Problema 668 Solución de Juan Bosco Romero Márquez .0

Problema 668
Solución de Juan Bosco Romero Márquez
Sean T  ABC y T ´ A´B´C´ dos triángulos rectángulo s en A y A´, y de lados
a  b  c, a ´ b´ c´, y con bisetrices int eriores v a , v a´ como cevianas, , y con
segmentos det er min ados por éstas , sobre los lados BC , y B´C´, ma , ma ´,
y na , na´ correspondientes a los lados , b, c y b´, c´, , con a  ma  na ,
a´ ma´  na ´, respectivamente.
Pr obar que :
aa´ v a v a´  bb´ na na´  cc´ ma ma´  0.
Solución ,.
Re cordando el valor de las bi sec trices y segmentos det er min ados por ellas ,
sobre las hipotenusa s de los triángulos T y T ´, tenemos que :
2bc
ab
ac
, ma 
, na 
, y similares exp resiones para T ´, que sustuidas
bc
bc
bc
en la exp resión dada, y además, a 2  b 2  c 2 , a´2  b´2 c´2 , se tiene que si :
va 
X  aa´

2bcb´c´
aacc´
aa´bb´
 bb´
 cc´

(b  c)(b´c´)
(b  c)(b´c´)
(b  c)(b´c´)
abca´b´c´
( 2aa´  bb´  cc´ )  K (2aa´(bb´cc´2 bcb´c´)  (llamando ,
(b  c)(b´c´)
K , a toda la exp resión obtenida , al multiplica r numerador y deno min ador por
2aa´  bb´  cc´ ).
De otra parte al hacer la agrupación que sigue, y multiplica r por sus conjugados ,
obtenemos que :
X  K ((aa´bb´cc´)  (aa´2 bcb´c´ ))  K ( P  Q), donde
P  aa´(bb´cc´), y Q  aa´2 bcb´c´, y veamos ahora sus signos de P y Q :
y, al multiplica r por los conjugados de P P´ aa´bb´cc´, y de Q,
Q´ aa´2 bcb´c´, obtenemos :
(aa´) 2  (bb´cc´) 2 (aa´)2  4bcb´c´
X  K(

)
aa´bb´cc´
aa´2 bcb´c´
(b 2  c 2 )(b ´2  c´2 )  (bb´cc´)2
(bc´b´c) 2
P

 0, con la igualdad  bc´ b´c.
aa´bb´cc´
aa´bb  cc´
(b 2  c 2 )(b´2  c´2 )  4bcb´c´ (bb´cc´)2  (bc´b´c) 2
Q

 0, con la igualdad 
aa´2 bcb´c´
aa´2 bcb´c´
bc´ b´c y bb ´ cc´.
Desde aquí , tenemos : X  0.