Crecimiento y formación de fases en medios heterogéneos

Crecimiento y formación de
fases en medios heterogéneos.
(Defensa.)
Carlos A. Echeverria 1,2
Tutor: Kay Tucci2,3.
1
Laboratorio de Fı́sica Aplicada Computacional, Universidad Nacional Experimental
del Táchira, San Cristóbal, Venezuela.
2
SUMA-CeSiMo, Universidad de Los Andes, Mérida, Mérida 5251, Venezuela.
3
Centro de Fı́sica Fundamental, Universidad de Los Andes, Mérida, Mérida 5251,
Venezuela.
1
Author for correspondence: e-mail: [email protected]
Introducción.
1. Crecimiento y fomación de fases en RMA sobre medios heterogéneos.
2. Descripción de sistemas sociales multiculturales en medios heterogéneos.
3. Difusión de Fluidos, estabilización de interfases y formación de fases de
fluidos binarios en medios congestionados.
The Model of CML.
Consideramos un sistema de mapas acoplados definidos:
X
xi(t + 1) = (1 − ) f (xi(t)) +
f (x j(t)),
ni
(1)
j∈νi
Donde νi es el conjunto de vecinos de cada sitio i, ni es la cardinalidad de νi, es el parámetro de acoplamiento y f (x(t)) es la función no lineal que representa
la dinámica local.


−2µ/3 − µx i f x ∈ [−1, −1/3]



µx
i f x ∈ [−1/3, 1/3]
f (x) = 


 2µ/3 − µx i f x ∈ [1/3, 1].
(2)
La fase es definida por σi(t) = sign(xi(t)) y µ = 1,9.
El sustrato.
Resultados.
L/2
1 XX
δrij,rδσi ,σ j ,
Rt =
N
t t
r=1
i,j
N
(3)
1X i
Gt(k) =
Ft(k)
N
i=1

P


1, si j∈Nν δσi ,σ j = k,


i
t t


i
Ft(k) = 
;

P



 0, si j∈Niν δσi ,σ j , k
t
t
(4)
(5)
Con impurezas.
hRti ∼ tα
(6)
α2 ∼ ( − c)γ
(7)
hR∞i ∼ (d − dc)β()
(8)
g=
hN gi
N
(9)
Dinámica de colisión de multipartı́culas.
Consideremos N partı́culas con
masa m.
∞
xs(t + τ) = xs(t) + vs(t)τ, (10)
1 X 0
Vξ =
vi ,
(11)
nξ
i|x∈ν
bξ(vs0 − Vξ). (12)
vs = Vξ + ω
X
1
D0 = hvx vxi +
hvx vx(lτ)i,
2
(13)
l=1
kbT 2ρ + 1 − e−ρ
D0 ≈
2m ρ − 1 + e−ρ
!
(14)
φ ≡ 4πNobsσ3/3V
(15)
∂
ρ(r, t) = D0∇2ρ(r, t)−∇·J(r, t), (16)
∂t
1−φ
D(φ) = D0 + 4D0 = 2 D0
, (17)
2+φ
Dinámica de colisión multipartı́culas para dos especies
0
Θςs Θςs
= δςδς0 ;
P
ς
ς Θs
= 1; Nς =
N
X
Θςi .
(18)
s=1
Vξς(t)
=
1
X
(ς)
nξ (t) s|x∈Ω
P
Vξ(t) =
θςs vs(t);
(ς)
(ς)
ς nξ mς Vξ (t)
(ς)
n
ς ξ mς
bξ(vs − Vξ)
ω
P
.
vs00 = Vξ +
X 00
00(ς)
00(ς)
ς
ς
s∗
s
bξ v − Vξ
v =
Θ s Vξ + ω
,
(19)
(20)
(21)
(22)
ς
v = Vξ +
s∗
bξ(ΘςξVξ(ς)
ω
− Vξ ) +
X
ς
Θςs
00(ς)
ς
s
bξω
bξ v − Vξ
ω
,
(23)
Inclusión de la repulsión para dos especies.
Ṽξς
Vξς
VΛς
(
rcςς0
=
2,5 rς si ς = ς0
21/6 rς si ς0 , ς0.
(ς0 )
s∗
v =
X
ς
Θςs
=
Ṽξς
VΛς
ς
ς |Vξ |
|VΛ|
+
bςξ
ω
s
v −
ξx
(28)
(24)
rAB + Vξς
VΛς = κnξ mς0b
Ṽξς
D
E
ς
ς0
Φ(x) = n (x) − n (x)
(25)
(26)
Vξς
, (27)
Φ(x) = Φeq tanh
x
,
ζ
(29)
Para el modelos de Ising:
Z
a2
a4
FGL[Φ(r)] =
dr − Φ(r)2 + Φ(r)4
2
4
K
+ |∇Φ(r)|2
(30)
2
r
x
a2
Φ(x) =
tanh , (31)
a4
ζ
a2 =
S − 4T
,
2 a3
r
ζ=
4T
,
3 a3
S
,
K=
4a
a4 =
1
2K
∼
a2
(Tc − T)1/2
(32)
(33)
Z
Γ=K
Γ=
∂Φ(x)
dz
∂x
4 K Φ2eq
3ζ
!2
.
,
K (Tc − T) (Tc − T)3/2
Γ=
∼
.
2Taζ
T
Z
Γ =
dx fo(Φ(x)) − fo(Φeq)
!2 
K ∂Φ(x) 
+
(34)
 ,
2
∂x
fo(Φ(x)) − fo(Φeq) =
K ∂Φ(x)
2
∂x
!2
,
(35)
(36)
(37)
(38)
r
Φ(x) =
x
a2
tanh
,
a4
(ζ (1 − φ))
(39)
Φ(rξ0 , t)Φ(rξ, t)
= C [Rt, t] = 0
(40)
Rt ∼ tα
(41)
ξ,ξ0
t = 100
t = 103
t = 104
t = 105
Conclusiones:
Se mostró que la velocidad con la cual los dominios de fase crecen, es más
baja cuando las impurezas están presentes en el sistema.
El tamaño promedio de los dominios resultantes en el estado inhomogéneo
de el sistema decrece cuando la densidad de impurezas aumenta.
La topologı́a del medio puede jugar un rol decisivo en el determinación
del comportamiento colectivo emergente.
Las inhomogeneidades espaciales también pueden ser empleados como
un mecanismo de selección para modular el tamaño de los patrones en
sistemas espaciotemporales.
Las impurezas tienen un efecto sobre las propiedades crı́ticas, de pasar de
un estado heterogéneo a uno homogéneo.
Las tres técnicas de modelado mostraron ser eficientes para el estudio del
crecimiento y formación de fases en medios heterogéneos.