Matemática

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TEMA 1
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
2.- La simplificación de:
1I.- Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamado
base tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado de
esta operación se le llama potencia.
a = base
n = exponente
p= potencia
A) 5
B) 3
n
A)
a
a
  = n
b
b
(a.b)n=an.bn
1
an
((
 am

(an)m=anm
a
 
b
)
−n
b
= 
a
) 
n α
B)
C)
β α n
a =
1.- Efectuar:
A) 1
B) 2
C) 3
− 2 −1
β
E=3
= a mn αβ
A) 1
−1
−1

3 
+ 3 −   
 8  

B) 2
C)5
D)4
E) 3
−1
5.- Simplificar
50 veces
5
a 2 .5 a 2 .5 a 2 ...5 a 2
n
a 5 . a 5 . a 5 ... a 5
m
n
20 veces
nα β
a
A) 1
B) a -30
1.- Simplificar:
 256

C) a30
−1
D)
a
E)
NIVEL II
 −4 − 2 
⋅ 8 9



D)4
E)
 1  2  5  − 2 
  +   
 2  
 5 
NIVEL I
−1
D)
4.- Determinar el valor de:
EJERCICIOS
−2
E = 16 − 4 


− 0 ,5
n
También se tiene que:
am = a
E)1/4
n
3.- Radicación: La raíz n-ésima de un número a (no negativo cunado n es par),
llamada radicando; es otra expresión talque esta raíz elevada a n, nos da el
radicando a, es decir:
n
D)1/2
Se obtiene:
am
= a m− n
an
an.am=an+m
a =b↔a=b
C) 1
2
−3
 1  −3
21 
−2
E =    + 2 (0 ,2 ) +   
9  3  
  2 
2.- Leyes de Exponentes
n
405 6 . 200 5
375 4 . 3240 3 . 648
3.- Al Simplificar:
an= p
a −n =
E =
−1
E) 5
A) 2
1
B) 1
2
(
2 1− 8
C)8
2
 1 
2−1
)  2 


D)
2
E) 4
3
a
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2.- Simplificar:
A) 3
a
B) 7
C)10
E=
3.- Al simplificar:
A) a+b+c
x x+n
1+ 2a
1 + 3b
1 + 5c
+b
+c
−a
−b
1+ 2
1+ 3
1 + 5 −c
D)20
8.- Reducir:
B) abc
+ x x+2 n
x
D)x
n
E) -2
A) ax
B) x
a
9.- Al Simplificar:
D) 1
C)a-b-c
x+n
xx = a
Para:
a nb n + a n c n + c nb n
a − n + b − n + c −n
n
xx
C)a
(
3
) ( )
( )
E) a
( )
 2 x +1 + 3 2 x + 2 + 5 2 x +3 + 10 2 x 
E=

4 x −1 + 28 4 x − 2


E) 1
-x
−1
abc
4.- Si x,y∈Ζ+ tal que y-x≥2 , hallar el valor mas simple de:
E=
y−x
Se obtiene:
x+6
A) 2
x x+ y y y + y x + y x x
x2y y x + y2x x y
B) 2
x-5
C)2
D)4
E) 8
10.- La Simplificación de:
a
A) x
y
B) x
y2
P=
5.- Reducir:
A) 1
C)x
B) 2
y
a


 a 2 −1 


a −1

 a+1



 a a + a a 
− 1 ; a > 0

1




 2 a

 a a−1 . a a + 1 










x
D) y
E) y
x
2 a+1 + 2 a +2 + 2 a+3 + 2 a+ 4
2 a−1 + 2 a−2 + 2 a−3 + 2 a−4
C)16
D)32
E) 64
es:
6.- Si: x x = 2, hallar el valor de:
A = x
A) 16
B) 32
B) a2
A) a
C)64
2.x
C)1
D)2
E) 3
1 + x1 + x
D)128
NIVEL III:
E) 256
1.-Simplificar:
P = ab x a −b bc xb − c ac x c −a
7.-Si el exponente final de x es 15 en:
3
 a +1 a a 2 + 2
. x a +3
x . x
 a a 2a 3
x. x . x





A) xa +b
a
B )2 xa
C ) xb−c
D ) x c −a
2.- Racionalizar el denominador:
E=
Hallar a
A) 8
B) 5
C)3
D)3
E )1
E) 1
A) 3 3
2
B) 3 4 C ) 3 2
3
1
4 + 3 2 +1
D) 3 2 − 1 E ) 3 3 + 1
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x
3.-Al simplificar:
3x - y 2x
b
3x
A) 6 x 19b x b12 y
x + 3y
b
B)6 x b19 x +12 y
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
C )3 x b9 x +12 y
4.-Si xy = 2, hallar el valor de
B) -1
D)b3 6 b
( ) (x ) (4 y )y
E = xx
A) 1
TEMA 2
x + 4y
b
y
y
C)-2
3 −y
2
D)2
E )b 6 b
Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones
matemáticas de por lo menos una variable.
Las ecuaciones pueden ser:
x3 + 3x2 – 7 = 0
−2
Ecuaciones
E) 0
y
1
+
=0
x x−2
ecuación polinomial
ecuación fraccionaria
Algebraicas
x−3− z = 0
5.-Hallar el valor de a2 +b2 en:
b
a−b
a
A) 1
NIVEL I
1-A
2-A
NIVEL II
1-E
2-C
6-E
7-B
B) 5
3-C
3-B
8-A
C)10
4-B
4-D
9-B
aab
abb
=3
D)13
2-D
3-D
4-C
22x – 4x + 1 = 0
ecuación exponencial
log x – x3 = 0
ecuación logarítmica
sen x – 8 = 0
ecuación trigonométrica
4/3
Ecuaciones
Trascendentes
E) 9
Clasificación de las ecuaciones según su solución
A) Ecuación compatible.- Es aquella que tiene al menos un elemento en su
conjunto solución.
5-C
B) Ecuación compatible determinada.- Es aquella que tiene un número limitado de
elementos en su conjunto solución.
Ejemplo:
x-3=0
c.s. = { 3 }
5-D
10 - B
NIVEL III
1-E
ecuación irracional
C) Ecuación compatible indeterminada.- Es aquella que tiene un número ilimitado
de elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los números
reales.
Ejemplo:
(x–3)=x–3
x=x
0x = 0
c.s. = R
5-C
D) Ecuación incompatible.- Es aquella que no tiene ningún elemento en su
conjunto solución, es decir su solución es el vacío.
Ejemplo:
x–4=x+5
0x = 9
c.s. = φ donde φ denota el conjunto vacio.
3
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PROBLEMAS
1.
2.
3.
4.
Una fracción irreducible tiene la siguiente propiedad, al sumar cinco
unidades a su numerador y 9 unidades al denominador, la fracción no cambia
de valor. La suma de sus términos es:
a) 10
b) 14
c) 18
d) 28
e) 36
A una pollada asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el
número de hombres es el quíntuplo del número de mujeres y éste el triple de
los niños. Hallar el número de hombres.
a) 367
b) 234
c) 315
d) 400
e) 600
A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los
dos números impares que le siguen obteniéndose en total 968 unidades. La
suma de los dígitos que forman el número par mencionado es:
a) 14
b) 16
c) 20
d) 12
e) 18
La suma de 4 números diferentes es 24, la suma de los 2 mayores es el
doble de la suma de los 2 menores, la suma del menor con el mayor es igual a
la suma de los otros 2 números. Halle la suma de las diferencias del mayor
con el menor y de los intermedios mayor con menor. (suponer que m es el
número mayor)
a) 32
b) 8
c) 4
d) 4m – 32
e) 32 – 4m
5.
Dos números suman 2320. Si uno de ellos le transfiere 240 unidades al otro,
ambos quedan con igual cantidad. El menor número es igual a:
a) 202
b) 840
c) 1320
d) 920
e) 1400
6.
Se tiene tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuya
suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres
números es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
7.
Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le
siguen, dé un total de 905?
a) 175
b) 183
c) 191
d) 177
e) 181
8.
Hallar un número cuyo quíntuplo aumentado en su triple del quíntuplo da
500.
a) 30
b) 36
c) 25
d) 45
e) 50
9.
La señora Maritza, tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de
los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos?
a) 9
b) 11
c) 33
d) 13
e) n.a.
4
10.
La suma de dos números es 74, su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál
es la diferencia de estos números?
a) 40
b) 60
c) 50
d) 20
e) 30
11.
¿Qué cantidad de arroz de 6 soles el kilo debe mezclarse con arroz de 10
soles el kilo para obtener 120 kilos de mezcla, de manera que, vendidos a 7
soles el kilo, no se produzca pérdida ni ganancia?
a) 100 y 20 b) 80 y 40
c) 70 y 50
d) 90 y 30
e) 60 y 60
12.
Preguntando a Esteban por su edad, responde: si el doble de mi edad se
quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad
tiene Esteban?
a) 51 años b) 37 años
c) 39 años
d) 43 años
e) 63 años
13.
Percy nació cuando Maritza tenía 18 años. Si actualmente la suma de sus
edades 64 años. ¿Cuántos años tiene maritza?
a) 31
b) 41
c) 27
d) 39
e) 26
14.
El doble de un número sumado con el triple de otro da como resultado 8, y el
quíntuplo del segundo es igual al triple del primero aumentado en 7. Dar la
suma de ambos números.
a) 1
b) 2
c) 4
d) 3
e) 5
15.
Dos obreros trabajan juntos ganando semanalmente uno de ellos s/. 20 más
que el otro. Después de igual número de semanas reciben s/. 2400 y s/. 2100
respectivamente ¿Cuánto gana semanalmente cada uno de los obreros?
a) 110 y 130 b) 220 y 240
c) 160 y 180
d) 100 y 120 e)140 y 160
16.
Si tú piensas en un número, cuya mitad es igual a cuatro unidades más que
una tercera parte del número que tienes en mente. ¿Qué número es?
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
17.
Vendí la octava parte de mis naranjas, después la sexta parte y finalmente la
quinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una de
las que traje. ¿Cuántas eran?
a) 140
b) 102
c) 130
d) 120
e) 150
18.
La suma de las edades de Alan y Jorge es 65 años, y dentro de 10 años, la
edad de Jorge será los 5/12 de la de Alan. ¿cuál es la edad de Alan?
a) 60 años
b) 50 años
c) 35 años
d) 25 años
e) 15 años
19.
El total recaudado por concepto de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, si
los estudiantes pagaron s/. 0.75 por cada boleto y las demás persona pagaron
s/. 1.25 por cada boleto. ¿Cuántos boletos de estos últimos se vendieron?
a) 350
b) 380
c) 550
d) 500
e) 450
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20.
21.
2.2.Conjuntos acotados
A)
Cota superior
Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de R sí y
sólo sí: x k ; ∀ x ∈ S
Un café que se vende a s/. 6 el kilo, se mezcla con café que se vende a s/. 5
el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/. 5.40 el kilo
¿Cuántos kilos se utilizará de cada clase?
a) 6 y 14
b)8 y12
c) 7 y 13
d) 9 y 11
e) 4 y 16
Calcule la solución de la ecuación
a) 30
b) 5
1
11 − 2 x
c) 20
=
3
7 − 2 10
+
4
B)
8+ 4 3
d) 13
e) 10
Cota inferior
Un número real k es una cota inferior de s si y sólo si x
k ; ∀ x∈S
2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Cotas inferiores
2.1.Intervalos
Sean dos números reales a y b tales que a<b, se denomina intervalo de extremos a
y b a los siguientes subconjuntos en R
A) Intervalo cerrado:
[a,b] = {x ∈ R / a
x
b}
a
B) Intervalo abierto:
]a,b[ = {x ∈ R / a < x < b}
C) Intervalo semiabierto: ]a,b] = {x ∈ R / a < x
[a,b[ = {x ∈ R / a
D) Intervalos infinitos:
[a,+ [ = {x ∈ R / x
a
x
a
x
b
x
x
Ínfimo
Un número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = inf S si:
•
d es cota inferior de S (x d, ∀ x ∈ S)
•
d es la mayor de las cotas inferiores de S, es decir:
Si ∀ k ∈ R / x k, ∀ x ∈ S, entonces k d
Por lo tanto, d no necesariamente pertenece a S
E)
Máximo
Si c es supremo de S y c ∈S, entonces c es máximo de S (c = máx S)
F)
Mínimo
Si d es ínfimo de S y d ∈ S, entonces d es mínimo de S (d = min S)
Ejemplo:
dado el conjunto S = ]2, 5]
el sup S =5, además 5∈ S, entonces el máx S = 5.
el ínf S = 2, pero 2∉ S, entonces S no tiene mínimo.
Problemas
1. Se sabe que el número de conejos que cría Juan es tal que el triple
disminuido en 5, es mayor que 33, y el cuádruple aumentado en 9 es menor
que 65. Calcule el número de conejos
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
a}
,b[ = {x ∈ R / x < b}
Supremo
Un número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = sup S si:
•
c es cota superior de S (x c, ∀ x ∈ S)
•
c es la menor cota superior de S, es decir:
D)
b
a}
a
]
b
b}
x < b}
Cotas superiores
Si
∀k ∈ R / x k, ∀ x ∈ S, entonces k c
Por lo tanto, c no necesariamente pertenece a S
x
]a,+ [ = {x ∈ R / x > a}
,b] = {x ∈ R / x
b
a
a
]
x
C)
S
x
a
x
b
5
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2.
3.
La diferencia entre las edades de Jorge y Raúl es mayor que 4, pero menor
que 7. Si Raúl tiene 36 años. Determinar el producto de los dígitos de la edad
de Jorge.
a) 0
b) 12
c) 18
d) 41
e) 42
Para la confección de un determinado número de problemas, se duplicó este
número y se eliminaron 40 que eran muy fáciles, quedando menos de 60. Si
se hubiera triplicado el número original y aumentado 20, habrían más de 164.
¿Cuál es la suma de los dígitos de la cantidad de problemas que había
inicialmente?
a) 5
b) 13
c) 12
d) 11
e) 6
4.
Un kilo de naranjas contiene entre 50 y 100 unidades de vitamina. Si cada
kilogramo cuesta entre 1.5 y 2.4 soles. ¿Cuánto será lo máximo a gastar por
consumir 400 unidades de vitamina?
a) 9.6 soles b) 12 soles c) 19.2 soles d) 20.2 soles e) 24 soles
5.
El número de libros que tiene Miguel en su biblioteca es tal que si le
disminuimos 20 y luego lo dividimos por 4, resulta mayor que 8, en cambio, si
le agregamos 5 y luego lo dividimos por 6, resulta menor que 10. Si luego
adquiere 2 colecciones de 6 libros cada una ¿Cuántos libros tendría Miguel
luego de la compra?
a) 24
b) 25
c) 52
d) 55
e) 66
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
= a2
a
Ejercicios
1.
2.
3.
4.
Max tiene cierta cantidad de caramelos, se come 5 y le restan más de la
tercera parte, luego se compra 10 más con lo que tendría menos de 14
caramelos. Indicar cuántos tenía inicialmente
a) 0
b) 12
c) 18
d) 41
e) 42
5.
3. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a denotado por a se define como:
 a , si a ≥ 0
a =
− a , si a < 0
a
a = a2
Propiedades adicionales
8.
= b ↔ b 0 ∧ (a = b v a = -b)
9.
↔ a = b ∨ a = -b
10.
Si b >0 entonces:
•
< b ↔ -b < a < b
•
b ↔ -b a b
11.
> b ↔ a > b ∨ a < -b
b ↔ a b ∨ a -b
Un bisabuelo aficionado a la matemática, nota que el número de nietos que
tiene es igual al triple del número de hijos menos cinco, y el número de
bisnietos es igual al doble del número de nietos, aumentado en 3. Se da
cuenta también que el exceso del número de nietos sobre el número de hijos
es mayor que 6 y el exceso del número de bisnietos sobre el número de nietos
es menor que 17. Calcular el número de bisnietos que tiene
a) 6
b) 13
c) 23
d) 30
e) 36
Geométricamente
cero.
Propiedades
0, ∀ a ∈R ∧
=0 ⇔a=0
= -a
a.b =
a+b
(desigualdad triangular)
es la distancia entre el punto donde se encuentra a y el
6
Resolver 7x = 4 – x
a) x=4 b) x=1/2 c) x=-1/2 x=2/3
Resolver 2x +2 = 6x – 18
a) x=2 x=5 b) x=3 c) x=-2 x=3
Resolver
x2 + 2 = 2x + 1
a) x=-1/2 o x=2 b) x=-1/3 o x=1
d) x=-2/3 x=1/2
d) x=5
e) x=-2/3 x=4
e) x=2
c) x=-1/2 o x=1
d) x=1
e) x=-1/2
2
Resolver x -2 x – 3 = 0
a) x=-1, x=3 b) x=3 c) x=1, x=-3
Resolver x - 2 = 3 - 2x
a) x=1 x=5/3 b) x=-5/3 x=-1
d) x=-3, x=3
c) x=-5/3 x=1
e) x=-1, x=1
d) x=5/3
6.
Hallar el conjunto solución de: x - 3 = x – 3
a) x=0 x=3 b) x∈R c) 3 d) x=3 e) x∈φ
7.
Se cumple que: x - 2 < 5, y se tiene x + 1 <a y
el menor elemento de {a,b} ?
a) 1
b) 2
c) 5
d) 8
e) 12
e) x=1
x - 9 < b, ¿cuál es
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8.
¿Cuál es la suma de los elementos que satisfacen la ecuación:
( 1- x - 3 ) ( 2 x - 3 – x ) = 0
a) -14
9.
10.
11.
12.
13.
14.
b) -12
16.
d) 12
SISTEMAS DE ECUACIONES
e)14
Hallar el mínimo del conjunto solución de: 2x + 7 = x + 5
a) x=2/3 b) x=2 c) x=-5 d) x=-2 e) x=-2/3
Hallar el valor de la expresión 4 x + 1 − x − 1
x
a) -1/4 ,1 b) -1/4 c) 1 d) 5 e) 1, 5
Resolver 2x - 5 < 3
a) ]-4,4[ b) ]-4,1/2[ c) ]-1/2,1[
d) ]1,4[
b) ]-1/9,1/3[
e) ]- ,-1/9] v [1/3, [
Resolver
a) ]-5,20[
d) ]- ,1/4[
El sistema es:
e) ]-4,-1[
Resolver 1/x – 2 < 11
a) ]-1/3,1/9[
d) ]- ,-1/9[ v ]1/3, [
Compatible indeterminado
Si:
a1 b1 c1
=
=
a 2 b2 c2
c) [-1/9,1/3]
Incompatible
Si:
2x − 5
<3
x −6
b) ]- ,23/5[ u ]13, [
e) ]6,13[
Resolver x - 3
a) φ
b) R
2
- 3 x - 3 - 18 > 0
c) ]-3,9[
d) ]- ,-3[ u ]9, [
2x2 – 3x – 9 < 2 x2 – 2x -3
b) ]- ,-5/4[
e) ]1/4, [
a 2 x + b2 y = c 2
Compatible Determinado
Si:
a1b2 − a 2b1 ≠ 0
b) ] − ∞ , 12 ]
c) [ − 6 ,∞ [
e) ] − ∞ ,− 12 ] ∪ [ − 6, 6 ] ∪ [ 12 ,∞ [
Resolver
a1 x + b1 y = c1
Dado el sistema
si x ∈ ] 0,1 [
Resolver 9 - x2
3
a)[ − 6, 6 ]
d) [ − 6, 6 ] ∪ ] 12 ,∞ [
a) ]23/5,13[
d) ]23/5,6[
15.
c) 10
TEMA 3
a1 b1 c1
=
≠
a 2 b2 c 2
c) ]23/5,6[ u ]6,13[
Ejercicios y problemas
01. Calcular 2x+y del sistema:
x y
x− y
+ +1 =
a) 3 b) 7
2 4
6
2
3 x − 2 y = 14
e) ]-3, [
c) ]-1/4, [
c) -4
d) 1
e) 0
02. Calcular “x.y” del sistema:
3x
+ y = 11
2
y
x+ = 7
2
7
a) 6
b) 8
c) 16
d) 12
e) 21
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
03. Calcular “x” en el sistema:
4 x −1 − 3 y −1 = 14 a) 0,25
−1
6x + 5 y
−1
12. Resolver el sistema:
b) -0,25
c)0,5
d)-0,5
(a + b )x − (a − b ) y = 4 ab
(a − b )x + (a + b ) y = 2a 2 − 2b 2
e) 0,125
=2
Y calcular el valor de “x+y”
a) a
b) b
c) ab
d) a-b
04. Calcular “x+2y+z” del sistema:
2x + 3 y + z = 1
6 x − 2 y − z = −14
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2
e) 5
x+
x−
x+
x−
13. Calcular “x” del sistema:
3x + y − z = 1
a) b + 1
ab − 1
05. Calcular el valor de “k” si el sistema adjunto presenta infinitas soluciones:
(2k − 1)x + ky = 6
a) 8 b) 6 c) -8 d) -2 e) 2
7,5 x + 4 y = 3
a) -1
b) -2
c) -3
bx + ay = 2 ab
e) 2
Encontrar el valor de “x+y”
e) 3
a) 8,5
b) 7,6
c) 8,4
d) 5,6
e) 6,5
15. Dado el siguiente sistema
5 x −3 y = 3
y
b) b
d) b − 1
ab + 1
10 x − 10 y = 1,0
d) 5
y+z+w=4
07. Del siguiente sistema, calcular x
a) a
c) a − 1
ab + 1
b) a + 1
ab − 1
x − y = 1,3
x+ z + w =1
ax + by = a 2 + b 2
y +1 a +1
=
y +1 a −1
y +1 1+ b
=
y −1 1− b
14. Dado el sistema de ecuaciones
06. Calcular el valor de “x-y+z-w” del sistema:
x+ y+z =5
x + y + w = −1
e) 2ª
c) ab
d) a+b
25x − 9 y = 81
Encontrar “x+y”
a) 20
b) 24
c) 26
e) a/b
08. Calcular “ab” sabiendo que los sistemas son equivalentes
ax + 3 y = 8 a) 2
3x + ay = 7
∧
b) 6
c)-2
d) -6
4 x + by = 2
bx + 4 y = 7
09. Evaluar “n” si el sistema es inconsistente
3x + (n − 1) y = 12
a) 1 b) 3 c) -1
(n + 6)x + 6 y = n
d) -3
e) 23
16. Resolver
e) 12
x2 + 1 +
y 2 + 4 + z 2 + 9 = 10
x+ y + z=8
Encontrar “x.y.z”
e) 5
a) 120/13
b) 128/9
{x,y,z}⊂ R
c) 64/3
xy + x + y = 7
xz + x + z = 11
yz + y + z = 5
d) 0
∧
+
d) 32/9
e) 100/13
17. Resolver el sistema y encontrar la suma de todos los valores de x; y; z
10. ¿Para qué valor del parámetro “k” el sistema: Será compatible determinado
(k + 2)x + 6 y = k
a) R b) R - {1} c) R - {1;-2} d) R - {2;-5} e) 1
2 x + (k + 1) y = 1
11. Calcular “m” si el sistema es incompatible
x + my = 1
a) 1 b) -1 c) -3
mx − 3my = 2m + 3
d) 25
a) 6
e) 2
8
b)-6
c) 8
d) 4
e) -8
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
18. Resolver el sistema y dar el valor de “y”
2x
5y
+
=7
3
6
a)
2
b) 5
25. Para qué valores del parámetro “k” el sistema: Tiene infinitas soluciones.
c) 6
(k + 1)x + (k + 3)y = k + 12
(k + 17)x + 30 y = k + 72
e) 30
d) 2 3
3x
5y
+
=6
2
10
x + 2 y + 3 z = 14
2 x − y − z = 2a
2 y − x − z = 4a
2 z − x + y = 6a
a) 1 y 17
b) -17 c) R d) R – {-17} e) R – {17}
xy = c
a) ± 1 b) ±2
c) ± ½
d) ±
e) ±3
(1 − i )x − (1 + i ) y − 2 z = i
b) 26 < m ≤ 91
3
5
26
< m < 91
d)
3
5
a) 1 b) -1
c) 2
d) -2
c) 25a d) 31a e) 41a
3
3
3
b) 16a
3
a) 4
b) 5
a) 2
b) 3
a) -8
b) 7
c) 2
d) 3
e) 1
01. E
02. D
11. D
12. E
21. D
22. A
03. C
04. B
05. A
06. E
07. E
08. D
09. B
10. D
13. B
14. A
15. D
23. C
24. C
25. A
16. B
17. B
18. E
19. D
20. C
26. B
27. D
ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS
e) 0
En numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos o
el estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términos
desconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven por
medio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas.
c) 6
d) 7
4.1. Ecuaciones cuadráticas
Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda
aquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a 0. En
general: a, b, c ∈ R.
e) 8
24. Si x; y; z ∈ Z+, determina el número de soluciones del sistema
x+ y−z = 4
3
TEMA 4
23. Resolver el siguiente sistema: El valor de “z” es:
x+ y+ z = 6
e) 4 y 1
CLAVE: Sistemas de Ecuaciones
x + 3iy + 2iz = 1 − i
El valor de z
11xy = 15(7 x − 2 y )
− 15(8 y − 7 z ) = yz
− 7 xz = 6(3 x − 5 z )
d) 2 y -1
3x + ky + z = 0
2x + 7 y = m
22. Al resolver el sistema
(1 + i )x − (1 − i ) y + 2iz = 3
a) 11a
2 x − 5 y + 3z = 0
x− y+ z = 0
21. Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene soluciones positivas
3x + 5 y = 13
a) 26 ≤ m < 91
3
5
26
91
c)
≤m≤
3
5
c) 1
27. Determine el valor de “k” para que el sistema tenga infinitas soluciones:
20. Si el sistema admite sólo dos soluciones diferentes. Calcular “abc”
a 2 x 2 + b2 y 2 = 1
b) 3 y 7
26. Determina “x” en el sistema:
19. Determinar el valor de “a” para los cuales el sistema tiene solución única
2x + y + z = a + 2
x − 3 y + z = −a
a) 3
c) 4
d) 5
Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es
completa.
e) 6
9
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Se resuelve sustituyendo y = x2, y se obtiene ay2 + by + c = 0.
• Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado.
• Se calculan las cuatro raíces de x como
x1,2 = ± y1 ; x3, 4 = ± y2
Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.
4.2 Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas:
Pueden darse varios casos:
Según los valores obtenidos para y1 e y2 en la resolución de la ecuación de
segundo grado intermedia, pueden darse varios casos:
• Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término
2
independiente (ax = 0), la solución es x = 0 (doble).
2
• Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax + c = 0), las raíces son:
−c
±
a
2
• Cuando es incompleta sin término independiente (ax + bx = 0), tiene dos
raíces:
x1 = 0 ∨ x2 =
−b
a
El valor ∆=b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que
• Si ∆>0 , la ecuación tiene dos raíces reales distintas;
• Si ∆=0 , existe una única solución doble dada por x = -b/2a,
• Si ∆<0 es menor que cero, las son complejas.
4.3 Relación entre las raíces y los coeficientes:
• La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal
cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a.
• El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el
coeficiente principal: x1 . x2 = c/a.
• Si se conocen la suma: s = 2x1 + x2 y el producto: p = x1 . x2 de las raíces de
la ecuación, se tiene que: x - sx + p = 0.
• Conociendo la diferencia d = x1 - x2 y el producto p = x1 . x2 de las raíces,
se deduce que: 2
2
•
•
Cuando y1 > 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene
•
dos soluciones reales y dos complejas.
Si y1 < 0 e y2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus
cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos).
ax + n bx + c = d
Forma general:
Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a la
potencia que resulte conveniente según el índice del radical.
El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en:
- Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada.
- Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de
simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo grado
con una incógnita.
- Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a los
métodos habituales.
- Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución
«falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de
comprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólo
una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución.
− b ± b 2 − 4ac
2a
x ± 4p + d
Si y1 > 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.
4.5. Ecuaciones irracionales
• Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
x=
•
Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse
por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se realiza
una sustitución apropiada. Como por ejemplo:
x4 + 5x2 – 84 = 0
2
4
2
Haciendo: x = z, de donde: x = z
Reemplazando:
z2 + 5z – 84 = 0
x+ p =0
Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar
como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial).
(z + 12)(z – 7) = 0
z + 12 = 0
∨ z–7=0
∨
z = - 12
z=7
x2 = - 12
∨
x2 = 7
4.4 Ecuaciones bicuadradas
Estas ecuaciones tienen como forma general: ax4 + bx2 + c = 0
Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones.
10
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
4.6 Ecuaciones Incompletas:
06. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado, un
estudiante comete un error en el término constante de la ecuación y obtiene
como raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente del
término de primer grado y obtiene como raíces – 9 y – 1. La diferencia entre la
suma y el producto de las raíces de la ecuación correcta es:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Son de la forma ax + bx = 0 ∨ ax + c = 0
Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente forma:
2
2
En: ax2 + bx = 0
En: ax2 + c = 0
 x1 = 0


b
 x 2 = − a

c
± −
a

NIVEL II
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y AUTÓNOMO
01. Sabiendo que “m” y “n” son las raíces de la ecuación: x2 – 8x + C = 0. Calcular
2
2
el valor de: m + n + 2 C
16
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
NIVEL I
01. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces “m”
y “n” si se sabe que:
I.
x2 + (m – 1)x + m – 2 = 0 tiene una sola solución real.
II.
x2 – (n + 1)x + 2n = 0 tiene una raíz igual a 3.
A. x2 + 9x + 18 = 0
C. x2 – 9x – 18 = 0
E. x2 – 6x – 18 = 0
02. De las siguientes ecuaciones:
x2 + x + k = 0 …………. ( 1 )
x2 – 5x + k = 0 ………… ( 2 )
Se sabe que una de las raíces de (2) es el triple de una raíz de la ecuación
(1). El valor de k es:
A. 4
B. – 4
C. 6
D. – 6
E. ± 5
B. x2 – 6x + 18 = 0
D. x2 – 9x + 18 = 0
02. Hallar los valores de “k” para que las raíces de la ecuación: kx2 + x + kx + 2 = 0
sean reales e iguales. Señalar la suma de sus valores.
A. 4
B. 5
C. 6
D. – 2
E. 8
2
2
03. La menor raíz de la ecuación: x + 1 + x = 11 es:
A. 6
B. 8
C. 11
D. 15
E. 2
2
03. Las raíces de la ecuación: x – 4x + 2 = 0, son “a” y “b”. El valor de: a + b es:
04. Determinar el valor de “m” para que las raíces de la ecuación sean opuestas:
8mx2 + 7(m – 1)x + 1 = 0.
A. 1
B. 2
C. – 2
D. – 1
E. 3
A. Un número irracional
B. Es un número racional menor que 1.
C. Es un número imaginario
D. Es un entero positivo
E. Es un número complejo
05. Las raíces de la ecuación: 3x2 + 2x + 2 = kx + k son recíprocas. Cuál es el
valor de la constante “k”?
A. 1
B. – 2
C. 2
D. 0
E. – 1
04. La suma de dos números es dos y su producto – 4. Hallar la suma de sus
recíprocos.
A. ½
B. – ¼
C. ¼
D. –½
E. 1/5
06. Determinar los valores que debe tener “k” en la ecuación: 9x2 + k = 0, para que
las soluciones sean números reales.
A. [0;+∞[
B. [9; +∞ [
C. [3; +∞ [
D. ]- ∞;0]
E. ]- ∞;3]
05. Un postulante y sus amigos compran cierto número de lapiceros por 144
soles. Si cada lapicero hubiera costado 2 soles menos, comprarían uno más.
El número de amigos de postulante es:
A. 12
B. 16
C. 18
D. 7
E. 8
07. Calcular el valor de “k” en la ecuación: x2 + (2k + 5)x + k = 0. Si una raíz
excede a la otra en tres unidades.
A. 2
B. 1
C. -1
D. – 2
E. 3
11
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
08. Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 y sus raíces r1; r2.
Se puede afirmar:
I. Si r1 + r2 r1.r2
b+c=0
II. Si r1 es opuesta de r2
b=0
III. Si r1 = 2r2
2b2 = 9ac
A. Las tres afirmaciones son verdaderas
B. I y II son verdaderas
C. I y III son verdaderas
D. II y III son verdaderas
E. Sólo II es verdadera
09. Se sabe que 2 +
dicha ecuación.
A. x2 – 4x + 1 = 0
B. x2 + 4x + 1 = 0
C. x2 – 4x – 1 = 0
D. x2 – 4x + 2 = 0
E. x2 + 4x – 3 = 0
Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(40-2x)x.
3
3
Convertimos los litros a cm : 5000 cm .
Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: (60-2x)(40-2x)x>5000
Por tanto, el problema se resuelve estudiando esta inecuación.
Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que el
fútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en el
gimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos para
construir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfiles
de al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura y
anchura?
La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecido
esto a los demás:
3 es una raíz de una ecuación cuadrática. Determinar
10. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la
cuerda fuera alargada en 10m, ella podría abarcar cuatro veces el área
original. Entonces la longitud original de la cuerda es:
A. 10/2 m
B. 5m
C. 15m
D. 20m
E. 10m
b
a
Llamó “ a la altura y “ a la base. Como disponemos de 16
metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde:
a = 16-2b y el área del hueco de la hache:
A = ab = b(16-2b)
Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación:
x(16 - 2x) ≥ 20; o bien: x(16 – 2x) – 20 ≥ 0
Importante:
n
I. Si a > b > 0
;
an > bn > 0
a > n b > 0; n ∈ N
II. Si a < b < 0
1) a 2 n > b 2 n > 0
2) a 2 n +1 < b 2b +1 < 0 ; n ∈ N
III. Si a < 0 ∧ b > 0, además: a < x < b → 0 ≤ x 2 < Máx{a 2 ; b 2 }
IV. Propiedad del trinomio positivo:
Sea P(x) = ax2 + bx + c ; P(x) > 0
a>0 ∧ ∆<0
INECUACIÓN
A partir de un rectángulo de cartón de 40
cm de ancho y 60 de largo deseamos
formar una caja recortando cuatro
cuadrados, uno en cada vértice, para su
doblado posterior. ¿Qué valores podemos
dar al lado de los cuatro cuadrados para
que el volumen de la caja sea al menos de
5 litros?
Ejemplos:
1. Cuál es el conjunto solución de: 3x2 + 7x – 6 > 0
Primero hallamos su discriminante: ∆ = 72 – 4(3)(-6) = 121
Como ∆ > 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es factorizable:
Efectuando un análisis algebraico del tema:
Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la caja
medirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x.
(3x – 2)(x + 3) = 0
12
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3
Ubicándolos en la recta real de los números:
Nivel I.
+
-
+
01. Si: 2x – 1 ∈ [4; 11]. Hallar el menor valor que satisface a:
-3
2/3
Rpta.: ]- , 3[ ∪ ]2/3; + [
2.
x+3
≤M
x +1
Resolver: 2x2 – 4x + 13 ≥ 0
∆ = 42 – 4(2)(13) = - 88
Como: ∆ < 0, entonces 2x2 – 4x + 13 es siempre mayor que cero para todo x,
luego la solución es todos los reales.
A. 9/7
A. R
Restando a ambos miembros 1: 1 − 1 > 0
x
x −1
<0
x
0
4.
2
x+3
C. {7/2}
E. R+
D. Ø
05. Hallar la unión de los conjuntos solución de las inecuaciones:
4x2 – 13x + 3 > 0
2x2 – x + 5 < 0
+
+
A. R
B. Ø
C. R
D. R
E. R 0
1
Rpta.: ]0; 1[
(
B. R-{7/2}
2
+
Resolver: x + 3 < x + 1
- Determinamos el dominio: x + 3 0, entonces: x
x +1 > x + 3
( x + 1) 2 >
E. 12/7
04. Hallar el conjunto solución de la inecuación: x – 4/3 x + 4/9 < 0
A. R
B. Ø
C. {2/3}
D. 0
E. Ø’
x=0
+
D. 10/7
03. Determinar el complemento del conjunto solución de la inecuación:
4x2 - 28x + 49 > 0
Resolver: 1 > 1
x
Puntos críticos: x = 1
C. 11/7
02. Hallar la suma de los valores enteros que NO satisfacen a la inecuación:
x2 – x – 20 > 0
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
E. 8
Rpta.: R
3.
B. 5/7
06. Un agricultor quiere levantar una cerca rectangular junto a un río. Va ha usar
120m de material. Cuál es el área más grande que puede cercar? Tener en
cuenta que no habrá cerca en el lado del río.
2
2
2
2
2
A. 2400m
B. 3600m
C. 1400 m
D. 1800m
E. 1600m
-3
)
07. Determinar la suma de los enteros que simultáneamente cumplen las
inecuaciones:
2
x +x–2>0
- Calculamos los puntos críticos: x1 = - 2 ; x2 = 1
- Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional:
Para x = - 2 : - 2 + 1 - − 2 + 3 = - 2 no es raíz de la inecuación.
6x +
5
> 4x + 7
7
A. 30
B. 39
3 x 2 + 75
> 2x 2 − x
2
y
C. 42
D. 49
. 60
Para x = 1 : 1 + 1 - 1+ 3 = 0 si es raíz de la inecuación
08. Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la inecuación:
- Determinamos el signo de la inecuación irracional:
Para: x ∈ [-3; 1[ es ( - )
Para x ∈ ]1 ; + [ es ( + )
1
2
<
?
x + 1 3x − 1
A. ]- ; -1[∪]1/3; 3[
Solución: x ∈ (1; + )
13
B. ]1/3; 3[
C. ]-1; 3]
D. [-1; 1/3]
E. ]- ; + [
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
06. Un carpintero hizo un cierto número de carpetas. Vende 49 y le quedan por
vender más de la mitad. Hace después 9 carpetas y vende 20, quedándole
menos de 41 carpetas que vender. Cuántas carpetas ha hecho sabiendo que
inicialmente fabricó un número par de carpetas.
A. 107
B. 102
C. 100
D. 109
E. 103
09. A un estudiante le dan a vender cierta cantidad de pollitos. Después de vender
35, le quedan todavía un poco más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vende
enseguida 18, con lo que restan aún algo menos de 22. Cuántos pollitos le
dieron a vender?
A. 60
B. 70
C. 71
D. 73
E. 72
10. Resolver: x > - ; x > 5 ;
A. Incompatible
D. 5 < x < +
)
x<
; x > 0,9 ;
B. - < x < +
E. 10 < x < +
)
x < 9,9
07. Si: - 1 < b < a < 0, donde “a” y “b” son números reales.
De las siguientes proposiciones:
I. a2 > b2
II. a2 > b3
III. a3 < b3
Son ciertas:
A. I y II
B. II y III
C. I y III
D. I, II y III
C. 5 < x < 10
08. Resolver la desigualdad: x4 + 96x – 144 < 6x3 + 7x2
A. -4 < x < 3
B. – 4 < x < 4 ; x ≠ 3
C. 3 < x < 4
D. – 3 < x < 3
09. Hallar el menor valor natural de x que satisface a:
Nivel II
01. Si a y b son dos números positivos donde a > b, identificar dónde está el error
en la siguiente secuencia:
a.b > b2
…………………. (1)
ab – a2 > b2 – a2 ………………. (2)
a(b – a) > (a + b) (b – a) …………… (3)
a > a + b ………………….. (4)
0 > b …………………….. (5)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
02. Resolver: 15x2 – 29x – 14 > 0
A. x> 7/3
B. x <7/3
C. x >-2/5
D. x <-2/5
2 x + 3 ≤ 5x −
A. 1
B. 2
A. 1<x<2
C. 3
D. 4
E. 5
10. Hallar el conjunto donde debe estar “m” para que el conjunto solución de:
(2m + 1)x2 – 3mx + (2m + 1) < 0
Sea ]- ; + [
A. R
B. ]-2; + [
C. ]- ; -1/2[
D. ]- ; -2[
E. R
E. R -[-2/5;7/3]
x
+1 > 0
x−2
B. - <x<1
Nivel I:
∧
2<x<+
C. x >1
D. x <2
E. – 3 < x < 4
2
x −1
CLAVE
03. Resolver:
E. sólo II
01 – C
06 – B
E. x >0
04. Cuántas soluciones enteras y positivas tiene la inecuación:
x−4
26
>
x −3
27
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29
E. 30
02 – B
07 – B
03 – C
08 – B
04 – B
09 – C
05 – A
10 – C
02 – E
07 – E
03 – B
08 – B
04 – A
09 – B
05 – D
10 – D
Nivel II:
01 – D
06 – D
05. El cuadrado de la edad de Mary Isabel es 3 mayor que 165. En cambio el
doble de su edad más 3 da un número menor que 30. Cuántos años tiene
Mary Isabel?
A. 20
B. 18
C. 15
D. 13
E. 11
14
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Ejemplos
TEMA 5
A.
FUNCIONES
B. La función definida por f ( x ) = x + 1, tiene como dominio e imagen todos los
números reales R
Intuitivamente la palabra función se refiere a una asignación o correspondencia
de un conjunto a otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y un
conjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que es
su edad en años.
Estudiante
Esteban
Kevin
Isabel
María
Pablo
En la función f ( x) = x 2 , el dominio lo forman los números reales.
C. Con la sucesión de números reales (an)= (-n2+18) (es una función: f(n)=-n2+18)
pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular la
imagen de cualquier número real. No obstante, la propia definición de sucesión
nos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales.
Edad
19
18
21
18
20
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás que
tener en cuenta tres aspectos fundamentales:
1
2
3
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo
de asociación se le llama función.
El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.
Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.
La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero.
Ejemplos
Definición: Para dos conjuntos X e Y una función o aplicación es una
correspondencia matemática denotada f : X → Y que asigna a cada x de X, un
único f(x) de Y .
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
1) f ( x) = 1 x 2 . En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos
2
en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier
número real. Por tanto D o m (f ) = R
En el ejemplo anterior el dominio es {Esteban, Kevin, Isabel, María, Pablo} y el
recorrido es {18,19, 20, 21}. La función se puede ilustrar mediante un diagrama
usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos
conjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto.
2) f ( x) = x − 1 Como el radicando de una raíz de índice par debe ser
positivo, debemos exigir: x – 1 0
x 1 Dom ( f ) = [1;+ )
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el
recorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen
de x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Kevin) = 18, f(Isabel) = 21. También
se conoce la imagen como el valor de la función f en x.
3) f ( x ) = 5 x − 4 Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al
x +1
dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x + 1=0
luego x = - 1. Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos
el -1: Dom(f )= R - {-1}
También “x” es la variable independiente, “y” es llamado variable dependiente.
4) f ( x) = 1 − x 2 Tengo que exigir de nuevo: 1 – x2
D o m ( f )= [ - 1 ; 1 ]
Nota
El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
15
0
1
x2
-1 x 1, luego
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Su dominio Dom(f1 / f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R - {-2}
Ejercicios
Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
1. f ( x ) = x
2. g ( x ) = x − 1
2
2
4. La sucesión f (n ) = n + 3
2
3. m( x ) =
puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.
3x − 1
4.- Sean f(x) = 2x – 1 ; g(x) = x + 3; hallar (f + g)(x) y (f / g)(x)
(f + g)(x) = 3x + 2 ; Dom (f + g) = R
f 
2 x − 1 ; Dom (f / g) = R – {-3}
4 − x2
5. f ( x ) = 4 − x
 (x ) =
x+3
g
5.1 Definición
Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el
punto -3 puesto que la función se anula para dicho punto.
La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación y=f(x)
5.2 Función compuesta.
Operaciones con funciones: Sean la funciones f1 y f2, se define:
Suma de funciones:
(f1 +f2)(x)= f1(x)+f2(x) Dom(f1+f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)
Diferencia de funciones: (f1 -f2)(x)= f1(x)-f2(x) Dom(f1-f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)
Producto de Funciones: (f1.f2)(x)= f1(x).f2(x) Dom(f1.f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)
Cociente de Funciones:  f1 ( x ) = f1 ( x ) Dom(f1/f2)= Dom(f1)∩Dom(f2)-{x / f2(x)= 0}
 f 
f2 (x )
 2
Definición
Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (g o f ) a la función
( g o f ) ( x) = g(f (x) )
Ejemplos
Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta
es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el
dominio de la función g.
Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:
1.- f 1 ( x ) = x 2 + 1 y f 2 ( x ) = - 2x 2 + 4
y s =(f1+f2)(x)= x 2 +1-2 x 2 +4=-x 2 +5 .
Además, Dom(f1+f2 )= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R
2.- f (x ) = x + 1 y
1
Nota
Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta
realizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En este
caso, el dominio de definición de la nueva función sería:
Dom (g o f) = {x ∈ Dom(f) / f(x) ∈ Dom(g)}
− x +1
x −1
x
+
1
− x +1 1
Entonces ( f + f )( x ) =
=
+
1
2
x
x −1 x
x
f 2 (x ) =
Ejemplos
1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en
caso afirmativo calcularla: f(x)=x+1
g(x)=x2+1
Además, Dom(f1+f2)= Dom(f1) ∩ Dom(f2)= R - {0;1}
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función
compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.
Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof) = Dom(f) = R
Además ( g o f )( x ) =g ( f( x ) ) =(f ( x) ) 2 +1 = ( x+ 1) 2 + 1 = x 2 + 2 x+ 1 + 1 = x 2 + 2x +2
3.- Dadas las funciones f1(x)=x+1 y f2 (x)=x+2 calcula (f1.f2 )(x) así como (f1/f2) (x)
con sus dominios respectivos.
 f1 
x +1
 ( x ) =
( f1 ⋅ f 2 )( x ) = (x + 1)( x + 2) = x2 + 3x + 2
x+2
 f2 
16
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
5.3 Definición
Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número
real el propio número. Se representa por I(x).
x + 1 y g ( x) = x 2
x −1
En este caso, Dom(g) = R luego el la función gof existe siendo además
Dom(g o f ) = Dom(f ) = (- , -1] ∪(1;+ )
2.- Estudiar la existencia de gof en el caso: f ( x ) =
5.4 Definición
Una función f se dice inyectiva o función uno a uno, si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma:
f es inyectiva
( ∀x1, x2 talque
f(x1)=f(x2) x1=x2 )
2
 x +1 
x +1
 =
( g o f ) = g ( f ( x)) = ( f ( x)) = 
x
x −1
−
1


3.- Dadas las funciones: f ( x ) = x − 1 y g ( x) = 1 + 3 estudiar la existencia de gof y
x+2
x
de f o g
a) Para g o f
Dom(g) = R - {0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0
entonces no existirá g o f. Veámoslo:
x −1
f ( x) = 0 ↔
= 0 ↔ x −1 = 0 ↔ x =1
x+2
5.5 Definición
Una función f: A B se llama sobreyectiva si todo elemento “y” de B es imagen
de algún elemento “x” del dominio, es decir:
∀y ∈ B, ∃x ∈ A / f ( x ) = y; A, B ⊂ R
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este
caso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al
dominio de f los puntos que verifican que f(x)=0.
Dom(f ) = R - {-2} y Dom(gof ) = R - {-2,1}
Definición
Sea f:A B una función inyectiva, entonces existe la función inversa de f denotada
por f - 1 , donde f - 1 : B A definida por :
f - 1 ( y)= x si y sólo si f ( x)= y
b) Para f o g
Dom(f ) = R - {-2}.
Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
1
1
1
g ( x) = −2 ↔ + 3 = −2 ↔ = −5 ↔ x = −
x
x
5
Ejemplos
Por ejemplo, f: R
R / f (x)=x2 no es inyectiva ni sobreyectiva.
h: R
R , h(x)= x3 es inyectiva y sobreyectiva.
f : [0;+∞)
R talque : f(x) = x2 es inyectiva.
1.- Calcular, si es posible la función inversa de
x−2
x +1
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante
construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los
puntos que verifican que g(x) = -2.
Dom(g) = R - {0} y Dom(gof ) = R - {-1/5,0}
4.- Sean: f:R R / f(x) = x2 y g: R
Para gof
f ( x) =
x1 − 2 x2 − 2
→ ( x1 − 2)( x 2 + 1) = ( x2 − 2)( x1 + 1) →
=
x1 + 1 x2 + 1
→ x1 x 2 + x1 − 2 x 2 − 2 = x1 x 2 + x2 − 2 x1 − 2 →
3 x1 = 3 x2 → x1 = x 2
f ( x1 ) = f ( x 2 ) →
R / g(x)=x+2,
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1.
Calculémosla:
x −2
⇒ y ( x + 1) = x − 2 ⇒
x +1
− y−2
− x−2
x=
⇒ f −1(x ) =
y −1
x −1
y=
Img (f )⊂Dom(g) (gof)(x)=g[f (x)]
(gof)(x)=g[f(x)]=g(x2)=x2+2
Para fog
Img (g)⊂Dom(f ) (fog)(x)=f [g(x)]
(fog)(x)=f[g(x)]=f(x+2)=(x+2)2
17
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
EJEMPLO
En la función: y=x2-4x+3
Como a=1>0, entonces la parábola se abre hacia
arriba y la abscisa del vértice es (-(-4)/2(1))=2 y f(2)=-1
así el vértice es el punto (2,-1), y su gráfica es:
5.6 FUNCIONES ELEMENTALES
5.6.1.LA FUNCIÓN LINEAL
Tiene por ecuación: y=ax, con “a” se llama pendiente y, cuanto mayor sea mayor
es la inclinación de la recta que la representa.
5.6.1.1 Características:
5
-Su dominio es Dom(y)= R
4
-Es una función impar (simétrica con relación al
3
origen de coordenadas).
2
Corta al eje X y al eje Y sólo en el punto (0, 0).
1
-Crece si a>0 y decrece si a<0.
0
-Su gráfica es una recta que pasa por el origen
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
de coordenadas
-2
EJEMPLO
-3
La gráfica de y=-2x es:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5.6.3 LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
-4
Su ecuación es: y =
-5
k
x
k
0;
Su gráfica es una hipérbola que tiene como asíntotas a los ejes coordenados.
Características
-El dominio es: Dom(y)= R -{0}
-La función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0.
-No corta a los ejes de coordenados.
-Es una función impar y simétrica con relación al origen de coordenadas.
5.6.2 LA FUNCIÓN AFÍN
Su ecuación es: y=mx+b
“m” es la pendiente. “b” es la ordenada al origen y representa la distancia desde
el punto donde la gráfica corta el eje Y hasta el
origen de coordenadas.
Características:
-Su dominio es Dom(y)= R
-Es continua.
-Corta el eje Y en (0, b) y al eje X en (-b/m, 0).
7
6
5
4
3
EJEMPLO
2
La tabla de valores de la función y = − 8 es:
1
0
-3
-2
-1
-1 0
1
2
3
x
-2
EJEMPLO
La gráfica de: y=4x-2 es:
-3
-4
x
8
4
2
1
-1
-2
-4
-8
-5
-6
-7
-8
-9
-10
- 11
5.6.3. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Tiene por ecuación general: f (x)= ax2+bx+c con a 0 y su gráfica es una parábola.
Características:
Vértice situado en  − b , f  − b   .
 2a
2a 


5
-1
-2

y
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
9
8
7
Y su gráfica es:
6
5
4
3
2
1
0
- 9 - 8 - 7 - 6 -5 -4 - 3 - 2 --11 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-El domino es Dom(y)= R
-Es continua. Corta al eje Y en (0, c).
-Si a>0, la parábola se abre hacia arriba y si a<0, la parábola se abre hacia abajo
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
5.6.7.APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Estas dos últimas forman un sistema de ecuaciones (una vez sustituido el valor de
c dado por la 1ª) que resuelto da:
4a + 2b = −4 
 → 8a = −8 →
4a − 2b = −4 
2
Y la ecuación es: y = -x +4
Ejemplo 1:
Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos cuyas
coordenadas son (-1, 3) y (4, 7).
Sabemos que una función afín es de la forma:
a = −1
∧
b=0
y=mx+n
Sustituyendo x e y por los valores de las coordenadas de los dos puntos dados se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicios y problemas
− m + n = 3

4m + n = 7 
01. Hallar el complemento del dominio de la función:
Restando miembro a miembro nos da:
Y, sustituyendo en la 1ª:
Y la función pedida es:
f ( x) =
4
− 5m = −4 → m =
5
4
19
− +n =3→n=
5
5
4
19
y= x+
5
5
A. {1; -1}
y=0,4x+4
Si hacemos x=120 minutos.
y=0,4*120+4=52
Si hemos pagado 35, habremos hablado:
35=0,4x+4
C. [-1; 1]
D. R – {1; -1}
02. Hallar la suma de los elementos del complemento del dominio de la función:
f ( x) =
A. 2
Ejemplo 2:
La compañía telefónica nos cobra mensualmente, 4 por alquiler de la línea y 40
céntimos de euro por cada minuto hablado. Escribe la ecuación de la función que
nos da el gasto en relación de los minutos hablados.¿Cuánto habrá que pagar si
hemos hablado 2 horas? ¿Cuántos minutos hemos hablado si hemos pagado 35?
La ecuación de la función es:
B. ]1; - 1[
1
x 2 −1
B. 1
x3
2( x 2 − 4)
C. -2
D. 0
E. – 1
03. Determinar la suma de los números enteros que pertenecen al complemento
del dominio de la función:
f ( x) = x 2 − 4
A. -2
B. 4
C. – 1
D. 0
04. Sea F una función constante, tal que:
F ( n − 1) + F (n + 1)
=5
F ( 2 n) − 3
Calcular: F(n2 – 1) + F(n3 – 1)
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
x=77,5
Es decir, 1 hora, 17 minutos y 30 segundos.
05. Sean “g” y “h” dos funciones definidas en Q por:
g(x) = ax – 1 ; h(x) = 3x + b tales que:
g(1) = h(-1) ; g(-1) = h(1)
Entonces: g(2) + h(3) es igual a:
A. – 2
B. – 1
C. 0
D. 1
Ejemplo 3:
¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 4), (2, 0) y (-2, 0)?
2
La ecuación general será: y=ax +bx+c
E. -4
E. 12
E. 2
06. Encontrar la suma de los elementos del rango de F/G, sabiendo que:
F = {(3; 4), (2; 9), (-3; 0), (1; 6)}
G = {(0; 7), (-3; 1), (2; -3), (3; -2)}
A. -5
B. 0
C. – 105
D. 15
E. – 15
Para cada uno de los puntos dados obtenemos
c=4
4a+2b+c=0
4a-2b+c=0
19
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
14. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2, un perro que recorre la recta:
y = x la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde la captura, si sus
coordenadas son positivas.
07. Para: h( x ) = 1 − x y g ( x) = − x 2 + 4
Hallar gοh. Señale su dominio.
A. ]-3; 1[
B. [-2; 1]
C. ]-3; 1]
D. [-3; 1]
E. ]- ; 1]
A. (2; 3)
08. Marcar verdadero (V) o falso (F) sustentando sus afirmaciones:
(
) {(x;y) ∈ R2 / y = x2 – 3x + 5 } es inyectiva
(
(
) {(x;y)
∈ R2 /
) {(x;y)
∈R
A. VFV
2
y=
CLAVE
01 – A
09 – C
3
/ y = 1998 – x – 5x} es inyectiva
C. FFV
D. FFF
E. FVV
B. II y III
C. I y II
10. La siguiente función: h(x) = x3 + 2 es:
A. sólo inyectiva
B. sólo suryectiva
D. inyectiva y antisimétrica
E. Ninguna
B. (0;1/4)
C. (4;0)
B. 10,5m
C. 8,5m
D. I
E. Todas
C. biyectiva
B. (12; 8)
C. (16; 5)
03 – D
11 – C
04 – D
12 – B
05 – D
13 – D
06 – A
14 – C
07 – B
15 – E
08 – D
D. (0,0)
E. (-1/4, 0)
D. 14,5
D. (19; 4)
f ( x) =
a) f ( x) =
2x2 − 3
x+2
b)
f ( x) =
2x 2 − 3
x2 +1
d)
c)
f ( x) =
f ( x) =
2x 2 − 3
x2 −1
2x 2 − 3
x 2 + 2x + 1
03. Calcular el dominio de las funciones radicales:
a)
f ( x) =
x−2
c ) f ( x) = x 2 + 4 x + 4
e ) f ( x) =
x −2
x−5
b)
f ( x) = x 2 − 6 x + 8
d ) f ( x) = x − 5
x−2
04. Calcular las funciones inversas de:
a) f ( x ) = 2 x + 1
E. 6,5m
b)
2x − 3
c ) f ( x) =
4
05. Dadas las funciones:
13. Un cañón situado en el punto (0;3) dispara una bala con una trayectoria:
y2 = x – 3. Si un avión viaja por la recta y = 4 y la bala lo destruye. Hallar el
punto sobre el que fue el impacto.
A. (20; 6)
02 – D
10 – C
2x 2 − 3
5
02. Calcular el dominio de las funciones racionales:
b)
12. Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que
sobre ni falte nada.
Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados
Representa gráficamente la expresión anterior.
¿Cuál es el dominio de definición?
¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima?
Un lado del área máxima es:
A. 12,5m
E. (2; 2)
01. Calcular el dominio de las funciones:
a) f(x) = x2 – 7x + 12
1
11. Señala el vértice de la función: y = x 2 − 2 x + 4
4
A. (0;4)
D. (3; 3)
Ejercicios complementarios:
09. Cuáles de las siguientes funciones son suryectivas?
I. f(x) = 3x + 6
II. g ( x ) = 4 x − 5
III. h(x) = 3x2 + 4
A. I y III
C. (1; 1)
15. Hallar el área del triángulo que forma la gráfica de f(x) = 6 y g ( x ) = x − 1
2
2
2
2
2
A. 25u
B. 16u
C. 64u
D. 49u
E. 36u
6x − 5
} no es inyectiva
2 x −1
B. VVV
B. (2; 6)
f ( x) = x 2
1
2x −1
Calcular: g o f , f o g y h o f o g
E. (18; 6)
20
f ( x) =
g ( x) =
2x −1
2x +1
h( x) =
1
x
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
6.2. Función Logarítmica.- Si b > 0 y b ≠ 1 entonces la función f ( x ) = logb x se
llama función logaritmo de base b cuyo Dom ( f ) = ]0,+∞[ , Rang ( f ) = R.
TEMA 6
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
6.1. Función Exponencial.- Una función exponencial de base a es aquella cuya
regla de correspondencia es f ( x) = a x ; con a real positivo y a ≠ 1. Donde
el Dom ( f ) = R , Rang ( f ) = ]0 , +∞ [.
y=ax
0<a<1
Y
Y
y=ax
1<a
6.2.1 Ecuaciones de Logaritmos: log b x = N
(0,1)
(0,1)
X
X
a.
b.
blog b x = x
log b 1 = 0
c.
logb b = 1
log b xy = log b x + log b y
x
log b = log b x − log b y
y
logb xn = n logb x
1
log b n x = log b x
n
m
m
logbn x = logb x
n
log b x = log 1 1x
d.
e.
f.
g.
6.1.1 Ecuaciones e Inecuaciones Exponenciales
a. Si b f ( x) = b g ( x) ⇔ f (x) = g(x).
b.
c.
d.
e.
f.
Si
Si
Si
Si
Si
f (x)a = g(x)a ⇔ f (x) = g(x).
h.
b f ( x) < b g ( x) ↔ f ( x) < g( x) cuando b > 1.
b f ( x) > b g( x) ↔ f (x) > g( x) cuando b > 1.
b f ( x) < b g ( x) ↔ f ( x) > g( x) cuando 0 < b < 1.
b f ( x) > b g( x) ↔ f (x) < g( x) cuando 0 < b < 1.
i.
b
j.
k.
l.
m.
⇔
x = b N para 0 < b ≠ 1.
log b x =
log a x
log a b
x = y sí y solamente sí
log b x = log b y
y logb x = x logb y
logb x. log x b = 1 de aquí
log b x =
1
log x b
n.
log x y. log y z. log z w = log x w
o.
colog b x = − log b x
p.
anti log b x = b x
6.2.2 Inecuaciones de Logaritmos
0 < b <1
log b x > log b y → x < y
21
b >1
log b x > log b y → x > y
Siendo
Siendo
log b x < log b y → x > y
log b x < log b y → x < y
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
6.3.
Consecuencias
5.-
Función Exponencial base (e)
Y
f ( x ) = a x . Calcular
f ( 3 ) + f (1)
Función logaritmo de base 10
Y
Dom( f ) = ]0;+∞[
y=ex
Dom( f ) = R
Rang ( f ) = ]0;+∞[
En la figura se muestra la función exponencial
a) 128
Rang ( f ) = R
b) 260
y=log x
c) 512
d) 520
(0,1)
e) 4096
X
Observación. Se cumple que:
X
(1,0)
6.- Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) en:
log e x = ln x
I.
⇒ ln( 3 − 2 x ) = 0
III. Si f ( x ) = a x ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) f ( y )
IV. El rango de la función y = log 5 x es ]0 , ∞ [
V. Si log 2 x = log 2 + log 3 + 1 ⇒ x = 3
1.- La suma de las soluciones de la ecuación:
log 6 ( x 2 + 9 x + 12) = 1 + log 6 (3x − 1) ;
a)
Si x = 1 ⇒ ln | 1 − 2 x |= 0
II. Si x = 2
NIVEL I
9
b) 18
es:
c) -3
d) -9
e)
a) FFFVF
3
2.- Se define la operación ∆ del modo siguiente:
 log a b ;
a∆ b = 
 colog b a ;
a) -1
si
si
b)
1
a >b
a<b
c) -2
3.- Calcular R = 1 − colog 2 [ antilog
a) 7
b) 8
Hallar x =
4
2
b)
3
e)
d) 10
4.- Hallar el valor de x en: log( 2 x − 1) n + log( x − 1)10
a) -3/2, 3
f ( x) = a x , 1 < a < 2
III f ( x ) = a x , 0 . 5 < a < 1
IV f ( x ) = a x , 0 < a < 0 . 5
II
0
(log 5 625 )]
c) 9
c) n, -3
d) n, 1
c) VFVVF
d) VVVFF
e) VFVFF
7.- Relacione las funciones A, B, C y D dadas en el gráfico con las funciones I, II,
III y IV
I
f ( x) = a x , a > 2
2∆3
3∆ 2
d)
b) FFFVV
a)
b)
c)
d)
e)
e) 12
log n
=n
e) -3/2
22
I-C, II-D, III-A
I-D, II-C, III-B
I-D, II-C, III-A
I-C, II-D, III-B
I-A, II-B, III-C
y
y
y
y
y
IV-B
IV-A
IV-B
IV-A
IV-D
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
8.- Indique la secuencia de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes problemas.
I. Si log a
II.
3
2.-
= 6 entonces log a a = 3
xk =
Si
k +1
k
calcular log b x1 + log b x 2 + log b x 3 + ... + log
x 99
donde
La solución de la inecuación log 2 ( 3 a − 1) − log 2 ( 4 a − 2 ) < 1 es:
b = 104 / 7
1
, +∞
2
a) 3
b) 2
3.- Determinar
III. La solución de la inecuación
c) 3.5
x
1
, +∞
2
IV. La relación entre a y b de la ecuación log 3n a = 1 es: a + b = 0
b
3
de
tal
d) 4
manera
que
e) 2.5
los
están en progresión aritmética.
a) 1/45
c) 1/30
x
b) 45
log x ;
números
log( 2 − 1); log( 2 + 1)
x
log 1 / 3 ( a + 1) + log 1 / 3 ( 2 a − 1) < log 1 / 3 a es:
b
d) 1/15
e) 2/45
n
a) VVVF
b) VVFF
c) FFFF
d) FVFV
4.- Resolver − 2 | x +1| + 4 | x +1| ≤ 56
e) VFVF
9.- Hallar el valor de ‘x’ en: 3 x +1 + 9 x = 180
a) 1 + log 3 4
10. Siendo
b) log 4
N = 2 20 × 3 30
a) [ 2; 4 ]
c) 1 + log 4
d)
log 3 4
e) 1 + log 3 5
¿Cuántas cifras enteras tiene
N
?
5.-
Si
a) 20
b) 19
c) 21
II.
d) 30
e) 15
1.- Si x; y y z son números positivos tales que log 3 x = R , log 3 y
d) [− 2 ;3]
e) [ 0 ;3]
f ( x) = log 2 x es decreciente en el intervalo < 1,5 >
El dominio de la función f ( x) = log( 2 − x) es < −∞,1]
La función
IV.
f ( x) = ln( x + 5) entonces e f ( x ) − x = 5
El rango de y = log1 / 2 4 es {-2}
V.
f ( x) = log c x
III. Si
NIVEL II
2
c) [− 2; 4 ]
A propósito de las funciones logarítmicas, cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales son falsas.
I.
log 2 = 0 . 3010 y log 3 = 0 . 4771
b) [− 4; 2 ]
2
=L y
es una función logarítmica, si
x ∈ R+
y si
c
es un
número real positivo diferente de 1.
log 3 z 2 = D entonces el valor de: 40 log 9 10 x es:
y.z
La secuencia correcta es:
a) VVFFF
b) VFFFV
6.- Hallar el conjunto solución de:
a) R − L − D
a) φ
b) R + L + D
c) − R + L + D
b) {1,2}
d) 2 ( R − L − D )
c) R
d) <1,2>
e) 2 ( R + L + D )
e) {1}
23
c) VFVFV
log 3 ( 4
x −1
d) FVFVV
e) FFVVV
+ 5 ) < 1 + log 3 ( 2 x −1 + 1) .
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
7.- La inversa de la función: f ( x) = log 2 ( x + x 2 + 1), es:
[
]
[
[
]
[
]
b) f −1 ( x) = 1 2 x − 2 − x
a) f −1 ( x ) = 1 2 x − 1
2
c) f −1 ( x) = 1 2 x + 2 − x
2
e) f −1 ( x ) = 1 [2 2 x − 1]
TEMA 7
2
]
d) f −1 ( x) = 1 22 x + 2− x
2
FUNCIÓN POLINÓMICA
Una función polinómica tiene la forma:
f ( x ) = a n x n + a n x n + a n − 1 x n − 1 + L + a 2 x 2 + a1 x + a 0 ; a n ≠ 0
2
8.- Determine el dominio de la función inversa
R − [ 0 ,1]
a)
R − < 0 ,1 >
b)
c)
y=
[ 0 ,1]
x
4
.
4 +3
x
y diremos que tiene grado “n”, o sea el mayor exponente al cual se halle elevada x.
d) < 0,1 >
e)
R
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números
reales. Son funciones continuas, tienen tantas raíces como indica su grado. En
ocasiones una misma raíz se repite (orden de multiplicidad).
9.- Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la función
y=
 3 − 2x  .
log 1 / 2 

 1− x 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
La función será llamada incompleta si alguno de los ai es igual a cero.
7.1 Componentes de un polinomio:
Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio y
que vienen precedidos por un signo + ó -.
Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada en
ese término (Factor numérico del mismo).
Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable,
solamente posee coeficiente.
En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a
cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a
toda la expresión).
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
e) 4
10.- Hallar el dominio de la función compuesta ( f o g ) donde:
f ( x ) = e x Definido para x ≤ 0
g ( x ) = ln( x 2 + 2 x − 3)
a) R
+
b) < −∞ , − 3 > ∪ < 1, +∞ >
c) < −∞ , − 3 > ∪[ −
d)
7.2 Grado Relativo de un monomio:
El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta a
cada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia).
8x3 y5
5 + 1, − 1]∪ < 1, +∞ >
[1, 5 − 1]
e) < −
GR(x) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra “x” es 3)
GR(y) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra “y” es 5)
5 − 1, 5 − 1 >
7.3 Grado Absoluto de un monomio:
El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una
de las letras.
8x3 y5
Clave de respuestas
N-I
N-II
1-a
1-a
2-a
2-c
3-c
3-a
4-b
4-b
5-d
5-e
6-e
6-d
7-a
7-b
8-a
8-d
9-c
9-c
10-e
10-d
24
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Grado absoluto = Grado de homogeneidad
GA = 3 +5 = 8 (el Grado Absoluto es 8)
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier
suma de monomios no semejantes.
7.8.2.- Polinomio Heterogéneo: Son aquellos cuyos términos monomios tiene
diferente grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo).
7.8.3.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letra
es cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, al
más bajo.
Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de la
variable, a partir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completa
agregándole con coeficiente nulo los términos faltantes.
7.8.4.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen están
escritos en forma creciente o decreciente según sus grados.
Es aquel que con respecto a la letra llamada ordenatriz, los exponentes van
de menor a mayor o viceversa.
7.8.5.- Polinomio Mónico: Si su coeficiente principal es 1. (El coeficiente de su
mayor término es 1)
7.8.6.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo
grado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes.
7.8.7.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos.
P(x) es equivalente a "0"
7.4 Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.
• El término de primer grado se llama término lineal.
• El término de grado cero se denomina término independiente.
7.5 Grado Relativo de un polinomio:
El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendo
en cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión
algebraica.
El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente de
dicha letra o variable.
Ejemplo:
- 9 x4 y3 + 14 x6 y5
• GR(x) = 6 (Grado relativo con respecto a la letra “x” es 6)
• GR(y) = 5 (Grado relativo con respecto a la letra “y” es 5)
• Los grados relativos no son necesariamente del mismo término.
7.6 Grado Absoluto de un polinomio:
El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cada
una de las letras pero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de los
resultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de los
términos y se suma los exponentes).
9 x4 y3 + 14 x6 y5
Primer término= 4+3 sumados dan 7.
Segundo término= 6+5 sumados dan 11.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
7.9 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2.
La gráfica de una función polinómica de primer grado es una línea recta y la de
una función polinómica de segundo grado es una parábola vertical.
Indudablemente, un elemento clave en el dibujo de la gráfica de una función
polinómica lo constituye la obtención de los interceptos con los ejes; en particular,
los interceptos con el eje X. Para obtener éstos últimos debemos resolver la
ecuación polinómica correspondiente, recurriendo a los métodos: teorema del
factor y la división sintética. Por ejemplo:
• La función f(x) = x3 + 6x2 + 10x + 8 = (x + 4)(x2 + 2x + 2) tiene un intercepto
con el eje X en x = - 4 y un intercepto con el eje Y en (0, 8)
• La función f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3)
f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3)
tiene cuatro interceptos con el eje X: en x = -3, x = - ½, x = 1 y x = 3, y un
intercepto con el eje Y: (0; 9)
• La función f(x) = 4x6 – 24x5 + 45x4 – 13x3 – 42x2 + 36x – 8
f(x) = (x + 1)(2x – 1)2 (x – 2)3 tiene tres interceptos con el eje X en x = -1,
x = ½ y x = 2, y un intercepto con el eje Y en (0; -8)
• La función f(x) = 3x5 – 19x4 + 16x3 + 70x2 – 100x + 48
f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 4)(3x2 – 4x + 2) tiene tres interceptos con el eje X en
x = -2, x = 3 y x = 4, y tiene un intercepto con el eje Y en (0; 48)
7.7 Grado de las operaciones algebraicas:
El grado de una operación algebraica se determina después de realizar
operaciones indicadas:
• Grado de un producto: Se suman los grados de los factores.
• Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado
del divisor.
• Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado
por la potencia.
• Grado de una raíz: Está dado por la división del grado del radicando
entre el índice de la raíz.
7.8 Polinomios especiales:
7.8.1.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tienen
igual grado. (Al restarlos obtenemos un polinomio nulo).
25
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
1) Efectuar la siguiente multiplicación: (3x3 – 5x2 + 6x – 8) (4x2 – 5)
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
= 12x5 – 15x3 – 20x4 + 25x2 + 24x3 – 30x – 32x2 + 40
Se suman los monomios del mismo grado: 12x5 - 20x4 + 9x3 – 7x2 – 30x + 40
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
x5
− x5
0x 4
2x 4
+ 2x3
− x3
+
0x 2
−
x
−
2x 4
+
x3
+
0x 2
−
x
− 8
+
3
−
2x
2
5x 3
−
2x 2
−
x
− 8
− 2x
4
x5
− x5
x2 − 2 x + 1
+
+
0x 4
2x 4
2x 4
− 2x
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
x
+ 0x
+ 2x
− x5 + 2 x 4 −
2x4 +
+ 0x
3
x3
x3
2
− x − 8 x
2
+ 0x 4
+ 2x 4
− 2x + 1
x3
2x 4
− 2x
4
+ 0x 2
−
x − 8 x2
x3
+
+ 0x 2
−
x − 8
− 2x
− 2x2
− x − 8
x3
+ 4x
5x 3
3
+ 1
+ 5x
− 5x
2
− 8
0x 2
−
x
+
0x 2
−
x
8 x2
x3
− 8
3
−
−
2
−
x
− 8
3
+ 10x
8x 2
− 5x
− 6x
− 8
4x
5x3
− 2x
+ 2x 2
2x
2x 2
2
2
−
− 2x
+ 2x 2
1
+
+ 5x + 8
+ 16 x − 8
10 x − 16
Así, 10 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto
no se puede continuar dividiendo. El cociente de la división es x3+2x2 +5x+8.
+ 0x2 − x − 8
+ 2x3
− x3
+
8 x2
x3
+
− 8x
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
x5
− x5
4
+ 2x 3
− x3
+
x3
− 5x
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
4
+ 10 x
3
8x 2 − 6x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo
colocamos ceros en los lugares que correspondan.
5
4x
− 5x
2) Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 x - 8
Q(x) = x2 2 x + 1
P(x) : Q(x)
x 5 + 0 x 4 + 2 x3 + 0 x 2 − x − 8
+
+
− 2x
+ 2x 2
+ 1
2
26
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
PRODUCTOS NOTABLES:
Ejercicios resueltos:
Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicación simplifica la
obtención del resultado.
1. Sea el binomio: E(x,y) = axa+2 y3 + 2x5y3 – 3xb-5 y2 + bx3y2
Calcular: a . b
Los productos notables más importantes son:
Resolución: Por ser un binomio:
axa+2 y3 ; 2x5 y3 son semejantes
- 3xb-5 y2 ; bx3 y2 son semejantes
Binomio de Suma al Cuadrado
Luego: a + 2 = 5
b–5=3
a=3
b=8
Entonces: a.b = (3)(8) = 24
2.
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
Binomio Suma al Cubo
3
4.
3
2
x +1
= 3 de donde: x = 2
x −1
2
3
Binomio Diferencia al Cubo
( a - b )3 = a3 -b3-3ab(a-b)
Si: f(x) = 3x + 2 ∧ P(x) = 2 f(x) + x + 1
Calcular: H = f(4) + P(1)
Resolución: f(4) = 3(4) + 2 = 14
P(1) = 2 f(1) + 1 + 1
= 2[3(1) + 2] + 2
= 12
Entonces: H = 14 + 12 = 26
Trinomio Suma al Cuadrado ó
Cuadrado de un Trinomio
(a+b +c) 2= a2 + b2 + c2+2ab+2bc+ 2ac
= a2+ b2+c2 +2 ( ab+bc+ ac)
Trinomio Suma al Cubo
(a+b+c) 3=a3+b3 +c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
( a+b ) = a + 3 a b + 3 ab + b
3
3
= a + b + 3 ab (a +b)
Luego: P(3) = 22001 – 22.21999 + 3(2) – 1
=5
3.
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Binomio Diferencia al Cuadrado
 x + 1  2001
Si: P
– 4x1999 + 3x – 1
= x
 x −1 
Calcular: P(3)
Resolución:
Diferencia de Cubos
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Suma de dos Cubos
a3 + b3 = (a + b )( a2 – ab + b2)
Identidades de Legendre
( a+b)2 +(a – b)2= 2a2+2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 - ( a – b)2 = 4 ab
Producto de dos binomios que
tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
COCIENTES NOTABLES
Caso I :
an − bn
= a n −1 + a n −2 b + a n −3b 2 + ........ + b n −1 para todo “n” par o impar.
a−b
Dado el polinomio:
P(x) = 4x5 – 6x4 + 12x2 – 18. Determinar el coeficiente de x5 de otro polinomio
que al restar de P(x) resulte – 2x5.
Caso II:
a n + bn
= a n−1 − a n −2 b + a n −3b 2 − ........ + b n −1 únicamente si “n “ es impar
a+b
Resolución: El polinomio sustraendo será de la forma:
S(x) = ax5 – 6x4 + 12x2 – 18
De donde: P(x) – S(x) = (4 – a)x5
4– a=- 2
-a=-6
a=6
Caso III:
an − bn
= a n−1 − a n − 2 b + a n −3 b 2 − ........ − b n −1 únicamente si “n” es par
a+b
27
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
denominador del cociente notable y “n” es el exponente común al cual están
elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que
aparece en el numerador.
Ejemplos:
7
7
1. x + y = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − x 1 y 5 + y 6
x+ y
m
p
6° Para que una expresión de la forma: x ± y
n
q
x ±y
Sea desarrollado como cociente notable debe cumplirse que : m/n = p/q
32 x 5 + 243 y 5
= (2 x ) 4 (3 y ) 0 − ( 2 x) 3 (3 y )1 + ( 2 x ) 2 (3 y ) 2 − ( 2 x)1 (3 y ) 3 + (2 x ) 0 (3 y ) 4
x+ y
2.
32 x 5 + 243 y 5
= 16 x 4 − 24 x 3 y + 36 x 2 y 2 − 54 xy 3 + 81y 4
x+ y
FACTORIZACIÓN
CASOS:
5
5
3. x − y = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4
x− y
I. Factor común monomio:
Factorizar: 8x2 y3 - 10ax3 , y4 + 6bx4 y5
FCM : 2x2 y3
128x 7 − m 5
= (2 x ) 6 ( m ) 0 + ( 2 x ) 5 ( m )1 + ( 2 x ) 4 ( m ) 2 + ( 2 x ) 3 ( m ) 3 + ( 2 x ) 2 ( m ) 4
4. 2 x − m
+ (2 x ) 1 ( m ) 5 + ( 2 x ) 0 ( m ) 6
Entonces: 2x2 y3 (4 – 5axy + 3bx2 y2 )
II. Factor común polinomio:
Descomponer: 3x(x – y + 2z) – x + y – 2z
Agrupando convenientemente: 3x(x – y + 2z) – (x – y + 2z)
128x − m
= 64 x 6 + 32 x 5 m + 16 x 4 m 2 + 8 x 3 m 3 + 4 x 2 m 4 + 2 xm 5 + m 6
2x − m
7
5
FCP: (x – y + 2z)
(x – y + 2z) (3x – 1)
PROPIEDADES DE LOS COCIENTES NOTABLES
n
n
Para hallar los términos de un cociente notable: x ± y
x± y
1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1)
hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentando
de uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive.
III. Por identidades:
Descomponer en factores:
1)16x4 y6 – 81a6 z4
(4x2 y3)2 – (9a3 z2)2
(4x2 y3 + 9a3 z2 )( 4x2 y3 - 9a3 z2 )
2° El desarrollo tiene “n” términos.
2) 4x2 – 12xy + 9y2
(2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
(2x – 3y)2
3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma
“x-y” los signos de los términos del desarrollo serán positivos.
4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma
“x+y” los signos del desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.
3) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar
usando la fórmula:
Tk = ± xn-k yk-1
-En donde: “k” es el lugar del término que se pide, “x”, representa el 1°
término del denominador del cociente notable, “y” representa el 2° término del
4) x2 – 8x – 345 = (x – 23)(x + 15)
5) 2x3 - x2y2 + 2 xy - y3 = ( x2 + y )( 2x - y2 )
28
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
6) 15x4 – 2x2 y – 77 y2
3x
2
VII. Doble aspa especial:
3x4 - 8x3 + 3x2 + 22x - 24
- 7y
x2
5x2
3x2
2
(3x – 7y)(5x + 11y)
IV. Por agrupación de términos:
Descomponer:
1) x3 – 2x2 – x + 2
(x3 – 2x2) – (x – 2)
x2 (x – 2) – ( x – 2)
(x – 2) (x2 – 1)
(x – 2) (x + 1)( x – 1)
3x2
1
5
1
VI. Doble aspa:
4x2 + 4 xy - 15 y2
x
-6
- 8x
22x
Rp.: (x2 – 3x + 4)(3x2 + x – 6)
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA
Dado P(x) un polinomio real de grado “n”, se denomina ecuación polinómica de
grado “n” con coeficientes reales de la forma: P(x) = 0
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0;
V. Por evaluación( Rufini):
x3 – x2 – 41x + 105
1 − 1 − 41 105
6
− 105
0
− 35
35
0
= - 6x2
6x2
3
x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 4
(x2 + 2xy + y2) – (3x + 3y) – 4
(x + y)2 – 3 (x + y) – 4
(x + y – 4) ( x + 1)
3
2
5
7
-6
Falta: 3x2 – 6x2 = - 3x2 = - 3x ( x)
Entonces:
x2
- 3x
4
7) 27x3 – 108x3 y + 144 xy2 – 64y3
(3x)3 – 3(3x)2 (4y) + 3(3x)(4y)2 – (4y)3
(3x – 4y)3
3
= 12 x2
11y
2
2)
4
an 0
Ejemplo: 3x5 – 8x4 + 6x2 – x + 1 = 0
Si para x = a, P(a) = 0
“a” es una raíz de la ecuación.
Ejemplo:
2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 0
Para : x = - 3
2(-3)3 – 5(-3)2 – 28(-3) + 15 = 0
Entonces – 3 es una raíz de la ecuación.
Rp.: (x – 3)(x – 5)(x + 7)
- 8 x + 76 y - 96
2x
- 3y
8
2x
5y
- 12
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Toda ecuación polinómica de grado n ≥ 1, con coeficientes reales, tiene “n” raíces
reales o complejas.
Rpta.: (2x – 3y + 8)(2x + 5y – 12)
29
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Ejemplo: Resolver: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0
NÚMEROS COMPLEJOS
z = {(a;b)/ a ∈ R ∧ b ∈ R}
Donde: a = parte real de z
b = parte imaginaria de z
Re(z) = a
Im(z) = b
(x – 2)(x2 + 4) = 0
x – 2 = 0 ∨ x2 + 4 = 0
x =2 ∨ x= ± −4
x = ± 2i
Conjunto Solución = {2; 2i; – 2i}
FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO
TEOREMA DEL RESIDUO
Sea la división: P( x ) ; el resto es: R(x) = P(– a)
x+a
Ejemplo: Hallar el resto de:
(3x4 – 2x3 – 9x2 + 8x – 12) : (x – 2)
-
Forma binómico: z = a + bi
Forma polar o trigonométrica: z = r(cos θ+ i senθ) = r cis θ
-
Forma exponencial: z = reiθ,
En estas formas: i =
Resto: P(2) = 3(2)4 – 2(2)3 – 9(2)2 + 8(2) – 12
R(x) = 0
r = a 2 + b 2 tan θ =
−1
Potencias de i : i1 = i
i2 = - 1
Cuando el resto es cero, entonces (x + a) es un factor de P(x). En este caso (x – 2)
es factor del polinomio P(x)
En general: im4 = 1
RAÍCES REALES
Aplicando la regla de Ruffini se determina un número real “a”.
Ejemplos: i279 = im4+3 = i3 = - i
i1862 = im4+2 = i2 = - 1
Ejemplo: Resolver: x4 + x3 – 8x2 – 2x + 12 = 0
Divisores de 12 : { ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12} posibles raíces racionales
De los cuales 2, –3 son raíces racionales y ± 2 son raíces irracionales
También: i + i2 + i3 + . . . . + im4 = 0
i3 = - i
i4 = 1
i m4+k = ik
OPERACIONES EN C
Dados los complejos: z1 = a + bi y z2 = c + di
RAÍCES RACIONALES
Si la ecuación P(x) = 0, posee coeficientes racionales, eliminando denominadores
se puede obtener coeficientes enteros.
Suma: (a + c) + (b + d)i
Resta: (a – c) + (b – d)i
Multiplicación: (ac – bd) + (ad + bc)i
División:  ac + bd  +  bc − ad i
2
2
2
2
c +d  c +d 
Potenciación: (a + bi)n se multiplica a + bi “n” veces
Raíz cuadrada: a + bi = ± r [cos θ / 2 + isenθ / 2]
Resolver: 12x5 – 26x4 + 6x3 + 13x2 – 3x – 2 = 0
P(1) = 0 entonces una raíz de la ecuación es : 1
De igual manera: P(-1/2) = 0; P(2/3) = 0
Por lo tanto: (x – 1)(x + ½) (x – 2/3)(12x2 – 12x – 6) = 0
Resolviendo: 12x2 – 12x – 6 = 0
2x2 – 2x – 1 = 0
2 ± 13
x=
4
 1 2 2 + 13 2 − 13 
;
Cojunto Solucion = 1;− ; ;

4 
4
 2 3
TEOREMA DE MOIVRE
Si: z = r (cosθ + i sen θ)
Entonces: zn = rn (cos nθ + i sen nθ), donde n ∈ N
30
b
a
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO z
Si z = a + bi, (z ≠ 0), entonces:
-1
08. Determinar el valor de x para que el producto:
(x + 3i) ( 2 - i)
Sea un número real.
b 
 a
−i 2
z −1 =  2

2
a + b2 
a +b
A.
NIVEL I:
01. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:
x2 + 1 = 0
A. 1
B. 0
C. 2
D. -1
E. –2
03. Hallar el resultado de:
A. (10;-5)
C. (10;-2)
D. (14; -5)
E. (12; -5)
04. Hallar el valor de x, para que la suma de los números complejos:
z1 = x + 5i; z2 = - 5 + 7i sea imaginario puro.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
06. Después de efectuar la operación: (7 − 4i )( 2 − i )
D. -12/5
E. 0
(4 − 5i ) (2i)
7 + 3i
Señalar cuáles afirmaciones son verdaderas(V) o falsas(F).
I.
La parte real es mayor que la parte imaginaria
II.
Re(z) + Im(z) = 138/58
III.
El Re(z) es negativo y el Im(z) es positivo.
B. VFV
C. VVF
D. FFV
D. -
2
E. 2
14. Señalar cuáles proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F)
respecto al siguientes polinomio:
P(x,y) = x5 y – 3x4 y – 10x3 y + 24x2 y
I.
El número de sus factores primos es 4
II.
El número de sus divisores es 47
III.
Uno de sus factores es (x – 4)
A. VVF
B. VVV
C. FFV
D. FVV
E. FVF
2
A. VVV
2
13. Señalar uno de los factores primos de:
P(x,y,z) = x3 y3 + x6 y3 + x5 y3 – x3 z3 – x6 z3 – x5 z3
A. y+z
B. x2
C. yz+y2+z2
D. x2 +x+1
E. x-y
5 + 3i
07. Respecto al resultado de la operación:
C. 3
Tiene como residuo: 5x2 – 3x + 7. Cuáles de las siguientes proposiciones es V
y cuáles F?
I.
m+n>p
II.
m = 20 y n + p = 7
III.
m + 4n + p = 0
A. VVV
B. FFV
C. FVF
D. FVV
E. VVF
05. Hallar el valor de “m”, para que al dividir z1 = 3 + im entre z2 = - 2 + i de cómo
resultado un número imaginario puro.
A. 5
B. -4
C. 6
D. 3
E. -5
La parte real del resultado es:
A. 5/34
B. 105/34
C. 14/5
2
11. Si la siguiente división:
6 x 4 + 16 x 3 + 25x 2 + Ax + B es exacta, hallar el valor de: A + B
3x 2 + 2x + 1
A. 14
B. 20
C. 19
D. 9
E. 5
12. Si la siguiente división:
8 x 5 + 4 x 3 + mx 2 + nx + p
2x 3 + x 2 + 3
E. –i
( 2 + 3i)(1 − 4i )
i180
B. (14; -2)
B.
09. La diferencia de dos números complejos es – 4 – 6i. La parte imaginaria de
uno de ellos es – 2 y el producto de ellos es imaginario puro. Uno de dichos
números complejos es:
A. (2+ 5 )- 8i
B. (-2 - 2 5 )- 8i
C. (2+2 5 ) + 6i
D. (3 + 5 ) – 8i
E. (4 + 5 ) – 4i
10. Hallar la raíz cuadrada de: z = 5 – 12 i
A. ± (3 – 2i)
B. ± (3 + 2i)
C. ± (4 – 3i)
D. ± (4 + 3i)
E. ± (13 – 8i)
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
02. Sean: z1 = cis 60º y z2 = cis 30º
Hallar: z1 .z2
A. 1
B. 0
C. -1
D. i
2 2
E. FFF
31
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
15. Descomponer: P(x) = 6x4 – x3 – 19x2 + 19x – 5
La suma de los coeficientes de uno de sus factores es:
A. 2
B. 1
C. – 3
D. – 1
E. 3
NIVEL II
01. Respecto a la división:
x19 + x 16 + 2 x12 − 7 x 5 + 9 x − 1
x2 + 1
16. Luego de factorizar: P(x,y) = x(x – 2y)3 + y(2x – y) Indica el número de factores
primos:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
17. Hallar el valor de: x – y si se sabe que:
x+y= 5 5
xy = 25
Además: x < y
A. 5
B. 5
C. -5
D. - 5
Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son
falsas (F).
I.
La división es exacta
II.
El residuo es x – 2
III. La suma de coeficientes del residuo es 3
A. VVV
B. FFF
C. FFV
D. FVF
E. FVV
02. Cuál es el residuo de la división:
( x − 1) 500 + x ( x + 1)( x − 2)( x − 3) − x 2
x 2 − 2x + 2
A. 2x – 13
B. – 2x + 13
C. 3x + 15
E. 25
18. Considerando:
x+y=8
x2 + y2 = 60
03.
2
2
Calcular: E = x + y
y
A. 232
x
B. 234
C. 236
D. 238
E. 240
E=
2
x
y
−
y
x
Si: x – y = 8 ; xy = 4
A. 148
B. 152
C. 148
D. 182
E. 158
x 50 − y 50
x2 − y2
C. x54 y42
D. x40 y26
Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I.
El cociente posee 17 términos
II.
m + n = 85
III.
El término central es: - x16 y80
A. FFF
B. VVV
C. VVF
D. FFV
E. VFF
E. x50 y48
CLAVE:
01 – B
06 – A
11 – C
16 – C
02 – D
07 - C
12 – B
17 – A
C. x2 – x + 1
05. Respecto al siguiente cociente notable:
x m y n + y 119
x2 y3 + y7
20. Dado el cociente:
Hallar: T10. T13
A. x23 y32
B. x41 y51
E. 0
04. El siguiente desarrollo: x135 – x130 + x125 - . . . . – x10 + x5 – 1 corresponde al
cociente notable:
140
135
140
140
140
A. x − 1
B. x + 1
C. x + 1
D. x + 1
E. x − 1
x5 − 1
x5 +1
x5 − 1
x5 +1
x5 + 1
19. Hallar el valor de:
2
Un factor primo de:
P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1
2
A. x + x – 1
B. x2 + x + 1
D. x3 – x – 1
E. x3 + x + 1
D. – 4x – 12
03 – D
08 – C
13 – C
18 – A
04 – D
09 – B
14 – D
19 – B
06. Si: a + b = 2
b a
Calcular: Q = (a + 2b)5 + (2a + b)5 – 2(4b – a)5
A. a2b
B. ab2
C. ab
D. 0
E. – 1
05 – C
10 – A
15 – A
20 – C
32
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
07. Reducir:
A. 256
16. Las edades de dos personas están en la relación m:1. Dentro de cuántos años
la relación será p:1, siendo “b” la edad actual del menor?
A. bm − p
B. bm + p
C. bm + p
D. b( m − p )
E. b( m + p )
p +1
p −1
p +1
p −1
p −1
( 2 x + 1)( 2 x − 1)( 4 x + 1)(16 x + 1) + 1
B. 128
C. 64
D. 512
E. 254
x
08. Reducir:
E=
A. 3+2i
(1 + i)15 (2 + i)18
−
− (1 + i) 4
(1 − i)13 (1 − 2i)17
B. 3-2i
C. 4+5i
D. 5+2i
17. Se tienen dos recipientes de 20 y 30 litros de capacidad conteniendo vino de
distintas calidades. Al intercambiar un cierto volumen igual para ambos, las
calidades se igualan. Hallar dicho volumen.
A. 10 lit
B. 11 lit
C. 12 lit
D. 13 lit
E. 14 lit
E. 0
18. Cuando dos bombas actúan a la vez tardan en agotar un pozo 15 horas. Si
actuara sólo la menor tardaría en agotarlo 16 horas más que la otra. Cuánto
tardará ésta?
A. 20H
B. 21H
C. 22H
D. 23H
E. 24H
09. El siguiente polinomio:
P(x) = x5 – 3x4 – 6x3 + 10x2 + 21x + 9
Presenta:
A. 5 raíces diferentes
B. 2 raíces de multiplicidad 2
C. 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3
D. 1 raíz de multiplicidad 4
E. 1 raíz de multiplicidad 5
19. Un agricultor compró 30 cabras a $70 cada uno. Le robaron unas cuantas y
vendió las restantes con un aumento de tantas veces 28 dólares como cabras
le robaron. Si no perdió ni ganó. Cuántas cabras le robaron?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
10. Sabiendo que: mx + my + nx – ny – 15x – 7y = 0
Determinar el valor de (m – 2n)2
A. 3
B. 4
C. 5
D. 9
E. 11
20. El cociente de dos números complejos es imaginario puro. Su suma es 5 y el
módulo del dividendo es el doble que el del divisor. Uno de dichos complejos
es:
A. 4 + i
B. 2 + i
C. 4 – i
D. 2 – i
E. 4 + 2i
11. Los ceros de una expresión polinómica son 1 de multiplicidad 2 y – 2 de
multiplicidad 1. Hallar el coeficiente del término de grado 2.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
CLAVE:
12. Resolver: 1 − 3 = 1 − 1 9 − 36
2 x
4 x
x
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
01 – E
06 – D
11 – A
16 – D
E. No existe
13. Resolver: 9x4 – 1 = 0
Una de sus raíces es:
A.
3
2
B. −
3
3
C.
3i
D. − 3 i
6
E.
3
3
14. Una de las raíces de la ecuación: 8x + 7x – 1 = 0 es :
A. -1/2
B. 3
C. − 3 i D. 3 E. 3 i
4
4
2
2
15. Resolver:
5
4
3
2
6x – 29x + 27x + 27x – 29x + 6 = 0
Cuál no es una raíz de dicha ecuación?
A. 2
B. -1
C. ¼
D. 3
E. ½
33
02 – B
07 – A
12 - E
17 – C
03 – C
08 – B
13 – B
18 – E
04 – E
09 – C
14 – A
19 – B
05 – C
10 – D
15 – C
20 – E
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementos
situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.
TEMA 8
MATRICES
Matriz columna: Matriz mx1 (matriz que solo tiene una columna).
 a11 
a 
A =  21 
a31 
 
a41 
81. Conceptos generales sobre matrices
Una matriz es un conjunto de números o expresiones numéricas que se
ordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las intersecciones
de filas o columnas se denomina elemento de la matriz.
Matriz fila: Matriz 1xn (matriz que solo tiene una fila).
Por convenio, las matrices se representan así:
 a11
a
21
A= 
 M

 am1
a12
a13
a22
a23
M
M
am 2
am 3
A = [a11
L a1n 
L a2 n 
O M 

L amn 
a12
a13
a14 ]
8.2.1Matriz nula: Matriz mxn con todos sus elementos iguales a cero . Se denota
por O mxn; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o no es
necesario especificarlo.
8.2.2 Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero los
elementos que no pertenecen a su diagonal principal.
A = (aij)mn
a11 0
A =  0 a22

0
 0
El primer número(m) nos indica el número de filas que tiene la matriz.
El segundo(n) indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
 1 2 2 1
 5 4 7 9
Esta matriz es de orden 3×4


6 3 2 8
0
0

a33 
8.2.3 Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es
diagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará la
notación In, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notación
abreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo.
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1 
Una matriz formada por “m” filas y “n” columnas se dice que tiene orden o
dimensión m x n.
8.2. Clases de matrices
Si la matriz tiene m filas y n columnas, (m ≠ n) la matriz se llama rectangular.
Cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada,
con dimensión n x n y se le considera matriz de orden n; en este caso, los
elementos de la matriz de subíndices a11 , a22, a33, ..., ann ocupan la llamada
diagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en la
resolución de determinantes. La traza de una matriz es la suma de todos los
elementos de la diagonal principal de la matriz.
8.2.4 Matriz transpuesta: Sea A una matriz de orden mxn. Llamaremos matriz
transpuesta o traspuesta de A, At, a la matriz de orden nxm cuyos elementos son
los de A intercambiando filas por columnas: aijt = a ji . Una matriz A es simetrica si
At=A y es antisimetrica si At=-A.
34
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Pongamos un ejemplo:
∀ϕ ,ϖ ,1 ∈ R , ∀A ∈ M m×n se tiene que
1) ϕ (ϖA) = (ϕϖ ) A
2) Distributiva I: ϕ ( A + B ) = ϕA + ϕB
3) Distributiva II: ( ϕ + ϖ ) A = ϕA + ϖB
6
4
 4 2 − 8
A= 2
9  → At = 



6 9 − 5
− 8 − 5
Propiedades:
8.2.5.Matrices iguales: Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y
solo sí, tienen el mismo orden y en las mismas posiciones, elementos iguales, es
decir :
4) Elemento neutro de escalares: 1×A = A
m=p, n=q; y aij = bij ∀i, ∀j
8. 5. El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los órdenes
«encadenados »; es decir, una matriz A = (aij) de orden m x n sólo puede
multiplicarse por otra B = (bij) si la dimensión de ésta es n x p, de manera
que la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p. Esto quiere
decir, que sólo pueden multiplicarse dos matrices que tienen el número
de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda
matriz. La matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que cada uno de
sus términos cij es igual a la suma ordenada de los productos de los
elementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primer elemento
de la fija i de A por primer elemento de la columna j de B; más el segundo
de la fila i por el segundo de la columna j, etc.
8.3. Suma de matrices:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.
La suma de dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nueva
matriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de la
misma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos.
Propiedades de la suma de matrices:
1).
2)
3)
4)
5)
Siendo:
Ejemplo:
6 7 8
0 + 10 + 26
0 + 11 + 28   33 36 39 
 0 1 2 
  0 + 9 + 24
×
3 4 5  9 10 11 = 18 + 36 + 60 21 + 40 + 65 24 + 44 + 70 = 114 126 138

 12 13 14 
 



Propiedad
Expresión simbólica y significado
A + B =B + A
Conmutativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Asociativa
A + O=O+ A=A
Elemento neutro
A + (- A) = ( - A) + A = O
Elemento simétrico
Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésima
de una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que una
matriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir:
O matriz nula, es la matriz que tiene todos sus elementos iguales a
cero.
(- A) es la matriz opuesta de la matriz A.
An = 1
A. A
.4
A..........
.A
4
244
3
n veces
8.4. Producto y potencias de matrices
8.6. Determinantes y matrices
En el álgebra de matrices, se definen:
•
El determinante de una matriz cuadrada A, es el valor de la suma de
determinados productos que se realizan con los elementos que componen la
matriz.
Se denota por el símbolo |A| o det (A).
Si kA = k(aij)mn, debes multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar
que es un número constante.
Ejemplo:
1 5   2 10
2A = 2 

=
3 4 6 8 
Determinantes de orden 2
Sea: A =  a11 a12 
a

 21 a22 
35
det(A) = A = a11.a22 – a12 . a21
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota Adj(A),
como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntos
respectivos:
Regla de Sarrus
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se recurre al uso de la
llamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seis
términos:
Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los tres
elementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas a
esta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto.
Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los tres
elementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella,
multiplicados por el vértice opuesto.
Es decir, dada una matriz A:
a11 a12 a13
 a11 a12 a13 
Si


A = a21 a22 a23 → A = a21 a22 a23


 a31 a32 a33 
a31 a32 a33
 a11
a
21
A= 
 M

 an1
a12
a22
M
an 2
a13 L a1n 
 A11

A
a23 L a2n 
21
→ Adj ( A) = 
 M
M O M 


an3 L ann 
 An1
A12
A22
M
An 2
A13 L A1n 
A23 L A2n 
M O M 

An3 L Ann 
8.9. Desarrollo de un determinante
El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de los
elementos de su matriz correspondiente. Así:
 a11
a
21
A= 
 M

am1
Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dado
por:
det(A)= a11a22a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32 a23a11
a12
a13
a22
a23
M
M
am 2
am3
L a1n 
L a2 n 
O M 

L amn 
A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + ... + a1n A1n
8.7. Menores complementarios
En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, un
determinante puede desarrollarse por filas o por columnas.
Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario a
cada una de las matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y la
columna donde se encuentra un elemento (aij) de la matriz original.
Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que
facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:
•
•
pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:
•
8.8. Adjunto y matriz adjunta
•
Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij al
determinante del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)
elevado a i más j, es decir:
Aij = (- 1)i+j . ij
•
•
36
1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los
elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es
cero.
3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales
entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su
determinante es cero.
4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una
matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al
de la original multiplicado por ese mismo número.
6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es
igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
•
7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una
combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su
determinante no se altera.
Tercero: con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA .
 4 − 1
 4 − 5
B=
BT = 

 = adjA
−
5
3


− 1 3 
-1
Cuarto: aplico el teorema
Matriz Inversa (A )
-1
Para la matriz cuadrada A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A
también cuadrada de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz
-1
-1
identidad: A × A = A × A = I.
A −1 =
a21
 A11
− A
 12
− A21 
A22 
 4
1  4 − 5  7
=
A = 
7 − 1 3   − 1
 7
Comprobamos la respuesta:
AA −1 = I 2 = A −1 A
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o no singular, mientras que
cuando carece de inversa se denomina matriz singular.
Teorema. Sea la matriz: A =  a11

1
A
−1
a12 
a22 
− 5
7 
3 

7 
Si el determinante de A no es cero, entonces la matriz inversa de A es:
Regla de Cramer
1  a 22
A −1 =
A  − a 21
Ejemplo: Encontrar
− a12 
a11 
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las
siguientes condiciones:
A −1
•
incógnitas.
3 5 
A=

1 4
Primero: encuentro el determinante de A:
Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de
•
El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de
cero.
A = (3)(4) − (5)(1) = (12) − (5) = 7
En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado
(tiene una solución única).
Segundo: calculo la adj A :
Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la
columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se
obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del
determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema
de Cramer se obtiene hallando cada incógnita xi según la fórmula:
Ci
xi =
C
Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los
coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.
Cofactores de A
3 5 
A=

1 4 
A11 = 4
A12 = −1
A21 = −5
A22 = 3
37
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
- Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución
inmediata.
Sea el sistema de ecuaciones:
x + y − z = −1 

x + 2 y + 2 z = 0
2 x + y − z = 1 
Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema.
Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce
una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con c ≠ 0, el sistema es compatible
determinado (tiene una solución única).
Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, k ≠ 0
el sistema es incompatible (carece de solución).
Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema
será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).
Ejemplo: Sea el sistema: 2 x − y + 2 z = 4 

x+ y+ z = 2 
− x + 4 y + z = 3
Matriz amplificada:
 2 − 1 2 M 4
 1 1 1 M 2


− 1 4 1 M 3
1 2 − 1  x   − 1
1 2 2   y  =  0 
   

 2 1 − 1  z   1 
Hallamos los determinantes de:
1 2 −1
∆= 1 2 2 =4
2 1 −1
−1 2 −1
1 −1 −1
1 2 −1
∆x = 0 2 2 = 8; ∆y = 1 0 2 = −8; ∆z = 1 2 0 = 4
1
1 −1
x=
2
1
−1
2 1
A la fila f3 se le suma la fila f2 y a esta
primera:
2 − 1
0 3

0 5
Luego, a f3 × 3 se le resta f2 × 5:
2 − 1
0 3

0 0
Finalmente: 6z = 15
z = 5/2 ; y = 0
1
∆x
∆y
∆z
= 2; y =
= −2; z =
= 1;
∆
∆
∆
Luego la solución del sistema es x = 2; y = -2 y z = 1
Resolución de un sistema por eliminación gaussiana
El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta
de los siguientes pasos:
- Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes,
por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los
términos independientes.
- Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada,
hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los
términos sean nulos.
38
segunda multiplicada por 2, se le resta la
2 M 4
0 M 0
2 M 5
4
0 M 0 
6 M 15
; x=-½
2 M
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
3 −1
A= 

4 2 
Nivel I:
06. Dadas las matrices
 0 2
B=

−1 1
Hallar la traza de A.B
A. 0
B. 1
01. Sean A y B dos matrices definidas por:
Entonces el valor de:
A. 10
B. 15
E =
D. 25
E. 60
Determinar el valor de: T = a + b + c+ d + e
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
A. 5
E. -2
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
08. Sea la ecuación matricial: 2A = AX + B
Donde:
 1 0
A=

− 1 1
Hallar la traza de la matriz X.
E. 4
03. Sabiendo que el siguiente sistema no tiene solución:
(2 k + 1) x + 5 y = 7

 (k + 2 ) x + 4 y = 8
¿ Cuál es el valor de k?
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
A. 1
B. 0
09. Sean
04. Hallar la traza de la siguiente matriz simétrica:
x + 2y
10 
 x
A =  5
2y
3 z + x 
2 y + 3 z
7
3 z 
A. 10
B. 8
C. 11
D. 6
E. 0
C. 2
1
2 4
A = 1 − 2 3  ,


5 0 − 1
y
D. 3
 3 − 1 − 2
B = 0 5
6 


9 
0 0
 − 1 2
B=

− 3 1 
E. 4
y
 2 0 − 1
C = 0 − 1 2 


1 − 2 5 
Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas
(F)
I. Las tres matrices rectangulares son de orden 3.
II. El elemento a22 de – A – B + C es: - 4
III. El elemento a32 de 3A + C/2 es: - 1
A. VVF
10. Si:
 1 − 1 − 3
P =  2 − 2 1 
− 1 3 − 1
Señala el elemento a33 de la matriz inversa:
A. 2/7
B. 5/7
C. 1/7
D. 0
D. 2
x −1
0
x+3
1
x−2
4 = 1 − 7x
1
−1
2
Señala uno de los valores de x.
−1
02. Si A es una matriz antisimétrica definida así:
c 
a − b d
A =  a
b + 1 − 4 
 e
4
c − 2
05. Calcular la matriz inversa de:
C. -1
4 8 1
B=

2 − 1 3
y
07. Resolver la ecuación:
A − B − 2B
A+B
C. 20
 2 − 1
A = − 1 2 


 0 1 
B. FFV
1 0
A=

0 1
2
39
D. VVV
E. FFF
se cumple:
70
I. A = A
4
8
II. A ≠ A
3
2
III. A = A + A
A. VFF
B. VVF
E. ½
C. FVV
C. VFV
D. FFV
E. FVV
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
A. 1 0
0 1


NIVEL II
01. Sabiendo que:
a b 
A=
,
c d 
 4
B=
c + d
a + b
3 
6
a
C=
1
2
d 
−

y
06. Dadas las matrices:
Con los que se cumple: 3A – B = C. Calcular el valor de:
4!
Q=
a.b.c.d
A. – 1
B. 1
C. 2
D. – 2
E. 3
C. -1; 1; 4
D. 1; -1; 0
E. 1; -1; -4
n
y B=A
E. 2.3n
08. Expresar la matriz A como la suma de una matriz simétrica y otra
antisimétrica. Hallar la traza del producto de las dos matrices.
 1 3
A=

 2 4
A. 0
B. – 1
C. -1/2
D. – ¼
E. – 2
03. Sea la matriz: A=(aij)3×2 definida por:
i − j , si : i < j

a ij = i. j , si i = j
i + j ; si i > j

T
Determinar la traza de: (A.A )
A. 56
B. 48
C. 60
D. 68
E. 52
09. Dadas las matrices:
1 − 1
1 1 
A=
B=
 y

2
−
1


4 − 1
Indicar si son verdaderas (V) o falsas(F) las siguientes igualdades:
VIII.
A.B = B.A
2
2
2
IX.
(A + B) = A + B
X.
2A – 3B = 0
04. Si A y B son dos matrices definidas por:
i + j ; i = j
A = (a ij ) 3×3 / a ij = 
i − j; i ≠ j
bij 0, ∀i = j

B = (bij ) 3×3 / bij = bij = 1, ∀i < j

bij + b ji = 0
Hallar: det (A + B)
A. 48
B. 52
C. 42
D. 58
D.  1 0
− n 1


07. La siguiente matriz es simétrica:
5
7 
 a
A =  a + 2b 2b 3c + a 


2b + 3c 20
3c 
Determinar su traza.
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
E. 18
 x 1
4 x 
A=
B=
 y

−
1
y


z y
Donde x, y, z no son todos cero. Si AB es la matriz cero, entonces los valores
de x, y, z son respectivamente:
B. 1; 1; 4
 5 2
A= 

 0 3
Determinar: G = traz(B) – b12
A. 2.5n B. 2n+1
C. 2n D. 5n + 3n
02. Se tienen las matrices:
A. 0; 1; 0
C. − n 0 
 0 n


B. n 0
0 n


A. VVV
B. VVF
C. FVF
D. FFF
E. VFV
09. Sabiendo que:
E. 60
 1 0
A= 

− 1 1
n
Calcular: A ; n∈ N
05. Sea:
2
0 1 1 
A = 1 0 1 


1 1 0
Hallar: A – A – 2I (I es la matriz identidad)
A. I
B. A
C. 0
D. 1
E. imposible
40
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
CLAVE: Nivel I :
9.2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
01 – E
06 – C
02 – A
07 - D
03 – E
08 – C
04 – C
09 - C
05 – 0
10 - A
01 – B
06 – D
02 – C
07 – C
03 – D
08 – A
04 – B
09 – D
05 - D
10 – C
En las sucesiones, los términos 1 , n , n representan de forma simbólica a la
n
n +1
ley de formación de cada sucesión, se representan por an y se llaman término
general de la sucesión.
A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a
“n”. El valor de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Nivel II:
Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10,
2
en una sucesión cuyo término general es: a = n
n
n +1
2
Para n = 1, a = 1 = 1
1
1+1 2
2
Para n = 2, a = 2 = 4
2
2 +1 3
2
Para n = 3 a = 3 = 9
3
3 +1 4
2
Para n = 10 a = 10 = 100
10
10 + 1 11
TEMA 9
SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
9.1. SUCESIONES
Son sucesiones reales:
a) 1, 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,... la ley característica se enunciaría así: es una sucesión
2 3 4
n
formada por los números inversos de los números naturales.
b) 1, 2 , 3 , 4 ,..., n ,... aquí la ley sería: raíces cuadradas de los números
naturales
c)
1 2 3 4
n
, , , ,...
,...
2 3 4 5
n +1
Suele presentar más dificultades el determinar el término general, conocidos
algunos de los términos de una sucesión, ya que no hay una regla para hacerlo.
la ley sería: una sucesión formada por fracciones cuyo
numerador es la serie de los números naturales y el denominador es igual
al numerador más una unidad.
Ejercicios:
Conocida la ley de formación, se puede determinar cualquier término de la
sucesión en función del lugar que ocupe.
Una sucesión, cuando tiene un número determinado de términos, como por
ejemplo la sucesión: 1, 2 ,6 ,8 , 1 , 2 formada por estos seis números, no
3
5 3
necesariamente tiene que tener una ley de formación ya que todos sus términos
están perfectamente definidos al conocerlos todos.
1.
Escribir los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términos
generales son:
1
2n − 1
n +1
n−2
an =
an =
an =
an = 3 +
n+2
n
n
n2
2.
Escribir el término general de las siguientes sucesiones, indicando las que son
crecientes o decrecientes.
3 5 7 17
, , ... ,...
1 3 5 15
1 4 9 16
b) , , , ,...
2 5 10 17
a)
41
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado
límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el
límite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse: m ≤ n
1 2 3 4
, , , ,...
2 3 4 5
3 5 6
d)
, 1, , ,...
2 6 8
3 8 15
e) 0, , , ,...
5 10 17
c)
Algunas sumatorias
n
∑i = 1+ 2 + 3 + L+ n =
9.3. CLASES DE SUCESIONES
i =1
La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16 que tiene solamente estos seis términos es una
sucesión limitada.
n
∑i
n(n + 1)
2
La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...3n − 2 ... es ilimitada ya que puede tener todos
los términos que se quieran sacar.
= 12 + 2 2 + 32 + L + n 2 =
3
 n(n + 1) 
= 13 + 2 3 + 33 + L + n 3 =

 2 
n
∑i
i =1
Las dos sucesiones anteriores son estrictamente crecientes ya que se cumple
que cada término es mayor que el anterior.
n(n + 1)(2n + 1)
6
2
i =1
2
n
a +4
+2
L4+3a = na
∑ a = a1+4a4
La sucesión que define al número real 3 o sea 1; 1,7; 1,73; 1,732; 17320;
1,73205... es creciente pero no estrictamente creciente ya que los términos
1,732 y 1,7320 son iguales, por lo que no cumple que cada término sea mayor
que el anterior.
i =1
n veces
n
∑a
= 1 + a + a 2 + L + an =
k
= a + a 2 + a3 + a 4 + L + a n =
j =0
La sucesión 1; 1 ; 1 ; 1 ; ... 1 ;... es estrictamente decreciente ya que cada
4 9 16 n 2
término es menor que el anterior.
n
∑a
1 − a n −1
1− a
j
k =1
a n +1 − a
a −1
9.4. SERIE
n
n
k =1
k =1
Es la suma de los términos de una sucesión. Existen series aritméticas,
geométricas y otras series especiales.
∑ ak = a + 2a + 3a + L + na = a∑ k
SUMATORIA: Una sumatoria nos permite representar sumas muy grandes, de n
sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma ( Σ ) .
∑ i = 0 + ∑ i =∑ i
Una sumatoria se define como:
n
∑x
i=m
i
n
n
n
i =0
i =1
i =1
9.5. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión de números, tales que cada término se forma sumando
algebraicamente una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad
constante se llama razón (d) y puede tener cualquier valor menos cero.
Cuando la razón es positiva la PA es creciente y cuando la razón es negativa la
progresión es decreciente.
= xm + xm +1 + xm + 2 + L + xn −1 + xn
42
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
9.5.3. INTERPOLAR TÉRMINOS ARITMÉTICOS
El término enésimo de una PA se determina con la fórmula: an = a1 + (n – 1)d
En general cualquier término a partir de un término ak se determina así:
an = ak + (n – k)d
Interpolar “m” términos aritméticos entre dos números dados, a1 y an, consiste
en formar una progresión aritmética de m + 2 términos, en la que los números
a1 y an sean el primer y último término.
Se determina la razón: d = an − a1 ó
9.5.1. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
m +1
La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula por la fórmula:
(a + an )n
S= 1
2
Donde a1 representa al primer término, a n al último y n al número de términos.
Ejemplo:
Por ejemplo:
Intercalar 5 términos aritméticos entre el 2 y el 14.
Se calcula la razón utilizando la fórmula del término general. an = a1 + (n − 1)d ,
teniendo en cuenta que 14 será el término enésimo, 2 el primer término y que
la progresión tiene 7 términos, ya que a los dos dados hay que añadirle los
cinco que se quieren interpolar.
Sustituyendo en la fórmula: 14 = 2 + (7 – 1).d ; 12 = 6d ; d = 2.
Si la diferencia es 2, los términos serán: 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14.
a) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión. 1, 3, 5, 7, ...
a1 = 1, el término a n será el término 10 que se calculará por la fórmula del
término general,
an = a1 + (n − 1).d, o sea a 10 = 1 + 9.2 = 19.
La suma quedará:
S=
an = a1 + (n − 1)d
9.6. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1 + 19
× 10 = 100
2
Son sucesiones de números tales que cada término se forma multiplicando por
una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad constante se llama
razón (r).
b) Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos de 5
9.6.1. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
a1 = 5,
a 8 = 40;
5 + 40
× 8 = 180
S=
2
Con la fórmula del término general de una progresión geométrica:
an = a1 × r n −1
9.5.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS DE
UNA PA
se pueden resolver distintos tipos de ejercicios; por ejemplo:
En la progresión 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, se puede comprobar que las sumas
de los términos equidistantes de los extremos son iguales a la suma de los
extremos:
1. Calcular cualquier término, conocido el primer término y la razón. En la
siguiente progresión geométrica, calcular la razón y los términos 10 y 20.
2, 4, 8, 16, ....
2 + 16 = 18 es la suma de los términos extremos
4 + 14 = 18
6 + 12 = 18
8 + 10 = 18
Esta propiedad, como es fácil de comprobar la cumplen todas las
progresiones aritméticas.
La razón se calcula dividiendo dos términos consecutivos r = 2
Los términos 10 y 20 aplicando la fórmula del término general:
a10 = 2.29 ; a10 = 1024
a 20 = 2.219 ; a20 = 1048576
43
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
2. Calcular la razón y el término general, conocidos dos términos no
consecutivos.
5
an = a1.r n −1;
Calcular la razón y el término general de una progresión geométrica cuyo
término tercero es 12 y el término 5 es 48.
2.
La suma de los términos tiende hacia un valor al que se acerca más
cuanto más términos se tomen.
Por ejemplo la progresión 1, 1 , 1 , 1 , ...
Dividiendo queda: 4 = r2 ; r = 2
Para determinar el término general, se calcula previamente a1 en cualquiera de
2
las dos ecuaciones anteriores: 12 = a1.2 ;
a1 = 3
2 4 8
Si sumamos cuatro términos su suma sería 15 = 1.875
8
 1 10 
1  − 1
Si sumamos 10 términos
 2 
 al aplicar la primera fórmula
S= 
1
−1
2
S =1,998
Si se suman 20 términos, aplicando la misma fórmula, la suma sería
 1  20 
1  − 1
 2 
 = 1.99999
S= 
1
−1
2
Si seguimos aumentando el número de términos la suma será
1,99999999... acercándose cada vez más a dos.
Si se halla la suma de los infinitos términos de la progresión aplicando
la fórmula:
a
S= 1
1− r
El término general será: an = 3.2n-1
9. 6.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1. PROGRESIÓN LIMITADA
Si la progresión tiene un número limitado de términos la suma se calcula
por la fórmula S = an × r − a1 .
r −1
Si en esta fórmula primera sustituimos a n por su equivalente a1 . r n - 1.
n
Quedará: S = a1 (r − 1)
−
r 1
Por ejemplo:
- Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión
geométrica 3, 6, 12,...
Para aplicar la primera fórmula haría falta calcular previamente el término
10, en cambio con la segunda no haría falta este cálculo.
Teniendo en cuenta que de la progresión se saca que la razón es 2,
aplicando la segunda fórmula quedará:
(
)
que es número al que tiende la suma al hacer
=2
1
1−
2
que sus términos crezcan indefinidamente
quedará
3 210 − 1
= 3069
2 −1
Calcular la suma de los seis primeros términos de una progresión
sabiendo que el sexto término es 1 y la razón 1 .
8
1 1
 × −4
63
8 2
S=
=
1
8
−1
2
PROGRESIÓN ILIMITADA
Aplicando la primera fórmula:
Se aplica la fórmula del término general para los dos términos dados: 12 = a1.r2
48 = a1.r4 se resuelve el sistema, dividiendo la segunda ecuación entre la
primera o despejando a1 en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda.
S=
1
1
1 1
= a1.  ; = a1 . ; a1 = 4
32
8
 2 8
2
S=
1
9.6.3. PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Para aplica la primera fórmula hace falta calcular primero el primer
término.
1.
44
Calcular el producto de n términos de una progresión geométrica,
conocido el primer término y la razón.
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
P=
(a1 × an )n
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El
f a c t or ia l d e u n nú m e r o se denota por n !.
n! = n×(n-1)×(n-1)×...×3×2×1
0! = 1
Ejemplo: Calcular el producto de los 10 primeros términos de la progresión
geométrica 2, 6, 18...
Para aplicar la fórmula P = (a1 × an )n hay que calcular an por la
9
fórmula del término general: a n = a1 .r n−1 , an = 2.3 ;
P=
2.
(2 × 39366)10
TEOREMA DEL BINOMIO
Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que
0 ≤ k ≤ n , entonces:
n
n
(a + b ) n = ∑   a n − k b k
k =0 k 
O también:
n
n
n
n
n
n
(a + b )n = ∑  a n−k b k = a n +   a n−1b +  a n−2b 2 + .... +  b n
k
0
1
2
k =0  
 n
 
 
 
Donde:
 n
n!
  =
 k  k ! (n − k )!
Ejemplo:
4
4
(a + b )4 = ∑  a 4−k b k
k =0  k 
an = 39366
= 787325
Calcular el primer término de una progresión geométrica, conocido el
producto de n términos y el término enésimo.
Ejemplo: Sabiendo que el producto de los 4 primeros términos es
5184 y que el cuarto término es 24, calcular el primer término
Se aplica la fórmula del producto:
5184 =
(a1 × 24)4 ;
5184 = a1 × 24 2 ; 5184 = a1 × 576;
2
2
9 = a2 ; a = 3
9.6.4. PRODUCTO DE TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS
En al progresión geométrica 3, 9, 27, 81, 243, 729 se comprueba que el
producto de los extremos es igual al producto de los términos equidistante
de los mismos:
Producto de los extremos 3 x 729 = 2187
Productos de términos equidistantes: 9 x 243 = 2187
27 x 27 x 81 = 2187.
 4
 4
 4
4
 4
=  a 4b 0 +  a 4−1b1 +   a 4−2b 2 +  a 4−3b 3 +  a 4−4b 4
0
1
2
3
 
 
 
 
 4
4
3
2 2
3
4
= a + 4a b + 6a b + 4ab + b
9. 8.1. TÉRMINO EMÉSIMO
9.6. 5. INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS GEOMÉTRICOS
Se determina el término n- ésimo haciendo k = m – 1
Interpolar 4 términos geométricos entre 18 y 4374.
Se aplica la fórmula del término general teniendo en cuenta que a1 = 18,
an = 4374 y que el número de términos es 6, ya que a los cuatro que hay
que intercalar se añaden el primero y el último.
5
4374 = 18.r5;
243 = r5,
3 = r5 ;
r = 3,
Luego la progresión quedará: 18, 54, 162, 486, 1458, 4374
Directamente podemos hallar la razón con la ecuación:
a
r = m +1 n
a1
6
Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollo de ( x + 2 ) .
Respuesta:
6
6
( x + 2 ) 6 = ∑   a 6 − k 2 k
k
k =0  
Quinto término
→ m = 5 → k = 4 →
 6  6−4 4
6!
2
2
 4  x 2 = 16 × 4! × 2! x = 240 x
 
Rp.: El quinto término es 240 x2 .
9.7Factorial de un número natural
45
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
8−k =5→
9.8.2. TÉRMINO CENTRAL
Para n par
k =3 →
Rp.: El coeficiente de x 5
Cuando n es par, se determina el término central haciendo: k = n
2
8
Ejemplo: Determine el término central en el desarrollo de ( p + q ) .
8
8
Respuesta:
( p + q ) 8 = ∑   p 8 − k q k
k
k =0 
 4
34−3 × 2 3 ×   x 8−3 = 96 x 5
3
es 96 .
9.8.4. TÉRMINO INDEPENDIENTE
Ejemplo:
 8
8
8!
p 4 q 4 = 70 p 4q 4
= 4 →   p8 − 4q 4 =
2
4! × 4!
 4
Rp.: El término central es 70 p 4 q 4 .
Para n impar
Cuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo:
n −1
n +1
k=
k=
y
2
2
k=
Determine el término independiente de x en el desarrollo de:
 2 3
x + 
x

6
Respuesta:
7
Ejemplo: Determine los términos centrales en el desarrollo de ( a – b ) .
(a − b )7
Respuesta:
=
7
7 
∑  k  a (− b ) = ∑ (− 1)  k  a
7
k =0
7−k
7
k
 
k =0
k
7− k
 
6
 2 3
x +  =
x

bk
12 − 3k = 0
7 −1
7!
3 7 
a 4b 3 = −35a 4b3
k=
= 3 → (− 1)  a 7 − 3b 3 = −
2
3! × 4!
 3
6
∑  k (x )
6
k =0
2 6−k
 
→
k
3
  =
x
6
∑3
k =0
k
 6  12 − 3 k
  x
k 
6
34   x12 −3×4 = 1215
 4
k =4 →
Rp.: El término independiente de x es 1215 .
7 +1
7!
4  7
a 3b 4 = 35a 3b 4
k=
= 4 → (− 1)  a 7− 4b 4 = −
4
2
4
!
× 3!
 
Desarrollar: (a + b) 6
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4
Rp.: Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 .
Ejercicios y Problemas.
9.8.3. COEFICIENTE DE UNA POTENCIA
01. Hallar el término central de:  x − 2 3 x 
2

Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 .
60
Respuesta:
(3 x
2
) ∑  4k (3 x ) (2 x ) = ∑ 3
 
+ 2 x 4=
4
2
k =0
4−k
k
4
k =0
4− k
4
× 2 k ×   x 8− k
k
A.  60  x 40
 
 30 
46
B.  60  x 30
 
 29 
C.  60  x 29
 
 31 
D.  60  x 30
 
 31 
E.  60  x 29
 
 29 
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?
Emilio recorrió en metros:
A. 10000
B. 108000
C. 102400
D. 110000
E. 100600
02. Calcular sin desarrollar, el término que ocupara el lugar 220 en el desarrollo:
400
(a3 + b)
B.  400 a 543b 215 C.  400 a 458b 236




A.  200 a 453b 215
 235 


368

 524 235
D. 
 247 a b


10. Calcular el tercero y quinto términos de una PA creciente, sabiendo que se
cumple: a3.a5 = 96 y a3 + a5 = 20. Señala la suma de ambos términos.
A. 18
B. 23
C. 36
D. 16
E. 20
 321 
 219 
E. No es posible
11. Se tienen cuatro números en PG, que cumplen las siguientes condiciones: a1
+ a2 = 6 y a3 + a4 = 24. Hallar la suma del segundo y cuarto números.
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
E. 30
9
03. Cuál es el término independiente en el desarrollo:  1 + 5 x 2 
 2x 3 
A. 785/184
B. 875/144
C. 785/144
D. 875/184
E. 1
12. En una PA se conocen a5 = 28 y a11 = 52. Calcular a8 .
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
E. 60
11
5
04. Determinar el lugar del término que contiene x en el desarrollo de:  x + y 

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13. La suma de los quince primeros términos de una PA es 75 y el último es 40/3.
Calcular la razón.
A. 20/21
B. 25/21
C. 23/20
D. 23/21
E. 23/18
x
E. 5
14. La suma de tres números en PA es 27 y su producto es 504. El mayor es:
A. 15
B. 13
C. 11
D. 14
E. 16
05. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del
14
desarrollo de  1 − a 
2

06. Hallar el término medio en el desarrollo de
(
3
x −
3
y
15. La suma de tres números en PA es 48, la de sus cuadrados es 800. La
diferencia del mayor y el menor es:
A. 8
B. 4
C. 12
D. 6
E. 10
)
6
07. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una
de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en
los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen
el secreto después de dos horas?
Rp.: 1794323
16. Calcular el último término de una PG de 4 términos, cuyo primer término es
igual a 100 y el producto es 10000.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
17. Calcular el producto de los términos de una PG, cuya suma y primer término
valen respectivamente 35 y 5 y la razón es 2.
A. 100
B. 200
C. 1000
D. 5000
E. 400
08. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por
el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2
en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que
en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo
que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en
todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo
pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el
inventor? Señala la suma de las cifras que forman la parte entera.
A. 85
B. 72
C. 81
D. 74
E. 92
18. Tres números están en PG conociendo que su suma es igual a 35 y la suma
de sus cuadrados es igual a 525. Hallar el mayor.
A. 30
B. 35
C. 15
D. 12
E. 20
19. Se da un cuadrado de lado 10, uniendo los puntos medios de sus lados
obtenemos un segundo cuadrado, uniendo los puntos medios de los lados de
este cuadrado obtenemos un tercer cuadrado y así sucesivamente. Hállese la
suma de las áreas de todos los cuadrados, si se supone que el proceso
anterior se repite 5 veces.
09. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una
competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000
metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica
A. 190.52
47
B. 196,875
C. 201,186
D. 189,256
E. Imposible
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
TEMA 10
20. Un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el primer segundo 4,9 m y
en cada segundo siguiente 9,8m más. Qué distancia recorre el cuerpo al cabo
de 10s?
A. 360m
B. 590m
C. 460m
D. 490 m
E. 440 m
TRIÁNGULO
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres
segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el
triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
CLAVE:
01- A
09 – C
14 – D
19 – B
02 – B
10 – E
15 – A
20 – D
03 – B
11 – C
16 – A
04 – D
12 – C
17 – C
08 – D
13 – B
18 – E
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos
lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
10.1 Propiedades (Teoremas)
Gauss, de niño, hace un descubrimiento.
• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor de
brocha gorda. Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muy
pronto.
interiores no adyacentes.
• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también
iguales.
Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase de
aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que
sumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de
sumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera
siguiente:
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
10.2 Clasificación de los triángulos
Por sus lados: Equiláteros: Sus tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales y
uno desigual. Escaleno: tres lados desiguales.
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050
es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una
progresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron
por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de
Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de
Gotinga.
Por sus ángulos: Rectángulos: un ángulo recto. Acutángulo: tres ángulos
agudos. Obtusángulo: Un ángulo obtuso.
10.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Toda recta que une un vértice del triángulo con cualquier punto de su lado opuesto
o su prolongación, se denomina CEVIANA.
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro
es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de
la circunferencia inscrita.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.
Es el centro de la circunferencia circunscrita.
48
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
10.4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado
opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado
opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un
triángulo.
Si dos figuras geométricas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, en
otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si
observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las
figuras son congruentes.
Recta de Euler
En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en
una misma recta, llamada recta de Euler.
El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es:
Un lado es menor que la suma de los otros dos.
a < b + c, b < a + c, c < a + b
Propiedades adicionales:
y
x
Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a
los lados del otro triángulo.
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente congruente.
Tercer criterio: Ángulo, lado, ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos,
de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el lado
comprendido entre ellos del otro triángulo.
Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar
con facilidad si de dos triángulos son congruentes.
x
y
b
x+y=a+b
x+y=180º+z
x
a
Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos,
existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación.
a
z
y
y
b
x
x = 90º +
x+y=a+b
y
x
y
2
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ.- todo PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ. Todo
punto de la bisectriz de un ángulo punto de la mediatriz de un segmento,
equidista de los extremos del segmento.
equidista de los lados del ángulo.
x
y
y
A
x = 90º −
y
x=
2
y
2
α
A
B
.
z
D
x+y=180º
x=
MEDIATRIZ
P
Si BD es bisectriz
y
P
α
x
x
≅
y−z
2
49
B
B
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
En este caso n = 28, luego: 28( 28 − 3 ) = 28 × 25 = 350
TEOREMA DE LA BASE MEDIA el PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
segmento de recta que une los puntos La mediana relativa a la hipotenusa mide
medios de dos lados de un triángulo es la mitad de la hipotenusa.
paralelo al tercer lado y mide la mitad de
B
su longitud.
B
M
a
A
N
2
ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la
medida de cada ángulo interno es:
i=
C
M
AC
2
BM =
2a
2
Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
180º ( n − 2 )
n
Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos
internos es: Si = 180(n – 2)
C
A
NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono
regular.
En los polígonos regulares:
Triángulos Notables
PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO
ISÓSCELES En un triángulo isósceles
la altura relativa a la base también es
bisectriz y mediana
180º (n − 2)
n
2) Ángulo exterior: e = 360º
n
360
º
3) Ángulo central: a =
c
n
1) Ángulo interior:
B
4k
37º
5k
k 3
30º
2k
60º
53º
k
3k
k
45º
k 2
PROBLEMAS
45º
A
M
C
i=
Nivel I
k
1.
En un triángulo isósceles ABC : AB ≅ BC y en BC
se ubica el punto D tal
que: AC ≅ DC . Calcular el menor valor entero que puede tomar la medida del
ángulo A .
10.6 POLÍGONOS
Las formas que ves en un tablero de ajedrez, un diamante de béisbol y una señal
de alto son figuras planas. Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadas
por segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitud
y todos sus ángulos la misma medida.
10.5 DIAGONALES: Para cualquier polígono convexo de n lados, la fórmula para
hallar la cantidad de diagonales que posee es:
A. 46º
2.
B. 31º
C. 59º
En la figura: y+z=130º calcular el valor de
D. 61º
" x" .
z
A.
B.
C.
D.
E.
n(n − 3)
2
Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28
lados.
15º
20º
25º
30º
35º
E. 76º
y
m
m
n
n
x
50
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
___
3.
___
Si: α + β = 410 y AB ≅ BC . Calcular θ .
___
7.
B
∧
__
En la figura: AB = 2C P y B = 26O
Determinar el valor de “x”
B
β
∝
A.
B.
C.
D.
E.
θ
A
D
A. 15º
C
B. 22,5º
C. 23º
E
D. 24,5º
E. 49º
Jaimito tiene un jardín de forma triangular. En un punto O situado en el
interior del jardín, tiene un rosal. La suma de las dos distancias desde el rosal
a cada vértice es 54m. ¿Cuál es el perímetro de dicho jardín?
A. 107m
B. 110m
___
___
C. 122m
___
___
___
___
D. 125m
___
___
___
P
___
En la figura, calcular BD si AB = BC = 8
B
A.
B.
C.
D.
E.
E. 200m
___
A
α
C
___
8.
4.
10º
12º
14º
8º
16º
___
En la figura: AB ≅ BC y AC ≅ AD ≅ DE ≅ EF ≅ FG ≅ GH ≅ HI ≅ BI .
Calcular el ángulo " x" .
A
5.
60º
4
6
8
5
10
40º
C
A
70º
___
___
___
___
9. En la figura: AB = DC; BD = EC ; m
Calcular el valor de “x”
B
E
D
ACB = 240
ABD = m
G
A.
B.
C.
D.
E.
I
x
C
A. 10º
D
B. 12º
F
H
C. 14º
B
D. 16º
E. 18º
xº
α
A
6.
___
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
___
___
___
10. En la figura: AB = EC , AE = DC
En un triángulo ABC , donde dos de sus lados miden 6,2 y 12,2m. Hallar la
diferencia entre el máximo y mínimo valor entero que puede tener el tercer
lado.
A.
B.
C.
D.
E.
E. 14
C
D
ABE =
B
15º
10º
20º
25º
35º
ECD = 20º .
Calcular
E
α
A
51
E
α
16º
18º
20º
24º
32º
D
C
" x"
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
___
___
4.
11. En un paralelogramo ABCD se trazó la bisectriz interior de B que corta a AD
___
___
En la figura : AM = MC . Hallar
φ
B
___
___
A.
B.
C.
D.
E.
que: AB = 4.
A. 2
B.3
C.6
D.4
E.1
12. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B se
∧
APB = 300 y m D = 200 : calcular la m C .
cortan en P. Si m
A. 20º
B. 30º
C. 40º
___
D. 50º
___
___
5.
___
___
___
y B se intersecan en M y las bisectrices
∧
___
A. 10
B. 11
C. 12
D. 9
E. 13
___
B.4
C. 5
6.
D. 6
E. 7
Por un vértice de un cuadrado ABCD pasa la recta
L
que hace un ángulo
___
agudo con el lado AB sin cortar el cuadrado. Si la proyección de la diagonal
Nivel II
1.
___
medios de AN y BM .
interiores de C y D se cortan en N Calcular MN .
A. 3
Si un trapecio ABCD(AB // CD) la suma de las bases es 48cm , M es punto
∧
Las bisectrices interiores de A
∧
C
M
H
A
medio de AC, N punto medio de BD . Hallar el segmento que une los puntos
13. En un trapecio ABCD ( BC// AD) se tiene: AB = 6, BC = 8, CD = 10 y AD = 18 .
∧
φ
20º
10º
30º
45º
15º
___
E. 25º
φφφ
φ
en E. Calcular el segmento que une los puntos medios de BD y CE sabiendo
___
∧
___
___
BD sobre la recta mide 8m . Calcular la distancia del punto de intersección de
las diagonales del cuadrado a la recta.
A. 2
B. 3
C.4
D. 5
E. 6
___
En la figura, BE es bisectriz de B . BH es altura, AE = BE , α = 14 0 . Hallar B .
B
___
A.
B.
C.
D.
E.
α
76º
74º
72º
66º
58º
θ
A
2.
3.
7.
E
H
A. 2
B. 4
C. 5
A la figura AB = BC
AE = CD ,
D. 3
E. 6
C
8.
En el interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC , recto en B , se toma
un punto D , de modo que: AB = AD y m∠BAD = 30 º . ¿Cuánto mide el
ángulo DCA ?
A. 15º
B. 30º
C. 5º
D. 20º
E. 40º
∧
En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y D , la base menor AB es 4m ,
la mediana ME del trapecio mide 6m . Se toma sobre AD un punto P tal
que PB = PC y su BPC = 900 . Hallar MP .
si
BED =
BDE . Hallar " x"
B
A.
B.
C.
D.
E.
___
En un triángulo ABC , m A = 300 , m∠ C = 15 0 ; si se traza la mediana BD .
Hallar la medida del ángulo DBC
A. 15º
B. 20º
C. 25º
D. 30º
E. 22º 30
20º
22.5º
30º
36.5º
40º
A
3α
2α
C
E
52
D
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
10. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares difieren en
10º y uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. Hallar el mayor número de
lados.
A. 16
B. 19
C. 17
D. 18
E. 20
Ejercicios de Polígonos
1.
2.
En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos
interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene
dicho polígono?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
11. Cuántas diagonales en total tiene aquel polígono regular convexo en el cual el
cuadrado de su ángulo central es igual a 15 veces la medida de su ángulo
interior.
A. 14
B. 20
C. 27
D. 35
E. 17
Cuál es la longitud del apotema de un hexágono regular de perímetro 60 m.
A. 6
3
B. 7
3
C. 5
3
D. 4
3
E. 3
3
3.
Calcular el número de lados de un polígono regular donde la medida de un
ángulo interior es (p+15) veces la medida del ángulo exterior, y el número de
diagonales es 135p.
A. 56
B. 62
C. 64
D. 36
E. 48
12. Desde ( n − 4) vértices consecutivos de un polígono convexo, se trazan
( 4n + 3) diagonales. Hallar el número de ángulos rectos a que equivalen la
suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono.
A. 4
B. 10
C. 16
D. 20
E. 18
4.
Un polígono regular tiene 4 lados menos que otro y la diferencia de las
medidas de los ángulos centrales de 45º. Cuántos lados tiene dicho polígono?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 8
13. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos
internos y externos es 3960?
A. 21
B. 20
C. 22
D. 18
E. 16
5.
En un polígono regular, al disminuir en 10º la medida de un ángulo interior,
resulta otro polígono regular cuyo número de lados es 2/3 del número de
lados del polígono original. Calcular el número de lados de dicho polígono.
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
E. 24
14. ¿Cuál es el polígono regular en el cual, al aumentar en 1 el número de sus
lados, su ángulo central disminuye en 12?
6.
A. Cuadrado
D. Heptágono
CLAVE:
01 – B
02 – C
07 – A
08 – D
Si los ángulos externos e internos de un polígono regular se encuentran en la
relación de 2 a 7. Cómo se llama el polígono?
A. pentágono
B. hexágono
C. nonágono
D. heptágono
E. dodecágono
7.
Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es “p” y en el cual el número
que expresa su perímetro es el mismo que el que se expresa su número de
diagonales. Además su ángulo interior es “p” veces su ángulo exterior. Cuánto
mide el lado del polígono regular?
A. ½
B. ¼
C. 1
D. 1/3
E. 1/5
8.
Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo que a
partir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales.
A. 10
B. 20
C. 45
D. 36
E. 30
9.
En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces
la medida de un ángulo central. Calcular el número de diagonales trazadas
desde los tres primeros vértices.
A. 32
B. 44
C. 26
D. 29
E. 28
53
B. Pentágono
E. Octágono
03 – E
09 – C
04 – B
10 – B
C. Hexágono
05 – B
06 – C
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Teorema: La bisectriz de un ángulo exterior
del triángulo divide exteriormente el lado
opuesto en dos segmentos, cuyas medidas
son proporcionales a las de los lados del
correspondiente ángulo interior del triángulo.
TEMA 11
SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD
11.1.Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas
paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a
los segmentos correspondientes en la otra.
Si:
L1 // L2 // L3
B θ
θ
c
p c
=
q a
a
A
p
, se cumplen las siguientes proporciones
a m
a b
,
=
=
b n
m n
a +b m+ n
y
=
b
n
Semejanza de Triángulos: En geometría, existen casos en los que se presentan
ciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza
se establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente
tamaño.
L1
a
m
L2
b
n
En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en la
semejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan
necesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u
homólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o lados
homólogos deben guardar entre sí una relación proporcional.
L3
Corolario: Si una recta es paralela a un lado del triángulo e interseca a los otros
dos, determinan en ellos, segmentos proporcionales.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar
esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a
continuación:
B
Si MN //AC entonces
a
a b
=
m n
O
m
N
M
80º
n
b
R
40mm
C
A
n 54mm
o
20mm
60º
11.2 Teorema de la bisectriz interior y exterior:
M
Teorema: La bisectriz de un ángulo de un
Triángulo divide al lado opuesto en dos
segmentos proporcionales a los lados que
forman ese ángulo.
Es decir, en el triángulo ABC :
m c
=
n a
B
c
A
θ θ
m
D
q
C
p
60mm
q 27mm
r
p
40º
N
P
30mm
Q
Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?
Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es
congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O,
por lo que se puede establecer que:
a
n
C
<M = <P = 60°;
<N = <Q = 40°;
<O = R = 80°
54
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
2. En la figura, DE // AB, entonces
Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulos
tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados
opuestos a ángulos iguales es constante.
p 30
=
= 0,5
m 60
q 27
=
= 0,5
n 54
r 20
=
= 0,5
o 40
II)
Para comprobar que los ángulos M, N y O del MNO son, respectivamente,
congruentes a los ángulos P, Q y R del PQR, se puede calcar el PQR, recortar y
sobreponer, uno a uno, los ángulos de los dos triángulos.
III)
A) Sólo I
D) Sólo II y III
Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son
semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se
pueden representar como:
DE AC
=
AB CD
AB BC
=
DE EC
AB DE
=
AC CD
I)
B) Sólo II
E) I, II y III
C) Sólo III
3. En la figura, ST//QR, si SQ = x + 1, QP = x + 2, TR = x + 5, RP = x + 6. La
expresión que permite determinar x es:
∆PQR ~ ∆MNO
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son
los siguientes:
A) x + 1 = x + 5
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen
dos de sus ángulos respectivamente iguales.
B) x + 2 = x + 5
x+2
x+6
x+6
x +1
S
Q
C) x + 2 = 2 x + 11
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL): Dos triángulos son semejantes si
dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que
forman.
2x + 3
x+6
x +1
2 x + 11
D) 2 x + 3 = x + 5
T
R
P
E) 2 x + 3 = 2 x + 11
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus
tres lados son respectivamente proporcionales.
4. ABMN trapecio. NC = 8 cm, MC = 12 cm, BC = 15 cm. El segmento AC mide:
A) 22,5 cm
B) 11 cm
C) 10 cm
D) 6,4 cm
E) 20 cm
PROBLEMAS:
1. En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y
ED = 18 cm.
A) 9 cm
B) 11 cm
C) 12,6 cm
D) 54 cm
E) 15
5. ABCD es paralelogramo, DE = 15, EF = 4, FB = 55. Determinar CF.
A.
B.
C.
D.
E.
55
44/3
12/11
825/4
20
18
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
9. En la figura, ¿cuál debe ser el valor de x
para que L1 // L2?
6. En la figura, MN//PQ, entonces:
I)
II)
III)
IV)
MN MO
=
PQ OP
OM ON
=
OP OQ
MN•NO = QO2
PQ2 = QP•MN
A) Sólo I
D) Sólo II y IV
A) 3
B) 4
C) 4,5
D) –4
E) -4,5
B) Sólo II
E) Sólo I y II
10. En el triángulo ABC de la figura, DE // AB . Si
CD = 20, DA = 5, CB = 30 y AB = 45,
entonces el perímetro del trapecio ABED es
C) Sólo II y III
7. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se verifica(n) en la figura, siendo DE//CF
y CE//BF?
A) 65
B) 80
C) 86
D) 90
E) 92
AB AC
=
BF CE
II) AB = BC
AE EF
III) AB = AE
AC AF
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
8. El ∆ABC de la figura es equilátero de lado a. Si DE // AB y CD: DA = 2:3,
entonces la medida de DE en función del lado a es:
I)
11. De acuerdo a los datos proporcionados en la figura adjunta, la recta CD es:
a) Altura
b) Bisectriz
c) Simetral
d) Transversal de gravedad
e) Mediana
12. En el triángulo ABC de la figura, DE // AB y CD = 1 . Se afirma que:
DA
A)
B)
C)
2
5
3
5
4
I ) CD= CE
a
CE 1
II )
=
EB 3
De estas afirmaciones es(son) verdaderas:
a
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
a
5
a
D)
2
E) 2 3a
3
56
3
III)
DE 1
=
AB 4
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
13. Se tiene un trapecio escaleno en donde la base mayor es tres veces la base
menor, la altura mide 6m. Hallar la distancia del punto de corte de las
diagonales a la base menor.
A. 1
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
TEMA 12
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
14. Se tiene un triángulo escaleno ABC en donde se conoce que AC=10cm y la
altura BH=8cm. Encontrar el lado del cuadrado inscrito en el triángulo
conociendo que uno de sus lados se encuentra sobre AC.
A. 2,8
B. 3,6
C. 4,4,
D. 5
E. 3
b2 = a 2 + c2
15. Las bases de un trapecio miden 4m y 12m y los lados no paralelos 4m y 5m.
Hallar el perímetro del triángulo menor que se forma al prolongar los lados no
paralelos.
A. 8,5m
B. 13m
C. 7m
D. 10m
E. 12m
a 2 = m.b
h 2 = m.n
a.c = b.h
c 2 = n.b
1 1
1
+ =
a 2 c2 h2
16. El área de un trapecio es 24m2 y sus bases miden 5m y 7m respectivamente.
Hallar la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base
mayor.
A. 5/3
B. 7/3
C. 8/3
D. 11/3
E. 10/3
12.1 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y
OBTUSÁNGULO
17. En la figura: AC=8m, BC=12m, DE//AB. Área del triángulo DCE = área trapecio
ADEB. Hallar CE.
A.
Teorema de Euclides
4 6
Si 90º<β<180º
B. 6 2
C. 12
D. 10
E. 8
18. En la figura: ángulos B y D son 90º, EC=5, ED=4, AD=10. Hallar BE.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bm
A. 2,5
B. 2,8
C. 4,5
D. 3,2
Teorema de Heron
p=
CLAVE:
1-C
7–A
13 – B
2–C
8–A
14 – C
3–A
9-B
15 – A
4–A
10 - D
16 – B
5–D
11 - B
17 – B
hb =
6-B
12 - E
18 – B
57
2
b
a +b+c
2
p ( p − a )( p − b )( p − c )
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Teorema de Stewart
(
Teorema de Mediana
)
07. En el triángulo ABC AB = BC , Sobre AC se ubica el punto D. Encontrar
AD.DC si AB = 7 y BD = 5
a) 2
b) 12
c) 8
d) 16
e) 24
08. Los lados de un triángulo miden 2k; 3k y 4k. determinar “k” si la altura relativa
al lado intermedio mide 15
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
2x2 +
x b + bmn = a n + c m
2
2
2
b2
= a 2 + c2
2
09. En un triángulo ABC, obtuso en A, encontrar la medida del ángulo “A”, si entre
las longitudes de sus lados se cumple:
(
a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + c 2
a) 120
b)135
)
c) 105
d) 165
e) 150
Ejercicios y problemas
10. En un cuadrilátero ABCD de diagonales perpendiculares tenemos que:
01. Los lados de un triángulo miden
menor lado sobre el mayor lado.
a)
2
b)
2
3
c) 2
2;
6 y
AB = 2 ; BC = 3 y CD = 2 5 . Calcular AD
8 . Calcular la proyección del
a) 3 2
d) 2 3
2
e) 3
2
a 2 = b 2 + c 2 − bc
a) 30
b) 60
c) 74
AC , tal que m∠FOC =
d) 16
e) 37
a) 9,2
e) 30
m∠B
. Si AF = 20 y AO = 16 . Hallar la longitud del
2
c) Obtusángulo
d) 10,2
e) 11,4
PB = 8cm
a) 6
b) 6,8
c) 6,4
d) 6,2
e) 6,6
13. En un triángulo ABC; AB = 7 ; BC = 31 y AC = 54 . Hallar la longitud de la
altura BH .
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 7
05. En un triángulo ABC, AB = 8;BC = 10 y AC = 12 . Se traza la ceviana BR , tal que
RC = 3 . Calcular la longitud de BR
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 5
14. Calcular la altura de un trapecio isósceles, sabiendo que la longitud de sus
lados no paralelos es 34 m y cuyas bases miden 8 m y 40 m respectivamente.
a) 28m
b) 32m
c) 40m
d) 30m
e) faltan datos
06. Los lados de un triángulo son: AB = 17 ; AC = 13 y BC = 24 . Si los punto M y N
2
c) 9,6
perpendiculares entre sí. Hallar la distancia de P a QA si QB = 10 cm y
d) Falta información
dividen al lado BC en tres longitudes iguales. Calcular AM − AN
a) 36
b) 38
c) 40
d) 42
e) 44
b) 9,4
12. En una circunferencia de centro Q, se trazan los radios QA y QB
04. Si los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4. ¿Qué clase de triángulo es?
b) Rectángulo
d) 2 3
radio de dicha circunferencia.
03. En un romboide ABCD dos lados consecutivos miden 3 y 5. Determinar el
ángulo mayor que se opone a una de las diagonales que mide 7
a) 120°
b) 135°
c) 105°
d) 165°
e) 150°
a) Acutángulo
c) 6
11. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita tiene centro O. F es un punto de
02. En un triángulo ABC encontrar la m<A si entre las longitudes de sus lados se
cumple:
b) 15
2
58
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
(R ∈ AC ), de modo que
15. En un triángulo rectángulo ABC, trazamos BR
TEMA 13
AB = BR . Hallar AB , si AC.AR = 36cm2
a) 5 2cm
b) 9cm
c) 3 2cm
13.1 REGIONES POLIGONALES. ÁREAS
d) 7 2cm
Triángulo
e) 11cm.
16. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan BH ⊥ AC , HE ⊥ AB
y
h
HF ⊥ BC . Si AE = 1m y FC =8m . Calcular BH
a)
5m
b)
5 5m
c)
2 5m
d)
3 5m
e)
b
b) 122cm.
c) 142cm.
d) 152cm
h
A
2m
17. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus lados son
números enteros, en cm. y que uno de sus catetos mide 11cm.
a) 120cm.
Trapecio
b
A=
B
b.h
2
Cuadrado
a
e) 132cm.
A=
Paralelogramo
S
a
18. Hallar “x” en: “o” es centro
115
8
115
c)
4
95
e)
4
125
8
95
d)
8
a)
b)
S
h
a
b
S=a2
S=b.h
Polígono Regular
Rectángulo
S
a
a
19. Hallar BD = x , si AC = 18 y ABCD es un romboide
b
a) 2
b)
5 5
S=a.b
c)
d)
3 13
Rombo
e)
B+b
h
2
5
2 23
2
p: semiperímetro
A = a.p
Relación entre áreas de triángulos
semejantes
A
20. Hallar “x” en:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 7
D
b
a
h
'
S
01. C
02. B
03. A
04. C
05. C
06. C
07. E
08. E
09. B
10. B
11. C
12. B
13. B
14. D
15. C
16. C
17. E
18. B
19. C
20. E
d
A=
59
D .d
2
α
β
α
c
S
a2
b2
c2
h2
= 2 = 2 = 2 = 2
S' a'
b'
c'
h'
β
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
02. Al aumentar en la misma proporción la longitud de los lados de un cuadrado,
su área aumenta en un 69 %. ¿Qué porcentaje aumentaron sus lados?
A. 20%
B. 30%
C. 34,5%
D. 8,3 %
E. 69%
03. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el
rectángulo PQRS, si M es un punto cualquiera de la diagonal?
Área del Círculo y Longitud de su
Circunferencia
P
Área de un Sector Circular y
Longitud de Arco
Q
M
r
S
S
r
L
R
S
S=πr2
S=
LC = 2πr
Area de la corona Circular
παr 2
360º
L=
A. La de arriba es más grande
C. Son iguales
E. No hay suficientes datos
2πα r
360º
04. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14, ¿cuál es su área?
A. 3
B. 7
C. 10
D. 14
E. 28
Área del Segmento Circular
r
r
B. La de abajo es más grande
D. Sólo son iguales si M es punto medio
05. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
S
A
B
D
C
R
A=π(R2-r2)
S=
πα r 2 r 2 sen α
−
360º
2
B. π /4
C. ½
D. 1 A. π /2
06. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
01. Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud;
los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica
en la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área
de la parte gris?
π /4
E. 1 -
π /2
E. 6/
3
6
3
3
A. 1
B. ½
C.. 1/3
D. ¼
E. 2/3
A. 9
60
B.
3/ 2
C. 18
D. 12
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
o
07. En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo ABC es de 72 . Se rota el
triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B,
obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es el
descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada?
11. Cuál es la relación entre la parte sombreada y la no sombreada?
A. 2/15
B. 1/16
C. 3/16
D. 1/12
E. 1/18
C
D
2
12. El área de un rectángulo es 1230 m . Si el largo aumenta en 9m y el ancho en
20m resulta un cuadrado. Calcular el perímetro del rectángulo original.
A. 140 m
B. 142 m
C. 150 m
D. 152 m
E. 160 m
A
A. π/6
B. π-3/2
B
C. π/10
D. 1 - π/2
13. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Si la
2
suma de sus áreas es 100 m . Cuál es su diferencia?
2
2
2
2
2
A. 20 m
B. 40 m
C. 30 m
D. 10 m
E. 50 m
E. 3π/8
08. Hallar el área sombreada si el radio de los círculos iguales es: R
En el cuadrado ABCD, determinar la relación p/q.
A. 3R2(4 - π)
B. 3πR2 – 5R2
C. 8πR2 – 3R2
2
2
2
D. 10R - 7πR
E. 6πR
09. Cuál es el área sombreada si los círculos iguales tienen radio: 4 cm
A.
B.
C.
D.
E.
A. 2
2
3π R
2
4π R
2
2π R
2
πR
2
5π R
C. ½
D. 2/3
E. 3/2
14.
Sobre una recta se toman los puntos A, B y C de modo que AB=4m y
BC=3m . A un mismo lado de la recta se construyen los triángulos equiláteros
2
AEB y BDC. Hallar el área del cuadrilátero AEDC en m .
A. 14
3
B. 14
6
C. 21
3
D. 27
6
E. 9,25
3
15.
En un trapecio ABCD, AB//CD, AB>CD. Las áreas de los triángulos AOB y
2
2
COD son de 25m y 12m . Hallar el área del trapecio. (O es punto de corte de las
diagonales).
2
2
2
2
2
A., 60m
B. 71,6m
C. 78m
D. 72,5m
E. 66,2 m
10. Hallar el área sombreado si el cuadrado tiene lado igual 4 m.
2(π- 3)
A.
B.
C.
D.
B. 1/3
4(π - 2)
4(3π -1)
8(π -2)
4π
16.
Dado un segmento de recta AB=a, determinar sobre ella un punto M de
modo que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros de lados MA y MB
sea mínima.
A. MA=a/2
B. MA=a/3
C. MA=a/4
D. MB=a/3
E. MB=a/4
61
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Ecuaciones de la Recta:
17.
Hallar el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito en un
triángulo ABC, AC=b y su altura BH=h. Uno de los lados del rectángulo está
sobre AC.
A. bh/3
B. bh/4
C. bh/5
D. Bh/8
E. Bh/6
18.
Un triángulo y un trapecio tienen áreas y alturas iguales. Si la base del
triángulo mide 18 cm, hallar la mediana del trapecio.
A. 36cm
B. 18cm
C. 9cm
D. 30cm
E. 26cm
CLAVE
01- B
07 – C
13 – E
02 – B
08 – A
14 – E
03 – C
09 – D
15 – B
04 – B
10 – B
16 – A
05 – C
11 – B
17 – B
Si tiene pendiente m y pasa por P 0(x0;y0)
L:
Si se conocen dos puntos P1(x1;y1) y P 2(x2;y2)
L:
Ec. General de la recta
06 – A
12 – A
18 – C
( y − y0 ) = m(x − x0 )
( y − y1 ) =
y2 − y1
( x − x1 )
x2 − x1
L : Ax + By + C = 0; m = −
Ec. de una Recta Vertical que pasa por P(h,k)
L:
B
; A ≠ 0,
A
x-h=0.
Recuerda que:
TEMA 14
GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO
Si L1//L2
m(L1) = m(L2)
•
Si L1⊥L2
m(L1).m(L2)= -1
•
Distancia del punto P(x0 ,y0) a la recta L: Ax+By+C=0
D(P ; L ) =
14.1 Distancia entre dos Puntos, Punto Medio de un Segmento
d (P0 , P1 ) =
•
(x1 − x0 )2 + ( y1 − y0 )2
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
14.3 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. Al segmento que une el centro de la
circunferencia con un punto de ella, se le llama radio (r).
 x + x0 y1 + y0 
M = 1
;

2 
 2
Ecuaciones de la circunferencia:
14.2 la recta
Es el lugar geométrico de todos los puntos del
plano dispuestos en una misma dirección.
Al ángulo “α” se le llama ángulo de inclinación de
la recta.
Se define la pendiente de la recta no vertical
como la tangente de su ángulo de inclinación
Ec. Canónica
:
x2+y2=r2
Ec. Ordinaria
:
(x-h)2 +(y-k)2=r2
Ec. General
:
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
Dada la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F = 0; se considera que :
Pendiente de la recta L: m(L)=tanα
m=
y1 − y0
x1 − x0
62
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
•
•
•
Si D 2 + E 2 − 4 F > 0 representa una circunferencia de radio
1
r=
D 2 + E 2 − 4 F y centro en  − D ;− E  .
2
 2 2
2
2
Si D + E − 4F = 0 . Representa solo al punto  − D ;− E  .
2
 2
Si D 2 + E 2 − 4F < 0 , no representa ningún conjunto en el plano.
Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje X
14.4 Parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un
punto fijo y una recta fija; el punto fijo se llama foco y la recta fija directriz
Ec. Canónica
: y2=4px
Ec. Ordinaria
Ec. General
: (y-h)2=4p(x-k)
: Ax+By2+Cy+D=0
14.5 Elipse: La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante igual a “2a”
14.5.1.Elementos de la Elipse:
F; F’
FF’
V; V’
VV’
xx’
C
yy’
AA’
DD’
L
14.4.1 Ecuaciones de la parábola
Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje Y
: focos
: 2c
: vértices
: eje mayor = 2a
: eje focal
: centro.
: eje normal
: eje menor= 2b
: cuerda
: directriz
Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si la
cuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto. Longitud
2
del lado recto se calcula como 2b
Ec. Canónica
: x2=4py
Ec. Ordinaria
Ec. General
a
: (x-h)2=4p(y-k)
: Ax2+Bx+Cy+D=0
Se cumple la relación pitagórica a2 = b2 + c2.
La excentricidad está dada por: e =
63
c
<1
a
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
14.5.2
Ecuaciones de la Elipse
14.6.1 Elementos de la Hipérbola
LA2
Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje X
LD
E
LN
2
LD
LA1
1
L
B1
LF
V2
F2
V1
C
E’
R
B2
2
2
Ec. Canónica: x + y = 1
2
2
a
b
Ec. Ordinaria: (x − h ) + ( y − k ) = 1
a2
b2
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0
(A.B>0)
2
F1
:Eje transverso
:Segmento focal
:Directriz
:Eje focal
:Eje normal
:Asíntotas
:Centro
:Vértices
:Focos
:Lado recto
:Cuerda focal
:Eje conjugado
V1V2 (2a)
F1 F2 (2c)
LD1 y LD2
LF
LN
LA1 y LA2
C
V1 y V2
F1 y F2
LR
EE’
B1B2 (2b)
2
14.6.2 Ecuaciones de la Hipérbola
Para Hipérbolas que tienen su eje focal paralelo al eje X
Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje Y
2
2
Ec. Canónica: x 2 − y2 = 1
a
2
2
Ec. Canónica: y + x = 1
2
a
b2
b
Ec. Ordinaria:
( y − k )2 + (x − h )2 = 1
a2
b2
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0
(x − h )2 − ( y − k )2
Ec. Ordinaria:
=1
a2
b2
2
E. General: Ax +By +Cy+Dx+F=0
(A.B<0)
2
Se cumple que:
•
c2=a2+b2
14.6 Hipérbola: Es el lugar geométrico de un punto (P) que se mueve en un plano
de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2)
llamados focos, es siempre igual a una constante positiva (2a).
•
Excentricidad: e = c > 1
•
2
Longitud del lado Recto LR = 2b
a
a
64
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
d) y2-16x-14y-33=0
e) y2+10x-14y+33=0
PROBLEMAS
1.
2.
Uno de los extremos de un segmento de longitud de 5 cm es el punto A(-3;-2)
si la abscisa del otro extremo es -6. Halla su ordenada
a) 2
b) -6
c) a y b
d) -2
e) 6
Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos A (1;-2), B(4;-2) y C(4;2)
Determina las longitudes de los catetos, la longitud de la hipotenusa y el área
del triángulo. Da como respuesta la suma de estas cantidades
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
3.
Los puntos M( 1/3;4) y P(8/3;5) son los puntos de trisección del segmento AB,
halla la longitud del segmento AB
a) 6
b) 7
c) 8
d) 57
e) 58
4.
Dadas las rectas : L1 que pasa por los puntos (-2;3), (1;5) L2 : 2ax –(a+3)y = 5
si L1 es perpendicular a L2, halle (a+1)
a) -9/7 b) -2/7 c) 4/ 7 d) -3/7 e) 2/7
5.
Una recta pasa por los puntos A(1;2) y B(-3;8). halla la ordenada del punto
sobre la recta que tiene como abscisa 5
a) 2 b) 3 c) -4 d) -3 e) 5
6.
Dada la ecuación de la recta L: 2x-y-2=0, halla la ecuación de la recta L1 que
pasa por el punto (8;4) y es perpendicular a L
a) x+2y-16=0 b) 2x-5y-16=0 c) x-2y+8=0 d) 2x+4y+16=0 e) x+2y+16=0
7.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y forma
un ángulo en posición normal de /4 rad
a) y=x b) y=-x c) y=2x d) y=-2x e) y=2
8.
La ecuación de la parábola cuyo vértice está en (5;-2) y su foco está en (5;-4)
es:
a) x2 -10x+8y+41=0
b) x2 +10x-8y+41=0
c) x2 -10x+8y-41=0
d) x2+10x+8y+41=0
e) x2 -10x-8y-41=0
9.
10. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el centro y un
diámetro en la parte superior de 32 cm. La distancia del vértice al foco es:
a) 16 b) 12 c) 15 d) 16/3 e) 24
11. Halla la ecuación de la parábola con vértice de abscisa positiva y que pasa
por los puntos A(7;8) y B(7;-12). Además tiene como directriz la recta x+3=0
a) (y+2)2 =20 (x-2)
b) (y-1)2 =20 (x+2)
c) (y-2)2 =8 (x+2)
d) (y+2)2 =20 (x+2)
e) (y-1)2 =20 (x-2)
12. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la recta L1: 2x+y-1=0, su
vértice pertenece a la recta L2: x-y+3=0 y su directriz es la recta L3: x+4=0
a) (y+1)2=4(x-2)
b) (y+1)2=8(x+2)
c) (y-1)2=8(x+2)
d) (y+1)2=4(x+2)
e) (y-1)2=8(x-2)
13. El foco de una parábola es el punto A(4,0) y un punto sobre la parábola es el
punto P(2;2) entonces, la distancia del punto P a la recta directriz de la
parábola es:
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 3 e) 2
14. El término independiente de la ecuación general de la circunferencia de centro
(2;5) y radio 6 es:
a) 25 b) 36 c) 7 d) -7 e) -10
15. Se tiene una circunferencia que pasa por los puntos a(-5;1) b(-2;4) y c(1;1),
Halla las coordenadas del centro
a) (2;1) b) (-2;1) c) (1;2) d) (-1;2) e) (-2;-1)
16. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a(4;6), b( -2;-2) y
c(-4;2) es:
a) x2+y2-2x-4y-10=0
b) 3x2+3y2-2x-4y-20=0
c) x2+y2-4x-4y-2=0
d) x2+y2-2x-4y-20=0
e) x2+y2-2x-4y+20=0
La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X, que pasa por los puntos
(3/4;9), (-5/4;1), (0;11) es:
a) y2+16x-14y+33=0
b) y2+16x+14y+33=0
c) y2+16x-14y-33=0
65
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
23. Dados V(-3;4) y la directriz y = 2, calcular la ecuación de la parábola.
17. Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación está dada por:
x2+y2-2x+y-1=0
a) c(1;1/2) r=3/2
b) c(1;-1/2) r=3/2
c) c(1;-1) r=3/2
d) c(1;-1) r=3
e) c(1;-3/2) r=2
A) x2 + 6x – 8y + 31 = 0
C) x2 + 6x – 8y + 51 = 0
E) x2 + 6x – 8y + 71 = 0
18. Para qué valores de m y k la ecuación: mx2+y2+4x-6y+k=0 representa una
circunferencia?
a) m=1 k<13
b) m=1 k=13
c) m=2 k>11
d) m=2 k>13
e) m=2 k<13
24. Hallar la ecuación de la parábola Siendo el foco F (5;0) el LR = 12 sabiendo
que el eje coincide con el eje X’X.
A)
B)
C)
D)
E)
19. Encuentre una ecuación para la elipse con centro en (2; -3) un foco en (3;-3) y
un vértice en (5;-3).
2
2
a) ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 1
9
8
2
2
b) ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 1
A)
B)
C)
b) 18/5
A)
B)
C)
25
c) 24/5
d) 144/5
y2 + 4y + 4x – 8 = 0
y2 + 4y + 4x + 8 = 0
y2 – 4y + 4x – 8 = 0
D) y2 – 4y + 4x + 8 = 0
E) y2 – 4y – 4x – 8 = 0
26. El LR de una parábola es 1; el eje es paralelo a XX’. La parábola pasa por P(6;4) y Q(9;1). Deducir su ecuación.
20. El área del rectángulo cuyos vértices son los extremos de los lados rectos de
2
2
la elipse ( x − 3 ) + ( y + 4 ) = 1 es:
a) 25
y2 =12x + 24 ; y2 = –12x – 24
y2 =12x – 24 ; y2 = –12x + 24
y2 =12x – 24 ; y2 = –12x – 24
y2 =12x + 24 ; y2 = –12x + 24
y2 =12x – 14 ; y2 = –12x – 14
25. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que el lado recto es 4 y que pasa
por Q(–1; –2); siendo su eje paralelo a XX’. Además su vértice esta sobre la recta
x = 3.
9
8
c) ( x − 2 )2 + ( y + 3 )2 = 1
8
9
2
2
d) ( x + 2 ) + ( y − 3 ) = 1
9
5
2
2
e) ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 1
3
2
9
B) x2 + 6x – 8y + 41 = 0
D) x2 + 6x – 8y + 61 = 0
e) 8/5
21. La ecuación de la hipérbola de focos (0;-5) y (0;+5) y asíntotas 3x +2y = 0 es:
a) 5x2+117y2 =900
b) 20y2+45x2 =900
c) 52y2-117x2=900
d) 20y2-45x2=600
e) 5y2-117x2=900
2
(y – 6) = (x + 7)
(y – 5)2 = (x - 7)
2
(y + 5) = (x + 7)
2
D) (y + 5) = (x - 7)
E) (y – 5)2 = (x + 7)
27. Hallar las ecuaciones de la asíntotas de la siguiente hipérbola.
4 x2 − 45 y2 = 180
28. Hallar los focos de la hipérbola:
49 y 2 − 16 x 2 = 784
29. Hallar la excentricidad de hipérbola.
22. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son f 2(5;0) y f1(-5;0) tal que
la diferencia de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 8.
a) 9x2-16y2=144
b) 9x2-16y2=72
c) 16x2-9y2=144
d) 9x2-25y2=100
e) 9x2-81y2=144
x 2 − y 2 = 25
30. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisfaga la condición siguiente:
Eje normal 24, focos (0; ± 13 )
31. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface la condición siguiente:
Centro (0; 0) un foco (8; 0), un vertiente (6; 0)
66
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Los prismas se denominan según sean sus bases:
- Prisma triangular (sus bases son triángulos)
- Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)
- Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos)
TEMA 15
SUPERFICIE PRISMÁTICA
15.1 POLIEDRO REGULAR:
Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en
cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Existen 5 tipos de
poliedros regulares:
15.3 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o rectoedro):
Área lateral = 2ac + 2bc
Área total = 2ac + 2bc + 2ab
Volumen = a · b · c
Diagonal: D 2 = a2 + b2 + c2
Vértices de
Orden
C
Nº de
caras
A
Nº de
aristas
V
Nº de
vértices
TRIÁNGULO
3
4
6
4
TETRAEDRO
15.4 HEXAEDRO (cubo)
CUADRADO
3
6
12
8
HEXAEDRO o
CUBO
x : l ad o d e l c ub o
D : d ia g o n a l d e l c u b o
PENTÁGONO
3
12
30
20
DODECAEDRO
D=x 3
S t o t a l =6 x
V =x3
Polígono
utilizado
Nombre del
poliedro
TRIÁNGULO
4
8
12
6
OCTAEDRO
TRIÁNGULO
5
20
30
12
ICOSAEDRO
c
D
b
a
D
2
x
15.5 El PRISMA RECTO REGULAR:
Fórmula de EULER
En todo poliedro convexo, la suma de los vértices más las caras es igual a las
aristas más 2
Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura.
AL = P . h
Área Total = Área lateral más el área de las dos bases.
AT = AL + 2. ABase
V+C=A+2
Volumen = Área de la base por su altura
V = ABase · h
15.2 PRISMA REGULAR: Un prisma es una figura geométrica formada por varios
paralelogramos iguales llamados caras laterales, y dos polígonos iguales y
paralelos llamados bases.
67
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Ejercicios y problemas
de los lados, entonces la distancia máxima que puede recorrer antes de que
vuelva a un vértice por segunda vez, sin recorrer un lado dos veces será:
A. 24cm
B. 12cm
C. 30cm
D. 21cm
E. 18cm
01. Calcular el volumen de un prisma recto que tiene por bases cuadrados. Si la
altura mide 6 y el desarrollo de la superficie lateral es un rectángulo cuya
diagonal mide 10.
A. 12
B. 24
C. 40
D. 48
E. 36
11. De una lámina rectangular de 10 cm de lado y 14cm de largo, se construye
una caja abierta, cortando un cuadrado de “x” cm de lado en cada esquina. El
volumen resultante de la caja es:
2
3
2
2
2
3
A. 140x – 48x + 4x
B. 140x + 48x + 4x
C. 140x + 24x + x
2
3
2
3
C. 140x – 24x + x
D. 140x + 12x + 4x
02. Cuál es el área total de un hexaedro regular, si la distancia de un vértice al
centro de una cara opuesta es “d”.
2
2
2
2
2
A. d
B. 2d
C. 3d
D. 4d
E. 5d
12. Se tiene un rectoedro regular (cubo) de arista 5m. Hallar la menor distancia
para ir de un vértice al vértice opuesto, recorriendo la superficie cúbica.
A. 11,18m
B. 8,66m
C. 12,07m
D. 15m
E. 14,14m
03. Una de las aristas de un paralelepípedo mide 5 y las otras dos se encuentran
en la relación de 1 a 2. Si el volumen es 10. Hallar el área total del
paralelepípedo.
A. 28
B. 30
C. 32
D. 34
E. 36
04. Hallar el área lateral de un prisma regular recto hexagonal, de altura 6
el radio de la base 4m.
A. 120
3m
2
2m
B. 100
2
C. 144
3m
2
D. 180
13. En un prisma regular la diagonal mayor, que mide 4, forma un ángulo de 60º
con la arista lateral del prisma. Calcular el volumen del prisma.
3my
A. 6
3m
3
A. 480
07. La suma de las diagonales de todas las caras de un cubo es 12. Calcular el
área total del cubo.
A. 3
B. 6
C. 12
D. 18
E. 24
3
3
D. 125m
E. 32m
CLAVE:
01 – B
06 – C
11 – A
3
09. Una chimenea de 3m de altura tiene la forma de un prisma hexagonal regular.
Determinar su espesor si el volumen de fábrica es igual al volumen interior. El
lado del hexágono interior es
A. 0,62m
B. 0,48m
2 m.
C. 0,38m
D. 0,70m
3 cm3
B. 420
D. 440
08. La distancia de una de las diagonales de un hexaedro regular a una de sus
C. 64m
C. 12
3
D. 18
E. 16
3
15. Hallar el volumen de un prisma recto de 10cm de altura, de base cuadrilátero
inscriptible. Una de las diagonales del cuadrilátero lo divide en triángulo
equilátero de 8cm de lado y en un triángulo isósceles.
06. Las caras de un paralelepípedo rectángulo tienen áreas de 6, 8 y 12. Calcular
su volumen.
A. 16
B. 18
C. 24
D. 28
E. 32
2 m. Hallar el volumen del cubo.
3
14. En una batea de 10 pies de largo y de sección trapecial isósceles, de altura 2
pies y base superior 3 pies, se vierte agua a razón constante. Cuando el
3
volumen de agua es 45/2 pies , a qué altura de la base se encuentra el agua?
A. 1
B. ½
C. ¼
D. 2/3
E. 3/2
05. Hallar el volumen de un prisma recto de base triangular rectangular cuyos
catetos miden 15 y 20 m respectivamente. Su altura es 50m.
3
3
3
3
3
A. 7500m
B. 750m
C. 1500m
D. 15000m
E. 150m
aristas no contiguas es 2
3
3
A. 8m
B. 27m
B. 9
2
E. 0,51m
10. Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de 3cm de longitud cada
uno. Si una mosca parte de uno de sus vértices y sigue caminando a lo largo
68
3 cm3
3 cm3
3
E. 640 3 cm
3
3 cm3
02 – D
07 – B
12 – A
C. 460
03 – D
08 – C
13 – B
04 – C
09 – E
14 – A
05 – A
10 – D
15 – E
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
Ejercicios y Problemas
TEMA 16
NIVEL I
SUPERFICIE PIRÁMIDAL
1.- En la figura. Si EB ⊥ ABCD ; EB = 3
PIRÁMIDE RECTO
Es un poliedro que tiene por base una región poligonal, las caras laterales son
triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
y
AB = 4 donde ABCD :
cuadrado. Hallar el volumen de la pirámide.
a) 10 u 3
b) 16 u 3
h : altura de la pirámide
Ap: Apotema de la pirámide
ap: Apotema de la base
h
c) 20 u 3
Ap
d) 40 u 3
e) 48 u 3
ap
2.- Calcular el valor de x
en la siguiente pirámide regular, si el volumen es
48 cm 3
16.1.
a.
b.
CLASIFICACIÓN
2 cm
2 cm
3
c) 2 2 cm
d) 4 3 2 cm
e) 8 cm
a)
Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular,
pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal, etc.
Por su forma pueden ser:
Ø Regular: cuando la base es un polígono regular y la altura cae en el
centro
Ø Irregular
Ø Convexa: cuando la base es un polígono convexo
Ø Cóncava.
b)
3.- Calcular la apotema de una pirámide pentagonal regular cuya área lateral es
315 cm 2 y la arista básica mide 6cm .
a) 15 cm
b) 18 cm
c) 20 cm
d) 21 cm
e) 30 cm
16.2. Áreas y Volumen
a. Área Lateral
§
A L = Suma de áreas de caras laterales
4.- La base de una pirámide regular es un hexágono de área 6 3 cm 2 . Las
aristas laterales forman ángulos de 45° con la base. Hallar el volumen del
sólido.
1
§
AL = p × AP ; Si la pirámide es regular, donde: p es el
2
perímetro de la base
b. Área Total
§
AT = AL + AB donde: A B : área de la Base
c.
a) 4 3 cm 3
b)
Volumen
§
3
3 cm
3
c) 3 3 cm 3
1
V = A B .h
3
69
d) 6 3 cm 3
e) 3cm 3
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
NIVEL II
5.- Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica
mide 6cm, siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base.
6 cm 3
d) 72 6 cm 3
6.-
1.-
6 cm 3 c) 54 6 cm 3
e) 96 6 cm 3
a) 24
b) 36
el volumen de la pirámide
Q − ABC sabiendo que
m ∠ QCA = m ∠ QCB = m ∠ ACB = 90 ° , además AQ = 15 m ,
Calcular
AB = 106 m y QB = 13 m .
la base de una pirámide es un cuadrado y una arista lateral le es
perpendicular. Si dos de las otras aristas laterales tienen longitudes de 10 y
a) 60 m 3
136 cm. Hallar el volumen del sólido.
a) 48 cm 3
b) 64 cm 3
c) 96 cm 3
3
3
e) 128 cm
d) 112 cm
b) 70 m 3
c) 80 m 3
d) 90 m 3
e) 100 m 3
7.- El área total de una pirámide regular pentagonal es de 45 u 2 y su área lateral
25 u 2 . Calcular la relación entre las longitudes de apotemas, de la base de la
pirámide y de la pirámide misma.
a) 5/4
d) 1/5
b) 4/5
2.- ¿Cuál es el peso del sólido representado por la figura adjunta, el mismo está
construido de un metal cuyo peso específico es de 7 gr / cm 3 .
c) 1/2
e) 2
8.- Calcular el volumen de un octaedro regular, cuya diagonal mide “ 4 ” unidades
a) 5 . 33
d) 32 . 00
b) 10 .66
a)
b)
c)
d)
e)
c) 21 . 33
e) 64 . 00
4.9392N
0.1008N
3.9502N
5.1428N
0.9528N
4.5 2cm
9.- Un cubo y un tetraedro regular tienen igual volumen. Las aristas de estos
sólidos tienen longitudes que son entre si como:
a) 1
d)
6
b) 2
36
e)
c)
6
6
72
18
3.- Un plano pasa por las diagonales de 3 caras consecutivas de un cubo de arista
L formándose un tetraedro. Hallar el volumen de dicho tetraedro.
3
3
3
3
3
d) L
b) L
c) L 2
e) L
a) L
2
3
3
6
6
6
3
10.- Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro regular de arista 6cm,
se forma un sólido de volumen
a) 16 cm 3
2 cm 3
c) 16 3 cm 3
b) 16
4.- Calcular el área lateral de una pirámide regular cuya base es un cuadrado
inscrito en una circunferencia de radio “ R ” y la altura de la pirámide es
R
2.
2
d) 8 2 cm 3
e) 8cm 3
a) 2 R
70
2
b) 2 3 R 2
c) 3R 2
d) 2
6R 2
e) 2
2R2
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
5.- En una pirámide regular cuadrangular, calcular la relación entre el volumen del
sólido que se forma al unir los baricentros de las caras laterales con el vértice
de la pirámide y el volumen de la pirámide original.
a) 2/9
b) 3/8
c) 4/9
d) 4/27
TEMA 17
SUPERFICIES DE REVOLUCION
e) 2/13
17.1Superficie cilíndrica – cilindro: Es aquella superficie generada por
la rotación de un rectángulo sobre uno de sus lados
Fórmulas:
6.- Hallar el área lateral de una pirámide regular hexagonal en donde su base se
encuentra circunscrita a una circunferencia de radio 3 y además la arista
lateral hace con la base un ángulo de 60 o .
a) 12 15
b) 13 . 5 15
c) 15 15
d) 16 15
r: radio de la baseπ
h: altura
S l a t e r a l = 2πr h
S t o t a l = 2 πr ( r + h )
V = πr 2 h
e) 18 15
7.- El área lateral de una pirámide regular de apotema a es 40, si el ángulo
h
r
formado entre la base y una cara lateral es 60 o . Hallar el volumen de la
pirámide, si a = 3 .
a) 8
b) 10
c) 12
d) 15
17.2 Cono: Sólido generado por la rotación de un triangulo rectángulo
sobre uno de sus catetos.
Fórmulas:
e) 20
8.- Cuatro esferas del mismo radio de longitud r están en un plano, de manera que
están en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se coloca
sobre ellas en el centro, al unir sus centros de las esferas se forma un sólido.
Hallar el volumen del sólido.
8 3
a) 4 2 r 3
b) 2 2 r 3
c)
d)
4 r 3 e) 8r 3
r
3
3
3
r: radio de la base
h: altura; g:generatriz
r 2 +h2 =g 2
S l a t e r a l = πr g
S t o t a l = πr ( r+ g )
V =
9.- Hallar el radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular de arista x .
a) x 3
6
b) x 6
12
d) x 3
12
c) x 6
4
g
h
1
π r 2h
3
r
e) x 6
6
10.- Hallar el radio de la esfera inscrita en una pirámide SABC donde el triedro
S es trirrectángulo y AS = 4 , SB = 2 y SC = 3 .
a)
d)
N-I
N-II
12
61 + 13
12
61 + 6
1-b
1-d
b)
e)
2-d
2-a
9
61 + 13
Problemas
3
21 + 12
c)
NIVEL BÁSICO
12
51 + 13
3-d
3-e
4-a
4-e
1.
5-d
5-d
6-c
6-e
7-b
7-b
8-b
8-a
9-c
9-c
10-b
10-
71
Un cilindro tiene un radio de 10 2m . Determinar su área total y volumen,
2
si su área lateral mide 1600m
A)400(4 + π ) y 8000 2m3
B )200(4 + π )m 2 y8000 2m3
C )400(4 + π ) y 4000 2m3
D )800m 2 y8000m3
E )4000m 2 y8000m3
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
2.
Hallar el volumen de un cilindro cuya circunferencia mide 94,2m y un
altura igual al doble del diámetro. π = 3,14
A)375000m3
B)475000m3 C )42390 m3
D)35347m3
Si el área lateral de un cono es ¾ de su área total. ¿Cuál será la relación
que existe entre la generatriz y el radio del cono?
A)1/ 3 B)2 / 3 C )4 / 3 D )3 / 2 E )3
4.
El volumen de un cono circular recto es 324 π cm . Si el radio de la base
mide 9 cm, la generatriz del cono mide:
A)12cm B )15cm C )9cm D )16cm E )36cm
5.
¿cuál es el volumen de una esfera en la que su circulo máximo tiene
2
36,86m ( π =22/7)?
Calcular el volumen de un cilindro circular recto, suyo desarrollo de su
superficie lateral es un cuadrado de lado “a”
7.
En un cono circular recto la suma de la generatriz con el radio de la base
es 8. Si su altura es 4, calcular su volumen.
A) a 3 / π 2
E )40373m3
3.
6.
A)4π
8.
3
9.
NIVEL INTERMEDIO
1.
Encontrar el volumen de una esfera, si el área de la superficie de la
esfera es igual al área de la superficie total de un cono de revolución de
radio 4cm y altura 3cm.
A)16π cm3 B)24π cm3 C)12π cm3 D)36π cm3 E)45π cm3
2.
Una esfera de volumen V es calentada hasta que su radio se encuentra
en un décimo. El nuevo volumen de la esfera será.
A)10−3 V
3.
B )1, 21V
C )1,331V
D)1,1V
5.
C )12π
D )a 3 / 4π
E )a 3
D)36π
E )π
3
B )19π cm3
C )36cm3
D)38cm3
E )36cm3
Un cono de revolución se llama equilátero si la generatriz mide igual que
el diámetro de la base. Hallar el volumen de un cono equilátero,
conociendo el radio r de la esfera inscrita en él.
A)2π r 3 B)π r 3 C )π r 3 3 D )3π r 3 E )9π r 3
10. Se funde una bala de plomo de radio 8cm para obtener luego bolitas del
mismo material con un radio de 1cm cada una. ¿Cuántas bolitas, como
máximo, se obtendrán?
A)8 B)16 C )64 D)125 E)27
NIVEL AVANZADO
1.
E )1, 030V
El radio de la base de un cilindro recto circunscrito a una esfera es 3.
hallar la diferencia de los volúmenes de los sólidos.
A)16π B)18π C )20π D)22π E )24π
2
Un cono recto tiene por base un circulo de 8m de área y una altura de
8m. Si a 2m del vértice se traza un plano paralelo a la base. ¿Cuál será el
área de la sección?
A)1m 2
2.
4.
B)6π
C )a 3 / π
Un cono de revolución de vértice E, y volumen 54cm , se traza un
diámetro AC en el circulo de la base. Hallar el volumen del tronco de
cono que se determina al trazar un plano paralelo a la base por el
baricentro de la región triangular.
A)19cm3
A) 83,81m3 B) 80,88m3 C) 38,81m3 D) 30,89m3 E) 37,81m3
B )2a3 / π
La altura y el diámetro de la base de un cono recto mide 9 y 8
respectivamente. En el cono se inscriben un cilindro recto cuya área
lateral es 10 π y del radio básico x. Hallar x, si x >1
A)11/ 3 B)7 / 3 C )5 / 3 D )10 / 3 E )8 / 3
B )0, 25m 2
C )0,5m 2
D )1,5m2
2
Se inscribe una esfera en un cono cuya base mide 25 r m y altura 12m.
por los puntos de tangencia de la esfera y la superficie cónica se traza un
plano paralelo a la base del cono. Hallar el área de la sección.
A)1600π m2 B)169m2 C )16/169m2
Un cilindro de 30cm de radio y 50cm de altura esta completamente lleno
de agua, si dentro de él se introduce un trozo de madera labrado en
forma de prisma de base cuadrada de 10cm de lado y cuya altura es
20cm. El agua se derrama. La camtidad de agua que queda en el
recipiente es de:
A)100l B)105l C )75l D)120l E )139,37l
72
E )1, 25m 2
D)169π m2
E)1600π /169m2
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
TEMA 18
2) Simplificar:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
A)
B)
C)
D)
18.1 IDENTIDADES FUNDAMENTALES O BÁSICAS
A) Identidades Recíprocas:
Tgx =
ü
Ctg =
3)
2
senx
cos x
cos x
senx
4)
4
2
5)
2
Sen x + Cos x = 1-2Sen x.Cos x
4
4
2
2
Sen x - Cos x = Sen x - Cos x
2
2
2
2
Tg x – Sen x = Tg x.Sen x
6
6
2
2
Sen x + Cos x = 1-3Sen x.Cos x
NIVEL I
4
β
a2-4
B)
C)
2
de las ecuaciones:
Secx
Cscx
2
Sec x
2
Csc
2
2Sec x
73
a2 − 4
a +4
a2 + 4
a
4
, evaluar: Sen x+ Cos x
∧
Sec β - Tg β = a
Si: Tgx + Ctgx = a . Calcular: E = Tgx-Ctgx
A)
D)
E)
1) Simplificar: ( 1+Tgx)2 + (1-Tgx)2
A)
B)
C)
D)
E)
2
A)1
B)2
C)3
D)5
E)6
2
Sen x + Cos x = 1
2
2
1+Tg x = Sec
2
2
1+Ctg = Csc x
4
Eliminar
Tg β + Sec β = 2b
D) Identidades Auxiliares:
ü
ü
ü
ü
Si: Senx + Cosx =
A)½
B)1
C)2
D)2/3
E)1/3
C) Identidades Pitagóricas:
ü
ü
ü
Senx
2
Csc x
2
Cosx
E) 1
ü Senx.Cscx = 1
ü Cosx.Secx = 1
ü Tgx.Ctgx = 1
B) Identidades por Cociente:
ü
1
1
+
2
1 + Sen x 1 + Cosc 2 x
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
NIVEL II
5) Si:
1)
Si: x está en el 2do cuadrante. Simplificar
E=
(1 − senx)(1 + cos x) + (1 + senx)(1 + cos x)
A)
B)
C)
D)
E)
A) senx
senx
B)
C) 2
D)
E)
senx
A)
6
1
2
3
4
½
6
4
4
Cos θ
B) ½ Cos θ
2
C) Cos θ +1/2
D) 3Cos θ
Senx
1
2
Cos x
Senx.Cosx
0
3) Simplificar: E =
E) Cos θ +1/3
7) Reducir:
1
1
1
1
+
+
+
2
2
2
1 + sen x 1 + csc x 1 + cos x 1 + sec 2 x
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A)
B)
C)
D)
E)
(1 − senx − cos x) 2
(sec x − 1)(1 + senx)
2Senx
2Cosx
2Tgx
2Ctgx
2Secx
2
4
4
4
8) Si: Sen x + Cos x =n , hallar K=Sen x + Cos x
4) Si: Senx.Cosx = 0,48 Calcular: E =
A)
B)
C)
D)
E)
Calcular: p-q+r
6) Si: Ctg θ + Csc θ = 3, hallar Sen θ en función de Cos θ
2senx
3 cos x
2) Reducir: 4(Sen x + Cos x) – 3(Cos x – Sen x)
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
+
≡ p + qTan r x
1 + senx csc x − 1
A)
B)
C)
D)
E)
senx + cos x
sen − cos x
Senx
Cosx
1
Cscx
7
2n+1
2n-1
n+1
n-1
2n
9) Hallar “m” en la identidad:
A)
B)
C)
D)
E)
74
2
Sen x
2
Cos x
2
Tg x
2
Ctg x
2
Sec x
Csc 2 x − Sen 2 x 1 + m
=
(Cscx − Senx) 2 1 − m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
18.2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
a)
Ejercicios
De ángulos compuestos:
1.
Sen (a+b)= sena . cosb + cosa . senb
Sen (a-b) = sena . cosb – cosa . senb
tan a + tan b
1 − tan a. tan b
tan a − tan b
tan( a − b) =
1 + tan a. tan b
b)
A)2 / 3 B)3 C )2 D )1 E )1/ 2
3.
Si Sen α = 0.8
3 Sen15º + cos 15º
E )1
α ∉ IQ , calcular_
Sen( α + β ; sen β = 0, 6 ) ^ β ∈ IQ
^
A)3/ 5 B ) 2 / 2 C ) 3 / 2 D)7 / 25 E )1/ 2
4.
x
1 − cos x
=±
2
2
Si x + y =π/6, Calcular_
2
2
T = (senx + cosy) + (cosx+seny)
A)1 B )2 C )3 D)4 E )5
5.
Si tan(15+x)=3/5, determinar tan(60+x)
6.
La suma de las tangentes de los ángulos es “S”y la diferencia es “D”,
Calcular la tangente de la suma de dichos ángulos.
4
4D
4S 2
4S
4S
A)
B
)
C
)
D)
E)
2
2
2
2
2
2
2
4−S + D
4−S + D
S −4+ D
4−S + D
4 + S 2 − D2
7.
Si tan(37º + x ) = 4. Calcular ctgx
A)3 / 5 B)5 C )3 D)4 E )1/ 3
x
1 − cos x
=
2
1 + cos x
ctg
x
1 + cos x
=
2
1 − cos x
A)tgx B )4 / 3 C )3 / 4 D)13/16 E )16 /13
NOTA: El signo (+) ó (-) depende en que cuadrante se ubica el ángulo
(x/2) y ademas depende de la R.T. que se le aplica.
c)
Determinar S =
ctga + ctgb
1 − ctga.ctgb
x
1 + cos x
cos = ±
2
2
tg
2.
A)2 B ) 2 C )3 D ) 3
Identidades con la mitad de un arco:
sen
, calcular:
A= 16sen (x+45º)
tan(a + b) =
ctg (a + b ) =
2
8
Si senx + cosx =
Si tan α=1/2,
8.
9.
tanβ=3/4 y tanθ=1/3
Calcular: tan(α+β+θ)
10.
Calcular cos6x de las condiciones:
Identidades del ángulo doble:
A)0.5 B )7 C )1.5 D )2 E )3
Sen2x = 2senx.cosx
Cos 2x = cos2x – sen2x
Tan2x =
2tgx
1 − tg 2 x
3
2senθ
3
2 cosθ
senx - sen x =
cosx + cos x =
ctg 2 x − 1
ctg2x =
2ctgx
A)25 / 23 B ) 23 / 27 C ) − 23/ 27 D )27 / 25 E ) − 25 / 27
75
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
d)
1.
Identidades arco mitad
Si:
TEMA 19
θ
1 − cos θ
θ
cos = ±
, calcular cos , si cos θ = -0.68
2
2
2
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA
Valor Principal (VP)
VP para Senkx = a ; − 1 ≤ a ≤ 1
Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo
A) ± 0,1 B ) ± 0, 2 C ) ± 0,3 D ) ± 0, 4 E ) ± 0, 5
2.
3.
B) 2 − 2 + 3
C) 2 − 3
D) 2 + 3
E) 3 − 2 + 2
θ = cscx + ctgx, determinar:
sen 2θ + csc 2 x / 2
2 − sec θ + tgx / 2
A)Senx B )Secθ
Identidades ángulo doble
1.
Si sen
A)
2
B)
6 7
7
C)
7 3
13
7
7
D)
E)
Tgkx = a
⇒ VP es el ángulo agudo
kx = n(180°) + .VP
Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo
Si a = 0 ⇒ VP = 0°
6
12
VP para
Si sen x = 1/5. calcular 0.28sex4x-1
4.
Si tgx =
5 . Calcular tg4x
A)2 5
B ) 5 C )3 5
D)4 5
E) − 3 5
A) 3
01. Resuelve:
6 . Calcular
2 cos 2 x + 2 3sen 2 x
B) 2 C) 5
D )2 3
n∈Ζ
Resolución
Tgkx = a
n∈Ζ
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Si tgx =
E=
Coskx = a
Si a es +
A)5 B ) − 2 C )3 D ) − 3 E ) − 5
3.
Resolución
kx = n(360°) ± .VP
Si a es - ⇒ VP es el suplemento del ángulo agudo
Si a = 1 ⇒ VP = 0°
Si a = -1 ⇒ VP = 180°
Si a = 0 ⇒ VP = 90°
α = 7 / 7, Calcular csc 2α
7 6
2
n∈Ζ
VP para Coskx = a ; − 1 ≤ a ≤ 1
Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo
C )2 D) csc x E )1
e)
2.
n
Si cos
E=
Senkx = a
kx = n(180°) + (− 1) .VP
Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo
Si a = 1 ⇒ VP = 90°
Si a = -1 ⇒ VP = -90°
Si a = 0 ⇒ VP = 0°
Calcular el valor de: 2 Sen7º 30’:
A) 2 − 2 − 3
Resolución
a)
π 2π
;
3 3
E )3 2
02. Resuelve:
76
2 senx = 1 ; si 0<x< π
π 3π
π 4π
b)
c)
;
;
4 4
5 5
2 cos x = 3 ; x ∈ ]0;2π [
d)
π 5π
;
6 6
e)
π 7π
:
8 8
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
a)
π 2π
;
3 3
b)
π 7π
;
4 4
c)
π 9π
;
5 5
d)
π 5π
;
6 6
e)
π 11π
;
6 6
10. Resuelve:
a)
tgx − 3 = 0 ; x ∈ ]0; π [
π
π
π
π
c)
d)
e)
4
5
6
8
nπ
3
4Cos 2 3x − Cos 2 6 x = 3
2nπ
4nπ
b)
c)
3
3
d)
5nπ
3
e)
nπ
03. Resuelve:
a)
π
3
b)
04. Resuelve:
a)
π
2
b)
sen 2 x = sen3 x
π
π
π
c)
d)
3
4
5
05. Resuelve:
a)
π
2
b)
Cos3 x = Cos5 x
π
π
c)
3
4
06. Resuelve: 4Cos
a) 30; 150; 210; 330
d) 30; 150; 210; 240
2
e)
11. Resuelve el sistema:
π
6
π
5
d)
3
2
1
Senx − Seny =
2
Senx + Seny =
a) π ; 2π
e)
si 0<x<2 π
b) 60; 120; 210; 330
e) 30; 60; 150; 120
(
soluciones
a)
b) 4
c) 30; 45; 150; 135
a) 45
)
4
4
c) 6
8 8
b) 16
c) 37
d) 30
e)15
π
2
Tgx = 3Tgy
x+ y =
a)
Calcula la suma de
π;
π
3
d) 3
x− y =
b)
π π
;
2 4
c)
π π
;
3 6
d)
π π
;
2 6
e)
d) 4
π
3
Cosx
 x− y
= Tg 

Cosy
 4 
e) 2
(1 − Cosx + Senx)2 = 1 + Senx . Indica el número de soluciones
comprendidas en el intervalo ]0;2π [
c) 5
e) π : π
2 6
14. Resolver el sistema:
2 Sen x + Cos x = Sen x + Cos x .
∀x ∈ ]0; π [
b) 6
d) π ; π
13. Resuelve el sistema:
09. Resuelve:
a) 7
5 5
1
6
4
1
Senx.Seny =
2
4
0 ≤ x ≤ 2π ; 2Senx.Tgx − 3Tgx = 0
π 2π
π π 5π
π π
3π
a) 0; ;
c) 0; ; ; π ;
; π ;2π b) 0; ; ; ;π
3 3
3 4 4
3 6
2
π π 5π
π
5π
d) 0; ; ;
;π
e) 0; ; π ;
;2π
3 6 6
6
6
08. Resuelve:
c) π ; π
Cosx.Cosy =
07. Resuelve la ecuación en el intervalo:
6
2 4
12. Resuelve el sistema: Hallar el valor de “y”
π
6
x−3= 0;
6
b) π ; 3π
3
Hallar “x+y”
a)
e) 3
77
π
2
b)
π
3
c)
π
4
d)
π
5
e)
π
6
π π
:
6 3
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
15. Calcular el valor de “x” en el II C que verifica la ecuación:
TEMA 20
Tg ( x + 45) + Tg ( x − 45) − 2Cotgx = 0
a) 120
b)135
c) 105
d) 165
RESOLUCIÓN DE TRÍANGULOS
e) 150
20.1.
Ángulos Verticales.- Los ángulos verticales son ángulos agudos
contenidos en un plano vertical y formado por dos líneas imaginarias llamadas
horizontal y visual.
16. Resolviendo la ecuación:
(Cosx + Senx)(Cosx − Senx) + Tg 2 x = 1 ,
para qué valores de “x” menores
que 360° se encuentra:
20. 1.1 Línea Visual. Se llama línea de visión, a la recta imaginaria que une el
ojo de un observador con el lugar observado.
a) Una solución
b) Dos soluciones
c) Tres soluciones
d) Que uno de los ángulos pertenece al I C
e) Que hay dos arcos que pertenecen al IV C
20.1.2 Angulo de Elevación.- Es el ángulo formado por la línea visual y
horizontal del observador; cuando el objeto está situado por encima de la
línea horizontal.
20.1.3 Angulo de Depresión.- Es el ángulo formado por la línea horizontal y
visual del observador; cuando el objeto está situado debajo de la línea
horizontal.
17. Cuál es el menor ángulo positivo que satisface a la ecuación:
Tg α − Cotg α = 2
π
3π
a)
b)
4
8
c)
Tgx +
18. Sea la ecuación:
a) 23
b) 22
3π
4
d)
3
=4
Tgx
π
8
e)
π
6
Un valor de “x” en el I C es:
c) 22°33’
d) 45
e) 75
19. Calcular el valor del seno de un ángulo para el cual se verifica que su secante
es igual a la suma de su seno y coseno
a)
3
;0
2
1
;1
2
b)
c)
2
;0
2
d)
1 1
− ;
2 2
e)
1
;0
2
20. Hallar el menor ángulo agudo en el intervalo  7π ; 11π  que verifique a la
 3

3 
ecuación
2Tg 2 x + 3Secx = 0
a)
10π
3
b)
2π
3
c)
4π
3
d)0
e)
8π
3
CLAVE
01. D
11. D
02. E
12. D
03. A
13. C
04. D
14. A
05. C
15. E
06. A
16. C
07. A
17. B
08. A
18. D
09. E.
19. C
10. A
20. E
78
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
3.3 Ley de las Tangentes. “Se cumple que la suma de dos lados es a su
diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que se
oponen a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los
mismos”
20.2. Ángulos Horizontales.- Los ángulos horizontales son ángulos agudos
contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como punto de
referencia los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).
 A+B
tg 

a+b
2 
= 
a−b
A−B
tg 

 2 
b+c
=
b−c
B+C 
tg 

 2 
 B−C 
tg 

 2 
c+a
=
c−a
C
tg 

C
tg 

+ A

2 
− A

2 
20.3. Triángulos Oblicuángulos
Problemas
a, b y c son los lados del
triangulo.
A, B y C son los vértices
del triángulo.
20.3.1 Ley de Senos: “ En todo triángulo las longitudes de los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos ”
NIVEL I
1.- Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una
misma altura con ángulos de elevación de 53 o y 37 o si la distancia entre los
ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
a) 30m
b) 60m
c) 90m
d) 120m
e) 150m
a
b
c
=
=
senA
senB
senC
20.3.2 Ley de Cosenos.- Se cumple para todo triángulo agudo y obtuso.
“Donde, el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos, menos el doble de su producto por el
coseno del ángulo comprendido entre ellos”
2.- Un trabajador parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N 53 o O
a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc . cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac . cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab . cos C
luego recorre 40 2 km en la dirección S O , finalmente recorre 60 km
hacia el este.
¿A qué distancia se encuentra el trabajador con respecto a F?
a)
79
5m
b) 10m
c) 15m
d) 20m
e) 30m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
3.- El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un
ángulo de depresión de 15 ° . Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del
mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos
del naufragio?
a) 40 ( 2 +
2)
b) 40 ( 2 +
3)
c) 40 (3 +
2)
d) 40 ( 4 +
2)
e) 40 ( 4 −
2)
7.-
a)
b)
c)
d)
e)
1.30 m
1.50 m
1.55 m
1.73 m
1.80 m
tan β = 1 . 185 Calcular la altura del acantilado.
a) 125m
b) 248m
c) 273m
d) 284m
e) 237m
10.- Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo comprendido
vale 60 o , Calcular el menor ángulo.
BC = 3 2
a)
15°
b)
30°
c)
37°
d)
45°
e)
53°
NIVEL II
1.-
Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enteros
consecutivos es 1/5. Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a)
b)
c)
d)
e)
si
8.- Desde un punto de la tierra se divisa lo alto de un faro con un ángulo de
elevación α . Si nos ubicamos a la mitad de la distancia que nos separa del
faro, el ángulo de elevación es el complemento de α , calcular cot α
a) 1
b) 3
c) 2
d) 3
e) 3
9.- Una torre de 15m de altura esta al borde de un acantilado; y desde un punto
que esta en el suelo las elevaciones angulares para la parte superior e inferior
de la torre son α y β respectivamente. Si
tan α = 1 . 26 y
a) 1500 m
b) 1000 m
c) 900 m
d) 800 m
e) 1200 m
6.-
x:
3 ≅ 1, 732 .
4.- Desde el último piso de un edificio se observa un avión con un ángulo de
elevación de 37°. Si la altura a la que vuela el avión es de 1000 metros y la
altura del edificio es de 100 metros. Calcula la distancia del avión al último
piso del edificio.
5.- En un triangulo ABC se cumple que el segmento AB = 2 3 ,
y el ángulo A mide 60°. Calcular la medida del ángulo B.
a) 15°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) 135°
En la siguiente figura adjunta calcular el valor aproximado de
6
12
15
18
21
80
Una persona ubicada en la misma horizontal del pie de una torre, observa la
parte superior de ésta con un ángulo de elevación de 30 o ¿Cuántos metros
debe caminar hacia la torre para estar 120 metros de ella y divisar su cúspide
con un ángulo de elevación igual al complemento del anterior?
a) 360 m
b) 240 m
c) 60 m
d) 180 m
e) 210 m
________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________
6.2.- Annie y Sashi están acampando en la Sierra Nevada. Caminan 8 km desde su
campamento base, con un rumbo de 45°. Después del almuerzo, cambian de
dirección con un rumbo de 143° y caminan otros 5 2 km. ¿Con qué rumbo
deben caminar Sashi y Annie para regresar a su campamento base?
a) 180°
b) 217°
c) 233°
d) 270°
4.-
b) 37 °
c) 53 °
d)
8°
7.- Un alumno de 2m de estatura observa la parte más alta de una torre con un
ángulo de elevación θ , luego se acerca 14m y se observa nuevamente al
mismo punto con un ángulo de elevación que es el complemento de θ .
Calcular la distancia que le falta recorrer para llegar a la torre si se cumple
que:
Sec 7 (θ − 10 ° ) − Csc 3 ( 4 ° − θ ) = 0 .
a) 6m
b) 18m
c) 24m
d) 26m e) 30m
e) 16 °
Un avión vuela en línea recta y horizontal, en un cierto instante el piloto
observa una base militar con un ángulo de depresión de 37 o . Luego de 3
minutos el piloto observa nuevamente la base militar esta vez con un ángulo
de depresión de 53 o , si la velocidad del avión es de 14km/min. ¿A que altura
esta volando el avión?
a)
b)
c)
d)
e)
8.- En un triangulo ABC de segmentos a = BC , b = AC y c = AB . Se tiene
a2 + b2
=1.
10 − c 2
R = bc . cos A + ac . cos B + ab . cos C
la
18km
36km
54km
63km
72km
a)
9.-
5.- La estación de Zulú de los guardacostas se encuentra a 120 millas al oeste de
la estación Rayos X. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual
es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Zulú indica que la
posición del barco es 37 o al este del norte; la llamada a la estación Rayos X
siguiente
5
relación
b)
7
Calcular
c) 10
b) 60°
el
valor
d) 15
En un triangulo de lados: 2 ,
6 + 2 y
complemento del suplemento de su ángulo mayor.
a) 30°
c) 90°
de:
e) 20
3+
3 . Calcular el
d) 120°
e) 150°
10.- Los lados de un triángulo están representadas por tres números consecutivos.
Si el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro de dicho
triángulo
indica que la posición del barco es de 30 o al oeste del norte. Si un helicóptero
que puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación más cercana al
barco, ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a éste?
a)
b)
c)
d)
e)
13 ≅ 3 . 60 )
en 15 millas por hora y
a) 7.20 horas
b) 1.20 horas
c) 2.80 horas
d) 5.20 horas
e) 4.20 horas
e) 307°
3.- Se tiene dos postes de 7m y 1m de altura distanciadas 8m. Calcular el mínimo
valor del ángulo de elevación con que una hormiguita observaría lo alto del
poste menor, desde un punto ubicado entre los postes; sabiendo que el
ángulo de elevación para el poste mayor, desde ese punto, es el complemento
del que se pide calcular.
a) 45 °
Un bote de motor sale de Naples, Florida Hacia Key West, a 150 millas de
distancia. Lleva una velocidad constante de 15 millas por hora pero navega
con fuertes corrientes y vientos cruzados. La tripulación descubre, después de
4 horas que el bote esta fuera del curso por 37° ¿Cuánto tiempo se agrego al
viaje debido a la desviación del curso? (suponga que la velocidad se mantiene
a) 10
34.30 min.
57.17 min.
29.71 min.
49.71 min.
36.00 min.
N-I
N-II
81
b) 12
1-d
1-d
2-d
2-b
c) 15
3-b
3-d
d) 18
Clave de respuestas
4-a
5-d
6-d
4-e
5-a
6-b
e) 21
7-a
7-b
8-c
8-a
9-e
9-a
10-b
10-c