para uso de alumnos

PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS
(para uso de alumnos)
MÓDULO IV
“FUNCIONES”
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
1
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
I.- INTRODUCCIÓN
Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse
cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien
esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las
matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas
en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de
semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los
estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de
las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en
aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación",
es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de
que otros se presenten.
En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una
disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el
estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón usted debe resolver
personalmente los problemas que se le presenten y reconocer que no existe un
camino corto hacia el éxito. No obstante lo anterior, las siguientes orientaciones,
las que se refieren a la preparación de clases, toma de apuntes, lectura de textos,
resolución de problemas, y análisis de problemas, debieran serle útiles en el
estudio de las matemáticas.
1. Preparación de clases
La mirada preliminar es una parte importante del estudio, la cual no requiere de
una gran cantidad de tiempo. Antes de cada clase, dé una mirada al material de
apoyo y los temas que se estudiarán en la clase. Fórmese una visión general
leyendo introducciones y resúmenes acerca de las materias que se estudiarán.
Vea los problemas asociados a la sección para tener una idea general del enfoque
de la clase. Esta vista previa debe servir de base general para el anclaje de la
nueva información que se presentará en la clase.
Por otra parte, revise permanentemente los aprendizajes esperados y los criterios
de evaluación del programa de la asignatura, y especialmente los que serán
abordados en la próxima clase. Esto le orientará respecto de los aprendizajes que
debieran ser desarrollados y los indicadores o criterios que den cuenta que lo va
logrando.
2. Tomar apuntes
En clases, escuche activamente mientras toma apuntes. Intente aprender de la
presentación del profesor. Ponga atención a los aprendizajes que se espera lograr
en la clase. Anote observaciones explicativas sobre cada problema. Tenga en
cuenta las condiciones particulares del problema, cómo avanzar de un paso a otro,
y el por qué del enfoque adoptado para resolver el problema. Observe como cada
problema se relaciona con el programa de la asignatura. Si pierde atención o no
entiende algo en la clase, tome apuntes de lo que alcance y complete lo faltante
más tarde. Tan pronto como sea posible después de las clases, revise y edite sus
apuntes. Utilice el margen o la parte de atrás de la página contraria para resumir
las materias y hacer una lista de los principales términos o fórmulas. También
puede utilizar este espacio para tomar notas de algún texto, con lo que
complementará sus apuntes de clase y creará una fuente de estudio integrada.
Revise sus apuntes a intervalos regulares, sobre todo tan pronto como sea
posible, justo antes y justo después de cada clase. Revise además que se han
resuelto problemas correspondientes a todos los criterios de evaluación de los
aprendizajes que se había considerado lograr en la clase.
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3. La lectura de libros de texto
Al leer algún libro de texto de matemáticas, en primer lugar dé una hojeada al
material para obtener una visión general. Luego lea cuidadosamente,
asegurándose de que entiende cada parte que esté avanzando. A medida que lee,
tome notas de las nuevas definiciones y símbolos. Es muy importante que
traduzca las fórmulas y conceptos abstractos en sus propias explicaciones
verbales. Ponga especial atención a los problemas que se muestren como
ejemplos. Usted debiera analizar los problemas de ejemplo del texto, explicando
cada paso con sus propias palabras y dibujando diagramas para acompañar estas
explicaciones. Como práctica, cierre el libro y rehaga los ejemplos por sus propios
medios. Por último, fíjese en cómo las materias se relacionan con las materias
previas, y deténgase periódicamente a explicarse a si mismo las materias
estudiadas.
4. Solución de problemas
La mayor parte de su tiempo de estudio debería ser dedicado al desarrollo o el
estudio de preguntas que representan problemas resueltos o por resolver. Cuando
desarrolle un problema, lea primero toda la pregunta para obtener una visión
general. En segundo lugar, establezca la variable desconocida en sus propios
términos y anote cada información que se le entrega. A continuación, elabore un
plan tentativo para resolver el problema mediante la utilización de uno o más de
las siguientes tácticas:
a. Establezca relaciones entre todos los hechos dados.
b. Considere las fórmulas o definiciones que pudieran ser pertinentes.
c. Trabaje hacia atrás, preguntándose: "¿Qué información necesito conocer
para encontrar la respuesta?"
d. Relacione el problema con algún ejemplo o ejercicio similar visto en clases
o en un texto.
e. Relacione el problema con un criterio de evaluación y aprendizaje esperado
del programa de la asignatura.
f. Resuelva una versión más simple del problema utilizando números
pequeños.
g. Divida el problema en varios problemas más simples. Desarrolle parte del
problema y vea si está relacionado con el todo.
h. Verifique que cada paso de la solución es correcta y clara. Luego, reescriba
la solución correcta desde el principio hasta el fin.
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5. Análisis de problemas
Después de haber trabajado un problema, analícelo. Enfóquese en los procesos
utilizados (no en la respuesta) y hágase las siguientes preguntas: ¿Qué
conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Es comparable la
solución con las de mis apuntes? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando?
¿Puedo simplificar lo que hice?. Explique cada uno de los pasos usando sus
propias palabras. De esta manera usted reforzará su comprensión del problema y
le ayudará en el estudio posterior.
Las sugerencias de estudio en este documento le ayudarán a mejorar su
desempeño en su clase de matemáticas. Pero recuerde que los cursos de
matemáticas son acumulativos, si tiene problemas con las materias al comienzo
del curso, es probable que posteriormente estos problemas se multipliquen. Por lo
tanto, usted debería buscar ayuda a tiempo si se encuentra con dificultades.
II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS
Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de
INACAP, con el objetivo de orientar a los alumnos en su estudio de las
matemáticas, y a los docentes en la elaboración de las evaluaciones.
Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de
ellos a los aprendizajes esperados del módulo IV “Funciones” de los programas de
matemáticas con código MATBxx de INACAP.
En la primera parte del documento aparecen planteadas las preguntas con 4
alternativas de solución, y en la segunda parte, se muestra su resolución y la
alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de
selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser
también planteadas como preguntas de desarrollo.
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Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.1.1 Utiliza los conceptos de las funciones para interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando
para ello la situación de la que son extraídos.
1. De los siguientes gráficos, ¿cuáles representan funciones reales?
A)
B)
C)
D)
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.1.1 Utiliza los conceptos de las funciones para interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando
para ello la situación de la que son extraídos.
2. La siguiente tabla:
x
−2
0
2
y
4
0
4
Corresponde a las imágenes de la función:
A) y = x 2
B) y = − x 2
C) y = x
D) y = − x
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.1 Utiliza los conceptos de las funciones para interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando
para ello la situación de la que son extraídos.
3. El gráfico que representa la función: y = f(x) = x − 1 ; es:
A)
B)
C)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.1 Utiliza los conceptos de las funciones para interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando
para ello la situación de la que son extraídos.
4. El gráfico:
A)
B)
C)
D)
x
0
2
x
0
1
x
1
0
x
2
0
; corresponde a la tabla:
y
1
0
y
2
0
y
2
0
y
1
0
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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.
5. Dada la gráfica de una función, entonces su dominio es::
Dibujo
A) IR +
B) IR
C) IR −
D) IR − {0}
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.
6. Sea la función: f(x) =
1
; entonces su recorrido es:
x −1
A) IR
B) IR + U {0}
C) IR − {0}
D) IR −
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.
7. El recorrido de la función: y = f(x) =
3x + 1
; es:
2x − 5
⎧ 1⎫
A) IR − ⎨− ⎬
⎩ 5⎭
⎧ 4⎫
B) IR − ⎨− ⎬
⎩ 3⎭
⎧3 ⎫
C) IR − ⎨ ⎬
⎩2⎭
⎧5 ⎫
D) IR − ⎨ ⎬
⎩2⎭
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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.
8. De acuerdo al gráfico de la función, el dominio es:
A) [ −1 , 1]
Dibujo
B) IR0+
C) IR +
D) ]−1 , 1[
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.3 Representa gráficamente funciones dadas en cualquiera de sus formas, indicando dominio, recorrido y sus
características globales.
9. La función que representa la gráfica es:
A) y = 3
Dibujo
B) x = 3
C) y = −3
D) x = −3
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.3 Representa gráficamente funciones dadas en cualquiera de sus formas, indicando dominio, recorrido y sus
características globales.
10. La intersección con el eje x de la función graficada es:
⎛ 2 ⎞
A) ⎜ − , 0 ⎟
⎝ 3 ⎠
Dibujo
2⎞
⎛
B) ⎜ 0 , − ⎟
3⎠
⎝
⎛ 2⎞
C) ⎜ 0 , ⎟
⎝ 3⎠
⎛2 ⎞
D) ⎜ , 0 ⎟
⎝3 ⎠
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.3 Representa gráficamente funciones dadas en cualquiera de sus formas, indicando dominio, recorrido y sus
características globales.
11. El gráfico que corresponde a la función: y = f(x) = 3x − 2 ; es:
A)
B)
Módulo 4. Funciones.
C)
D)
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.3 Representa gráficamente funciones dadas en cualquiera de sus formas, indicando dominio, recorrido y sus
características globales.
⎡1
⎡
12. Dada una función f cualquiera de recorrido: rec f : ⎢ , ∞ ⎢ ; la gráfica
⎣2
⎣
correspondiente a ella es:
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.4 Aplica las características globales de las funciones para obtener su representación gráfica.
13. El vértice de la parábola: f(x) = x 2 − 4 ; está representado por:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.4 Aplica las características globales de las funciones para obtener su representación gráfica.
14. El gráfico que representa una recta de inclinación 45º y que pase por el punto
P = (1,2):
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.4 Aplica las características globales de las funciones para obtener su representación gráfica.
15. Sea f una función cuadrática cuyos ceros son x = -1 y x = 3; con vértice (1 , −4) .
Entonces la gráfica que lo representa es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.4 Aplica las características globales de las funciones para obtener su representación gráfica.
16. La gráfica que representa una función lineal de pendiente negativa y
coeficiente de posición positivo es:
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
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4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.5 Utiliza conceptos y características de las funciones para extraer información de situaciones dadas mediante
enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
17. La tabla muestra las temperaturas de una semana de enero, entonces el día de
menor temperatura es:
Tabla
A) Lunes
Día
L
M
M
J
V
S
D
B) Miércoles
C) Viernes
D) Domingo
Módulo 4. Funciones.
Tº
30º
32º
35º
31º
28º
33º
34º
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.5 Utiliza conceptos y características de las funciones para extraer información de situaciones dadas mediante
enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
18. Sea f(x) = 2x ; entonces f(0) es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.5 Utiliza conceptos y características de las funciones para extraer información de situaciones dadas mediante
enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
19. De acuerdo a la tabla, el punto de intersección con el eje x es:
A)
(0 , 0)
B)
(0 , − 3)
C) ( 3 , 0 )
Tabla
1
2 3
x –3 –2 –1 0
y –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
D) ( 3 , − 3 )
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Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.1.5 Utiliza conceptos y características de las funciones para extraer información de situaciones dadas mediante
enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
20. Si: y = f(x) =
5x − 6
entonces el valor de f( −1) es:
3x + 4
A) – 11
B) −
C)
1
7
11
7
D) 35
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.2.1 Utiliza fórmulas para determinar la ecuación de una recta y la representa gráficamente.
21. Dados la pendiente m = −2 y el coeficiente de posición n =
1
, entonces la
2
ecuación de la recta es:
A) y = 2x −
1
2
B) y = 2x +
1
2
C) y = −2x +
1
2
D) y = −2x −
1
2
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Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.2.1 Utiliza fórmulas para determinar la ecuación de una recta y la representa gráficamente.
2
22. Sea la función lineal y = − x + 1, entonces la ecuación de la recta en su forma
3
general es:
A) −2x + 3y − 3 = 0
B) 2x + 3y + 3 = 0
C) 2x − 3y − 3 = 0
D) 2x + 3y − 3 = 0
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.1 Utiliza fórmulas para determinar la ecuación de una recta y la representa gráficamente.
23. Sea: 3x − 2y + 1 = 0 ; la ecuación general de la recta, entonces la ecuación
principal es:
A) y = 3x + 1
3
1
B) y = − x −
2
2
C) y =
3
1
x+
2
2
D) y = −3x − 1
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.1 Utiliza fórmulas para determinar la ecuación de una recta y la representa gráficamente.
24. La gráfica asociada a la ecuación −2x + 5y + 3 = 0 es:
A)
B)
Módulo 4. Funciones.
C)
D)
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando
sus elementos característicos.
25. La gráfica de la función lineal 2x + 3y − 1 = 0 es:
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando
sus elementos característicos.
26. Dada la tabla :
Lápices
1
2
3
4
$Valor
100
200
300
400
entonces el gráfico que representa los datos es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando
sus elementos característicos.
27. El gráfico de la función lineal asociada a la tabla
x -2 0 2
y -5 -1 3
es:
A)
B)
C)
D)
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Módulo 4. Funciones.
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4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando
sus elementos característicos.
28. La gráfica que representa la función lineal y = 4x − 8 es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.3 Utiliza conceptos y elementos característicos de las funciones lineales para extraer información de situaciones dadas
mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
29. Dadas las funciones lineales y = 2x + 1 ; y = 3 − 2x , entonces su punto de
intersección es:
A)
( 0 , 2)
1⎞
⎛
B) ⎜ 2 , ⎟
2⎠
⎝
⎛1 ⎞
C) ⎜ , 2 ⎟
⎝2 ⎠
⎛1 ⎞
D) ⎜ , 0 ⎟
⎝2 ⎠
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Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.2.3 Utiliza conceptos y elementos característicos de las funciones lineales para extraer información de situaciones dadas
mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
30. Dado el gráfico de la función lineal, entonces los puntos de intersección con los
ejes coordenados son:
A)
(3 , − 4)
B)
( − 4 , 3)
Dibujo
C) ( 0 , − 4 ) ; ( 3 , 0 )
D) ( − 4 , 0 ) ; ( 0 , 3 )
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.3 Utiliza conceptos y elementos característicos de las funciones lineales para extraer información de situaciones dadas
mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
31. De acuerdo a la gráfica que aparece a continuación, y considerando que m es
la pendiente y n el coeficiente de posición, podemos afirmar que:
A) m > 0 , n < 0
Dibujo
B) m < 0 , n > 0
C) m < 0 , n < 0
D) m > 0 , n > 0
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.3 Utiliza conceptos y elementos característicos de las funciones lineales para extraer información de situaciones dadas
mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas o gráficas.
32. Según la gráfica que aparece a continuación, la pendiente es:
Dibujo
A) 3
B)
1
3
C) −
1
3
D) -3
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.1 Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas, o expresiones algebraicas,
indicando sus elementos característicos.
33. Si en una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c ; a > 0 , entonces una de sus
posibles gráficas es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.1 Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas, o expresiones algebraicas,
indicando sus elementos característicos.
34. Si una función cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, entonces una
posible gráfica es:
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
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4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.1 Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas, o expresiones algebraicas,
indicando sus elementos característicos.
35. De acuerdo a la tabla:
x -2 0 1
y 0 -2 0
el gráfico de la función cuadrática es:
A)
B)
Módulo 4. Funciones.
C)
D)
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.1 Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas, o expresiones algebraicas,
indicando sus elementos característicos.
36. Sea una función cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 , con a < 0 ; c < 0 y con
discriminante ( Δ ) igual a cero. Entonces uno de los posibles gráficos es:
A)
B)
C)
D)
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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.3.2 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.
37. En una función cuadrática, si el discriminante es igual a cero, entonces sus
raíces son:
A) Reales y Distintitas
B) Reales e Iguales
C) Imaginarias
D) No existen
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.2 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.
38. Sea la función cuadrática f(x) = 2x 2 + 3x + 1 , entonces su vértice están el
cuadrante:
A) I
B) II
C) III
D) IV
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.2 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.
39. El vértice de la función f(x) = x 2 − 4x − 5 se encuentra en el cuadrante:
A) I
B) II
C) III
D) IV
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Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.3.2 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.
40. Si el discriminante de la función cuadrática es positivo, entonces ella:
A) Corta al eje x en el origen
B) Corta al eje x en dos puntos
C) Corta al eje x en un punto
D) No corta al eje x
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.3 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado.
41. Los ceros de la ecuación cuadrática 9x 2 + 6x + 1 = 0 ; son:
A) −
1 1
y
3 3
B) – 3 y 3
C) −
D)
1
1
y−
3
3
1 1
y
3 3
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.3 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado.
42. El gráfico representa una función cuadrática donde V es el vértice, entonces la
suma de sus raíces es:
A) – 8
Dibujo
B) – 4
C) 3
D) 4
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4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.3 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado.
43. Las raíces de la ecuación 2x 2 + 3x − 2 = 0 ; son:
A) −
B)
1
y −2
2
C) −
D)
1
y2
2
1
y −2
2
1
y2
2
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.3 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado.
44. De acuerdo al gráfico, la coordenada x del vértice es:
A) – 3
Dibujo
B) – 2
C) – 1
D) 1
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.4 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o
sociales.
45. Sea la función cuadrática y = x 2 − 4x + c , entonces el valor de c para el cual y
es – 3 y tiene un cero igual a 2 es:
A) – 3
B) 1
C) 2
D) 4
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Módulo 4. Funciones.
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4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.4 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o
sociales.
46. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la
horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática
3
y = −5t 2 + 24t + , entonces la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de
2
haberla lanzado es:
A)
3
m.
2
B) 5 m.
C) 24 m.
D)
57
m.
2
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.4 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o
sociales.
47. La función C ( u ) = 250u − u2 representa el costo (miles de dólares) de producir
cierta cantidad de artículos (u). ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades?
A) US$ 10.000
B) US$ 20.000
C) US$ 200.000
D) US$ 250.000
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4.3 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones cuadráticas.
Criterio de Evaluación
4.3.4 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o
sociales.
48. La altura que alcanza una piedra al ser lanzada se expresa por la función
h ( t ) = 10t − t 2 en donde d: altura que alcanza la piedra y t: tiempo transcurrido en
segundos. ¿En qué instantes de tiempo la piedra se encuentra a 16 metros del
suelo?
A) 1 y 8 seg.
B) 2 y 8 seg.
C) 3 y 7 seg.
D) 4 y 6 seg.
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.1 Representa gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, determinando sus elementos característicos.
49. Sea la función f ( x ) = e− x , entonces su gráfica es:
A)
C)
B)
D)
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4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.1 Representa gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, determinando sus elementos característicos.
50. Sea la función f ( x ) = log ( x + 1) , entonces su gráfica es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.1 Representa gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, determinando sus elementos característicos.
51. La gráfica de y = f ( x ) = 2x − 1 es:
A)
C)
B)
D)
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Módulo 4. Funciones.
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4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.1 Representa gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, determinando sus elementos característicos.
52. La gráfica y = f ( x ) = ln ( 2x ) es:
A)
C)
B)
D)
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.2 Aplica propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
53. Al resolver la ecuación exponencial 32x
2
−1
2
= 9 x ÷ 273x , tenemos como solución:
A) 3
B) 3 −1
C) 3−2
D) 3−3
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Módulo 4. Funciones.
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4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.2 Aplica propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
54. Al resolver la ecuación logarítmica log3 ⎡⎣log3 ( 5x + 2 ) ⎤⎦ = 1, entonces el valor de x
es:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.2 Aplica propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
55. La solución de la ecuación 3 x +1 = 2 es:
A) − log10
B)
log2 − log3
log3
C) log2
D)
log2 + log3
log2
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.2 Aplica propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
56. La solución de la ecuación log3 ( 2x − 1) = −1 es:
A) −
B)
1
3
2
3
C) 2
D)
11
2
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Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.3 Utiliza las funciones exponencial y logarítmica para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos
naturales, económicos y/o sociales.
57. Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura final
de un objeto, transcurridos t minutos, está dada por la relación
f ( t ) = A − (B − A ) ⋅ 10−k ⋅t , donde A es la temperatura del medio, B es la temperatura
del cuerpo y k = 0,5 es constante de enfriamiento. Entonces si un cuerpo con
50º C ubicado en un medio de 20º C , ¿qué temperatura tendrá transcurridos 6
minutos?
A) 1,997 º C
B) 19,97 º C
C) 199,7 º C
D) 1997 º C
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.3 Utiliza las funciones exponencial y logarítmica para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos
naturales, económicos y/o sociales.
58. El trabajo L desarrollado por un gas que se expande a temperatura constante,
desde el volumen V0 hasta el volumen V1, cuando su presión inicial es p0, se
⎛V ⎞
calcula por L = p0 ⋅ V0 ⋅ ln ⎜ 1 ⎟ . Si p0 = 427 kg / m2 , v 0 = 7 m3 , v1 = 14 m3 , entonces
⎝ V0 ⎠
L es:
A) 14 Kg m
B) 427 Kg m
C) 899,78 Kg m
D) 2071,82 Kg m
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29
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Módulo 4. Funciones.
Criterio de Evaluación
4.4.3 Utiliza las funciones exponencial y logarítmica para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos
naturales, económicos y/o sociales.
59. La función P ( t ) = 3 ⋅ e0,01⋅t representa la población, en millones de personas, de
una ciudad en t años. Entonces la población al quinto año es de:
A) 31.538.132 personas
B) 3.153.813 personas
C) 315.381 personas
D) 31.538 personas
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.4 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a funciones exponencial y logarítmica.
Criterio de Evaluación
4.4.3 Utiliza las funciones exponencial y logarítmica para modelar y resolver problemas relacionados con fenómenos
naturales, económicos y/o sociales.
60. La función R ( A ) = 1,2 ⋅ log ( 3A ) + 2 representa la intensidad en grados que tiene
un sismo en un área determinada, de A Km2. Entonces, la intensidad de un sismo
que afecta un área de 100 Km2 es de:
A) 2,57 grados
B) 3,77 grados
C) 4,97 grados
D) 6,17 grados
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30
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Resolución
1. De los siguientes gráficos, ¿cuáles representan funciones reales?
Resolución
A cada x le corresponde un único y.
ALTERNATIVA B
2. La siguiente tabla:
x
−2
0
2
y
4
0
4
Corresponde a las imágenes de la función:
Resolución
f( −2) = 4
f(0) = 0
f(2) = 4
ALTERNATIVA A
3. El gráfico que representa la función: y = f(x) = x − 1 ; es:
Resolución
Sea y = f(x) = x − 1
Punto int er sec ción eje X : (y = 0)
→ 0 = x −1
x =1
(1,0)
Punto int er sec ción eje Y : (x = 0)
→ y = 0 −1
y = −1
(0, −1)
ALTERNATIVA D
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31
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
4. El gráfico:
; corresponde a la tabla:
Resolución
En toda función es posible determinar la intersección de ella con el eje x haciendo
y = 0, del mismo modo es posible determinar la intersección de ella con el eje y
haciendo x = 0.
Así según el gráfico, cuando x = 1, y = 0, luego el punto de intersección con el eje x
es (1,0) y cuando x = 0, y = 2, luego el punto de intersección con el eje y es (0,2)
ALTERNATIVA B
5. Dada la gráfica de una función, entonces su dominio es::
Resolución
Los valores que puede tomar x es cualquier real
F(-2)=4
F(0)=0
F(2)=4
.
ALTERNATIVA B
6. Sea la función: f(x) =
1
; entonces su recorrido es:
x −1
Resolución
1
x −1
y ⋅ (x − 1) = 1
y=
yx − y = 1
yx = 1 + y
x=
1+ y
y
ALTERNATIVA C
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32
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
7. El recorrido de la función: y = f(x) =
3x + 1
; es:
2x − 5
Resolución
Como :
y = f(x) =
3x + 1
2x − 5
y ⋅ (2x − 5) = 3x + 1
2xy − 5y = 3x + 1
2xy − 3x = 5y + 1
5y + 1
2x − 3
5x + 1
f −1 =
2x − 3
⇒ 2x − 3 ≠ 0
x=
2x = 3 ⇒ x =
3
2
⎧3 ⎫
Luego : Re corrido :IR − ⎨ ⎬
⎩2⎭
ALTERNATIVA C
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.1 Aplica técnicas para graficar funciones y analizar su comportamiento global.
Criterio de Evaluación
4.1.2 Aplica reglas algebraicas y gráficas para determinar dominio y recorrido de funciones.
8. De acuerdo al gráfico de la función, el dominio es:
Resolución
En toda función, es posible determinar su dominio analizando sus valores en el eje
x.
Es así que al ver el gráfico es posible determinar que el valor mínimo de x es 0 y el
máximo tiende al infinito positivo. Por lo tanto el dominio de la función se encuentra
entre dichos valores, es decir [0 , ∞[ que equivale a decir los reales positivos y el
( )
cero IR0+
ALTERNATIVA B
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33
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
9. La función que representa la gráfica es:
Resolución
La función corta al eje y en 3.
ALTERNATIVA A
10. La intersección con el eje x de la función graficada es:
Resolución
3x − 2 = 0
3x = 2
x=
2
3
ALTERNATIVA D
11. El gráfico que corresponde a la función: y = f(x) = 3x − 2 ; es:
Resolución
Intersección eje x (y=0): y = 3x − 2 ⇒ 2 = 3x ⇒ 2 / 3 = x ⇒ (2 / 3,0)
Intersección eje y (x=0): y = 3x − 2 ⇒ y = −2 ⇒ (0, −2)
ALTERNATIVA C
⎡1
⎡
12. Dada una función f cualquiera de recorrido: rec f : ⎢ , ∞ ⎢ ; la gráfica
⎣2
⎣
correspondiente a ella es:
Resolución
La gráfica de la función no debe estar más a la derecha x =
1
.
2
ALTERNATIVA A
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34
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
13. El vértice de la parábola: f(x) = x 2 − 4 ; está representado por:
Resolución
x2 − 4 = 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2
x=2
−2 + 2 0
= =0
2
2
f(0) = −4
V = (0, −4)
ALTERNATIVA A
14. El gráfico que representa una recta de inclinación 45º y que pase por el punto
P = (1,2):
m = tg 45º = 1
y − y 0 = m(x − x 0 )
y − 2 = 1(x − 1)
y = x − 1+ 2
y = x +1
ALTERNATIVA B
15. Sea f una función cuadrática cuyos ceros son x = -1 y x = 3; con vértice (1 , −4) .
Entonces la gráfica que lo representa es:
Resolución
GRAFICAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN
ALTERNATIVA A
16. La gráfica que representa una función lineal de pendiente negativa y
coeficiente de posición positivo es:
Resolución
GRAFICAR LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN
ALTERNATIVA D
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35
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
17. La tabla muestra las temperaturas de una semana de enero, entonces el día de
menor temperatura es:
Resolución
VIERNES ⇒ 28º
ALTERNATIVA C
18. Sea f(x) = 2x ; entonces f(0) es:
Resolución
f(0) = 20 = 1
ALTERNATIVA B
19. De acuerdo a la tabla, el punto de intersección con el eje x es:
Resolución
Es posible determinar la intersección de la curva con el eje x, haciendo y = 0.
Según la tabla, si y = 0, tenemos que x = 3, entonces el punto de intersección es
(3, 0)
ALTERNATIVA C
20. Si: y = f(x) =
5x − 6
entonces el valor de f( −1) es:
3x + 4
Resolución
f( −1) =
5 ⋅ ( −1) − 6 −11
=
= −11
3 ⋅ ( −1) + 4
1
ALTERNATIVA A
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36
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
21. Dados la pendiente m = −2 y el coeficiente de posición n =
1
, entonces la
2
ecuación de la recta es:
Resolución
y = mx + n
y = −2x +
1
2
ALTERNATIVA C
2
22. Sea la función lineal y = − x + 1, entonces la ecuación de la recta en su forma
3
general es:
Resolución
2
y = − x +1
3
3y = −2x + 3
2x + 3y − 3 = 0
ALTERNATIVA D
23. Sea: 3x − 2y + 1 = 0 ; la ecuación general de la recta, entonces la ecuación
principal es:
Resolución
3x − 2y + 1 = 0
3x + 1 = 2y
y=
3
1
x+
2
2
ALTERNATIVA C
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37
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
24. La gráfica asociada a la ecuación −2x + 5y + 3 = 0 es:
Resolución
Como = −2x + 5y + 3 = 0
I Eje x (y = 0)
I Eje y (x = 0)
−2x + 5y + 3 = 0
−2x + 5y + 3 = 0
3 = 2x
5y = −3
x=
3
⇒ (3 / 2,0)
2
y=−
3
⇒ (0, −3 / 5)
5
ALTERNATIVA D
25. La gráfica de la función lineal 2x + 3y − 1 = 0 es:
Resolución
2x + 3y − 1 = 0
3y = −2x + 1
y=
−2x + 1
3
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
38
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
26. Dada la tabla :
Lápices
1
2
3
4
$Valor
100
200
300
400
entonces el gráfico que representa los datos es:
Resolución
ALTERNATIVA C
Módulo 4. Funciones.
Aprendizaje Esperado
4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas
cuyos modelos correspondan a modelos lineales.
Criterio de Evaluación
4.2.2 Representa gráficamente funciones lineales dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando
sus elementos característicos.
27. El gráfico de la función lineal asociada a la tabla
x -2 0 2
y -5 -1 3
es:
Resolución
GRAFICAR PUNTOS
ALTERNATIVA A
28. La gráfica que representa la función lineal y = 4x − 8 es:
Resolución
Como : y = 4x − 8
I eje x (y = 0)
I eje y (x = 0)
⇒ 0 = 4x − 8
⇒ y = 4x − 8
8 = 4x
x=2
y = −8
( 2,0 )
( 0, −8 )
ALTERNATIVA C
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39
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
29. Dadas las funciones lineales y = 2x + 1 ; y = 3 − 2x , entonces su punto de
intersección es:
Resolución
y = 2x + 1
y = 3 − 2x
2x + 1 = 3 − 2x
4x = 2
x=
1
1
⇒ y = 2 ⋅ + 1⇒ y = 2
2
2
⎛1 ⎞
P = ⎜ ,2 ⎟
⎝2 ⎠
ALTERNATIVA C
30. Dado el gráfico de la función lineal, entonces los puntos de intersección con los
ejes coordenados son:
Resolución
I x⇒y=0
x = −4
I y⇒x=0
y=3
ALTERNATIVA D
31. De acuerdo a la gráfica que aparece a continuación, y considerando que m es
la pendiente y n el coeficiente de posición, podemos afirmar que:
Resolución
Por definición, la pendiente (m) determina el ángulo de inclinación que tiene la
recta con respecto al eje x. Así, si m > 0 entonces ella, de izquierda a derecha,
crece y si m < 0 entonces ella, de izquierda a derecha, decrece.
Por otro lado el coeficiente de posición (n) determina el punto de intersección de la
recta con el eje y. Así, si n > 0 entonces el punto de intersección se produce en el
semieje y positivo, en cambio si n < 0 entonces el punto de intersección se
produce en el semieje y negativo.
Finalmente, de acuerdo al gráfico es posible afirmar que m < 0 (la función de
izquierda a derecha decrece) y n < 0 (la función intersecta el semieje y negativo)
ALTERNATIVA C
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40
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
32. Según la gráfica que aparece a continuación, la pendiente es:
Resolución
Como :
m=
Δy y 2 − y1
=
Δx x 2 − x1
Si :
A = (2,2) = (x1,y1 )
B = ( −1, −7) = (x 2 , y 2 )
Entonces :
m=
−7 − 2
=3
−1 − 2
ALTERNATIVA A
33. Si en una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c ; a > 0 , entonces una de sus
posibles gráficas es:
Resolución
Si a es positivo, la gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola
cóncava hacia arriba.
ALTERNATIVA A
34. Si una función cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, entonces una
posible gráfica es:
Resolución
Δ = b2 − 4ac > 0 Æ Corta al eje x en dos puntos
ALTERNATIVA B
35. De acuerdo a la tabla:
x -2 0 1
y 0 -2 0
el gráfico de la función cuadrática es:
Resolución
ALTERNATIVA D
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41
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
36. Sea una función cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 , con a < 0 ; c < 0 y con
discriminante ( Δ ) igual a cero. Entonces uno de los posibles gráficos es:
Resolución
a < 0 ⇒ concavidad negativa
De acuerdo a la información: c < 0 ⇒ punto I en eje y negativo
Δ = 0 ⇒ un punto de I con eje x
Existen dos posibles gráficos:
ALTERNATIVA D
37. En una función cuadrática, si el discriminante es igual a cero, entonces sus
raíces son:
Resolución
Δ = b2 − 4ac = 0 Æ Corta en un punto al eje x.
ALTERNATIVA B
38. Sea la función cuadrática f(x) = 2x 2 + 3x + 1 , entonces su vértice están el
cuadrante:
Resolución
2x 2 + 3x + 1 = 0
−3 ± 9 − 8 −3 ± 1
=
4
4
1
x1 = −
2
x 2 = −1
x=
LUEGO :
1
+ −1
3
2
=−
2
4
3
1
⎛
⎞
f ⎜− ⎟ = −
8
⎝ 4⎠
−
⎛ 3 1⎞
V = ⎜ − , − ⎟ ⇒ III cuadrante
⎝ 4 8⎠
ALTERNATIVA C
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42
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
39. El vértice de la función f(x) = x 2 − 4x − 5 se encuentra en el cuadrante:
Resolución
f(x) = x 2 − 4x − 5
Ya que :
⎛ b 4ac − b2 ⎞
V = ⎜− ,
⎟
4a ⎠
⎝ 2a
⎛ −4 −20 − 16 ⎞
V = ⎜− ,
⎟ = ( 2, −9 )
4
⎝ 2
⎠
Por tanto, se encuentra en el cuarto cuadrante
ALTERNATIVA D
40. Si el discriminante de la función cuadrática es positivo, entonces ella:
Resolución
Sea :
Δ = b2 − 4ac
Si :
Δ>0
Existen dos puntos de intersección con el eje x.
ALTERNATIVA B
41. Los ceros de la ecuación cuadrática 9x 2 + 6x + 1 = 0 ; son:
Resolución
9x 2 + 6x + 1 = 0
(3x + 1)(3x + 1) = 0
x1 = x 2 = −
1
3
ALTERNATIVA C
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43
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
42. El gráfico representa una función cuadrática donde V es el vértice, entonces la
suma de sus raíces es:
Resolución
x1 + x 2
= −4
2
x1 + x 2 = −8
ALTERNATIVA A
43. Las raíces de la ecuación 2x 2 + 3x − 2 = 0 ; son:
Resolución
2x 2 + 3x − 2 = 0
−3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ −2 −3 ± 9 + 16 −3 ± 25
=
=
2⋅2
4
4
−3 ± 5
x ==
4
x=
1
2
x 2 = −2
x1 =
ALTERNATIVA B
44. De acuerdo al gráfico, la coordenada x del vértice es:
Resolución
Como la coordenada x del vértice es:
x1 + x 2
x + x 2 −3 + 1 −2
⇒ 1
=
=
= −1
2
2
2
2
ALTERNATIVA C
45. Sea la función cuadrática y = x 2 − 4x + c , entonces el valor de c para el cual y
es – 3 y tiene un cero igual a 2 es:
Resolución
−3 = x 2 − 4x + c
−3 = 4 − 8 + c ⇒ c = 1
ALTERNATIVA B
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44
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
46. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la
horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática
3
y = −5t 2 + 24t + , entonces la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de
2
haberla lanzado es:
Resolución
f ( 3 ) = −5 ⋅ 32 + 24 ⋅ 3 +
3 57
=
m.
2 2
ALTERNATIVA D
47. La función C ( u ) = 250u − u2 representa el costo (miles de dólares) de producir
cierta cantidad de artículos (u). ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades?
Resolución
Como C ( u ) = 250u − u2 ⇒ C ( 200 ) = 250 ⋅ 200 − 2002 = 10.000
Luego el costo de producir 200 artículos es de US$ 10.000
ALTERNATIVA A
48. La altura que alcanza una piedra al ser lanzada se expresa por la función
h ( t ) = 10t − t 2 en donde d: altura que alcanza la piedra y t: tiempo transcurrido en
segundos. ¿En qué instantes de tiempo la piedra se encuentra a 16 metros del
suelo?
Resolución
Como h ( t ) = 10t − t 2 , entonces
h ( t ) = 10t − t 2
16 = 10t − t 2
t 2 − 10t + 16 = 0
⎧t = 2 seg.
⎩t 2 = 8 seg.
( t − 2 )( t − 8 ) ⎨ 1
ALTERNATIVA B
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45
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
49. Sea la función f ( x ) = e− x , entonces su gráfica es:
Resolución
X
−2
−1
0
1
2
Y
7,39
2,72
1
0,37
0,14
ALTERNATIVA A
50. Sea la función f ( x ) = log ( x + 1) , entonces su gráfica es:
Resolución
X
−0,5
0
0,5
1
Y
−0,3
0
0,18
0,3
ALTERNATIVA D
51. La gráfica de y = f ( x ) = 2x − 1 es:
Resolución
Asíntota horizontal y = - 1
Intersección con los ejes
Eje x (y=0)
y = 0, entonces
Eje y (x=0)
x = 0, entonces
0 = 2x − 1
y = 20 − 1
1 = 2x
y=0
x=0
ALTERNATIVA C
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46
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
52. La gráfica y = f ( x ) = ln ( 2x ) es:
Resolución
Asíntota vertical x = 0
Intersección con los ejes
Eje x (y=0)
y = 0, entonces
Eje y (x=0)
x = 0, entonces
0 = ln ( 2x )
y = ln0
∃ int eje y
2x = e
1
x=
2
0
ALTERNATIVA C
53. Al resolver la ecuación exponencial 32x
2
−1
2
= 9 x ÷ 273x , tenemos como solución:
Resolución
32x
2
−1
= 9 x ÷ 273x
32x
2
−1
= 32⋅x ÷ 33⋅3x
32x
2
−1
= 32x
2
2
2
− 9x
2x 2 − 1 = 2x 2 − 9x
−1 = −9x
1
x=
9
ALTERNATIVA C
54. Al resolver la ecuación logarítmica log3 ⎡⎣log3 ( 5x + 2 ) ⎤⎦ = 1, entonces el valor de x
es:
Resolución
log3 ⎡⎣log3 ( 5x + 2 ) ⎤⎦ = log3 3
log3 ( 5x + 2 ) = 3
log3 ( 5x + 2 ) = log3 27
5x + 2 = 27
5x = 25
x=5
ALTERNATIVA A
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47
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55. La solución de la ecuación 3 x +1 = 2 es:
Resolución
Como 3 x +1 = 2 , tenemos:
3 x +1 = 2
log3 x +1 = log2
( x + 1) ⋅ log3 = log2
x log3 = log2 − log3
log2 − log3
x=
log3
ALTERNATIVA B
56. La solución de la ecuación log3 ( 2x − 1) = −1 es:
Resolución
Como log3 ( 2x − 1) = −1 , tenemos que
log3 ( 2x − 1) = −1
3−1 = 2x − 1
1
+ 1 = 2x
3
4
2x =
3
2
x=
3
ALTERNATIVA B
57. Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura final
de un objeto, transcurridos t minutos, está dada por la relación
f ( t ) = A − (B − A ) ⋅ 10−k ⋅t , donde A es la temperatura del medio, B es la temperatura
del cuerpo y k = 0,5 es constante de enfriamiento. Entonces si un cuerpo con
50º C ubicado en un medio de 20º C , ¿qué temperatura tendrá transcurridos 6
minutos?
Resolución
f ( t ) = A − (B − A ) ⋅ 10−k ⋅t
f ( t ) = 20 − ( 50 − 20 ) ⋅ 10
−
1
⋅6
2
= 20 − 30 ⋅ 10−3
= 19,97 º C
ALTERNATIVA B
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48
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
58. El trabajo L desarrollado por un gas que se expande a temperatura constante,
desde el volumen V0 hasta el volumen V1, cuando su presión inicial es p0, se
⎛V ⎞
calcula por L = p0 ⋅ V0 ⋅ ln ⎜ 1 ⎟ . Si p0 = 427 kg / m2 , v 0 = 7 m3 , v1 = 14 m3 , entonces
⎝ V0 ⎠
L es:
Resolución
⎛ 14 ⎞
L = 427 ⋅ 7 ⋅ ln ⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
= 2989 ⋅ ln 2
= 2071,82 Kg m
ALTERNATIVA D
59. La función P ( t ) = 3 ⋅ e0,01⋅t representa la población, en millones de personas, de
una ciudad en t años. Entonces la población al quinto año es de:
Resolución
Como P ( t ) = 3 ⋅ e0,01⋅t , entonces
P ( 5 ) = 3 ⋅ e0,01⋅5 = 3,153813
ALTERNATIVA B
60. La función R ( A ) = 1,2 ⋅ log ( 3A ) + 2 representa la intensidad en grados que tiene
un sismo en un área determinada, de A Km2. Entonces, la intensidad de un sismo
que afecta un área de 100 Km2 es de:
Resolución
Como R ( A ) = 1,2 ⋅ log ( 3A ) + 2
R (100 ) = 1,2 ⋅ log ( 3 ⋅ 100 ) + 2 = 4,97
ALTERNATIVA C
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