the u^kee^ ^^t• eyui^ment^ li^rhle tu ^rugre^ ^ tiive
^ic.^tc:rrur^rtiun.
l^^c^^^ ^^•c^ ^•cl^: l,; rkee^, yu^rlity e^^ntrul, rnulti^lic^itive mucielti.
.^^ti^tti ly7O. ^rrhjc.^^i c:l.r^^it`ie^rtiun: f^?N05.