Manual

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BLOQUE 1: REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES DE CÁLCULO
UNIDAD 1: LOS NÚMEROS (I).
1.1 Concepto de número. Sistema de numeración decimal
1.2 Divisibilidad. Concepto de múltiplo y divisor. Números primos.
1.3 Descomposición factorial de un número.
1.4 Máximo común divisor (MCD) de varios números.
1.5 Mínimo común múltiplo (mcm) de varios números.
UNIDAD 2: LOS NÚMEROS (II).
2.1 Los números naturales. Ordenación de números naturales.
2.2 Los números enteros. Ordenación de números enteros.
2.3 Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y
división.
2.4 Operaciones combinadas con números enteros. Jerarquía de
las operaciones.
UNIDAD 3: LOS NÚMEROS (III).
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Concepto de fracción. Expresión y comparación de fracciones.
Fracciones equivalentes.
Fracciones irreducibles.
Suma y resta de fracciones.
Producto y división de fracciones.
La fracción de un número. Aplicación al porcentaje.
El conjunto de los números racionales.
UNIDAD 4: LAS POTENCIAS.
4.1
4.2
4.3
4.4
Concepto de potencia. Propiedades de las potencias.
Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.
Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias.
Potencias de base 10. La notación científica.
UNIDAD 5: LAS RAÍCES DE UN NÚMERO.
5.1 Concepto de raíz de un número. Expresión de una raíz. Propiedades
de las raíces.
5.2 Radicales semejantes. Sumas y restas de radicales semejantes.
5.3 Extraer factores fuera de una raíz.
2
UNIDAD 6: LOS NÚMEROS DECIMALES.
6.1
6.2
6.3
6.4
Concepto de números decimal. Tipos de números decimales.
La fracción generatriz.
Los números irracionales.
El conjunto de los números Reales.
BLOQUE 2: ÁLGEBRA
UNIDAD 7: EL LENGUAJE ALGEBRAICO.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Las letras y los números en el ámbito de las matemáticas.
Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica.
Monomios y polinomios. Operaciones elementales.
Operaciones generales: Sacar factor común, despejar y simplificar.
Igualdades notables. Ecuaciones e identidades.
UNIDAD 8: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
8.1
8.2
8.3
8.4
Interpretación del significado de una ecuación.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Planteamiento de ecuaciones para la resolución de problemas.
Comprobación del resultado.
UNIDAD 9: SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.
9.1 Interpretación de un sistema de ecuaciones.
9.2 Resolución de sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación,
sustitución y reducción.
9.3 Planteamiento y resolución de problemas con sistemas de ecuaciones.
Comprobación de los resultados.
UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general.
10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
10.3 Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones de segundo
grado.Comprobación del resultado.
3
UNIDAD 11: ESTUDIO ELEMENTAL DE FUNCIONES. ANÁLISIS
GRÁFICO.
11.1
11.2
11.3
11.4
Concepto de función. Variables y tablas de datos.
Representaciones gráficas en el plano. Interpretación de una gráfica.
La función lineal. Representación gráfica de funciones de primer grado.
La recta.
La función cuadrática. Representación gráfica de funciones de segundo
Grado. La parábola.
BLOQUE 3: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
UNIDAD 12: NOCIONES ELEMENTALES DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos.
Tablas de datos.
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
Media aritmética, mediana y moda.
Medidas de dispersión.
Organización de los datos: Gráficos de barras y sectores.
Introducción a la probabilidad experimental.
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UNIDAD 1: LOS NÚMEROS (I).
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Concepto de número. Sistema de numeración decimal.
Divisibilidad. Concepto de múltiplo y divisor. Números primos.
Descomposición factorial de un número.
Máximo común divisor (MCD) de varios números.
Mínimo común múltiplo (mcm) de varios números.
1.1 CONCEPTO DE NÚMERO.
NUMERACIÓN DECIMAL.
CLASES
DE
NÚMEROS.
SISTEMA
DE
Un número es un concepto abstracto que asociamos a una cantidad de algo, en
término de unidades que constituyen ese algo. Los números nos permiten contar,
comparar cantidades, adicionar, restar etc. Los números están presentes en nuestra
vida cotidiana en múltiples facetas: fechas, precios, saldos, edades, horas, … El origen
de los números se pierde en lo más lejano de la historia y surgió, al parecer, por la
necesidad del ser humano para contar. Cada número se representa mediante un
símbolo gráfico al que se asocia una cantidad de referencia. Lógicamente, a lo largo
de la Historia ha habido diferentes sistemas de numeración y diferentes grafías para
las cifras. Por ejemplo, en tiempos de los romanos se utilizaban algunas letras del
alfabeto a las que se le asignaban valores cuantitativos concretos. Las cantidades se
expresaban disponiendo las letras en el orden adecuado. Entre
las cifras romanas hay tres que no pueden estar repetidas en el
mismo número. Estas cifras son V, L y D. Es obvio que escribir
VV equivale a escribir X. Además, cuando se escribe a la
derecha de cualquiera de estas tres cifras otra de las que sí se
pueden repetir, se suman sus valores. Cuando se escribe a la
izquierda, sus valores se restan:
IV Æ 5 – 1 = 4
VI Æ 5 + 1 = 6
MDCC Æ 1000 + 500 + 100 + 100 = 1.700
XVI Æ 10 + 5 + 1 = 16
XXIV Æ 10 + 10 + 4 = 24
CM Æ 1000 - 100 = 900
Los números arábigos son los símbolos más utilizados para representar números. Se
les llama "arábigos" porque los árabes los introdujeron en Europa, aunque en realidad
son invención de la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental
del sistema de numeración de base 10, llamado de posición, así como el
descubrimiento del 0 (llamado "sunya" o "bindu" en lengua sánscrita), aunque los
mayas también conocieron el 0. Los matemáticos persas de la India adoptaron el
sistema, de quienes lo tomaron los árabes. Los números arábigos, tal y como los
usamos ahora, son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el importantísimo 0. Se trata de un sistema
5
de tipo decimal cuyas cifras ocupan un lugar con un determinado valor, siendo el del
símbolo cero el lugar destinado al vacío. Al escribir un determinado número,
combinamos las cifras de manera que según su posición representan cantidades
determinadas. Las unidades, las decenas, las centenas, los millares, las decenas de
millar, centena de millar, millón … son los nombres que asignamos a las diferentes
posiciones que ocupan las cifras de izquierda a derecha. Cada diez unidades
obtenemos una decena. Cada diez decenas obtenemos una centena y así
sucesivamente. Puesto que las agrupaciones se basan en conjuntos de diez
elementos decimos que constituyen un sistema de numeración decimal.
Decenas de millar
Millares Centenas
Decenas
Unidades
EJEMPLOS
1.- Escribe los números A y B siguientes y realiza su suma:
A Æ Tres decenas de millar, 8 centenas 5 decenas y 9 unidades
B Æ 2 millones, 3 decenas de millar, 4 millares y 7 decenas
Número AÆ
30.859
Número B Æ 2.034.070
2.064.929
2.- Los números se pueden escribir en forma compleja (separando las unidades,
decenas, centenas,…). Observa el ejemplo:
8.572 = 8x1000 + 5x100 + 7x10 + 2 Æ 8 millares 5 centenas 7 decenas y 2 unidades.
Siguiendo el modelo del ejemplo, descomponer los siguientes números en forma
compleja:
24.098 Æ
1.098.670 Æ
45.781 Æ
6
1.2 DIVISIBILIDAD. CONCEPTO DE MÚLTIPLO Y DIVISOR. NÚMEROS PRIMOS.
Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que
repartir cantidades de cosas entre personas, dándole a cada una el mismo número de
unidades.
A través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía
solución y a veces no. Este hecho hizo que se estudiase que relación se encontraba
entre los números en los que este problema sí tenía solución y los números en los que
no. De esta forma comenzó a estudiarse la divisibilidad.
Un número “a” se puede dividir por otro número “b” (o también, dicho de otra forma, a
es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se
puedan hacer tantos grupos como indique el número b, teniendo todos estos grupos el
mismo número de unidades. Decimos que “a” es divisible entre “b” si la división a : b
es exacta (es decir, su resto es cero).
Por ejemplo, el número 12 es divisible por 4 ya que la división 12 : 4 = 3 es exacta.
Sin embargo, el número 12 no es divisible por 5 ya que al dividir 12 : 5 = 2 y el resto
es 2, por tanto no es exacta la división.
Los conceptos múltiplo y divisor son conceptos complementarios, pues se definen
conjuntamente.
Se dice que un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de
veces.
Por ejemplo, el número 60 es divisible por 5, ya que la división
60 : 5 = 12 Esto
significa que el número 60 contiene 12 veces al número 5. Así pues podemos decir
que: “el 20 es un múltiplo de 5” o bien que “el 5 es un divisor de 20·”
Para saber si un número es múltiplo de otro comprobaremos si al dividir el primero
entre el segundo la división es exacta. No obstante, hay ciertos criterios que nos
permiten saber si un número es o no múltiplo de otro sin necesidad hacer la división.
Son los llamados criterios de divisibilidad.
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 2
“Todo número que acabe en cifra par (2, 4, 6, 8, 0) es divisible por 2.”
Ejemplos: 26, 288, 2690, 192, 454, etc Æ son divisibles por 2
13, 167, 991, 1099, 4675, etc Æ No son divisibles por 2
7
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3
“Son divisibles por 3 todos los números cuyas cifras sumen 3 o múltiplo de 3”
El número 1.458 es divisible por 3 ya que 1+4+5+8 = 18 Æ Es múltiplo de 3.
El número 2.794 no es divisible por 3 ya que 2+7+9+4 = 22 Æ No es múltiplo de 3
Otros ejemplos:
270, 588, 2690, 162, 4074, etc Æ son divisibles por 3
130, 967, 4991, 1009, 8675, etc Æ No son divisibles por 3
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 4
“Un número es divisible por 4 si acaba en 00 o bien si las dos últimas cifras
del número son múltiplos de 4”
Ejemplos: 728, 280, 2600, 6792, 452, 5436 etc Æ son divisibles por 4
813, 1691, 9810, 1099, 4675, etc Æ No son divisibles por 4
Observa que todos los múltiplos de 4 son también múltiplos de 2
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 5
“Es divisible por 5 todo número que acabe en 0 o en 5.”
Ejemplos: 20, 285, 2690, 195, 450, etc Æ son divisibles por 5
713, 166, 981, 1094, 4678, etc Æ No son divisibles por 5
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 6
“Es divisible por 6 todo número que sea divisible a la vez por 2 y por 3.”
Ejemplos: 246, 972, 2670, 1926, 4548, etc Æ son divisibles por 6
213, 1670, 9914, 1099, 4675, etc Æ No son divisibles por 6
Observa que todos los múltiplos de 6 son números pares
8
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7
Para saber si un número es divisible por 7 debemos hacer la siguiente operación:
1.- Separamos la última cifra del número del resto de cifras.
2.- Multiplicamos esta última cifra por 2 y el resultado que obtenemos se lo
restamos al conjunto de cifras restantes que formaban el número.
3.- Si el resultado de la resta es 0, 7 o múltiplo de 7, el número en cuestión es
divisible por 7.
Ejemplo: 105 Æ Separamos la última cifra que es el 5 y lo multiplicamos por 2.
10 | 5
Obtenemos como resultado de la multiplicación 5x2=10.
Ahora restamos ese resultado al resto de número que quedaba:
10 – 10 = 0 Æ luego el 105 es múltiplo de 7
Ejemplo: 413 Æ Separamos la última cifra que es el 3 y lo multiplicamos por 2.
41 | 3
Obtenemos como resultado de la multiplicación 3x2=6.
Ahora restamos ese resultado al resto de número que quedaba:
41 – 6 = 35 Æ como 35 es múltiplo de 7, el 413 es múltiplo de 7
Ejemplos: 1036, 8778, 273 , 392, 2275 , etc Æ son divisibles por 7
213, 197, 991, 1089, 4675, etc Æ No son divisibles por 7
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 8
“Un número es divisible por 8 cuando acaba en 000 o sus tres últimas cifras
son múltiplo de 8”
Ejemplos: 1024, 13.000, 2640, 1272, 5960, etc Æ son divisibles por 8
4213, 1670, 9715, 1900, 4860, etc Æ No son divisibles por 8
Observa que todos los múltiplos de 8 son números pares y también múltiplos de 4.
9
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 9
“Son divisibles por 9 todos los números cuyas cifras sumen 9 o múltiplo de 9”
El número 1.458 es divisible por 9 ya que 1+4+5+8 = 18 Æ Es múltiplo de 9.
El número 2.794 no es divisible por 9 ya que 2+7+9+4 = 22 Æ No es múltiplo de 9
Otros ejemplos:
270, 288, 2691, 162, 5094, etc Æ son divisibles por 9
130, 967, 4991, 1009, 8675, etc Æ No son divisibles por 9
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 10
“Son divisibles por 10 todos los números que acaben en 0”
Ejemplos:
270, 580, 2690, 160, 4000, etc Æ son divisibles por 10
136, 969, 4991, 1007, 8675, etc Æ No son divisibles por 10
•
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 11
“Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los
valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores
absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo
de 11”.
Ejemplo: 3487 Æ Cifras de lugar impar (primera y tercera cifra) Æ 7 + 4 = 11
Cifras de lugar par (segunda y cuarta cifra) Æ 8 + 3 = 11
Se restan ambos resultados: 11 - 11 = 0
Como en esa resta da 0, 11 o múltiplo de 11, entonces el 3487 es múltiplo de 11.
Ejemplo: 13589 Æ Cifras de lugar impar (1ª, 3ª y 5ª cifra) Æ 9+5+1=15
Cifras de lugar par (2ª y 4ª cifra) Æ 8+3 = 11
Se restan ambos resultados:
15 – 11 = 4
Como la resta no da 0, 11 o múltiplo de 11, el número 13589 NO es múltiplo de 11
10
Existen más criterios de divisibilidad para otros números pero con los vistos
anteriormente son suficientes para este nivel.
Resulta evidente que cualquier número tiene al menos dos divisores, que son el 1 y el
propio número. Si un determinado número no tiene más que estos dos divisores
entonces se dice que es un número primo.
Si un número tiene más divisores que el 1 y el propio número entonces se dice que es
un número compuesto.
Recuerda
Número primo es aquel que solamente es divisible por 1 y por sí mismo.
Número compuesto es aquel que tiene más divisores que el 1 y el propio número.
A continuación se recogen los números primos del 1 al 100 obtenidos al ir eliminando
los múltiplos de 2, de 3, de 4, etc. De esta forma los números que quedan sólo tienen
como posibles divisores el 1 y el propio número. Este método se conoce como la
“criba de Eratóstenes”.
Observa que todos los números primos acaban en 1, 3, 7 ó 9.
Razona por qué no existen números primos que acaben en cifra par o en 5.
11
1.3 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO.
Los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Así por ejemplo, el 6 = 2 · 3 , el 18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3, etc. Una forma de calcular la
equivalencia de un número en un producto de factores primos es mediante la llamada
descomposición factorial. Ésta consiste en escribir el número que se va de
descomponer a la izquierda de una línea vertical e ir haciendo divisiones sucesivas del
número por los diferentes divisores del mismo hasta llegar a la unidad. Cuando en el
producto algún factor se repite, se puede expresar como potencia.
A continuación se presentan cuatro ejemplos correspondientes a la factorización de los
números 12, 30, 32 y 81.
1.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE VARIOS NÚMEROS.
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande
posible por el que se pueden dividir dichos números, siendo las divisiones exactas. De
forma intuitiva, podemos calcular el máximo común divisor de dos números no muy
grandes por simple comparación de sus divisores.
Así, por ejemplo, para saber cuál es el máximo común divisor de 24 y 30 podemos
escribir todos los divisores de ambos números y compararlos.
Divisores de 24 Æ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Divisores de 30 Æ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
Se han destacado en negrita los divisores comunes. De ellos, el mayor es el 6, por
tanto podemos decir que el MCD de 24 y 30 es el 6. Lógicamente, podemos
comprobar que no hay otro número mayor que el 6 por el que se puedan dividir a la
vez el 24 y el 30 y se obtengan divisiones exactas.
Para calcular el MCD de varios números existe un método en el que se necesita
realizar primeramente la descomposición de esos números en productos de factores
primos.
12
Por ejemplo, si queremos calcular el máximo común divisor de 40 y 60 , debemos
hacer la descomposición factorial de ambos números:
MCD (40 , 60) = 22 · 5 = 20
40 = 23 · 5
60 = 22 · 3 · 5
Para calcular el MCD se multiplican los factores comunes a ambos números (sólo los
factores comunes) elevados al menor exponente. En el ejemplo anterior tenemos dos
factores comunes en ambos números. Esos factores son el 2 y el 5. Entre el 23 y el 22
se multiplica el de menor exponente, es decir, el 22. En el caso del 5, en ambos
números está elevado al mismo exponente, por lo que se multiplica el 5 directamente.
MCD (40 , 60) = 22 · 5 = 20
El divisor común más grande de 40 y 60 es el 20.
RECUERDA
Para hallar el MCD de varios números a partir de sus descomposiciones factoriales
se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente.
EJEMPLO
Halla el máximo común divisor de los números 30, 45 y 80
30 = 2 · 3 · 5
45 = 32 · 5
80 = 24 · 5
El único factor común a los tres números es el 5, luego ése es el
máximo común divisor.
13
1.5 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) DE VARIOS NÚMEROS.
Dos números o más tienen infinitos múltiplos comunes, pero de todos ellos, uno será
el menor. Al menor de los múltiplos comunes de dos o más números es a lo que
llamamos mínimo común múltiplo (mcm).
Vamos a considerar los números 12 y 15 y vamos a escribir algunos de sus múltiplos:
Múltiplos de 12 Æ 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ….
Múltiplos de 15 Æ 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, …
Se han destacado en negrita los múltiplos comunes a ambos números. Lógicamente
habrá muchos más múltiplos comunes (infinitos), pero de todos ellos, el menor es el
60. Por tanto, el mínimo común múltiplo de 12 y 15 es 60.
Se puede calcular el mínimo común múltiplo de varios números a partir de la
descomposición factorial de dichos números. Para ello hay que multiplicar los factores
comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Al descomponer el 12 y el 15 en un producto de factores primos obtenemos:
12 = 22 · 3
15 = 3 · 5
Los factores que aparecen (comunes y no comunes) son el 2, el 3 y
el 5. Para hallar el mcm se multiplican esos factores pero en los que
son comunes, se elige el que tiene exponente mayor.
mcm (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60
RECUERDA
Para hallar el mcm de varios números a partir de sus descomposiciones factoriales
se multiplican los factores comunes y no comunes elevados al mayor
exponente.
EJEMPLO
Halla el mínimo común múltiplo de 500 y 625
Observa que el 5 es un factor común
en ambos números, pero para hallar
el mcm se multiplica el 54 ya que es
el de mayor exponente
14
1.- Realiza la descomposición de los números siguientes, fijándote en el modelo que se
muestra como ejemplo:
4.589 = 4x1000 + 5x100 + 8x10 + 9 Æ 4 millares, 5 centenas, 8 decenas y 9 unidades
12.075 =
127.678 =
1.509.506 =
508 =
2.- Escribe los números siguientes:
2 unidades de millón, tres decenas de millar, 4 centenas, 8 decenas y 7 unidades
Æ
3 centenas de millar, 4 millares y 8 decenas Æ
2 decenas de millar, 7 millares, 8 centenas, 5 decenas y 9 unidades Æ
3 unidades de millón, 5 millares, 8 centenas, 8 decenas y 2 unidades Æ
9 centenas 8 decenas y 1 unidad Æ
5 centenas de millar Æ
3.- ¿Cuál es el menor número de cuatro cifras que es a la vez divisible por 2 y por 5?
4.- ¿Cuál es el primer número de 4 cifras que es múltiplo de 6?
5.- Completa los números siguientes con la cifra que corresponda para que sean
divisibles por 2 y por 3 a la vez.
79_0
27_14
689_
24_06
_1234
489_
180_
2_85
6.- Completa los números siguientes con la cifra que corresponda para que sean
divisibles por 11.
58_8
2_913
34_
14_9
45_97
125_
70_9
421_64
15
7.- Sin hacer divisiones, escribe en cada cuadro Sí o No según que el número de la fila
superior sea divisible o no por el de la columna de la izquierda:
124
253
355
479
575
616
950
1.925
2.350
2
3
4
5
11
8.- ¿Qué son números primos? Pon al menos tres ejemplos de números primos
mayores de 50.
9.- Realiza la descomposición en producto de factores primos de los siguientes
números:
130
130 =
240
240 =
320
320 =
600
600 =
1100
1100 =
10.- Escribe en los recuadros correspondientes todos los divisores de los números 36 y
48. Compara los dos conjuntos de divisores e indica cuál es el máximo común divisor
de dichos números.
Divisores de 36 Æ
Divisores de 48 Æ
Máximo Común Divisor de 36 y 48 Æ
16
11.- Escribe en los recuadros correspondientes los 10 primeros múltiplos de los
números 30 y 45. Compara los dos conjuntos de múltiplos e indica cuál es el mínimo
común múltiplo de dichos números.
Múltiplos de 30 Æ
Múltiplos de 45 Æ
Mínimo Común Múltiplo de 30 y 45 Æ
12.- Haz la descomposición factorial de los siguientes pares de números y calcula su
máximo común divisor (MCD) y su mínimo común múltiplo (mcm).
135
75
135 =
75 =
MCD (135, 75) =
mcm (135, 75) =
280
540
280 =
540 =
MCD (280, 540) =
mcm (280, 540) =
330
220
330 =
220 =
MCD (330, 220) =
mcm (330, 220) =
17
13.- Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los
dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en
Barcelona? (Sol. 72 días)
14.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volverán a coincidir otra
vez? (Sol. A las 6.33)
15.- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l.
Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las
capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino
contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
(Sol. Capacidad máxima: 10 lítros. Se necesitan en total 115 garrafas)
16.- Se quiere poner alambrada en el perímetro de un terreno de forma rectangular
cuyos lados miden 320 m y 100 m respectivamente, deseando que entre los postes haya
la misma distancia y que en cada esquina haya uno. ¿cuál es la máxima separación a
que pueden colocarse los postes y cuántos postes se necesitan para poner en todo el
perímetro? (Sol. Máxima separación: 20 m ; Se necesitan 42 postes)
320 m
100 m
18
UNIDAD 2: LOS NÚMEROS (II).
2.1
2.2
2.3
2.4
Los números naturales. Ordenación de números naturales.
Los números enteros. Ordenación de números enteros.
Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.
Operaciones combinadas con números enteros. Jerarquía de las
operaciones.
N
1
2.1 LOS NÚMEROS NATURALES. ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.
Los números naturales constituyen el conjunto de números más sencillo y habitual.
Con los n ú me ro s n atu ra le s contamos los elementos de un conjunto (número
cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un
conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos
números naturales :
5 > 3; 5 es m a yor q u e 3.
3< 5; 3 es menor que 5 .
Los números naturales son números positivos y sin decimales. El conjunto de los
números naturales se representa con la letra N.
El aforo de un local, la edad de una persona, la cantidad de hijos, el número de
habitantes de una ciudad, etc … se expresan mediante números naturales. Los
números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos
otro número natural.
19
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a
mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A
la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor
los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
2.2 LOS NÚMEROS ENTEROS. ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
A veces nos podemos encontrar en la necesidad de indicar cantidades menores que el
cero. Por ejemplo, en los días de mucho frío, la temperatura suele ser inferior a 0 ºC.
En este caso es necesario recurrir a los números negativos.
Mira este cuadro:
Las temperaturas que son mayores a los 0 grados se indican con números enteros
positivos y las temperaturas por debajo de los 0 grados, se indican con números
enteros negativos.
También, cuando subes a un ascensor, puedes ver que allí está
indicada la cantidad de pisos que posee el edificio a través de
números enteros positivos, y también están indicados los pisos
destinados a sótanos o estacionamientos (por debajo del nivel de la
calle), con números enteros negativos.
Cuando el saldo de una cuenta en el banco es menor de cero (“números rojos”) se
emplean los números negativos. Al referirnos a años anteriores al nacimiento de Cristo
también empleamos los números negativos, etc. Podemos comprobar que utilizamos
los números enteros en muchas situaciones de nuestra vida diaria.
Debe observarse que los números enteros representan unidades completas, es
decir, no tienen decimales.
20
Al ordenar los números enteros hay que tener en cuenta que:
-
Los números enteros positivos son números mayores que el cero y se sitúan a
la derecha del cero en la recta numérica. Se representan poniendo el signo +
(más) delante de un número natural.
Los números enteros negativos son menores que el cero y se sitúan a la
izquierda del cero. Se representan poniendo el signo - (menos) delante de un
número natural.
De esta manera tenemos dos conjuntos:
•
•
Conjunto de números positivos (o números naturales)
Conjunto de números negativos.
Números crecientes
Números decrecientes
Al conjunto que está formado por los números negativos, los números positivos y el
cero, llamamos conjunto de números enteros. Este conjunto se representa con la
letra Z
Se llama valor absoluto de un número entero al valor numérico independientemente
del signo. Se representa indicando entre barras el número sin el signo:
Ejemplo: Valor absoluto de +5 Æ |5|
Valor absoluto de – 3 Æ |3|
Cuando hablamos del valor absoluto de un número entero, nos referimos al número
solamente, sin tener en cuenta el signo.
A la vista de la ordenación anterior podemos obtener las siguientes conclusiones:
- Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplos:
- 6 < +9
-8 < +1
- Al comparar dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor
absoluto.
Ejemplos:
+9 > +6
+ 14 < + 23
21
- Al comparar dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros
negativos y- el
Ejemplos:
4 <cero
-1 . Los signos
- 5 > +- y9 - que llevan los números enteros no son
signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad
de
positivos
o negativos.
- Seser
llama
opuesto
de un número entero al número que tiene el mismo valor
numérico pero el signo contrario.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de
prescindirOpuesto
del signo.
estede
número
Ejemplos:
deSe
+9expresa
Æ - 9 encerrando
Opuesto
-12 Æ entre
+ 12 dos barras.
RECUERDA
2.3 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: SUMA, RESTA, PRODUCTO Y
DIVISIÓN.
Suma de números enteros
a) Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que
tienen, si son positivos, signo positivo y si son negativos, signo negativo. Si no se pone
nada delante del número se entiende que es +.
(+5) + (+4) = +9 Æ es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = - 9 Æ es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
b) Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo
del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en
valor absoluto).
22
(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5
(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9
(El número de mayor valor absoluto, es el – 8, por eso
el resultado lleva el signo negativo).
(El número de mayor valor absoluto, es el + 11, por eso
el resultado lleva el signo positivo).
(+20) + (-10) = 20 - 10 = +10
(- 9) + (+6) = - 9 + 6 = - 3
Cuando se suman varios números de diferentes signos, se puede operar primero con
los números del mismo signo y finalmente hacemos la suma de los resultados
obtenidos con los números positivos y negativos.
(+ 4) + (- 2) + (+ 3) + (+ 5) + (- 6) = (+12) + (- 8) = +4
Resta de números enteros
Para restar números enteros se suma al
minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, al
restar dos números enteros se suma al primero el
segundo cambiado de signo.
a – b = a + opuesto de (b)
Ejemplos:
(- 6) – (+7) = (-6) + (- 7) = (-13)
(+8) – (- 4) = (+8) + (+4) = (+12)
(- 9) – (- 5) = (- 9) + (+5) = (- 4)
(+10) – (+3) = (+10) + (- 3) = (+ 7)
Cuando en una misma operación se combinan sumas y restas de números enteros
podemos expresar dicha operación de forma más simplificada eliminando los
paréntesis de los números. Estos paréntesis se quitarán teniendo en cuenta las
siguientes reglas:
23
EJEMPLOS
(+ 8) – (– 2 ) = 8 + 2 = 10
(–7) + (+1) – (+4) = –7 + 1 – 4= - 10
(– 7) – (+5) + (+12) = – 7 – 5 + 12 = 0
(+ 5) – (+7) – (+4) = 5 – 7 – 4 = – 6
(– 6) + (–4) – (+8) + (– 3) – (– 5) – (+1) + (+2) = – 6 – 4 – 8 – 3 + 5 – 1 + 2 =
= - 22 + 7 = - 15
(+9) + (–3) – (–4) – (+6) + (+2) – (–1) = 9 – 3 + 4 – 6 + 2 + 1 = 16 – 9 = 7
EJEMPLO
Álvaro debe a Juana la cantidad de 52€ pero Juana le perdona 7 € de dicha
deuda. Con estas nuevas circunstancias ¿cuánto debe ahora Álvaro?
Álvaro debe a Juana 52 €. Escribimos: -52 €
Juana le perdona 7 €. Hay restar al total de la deuda los euros que le perdona.
Escribimos: -7 €
Si Juana le perdona parte de su deuda, ¿cuánto debe ahora Álvaro?
Del total de la deuda hay que quitar la parte que le perdonó Juana:
-52 - (-7)
Esta resta la convertimos en una suma:
-52 - (-7) = -52 + op. (-7) = -52 + 7 = -45
El resultado - 45 significa que Álvaro debe ahora 45 €.
24
Producto y división de números enteros: regla de los signos
Para multiplicar dos números enteros
se multiplican sus valores absolutos y
se aplica la siguiente regla de los signos:
Para dividir dos números enteros
se dividen sus valores absolutos y
se aplica la siguiente regla de signos:
Como habrás observado, el criterio de signos es el mismo en la multiplicación y en la
división de números enteros. Ten en cuenta que en la multiplicación y división de
números enteros no importa cual tenga mayor o menor valor absoluto. El resultado de
la operación tendrá el signo que corresponda según el criterio anterior.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
(+ 8) . (+ 3) = + 24
(- 15) : (- 15) = +1
(- 3) . (- 2) = + 6
(+ 8) : (+ 4) = +2
(+ 4) . ( - 1) = - 4
(- 4) : (- 2) = +2
(- 2) . (+ 4) = - 8
(- 10) : (+ 2) = - 5
(- 12) · (- 2) = + 24
(+ 20) : (- 2) = - 10
Cuando en una multiplicación aparecen más de dos factores con diferentes signos, el
resultado tendrá el signo que le corresponda al ir aplicando los criterios anteriores de
dos en dos factores. El producto de enteros es asociativo, es decir a·(b·c) = (a·b)·c,
luego cuando haya que multiplicar varios se multiplican de dos en dos y el resultado se
multiplica por los factores que no hayan intervenido en ese producto.
(+5) · (+7) · (-2) = (+35) · (-2) = (-70)
(-4) · (+9) · (-3) = (-36) · (-3) = (+108)
(-3) · (-8) · (+4) = (+24) · (+4) = (+96)
(+6) · (-2) · (+4) = (-12) · (+4) = (-48)
25
2.4. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS. JERARQUÍA DE
LAS OPERACIONES.
A veces, a la hora de resolver una determinada secuencia de operaciones, aparecen
conjuntamente sumas, restas, productos y/o divisiones. Para resolver este tipo de
operaciones es necesario establecer un orden o jerarquía, de manera que en primer
lugar se realizará una determinada operación, con prioridad sobre las demás. Observa
el ejemplo siguiente:
3+5·4=
Para resolver esta operación se nos plantean dos caminos:
a) Resolver primero la suma y después la multiplicación.
3 + 5 · 4 = 8 · 4 = 32
(INCORRECTO)
b) Resolver primero el producto y después la suma.
3 + 5 · 4 = 3 + 20 = 23
(CORRECTO)
Puedes comprobar que los resultados son diferentes según cada camino. En este
caso es necesario definir un criterio para realizar la operación. Este criterio es lo que
conocemos como jerarquía de las operaciones.
- Cuando en una misma secuencia de cálculo aparecen combinadas sumas y restas
con productos y/o divisiones, tienen prioridad los productos y/o divisiones sobre las
sumas y restas. Así pues, se resolverán primero los productos y/o divisiones y
después las sumas y/o restas.
EJEMPLOS
3 – 7 ·(– 5) + 8 = 3 + 35 + 8 = 46
(Se resuelve primero el producto, teniendo en cuenta los signos)
– 5 · 3 + 12 : (–4) + 6 = – 15 – 3 + 6 = –12
(Se resuelven primero el producto y la división)
Si un una secuencia de cálculo solo aparecen productos y divisiones se resuelve la
operación empezando por la izquierda y calculando sucesivamente los resultados en
el mismo orden el que están escritas las operaciones:
3 · 4 : (- 2) · 5 : 6 Æ 12 : (–2) = – 6 Æ – 6 · 5 = – 30 Æ – 30 : 6 = – 5
26
Observa en el ejemplo anterior que se han ido resolviendo las operaciones en el
mismo orden en el que aparecen escritas de izquierda a derecha.
Si en una secuencia de cálculo queremos resolver las operaciones en un orden
diferente al que establece la jerarquía de las operaciones, debemos indicarlo mediante
el uso de paréntesis ( ) y corchetes [ ]. De esta forma, si en una secuencia aparecen
paréntesis o corchetes, se resolverá primero lo que se encuentra dentro de ese
paréntesis o corchete. Fíjate en los ejemplos siguientes y observa la diferencia.
6 + 5 · 3 = 6 + 15 = 21
(Se resuelve primero el producto).
(se resuelve primero el paréntesis y luego el producto)
(6 + 5) · 3 = 11 · 3 = 33
[ (3 + 5) · 2 ] + 4 · (1 – 3) = 8 · 2 + 4 · (- 2) = 16 – 8 = 8
(se resuelve primero el corchete y los
paréntesis, después los productos y finalmente la suma).
RECUERDA
Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando
tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de
forma arbitraria. Existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es
la siguiente:
1º) Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay
en su interior.
2º) Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3º) Por último, se realizan las sumas y restas.
EJEMPLO
Calcula el resultado de la operación – 4 · 2 + (–3) · 7 – (2 + 2)
– 4 · 2 + (–3) · 7 – (2 + 2) Æ Primero se resuelve el paréntesis.
– 4 · 2 + (–3) · 7 – 4
–8 + (–21) – 4
Æ
Después se realizan las multiplicaciones.
Æ Finalmente se resuelven las sumas y las restas.
El resultado es – 33
27
Algunas propiedades de las operaciones con números enteros
1- La suma, la resta y el producto de varios números enteros siempre dan como
resultado otro número entero, sin embargo la división de dos números enteros no
siempre da como resultado otro número entero. Así por ejemplo al dividir (+10) : (-2)
obtenemos como resultado (-5) que sí es un número entero, pero al dividir (+3) : (-4)
el resultado obtenido es un número decimal (no entero).
2.- La suma y el producto de números enteros tienen la propiedad conmutativa, es
decir, que no importa el orden en que se coloquen los sumandos o los factores, pues
el resultado será el mismo. Sin embargo, la resta o la división no tienen la propiedad
conmutativa.
3 – 10 = – 7
El resultado es diferente dependiendo del orden en
que se coloquen los números, por tanto no existe
10 – 3 = +7
la propiedad conmutativa en la resta de enteros.
20 : 5 = 4
5 : 20 = 0,25
El resultado es diferente dependiendo del orden en
que se coloquen los números a dividir, por tano no
existe la propiedad conmutativa en la división.
3.- El 0 es el llamado elemento neutro de la suma de enteros, pues al sumar cero a
cualquier número entero, obtenemos el mismo número entero.
–8 +0=–8
12 + 0 = 12
4.- El 1 es el llamado elemento neutro de la multiplicación de enteros, pues al
multiplicar cualquier número entero por 1 obtenemos el mismo número entero.
(- 7) · 1 = (-7)
23 · 1 = 23
5.- No es posible dividir ningún número por cero. Esta división no tendría una solución
real, pues no existe ningún número que al multiplicarlo por cero dé otro resultado
distinto de cero.
0
Resto
?
Resto
?
NO EXISTE
28
1
2
3
4
29
5
6
7
8
9
10
30
11
12
31
13
14
15
32
16
17
18
19
20
33
21
22
34
PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS ENTEROS
1.- La siguiente tabla muestra la altura (positiva si es sobre el nivel del mar y negativa si es
bajo el nivel del mar) de algunos picos y fosas marinas.
Observa el cuadro:
PICOS
Everest
8.848
Teide
3.718
Altura
Almanzor
2.592
FOSAS
Marianas Mindanao
-11.520
-11.524
•
Ordena los nombres de menor a mayor altura.
•
Calcula en metros la diferencia de alturas que existe entre:
Java
-7.450
El Everest y la Fosa de las Marinas.
El Everest y la Fosa de Mindanao.
El Teide y la fosa de Java.
•
¿Cuál es la mayor diferencia en altura entre estos puntos de la Tierra?
2.- Un edificio tiene cuatro plantas de garaje y once pisos de altura. Tanto las plantas de
garaje como los pisos miden tres metros de altura. Expresa con números enteros y en metros
la altura a que se encuentra el suelo de cada planta de garaje y de cada piso.
-4
Garaje
-3 -2
-1
1º
2º
3º
4º
Piso
5º 6º 7º
8º
9º
10º 11º
Altura
desde el
suelo
3.- Un avión vuela a 10.000 metros de altura sobre el nivel del mar. Suponiendo que la
temperatura descienda 5 grados centígrados en cada kilómetro, y que el nivel del mar es de
20º C ¿Cuál es la temperatura en el exterior del avión?
35
4.- Arquímedes fue un sabio griego que nació en el año 287 antes de Cristo y vivió 75 años.
Gauss fue un importante matemático que nació en 1777 y vivió 78 años.
a) ¿En qué año murió cada uno?
b) ¿Cuántos años separan la muerte de Arquímedes y la de Gauss?
5.- Federico se presenta a un examen de oposición que consta de 50 preguntas tipo
test. Por cada pregunta que responde acertadamente suma 3 puntos. Por cada una que
falla resta 2 puntos. Las preguntas que se deja en blanco no suman ni restan. Al
finalizar el examen, Federico se ha dejado 6 preguntas en blanco y comprueba que ha
acertado 35. ¿Cuál es la calificación que ha obtenido nuestro voluntarioso Federico?
6.- El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa
de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios.
¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa desde el primer al último día?
7.- Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15º C. A mediodía había subido
6º C, a las cinco de la tarde marcaba 3º C más, a las nueve de la noche había bajado 7º C
y a las doce de la noche aún había bajado otros 4º C.
¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?
36
8.- Manoli tiene ahora 46 años y hace tres años su hijo tenía 17. ¿Qué edad tendrá
Manoli cuando su hijo tenga 28 años?
9.- La temperatura más alta registrada en la Tierra fue de 58 ºC en Libia en septiembre
de 1922, y la más baja fue de – 88 ºC en la Antártida en agosto de 1960.
¿Cuál es la diferencia entre la temperatura registrada en Libia y la registrada en la
Antártida?
10.- Platón fue un filósofo griego que nació en el año 428 antes de Cristo y murió en el
año 347 antes de Cristo. ¿Qué edad tenía Platón al morir? ¿Cuántos años hace que
murió?
11.- Mónica está aburrida y decide montar en el ascensor para pasar el rato. Parte en
ascensor desde la planta cero de su edificio e inicia su recorrido. El ascensor sube 5
plantas, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10, sube 5 y baja 6. ¿En qué planta está?
37
UNIDAD 3: LOS NÚMEROS (III).
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Concepto de fracción. Expresión y comparación de fracciones.
Fracciones equivalentes.
Fracciones irreducibles.
Suma y resta de fracciones.
Producto y división de fracciones.
La fracción de un número. Aplicación al porcentaje.
El conjunto de los números racionales.
3.1
CONCEPTO
FRACCIONES.
DE
FRACCIÓN.
EXPRESIÓN
Y
COMPARACIÓN
DE
De forma cotidiana se nos presentan situaciones en las que los números enteros no
permiten expresar determinadas cantidades. Por ejemplo, si disponemos de tres
pizzas para cuatro personas es evidente que no corresponde una pizza por persona,
pero si cada pizza la dividimos en cuatro partes tendremos en total doce trozos. Al
hacer el reparto ahora, a cada persona le corresponden tres trozos (tres cuartas
partes). En este caso hemos recurrido a las fracciones para solucionar el reparto.
Con las fracciones podemos representan cantidades no enteras. Una fracción es una
expresión numérica que indica las partes que se consideran con respecto al total de
partes iguales en las que se divide la unidad.
Podemos entender una fracción como una división expresada de la siguiente forma:
a
b
Æ “a” es el numerador e indica las partes de la unidad que se consideran.
Æ “b” es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad.
Observa los siguientes ejemplos (imagina que se trata de pastillas de chocolate que
están divididas en onzas)
Æ De 5 partes tomamos 2 Æ fracción: dos quintos
Æ De 20 partes tomamos 8 Æ Fracción: ocho veinteavos.
38
Para nombrar las fracciones decimos el numero que aparece en el numerador seguido
del denominador. Cuando el denominador es 2 lo nombramos como “medio”. Cuando
el denominador es 3 lo nombramos como “tercios”, etc. Observa los siguientes
ejemplos.
1
Æ Un medio
2
2
Æ Dos tercios
3
3
Æ Tres cuartos
4
2
Æ Dos quintos
5
5
Æ Cinco sextos
6
4
Æ Cuatro séptimos
7
7
Æ Siete octavos
8
7
Æ Siete novenos
9
1
Æ Un décimo
10
3
Æ Tres onceavos
11
7
20
3
Æ tres cuarentaydosavos
42
Æ Siete veinteavos
Las fracciones aparecen en muchas partes de las matemáticas, de ahí su importancia.
Su significado básico es representar las partes en que se divide algo (denominador) y
el número de ellas que se toman (numerador).
Las fracciones pueden ser propias, impropias o aparentes. Las fracciones propias
representan cantidades menores que la unidad (tienen el numerador menor que el
denominador). Las impropias representan cantidades mayores que la unidad (tienen el
numerador mayor que el denominador). Las fracciones aparentes son las que
equivalen a la unidad (tienen el numerador y el denominador iguales). Cualquier
fracción que tenga el numerador igual que el denominador equivale a la unidad
completa.
Un tipo particular de fracciones son las llamadas fracciones decimales. En estas
fracciones el denominador es la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc).
39
CLASIFICACIÓN DE LAS
FRACCIONES
A partir de esta clasificación podemos sacar algunas conclusiones que nos permiten
comparar fracciones y determinar entre dos fracciones cuál es mayor o menor.
- Cualquier fracción impropia (mayor que la unidad) es mayor que cualquier fracción
propia (menor que la unidad). Así por ejemplo, podemos escribir:
5
3
>
4
7
6
3
<
7
2
1
7
<
10
5
8
5
>
5
4
- Al comparar fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor
numerador:
5
3
>
4
4
2
6
<
7
7
7
1
>
8
8
2
3
<
5
5
- Al comparar fracciones con igual numerador, es mayor la que tiene menor
denominador. Esto es fácil de entender si pensamos que cuanto mayor es el
denominador, esto significa que la unidad se ha dividido en más partes iguales, por lo
que cada parte es menor. Por ejemplo, al dividir la unidad en diez trozos, cada trozo es
más pequeño que si dividimos la unidad en tres trozos. Por tanto podemos escribir
que:
1
1
<
10
3
5
5
>
4
7
3
3
>
2
8
1
5
<
1
3
Observa la figura siguiente y compara cómo al aumentar el denominador, la fracción
representa una cantidad menor.
40
3.2 FRACCIONES EQUIVALENTES.
Se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan la misma parte de la
1 2
unidad. Al observar la figura siguiente se puede comprobar que las fracciones ,
y
2 4
4
equivalen a la misma porción de la unidad. Se trata de tres fracciones equivalentes.
8
Si en una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el
mismo número se obtiene una fracción equivalente. Podemos obtener fracciones
equivalentes a una dada por amplificación (multiplicando numerador y denominador
por un mismo números) o por simplificación (dividiendo numerador y denominador por
un mismo número).
Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador 7. El
resultado es: 14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes.
2 14
=
3 21
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes podemos multiplicar en cruz los
términos de las dos fracciones y si el resultado obtenido coincide, se trata de
fracciones equivalentes. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42
3 x 14 = 42
Por simplificación: Ejemplo 25/30. Siempre que el numerador y el denominador se
puedan dividir por un mismo número, al hacer división obtendremos una fracción
41
equivalente por simplificación. En el ejemplo anterior, podemos dividir por 5 ambos
términos. La nueva fracción equivalente obtenida es: 5/6.
25 5
=
30 6
A partir de una fracción dada podemos obtener infinitas fracciones equivalentes. Basta
con ir multiplicando el numerador y el denominador por números diversos números
(pero siempre se debe multiplicar ambos términos por el mismo número)
3 6 9 12 24 180
= =
=
=
=
= ...
4 8 12 16 32 240
RECUERDA
Dos fracciones son equivalentes cuando al
multiplicar en cruz sus términos se obtiene el
mismo resultado.
También se puede comprobar si dos
fracciones son equivalentes realizando el
cociente (numerador entre denominador) y
comprobando si se obtiene el mismo
resultado en ambas.
3.3 FRACCIONES IRREDUCIBLES.
Cuando una fracción no se puede simplificar más puesto que no hay ningún divisor
común (excepto el 1) para el numerador y el denominador, se dice que la fracción es
irreducible.
A partir de una fracción dada, podemos hacer sucesivas simplificaciones dividiendo
ambos términos por un mismo número hasta llegar a una fracción cuyo numerador y
denominador no tengan ningún divisor común (excepto el 1). Esta es la fracción
irreducible.
:2
36
48
:2
:2
18
24
:2
:3
9
12
:3
3
4
Fracción irreducible
42
Podemos obtener directamente la fracción irreducible de una dada, dividiendo el
numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos.
3.4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.
A la hora de sumar o restar fracciones se nos pueden presentar dos casos:
a) Suma o resta de fracciones con igual denominador.
En este caso, el resultado es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los
numeradores y el denominador es el mismo que tienen las fracciones que se suman o
restan. ¡Cuidado!, los denominadores no se suman ni restan, sólo se realizan estas
operaciones con los numeradores.
a c d a +c +d
+ + =
b b b
b
5 7
2
− =−
9 9
9
1
4 8
3
+ −
=−
10 10 10
10
Ejemplos:
b) Suma o resta de fracciones con diferente denominador.
En primer lugar, haremos hincapié en que sólo es posible sumar o restar fracciones
cuando tengan igual denominador. Si no tienen el mismo denominador, no es posible
sumar ni restar directamente dichas fracciones. Primero debemos encontrar fracciones
equivalentes a las que se van a sumar o restar pero que tengan todas el mismo
denominador.
43
Por ejemplo si queremos sumar
1 1
+ , los denominadores son distintos pero hay
2 3
fracciones equivalentes a ambas:
Vemos que entre las equivalentes las hay que tienen denominadores 1guales (el 6) ,
podemos usar esas fracciones para hacer la suma:
Para encontrar ese denominador común no es
necesario escribir siempre un grupo de
fracciones equivalentes. Se puede calcular
empleando el mínimo común múltiplo de los
denominadores. Para ello realizaremos los
siguientes pasos:
Paso 1: Para buscar el mínimo común múltiplo
de
los
denominadores
debemos
descomponerlos en producto de factores de
números primos.
Paso 2: De las descomposiciones hay que
seleccionar ciertos números: todos los números
distintos presentes en las descomposiciones con
sus exponentes incluidos. Para el m.c.m., si
aparecen factores repetidos se eligen los que
tengan mayor exponente .
Paso 3: El producto de estos números es el
mínimo común múltiplo y lo usaremos como
denominador común para hacer la suma o resta
.
Paso 4: Para que las fracciones no cambien
debemos modificar también los numeradores ,
para ello debemos dividir el denominador común
encontrado entre el denominador de cada
fracción inicial . El resultado de cada división se
multiplica por el numerador de la fracción que le
corresponda.
Paso 5: Por último, con los valores obtenidos se
opera en el numerador.
44
Observa la siguiente figura y comprueba gráficamente los resultados de las sumas:
Cuando se suman o restan fracciones con números enteros, podemos transformar
estos números enteros en fracciones con denominador 1, y operar a continuación
como si fueran dos fracciones cualesquiera. Observa el siguiente ejemplo:
4+
1 4 1 12 1 13
4
Æ Se transforma el número 4 en la fracción
= + =
+ =
3 1 3 3 3 3
1
EJEMPLOS
Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:
a)
1 2 5 9 12 10 31
+ + = + +
=
2 3 9 18 18 18 18
m.c.m (2,3,9) = 18 Æ Denominador común
1 2
105 7
6 92
b) 5 − − =
− −
=
3 7
21 21 21 21
m.c.m (1,3,7) = 21 Æ Denominador común
Para obtener los numeradores de las
fracciones equivalentes hacemos:
Para obtener los numeradores de las
fracciones equivalentes hacemos:
18 : 2 = 9
; 9x1=9
21 : 1 = 21 ; 21 x 5 = 105
18 : 3 = 6
; 6 x 2 = 12
21 : 3 = 7
; 7x1=7
18 PRODUCTO
: 9 = 2 ; 2 xY 5DIVISIÓN
= 10
21 : 7 = 3
3.5
DE FRACCIONES.
; 3x2=6
45
3.5. PRODUCTO Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
a) Producto de fracciones.
El resultado de la multiplicación de varias
fracciones es otra fracción cuyo numerador es
el producto de todos los numeradores y cuyo
denominador es el producto de todos los
denominadores.
Puedes observar que para multiplicar varias fracciones se multiplican “en línea” los
numeradores y los denominadores
e
a·c·e
a
c
·
·
=
b
d
f
b·d · f
b) División de fracciones.
El resultado de la división de dos fracciones
es otra fracción cuyo numerador y
denominador es el resultado del producto
cruzado de las dos fracciones que se dividen.
Realmente la división de dos fracciones se
puede interpretar como el producto de la
primera fracción por la inversa de la segunda.
3
5
3 6
18
:
=
·
=
4
6
4 5
20
Tanto en la multiplicación como en la división de fracciones hay que mantener el
criterio de signos aplicado en la multiplicación y división de los números enteros. El
signo negativo en una fracción puede escribirse delante de la raya de la fracción o en
el numerador indistintamente. Observa los ejemplos siguientes:
46
3.6 LA FRACCIÓN DE UN NÚMERO. APLICACIÓN AL PORCENTAJE.
Son numerosas las situaciones cotidianas en las que resulta útil calcular la fracción de
un número concreto. Por ejemplo, si vamos 4 amigos a cenar y a la hora de pagar
1
repartimos el gasto a partes iguales, está claro que cada uno deberá pagar
del
4
importe total. Supongamos que el importe es 36 euros. Necesitamos calcular cuánto
1
es
de 36 euros. Para hacer este cálculo, se multiplica el número del que queremos
4
saber la fracción por el numerador de la misma y se divide por el denominador.
1
36 x1
de 36 =
= 9 Æ Cada persona debe pagar 9 euros por la cena.
4
4
Realmente, calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción
por ese número.
Ejemplos:
a) Calcular los
2
de 60
3
b) Calcular
2
2 x60
de 60 =
= 40
3
3
4
de 147
7
4
4 x147 588
de 147 =
=
= 84
7
7
7
Una aplicación muy habitual y cotidiana de cálculo de la fracción de un número lo
representan los porcentajes (%). El porcentaje o tanto por ciento equivale a una
fracción cuyo denominador es 100 y cuyo numerador es el valor que se indica en
comparación con el 100. Por ejemplo, si hablamos del 50%, esto es lo mismo que si
50
escribimos la fracción
. Ello significa que por cada 100 unidades se consideran 50.
100
Como habrás deducido ya, 50 es la mitad de 100, por lo tanto el 50% de cualquier
cantidad será la mitad de dicha cantidad.
- El 20% representa 20 unidades de cada 100 Æ
20
1
Æ
(= una unidad de cada 5)
100
5
Hallar el 20% de un número es hallar la quinta parte de dicho número.
- El 75 % representa 75 unidades de cada 100 Æ
75
3
Æ
(= 3 unidades de cada 4)
100
4
Hallar el 75% de un número es hallar las tres cuartas partes de dicho número.
47
Para hallar un porcentaje determinado de un número, se multiplica dicho número por
el porcentaje en cuestión y se divide por 100.
EJEMPLOS
Hallar el 25% de 800
Hallar el 64% de 540
25
25 x800
de 800 =
= 400
100
100
64
64 x540
de 540 =
= 345,6
100
100
EJEMPLO RESUELTO
En una tienda de ropa hay una oferta en la que descuentan el 30% del importe
de cualquier prenda. A continuación se indica el precio de algunas prendas
antes del descuento.
PANTALÓN: 54 €
CAMISA: 24 €
VESTIDO: 112 €
Calcula el precio de cada prenda una vez aplicado el descuento.
Como todas las prendas tienen el 30% de descuento habrá que hallar dicho
porcentaje sobre el precio de cada una. El precio final será el que marca inicialmente
cada prenda menos el descuento.
PANTALÓN:
Descuento: 30% de 54 =
30 x54
= 16,20 € Æ Precio final: 54 – 16,20 = 37,80 €
100
CAMISA:
Descuento: 30% de 24 =
30 x 24
= 7,20 € Æ Precio final: 24 – 7,20 = 16,80 €
100
VESTIDO:
Descuento: 30% de 112 =
30 x112
= 33,60 € Æ Precio final: 112 – 33,60 = 78,40 €
100
Algunos porcentajes representan una fracción
sencilla respecto al total sobre el que se aplica.
Por ejemplo, ya hemos visto que el 50% de un
número equivale a la mitad de ese número. El
25% será la mitad de la mitad, es decir, la cuarta
parte del número, etc. A continuación se indican
algunos porcentajes representativos:
48
Significado
100 de cada 100
(el total de la cantidad a
considerar)
75 de cada 100
(tres cuartas partes de
la cantidad total)
50 de cada 100
(la mitad de la cantidad
total)
25 de cada 100
(la cuarta parte de la
cantidad total)
20 de cada 100
(la quinta parte de la
cantidad total)
10 de cada 100
(la décima parte de la
cantidad total)
1 de cada 100
(la centésima parte de
la cantidad total)
Expresión en
porcentaje
Expresión en
fracción
100
100
100 %
Expresión decimal
(respecto a la unidad)
1
75 %
75
3
(= )
100
4
0,75
50 %
50
1
(= )
100
2
0,5
25 %
25
1
(= )
100
4
0,25
20 %
20
1
(= )
100
5
0,2
10 %
10
1
(= )
100
10
0,1
1%
1
100
0,01
Realmente un determinado tanto por ciento sobre un número expresa una proporción.
En este sentido podemos plantear la resolución de porcentajes como si se tratara de
reglas de tres directas. Por ejemplo, si una persona tiene un sueldo de 1500 €
mensuales y le retienen por diversos conceptos el 12 %, ¿cuánto cobra en neto?
Ese 12% significa que de cada 100 euros que gana le retienen 12, luego si gana 1500
euros le retendrán X
De cada 100 €
le retienen
12 €
X=
De 1500 €
le retendrán
X
1500 x12
= 180 € de retención.
100
Cobrará 1500 – 180 = 1320 €
Como vemos, el resultado es el mismo que si hacemos directamente el 12% de 1500 y
se lo restamos a dicho valor.
No se trata de dos formas de calcular porcentajes, más bien se plantan los cálculos a
partir de dos maneras de interpretar los datos iniciales, que conducen a un mismo
resultado final.
La práctica de razonamientos lógicos de proporcionalidad nos permite, con el tiempo,
realizar cálculos de porcentajes sencillos prácticamente de cabeza, aplicando más el
sentido común que las reglas de cálculo.
49
3.7 El conjunto de los números racionales.
Como hemos visto en la presente unidad las fracciones se pueden considerar números
que representan el cociente de dos números enteros. Si este cociente da un resultado
exacto, dicha fracción equivale a otro número entero. Si el cociente no da un resultado
exacto, la fracción representa un número no entero (como veremos más adelante, en
este caso se trata de un número decimal).
Por ejemplo, cuatro mitades equivalen a dos unidades enteras Æ
4
=2
2
4
y el número entero 2 representan la misma cantidad. De la
2
misma forma, cualquier número entero se podrá representar como una fracción cuyo
denominador sea la unidad o cualquiera de sus fracciones equivalentes:
Es decir, la fracción
Número entero 5 Æ
Número – 4 Æ
5
1
10
2
−4
1
−8
2
15
3
− 12
3
20
4
− 16
4
25
5
etc.
− 20
5
− 24
6
etc
RECUERDA
Todo número entero se puede expresar como una fracción de denominador 1 (o
cualquiera de sus fracciones equivalentes).
Si el cociente no da exacto, la fracción no equivale a un número entero pero no
obstante dicha fracción (y todas sus equivalentes) representan una determinada
cantidad que se expresa mediante un número racional. Los números racionales no
enteros se llaman números fraccionarios. En este caso, la fracción que se toma para
representar al número racional es la fracción irreducible.
Por ejemplo, las fracciones siguientes son todas equivalentes, por lo que
corresponden a un único número racional.
2
7
4
14
6
21
8
28
10
35
12
…. Æ Todas estas fracciones están representadas por
42
2
un único número racional :
, que es la fracción irreducible equivalente.
7
RECUERDA
Un número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una
dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número
racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
50
EJEMPLO
Indica cuántos números racionales diferentes hay entre todas las fracciones
que se indican a continuación:
1
8
4
3
5
6
2
16
12
9
3
5
20
15
Si comprobamos cuantas de esas fracciones son equivalentes observamos que:
1
2
=
8 16
4 12 20
= =
3 9 15
Las fracciones
5
y
6
3
5
no tienen equivalentes
Por tanto, todas esas fracciones corresponden realmente a cuatro clases de
números racionales diferentes, que son:
1
4
5
3
,
,
,
8
3
6
5
Una observación interesante es que, como hemos visto, todo número entero es a su
vez un número racional. Sin embargo no todo número racional es un número entero.
Dicho con otras palabras, el conjunto de los números enteros (Z) está incluido en el
conjunto de los números racionales (Q).
RECUERDA
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números
enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el
conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa
"cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los números racionales está
compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son
racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad:
a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.
51
52
PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE FRACCIONES
53
54
1. Indica qué fracción representa cada una de las siguientes cantidades:
-
3 días con respecto de una semana Æ
-
5 meses con respecto de un año Æ
-
30 minutos con respecto a una hora Æ
-
300 kg con respecto a una tonelada Æ
-
25 días con respecto a un año Æ
-
25 años con respecto a un siglo Æ
2.- En una urna hay 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 4 bolas blancas. Indica en
cada caso la fracción correspondiente:
-
¿Qué fracción del total de las bolas son rojas? Æ
-
¿Qué fracción del total de las bolas son blancas? Æ
-
¿Qué fracción del total de las bolas no son verdes? Æ
3.- Supongamos que vamos a cenar a una pizzería. Como las pizzas son muy
grandes, nos vamos a repartir las pizzas.
a) Si vamos tres amigos pedimos dos pizzas para compartir entre los tres.
b) Si vamos cuatro amigos pedimos tres pizzas para compartir entre los cuatro.
¿Qué fracción de pizza le corresponde a cada comensal en el primer caso? Æ
¿Y en el segundo? Æ
¿En qué caso cena cada uno más cantidad de pizza? Æ
4.- Escribe en el recuadro el signo “mayor que” o “menor que” (> ó <) según
corresponda.
55
5.- Escribe al menos tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:
3
Æ
7
−4
Æ
5
6
Æ
11
8
Æ
12
6.- Escribe la fracción irreducible equivalente a cada una de las siguientes:
20
Æ
32
36
Æ
54
8
Æ
11
100
Æ
250
7.- Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas combinadas:
56
8.- Realiza las siguientes operaciones:
9.- Realiza las siguientes operaciones:
57
10.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje
de alumnos ha ido de viaje?
11.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más.
¿Cuál es el porcentaje de aumento?
58
12.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento
del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
13.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%.
¿Cuánto tenemos que pagar?
14.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo.
Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.
15. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha
ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
16.- El bronce es una aleación de cobre, estaño y cinc. De cada 100 partes de
bronce, 88 son de cobre, 8 de estaño y 4 de cinc. Escribe como una fracción que
parte hay en el bronce de cada uno de sus componentes.
17.- Se dice que pasamos un tercio de nuestra vida durmiendo. Si vivimos 81
años, ¿cuánto tiempo habremos estado durmiendo?
59
18.- La calidad de los objetos de oro se mide en quilates. Un quilate significa que
de cada 24 partes de metal, 1 parte es de oro puro.
a) Expresa en forma de fracción 1 quilate :
b) El oro de ley tiene 18 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene una pulsera de oro
de ley que pesa 72 gramos?
c) El oro bajo tiene 14 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene un anillo de oro bajo
que pesa 36 gramos?
19.- En las elecciones de un centro con 630 alumnos se presentan 3 candidatos
para representar a los alumnos en el Consejo Escolar. Al primero le votan 2 de
cada 6 alumnos, al segundo 3 de cada 9 y al tercero 5 de cada 15. ¿Quién ha
recibido más votos?
3
2
y a un concierto
8
5
¿Han participado todos los alumnos?. Si la respuesta es negativa, ¿qué fracción
de alumnos no ha ido a ninguna actividad?
20.- El martes, de los alumnos de una clase fueron al teatro
21.- Paula estudia el lunes 2 horas y media. Dedica
1
del tiempo a matemáticas
3
1
a ciencias ¿Cuántos minutos dedica a cada asignatura? ¿Qué fracción
5
dedica a las otras asignaturas?
y
60
22.- Un ciclista tiene ha recorrido 42 kilómetros en una etapa de una vuelta
3
ciclista. Esos kilómetros recorridos representan
del total de kilómetros que
7
tiene la etapa. Halla cuántos kilómetros le faltan por recorrer.
23.- ¿Cuántas botellas de
3
de litro se pueden llenar con el vino contenido en un
4
barril de 420 litros?
24.- Si en una jarra echamos una botella de cerveza de
1
1
y otra de
¿qué
3
5
fracción nos falta para tener un litro?
25.- Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A
lleva recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo.
¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?
26.- Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean
ombustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4
en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
61
UNIDAD 4: LAS POTENCIAS.
4.1
4.2
4.3
4.4
Concepto de potencia. Propiedades de las potencias.
Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.
Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias.
Potencias de base 10. La notación científica.
4.1 CONCEPTO DE POTENCIA. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.
En el ámbito de las matemáticas, una potencia es una expresión que representa un
producto de factores iguales. Cuando multiplicamos un número varias veces por sí
mismo, podemos escribir ese producto en forma más simplificada como una potencia.
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
8 x 8 x 8 = 83
(-4) x (-4) x (-4) x (-4) = (-4)4
1 1 1 1 1 1 ⎛1⎞
x x x x x =⎜ ⎟
3 3 3 3 3 3 ⎝3⎠
6
Al escribir una potencia, se indican dos términos:
62
-
La base de la potencia: Es el número que
se multiplica.
El exponente: Es el número que indica
cuantas veces se multiplica la base por sí
misma.
El resultado de una potencia es el que corresponde al producto de la base por sí
misma tantas veces como indica el exponente:
53 = 5 x 5 x 5 = 125
82 = 8 x 8 = 64
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
¡Cuidado! Es un error muy frecuente dar como resultado de una potencia el
producto de la base por el exponente. Cuando tengas que resolver alguna potencia
procura no cometer este grave error.
42 = 4 x 2 = 8 Æ MAL
42 = 4 x 4 = 16 Æ BIEN
63 = 6 x 3 = 18 Æ MAL
63 = 6 x 6 x 6 = 216 Æ BIEN
Cuando el exponente de una potencia es
el número 2, a dicha potencia se le suele
llamar “cuadrado”. Los resultados de estas
potencias son los llamados cuadrados
perfectos.
Por ejemplo, 52 se lee “cinco elevado al
cuadrado” o también “cinco al cuadrado”.
72 se lee “siete al cuadrado”
102 se lee “diez al cuadrado”
Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 … son
cuadrados perfectos porque se obtienen
como resultado de una potencia de
exponente 2.
Cuando el exponente de una potencia es el 3 se le suele llamar “cubo”. Los resultados
de estas potencias son los cubos perfectos.
Por ejemplo: 43 Æ Se lee “cuatro elevado al cubo” y el resultado (4x4x4) nos da 64
que es un cubo perfecto.
63
Para comprobar que has comprendido el significado de las potencias completa el
siguiente cuadro:
1. El resultado de la potencia 42 es...
2. El resultado de la potencia 24 es...
3. El resultado de la potencia 53 es...
4. El resultado de la potencia 35 es...
5. El resultado de la potencia 32 es...
6. El resultado de la potencia 23 es...
Las potencias tienen algunas propiedades importantes:
1.- Cualquier número elevado al exponente cero da como resultado 1.
0
⎛ 1⎞
6 =1
(-4) = 1
⎜− ⎟ = 1
⎝ 5⎠
2.- Cualquier número elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número.
0
0
1
71 = 7
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
(-12)1 = -12
n
3.- El resultado de la potencia a
23 ≠ 32
↓
↓
8
9
54 ≠ 45
↓
↓
625 1024
a
no es igual al de la potencia n
102 ≠ 210
↓
↓
100 1024
4.- Las potencias cuya base es una fracción se resuelven elevando el numerador y el
denominador al correspondiente exponente.
n
an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
Æ
3
4 4 4 43
64
⎛4⎞
x x = 3 =
⎜ ⎟ =
5 5 5 5
125
⎝5⎠
5.- Las potencias de números negativos cuyo exponente es par, dan resultado
positivo. (recuerda el criterio de signos al multiplicar números negativos).
(-9)2 = (-9) x (-9) = + 81
6
(-10)4 = (-10) x (-10) x (-10) x (-10) = + 10.000
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ = +
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
⎛ 26
⎜⎜ 6
⎝3
⎞ ⎛ 64 ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟
⎠ ⎝ 729 ⎠
64
6- Las potencias de números negativos cuyo exponente es impar, dan resultado
negativo. (recuerda el criterio de signos al multiplicar números negativos).
(-9)3 = (-9) x (-9) x (-9) = - 729
(-10)5 = (-10) x (-10) x (-10) x (-10) x (-10)= - 100.000
7
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ x⎜− ⎟ = ⎝ 3⎠
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
⎛ 27
⎜⎜ 7
⎝3
⎞
⎛ 128 ⎞
⎟⎟ = - ⎜
⎟
⎝ 2187 ⎠
⎠
RECUERDA
- Si la base de una potencia es positiva, el resultado
de dicha potencia será siempre positivo, sea par o
impar el exponente.
- Si la base de una potencia es negativa, el resultado
de dicha potencia será:
- Positivo si el exponente es par.
- Negativo si el exponente es impar.
7.- Una potencia de exponente negativo equivale a una fracción
cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la misma
potencia pero con el exponente positivo.
Las potencias de base 10 son muy utilizadas en matemáticas, como veremos más
adelante. A continuación se recogen las primeras potencias de base 10 con exponente
positivo y negativo:
65
4.2 Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.
Producto de potencias de igual base
El resultado de multiplicar potencias de igual base, es otra
potencia que tienen la misma base y como exponente, la suma
de los exponentes.
Ejemplo: 2 3 x 2 5 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma,
los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256
División de potencias de igual base
El resultado de dividir potencias de igual base, es otra potencia que
tienen la misma base y como exponente, la resta de los exponentes.
Ejemplo: 2 5 : 2 2 = (2x2x2x2x2) : (2x2) =2 5 - 2 = 2 3= 8
107 : 104 = 10 7 – 4 = 103 = 1000
Potencia de un producto
Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x
(2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3.
Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al
cubo: (2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería:
2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216.
Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del
divisor. Si el cociente se expresa como fracción, hay que elevar al exponente tanto el
numerador como el denominador, tal y como ya se explicó anteriormente.
Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia.
Ejemplo: (6 :2) 2 = 6 2 : 2 2 = 9 ; Porque: (6 : 2) 2 = 3 2 = 9 Æ Como cociente
3
23
8
⎛2⎞
⎜ ⎟ = 3 =
27
3
⎝3⎠
Æ Expresado el cociente como fracción
66
Potencia de una potencia
El resultado de elevar una potencia a otra potencia es otra
potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los
exponentes. Observa el siguiente ejemplo:
(2 2) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 ; o también podemos
multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado.
Mira el ejemplo: (2 2x3) = 2 6= 64
RECUERDA
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a
n
= a m+n
am : a
n
= am - n
(a m ) n = a m · n
an · b
n
= (a · b)
n
an : b
n
= (a : b) n
EJEMPLOS RESUELTOS DE OPERACIONES CON POTENCIAS
67
Para practicar sobre lo que hemos visto hasta ahora en esta unidad sugerimos al
alumnado que realice las siguientes sencillas operaciones:
4.3 Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias.
Para operar con potencias de números fraccionarios se
siguen exactamente los mismos criterios que hemos
descrito con números enteros. Para elevar una fracción a
una potencia, se elevan el numerador y el denominador a
dicha potencia.
A continuación se recoge resumidamente los principales operaciones que se pueden
presentar:
POTENCIA DE UN PRODUTO DE FRACCIONES
La potencia de un producto de fracciones es igual al
producto de las potencias de los factores.
PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
Para MULTIPLICAR potencias de la misma base se
suman los exponentes.
68
POTENCIA DE UN COCIENTE DE FRACCIONES
Para dividir potencias de la misma base se restan los
exponentes.
POTENCIA DE EXPONENTE CERO
La potencia de exponente cero es siempre 1 (para cualquier base
distinta de cero).
POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
Una potencia de exponente negativo es la inversa de la
misma potencia de exponente positivo.
POTENCIA DE OTRA POTENCIA
Para elevar una
potencia a otra
potencia se
multiplican los
exponentes.
Cuando en una misma operación aparecen combinadas sumas/restas,
productos/cocientes y potencias se debe resolver la operación teniendo en cuenta el
criterio de prioridad que establecen los paréntesis (si los hay) y en el caso de que no
haya paréntesis, se resolverán primero las potencias, después los productos/divisiones
y finalmente las sumas/restas.
69
Observa el siguiente ejemplo resuelto:
2
2
⎛ 15 1 ⎞ ⎡ 5 12 ⎤ ⎛ 14 ⎞ ⎡ 5 24 ⎤ 196 29 2744 261 2483
−
=
−
=
⎜ − ⎟ −⎢ + ⎥ =⎜ ⎟ −⎢ + ⎥ =
9 14 126 126 126
⎝ 3 3 ⎠ ⎣14 7 ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎣14 14 ⎦
4.4 Potencias de base 10. La notación científica.
La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y
representar en forma más corta números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo
se usan potencias de diez.
Las potencias de base 10 resultan especialmente útiles en matemáticas para expresar
de forma abreviada números que contienen gran cantidad de ceros en su forma
decimal habitual. Por ejemplo, el número 1.000.000 se puede expresar como potencia
de base 10:
106 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000
Por esta razón podemos escribir 106 en vez de 1.000.000 teniendo en cuenta que nos
estamos refiriendo al mismo número.
De la misma forma, si queremos expresar el número 5.000.000 basta con tener en
cuenta que 5.000.000 = 5 x 1.000.000, es decir, podemos escribir que
Expresión decimal
5.000.000 = 5 x 106 Æ Notación científica
A continuación se indican algunos ejemplos de números mayores que la unidad
expresados de las dos formas:
25.000Æ 25 x 103
124.000.000 Æ 124 x 106
35.000.000.000 Æ 35 x 109
800 Æ 8 x 102
120.000 Æ 12 x 104
Cuando se trata de números muy pequeños (menores que la unidad) también se
puede utilizar la notación científica teniendo en cuenta que la potencia de 10 tendrá
exponente negativo.
70
Por ejemplo, el número 0,0007 resulta de dividir 7 entre 10.000
0,0007 =
1
1
7
= 7x
= 7 x 4 = 7 x10 − 4
10.000
10.000
10
Æ
0.0007 = 7 x 10 - 4
Observa que el valor que aparece como exponente negativo indica cuántas cifras
decimales hay en el número. En el ejemplo anterior el 4 indica que hay cuatro cifras
decimales (cuatro cifras detrás de la coma). El signo negativo indica que se trata de un
número menor que la unidad.
Observa este otro ejemplo:
0,0000025 =
25
1
1
= 25 x
= 25 x 7 = 25 x10 − 7
10.000 .000
10.000 .000
10
Æ 0,0000025 = 25x10-7
De forma general, podemos decir que para escribir un número decimal menor que la
unidad en forma de notación científica, se escribe el número entero que aparece al
final de las cifras decimales y se multiplica por 10 elevado al exponente negativo que
indica cuantas cifras decimales totales hay en el número.
Así, si queremos expresar 0,000000567 con notación científica escribiremos:
567 x 10 – 9
Indica que hay nueve cifras decimales en total (detrás de la coma)
Número entero que aparece
al final de las cifras decimales
Cuando el número entero que aparece al final de la parte decimal contiene muchas
cifras se suele acortar y aproximar dejando la parte entera con uno o dos decimales.
Por ejemplo: 0,00004211673894 Æ 4,21 x 10 – 5
0,000000000001421085783 Æ 1,42 x 10 – 12
0, 0025 Æ 2,5 x 10 – 3
En general, en los números expresados con notación científica se distinguen:
71
A continuación se indican las distintas potencias de 10 que resultan muy útiles en la
notación científica:
6
72
1.- Expresa en forma de potencia:
2. Escribe en forma de una sola potencia:
33 · 34 · 3 =
57 : 53 =
(5 3 ) 4 =
(3 4 ) 4 =
[(5 3 ) 4 ] 2 =
(8 2 ) 3 =
(9 3 ) 2 =
25 · 24 · 2 =
27 : 26 =
(2 2 ) 4 =
(4 · 2 · 3) 4 =
(2 5 ) 4 =
[(2 3 ) 4 ] 0 =
(4 3 ) 2 =
(27 2 ) 5 =
(5 · 6 · 9) 2 =
3. Realiza las siguientes operaciones con potencias:
(−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
(−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =
2 −2 : 2 − 3 =
5
2
: 5
−3
=
73
(−2) −2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
[(−2) − 2 ]
2−2 · 2−3 · 24 =
[(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4 =
22 : 23 =
3
· (−2) 3 · (−2) 4 =
(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =
2−2 : 23 =
[(−3) 6 : (−3) 3 ]
2 2 : 2 −3
(−3) 1 · [(−3) 3 ] 2 · (−3) −4 =
=
3
· (−3) 0 · (−3) − 4 =
4. Resuelve:
a ) 2 −3 =
c) 3 -2 =
e) 4 - 3 =
b ) 1− 7 =
d) 8 -2 =
f) 5 -3 =
g)
(- 2 )−3 =
h) 9 −3 =
i)
j)
(- 3)-1 =
(- 1)-5 =
k) 15 -2 =
l)
(- 10 )-2
5. Resuelve las siguientes operaciones con potencias:
6. Realiza las siguientes operaciones hasta llegar al resultado más simplificado.
74
=
7. Calcula mentalmente las siguientes potencias:
a) (– 10)0
b) (– 10)1
c) (– 10)2
d) (– 10)3
e) (– 10)4
f) (– 10)5
8. Escribe los siguientes números de forma abreviada, como se ha hecho en los
ejemplos:
a) 27 000 000 = 27 · 106
b) 0,0006 = 6 · 10–4
c) 2 300 000 =
d) 30 000 000 000 =
e) 0,00000004 =
f) 0,000026 =
9. ¿Qué número expresa cada descomposición polinómica?
a) 5 x106 + 4x103 +8x102 +5x10 + 2
b) 2 x108 +107 + 6x105 + 3x104 + 5x103
10. Calcula y razona:
a) (2 + 3)2 =
b) 22 + 32 =
c) (4 + 6)2 =
d) 42 + 62 =
e) (1 + 10)2 =
f) 12 + 102 =
¿Es igual el cuadrado de una suma que la suma de los cuadrados de los sumandos?
11. Realiza las siguientes operaciones:
2
4
1
⎛3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞
a) ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ =
⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8⎠
3
2
3
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞
b) ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ =
⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠
2
2
4
⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎛1⎞
c) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
⎝5⎠ ⎝4⎠ ⎝2⎠
4
2
1
⎛1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3 ⎞
d) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 27 ⎠
75
UNIDAD 5: LAS RAÍCES DE UN NÚMERO.
5.1 Concepto de raíz de un número.
Expresión de una raíz. Propiedades de las raíces.
Radicales semejantes. Operaciones con radicales
semejantes.
5.2 Extraer factores fuera de una raíz.
5.1 CONCEPTO DE RAÍZ DE UN NÚMERO. EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RADICALES.
La raíz de un número es una operación que podemos considerar como inversa de la
potencia.
Observa el siguiente ejemplo.
Considera la siguiente potencia:
72 = 49
Æ 49 es el resultado de elevar al
cuadrado el número 7. Supongamos que queremos hacer el cálculo inverso, es decir,
hallar el número que elevado al cuadrado nos da como resultado 49. En este caso
resulta obvio que se trata del número 7. Entonces podemos decir que 7 es la raíz
cuadrada de 49.
Para escribir la raíz cuadrada se utiliza el símbolo
2
52 = 25 Æ Entonces la raíz cuadrada de 25 es 5 Æ
o simplemente
25 = 5
2,52 = 6,25 Æ Entonces la raíz cuadrada de 6,25 es 2,5 Æ
6,25 = 2,5
102 = 100 Æ La raíz cuadrada de 100 es 10 Æ 100 = 10
RECUERDA
Hallar la raíz cuadrada de un número X es buscar qué número elevado al cuadrado
nos da como resultado dicho número X.
Dicho de otra forma: Si la raíz cuadrada de un número X es el número “a”, esto
significa que a2 = X
Si
X = a Æ Entonces a2 = X
76
Los números que tiene una raíz cuadrada
exacta (sin decimales) se llaman cuadrados
perfectos. Así por ejemplo, los cuadrados
perfectos desde el 0 hasta el número 100 son el 0,
1, 4, 9. 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
Pero el concepto de raíz se puede generalizar
para cualquier otro tipo de potencia que no sea el
cuadrado. Así por ejemplo, sabemos que 23 = 8
(pues al multiplicar por sí mismo el 2 tres veces
obtenemos 8). La operación inversa a elevar al
cubo sería obtener la raíz cúbica.
En este caso, el símbolo que se utiliza para la raíz cúbica es
3
Æ Puesto que 23 = 8
3
8=2
3
27 = 3 Æ Puesto que 33 = 27
3
1000 = 10 Æ Puesto que 103 = 1000
RECUERDA
Hallar la raíz cúbica de un número X es buscar qué número elevado al cubo nos da
como resultado dicho número X.
Dicho de otra forma: Si la raíz cúbica de un número X es el número “a”, esto significa
que a3 = X
Si
3
X = a Æ Entonces a3 = X
De la misma manera, podemos definir la raíz cuarta, raíz quinta, raíz sexta etc como
operaciones inversas a las potencias de exponente 4, 5, 6… etc respectivamente.
Observa los siguientes ejemplos:
4
81 = 3 Æ Puesto que 34 = 81 (3 x 3 x 3 x 3 = 81)
5
100.000 = 10 Æ Puesto que 105 = 100.000
(10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000)
77
64 = 2 Æ Puesto que 26 = 64 (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64)
Aunque las raíces que se utilizan más comúnmente en los cálculos cotidianos son las
raíces cuadradas, debemos tener claro que son posibles otros tipos de raíces (cúbica,
cuarta, quinta,…)
6
Expresión de una raíz.
De forma general, podemos escribir:
Índice Æ Indica el tipo de raíz de que se trata (cúbica, cuarta, …)
(el índice 2 para la raíz cuadrada no se suele escribir).
Radicando Æ Número del cual se está calculando la raíz.
Raíz Æ Resultado de la operación.
Radicando
n
a =b
Æ
bn = a
Propiedades de las raíces.
Las raíces presentan una serie de propiedades. Algunas de estas propiedades se
pueden explicar de forma razonada a partir de la propia definición de raíz de un
número.
De aquí en adelante nos referiremos a la raíz enésima de un número cualquiera para
indicar la raíz de índice indeterminado (cualquier índice, 2, 3, 4, ….)
78
n
a) La raíz enésima de cero, siempre es cero.
b) El 1 siempre es una raíz enésima de +1
n
0 =0
+1 = 1
c) Las raíces de índice par de números negativos no tienen solución real.
− 4 Æ No tienen solución (¡cuidado! -2 no es solución de esa raíz puesto que
(-2)2 = (-2)·(-2) = +4 ,
4
− 10000 Æ No tiene solución (¡cuidado! -10 no es solución de esa raíz puesto
que (-10)4 = (-10)·(-10)·(-10)·(-10) = +10.000 ,
Al multiplicar por sí mismo un número par de veces una cifra negativa, el
resultado es positivo. Por esta razón no tiene solución la raíz de índice par de un
número negativo.
d) Las raíces de índice impar de números negativos sí tienen una solución real, y
además es negativa.
3
5
− 8 = -2
Æ
(-2)3 = (-2)·(-2)·(-2) = -8
− 100.000 = - 10
Æ
(-10)5 = (-10)·(-10)·(-10)·(-10)·(-10) = - 100.000
5.2 RADICALES SEMEJANTES. OPERACIONES CON RADICALES SEMEJANTES.
Cuando la raíz de un número no da un resultado exacto, se suele dejar expresada
como tal raíz evitando de esta forma escribir decimales (salvo que sea estrictamente
necesario, por ejemplo, cuando se trata de hacer una medida de cualquier magnitud).
Si hayamos el valor de
2 obtenemos como resultado 1,4142135…..
Este resultado tiene infinitas cifras decimales, por lo que si escribimos en vez de 2 el
valor 1,41, por ejemplo, estamos cometiendo un error, aunque sea pequeño. Así pues,
a veces es más recomendable trabajar con el número 2 en forma de radical que con
su valor decimal aproximado. Aquellas raíces que no dan un resultado exacto
constituyen lo que llamamos números radicales. En el apartado anterior todos los
ejemplos que hemos puesto de raíces daban un resultado exacto para que se
comprendiera mejor el concepto de raíz de un número, pero debemos tener presente
que la inmensa mayoría de números enteros no tienen raíz exacta.
79
A continuación se indican algunos ejemplos de números radicales con distintos
índices.
3 ,
5 ,
7 ,
34
,
3
9
,
3
50
,
4
20 ,
5
100 ,
8
15
A veces los números radicales pueden incluir números enteros delante de la raíz
multiplicando su valor.
5 2 Æ Esto significa 5 x
2 , aunque se escribe abreviadamente 5 2
2 3 Æ Esto significa 2 x
3,
(el doble de
3)
Se llaman radicales semejantes a aquellos radicales que tienen el mismo tipo de raíz,
es decir, que tienen el mismo índice y el mismo radicando.
1
5 son todos
3
radicales semejantes pues todos incluyen el mismo índice y radicando ( 5 ).
Así por ejemplo, los radicales
3 5 ,
− 4 5 , 10 5 ,
−
5 ,
3
y
7 NO son semejantes, pues aunque tienen el mismo
Los radicales 7
radicando no tienen el mismo índice (son dos tipos de raíces diferentes).
De la misma forma, los radicales 11 y 13 tampoco son semejantes, pues aunque
tienen el mismo índice, no tienen el mismo radicando.
EJEMPLO
Agrupa los siguientes números formando series con todos aquellos que sean
semejantes.
3
5
6
6
3
7
7
43 6
2 6
-3
3
6
-5 7
10 6
4
7
45 6
-2 3 7
Solución:
Son semejantes las siguientes series de radicales:
Æ
3
6 , 43 6
Æ
5
6
Æ
3
7 y -2 3 7
y 45 6
y -3 3 6
Æ
7 y -5 7
Æ El número
7 no tienen otro semejante
entre los que aparecen en la serie inicial.
4
Æ 2 6 y 10 6
80
Operaciones básicas con números radicales.
a) Sumas y restas de radicales
Sólo es posible sumar o restar radicales cuando éstos son semejantes. Si los
radicales no son semejantes no se pueden sumar ni restar directamente. En este caso
se calculará la raíz y se expresará en términos decimales, sumando o restando estos
decimales.
Ejemplos:
2 + 3 2 + 5 2 + 4 2 = 13 2
(En este caso se pueden sumar porque son todos radicales semejantes. Para hallar el
resultado se suman los coeficientes que van delante de la raíz y se escribe valor
obtenido delante de la raíz. Cuidado: cuando no se escribe delante de la raíz ningún
número, es como si hubiera escrito un 1 Æ 1 + 3 + 5 + 4 = 13)
En el caso de la resta, el criterio es exactamente el mismo que en la suma:
12 2 - 7 2 = 5 2
Otros ejemplos de sumas y restas de radicales:
73 6 + 23 6 - 53 6 = 4
-7 7 +
8
7 - 9 7 = -15
3
6
7
15 - 6 8 15 + 4 8 15 - 9 8 15 = -10 8 15
2 +
+
2
3
6 Æ No se pueden sumar directamente porque no son semejantes.
3 Æ No se pueden sumar directamente porque no son semejantes.
¡Cuidado! Es un error muy grave y muy frecuente al principio, cuando se empiezan a
estudiar los radicales, escribir como resultado de la suma de dos raíces cuadradas
una raíz cuyo radicando es la suma de los otros dos radicandos. Esta igualdad NO ES
CIERTA.
Por ejemplo:
2 +
3 NO ES IGUAL A
IMPORTANTE :
2+3 = 5
a + b ≠ a+b
a − b ≠ a−b
81
a) Productos y divisiones de radicales
En principio podemos decir que es posible multiplicar o dividir radicales aunque no
tengan el mismo tipo de raíz. No obstante, por tener menor grado de complejidad, en
este nivel, sólo trataremos el producto y la división de radicales que tengan el mismo
tipo de raíz (es decir, raíces cuadradas, o cúbicas, o cuartas, etc.)
De forma general, cuando se multiplican varios radicales cuyo índice es el mismo,
podemos escribir como resultado otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el
producto de los radicandos que se multiplican.
Ejemplos:
2 ·
5 =
3 ·
2·3·5 =
30
3 7 · 4 8 = 12 56
3
5 · 2 3 4 · 7 3 2 = 14
3
40
Expresado con palabras sencillas: El producto de varios números radicales del mismo
índice es igual a la raíz del producto de dichos números.
Por lo que se refiere al cociente de radicales, podemos decir que la raíz de un cociente
de números es igual al cociente de las raíces del numerador y del denominador.
Ejemplos:
4
4
9 4 9 4
=
= 3
3
3
20
10
=
20
= 2
10
82
83
84