1. FUNDAMENTOS MATEMATICOS BASICOS 1.1 Secuencia de las

1 Universidad Católica “Loa Ángeles”
de Chimbote
Julio Lezama Vásquez
Matemáticas Financieras I
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1.
FUNDAMENTOS MATEMATICOS BASICOS
1.1 Secuencia de las operaciones
Las operaciones matemáticas tienen un orden de ejecución, de manera que es
necesario tener presente la secuencia lógica de las operaciones, a fin de su
adecuada aplicación en los casos que correspondan.
En las operaciones matemático – financieras, en los que intervienen
potenciaciones, radicaciones, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas; en
los que no estén presentes los signos de agrupación, la secuencia de las
operaciones mantienen el siguiente orden:
Potenciaciones y radicaciones, multiplicaciones y divisiones y finalmente
adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1.1. Siguiendo la secuencia de las operaciones determinamos el
resultado del la expresión siguiente:
4+5x3-8÷4+23+ 36
= 4+5x3-8÷4+8+6
= 4+15-2+8+6
= 31
Cuando las expresiones matemáticas demandan el uso de los signos de
agrupación, como es el caso de las formulas utilizadas en las matemáticas
financieras, es frecuente el uso de los siguientes signos de agrupación
•
•
•
Paréntesis
Corchetes
Llaves
‫׃‬
‫׃‬
‫׃‬
()
Si aplicamos los signos de agrupación en la solución del ejercicio en cuestión,
obtenemos el siguiente resultado.
(4+5) x (3-8) ÷ (4+23) +
= 9x-5÷12+ 6
= - 45÷12+6
= - 3.75 + 6
= 2.25
36
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Cuando en una expresión numérica figuran paréntesis, se efectúan en primer
lugar las operaciones contenidas dentro del paréntesis. Si en una expresión
numérica hay varios signos de agrupación uno dentro de otros, se efectúa
primero los de dentro.
Ejemplo 1.2. Determinar el resultado de las siguientes operaciones:
a. 25 – 4x3 – 2 (12 – 3 x 4 + 10 : 2 )
= 25 – 12 – 2 ( 12 – 12 + 5 )
= 25 – 12 – 2 ( 0 + 5 )
= 3
b. 60 – 5 ( 12 – 4 ) + 3 x 2 ( 12 – 9 )
= 60 – 5 x 8 + 3 x 2 x 3
= 60 - 40 + 18
= 20 + 18
= 38
1.2 Potenciación
Cuando en una multiplicación se repiten como factores n valores iguales, al
que lo llamamos valor base y lo representamos por b, el resultado viene a ser
la enésima potencia de b, operación que se conoce como potenciación y se
representa por bn y se lee b elevado a la n.
En las operaciones a interés compuesto el uso de la potenciación es frecuente,
se presenta en casi todas las fórmulas simplificando los cálculos, evitando
multiplicar repetidamente un valor.
Ejemplo:
Expresar en forma de potenciación la multiplicación siguiente
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) = (1 + i )6
1.3 Casos de la potenciación
En las operaciones de potenciación se presentan diferentes casos que es
necesario tener en cuenta para la correcta aplicación del tema.
1. Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base los exponentes se suman, de
manera
que la multiplicación de a2 por a3, lo podemos expresar de la siguiente forma:
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a2 . a3 = a2+3 = a5
Lo que nos permite generalizar:
an . am = an+m
2. División de potencias de igual base
Para dividir potencias de igual base los exponentes se restan, de manera que la
división de a2 por a3, lo podemos expresar de la siguiente manera:
a4
b2
= a4-2
Lo que nos permite generalizar:
an
bm
= an-m
3. Multiplicación de potencias de igual exponente
Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplica
correspondientemente las bases y al producto se le eleva al exponente indicado
Si a3, b3 = (ab) (ab) (ab) = (ab)3
Generalizando:
an . bn
=
(a.b) n
4. División de potencias de igual exponente
Para dividir potencias de igual exponente, se expresa la división como una
fracción y mediante un signo de agrupación como el paréntesis, se le eleva al
exponente indicado
n
⎛a⎞
es igual a ⎜ ⎟
La expresión
⎝b⎠
(1 + i )5 , lo podemos simplificar de la forma
De manera que la expresión:
(1 + j )5
5
⎛ 1+ i ⎞
⎟⎟
siguiente: ⎜⎜
⎝1+ j ⎠
an
bn
5. Potencia de potencia
Para potenciar una potencia de una base cualquiera, se multiplican los
exponentes de las potencias y a cuyo producto se eleva la base propuesta.
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En términos matemáticos lo manifestado lo expresamos de la manera
siguiente:
m
⎛⎜ a n ⎞⎟ = a n.m
⎝ ⎠
1.4 Radicación
Es una operación inversa a la potenciación de manera que la expresión bn =
P se lee, b es la raíz enésima de P, a la operación consistente en calcular la
raíz de una cantidad se le llama radicación.
Al igual que la potenciación la radicación se presenta con frecuencia en las
0peraciones financieras a interés compuesto, en el cual radica la importancia
del tratamiento del tema.
En términos de definición la radicación es la operación que consiste en hallar
la base de una potencia, cuando se conoce el exponente y la potencia.
Dicho de otro modo: La raíz de un número es otro número que elevado a la
potencia que indica el índice, coincide con la cantidad subradical.
Si bn = P entonces b =
nP
En el que: b = Raíz enésima de P
n = Índice de la raíz P = Cantidad sub radical o radicando = Signo radical
En el cálculo financiero es frecuente el uso de términos, como la enésima
potencia, la raíz enésima etc.
En el caso de la raíz enésima de un número es otro número, que elevado a la
potencia enésima, da por resultado el número propuesto.
De manera que:
6 es la raíz cuadrada de 36, por que 62 = 36
5 es la raíz cúbica de 125, por que 53 = 125
B es la raíz enésima de P por que bn = P
1.5 Logaritmos
En matemática el logaritmo es el exponente (o potencia) a la que un número
fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado.
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Es la funnción inverrsa de la exponencia
e
al x = bn, que permiite obtenerr n, esta
función se
s escribe como: n = logb x. Así, en la
l expresióón 102 = 100, el
logaritmoo de 100 enn base 10 es
e 2, y se esscribe com
mo log10 1000 = 2.
La expreesión 34 = 81, en térm
minos de lo
ogaritmos será
s
El logarittmo es unaa de tres funciones
fu
relacionada
r
as entre sí:: en bn = x,
x puede
encontrarrse b con raadicales, n con logariitmos y x con
c exponeenciación.
Etimológgicamente la palabra logaritmo se debe a John Napiier y está formada
f
de las pallabras grieegas (logoos), que sig
gnifica razóón o cociennte, y (ariithmos),
con el siggnificado de
d número, y se defin
ne, literalm
mente, com
mo un núm
mero que
indica unna relación o proporciión. Se refiiere a la prroposición que fue heecha por
Napier enn su "teoreema fundaamental", que
q estableece que la diferenciaa de dos
logaritmoos determinna la relaciión de los números
n
a los cualess correspon
nden, de
manera que
q
una serie
s
aritm
mética de logaritmoss correspoonde a un
na serie
geométricca de númeeros.
1.6 Proopiedades
Los logarritmos manntienen cierrtas identid
dades aritm
méticas muyy útiles a laa hora
de realizaar cálculos::
Primera propiedad
d. El logarritmo de un
n producto es igual a la suma dee los
logaritmoos de los faactores. log (c.d) = log (c ) + log (d
( )
Segunda propiedaad. El loggaritmo de un cociennte es iguaal al logarittmo del
numeradoor menos el
e logaritmoo del denom
minador.
L ( c/d ) = log ( c ) - log ( d )
Log
Tercera propiedad
d. El logaaritmo de una
u potenciia es igual al producto entre
el exponeente y el logaritmo dee la base dee la potencia.
Cuarta propiedad
p
d. El logaaritmo de una
u raíz ess igual al producto entre la
inversa del índice y el logaritm
mo del radiicando.
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