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PROGRAMA DE MATEMATICAS III (Geometría Analítica)
Con este curso se inicia el estudio de la geometría analítica, rama de las Matemáticas cuyos inicios se remontan a la segunda mitad del
siglo XVII con Descartes, que deseaba crear un método que pudiera aplicarse a la resolución de todos los problemas de la geometría,
esto es, que suministrará un método general resolución. La teoría de Descartes se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de
representar en forma curva plana cualquier ecuación algebraica con dos incógnitas, valiéndose para ello del sistema de coordenadas.
En este curso se estudian, principalmente, las ecuaciones con dos incógnitas de primer y segundo grado. La grafica que representa
según la forma que tenga la ecuación (valores de los coeficientes) y a las posibles transformaciones algebraicas que permitan obtener
otras ecuaciones equivalentes que contengan los elementos definitorios, ya sea de una recta o de una cónica, y dada una figura
geométrica, o la condición que deben cumplir sus puntos, determinar su ecuación.
Para lograr lo anterior, se requiere que el estudiante tenga un dominio aceptable del álgebra y de los conocimientos básicos de
Geometría y Trigonometría. Este curso brida la posibilidad de afianzar y madurar las ideas algebraicas, dándole un significatividad al
carácter operatorio de las mismas a través de la interpretación geométrica.
Los problemas y/o actividades que se incluyen en la columna denominada problemario, indican el nivel al que se propone se dé el
curso, sin que esto quiera decir que son los únicos problemas que deben tratarse, en general, cualquiera de los textos tradicionales
servirá para el desarrollo del presente programa. En la columna de Problemas Tipo, aparecen problemas como los que se espera
ayuden a homogenizar nuestras evaluaciones. (Tiempo:60-64 hrs)
TIEMPO
%
AVANCE
0.5 Hr.
0.77
0.5 Hr.
1.54
1.2. Sistema coordenado
* Hallar la longitud del segmento AB cuyos extremos son:
lineal longitud de segmentos. a) 4 y 3 ; b) 3 y -1 ; c) 8 y 0 ; d) -10 y 8 ; e) -3 y -10.
0.5 Hr.
3.07
1.3. Sistema de coordenadas
cartesianas.
* Localizar en el plano los puntos:
A (-1, 3) B (4, -2) C (0, 4) D (-5, 0) E (-3, -1) F (5, 7).
1.0 Hr.
5.38
1.4. Distancia entre dos
puntos.
* Hallar la distancia entre los puntos:
a) A(1,4) y B(0,2) ; b) C(-4.-2) y D(7,1) ; c) E(5,0) y F(0,0) ;
d) G(-6,4) y H(5,-2)
*Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: l(0,1)
J(1,3) K(-1,5) L(-5,0)
* Hallar el
1.5 Hr.
perímetro del
triángulo cuyos
vértices son:
(0, -1), (3,4)
y (2, -5)
1.5. División de un segmento * Si el segmento AB tiene por extremos A(6,4), B(2,-4). Hallar
* Los extremos
1 Hr.
en una razón dada.
P(x,y) tal que r =AP: PB =-2.
de un segmento
* Uno de los extremos de un segmento es (7,8) y su punto medio son:
es (4,3).Hallar el otro extremo.
P1 (2, 4)
*Los extremos de un segmento son K(7,4) y L(-1,-4).Hallar r
P2 (8, -4).
=KP:PL en que P(1,-2) divide a el segmento KL.
Hallar P (x, y)
que divide al
1.6 Angulo de inclinación y * Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento que segmento en dos 1 Hr.
pendiente de un segmento.
une los puntos: a)(-3,2) y (7,-3) b)(2,-2) y (1,-4) c)(-4,3) y (5,3) partes tales
d)(7,3) y (-2,-4)
que: P2P: PP1= -2
7.69
1.7. Paralelismo y
perpendicularidad de
12.3
TEMA
PROBLEMARIO
I. Conceptos Preliminares
1.0. Campo y métodos de la
geometría analítica.
1.1. Diferencia entre
geometría analítica y
geometría euclidiana
* Demostrar que el segmento de extremos (-2,5) y (4,1) es
perpendicular al segmento de extremos (-1,1) y (3,-7). ¿cuál debe
PROBLEMAS TIPO
1 Hr.
9.23
10.72
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segmentos (condiciones)
ser el valor del ángulo formado por los segmentos?¿a qué es
igual el producto de las pendientes?
* Demostrar que (2,5), (8,-1) y (-2,1) son los vértices de un
triángulo rectángulo.
1.8. Area de un triángulo,
formula del determinante.
* Hallar el área del triángulo cuyos vértices son:
a) (-1,-1), (4,2) y (2,-3) ; b) (1,0), (-2,0) y (2,-1/2) ;
c) (3,4) y (1,2) (0,0)
1.5 hrs
1.5 hrs
2.0-Problemas
Fundamentales de la
Geometría Analítica.
Comentar los dos problemas fundamentales de la geometría
* Hallar la
analítica: “dada la definición de un lugar geométrico obtener la
ecuación del
ecuación que lo representa y dada una ecuación, trazar la gráfica” lugar geométrico
de un punto que
2.1-Obtención de ecuaciones *Determinar la ecuación que expresa el hecho de que el
se mueve de
de lugares geométricos
punto(x,y) equidista de los puntos (-3,5) y (7,-9).
manera que la
*Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
suma de sus
mueve de tal manera que su abscisa es siempre igual al doble de distancias a los
su ordenada.
puntos (3,0) y
*Un punto se mueve de tal forma que su distancia a (2,3) es
(-3,0) es siempre
siempre igual a 5.Hallar su ecuación.
igual a 8.
II. La línea recta
1. Definición de línea recta
2.0 Obtener la ecuación de
la recta:
2.1.-Que pase por el punto y
con pendiente dada
2.2.-Con pendiente y
ordenada al origen dados
0.5
*Hallar la ecuación gráfica de la recta que:
a)Pasa por A(-1,2) y tiene pendiente 3; b) pasa por A(-2.-5) y un
ángulo de inclinación es de 135º; c)Tiene pendiente -2 y
ordenada al origen igual a 4; d)Tiene ordenada al origen -3 y
ángulo de inclinación de 60º; e)Pasa por P(4,-5) y Q(-2,3);
f)Pasa por A(1,0) y B(5,-3).
2.3.-Que pasa por dos puntos
3.0 Ecuación general de la
recta.
Ax+By+C=0
*Expresa en la forma general la recta:
a)Y=4/5 x-3; b) y-4=-2(x+1/2; c)que pasa por (5,-4) y (1,1)
d) que pasa por (3,1) y (5,-3), en cada caso grafícala.
3.1.-Rectas coincidentes
3.2.-Rectas paralelas
3.3.-Rectas que se
intersectan
*Determinar si los siguientes pares de rectas coinciden, son
paralelas o se intersectan. (analizar las relaciones entre sus
coeficientes, para determinar las condiciones de paralelismo y
perpendicularidad, así también comentar el significado
algebraico de la intersección de rectas)
a)Y=2x-1 , 2x+3y-8=0;
b)4x-3y=5 , 2x-3/2y-5/2=0
c)y=2/3x-4 , 6y-4x-8=0
d)5/2x-7/4y+3/7=0 , 10x-7y+10/7=0
*Hallar el ángulo entre :
a)2x-3y=0 y 5x+y-1=0
b)-4x+2y-8=0 y .5x+3
c)x-y+1=0 y la recta que pasa por (3,-1) , (5,0).
4.-Ángulo entre dos rectas
5. Distancia de un punto a
Calcula la distancia del punto P a la recta L:
*Obtener la
ecuación de la
recta que pasa
por A(-3,5) y
B(5,-3),y
expresarla en
forma general.
¿Cuál es la
ecuación de la
recta
perpendicular a
la recta obtenida
que pasa por
(-3,5)? Graficar
las rectas.
*Hallar la
ecuación de la
recta que pasa
por la
intersección de
3x+y-9=0,
4x-y-1=0 y cuya
pendiente es -2.
*Hallar la
1.5 Hr.
1 hr.
1 hr.
1 hr.
1 hr.
1 hr.
1 hr.
1.5 hrs.
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una recta
a) P(3,-2), L: 4-x+5y-10=0
b) P(-4,1), L: y-3=4(x+2)
III LAS CONICAS
1. La Circunferencia.
1.0 Definición
2. Ecuación ordinaria de la
Circunferencia.
2.1. De centro en el origen.
distancia del
punto (10,-4) a la
recta y=-2/3x+1
.
*Hallar la ecuación y traza su grafica de la circunferencia de
centro C y radio r :
a) C(0,0), r=7; b) C(1,0) r=1; c) C(-2,3), r=3; d) C(-2,-3) r=5.
*Encontrar centro y radio de las circunferencias y trazar su
gráfica:
a) 3x2 +3y2 -9=0;
b) (x-5)2 +(y+1)2 =4.
2.2. De centro en P(h,k).
3. Ecuación General de la
circunferencia.
3.1 Ecuación General de la
circunferencia que pasa por
3 puntos
*Obtener la ecuación general de la circunferencia de centro
(-2,1) y que pasa por (5,-2).
*Encontrar centro, radio y graficar la circunferencia, dada por la
ecuación:
a) -2x2 -2y2 +6x-10y-7=0;
b) x2 +y2 -2x-6y+6=;
c) 9x2 +9y2 +72x-12y+103=0;
d) x2 +y2 -3y=0
*Hallar la ecuación de la
circunferencia que pasa por:
a)(0,0), (0,-3); b) (2,8), (-1,-1), (7,3); c) (4,-19, (0,-7),(-2,-3)
d) (3,6), (7,0), (0,0).
*Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia:
x2 +y2 -8x+3=0 en el punto (6,3) Graficar.
4.0 Ecuación de la tangente a *Hallar la ecuación de las tangentes desde el punto (6,-4) a la
la circunferencia.
circunferencia x2 +y2 +2x-2y-35=0.
*Encuentre la ecuación de la circunferencia que es tangente a la
recta x-2y+7=0 en el punto (3,5).
2.0 La parábola.
2.1 Definición.
2.2 Ecuación de la parábola:
a) de vértice en el origen y
eje, uno de los ejes
coordenados.
b) de vértice (h,k) y eje
paralelo a uno de los ejes
coordenados.
2. Ecuación general de la
parábola.
*Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice en
el origen y: a)foco(0,3); b) directriz x+5=0
*Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la
directriz, longitud del lado recto, y graficar:
a) y2 +4x=0; b) x2 -2y=0; c) 1/8 x2 +2y=0
*Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (4,-3) y foco
(-1,3). Hallar la ecuación de su directriz y de su eje.
*La directríz de una parábola es y-1=0, su foco es (4,-3).Hallar
su ecuación.
*Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria, obtener:
foco, vértice, longitud del lado recto, ecuaciones de directríz y
eje focal, gráfica.
a) y2 +4x=7;
b) 9x2 +24x+72y+16=0;
c ) 4y2 -48x-20y=71.
*Obtener la
ecuación
ordinaria de la
circunferencia
9x2 +9y2 +72x12y+103=0
*Obtener la
ecuación general
y ordinaria de la
circunferencia
cuyo centro es
(1,-2), y pasa por
el punto
(-3,1).
*hallar la
ecuación de la
tangente a la
circunferencia
x2+y2+2x-2y39=0 en
(4,5).
*Hallar la
ecuación de la
parábola cuyo
vértice y foco
son
(2,3) y (2,1)
respectivamente.
Determinar la
longitud del lado
recto, y
ecuaciones de su
eje y de su
directríz, hacer la
gráfica.
*Dada la
ecuación
y2+4x+2y-19=0
expresarla en
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* Una circunferencia de centro (4,-1) pasa por el foco de
x2 +16y=0.Demostrar que es tangente a la directriz de la
parábola.
Ecuación de la parábola que
pasa por tres puntos.
*Determinar la ecuación de la parábola que pasa
por: a)(0,0), (8,-4), (3,1) b)(2,2), (8,4), (0,0).
forma ordinaria,
obteniendo:
foco, vértice,
lado recto,
directriz, eje.
Trazar su gráfica.
3.0 La Elipse.
3.1 Definición.
3.2 Ecuación de la Elipse:
*Hallar la ecuación de la elipse de focos (2,0),
(-2,0) y excentricidad 2/3.
a) de centro en el origen.
ejes sobre los ejes
coordenados.
*Una elipse tiene por centro (0,0), su eje mayor coincide con el
eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos:
( 6,  1) y (2,
2)
*Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud de : lado
recto, eje mayor, eje menor; excentricidad y grafica de:
a) 9x2 +4y2 =36; b)16x2 +25y2 =400; c)x2 +3y2 =6.
b) De centro (h,k)
y ejes paralelos
a los ejes coordenados.
Ecuación general de la
Elipse
*Si la ecuación
de una elipse es:
9x2 +y2 -18x2y+1=0,
graficarla
determinando
todos los
elementos:
centro, vértices,
etc.
*Los vértices de un elipse son (7,1), (-7,1), su excentricidad es
1/3. Hallar la ecuación.
*El centro de una elipse es (-2,-1) y un vértice es (3,-1).Si la
longitud del lado recto es 4, hallar su ecuación, excentricidad y
focos.
*Reducir las ecuaciones siguientes a su forma ordinaria y
determinar: centro, focos, vértices, eje mayor, eje menor,
excentricidad y gráfica.
a)x2+4y2-6x+16y+21=0
b)9x2+4y2-8y-32=0
c)x2+4y2-10x-40y+109=0
*Los vértices de un hipérbola son (0,2) y (0,-2), sus focos (0,3) y
(0,-3). Hallar su ecuación, graficar.
4.1 Definición.
*Una hipérbola tiene su centro en (0,0) y su eje conjugado sobre
4.2. Ecuación de la
el eje x, la longitud del lado recto es 2/3 y pasa por (-1,2); Hallar
hipérbola.
su ecuación.
*Hallar las ecuaciones, y trazar la gráfica, de las asíntotas de la
hipérbola: 4x2-5y2=7.
a) de centro en el origen y
*Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola 16x2eje sobre los ejes
9y2=144 a cualquiera de sus asíntotas.
coordenados. Asíntotas de la *Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por (-1,hipérbola, excentricidad
5), y sus asíntotas son los ejes coordenados.
4. La hipérbola
*Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud de eje
trasverso y conjugado, excentricidad, longitud del lado recto,
gráfica:
a)4x2-9y2=36;
b)4x2-y2=4;
c)3x2-5y2=15
d)-3x2+2y2=6
b) de centro (h,k) y ejes
*El centro de una hipérbola es (2,-2) y un vértice (0,-2) si la
paralelos a los ejes
longitud del lado recto es 8, Hallar su ecuación.
coordenados. Asíntotas de la *Escribe en la forma ordinaria las hipérbolas siguientes
*Traza el lugar
geométrico
determinado por
la ecuación:
4x2-9y2+8x54y+113=0,
Expresándola en
su forma
ordinaria y
determinando:
centro, vértices,
focos,
excentricidad,
longitud de: lado
recto, eje
transverso, eje
conjugado.
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hipérbola, excentricidad.
4.3.Ecuación general de la
hipérbola
determinando todos sus elementos:
a)x2-9y2-4x+36y-41=0;
b)3x2-y2+30x+78=0
c)9x2-y2-36x-2y+44=0
5.0 Generación de las
cónicas
*Obtener por medio de recortes en conos de papel, las cónicas.
Dibujar la manera de obtener cada una de ellas.
5.2 Propiedades ópticas
*Exponer brevemente las propiedades ópticas que tiene la
parábola y la elipse.
*Mencionar que este tema ya se trató para la circunferencia.
Exponer el tema de manera general para las demás cónicas, que
consiste en: dar la ecuación de la recta tangente, sustituirla en la
ecuación de la cónica y aplicar la condición de tangencia.
*Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a las curvas:
a) y2-4x+2y+9=0 en (6,3);
b) 4x2+2y2-7x+y-5=0 en (2,1);
c) 3x2-y2=2 en (1,1);
d) y2-8x=0 cuya pendiente de la recta tangente es -1.
5.1 Recta tangente y normal
a una cónica
Obtener la
ecuación de la
recta tangente y
normal de la
cónica x2-6x+5y11=0 en el punto
(-2,-1)
IV. Ecuación general de
segundo grado
1.0 Tema de la ecuación
general de segundo grado
1.2. Traslación de ejes
coordenados. Efectos en la
ecuación general
1.3 Rotación de ejes
coordenados. Efectos en la
ecuación general.
1.4 Determinación del tipo
de cónica que representa una
ecuación general de segundo
grado.
* Los estudiantes deberán poder identificar el tipo de cónica que
representa la ecuación. Ax2+Cx2+Dx+Ey+F=0, según sus
coeficientes. Hacer bastantes ejercicios, y exponer la forma
general.
*Encontrar el nuevo origen de un sistema de coordenados,
mediante la traslación, en donde las siguientes ecuaciones
carezcan de términos de primer grado:
a) x2+y2+2x-6y+6=0;
b) y2-6x2-24x-2y-32=0;
c) 3x2+2y+18x-8y+29=0;
d) simplificar por traslación y2-4x-6y+17=0, haciendo notar que
esto ya se estuvo haciendo al encontrar el centro o vértice de
cónicas.
*Mencionar que los efectos de la rotación de ejes es eliminar el
término xy.
*Dada la forma de la ecuación general de segundo grado,
mediante el indicador I=B2-4AC, determinar el tipo de cónica
que representa cada una de las siguientes ecuaciones:
a)4x2-24xy+11y2+56x-58y+95=0
b)5x2+2xy+10y2-12x-22y+7=0
c)2x2-12xy+8y2+x-3y-6=0
*Simplificar por
traslación la
cónica 3x2+6y28x+3=0,
graficarla en su
nuevo origen.
*Indicar el tipo
de cónica que
representan la
siguientes
ecuaciones:
a) -4x2-4y28x+8y-1=0
b) 3x-2y2+y48=0
*Mediante el
indicador :
I=B2-4AC
determine el tipo
de cónica que
representa:
a) 8x2-4xy + 15y2
+4y-4=0
b) 5x2+4xy+2y224x-12y+29=0