sentido de los gráficos estadísticos en los libros de texto de

XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS: EL SENTIDO DE LAS MATEMÁTICAS.
MATEMÁTICAS CON SENTIDO
SENTIDO DE LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS EN
LOS LIBROS DE TEXTO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
Carmen Batanero, Universidad de Granada, [email protected]
Danilo Díaz, Colegio Proyección Siglo XXI (Chile), [email protected]
Pedro Arteaga, Universidad de Granada, [email protected]
María M. Gea, Universidad de Granada, [email protected]
RESUMEN.
Los gráficos estadísticos son uno de los medios para dar sentido a las
matemáticas, por su amplia presencia en los medios de comunicación y por su
utilidad en otras materias y la vida profesional. En este trabajo analizamos los
tipos de gráficos incluidos en tres series completas de libros de texto de
Educación primaria española, comparando con algunas directrices curriculares
para este nivel educativo. Se concluye con algunas implicaciones para la
enseñanza del tema y la formación de profesores.
Nivel educativo: Educación Primaria, Formación de Profesores.
1. INTRODUCCIÓN.
Batanero, Díaz, Contreras y Roa (2013) describen el sentido estadístico como
unión de la cultura y el razonamiento estadístico. Para conseguirlo, los autores
indican que los estudiantes han de adquirir las ideas estadísticas fundamentales,
la competencia en análisis de datos y el razonamiento a partir de los datos.
La adquisición de competencia en el trabajo con gráficos contribuye al
desarrollo del sentido estadístico: La construcción e interpretación de gráficos
estadísticos es parte de la cultura estadística (Gal, 2002) que incluye interpretar,
evaluar críticamente y dar una opinión sobre la información estadística, que las
personas pueden encontrar en diversos contextos, mucha de la cual se presenta
mediante gráficos. El lenguaje gráfico interviene también en el razonamiento
estadístico en la organización, descripción y análisis de datos, al facilitar la
obtención de nueva información, al cambiar de representación (Wild y
Pfannkuch, 1999).
Ya en el Decreto de Enseñanzas Mínimas (MEC, 2006) para la Educación
Primaria, en bloque “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” se
introdujeron los gráficos estadísticos en todos los ciclos. El objetivo fue utilizar
las técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre
fenómenos y situaciones del entorno; representarla de forma gráfica y numérica
y formarse un juicio sobre la misma.
En el primer ciclo (6 y 7 años) se comenzaba con interpretaciones de
elementos de gráficos sencillos, relacionados con fenómenos cercanos a los
niños. Progresivamente, en tercer ciclo (10-11), se trabajaba con distintos tipos
de gráficos estadísticos y a intentar que los niños apreciasen la importancia de
valorar críticamente informaciones presentadas en gráficos. Como criterio de
evaluación para el primer ciclo se indicó: “Realizar interpretaciones elementales
de los datos presentados en gráficas de barras. Formular y resolver sencillos
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problemas en los que intervenga la lectura de gráficos” (p. 43098). Y para
tercero: “Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de
datos relativos al entorno inmediato. Este criterio trata de comprobar la
capacidad de recoger y registrar una información que se pueda cuantificar, de
utilizar algunos recursos sencillos de representación gráfica: tablas de datos,
bloques de barras, diagramas lineales... y comprender y comunicar la
información así expresada” (p. 43099).
En el desarrollo del currículo de Primaria en la LOMCE (MECD, 2014) y dentro
del Bloque 5, aparecen los siguientes contenidos (p. 19393): “Gráficos y
parámetros estadísticos. Recogida y clasificación de datos cualitativos y
cuantitativos. Realización e interpretación de gráficos sencillos: diagramas de
barras, poligonales y sectoriales. Análisis crítico de las informaciones que se
presentan mediante gráficos estadísticos”. Estos contenidos se traducen casi
literalmente como estándares de aprendizaje evaluables y se añaden los
siguientes criterios de evaluación: “Recoger y registrar una información
cuantificable, utilizando algunos recursos sencillos de representación gráfica:
tablas de datos, bloques de barras, diagramas lineales, comunicando la
información. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto
de datos relativos al entorno inmediato. Identificar, resolver problemas de la vida
cotidiana, adecuados a su nivel, estableciendo conexiones entre la realidad y las
matemáticas y valorando la utilidad de los conocimientos matemáticos
adecuados y reflexionando sobre el proceso aplicado para la resolución de
problemas”. Además se podría aplicar a los gráficos estadísticos los siguientes
contenidos del Bloque 1: Procesos métodos y actitudes en matemáticas:
“Acercamiento al método de trabajo científico mediante el estudio de algunas de
sus características y su práctica en situaciones sencillas. Integración de las
tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de aprendizaje”.
(p. 19388).
También en el currículo chileno, para este nivel (MINEDUC, 2012), se hacen
algunas recomendaciones sobre los tipos de gráficos a incluir, en el siguiente
orden, suponiendo cada curso se usan los gráficos aprendidos anteriormente:
tablas de conteo y pictogramas (1º curso), gráficos de barras simples (2º),
diagramas de puntos (3º), gráficos de líneas y gráfico de tallo y hojas (5º),
gráficos de barras dobles y circulares (6º).
En lo que sigue se presenta un análisis de los tipos gráficos estadísticos
incluidos, en diferentes actividades, en tres series de libros de texto de
Educación Primaria; para comprender en qué forma se implementan las
directrices curriculares del Decreto de Enseñanzas Mínimas. De este modo
observamos hasta qué punto los libros de texto de Educación Primaria
promueven la adquisición del sentido estadístico de los niños a través de los
gráficos estadísticos que presentan. Los resultados pueden ser de interés, tanto
para la mejora de la enseñanza, como para la formación de los profesores que
han de enseñar este tema.
2. MUESTRA Y ANÁLISIS
Se han analizado tres series completas de libros de texto publicadas en los
años próximos a la publicación del Decreto de Enseñanzas Mínimas (MEC, 2006),
donde se introducen por primera vez los gráficos en la educación primaria en
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España. En todas ellas aparecen los gráficos estadísticos, en la mayoría de los
cursos, y son editoriales de gran tradición y difusión en Andalucía. Cada una
tiene uno o dos proyectos vigentes, dependiendo del ciclo; la muestra está
constituida por los libros mostrados en la Tabla 1.
Editorial
SM
SM
SM
SM
SM
SM
Anaya
Anaya
Anaya
Anaya
Anaya
Anaya
Santillana
Santillana
Santillana
Santillana
Santillana
Santillana
Tabla 1. Textos analizados
Nivel
Colección
Año edición
1º
Trampolín
2008
2º
Trampolín
2008
3º
Tirolina
2011
4º
Tirolina
2011
5º
Planeta amigo
2008
6º
Planeta amigo
2008
1º
Salta a la vista
2007
2º
Salta a la vista
2007
3º
Abre la puerta
2011
4º
Abre la puerta
2011
5º
Abre la puerta
2009
6º
Abre la puerta
2009
1º
Un paso más
2004
2º
Un paso más
2004
3º
Un paso más
2005
4º
Un paso más
2005
5º
Un paso más
2006
6º
Un paso más
2006
Cada uno de estos libros se revisó con detalle, para seleccionar los ejemplos,
ejercicios, tareas o párrafos en que se incluyera al menos un gráfico estadístico.
Se analizaron en total 215 actividades. En la Tabla 2 se presenta su distribución
en las diferentes editoriales por curso escolar. Globalmente observamos que la
mayor proporción de actividades sobre gráficos estadísticos se da en quinto
curso, seguido por sexto y tercero, aunque en todos los cursos aparecen
algunas. Ello indica que se sigue la sugerencia curricular de introducir el trabajo
con datos y gráficos desde el primer curso. Observamos también alguna
diferencia entre editoriales, pues Santillana tiene algo mayor proporción de
gráficos estadísticos en los dos primeros cursos, mientras en la primera (SM)
tiene prácticamente concentrado el tema sólo en los cursos quinto y tercero.
Tabla 2. Frecuencia y porcentaje de actividades analizadas por nivel escolar y editorial
Editorial SM
Editorial Anaya
Editorial Santillana
Total
Nivel
N
Porcentaje
N
Porcentaje
N
Porcentaje
N
Porcentaje
1
2
2,7
5
6,5
5
7,8
12
5,6
2
3
4,1
3
3,9
8
12,5
14
6,5
3
20
27
12
15,6
11
17,2
43
20
4
3
4,1
16
20,8
13
20,3
32
14,9
5
39
52,7
12
15,6
13
20,3
64
29,8
6
7
9,5
29
37,7
14
21,9
50
23,3
Total
74
100
77
100
64
100
215
100
Seguidamente se han analizado los tipos de gráficos, incluidos en las
actividades, para comparar con lo especificado en el currículo.
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3. RESULTADOS DEL ANÁLISIS
Gráfico de barras. Se utiliza para representar datos cualitativos o cuantitativos
discretos. En él se suelen disponer los datos en el primer cuadrante de unos ejes
de coordenadas cartesianas, representando en uno las categorías de la variable y
las frecuencias se representan con barras de alturas proporcionales a las mismas
(Nortes, 1991). Se puede construir con porcentajes, frecuencias absolutas o
relativas. Si la variable es numérica, los valores de la variable se presentan en
orden numérico. Es posible también intercambiar el papel de los ejes, colocando
valores de la variable en horizontal y valores de la frecuencia en vertical, aunque
es menos frecuente.
Figura 1. Ejemplo de gráfico de barras (Editorial Santillana, 1º curso, p. 107)
Gráfico de líneas. Se utiliza para representar frecuencias de una variable
cualitativa o bien valores numéricos de una serie de datos aislados. En este tipo
de gráfico se utilizan puntos, cuya altura indica la frecuencia y valor de la
variable y que van unidos con líneas para evidenciar el cambio de una variable, a
medida que pasa el tiempo o bien los cambios de valores numéricos de la serie
de datos aislados (Arteaga, 2011). En la Figura 2 se presenta un ejemplo donde
se muestra la variación de las temperaturas (grados Celsius), en un determinado
lugar, durante una semana. En él podemos observar que las temperaturas
oscilan entre los 24º y 28º, alcanzando la temperatura mínima el cuarto día de la
semana. También en los textos hemos encontrado gráficos de líneas múltiples,
representando más de una variable simultáneamente, aunque como en el caso
anterior se han englobado todos ellos en la misma categoría.
Figura 2. Ejemplo de gráfico de líneas (Editorial SM, 3º curso, p. 120)
Gráfico de líneas acumulado. Es una variante del gráfico de líneas que
representa la acumulación, durante un periodo de tiempo o a lo largo del valor
de la variable, de un conjunto ordenado de datos. Lo hemos diferenciado por
requerir una operación adicional del alumno (acumular los valores). También se
podría utilizar para representar frecuencias acumuladas, pero este concepto no
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se contempla en los textos de primaria. Cada punto indica con su altura un valor
acumulado y los diferentes valores se unen con segmentos. En la Figura 3
observamos un ejemplo, donde se representan los días de la semana (Eje X) y la
cantidad de agua consumida que se va acumulando durante una semana (Eje Y).
Figura 3. Ejemplo de gráfico de líneas acumulado (Editorial SM, 3º curso, p. 121)
Pictograma. Utiliza representaciones icónicas (imágenes) relacionadas con la
temática del gráfico, para hacer más cercano y realista el contexto de donde se
obtuvo la información (Nortes, 1991). El tamaño del ícono representa la
frecuencia absoluta, relativa o porcentaje de cada categoría de la variable; o
bien, también se puede representar la frecuencia repitiendo los íconos. En
algunos ejemplos presentes en los libros es muy similar a un gráfico de barra,
reemplazando las barras por íconos alusivos a la variable. Un ejemplo es la
Figura 4, donde los autores del libro de texto presentan una actividad
relacionada con estrellas fugaces. Los datos son presentados en una tabla y en
un gráfico donde la altura de la variable días de la semana (Eje X) está
determinada por la repetición del ícono (estrella fugaz).
Figura 4. Ejemplo de pictograma (Editorial SM, 3º curso, p. 125)
Gráfico de sectores. Representa información sobre cada modalidad de la
variable, mediante una porción de un sector circular, cuya amplitud es
proporcional a la frecuencia (Nortes, 1991; Arteaga, 2011). Arteaga (2011)
señala que una forma fácil de construir este tipo de gráfico es “multiplicando la
frecuencia relativa por 360º, así obtenemos la amplitud del ángulo central que
tendrá cada una de las modalidades observadas” (p.11) y son utilizados cuando
los datos tienen frecuencias altas y la variable tiene pocos valores. Su
interpretación requiere razonamiento proporcional o, al menos, conocimientos de
fracciones (parte-todo). Genera problemas cuando la variable tiene muchos
valores porque no permite visualizar claramente la información. Asimismo es
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poco aconsejable cuando es una variable numérica porque no se percibe
claramente el orden numérico de las categorías. Encontramos estos gráficos a
partir del último ciclo. En la Figura 5 se nuestra un ejemplo de cómo construir el
gráfico de sectores. Observamos que se utilizan, además de los conceptos
estadísticos de variable, valor y frecuencia, los de fracción, relación parte-todo,
ángulo y su amplitud, sector circular y su amplitud.
Figura 5. Ejemplo de gráfico de sectores (Editorial Santillana, 6º curso, p. 182)
Histograma. Este gráfico se utiliza para representar variables cuantitativas
continuas o discretas con un número elevado de valores, que agrupan en
intervalos, para simplificar la gráfica (Arteaga, 2011). Una desventaja es que se
pierde información, ya que no se trabaja con los datos originales; sin embargo,
con frecuencia, es necesario utilizarlo si el número de valores es muy alto. Sin
embargo, este último punto no correspondería a la educación primaria, pues no
se pretende que en ella los alumnos estudien las variables cuantitativas
continuas o la agrupación en intervalos. No obstante hemos encontrado algunos
ejemplos. La Figura 6 presenta un histograma, en un contexto relacionado a
edades de los alumnos que participan en clases de tenis. Observamos que la
variable edad se ha agrupado en intervalos de clase de amplitud dos; al ser la
amplitud de todos los intervalos idénticos, el alumno puede representar la
frecuencia directamente con la altura del rectángulo, pues el área será
proporcional a la misma.
Figura 6. Ejemplo de histograma (Editorial Santillana, 6º curso, p. 102)
Gráfico de Puntos. Es un grafico estadístico para representar cantidades
pequeñas de datos, es de fácil construcción. En el eje X se representa los valores
(o categorías) de la variable que se desea estudiar, sobre la cual se coloca un
punto. Estos puntos se separan de manera homogénea y la altura sobre el valor
(categoría) de la variable es proporcional a la frecuencia absoluta de dicho valor
y donde el número de puntos coincide con la aparición de dicho valor en el
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conjunto de datos. Otra forma de representar el gráfico, es usando un solo punto
por cada valor de la variable, donde el punto se ubica en la altura que
corresponde la frecuencia de aparición de este valor (categoría) en el conjunto
de datos. En la Figura 7 se presenta una situación donde se representa la
cantidad de habitaciones, en una casa rural, ocupadas durante los días de una
semana. El estudiante debe ser capaz de leer la información del gráfico,
relacionando cada punto con el día y el número de habitaciones ocupadas.
Figura 7. Ejemplo de grafico de puntos (Editorial Santillana, 3º curso, p. 152)
Gráfico de dispersión. Gráfico estadístico en el cual se utilizan coordenadas
cartesianas para mostrar los valores de dos variables. Cada punto representa un
caso diferente para un conjunto de datos y donde cada valor de una variable
determina la posición en el eje X (horizontal) y la otra determina la posición en el
eje Y (vertical). Supone la comprensión del sistema de coordenadas cartesianas
y el manejo de datos bivariantes, que consideramos algo complejo para este
nivel escolar. No obstante, algunos libros los incluyen. Por ejemplo en la Figura 8
se presenta un gráfico de dispersión donde cada punto está representado por
una estrella. Mediante la observación de este gráfico, se debe responder a dos
preguntas relativas a la ubicación de estas estrellas y a la variación de una de las
variables. Como ayuda se presente una estrella mosteando, a modo de cartel,
sus coordenadas cartesianas.
Figura 8. Ejemplo de grafico de dispersión (Editorial Santillana, 4º curso, p. 34)
Pirámide de población. Gráfico estadístico que se considera un caso particular
de histograma y que representa simultáneamente dos variables referidas a las
edades de hombres y mujeres en una población. Para cada intervalo de edad
(que se representan centralmente en un eje vertical) se utilizan barras adosadas
a la izquierda y derecha del eje central, proporcionales a la frecuencia del
intervalo en cada uno de los dos grupos representados. Este tipo de gráfico tiene
una importante presencia en los textos de ciencias sociales y de matemática, y
son trabajados en 5º y 6º de educación primaria (Arteaga, 2011). Permite la
comprensión según edad y sexo para algún tipo de información que se quiera
estudiar (datos migratorios, mortalidad, natalidad, etc.).
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En la Figura 9 se presenta una actividad, extraída de uno de los libros de
textos, donde se pide completar una pirámide de población, sin un contexto
cercano al niño, considerando los datos aportados en la tabla de la derecha y
teniendo como guía los dos primeros intervalos representados en el gráfico. La
complejidad del gráfico se observa pues el alumno no sólo ha de manejar
variables
agrupadas
en
intervalos,
sino
además
dos
distribuciones
simultáneamente. Un posible conflicto semiótico es la interpretación de los
extremos de clase; por ejemplo, un niño podría tener duda de dónde colocar a
una persona de 14 años si está próxima a cumplir los 15.
Figura 9. Ejemplo de pirámide de población (Editorial Santillana, 6º curso, p. 128)
La Tabla 3 muestra la distribución global de todas las actividades analizadas
según el tipo de gráfico que intervienen en ella. Se evidencia un claro predominio
los gráficos de barras, líneas, sectores y pictogramas (46%; 20; 12,1% y 7,4%);
respectivamente. Los gráficos de barra alcanzan un porcentaje cercano al 50% y
doblan a los de línea, que es el segundo tipo de gráfico más común en los libros
de texto de enseñanza primaria en España. Los gráficos que tiene menor
presencia son los de dispersión, puntos, pirámide de población, líneas
acumuladas, pictograma e histograma. Observamos también que en algunas
actividades aparecen dos gráficos diferentes, por ejemplo, sectores y líneas. En
general se trata de actividades de traducción de uno a otro gráfico.
Tabla 3. Frecuencia y porcentaje de gráficos por tipo
Tipo de gráfico
Frecuencia Porcentaje
Barras
99
46
Líneas
43
20
Líneas acumulado
2
0,9
Pictograma
16
7,4
Sectores
26
12,1
Circular y barras
2
0,9
Sectores y Líneas
8
3,7
Histograma
8
3,7
Puntos
3
1,4
Pictograma y Puntos
1
0,5
Dispersión
3
1,4
Pictograma y barras
1
0,5
Pirámide
2
0,9
No especifica
1
0,5
Total
215
100
En la Tabla 4 se resume la distribución del tipo de gráfico estadístico según
nivel educativo. Se observa que en los dos primeros niveles la totalidad de los
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gráficos son de barras. Se seguiría entonces la recomendación de Watson (2006)
de introducir estos gráficos en primer lugar. En el tercer nivel se observa,
mayoritariamente gráficos de barras (60,5%), de línea (18,6%) y aparecen los
pictogramas con un 7%. Para el cuarto nivel se detectó el predominio de los
gráficos de barras y líneas (31,3% cada uno), y los gráficos de sectores y
pictogramas con un 9,4% cada uno. En el quinto nivel los gráficos barras
(40,6%), líneas (28,1%), sectores (14,1%), pictogramas (12,5%) y otros
(4,7%). Finalmente, en el sexto de educación primaria—donde se observa una
mayor variedad—el gráfico de sectores tiene una presencia del 28%, el de barras
un 22%, líneas 14%, pictogramas 4% y otros un 34%.
Gráfico
Barras
Líneas
Pictograma
Sectores
Otros
Total
Tabla 4. Frecuencia y porcentaje de gráficos por tipo y curso
1
2
3
4
5
6
N
%
N
%
N
%
N
%
N
%
N
%
12 100 14 100 26 60,5 10 31,3 26 40,6 11
22
0
0
0
0
8
18,6 10 31,3 18 28,1
7
14
0
0
0
0
3
7
3
9,4
8
12,5
2
4
0
0
0
0
0
0
3
9,4
9
14,1 14
28
0
0
0
0
6
14
6
18,8
3
4,7
16
32
12 100 12 100 43 100 32 100 64 100 50 100
Total
N
%
99
46
43
20
16
7,4
26
12,1
31
14,4
215 100
La Tabla 5 presenta la distribución de los gráficos según la editorial y su tipo.
Aunque en las tres editoriales tienen un predominio de los gráficos de barras; se
observan algunas diferencias. En un segundo lugar—las editoriales SM y Anaya—
están los gráficos de línea y en Santillana está el pictograma. Además, la
editorial Anaya no presenta actividades en las que intervienen pictogramas,
Santillana presente un bajo número de actividades con gráficos de sectores
(6,3%) y SM con pictogramas (6,8%). En Santillana es donde aparece mayor
variedad de gráficos.
Tabla 5. Frecuencia y porcentaje de gráficos por tipo y editorial
SM
Anaya
Santillana
Total
Grafico
N
%
N
%
N
%
N
%
Barras
32 43,2 42 54,5 25 39,1
99
46
Líneas
17
23
16 20,8 10 15,6
43
20
Pictograma
5
6,8
0
0
11 17,2
16
7,4
Sectores
13 17,6
9
11,7
4
6,3
26
12,1
Otros
7
9,5
10
13
14 21,9
31
14,4
Total
74
100
77
100
64
100
215
100
4. CONCLUSIONES
Observamos, en nuestro estudio, que se han seguido las recomendaciones
curriculares al introducir los gráficos estadísticos desde el primer curso.
Asimismo la abundancia de gráficos de barras está de acuerdo con lo indicado
por Watson (2006) pues la autora indica que la sencillez de los gráficos de barras
los hace adecuado para su introducción temprana. Sigue en frecuencia los
gráficos de líneas y sectores; los dos primeros están citados explícitamente en el
Decreto de Enseñanzas Mínimas (MEC, 2006), el tercero también en las
orientaciones derivadas de la MECD (2014) Por otro lado, en este mismo
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EDUCACIÓN PRIMARIA
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currículo se cita explícitamente, como contenido, interpretar las pirámides de
población en el Bloque 3, Vivir en sociedad, del área de Ciencias Sociales que
apenas aparece reflejado en nuestro estudio. En nuestra opinión se debiera
considerar en el 6º curso, para apoyar también al área de Ciencias Sociales y
porque permite establecer actividades interdisciplinares dotando de mayor
sentido a la estadística.
Hay una coincidencia en las editoriales en el orden de introducción de gráficos
de barras (1º y 2º curso), de líneas y pictograma (3º), sectores (4º). Respecto a
otros gráficos, encontramos en 3º y 4º curso diagramas de dispersión; en 5º y
6º histogramas o gráficos de puntos y polígonos de población en 6º curso. Al
comparar con lo indicado en el currículo chileno (MINEDUC, 2012), observamos
que no se incluyen los gráficos de tallo y hojas, el gráfico de sectores se
introduce antes (4º), al igual que el de líneas (3º) y el pictograma (1º).
Esta invaginación deja algunas interrogantes, que pueden guiar futuras
investigaciones: ¿Cuál es conocimiento sobre gráficos estadísticos de los
profesores en formación y en ejercicio?, ¿Qué tipo de errores comenten?; ¿Es
efectiva la inclusión de los gráficos estadísticos en la formación primaria española
(o chilena)?; ¿Cuál es el conocimiento de los alumnos de primaria sobre los
gráficos estadísticos sugeridos en las directrices curriculares?
REFERENCIAS.
ARTEAGA, P. (2011). Evaluación de conocimientos sobre gráficos estadísticos y
conocimientos didácticos de futuros profesores. Tesis Doctoral. Universidad de
Granada.
BATANERO, C., DÍAZ, C., CONTRERAS, J. M.; ROA, R. (2013). El sentido
estadístico y su desarrollo. Números 83, 7-18.
GAL, I. (2002). Adult's statistical literacy: Meaning, components, responsibilities.
International Statistical Review 70(1), 1-25.
MEC (2006). Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se
establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación primaria.
Madrid: Autor.
MECD (2014). Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece
el currículo básico de la Educación Primaria. Madrid: Autor.
MINEDUC (2012). Matemática educación básica. Bases curriculares. Santiago:
Autor.
NORTES, A. (1991). Estadística teórica y aplicada. Barcelona: PPU.
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NJ: Lawrence Erlbaum.
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SENTIDO DE LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS EN LOS LIBROS DE TEXTO DE
EDUCACIÓN PRIMARIA
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