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Máster en Estadı́stica Aplicada
Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Universidad de Granada
Trabajo fin de máster
Modelización de curvas de
crecimiento a partir del proceso
lognormal no homogéneo
José Antonio Anguita Izquierdo
Granada, septiembre de 2015
Agradezco muy especialmente al Dr. Francisco de Asís Torres Ruiz, tutor de este trabajo, por
su guía, tiempo y dedicación.
También a mi familia por su paciencia
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Contenido
Introducción ...............................................................................................................................................2
Capítulo 1. Estudio general del proceso de difusión lognormal con factores exógenos ...........................5
1.1.
Definición de proceso de difusión ..............................................................................................5
1.2.
Proceso de difusión lognormal no homogéneo .........................................................................7
1.3.
El proceso a partir de la ecuación diferencial estocástica .........................................................8
1.4.
El proceso a partir de las ecuaciones de Kolmogorov............................................................. 10
1.5.
Características del proceso ..................................................................................................... 12
Capítulo 2. Curvas de crecimiento ......................................................................................................... 15
Capítulo 3. Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo .... 24
3.1. Proceso de difusión tipo Gompertz.............................................................................................. 25
3.2. Proceso de difusión tipo von Bertalanffy ..................................................................................... 27
3.3. Proceso de difusión tipo Richards ................................................................................................ 30
3.4. Proceso de difusión tipo logístico ................................................................................................ 32
Capítulo 4. Simulación de los procesos ................................................................................................... 35
Capítulo 5. Inferencia en los procesos .................................................................................................... 40
5.1. Planteamiento general ................................................................................................................. 40
5.2. Inferencia en el proceso lognormal no homogéneo .................................................................... 41
5.2.1. Inferencia en el proceso tipo Gompertz ............................................................................... 43
5.2.2. Inferencia en el proceso tipo logístico .................................................................................. 45
5.2.3. Inferencia en el proceso tipo Bertalanffy .............................................................................. 46
5.2.4. Inferencia en el proceso tipo Richards .................................................................................. 49
5.3. Aspectos sobre procedimientos SA y VNS ................................................................................... 51
5.3.1 Acotación del espacio paramétrico ........................................................................................ 52
5.4. Estimación de los parámetros para el caso Bertalanffy ............................................................... 57
ANEXO A. Código R. Simulación de las trayectorias ................................................................................ 60
ANEXO B. Código R. Estimación de parámetros...................................................................................... 63
Bibliografía .............................................................................................................................................. 76
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Introducción
La modelización y estudio de fenómenos asociados a sistemas dinámicos, en particular de
crecimiento, ha sido objeto de análisis desde hace muchísimo tiempo en diversos campos de aplicación,
habiendo experimentado un gran auge en las últimas décadas. El motivo principal para ello radica en la
necesidad de comprender los mecanismos de evolución de los sistemas con el fin de dar una explicación
a su comportamiento, permitiendo predecir el mismo sin perder de vista la posible inclusión de
influencias ajenas a las variables en estudio que permitan alterar dicho comportamiento y, con ello,
tener la posibilidad de controlar externamente la evolución del fenómeno en consideración.
Tradicionalmente los modelos empleados para estos fines han sido determinísticos, es decir, no
toman en cuenta las fluctuaciones o perturbaciones que pudieran existir en el sistema considerado, y
surgieron a partir de la modelización mediante ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones son
curvas que describen distintos tipos de esquemas de crecimiento. Entre estos modelos podemos citar el
exponencial, asociado al modelo malthusiano, así como el logístico y el gompertziano, relacionados con
crecimientos de tipo sigmoidal. Aunque estos modelos son los más extensamente empleados (de hecho
fueron los primeros que surgieron en este ámbito), posteriormente han ido apareciendo otros muchos,
entre los que podemos citar el modelo de Von Bertalanffy, el de Richards, monomolecular, Blumberg,
Weibull, doble sigmoidal…, cada uno de los cuales presenta alguna particularidad que les hace más
propicio para estudiar determinados esquemas de crecimiento. En este trabajo, trabajaremos cuatro de
estos modelos: Gompertz, logístico, Bertalanffy y Richards, todos relacionados con un crecimiento de
tipo sigmoidal y con un único punto de inflexión.
Las perturbaciones antes mencionadas, pueden provenir de múltiples factores, que no siempre
son cuantificables o incluso pueden ser desconocidos. Como indica Li et al. (2011), "los ruidos son muy
abundantes en la naturaleza y la sociedad humana; por ejemplo, las fluctuaciones ambientales, la falta
de precisión de las mediciones. En cualquier caso, uno tiene que lidiar con los efectos de la
aleatoriedad en el modelo”. Por esta razón, en las últimas décadas, el objetivo de la formulación del
modelo se ha centrado en modificar la ecuación diferencial ordinaria asociada al modelo determinista,
introduciendo un elemento aleatorio, llamado ruido blanco, para obtener modelos estocásticos, en
concreto, procesos de difusión, como solución de las ecuaciones diferenciales estocásticas asociadas. El
uso de estos modelos estocásticos no sólo proporciona una explicación más realista de las variables en
estudio, sino que también permite estudiar otras características importantes, por ejemplo, la inferencia,
los tiempos de primer paso y sus problemas relacionados.
En concreto, en este trabajo, nos hemos centrado en el proceso de difusión lognormal asociado
al modelo de Malthus, que ha sido usado frecuentemente como modelo probabilístico en numerosos
campos científicos donde la variable bajo consideración muestra una tendencia exponencial. La
distribución lognormal y los procesos de difusión, se han utilizado en particular en la modelización de
fenómenos de crecimiento en la Ecología (ver Capocelli y Ricciardi [2], Ricciardi [25]) entre otros), en
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Geología, Biología, Medicina, etc. Una revisión de un gran número de aplicaciones puede verse, por
ejemplo, en Crow y Shimizu [5]. Los procesos de difusión de tipo lognormal, por otra parte, como
modelos dinámicos estocásticos, han sido también utilizados en la modelización en Economía y
Finanzas para modelar variables dinámicas (Cox y Ross [4], Merton [22], Markus y Shaked [21]).
La versión no homogénea del proceso permite introducir factores exógenos al sistema con el
fin de dar una explicación del comportamiento de la variable estudiada por la difusión (variable
endógena) en términos de dichas variables externas. Normalmente, la vía de introducir variables
externas en el modelo es a través de una función h dependiente del tiempo que sea continua en el
intervalo donde el proceso sea observado.
Este proceso ha sido ampliamente estudiado desde el punto de vista de la inferencia estadística,
en particular la basada en muestreo discreto, así como de los tiempos de primer paso y sus problemas
asociados, siendo aplicado en diversos campos (ver Gutiérrez et al. [8], [9], [10], [11], [12], [14], [15]).
En el presente trabajo, vamos a considerar el proceso de difusión lognormal no homogéneo
(también conocido como proceso de difusión lognormal con factores exógenos) como una manera de
generar modelos de difusión estocásticos que nos permitan modelizar el comportamiento de curvas de
crecimiento, centrándonos en las mencionadas anteriormente. Para ello, se han establecido las
condiciones generales y posteriormente se han aplicado a cada caso concreto.
El proceso lognormal no homogéneo se define como un proceso de difusión {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇}
que toma valores en ℝ+ , con momentos infinitesimales 𝐴1 (𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥 y 𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2 , donde
ℎ(𝑡) es una función continua en [𝑡0 , 𝑇], 𝜎 > 0, y con distribución inicial degenerada o lognormal.
Notemos que este proceso no homogéneo generaliza la versión homogénea, en la cual ℎ(𝑡) = 𝑚 ∈ ℝ.
Como mencionamos anteriormente, una de las principales razones para incluir la función ℎ(𝑡)
en la media infinitesimal del proceso, es que nos permite representar influencias externas (factores
exógenos) dependientes del tiempo, sobre el comportamiento de la variable en estudio (variable
endógena). Estas influencias pueden expresarse en términos de un conjunto de variables externas cuyo
comportamiento es conocido y contribuyen a la descripción y al control de la evolución del proceso. Por
ejemplo, es habitual considerar dicha función como una combinación lineal de funciones continuas
𝑞
llamadas factores, ℎ(𝑡) = 𝛽0 + ∑𝑗=1 𝐹𝑗 (𝑡), con 𝛽𝑗 ∈ ℝ, y 𝐹𝑗 funciones continuas en [𝑡0 , 𝑇], 𝑗 = 1, … , 𝑞.
Este caso ha sido ampliamente estudiado en relación con algunos aspectos sobre la inferencia y los
tiempos de primer paso (ver Torres-Ruiz, F. [32]; Gutiérrez et al. [8], [9], [11], etc...) y se han utilizado
para modelar variables dependientes del tiempo en varios campos. Por ejemplo, Gutiérrez et al. ([14])
construyeron un proceso de difusión lognormal no homogéneo para ajustar el producto interior bruto de
España al considerar como variables exógenas, el gasto del consumidor y la formación de capital fijo
bruto doméstico.
Sin embargo, otras veces, las variables externas no están disponibles o hay situaciones en las
que sus expresiones funcionales no se conocen. En tal caso Gutiérrez et al. [17] sugieren aproximar los
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑘) 𝑘)
𝑘)
factores exógenos por medio de funciones polinómicas, es decir, ℎ(𝑡) = ∑𝑘𝑗=0 𝛽𝑗 𝑃𝑗 (𝑡), donde 𝑃𝑗
𝑘)
𝑘)
son polinomios de grado k, (𝑃0 = 1) y 𝛽𝑗 ∈ ℝ, 𝑗 = 1, … , 𝑘
Por otro lado, teniendo en cuenta determinadas funciones concretas de ℎ(𝑡), se pueden definir
otros procesos de difusión, como casos particulares del proceso lognormal no homogéneo, asociados a
expresiones alternativas de las curvas de crecimiento que aquí trataremos. En este sentido, podemos
citar un proceso de tipo Gompertz (introducido en [16] aplicado al estudio del crecimiento de conejos),
una generalización del proceso von Bertalanffy (introducido en [28], con una aplicación para el
crecimiento de especies de peces y usado en [26] para el estudio de calibrado de frutas), un proceso tipo
logístico (introducido en [29], con una aplicación para el crecimiento de un cultivo de
microorganismos) y una de tipo Richards (ver [30]).
En el capítulo 1 se realiza una breve introducción de los procesos de difusión en general, para
posteriormente pasar a centrarnos en nuestro proceso lognormal no homogéneo. Dicho proceso se
presenta desde dos puntos de vista; a partir de las ecuaciones de Fokker-Planck y Kolmogorov, a partir
de ecuaciones diferenciales estocásticas, y se realiza un estudio general y descriptivo de sus principales
características. En el siguiente capítulo, se estudian las curvas de crecimiento con las que vamos a
trabajar en este documento, dando nuevas reparametrizaciones de sus expresiones originales para hacer
depender su cota superior de un valor inicial (lo cual puede ser de utilidad para estudiar el
comportamiento de individuos particulares de la población en estudio), así como sus principales
características y gráficas. Se verá que todas estas curvas obedecen una determinada ecuación diferencial
ordinaria común, lo que permitirá, en el capítulo 3, utilizar nuestro proceso de difusión lognormal para
modelizar dichas curvas pues su función media se adapta a cada uno de sus comportamientos. A
continuación, en el capítulo 4, se simulan los procesos apoyándonos en el hecho de que dichos procesos
resultantes son transformaciones del proceso de Wiener y dándose sus respectivos gráficos. En el
Anexo A se presenta el código en R para simular las trayectorias y realizar dichos gráficos. Por último,
se trata el problema de la estimación máxima verosimilitud de los parámetros. Hacemos notar que, en
general, los sistemas que aparecen son bastante complejos y a la hora de resolverlos surgen problemas
con algunos procedimientos numéricos, por lo que se sugieren el uso de procedimientos de
optimización estocásticos tales como Simulated Annealing o Variable Neighborhood Search. Para la
aplicación eficiente de estos procedimientos, se presentan algunas estrategias con el fin de acotar los
espacios paramétricos asociados. Para concluir este capítulo, se lleva a cabo la estimación para el caso
Bertalanffy, en la misma línea que se ha hecho para la curva Richards en 2015 (véase [30]). Todo ello
programado en R, como se puede observar en el Anexo B.
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Capítulo 1. Estudio general del proceso de difusión lognormal con
factores exógenos
1.1.
Definición de proceso de difusión
Llamamos proceso de difusión a un proceso de Markov {𝑋(𝑡): 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} en tiempo continuo y
con espacio de estados continuo, que cumple:
- Tiene trayectorias continuas casi seguro
- ∀𝜀 > 0, ∀𝑥, veri�ica:
a)
1
limℎ→0 ∫|𝑦−𝑥|>𝜀 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡) = 0, es decir, grandes cambios en un corto espacio de tiempo
ℎ
son poco probables. Además esta condición implica la convergencia en probabilidad.
b)
Existen los momentos truncados de los incrementos condicionados
1
𝐴1 (𝑥, 𝑡) = lim �
(𝑦 − 𝑥)𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)
ℎ→0 ℎ |𝑦−𝑥|≤𝜀
1
(𝑦 − 𝑥)2 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)
𝐴2 (𝑥, 𝑡) = lim �
ℎ→0 ℎ |𝑦−𝑥|≤𝜀
Usamos estos momentos truncados, pues tenemos asegurado que siempre existen, frente a los
momentos infinitesimales media y varianza que no siempre existen. Además los momentos truncados
de orden superior a dos, en general, son nulos, pues se prueba que para r > 2
1
lim �
ℎ→0 ℎ |𝑦−𝑥|≤𝜀
|𝑦 − 𝑥|𝑟 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡) = 0
Ahora bien, para comprobar que un proceso es de difusión, en la práctica, se usa el siguiente
resultado que proporciona unas condiciones suficientes para ello:
TEO 1.1: Un proceso de Markov en tiempo continuo, con espacio de estados continuo y con
trayectorias continuas casi seguro y verificando:
1
1. ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥, limℎ→0 ∫ |𝑦 − 𝑥|2+𝛿 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡) = 0
ℎ
2. Existen los momentos infinitesimales
1
Media infinitesimal o drift: 𝐴1 (𝑥, 𝑡) = limℎ→0 ∫ (𝑦 − 𝑥)𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)
ℎ
1
Varianza infinitesimal: 𝐴2 (𝑥, 𝑡) = limℎ→0 ∫ (𝑦 − 𝑥)2 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)
ℎ
Entonces es proceso de difusión
Al usar estos momentos infinitesimales, de existir, no tenemos asegurado que los de orden superior
a dos sean nulos. Lo que si tenemos, con la condición anterior, es que los dos primeros momentos
coinciden con los dos primeros momentos truncados, por lo que podemos usar estos dos primeros
momentos en el sentido de ser la media y la varianza por unidad de tiempo, del incremento
condicionado.
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Por otro lado, para que la función de distribución de un proceso de difusión verifique la ecuación
atrasada de Kolmogorov
𝜕𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)
𝜕𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) 𝐴2 (𝑦, 𝑠) 𝜕 2 𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)
+ 𝐴1 (𝑦, 𝑠)
+
=0
𝜕𝑠
2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑦
con la condición lim𝑠↑𝑡 𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = �
,
0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦
se tiene que cumplir que dicha distribución de transición sea dos veces derivable respecto de y, con
derivadas continuas y acotadas. Además, si existen las densidades de transición, 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠), también
verificarán dicha ecuación con condición inicial lim𝑠↑𝑡 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦), siendo 𝛿 la función
delta de Dirac.
Para que verifique la ecuación adelantada de Kolmogorov o ecuación de Fokker-Planck
𝜕[𝐴1 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)] 1 𝜕 2 [𝐴2 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]
𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)
=−
+
, 𝑡0 < 𝑠 < 𝑡 < 𝑇
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
2
con la condición lim𝑠↑𝑡 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦), tienen que existir y ser continuas las derivadas
𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) 𝜕[𝐴1 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)] 𝜕 2 [𝐴2 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]
,
𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥
Todo ello suponiendo que existen las densidades de transición. Para asegurarnos esto, enunciamos
el siguiente teorema que impone las siguientes condiciones a los momentos infinitesimales:
TEO 1.2: Supongamos que los momentos infinitesimales 𝐴1 y 𝐴2 verifican, para todo valor x del
espacio de estados y ∀𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇], las siguientes condiciones:
1. ∃𝜎0 , 𝑘 constantes positivas, tales que �
|𝐴1 (𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑘√1 + 𝑥 2
0 < 𝜎0 ≤ �𝐴2 (𝑥, 𝑡) ≤ 𝑘√1 + 𝑥 2
2. (Condición de Hölder) ∃𝛾, 𝑘 constantes positivas, tales que �
Entonces se verifica:
|𝐴1 (𝑥, 𝑡) − 𝐴1 (𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|𝛿
|�𝐴2 (𝑥, 𝑡) − �𝐴2 (𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|𝛿
1. La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la anterior condición frontera. Además, para
𝑡 > 𝑠, 𝐹(𝑥, 𝑡; 𝑦, 𝑠) es derivable respecto de x, por lo que admite densidad, que también verificará la
ecuación atrasada con condición frontera del tipo delta de Dirac.
2. Existe un proceso de Markov {𝑋(𝑡): 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} con trayectorias continuas, que verifica las
condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de distribución de transición 𝐹(𝑥, 𝑡; 𝑦, 𝑠).
3. Si, además, las condiciones del enunciado son cumplidas por
𝜕𝐴1 (𝑥, 𝑡) 𝜕𝐴2 (𝑥, 𝑡) 𝜕 2 𝐴2 (𝑥, 𝑡)
,
𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
entonces la función de densidad de transición también es la única solución de la ecuación adelantada.
4. Por último, se tiene que si 𝛾=1, 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) es la densidad de transición de la única solución de la
ecuación integral estocástica
𝑡
𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡0 ) + � 𝐴1 (𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + � �𝐴2 (𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑊(𝑠)
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑡0
𝑡0
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
1.2.
Proceso de difusión lognormal no homogéneo
El proceso lognormal no homogéneo se define como un proceso de difusión {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇}
que toma valores en ℝ+ , con momentos infinitesimales 𝐴1 (𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥 y 𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2 donde
ℎ(𝑡) es una función continua en [𝑡0 , 𝑇], 𝜎 > 0, y con distribución inicial degenerada o lognormal
Veamos a continuación, si el proceso definido por esos momentos verifica las condiciones del
Teorema 1.2:
En primer lugar, comprobemos si ∃𝜎0 , 𝑘 constantes positivas, tales que
�
|𝐴1 (𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑘√1 + 𝑥 2
0 < 𝜎0 ≤ �𝐴2 (𝑥, 𝑡) ≤ 𝑘√1 + 𝑥 2
Por un lado se tiene que, |ℎ(𝑡)𝑥| ≤ |ℎ(𝑡)|𝑥 ≤ |ℎ(𝑡)|√1 + 𝑥 2 , luego si 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇] y como h
continua, tenemos que alcanza su máximo (M) en [𝑡0 , 𝑇]. Por tanto |ℎ(𝑡)|√1 + 𝑥 2 ≤ |𝑀| ∙ √1 + 𝑥 2
con 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇]. Por otro lado, se obtiene que 0 < 𝜎0 ≤ 𝜎𝑥 ≤ 𝑘√1 + 𝑥 2 . Luego, tomando
k=max(𝜎, |𝑀|) para 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇] y 𝜎0 = 𝜎𝜀 (𝑐𝑜𝑛 𝜀 > 0 𝑡. 𝑞. 𝜀 < 𝑥), se verificarían las desigualdades.
Para comprobar la condición de Hölder, basta tomar el k anterior y 𝛾 = 1 pues
|ℎ(𝑡)𝑥 − ℎ(𝑡)𝑦| ≤ |ℎ(𝑡)||𝑥 − 𝑦| , |𝜎𝑥 − 𝜎𝑦| = 𝜎|𝑥 − 𝑦|
Veamos ahora que las condiciones se cumplen también para las expresiones siguientes
𝜕𝐴2 (𝑥, 𝑡)
𝜕 2 𝐴2 (𝑥, 𝑡)
𝜕𝐴1 (𝑥, 𝑡)
= ℎ(𝑡);
= 2𝜎 2 𝑥 ;
= 2𝜎 2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
Para las dos primeras expresiones, se tiene que |ℎ(𝑡)| ≤ |M| ≤ |M|√1 + x 2 , y que 0 < 𝜎0 ≤
√2𝜎 2 𝑥 ≤ k√1 + x 2 . Luego ambas desigualdades se verifican tomando 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥�|𝑀|, √2σ2 � y
𝜎0 = √2σ2 ε (con ϵ < √x). Para el tercer caso, 0 < 𝜎0 ≤ √2𝜎 2 ≤ k√1 + x 2 , desigualdades que se
verifican tomando 𝑘 = √2σ2 y 𝜎0 = √2σ2
Por último, veamos la condición de Hölder para las tres expresiones
|h(t) − h(t)| = 0 ≤ k|x − y|, válido ∀k > 0, ∀𝛾 > 0 (𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝛾 = 1)
�√2𝜎 2 𝑥 − �2𝜎 2 𝑦� = √2𝜎 2 �√x − �y� ≤ √2𝜎 2 |x − y|, tomar 𝑘 = √2σ2 y γ = 1
�√2𝜎 2 − √2𝜎 2 � = 0 ≤ k|x − y|, válido ∀k > 0, ∀𝛾 > 0 (𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝛾 = 1)
Por tanto concluimos que nuestro proceso verifica las condiciones de proceso de difusión y que
tiene por función de distribución de transición F(x,t;y,s). Además su función de densidad de transición
es la única solución de las ecuaciones atrasadas y adelantada de Kolmogorov, y como γ=1, dicha
función de transición también verifica que es la densidad de transición de la única solución de la
ecuación integral estocástica
𝑡
𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡0 ) + � 𝐴1 (𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + � �𝐴2 (𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑊(𝑠)
𝑡0
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𝑡0
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
A continuación, vamos a introducir este proceso de dos maneras distintas. La primera, usando
ecuaciones diferenciales estocásticas, obtenidas a partir de la ecuación de Langevin, y la segunda, a
través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Kolmogorov, es decir, desde un punto de vista de
ecuaciones en derivadas parciales.
1.3.
El proceso a partir de la ecuación diferencial estocástica
Consideremos la ecuación diferencial estocástica de Itô
𝑑𝑋(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑋(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
�
𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0
siendo 𝑊(𝑡) un proceso Wiener estándar, independiente de 𝑋0 , 𝑡 ≥ 𝑡0 .
Esta ecuación se obtiene de la ecuación diferencial ordinaria
𝑑𝑥(𝑡)
= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡),
𝑑𝑡
que puede ser vista como una generalización del modelo de crecimiento malthusiano con tasa de
fertilidad ℎ(𝑡). Si cambiamos dicha tasa por ℎ(𝑡) + Λ(𝑡), con Λ(𝑡) un ruido blanco con varianza 𝜎 2 , se
obtiene la ecuación de Langevin, la cual reescrita como una ecuación diferencial estocástica da paso a
nuestra ecuación inicial.
Veamos en primer lugar, que esta ecuación verifica las condiciones de existencia y unicidad del
siguiente teorema para ecuaciones diferenciales estocásticas:
Teorema 1.3. Sea la ecuación diferencial estocástica
𝑑𝑋(𝑡) = 𝑎(𝑋(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏(𝑋(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡); 𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 < ∞
con 𝑊(𝑡) un proceso Wiener estándar y 𝑋0 una variable independiente de 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 ), para 𝑡0 ≤ 𝑡.
Supongamos que las funciones 𝑎 y 𝑏 están definidas y son medibles en [𝑡0 , 𝑇]𝑥ℝ, y verifican las
siguientes condiciones:
∃𝑘 > 0 constante tal que
1. |𝑎(𝑥, 𝑡) − 𝑎(𝑦, 𝑡)| + |𝑏(𝑥, 𝑡) − 𝑏(𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|, ∀𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇], ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. |𝑎(𝑥, 𝑡)|2 + |𝑏(𝑥, 𝑡)|2 ≤ 𝑘(1 + |𝑥|2 ), ∀𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑇], ∀𝑥 ∈ ℝ
Entonces, la ecuación inicial del enunciado tiene una única solución en [𝑡0 , 𝑇] y con valores en ℝ,
continua con probabilidad uno, que satisface la condición inicial.
Usando la misma notación que en este resultado, es decir,
𝑎(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥; 𝑏(𝑥, 𝑡) = 𝑏(𝑥) = 𝜎𝑥,
tenemos que se cumplen las siguientes desigualdades
1. |𝑎(𝑥, 𝑡) − 𝑎(𝑦, 𝑡)| + |𝑏(𝑥, 𝑡) − 𝑏(𝑦, 𝑡)| = (|ℎ(𝑡)|𝜎)|𝑥 − 𝑦| ≤ (max𝑡0 ≤𝑡≤𝑇 |ℎ(𝑡)| + 𝜎) |𝑥 − 𝑦|
2. |𝑎(𝑥, 𝑡)|2 + |𝑏(𝑥, 𝑡)|2 = (ℎ(𝑡)2 + 𝜎 2 )𝑥 2 ≤ (max𝑡0 ≤𝑡≤𝑇 ℎ(𝑡)2 + 𝜎 2 ) (1 + 𝑥 2 )
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Ahora bien, considerando 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘1 , 𝑘2 } con 𝑘1 = max |ℎ(𝑡)| + 𝜎, y 𝑘2 = max ℎ(𝑡)2 + 𝜎 2 , se
𝑡0 ≤𝑡≤𝑇
verifican las condiciones del teorema.
𝑡0 ≤𝑡≤𝑇
Pasamos ahora a resolver la ecuación. Para ello, consideramos la transformación
𝑌(𝑡) = ln�𝑋(𝑡)�
y utilizando el lema de Itô, la ecuación diferencial inicial se convierte en la ecuación autónoma
𝑑𝑌(𝑡) = �ℎ(𝑡) −
cuya solución es
𝜎2
� 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡); 𝑌(𝑡0 ) = 𝑙𝑛𝑋0 ,
2
𝑡
𝑌(𝑡) = 𝑙𝑛𝑋0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎(𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 ))
2
Así, siguiendo a Arnold, Y(t) será un proceso gaussiano sí y sólo sí 𝑙𝑛𝑋0 es constante o
distribuida normalmente. En tales casos, las funciones media y covarianza de Y(t) serán:
𝑡
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑙𝑛𝑋0 ] + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 )
2
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑙𝑛𝑋0 ] + 𝜎 2 (𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ), con 𝑡 ∧ 𝑠 = min (𝑡, 𝑠)
Por tanto, las distribuciones finito-dimensionales de Y(t) son normales, es decir,
�𝑌(𝑡1 ), 𝑌(𝑡2 ), … , 𝑌(𝑡𝑛 )�´ ∼ 𝑁𝑛 (𝜇, Σ)
donde la i-ésima componente del vector 𝜇 es 𝑚(𝑡𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛 y donde Σ es una matriz definida
positivamente, cuyas componentes son 𝑅�𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos
𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑌(𝑡)) = 𝑋0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�)
2
donde 𝑋0 puede ser una distribución degenerada (𝑃[𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0 ] = 1) ó 𝑋0 ~Λ1 (𝜇0 , 𝜎02 ) (nótese que el
primer caso es un caso particular de este segundo caso, tomando 𝜇0 = 𝑙𝑜𝑔𝑥0 y 𝜎02 = 0). Así, en ambas
situaciones, las distribuciones finito-dimensionales serán lognormales 𝛬𝑛 (𝜇, 𝛴). Es decir,
∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 ,;
�𝑋(𝑡1 ), 𝑋(𝑡2 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 )�´ ∼ Λ 𝑛 (𝜇, Σ)
donde las componentes del vector 𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )´ y de la matriz 𝛴 = �𝜎𝑖𝑗 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 son
respectivamente
𝑡
𝜇𝑖 = 𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝜎𝑖𝑗 =
𝜎02
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛
2 𝑖
+ 𝜎 2 �𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 } − 𝑡0 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛
Concretamente, la distribución unidimensional seguirá la siguiente distribución
𝑡
y la bidimensional
𝑋(𝑡)~𝛬1 [𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ); 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )]
2
Página 9
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑡∨𝑠
𝜎2
⎡ 𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 − (𝑡 ∨ 𝑠 − 𝑡0 )
2
⎞ 2
𝑡 − 𝑡0
𝑋(𝑡)
⎢⎛
𝑡0
2
�
� ~Λ2 ⎢⎜
𝑡∧𝑠
2
⎟ ; 𝜎0 𝐼2 + 𝜎 �𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0
𝑋(𝑠)
𝜎
⎢ 𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 − (𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 )
2
⎣⎝
𝑡0
⎠
1 1
con 𝐼2 = �
�
1 1
⎤
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ⎥
𝑠 − 𝑡0 �⎥ , 𝑡, 𝑠 > 𝑡0
⎥
⎦
A partir de esta distribución bidimensional y usando las propiedades de las distribuciones
condicionadas en el caso lognormal, se obtiene que
𝑡
[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦]~𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑠
con función de densidad de transición
𝜎2
(𝑡 − 𝑠); 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)� , 𝑡 > 𝑠
2
2
𝑡
𝜎2
𝑥
−
ℎ(𝑠)𝑑𝑠
+
�𝑙𝑛
∫
1
𝑠
⎛
2 (𝑡 − 𝑠)� ⎞
𝑦
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
𝑒𝑥𝑝 ⎜−
⎟
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
1.4.
⎝
El proceso a partir de las ecuaciones de Kolmogorov
⎠
Como mencionamos en el apartado 1.2, la función de densidad de transición es la única
solución de las ecuaciones atrasadas y adelantadas de Kolmogorov. Para resolver esta ecuación
atrasada, realizaremos la búsqueda de una función que transforme dicha ecuación en la del proceso
Wiener estándar, cuya solución es conocida.
En nuestro caso, la ecuación adelantada (o de Fokker-Planck) es de la forma
𝜕[𝑥𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)] 𝜎 2 𝜕 2 [𝑥 2 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]
𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)
= −ℎ(𝑡)
+
𝜕𝑥
2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑡
y la ecuación atrasada (o de Kolmogorov) es
𝜕[𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)] 𝜎 2 2 𝜕 2 [𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]
𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)
+ ℎ(𝑠)𝑦
+ 𝑦
=0
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦
2
𝜕𝑠
Estas ecuaciones verifican las condiciones de existencia y unicidad de la solución con
condiciones iniciales respectivas
lim 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦) 𝑦 lim 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦)
𝑡↓𝑠
𝑠↑𝑡
siendo 𝛿(. ) la función delta de Dirac.
Por otro lado, las transformaciones en las que estamos interesados son del tipo
𝑥´ = 𝜓(𝑥, 𝑡); 𝑥0́ = 𝜓(𝑥0 , 𝑡0 )
𝑡´ = 𝜙(𝑡); 𝑡0́ = 𝜙(𝑡0 )
que cambia la ecuación atrasada de nuestro proceso X(t) en la del proceso Wiener
𝜕𝑓´(𝑥´, 𝑡´|𝑥0́ , 𝑡0́ )
cuya solución es conocida
José Antonio Anguita Izquierdo
𝜕𝑡0́
+
1 𝜕 2 𝑓´(𝑥´, 𝑡´|𝑥0́ , 𝑡0́ )
=0
2
𝜕𝑥0́
Página 10
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑓´�𝑥´, 𝑡´�𝑥0́ , 𝑡0́ � =
2
1
1 �𝑥´ − 𝑥0́ �
exp �−
�
2 �𝑡´ − 𝑡0́ �
�2𝜋(𝑡´ − 𝑡0́ )
En este contexto, Chersakov (1957) y Ricciardi (1976) estudiaron con detalle el problema de
cuándo se podrá transformar un proceso de difusión cualquiera en el Wiener, dando condiciones
suficientes y necesarias para que existan tal tipo de transformación, obteniéndose el siguiente teorema.
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que un proceso de difusión con función densidad
de transición 𝑓�𝑥, 𝑡�𝑥0 , 𝑡0 � y momentos infinitesimales 𝐴1 (𝑥, 𝑡) y 𝐴2 (𝑥, 𝑡) pueda transformarse al
proceso Wiener estándar es que existan funciones arbitrarias 𝐶1 (𝑡)) y 𝐶2 (𝑡) que verifiquen
1�
2
1 𝜕𝐴2 (𝑥, 𝑡) (𝐴2 (𝑥, 𝑡))
𝐴1 (𝑥, 𝑡) =
+
2
𝜕𝑥
4
En tal caso la transformación es
1 𝑡
1�
2 exp �− �
2 𝑡0
𝑥´ = 𝜓(𝑥, 𝑡) = (𝑘1 )
1�
2
(𝑘1 )
−
2
𝑡
𝜕𝐴2 (𝑦, 𝑡)
𝜕𝑡
𝑑𝑦�
3�
(𝐴2 (𝑦, 𝑡)) 2
𝑥 𝐶 (𝑡)𝐴 (𝑦, 𝑡)
2
2
�𝐶1 (𝑡) + �
𝑧
𝑥
𝐶2 (𝑠) 𝑑𝑠� �
𝑧
1
+
1� 𝑑𝑦
2
�𝐴2 (𝑦, 𝑡)�
𝑡
1 𝑠
� 𝐶1 (𝑠) exp �− � 𝐶2 (𝜃) 𝑑𝜃� 𝑑𝑠 + 𝑘2
2 𝑡0
𝑡2
𝑠
𝑡´ = 𝜙(𝑡) = 𝑘1 � exp (− � 𝐶2 (𝜃) 𝑑𝜃)𝑑𝑠 + 𝑘3
𝑡1
𝑡0
con z un valor del intervalo de definición del proceso, 𝑡𝑖 ∈ [𝑡0 , +∞) 𝑦 𝑘𝑖 constantes arbitrarias, con
k1>0.
Nota. Puesto que, para cada t,
𝜕𝜓(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
1
𝜙´(𝑡) �2
�
2 (𝑥,𝑡)
= �𝐴
la transformación 𝑥´ = 𝜓(𝑥, 𝑡) es biyectiva, la relación entre las densidades de transición será
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑥0 , 𝑡0 ) =
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
∙ 𝑓´(𝑥´, 𝑡´|𝑥´0 , 𝑡´0 )
𝜕𝑥
Veamos si este proceso verifica las condiciones de este teorema
En efecto
ℎ(𝑡)𝑥 =
𝑥𝜎 2 𝜎𝑥
2𝑥𝜎 2 𝜎𝑥
𝜎𝑥 𝑥 𝑐2 (𝑡)𝜎 2 𝑦 2
𝑐2 (𝑡)𝑥 𝑥 1
(𝑡)
+
𝑐1 (𝑡) +
�
𝑑𝑦
=
+
𝑐
� 𝑑𝑦
+
4
𝜎3𝑦3
2
2
2 1
2 𝑧
2
𝑧 𝑦
𝜎2 𝜎
𝑥
𝑐2 (𝑡)
= � + 𝑐1 (𝑡) +
𝑙𝑛 � �� 𝑥
2
2 2
𝑧
por lo que basta tomar
𝑐1 (𝑡) =
2ℎ(𝑡)
−𝜎
𝜎
𝑐2 (𝑡) = 0
para que se verifique la condición. Así, la transformación al proceso Wiener será:
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 11
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑥´ = 𝜓(𝑥, 𝑡) =
𝜎2𝑡−𝑡2+𝑘2
1
�
𝑘1 2
𝜎
𝑥1
∫𝑧
𝑑𝑦 −
𝑦
1
(𝑘1 ) �2 𝑡 2ℎ(𝑡)
∫𝑡 � 𝜎 − 𝜎� 𝑑𝑠
2
2
1�
1
𝑥
1
𝑡
+ 𝑘2 = 𝑘1 2 �𝜎 𝑙𝑛 �𝑧 � − 𝜎 ∫𝑡 ℎ(𝑠)𝑑𝑠 +
2
𝑡
𝑡´ = 𝜙(𝑡) = 𝑘1 � ds + 𝑘3 = 𝑘1 (𝑡 − 𝑡1 ) + 𝑘3
+
𝑡1
con 𝑧 ∈ ℝ , 𝑡𝑖 > 0 𝑦 𝑘𝑖 constantes arbitrarias, con k1>0.
Para terminar, siguiendo la nota anterior
1�
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡) 𝑘1 2
=
𝜕𝑥
𝜎𝑥
por lo que la función de densidad de transición del proceso será
1�
Es decir,
𝑘 2
1
𝑓�𝑥, 𝑡�𝑥0 , 𝑡0 � = 1 𝑓´�𝑥´, 𝑡´�𝑥0́ , 𝑡0́ � =
𝑥
𝜎𝑥
1�
2
𝑘1
2
�2𝜋𝜎 2 �𝑡´ − 𝑡0́ �
1 �𝑥´ − 𝑥0́ �
exp �−
�
2 �𝑡´ − 𝑡0́ �
2
𝑡
𝜎2
𝑥
−
ℎ(𝑠)𝑑𝑠
+
�𝑙𝑛
∫
1
𝑠
⎛
2 (𝑡 − 𝑠)� ⎞
𝑦
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
𝑒𝑥𝑝 ⎜−
⎟
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
⎝
⎠
que como se puede observar, coincide con la obtenida en el apartado anterior.
1.5.
Características del proceso
Una vez calculadas las distribuciones finito-dimensionales, se pueden obtener las principales
características del proceso. Para ello, consideramos 𝑋0 ~Λ1 (𝜇0 , 𝜎02 ), pues como hemos mencionado
anteriormente, el caso degenerado es un caso particular de éste tomando 𝜇0 = 𝑙𝑜𝑔𝑥0 y 𝜎02 = 0
Todas las características principales se pueden definir a partir de la siguiente función:
𝜆4
𝐺 𝜆 (𝑡|𝑦, 𝜏) = 𝑀(𝑡|𝑦, 𝜏)𝜆1 𝑒𝑥𝑝 �𝜆2 �𝜆3 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝜏)� �
con 𝜆 = (𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , 𝜆4 )´ y con
𝑡
𝑀(𝑡|𝑦, 𝜏) = 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 + 𝑦 −
Así, se tiene que, por ejemplo
𝜏
•
Para 𝑦 = 𝜇0 ; 𝜏 = 𝑡0 ; 𝜆 = �𝑛,
𝑇
𝑛2
,
1,1�
,
2
•
𝐸[𝑋(𝑡)𝑛 |𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠 ]
•
Para 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 ; 𝜏 = 𝑠; 𝜆 = �𝑛,
𝜎 2 (𝑡 − 𝜏)
�
2
se obtienen los momentos n-ésimos 𝐸[𝑋(𝑡)𝑛 ]
𝑇
𝑛2
,
0,1�
,
2
se obtienen los momentos n-ésimos condicionados
Para 𝑦 = 𝜇0 ; 𝜏 = 𝑡0 ; 𝜆 = (1, −1,1,1)𝑇 , se obtiene la función moda 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)]
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 12
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 ; 𝜏 = 𝑠; 𝜆 = (1, −1,0,1)𝑇 ,
•
Para
•
𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠 ]
•
se
obtiene
la
función
moda
condicionada
1 𝑇
2
Para 𝑦 = 𝜇0 ; 𝜏 = 𝑡0 ; 𝜆 = �1, 𝑧𝛼 , 1, � , se obtiene la función cuantil de orden 𝛼, 𝐶𝛼 [𝑋(𝑡)]
1 𝑇
2
Para 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 ; 𝜏 = 𝑠; 𝜆 = �1, 𝑧𝛼 , 0, � , se obtiene la función cuantil de orden 𝛼 condicionada,
𝐶𝛼 [𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠 ], donde 𝑧𝛼 es el cuantil de orden alfa de una normal estándar.
En concreto, las expresiones de estas funciones quedan de la siguiente forma:
Función media:
𝑡
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝐸[𝑋(𝑡0 )]𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢� = 𝑒𝑥𝑝 �𝜇0 +
𝑡0
Función moda:
𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)] = 𝑒𝑥𝑝(𝜇0 −
Función cuantil de orden 𝛼 :
𝐶𝛼 (𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 �𝜇0 +
𝑡
2 )𝑒𝑥𝑝
𝜎0
�� ℎ(𝑢)𝑑𝑢
𝑡0
𝑡
𝜎02
+ � ℎ(𝑢)𝑑𝑢� , 𝑡 ≥ 𝑡0
2
𝑡0
− (𝑡 − 𝑡0 )
3𝜎 2
� , 𝑡 ≥ 𝑡0
2
𝑡
𝜎02
𝜎2
� 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 − (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑧𝛼 �𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )�
2
2
𝑡0
En cuanto a sus respectivas expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠 , se tiene:
Función media condicionada:
𝑡
𝑚(𝑡|𝑠) = 𝐸[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠 ] = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢� , 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
𝑡0
Función moda condicionada:
𝑡
𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠 ] = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 − (𝑡 − 𝑠)
𝑠
Función cuantil condicionada de orden alfa:
𝑡
𝐶𝛼 (𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑠
3𝜎 2
� , 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
2
𝜎2
(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 𝜎�𝑡 − 𝑡0 � 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
2
Escribimos las expresiones de otras características:
Momentos de orden 𝑛:
𝑡
𝐸[𝑋(𝑡)𝑛 ] = 𝐸[𝑋(𝑡0 )𝑛 ]𝑒𝑥𝑝 �𝑛 � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 +
Momentos cruzados de órdenes 𝑘1 y 𝑘2 :
𝑡0
𝑡∨𝑠
𝐸[𝑋(𝑡 ∨ 𝑠)𝑘1 𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)𝑘2 ] = 𝐸[𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)𝑘1 +𝑘2 ]𝑒𝑥𝑝 �𝑘1 �
con 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑛𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 )(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0
2
𝑡∧𝑠
ℎ(𝑢)𝑑𝑢 +
𝑘1 𝜎 2 (𝑡 ∨ 𝑠 − 𝑡 ∧ 𝑠)
(𝑘1 − 1)�
2
Página 13
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Así para 𝑘1 = 𝑘2 = 1, se tienen los momentos cruzados de orden 1
𝑡∨𝑠
𝑡
𝑠
𝐸[𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)] = 𝐸[𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)2 ]𝑒𝑥𝑝 �∫𝑡∧𝑠 ℎ(𝑢)𝑑𝑢� = 𝐸[𝑋(𝑡0 )2 ]𝑒𝑥𝑝 �∫𝑡 ℎ(𝑢)𝑑𝑢 + ∫𝑡 ℎ(𝑢)𝑑𝑢 +
𝜎2𝑡∧𝑠−𝑡0,𝑠, 𝑡≥𝑡0
0
0
Función Varianza:
𝑡
𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = 𝐸[𝑋(𝑡)2 ] − 𝐸 2 [𝑋(𝑡)] = 𝑒𝑥𝑝 �2 � ℎ(𝑢)𝑑𝑢� �𝐸[𝑋(𝑡0 )2 ]𝑒 𝜎
𝑡0
𝑡
= 𝑒𝑥𝑝 �2 � ℎ(𝑢)𝑑𝑢� �𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0 )]𝑒 𝜎
Función Covarianza
𝑡0
2 (𝑡−𝑡
0)
𝑠
= 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢� �𝐸[𝑋(𝑡0 )2 ]𝑒 𝜎
𝑡0
0)
+ 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�𝑒 𝜎
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡), 𝑋(𝑠)] = 𝐸[𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)] − 𝑚(𝑡)𝑚(𝑠)
𝑡
2 (𝑡−𝑡
𝑡0
2 (𝑠−𝑡
0)
− 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�
2 (𝑡−𝑡
0)
− 1��, 𝑡 ≥ 𝑡0
− 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�; 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0
Si consideramos el caso 𝑠 < 𝑡, la anterior función se puede expresar de la siguiente manera:
𝑡
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)]𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢�
𝑠
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 14
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Capítulo 2. Curvas de crecimiento
El crecimiento es una característica importante en muchos campos de aplicación. El estudio de
este fenómeno se asoció inicialmente con la evolución de las poblaciones de animales. Hoy en día, sin
embargo, se considera en muchos contextos, por ejemplo, en los de la economía, la biología y la
ecología. Por esta razón, se han hecho muchos intentos por construir modelos matemáticos para
describir este tipo de comportamiento.
Se han propuesto muchas y diversas representaciones del crecimiento, con una amplia variedad
de curvas asociadas con modelos deterministas que describen el comportamiento mostrado por cada uno
de ellos. Generalmente dichas curvas de crecimiento se clasifican en curvas acotadas y no acotadas. La
más representativa del primer grupo es la curva exponencial, que es monótona, cóncava, y se conoce
como curva J. El modelo determinista asociado a ella es el modelo de Malthus, propuesto para
representar el patrón de comportamiento de las poblaciones humanas. Malthus mantenía que estas
poblaciones tenían un crecimiento no acotado cuya relación dependía de la densidad de población. Sin
embargo, este modelo sólo es adecuado en condiciones ideales ya que en la naturaleza, todo el
crecimiento tiende a ser equilibrado. De hecho, en situaciones de la vida real, las poblaciones no
aumentan indefinidamente.
Esto nos lleva a considerar modelos que estarán asociados con determinadas curvas acotadas,
como la logística, Gompertz, Bertalanffy y Richards. Dichas curvas son conocidas como curvas en
forma de S o sigmoidales pues son monótonas y presentan un punto de inflexión donde la curva cambia
de cóncava a convexa. Por ello, son usadas en fenómenos de crecimiento con dos características
distintivas: crecimiento acotado y tendencia sigmoidal.
Estas curvas se han aplicado en numerosos campos del conocimiento y han sido intensamente
utilizadas para modelizar y describir patrones de comportamiento. A parte de la aplicación en ecología,
donde han servido para el propósito de explicar el crecimiento de poblaciones, por ejemplo, el
crecimiento del bosque secundario en el Amazonas Central (Neeff y dos Santos [23]), crecimiento de
especies animales y vegetales (Cooper [3], Przybylski y García-Berthou [24], Román-Román, P. y
Torres-Ruiz, F [26], [29], etc), también se han utilizado en Biología y Medicina, para el análisis del
crecimiento de bacterias y tumores (ver, Tsoularis y Wallace [33], G. Albano et al [1] y sus referencias).
Por ejemplo, una de las grandes aplicaciones del modelo Gompertz (Kozusko y Bajzer [20]), fue
explicar el crecimiento de tumores en vista de observaciones experimentales, utilizando esta curva en
lugar del modelo exponencial que es el que se había considerado siempre. Además, en los últimos años,
sus aplicaciones se han ampliado, y las curvas incluso se han empleado en Economía, por ejemplo, para
la ilustración de cómo se propaga la innovación (Giovanis y Skiadas, [7]); para el análisis de la
producción mundial de petróleo y para localizar picos de producción (Gallagher [6]).
Pasamos, a continuación, a describir cada una de las curvas con las que vamos a trabajar en este
documento. Hay que destacar, que en todas ellas se ha llevado a cabo una reparametrización de sus
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 15
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
expresiones originales con la finalidad de hacer depender su cota superior de los valores iniciales, lo
cual puede ser de utilidad para estudiar el comportamiento de individuos particulares de la población en
estudio.
•
Curva Gompertz
Su nombre procede del matemático Benjamin Gompertz, el cual la introduce para un estudio sobre
mortalidad humana, como la función doble exponencial siguiente
𝑚𝑞−𝑎
⎧ 𝑙𝑜𝑔 𝑔 = 1−𝑞𝑟
1
⎪
⎪
𝑞 = 𝑝 �𝑟
𝑥
𝐿𝑋 = 𝑑𝑔𝑞 , con 𝑚 = 𝑙𝑛𝐿𝑎 − 𝑙𝑛𝐿𝑎+𝑟
⎨
𝐿
𝑑 = 𝜀𝑎
⎪
⎪
𝑚
𝑙𝑛𝜀 =
⎩
1−𝑞𝑟
con
𝐿𝑋 : tamaño de la población en el instante x
𝑎: instante inicial
𝑟: unidad de salto considerada en el tiempo
𝑝: razón de la progresión geométrica que hay entre el número de personas vivas en el tiempo.
Desde entonces, la curva ha sufrido varios cambios y ha sido reescrita en diversas formas para
facilitar su estudio. En este trabajo, se usará una variante de esta curva dada por Tan en 1986:
𝛼
𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 � �1 − 𝑒 −𝛽(𝑡−𝑡0 ) �� ,
𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑛 𝛼 > 𝛽 > 0, 0 < 𝑥0
𝛽
Ahora bien, si tomamos 𝛼 = 𝑚𝑒 −𝛽𝑡0 , esta expresión queda reparametrizada de la siguiente forma
𝑚
𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 � �𝑒 −𝛽𝑡0 − 𝑒 −𝛽𝑡 �� ,
𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 0, 𝛽 > 0, 0 < 𝑥0
𝛽
Sus características principales son:
1. Estrictamente creciente y acotada. Forma sigmoidal
2. Cota superior:
𝑚
𝑘 = lim 𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 ( �𝑒 −𝛽𝑡0 �)
𝑡→+∞
𝛽
3. Presenta un único punto de inflexión en
𝑡𝐼 = �
𝑙𝑛 (𝑚⁄𝛽 ) 𝑘
, �
𝛽
𝑒
que puede ser visible, es decir, 𝑡𝐼 > 𝑡0 sí y sólo sí 𝑚 > 𝛽𝑒 𝛽𝑡0
4. Es solución de la ecuación diferencial
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑑𝑥(𝑡)
= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)
� 𝑑𝑡
𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0
Página 16
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
con
ℎ(𝑡) = 𝑚𝑒 −𝛽𝑡
modelo determinístico asociado a esta clase de problemas de crecimiento.
A continuación mostramos algunos ejemplos de la curva. En la cabecera aparecen los valores de
los parámetros, donde se ha de entender que cuando sólo aparece un valor en alguno de los parámetros,
es que las cuatro curvas toman el mismo, y se corresponden respectivamente con los colores rojo, azul,
verde y naranja
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 17
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Curva logística
La curva logística fue introducida por Verhulst en el siglo XIX, con el propósito de estudiar el
crecimiento de poblaciones. En la década de 1920 el interés se reavivó y muchos trabajos de
investigación se han centrado en ella desde entonces, debido al hecho de que es un excelente modelo
para el desarrollo y evolución de muchos fenómenos de crecimiento. Además ha sido la génesis de
muchas de las curvas que aparecieron más tarde (ver Birch, 1999;Tsoularis y Wallace, 2002).
El modelo logístico determinista se define en términos de la ecuación diferencial
𝑑𝑥(𝑡)
= 𝛼𝑥(𝑡) − 𝛽𝑥 2 (𝑡)
� 𝑑𝑡
𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0
con 𝛼 y 𝛽 constantes positivas. La constante 𝛼 define la tasa de crecimiento, mientras que el término
−𝛽𝑥 2 sirve para inhibir o retardar esta tasa. En este sentido es, en general, 𝛽 menor que 𝛼.
La solución del modelo anterior es la curva logística
𝑥(𝑡) =
cuya expresión más general es
𝛼 ⁄𝛽
𝛼 ⁄𝛽
1 + ( 𝑥 − 1)𝑒 −𝛼(𝑡−𝑡0 )
0
𝑥(𝑡) =
𝑎
,
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
,
𝑡 ≥ 𝑡0 ; 𝛼, 𝛽 > 0
𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0
Ahora bien, en el presente trabajo, se trabajará con una reparametrización que consigue que el
valor de la cota dependa del valor inicial 𝑥0 . Para ello, si asumimos que 𝑓(𝑡0 ) = 𝑥0 > 0, entonces
𝑎 = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 ), luego la nueva expresión de la curva será
𝑥(𝑡) = 𝑥0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
, 𝑡 ≥ 𝑡0 ; con (𝑏, 𝑐) ∈ ℝ+ xℝ+
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
Sus características principales son:
1. Estrictamente creciente y acotada, presentando una figura sigmoidal
2. Cota superior:
3. Presenta un punto de inflexión en
𝑘 = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 )
𝑡𝐼 = �
𝑙𝑛𝑏 𝑘
, �
𝑐 2
siendo visible sí y sólo sí 𝑏 > 𝑒 𝑐𝑡0 y se observa que el valor de la función en el punto de inflexión es la
mitad del crecimiento total.
4. Verifica la ecuación diferencial
con
𝑥´(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)
ℎ(𝑡) =
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑏𝑐
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
A continuación mostramos algunos ejemplos de la curva. En la cabecera aparecen los valores de
los parámetros, donde se ha de entender que cuando sólo aparece un valor en alguno de los parámetros,
es que las cuatro curvas toman el mismo, y se corresponden respectivamente con los colores rojo, azul,
verde y naranja.
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Curva Bertalanffy
El biólogo austriaco Karl Ludwig von Bertalanffy introdujo en 1938, un modelo para estudiar el
crecimiento de individuos pertenecientes a poblaciones animales. Dicho modelo, al igual que los
principales modelos de crecimiento, surgió tras una adaptación del modelo logístico de Verhulst. En él
se asume que la característica en estudio de la población considerada posee un valor máximo (o cota),
que puede en teoría ser alcanzado, y que la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre
dicho valor máximo y el que la población posee en un instante de tiempo determinado. Actualmente es
el modelo más comúnmente empleado en el estudio del crecimiento (en longitud o peso) de poblaciones
de peces, si bien ha demostrado su utilidad al aplicarlo en otras especies animales, por ejemplo, especies
vacunas
El modelo está asociado a una curva sigmoidal, conocida como curva de von Bertalanffy, y cuya
expresión más extendida es
𝐿(𝑡) = 𝐿∞ �1 − 𝑒 −𝑘(𝑡−𝑎) �
donde 𝐿∞ es la cota superior de la variable en estudio, que indica el máximo valor que podría alcanzar
la variable cuando el tiempo tiende a infinito, y k es el parámetro de curvatura, o tasa de crecimiento de
von Bertalanffy, que indica la velocidad con la que el individuo alcanza la cota. El parámetro a, a veces
denominado condición inicial, determina el instante en el que la variable en estudio toma el valor cero,
si bien desde el punto de vista biológico no tiene gran importancia ya que es usual que en las primeras
etapas de crecimiento la variable considerada no se ajuste bien a este tipo de patrón de crecimiento,
adoptándolo en etapas posteriores (cuando realmente se tienen observaciones de dicha variable).
Con posterioridad se generalizo la expresión de esta curva, apareciendo la denominada curva de
von Bertalanffy generalizada (ver por ejemplo García-Rodríguez et al., [9]):
𝑏
𝑆(𝑡) = 𝑆∞ �1 − 𝑒 −𝑘(𝑡−𝑎) � ; 𝑡 ≥ 𝑎, 𝑘 > 0, 𝑏 ≥ 1
donde el valor b puede ser conocido o desconocido. Por ejemplo, el valor b = 1 es usado cuando la
variable en estudio es la longitud. Por otro lado, y teniendo en cuenta la relación existente entre el peso
y la longitud, el valor b = 3 está asociado con el peso cuando el crecimiento del animal es isométrico (la
relación longitud/peso permanece constante para todos los individuos de la especie), mientras que el
caso 𝑏 ≠ 1 está relacionado con el crecimiento alométrico (la relación anterior no permanece
constante).
En el presente trabajo se utilizará una nueva expresión de la curva de von Bertalanffy generalizada,
propuesta por Román-Román y Torres-Ruiz, [42], que como ya hemos mencionado más arriba, hace
depender el valor de la cota superior del valor inicial. Para ello, vamos a considerar que el tiempo desde
el que vamos a observar la variable (que toma valores positivos) es, en principio, 𝑡0 ≥ 0, con valor
asociado 𝑥0 > 0. Con esta hipótesis realista y fijándonos en la anterior expresión, deducimos que
𝑎 < 𝑡0 , ya que esta función es creciente y 𝑆(𝑎) = 0. Por otro lado, suponiendo que 𝑆(𝑡0 ) = 𝑥0 y
denotando 𝑐 = 𝑒 𝑘𝑎 , se concluye que
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 20
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑆∞ =
de donde se tiene que
𝑥0
(1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 )𝑏
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 �
� ; 𝑡 ≥ 𝑡0 ; 𝑐, 𝑘 > 0; 𝑏 ≥ 1
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
Además, dado que la curva toma valores positivos, se debe verificar 𝑡0 >
Sus características principales son:
𝑙𝑛𝑐
𝑘
1. Estrictamente creciente y acotada. Sigmoidal
2. Cota superior:
3. Presenta un punto de inflexión en
𝑘 = 𝑥0 /(1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 )𝑏
ln(𝑏𝑐)
1 𝑏
𝑡𝐼 = �
, 𝑘 �1 − � �
𝑘
𝑏
cumpliendo que 𝑡𝐼 > 𝑡0 sí y sólo sí 𝑏 >
4. Verifica la ecuación diferencial
𝑒 𝑐𝑡0
𝑞
𝑥´(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)
con
ℎ(𝑡) =
𝑏𝑐𝑘
−𝑐
𝑒 𝑘𝑡
Curva Bertalanffy para diferentes valores del parámetro c y para k=1,5
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 21
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Curva Richards
En 1959 F. J. Richards introdujo la curva que lleva su nombre, extendiendo
los trabajos desarrollados por Von Bertalanffy (de hecho algunos autores denominan a esta curva como
Bertalanffy-Richards). La idea de este autor fue crear una curva que mostrara una mayor flexibilidad
para el ajuste de datos que las existentes hasta la fecha. Su expresión es la siguiente
𝑓(𝑡) =
con 𝛼, 𝛽, 𝑝 > 0; 𝑡 ≥ 𝑡0
𝛼 ⁄𝛽
1
𝑝
𝛼 ⁄𝛽
�1 + � 𝑝 − 1� 𝑒𝑥𝑝{−𝑝𝛼(𝑡 − 𝑡0 )}�
𝑥0
Como en los casos anteriores, daremos una reformulación de su expresión, [ver 29], para adaptarla
a nuestros propósitos. A partir de la expresión general de la curva
𝑎
𝑓(𝑡) =
(1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝{−𝑐𝑡})𝑞
con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑞 > 0; 𝑡 ≥ 𝑡0 , y obligando a que 𝑓(𝑡0 ) = 𝑥0 > 0, obtenemos que 𝑎 = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 )𝑞
Luego la expresión queda de la siguiente manera
𝑥(𝑡) = 𝑥0 �
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
con parámetros 𝜃 = (𝑏, 𝑐, 𝑞)𝑇 ∈ Θ = ℝ+ 𝑥ℝ+ 𝑥 ℝ+ , 𝑡 ≥ 𝑡0 >
𝑞
−𝑙𝑛𝑏
𝑐
Comparando con la expresión anterior encontramos las siguientes relaciones entre los parámetros
𝛼
𝑝
⎧𝛽 = 𝑥0 [1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝{−𝑐𝑡0 }]
⎪
⎪
𝑐 = 𝛼𝑝
𝑞 = 1 ⁄𝑝
⎨
𝛼 ⁄𝛽
⎪
⎪ 𝑏 = � 𝑝 − 1� 𝑒 𝑐𝑡0
𝑥0
⎩
Sus características principales son:
1. Estrictamente creciente y acotada. Sigmoidal
2. Presenta un punto de inflexión en
donde
es la cota superior de la curva.
𝑙𝑛 (𝑏𝑞)
𝑞 𝑞
𝑡𝐼 = (
,𝑘�
� )
𝑐
1+𝑞
𝑘 = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 )𝑞
3. Este punto de inflexión cumple 𝑡𝐼 > 𝑡0 ⇔ 𝑏 >
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑒 𝑐𝑡0
𝑞
Página 22
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
4. Verifica la ecuación
𝑥´(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)
con
ℎ(𝑡) =
𝑏𝑐𝑞
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
Curva Richards para valores de los parámetro c=1,2; b=10 y q=1/3 y distintos instantes iniciales
En el siguiente gráfico, para valores constantes de los parámetros c=1.2 y q=3 con instante inicial
x(0)=1, podemos observar que cuando b=0.3 el punto de inflexión queda antes de 𝑡0 , y cuando b=1 se
observa después.
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 23
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Capítulo 3. Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso
lognormal no homogéneo
Como hemos visto en el capítulo anterior, todas las curvas obedecían una ecuación diferencial
ordinaria común de la forma 𝑓´(𝑡) = 𝑓(𝑡)ℎ(𝑡). Esto nos permite definir un proceso de difusión
lognormal no homogéneo, con función media 𝑓(𝑡), y utilizarlo para modelizar patrones de
comportamiento asociados a dichas curva. En este capítulo, desarrollaremos esta teoría, y daremos
ejemplos de distintos procesos de difusión no homogéneos asociados a cada tipo de curva.
Por un lado, tenemos que la función media y media condicionada de nuestro proceso con
distribución inicial 𝑋0 , 𝑚(𝑡) 𝑦 𝑚(𝑡|𝑡0 ), verifican la ecuación ordinaria diferencial siguiente
𝑑𝑥(𝑡)
= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
que como ya dijimos puede ser vista como una generalización del modelo malthusiano con tasa de
fertilidad ℎ(𝑡), es decir,
�
𝑚´(𝑡) = 𝑚(𝑡)ℎ(𝑡)
𝑚´(𝑡|𝑡0 ) = 𝑚(𝑡|𝑡0 )ℎ(𝑡)
Esta propiedad hace que el proceso de difusión definido por la ecuación diferencial estocástica
𝑑𝑋(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑋(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
�
𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0
permita modelar varios patrones de comportamiento (concretamente aquellos que muestran
comportamientos ajustados por 𝑚(𝑡)). Además, la función 𝑚(𝑡|𝑡0 ) permite considerar situaciones en
las cuales las propiedades de la función media puedan depender del valor inicial.
A continuación, se presenta una familia de curvas de crecimiento verificando la anterior
ecuación diferencial ordinaria, para las que es posible definir casos particulares de procesos de difusión
lognormales no homogéneos asociados con cada curva. Además, en todos los casos se tiene que la
función media (condicionada al valor inicial) de cada proceso coincide con la curva correspondiente
Sea 𝑓𝜃 (𝑡) una función positiva en un intervalo [𝑡0 , +∞) verificando:
a) Es continua, acotada y diferenciable
b) Depende del parámetro 𝜃 = (𝜃1 , … , 𝜃𝑘 )´ ∈ Θ, siendo Θ el espacio paramétrico asociado.
c) 𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑘(𝜃)𝑔𝜃 (𝑡) con lim𝑡→+∞ 𝑔𝜃 (𝑡) = 1
d) 𝑓´𝜃 (𝑡) = 𝑓𝜃 (𝑡)ℎ𝜃 (𝑡) con ℎ𝜃 (𝑡) una función continua y acotada en [𝑡0 , +∞)
e) 𝑓𝜃 (𝑡) tiene al menos un punto de inflexión (en este trabajo trataremos aquellas curvas que
presentan un único punto de inflexión)
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 24
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Notemos que la condición d) nos permite considerar un proceso de difusión lognormal no
homogéneo del tipo
𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑋0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�)
2
cuya función media (o media condicionada) tiene un patrón de comportamiento asociado a la función
𝑓𝜃 (𝑡). Para ello debemos considerar
ℎ𝜃 (𝑡) =
𝑓´𝜃 (𝑡) 𝑔´𝜃 (𝑡)
=
𝑓𝜃 (𝑡)
𝑔𝜃 (𝑡)
Además se considerará el caso de que el valor del límite de 𝑓𝜃 (𝑡) cuando 𝑡 → +∞, depende del
valor inicial (un razonamiento similar se puede hacer si depende de otro valor de la curva). Luego, si
𝑓𝜃 (𝑡0 ) = 𝑥0 = 𝑘(𝜃)𝑔𝜃 (𝑡)
se puede escribir
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0
Otras características de la curva son:
𝑔𝜃 (𝑡)
𝑔𝜃 (𝑡0 )
- Los intervalos de crecimiento dependen del signo de ℎ𝜃 (𝑡)
- Los instantes en los que se alcanzan los puntos de inflexión son las soluciones de la ecuación
ℎ𝜃2 (𝑡) + ℎ𝜃´ (𝑡) = 0
Pasamos ya, a plantear determinados procesos de difusión no homogéneos asociados a las
curvas Gompertz, logística, Bertalanffy y Richards.
3.1. Proceso de difusión tipo Gompertz
Este proceso asociado a la curva Gompertz
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 �
𝑚 −𝛽𝑡
�𝑒 0 − 𝑒 −𝛽𝑡 ��
𝛽
con parámetros 𝜃 = (𝑚, 𝛽)𝑇 ∈ Θ = ℝ+ 𝑥ℝ+ , 𝑡 ≥ 𝑡0 > 0, es una difusión definida en ℝ+ y con
momentos infinitesimales 𝐴1 (𝑥, 𝑡) = 𝑚𝑒 −𝛽𝑡 𝑥;
proceso de difusión lognormal no homogénea con
𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2, es decir, es un caso particular del
ℎ𝜃 (𝑡) = 𝑚𝑒 −𝛽𝑡
Luego sus trayectorias serán de la forma
𝜎2
𝑚 −𝛽𝑡
�𝑒 0 − 𝑒 −𝛽𝑡 � − (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )��
2
𝛽
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙ exp �
con asíntota de la forma
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑚
𝑘(𝜃) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 ( �𝑒 −𝛽𝑡0 �
𝛽
Página 25
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
La función de probabilidad de transición del proceso es
2
𝜎2
𝑥 𝑚
�𝑙𝑛 𝑦 + �𝑒 −𝛽𝑡 − 𝑒 −𝛽𝑠 � + 2 (𝑡 − 𝑠)�
1
𝛽
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
exp (−
,𝑡 > 𝑠
2
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 (𝑡 − 𝑠)
que se corresponde con una distribución lognormal
[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦]~𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 −
𝜎2
𝑚 −𝛽𝑡
− 𝑒 −𝛽𝑠 � − (𝑡 − 𝑠); 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)� , 𝑡 > 𝑠
�𝑒
2
𝛽
Utilizando que el proceso es de Markov y que la distribución inicial 𝑋0 ~Λ1 (𝜇0 , 𝜎02 ), se deduce
que las distribuciones finito-dimensionales son lognormales. En concreto, la distribución
unidimensional y bidimensional siguen las siguientes distribuciones
Para 𝑡, 𝑠 > 𝑡0
𝑋(𝑡)~𝛬1 [𝜇0 −
𝜎2
𝑚 −𝛽𝑡
− 𝑒 −𝛽𝑡0 � − (𝑡 − 𝑡0 ); 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )]
�𝑒
2
𝛽
2
⎡ 𝜇 + 𝑚 �𝑒 −𝛽𝑡 − 𝑒 −𝛽𝑡0 � − 𝜎 (𝑡 − 𝑡 )
0
0
⎞ 2
𝑡−𝑡
𝑋(𝑡)
2
𝛽
⎢⎛
�
� ~Λ2 ⎢⎜
; 𝜎0 𝐼2 + 𝜎 2 �𝑡 ∧ 𝑠 −0𝑡
2
⎟
𝑋(𝑠)
𝜎
𝑚
0
⎢ 𝜇0 + �𝑒 −𝛽𝑠 − 𝑒 −𝛽𝑡0 � − (𝑠 − 𝑡0 )
2
𝛽
⎣⎝
⎠
Las características principales en este caso son:
⎤
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ⎥
𝑠 − 𝑡0 �⎥,
⎥
⎦
Función media
Función moda
𝑚
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡0 )]𝑒𝑥𝑝 ( �𝑒 −𝛽𝑡0 − 𝑒 −𝛽𝑡 �), 𝑡 ≥ 𝑡0
𝛽
𝑚 −𝛽𝑡
3𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑡 ≥ 𝑡0
�𝑒 0 − 𝑒 −𝛽𝑡 �� 𝑒𝑥𝑝 (−
𝛽
2
𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡0 )]𝑒𝑥𝑝 �
Función cuantil de orden 𝛼
𝑚 −𝛽𝑡
𝜎2
�𝑒 0 − 𝑒 −𝛽𝑡 �� 𝑒𝑥𝑝 �− (𝑡 − 𝑡0 )
𝛽
2
𝐶𝛼 (𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙[𝑋(𝑡0 )]𝑒𝑥𝑝 �
+ 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )� − �𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )���
con 𝑧𝛼 el 𝛼-ésimo cuantil de una normal estándar
En cuanto a las expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠 , se tiene:
Función media condicionada:
𝑚 −𝛽𝑠
− 𝑒 −𝛽𝑡 �� , 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
�𝑒
𝛽
𝑚(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �
Función moda condicionada:
𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �
José Antonio Anguita Izquierdo
3𝜎 2
𝑚 −𝛽𝑠
− 𝑒 −𝛽𝑡 � − (𝑡 − 𝑠)
�𝑒
� , 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
2
𝛽
Página 26
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Función cuantil condicionada de orden alfa:
𝜎2
𝑚 −𝛽𝑠
− 𝑒 −𝛽𝑡 �� 𝑒𝑥𝑝 �− (𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)�� 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0
�𝑒
2
𝛽
𝐶𝛼 (𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 𝑒𝑥𝑝 �
Otras características:
Momentos de orden 𝑛:
𝐸[𝑋(𝑡)𝑛 ] = 𝐸[𝑋(𝑡0 )𝑛 ]𝑒𝑥𝑝 �
Función Varianza:
𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = 𝑒𝑥𝑝 �
Función Covarianza
2𝑚 −𝛽𝑡
2
2
�𝑒 0 − 𝑒 −𝛽𝑡) �� �𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0 )]𝑒 𝜎 (𝑡−𝑡0 ) + 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�𝑒 𝜎 (𝑡−𝑡0 ) − 1��, 𝑡 ≥ 𝑡0
𝛽
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡), 𝑋(𝑠)]
2
= 𝑒 2𝜇0 +𝜎0 𝑒𝑥𝑝 �
Si 𝑠 < 𝑡:
𝑛𝑚 −𝛽𝑠
𝑛𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 )(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0
− 𝑒 −𝛽𝑡 � +
�𝑒
𝛽
2
≥ 𝑡0
𝑚
�2𝑒 −𝛽𝑡0 − 𝑒 −𝛽𝑡 − 𝑒 −𝛽𝑠) �� [𝑒𝑥𝑝(𝜎 2 (𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ) + 𝜎02 ) − 1], 𝑠, 𝑡
𝛽
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)]𝑒𝑥𝑝 �
𝑚 −𝛽𝑠
− 𝑒 −𝛽𝑡) ��
�𝑒
𝛽
3.2. Proceso de difusión tipo von Bertalanffy
El proceso de difusión relacionado con la curva von Bertalanffy
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 �
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
𝑏
con parámetros 𝜃 = (𝑐, 𝑘, 𝑏)𝑇 ∈ Θ = ℝ+ 𝑥ℝ+ 𝑥 [1, +∞), 𝑡 ≥ 𝑡0 >
de difusión lognormal no homogéneo considerando
Luego posee los momentos infinitesimales
𝐴1 (𝑥, 𝑡) =
𝑏𝑐𝑘
𝑥;
𝑒 𝑘𝑡 −𝑐
ℎ𝜃 (𝑡) =
𝑙𝑛𝑐
,
𝑘
es un caso particular del proceso
𝑏𝑐𝑘
𝑒 𝑘𝑡 − 𝑐
𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2 , y toma valores en ℝ+ .
La distribución de probabilidad del proceso, determinado por las distribuciones finito-
dimensionales, puede obtenerse a partir de la teoría de las ecuaciones diferenciales estocásticas,
aplicada a la ecuación
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 27
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
�
𝑑𝑋(𝑡) =
𝑏𝑐𝑘
𝑋(𝑡)𝑑𝑡
𝑒 𝑘𝑡 −𝑐
+ 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
, 𝜎 > 0,
𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0
cuya solución nos proporciona las trayectorias del proceso
1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡
con asíntotas
𝑏
𝜎2
(𝑡
2
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙ �1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 � 𝑒𝑥 𝑝 �−
𝑘(𝜃) =
− 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�� , 𝑡 ≥ 𝑡0 ,
𝑥0
(1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 )𝑏
La función de distribución del proceso es
2
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝜎2
𝑥
−
𝑏𝑙𝑛
�
�
+
(𝑡 − 𝑠)� ⎞
�𝑙𝑛
1
⎛
2
𝑦
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑠
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
exp ⎜−
⎟ ,𝑡 > 𝑠
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
⎝
que corresponde a una distribución lognormal de la forma
[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦]~𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 + 𝑏𝑙𝑛 �
⎠
𝜎2
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
(𝑡 − 𝑠); 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)� , 𝑡 > 𝑠
−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑠
2
Análogamente a lo planteado para el proceso tipo Gompertz, las distribuciones unidimensional
y bidimensional serán
Para 𝑡, 𝑠 > 𝑡0
𝑋(𝑡)~𝛬1 [𝜇0 + 𝑏𝑙𝑛 �
𝜎2
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
(𝑡 − 𝑡0 ); 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )]
−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
𝜎2
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
⎡ 𝜇0 + 𝑏𝑙𝑛 �
(𝑡 − 𝑡0 )
−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
⎞ 2
𝑡−𝑡
𝑋(𝑡)
⎢⎛
� ~Λ2 ⎢⎜
�
; 𝜎0 𝐼2 + 𝜎 2 �𝑡 ∧ 𝑠 −0𝑡
⎟
−𝑘𝑠
2
𝑋(𝑠)
0
𝜎
1 − 𝑐𝑒
⎢ 𝜇0 + 𝑏𝑙𝑛 �
� − (𝑠 − 𝑡0 )
−𝑘𝑡
0
1 − 𝑐𝑒
2
⎣⎝
⎠
En general, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 , se tendrá que
⎤
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ⎥
𝑠 − 𝑡0 �⎥
⎥
⎦
�𝑋(𝑡1 ), 𝑋(𝑡2 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 )�´ ∼ Λ 𝑛 (𝜇, Σ)
donde las componentes del vector 𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )´ y 𝛴 = �𝜎𝑖𝑗 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 con
𝜇𝑖 = 𝜇0 + 𝑏𝑙𝑛 �
𝜎2
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡𝑖
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛
−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2 𝑖
𝜎𝑖𝑗 = 𝜎02 + 𝜎 2 �𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 } − 𝑡0 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛
Las características principales del proceso son:
Función media:
𝑏
Función moda:
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡0 )] �
� , 𝑡 ≥ 𝑡0
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 28
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
3𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡0 )] �
𝑒𝑥𝑝
(−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
Función cuantil de orden 𝛼 :
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 )
𝑒𝑥𝑝
𝐶𝛼 (𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙[𝑋(𝑡0 )] �
�
�−
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
+ 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )� − �𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )���
con 𝑧𝛼 el 𝛼-ésimo cuantil de una normal estándar
En cuanto a las expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠 , se tiene:
Función media condicionada
𝑏
Función moda condicionada:
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑚(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
� ,𝑡 > 𝑠
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑠
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
3𝜎 2
𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
𝑒𝑥𝑝
−
𝑠)
�
�,𝑡 > 𝑠
�−(𝑡
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
Función cuantil condicionada de orden alfa:
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝜎2
(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)�� 𝑡 > 𝑠
𝐶𝛼 (𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
𝑒𝑥𝑝
�
�−
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
Otras características, para t y s cualesquiera:
Momentos de orden 𝑛:
𝐸[𝑋(𝑡)𝑛 ] = 𝐸[𝑋(𝑡0 )𝑛 ] �
Función Varianza:
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = �
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2𝑏
Función Covarianza
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
𝑛𝑏
�𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0 )]𝑒 𝜎
𝑛𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 )(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥𝑝 �
2
2 (𝑡−𝑡
𝑏
0)
+ 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�𝑒 𝜎
2 (𝑡−𝑡
0)
− 1��, 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑠
2
2
2
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡), 𝑋(𝑠)] = �
�
�
� 𝑒 2𝜇0 +𝜎0 �𝑒 𝜎 (𝑡∧𝑠−𝑡0 )+𝜎0 − 1�, 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0
−𝑘𝑡
−𝑘𝑡
0
0
1 − 𝑐𝑒
1 − 𝑐𝑒
Si 𝑠 < 𝑡:
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)] �
José Antonio Anguita Izquierdo
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑠
𝑏
Página 29
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
3.3. Proceso de difusión tipo Richards
El proceso de difusión relacionado con la curva Richards
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 �
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
con parámetros 𝜃 = (𝑏, 𝑐, 𝑞)𝑇 ∈ Θ = ℝ+ xℝ+ x ℝ+ , 𝑡 ≥ 𝑡0 >
difusión lognormal no homogéneo considerando
Luego posee los momentos infinitesimales
ℎ𝜃 (𝑡) =
𝐴1 (𝑥, 𝑡) =
Las trayectorias del proceso son
𝑞
𝑞
−𝑙𝑛𝑏
,
𝑐
es un caso particular del proceso de
𝑏𝑐𝑞
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
𝑏𝑐𝑞
𝑥
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2 .
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�� , 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥
𝑝
�−
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙ �
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
con asíntotas
𝑘(𝜃) = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 )𝑞
La función de distribución del proceso es
2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
𝜎2
𝑥
−
𝑞𝑙𝑛
�
�
+
�𝑙𝑛
1
⎛
2 (𝑡 − 𝑠)� ⎞
𝑦
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
𝑒𝑥𝑝 ⎜−
⎟,𝑡 > 𝑠
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
⎝
que corresponde a una distribución lognormal de la forma
[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦]~𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 + 𝑞𝑙𝑛 �
⎠
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
� − (𝑡 − 𝑠); 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)� , 𝑡 > 𝑠
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Las distribuciones unidimensional y bidimensional serán
Para 𝑡, 𝑠 > 𝑡0
𝑋(𝑡)~𝛬1 [𝜇0 + 𝑞𝑙𝑛 �
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 ); 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )]
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
⎡ 𝜇0 + 𝑞𝑙𝑛 �
(𝑡 − 𝑡0 )
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
⎞ 2
𝑡 − 𝑡0
𝑋(𝑡)
⎢⎛
2
�
� ~Λ2 ⎢⎜
;
𝜎
𝐼
+
𝜎
�
2
0
−𝑐𝑡
2
⎟
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0
𝑋(𝑠)
𝜎
1 + 𝑏𝑒 0
⎢ 𝜇0 + 𝑞𝑙𝑛 �
� − (𝑠 − 𝑡0 )
−𝑐𝑠
1 + 𝑏𝑒
2
⎣⎝
⎠
José Antonio Anguita Izquierdo
⎤
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ⎥
𝑠 − 𝑡0 �⎥
⎥
⎦
Página 30
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
En general, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 , se tendrá que
�𝑋(𝑡1 ), 𝑋(𝑡2 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 )�´ ∼ Λ 𝑛 (𝜇, Σ)
donde las componentes del vector 𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )´ y 𝛴 = �𝜎𝑖𝑗 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 con
𝜇𝑖 = 𝜇0 + 𝑞𝑙𝑛 �
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡𝑖
2 𝑖
𝜎𝑖𝑗 = 𝜎02 + 𝜎 2 �𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 } − 𝑡0 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛
Las características principales del proceso son:
Función media:
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡0 )] �
� , 𝑡 ≥ 𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
Función moda:
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
3𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡0 )] �
𝑒𝑥𝑝
(−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Función cuantil de orden 𝛼 :
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 )
𝐶𝛼 (𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙[𝑋(𝑡0 )] �
𝑒𝑥𝑝
�
�−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
+ 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )� − �𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )���
con 𝑧𝛼 el 𝛼-ésimo cuantil de una normal estándar
En cuanto a las expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠 , se tiene:
Función media condicionada:
Función moda condicionada:
𝑚(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
� ,𝑡 > 𝑠
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
3𝜎 2
𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
𝑒𝑥𝑝
−
𝑠)
�
�,𝑡 > 𝑠
�−(𝑡
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Función cuantil condicionada de orden alfa:
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)�� 𝑡 > 𝑠
𝐶𝛼 (𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠 �
𝑒𝑥𝑝
�
�−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Otras características, para t y s cualesquiera:
Momentos de orden 𝑛:
𝑛]
𝐸[𝑋(𝑡)
Función Varianza:
𝑛]
= 𝐸[𝑋(𝑡0 )
José Antonio Anguita Izquierdo
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
�
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
𝑛𝑞
𝑛𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 )(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥𝑝 �
2
Página 31
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
2𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = �
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
Función Covarianza
�𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0 )]𝑒 𝜎
2 (𝑡−𝑡
0)
+ 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�𝑒 𝜎
𝑞
2 (𝑡−𝑡
0)
− 1��, 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑞
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
2
2
2
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡), 𝑋(𝑠)] = �
�
�
� 𝑒 2𝜇0 +𝜎0 �𝑒 𝜎 (𝑡∧𝑠−𝑡0 )+𝜎0 − 1�, 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0
−𝑐𝑡
−𝑐𝑠
1 + 𝑏𝑒
1 + 𝑏𝑒
Si 𝑠 < 𝑡:
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)] �
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
𝑞
3.4. Proceso de difusión tipo logístico
El proceso de difusión relacionado con la curva Richards
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
con parámetros 𝜃 = (𝑏, 𝑐)𝑇 ∈ Θ = ℝ+ 𝑥ℝ+ , 𝑡 ≥ 𝑡0 >
lognormal no homogéneo considerando
Luego posee los momentos infinitesimales
𝐴1 (𝑥, 𝑡) =
ℎ𝜃 (𝑡) =
𝑏𝑐
𝑥
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
−𝑙𝑛𝑏
,
𝑐
es un caso particular del proceso de difusión
𝑏𝑐
𝑏 + 𝑒 𝑐𝑡
𝐴2 (𝑥) = 𝜎 2 𝑥 2
Las trayectorias del proceso serán en este caso
con asíntotas
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�� , 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥
𝑝
�−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
𝑘(𝜃) = 𝑥0 (1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0 )
Su correspondiente función de distribución del proceso será
2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
𝜎2
𝑥
−
𝑙𝑛
�
�
+
�𝑙𝑛
1
2 (𝑡 − 𝑠)�
𝑦
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
exp (−
,𝑡 > 𝑠
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
𝑥�2𝜋𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
que corresponde a una distribución lognormal de la forma
[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦]~𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 + 𝑞𝑙𝑛 �
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
(𝑡 − 𝑠); 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)� , 𝑡 > 𝑠
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Las distribuciones unidimensional y bidimensional serán
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 32
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑋(𝑡)~𝛬1 [𝜇0 + 𝑙𝑛 �
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 ); 𝜎02 + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 )]
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Para 𝑡, 𝑠 > 𝑡0
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
⎡ 𝜇0 + 𝑙𝑛 �
� − (𝑡 − 𝑡0 )
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
⎞ 2
𝑡 − 𝑡0
𝑋(𝑡)
⎢⎛
2
�
� ~Λ 2 ⎢⎜
−𝑐𝑡
2
⎟ ; 𝜎0 𝐼2 + 𝜎 �𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0
𝑋(𝑠)
𝜎
1 + 𝑏𝑒 0
⎢ 𝜇0 + 𝑙𝑛 �
� − (𝑠 − 𝑡0 )
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
2
⎣⎝
⎠
En general, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 , se tendrá que
⎤
𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 ⎥
𝑠 − 𝑡0 �⎥
⎥
⎦
�𝑋(𝑡1 ), 𝑋(𝑡2 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 )�´ ∼ Λ 𝑛 (𝜇, Σ)
donde las componentes del vector 𝜇 = (𝜇1 , … , 𝜇𝑛 )´ y 𝛴 = �𝜎𝑖𝑗 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 con
𝜇𝑖 = 𝜇0 + 𝑙𝑛 �
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛
−
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡𝑖
2 𝑖
𝜎𝑖𝑗 = 𝜎02 + 𝜎 2 �𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 } − 𝑡0 �, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛
Las características principales del proceso son:
Función media:
𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡0 )]
Función moda:
𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡0 )]
Función cuantil de orden 𝛼 :
𝐶𝛼 (𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙[𝑋(𝑡0 )]
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
, 𝑡 ≥ 𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
3𝜎 2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 ), 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥𝑝
(−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑡0 )
𝑒𝑥𝑝
�−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
+ 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )� − �𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0 )���
con 𝑧𝛼 el 𝛼-ésimo cuantil de una normal estándar
En cuanto a las expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠 , se tiene:
Función media condicionada:
𝑚(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠
Función moda condicionada:
𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
,𝑡 > 𝑠
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
3𝜎 2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑒𝑥𝑝
−
𝑠)
�,𝑡 > 𝑠
�−(𝑡
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
Función cuantil condicionada de orden alfa:
𝐶𝛼 (𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠
𝜎2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 ��𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)�� 𝑡 > 𝑠
𝑒𝑥𝑝
�−
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 33
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Otras características, para t y s cualesquiera:
Momentos de orden 𝑛:
𝑛]
𝐸[𝑋(𝑡)
Función Varianza:
𝑛]
= 𝐸[𝑋(𝑡0 )
𝑛
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑛𝜎 2
(𝑡 − 𝑡0 )(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒𝑥𝑝
�
�
�
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
2
2
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
2
2
𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = �
� �𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0 )]𝑒 𝜎 (𝑡−𝑡0 ) + 𝐸 2 [𝑋(𝑡0 )]�𝑒 𝜎 (𝑡−𝑡0 ) − 1��, 𝑡 ≥ 𝑡0
−𝑐𝑡
1 + 𝑏𝑒
Función Covarianza
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡), 𝑋(𝑠)] = �
Si 𝑠 < 𝑡:
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
2
2
2
�
�
� 𝑒 2𝜇0 +𝜎0 �𝑒 𝜎 (𝑡∧𝑠−𝑡0 )+𝜎0 − 1�, 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)]
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑠
1 + 𝑏𝑒 −𝑐𝑡
Página 34
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Capítulo 4. Simulación de los procesos
La simulación de trayectorias de la muestra para un proceso lognormal no homogénea puede ser
abordado de las siguientes maneras:
I)
Mediante la aplicación de las trayectorias de los proceso
𝑡
𝑋(𝑡) = exp (𝑌(𝑡) = 𝑋0 ∙ exp �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢 −
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )��)
2
con 𝑋0 una distribución degenerada (𝑃[𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0 ] = 1) o 𝑋0 ~Λ1 (𝜇0 , 𝜎02 ),simulando las trayectorias
de la muestra de un proceso Wiener estándar.
II) Resolviendo la ecuación diferencial estocástica
utilizando métodos numéricos
𝑑𝑋(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑋(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
�
𝑋(𝑡0 ) = 𝑋0
En este trabajo nos centraremos en la primera forma, por lo que comenzaremos simulando una
trayectoria de tamaño n del proceso Wiener, que consistirá en generar un vector de tamaño n tal que:
-Su primer valor es cero
-Como 𝑊(𝑡 + ℎ) − 𝑊(𝑡0 ) = 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 ) + 𝑊(𝑡 + ℎ) − 𝑊(𝑡) y el proceso Wiener es de
incrementos independientes, se calcula 𝑤𝑖 = 𝑤𝑖−1 + 𝑧𝑖 , 𝑖 = 2, … , 𝑛, donde 𝑧𝑖 es un número aleatorio
generado de una normal de media cero y varianza h. Los valores de las trayectorias, 𝑥𝑖 , de X(t) serán:
𝑥1 = 𝑥0
𝑡
𝑥𝑖 = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢� 𝑒𝑥𝑝 �
𝑡0
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎𝑤𝑖 �
2
A continuación, generaremos trayectorias para cada proceso de difusión concreto,
representando sus gráficas para distintos valores del parámetro sigma, así como de sus respectivas
funciones media. Con ello visualizaremos si nuestros procesos se adaptan bien a dichas medias y
pueden ser utilizados para su modelización. Además, se representan estos procesos para los casos cuya
distribución inicial es degenerada y lognormal
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 35
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Proceso de difusión tipo Gompertz
Las trayectorias de este proceso son
𝜎2
𝑚
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 ( �𝑒 −𝛽𝑡0 − 𝑒 −𝛽𝑡 � − (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�)
2
𝛽
Mostramos las gráficas de 10 trayectorias simuladas de este proceso, con 101 datos cada una
(de 0 a 10, con paso 0´1), para el caso de una distribución inicial degenerada y lognormal. Los
parámetros utilizados son 𝑚 = 1; 𝛽 = 0´5, mientras que la varianza cambia para cada gráfico.
Respecto a la distribución inicial, en el cado degenerado se ha tomado 𝑥0 = 1, mientras que para el caso
lognormal, 𝑋0 ~Λ1 (1´5,0´3).
Distribución inicial degenerada
Distribución inicial lognormal
Trayectorias simuladas con sig
30
Trayectorias
5
1
2
10
3
20
4
Trayectorias
6
7
40
8
T rayectorias simuladas con sig
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Tiempo
Tiempo
Proceso Gompertz con sigma
40
trayectorias
10
2
20
4
trayectorias
30
6
50
8
60
Proceso Gompertz con sigma 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
tiempo
6
8
10
tiempo
T rayectorias simuladas con sig
60
Trayectorias
8
0
2
20
4
40
6
Trayectorias
80
10
100
12
Trayectorias simuladas con si
0
2
4
6
Tiempo
José Antonio Anguita Izquierdo
8
10
0
2
4
6
8
10
Tiempo
Página 36
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Proceso de difusión tipo Bertalanffy
𝑏
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝜎2
(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝜎�𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑡0 )�)
𝑋(𝑡) = 𝑥0 ∙ �
𝑒𝑥𝑝
(−
�
1 − 𝑐𝑒 −𝑘𝑡0
2
A continuación, se muestran las gráficas de 50 trayectorias simuladas de este proceso, con 501
datos cada una (de 0 a 10, con paso 0´1), para el caso de una distribución inicial degenerada y
lognormal. Los parámetros utilizados son 𝑏 = 200; 𝑐 = 0´25, mientras que la varianza cambia para
cada gráfico. Respecto a la distribución inicial, en el cado degenerado se ha tomado 𝑥0 = 5, mientras
que para el caso lognormal, 𝑋0 ~Λ1 (1,5; 0,3).
Distribución inicial degenerada
Distribución inicial lognormal
Proceso Bertalanffy con sigma
0
0
50
100
trayectorias
100
50
trayectorias
150
150
Proceso Bertalanffy con sigm
0
10
20
30
40
0
50
10
20
30
40
50
Proceso Bertalanffy con sigma
400
300
trayectorias
0
0
100
50
200
100
trayectorias
150
500
200
600
Proceso Bertalanffy con sigma 0.0
0
10
20
30
40
0
50
10
20
Proceso Bertalanffy con sigma
30
40
50
1000
1500
trayectorias
300
0
0
500
100
200
trayectorias
400
2000
500
Proceso Bertalanffy con sigma
0
10
20
30
40
50
0
José Antonio Anguita Izquierdo
10
20
30
40
50
Página 37
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Proceso de difusión tipo Richards
Distribución inicial degenerada
Distribución inicial lognormal
Proceso Richards con sigma 0
600
trayectorias
0
0
200
200
400
400
trayectorias
800
600
1000
1200
Proceso Richards con sigma 0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
Proceso Richards con sigma 0.0
40
50
800
trayectorias
0
0
200
200
400
400
600
1000
1000
1200
1200
1400
Proceso Richards con sigma 0
600
800
trayectorias
30
0
10
20
30
40
50
0
10
20
Proceso Richards con sigma 0
30
40
50
2000
trayectorias
0
0
500
500
1000
1000
1500
2000
1500
trayectorias
2500
2500
3000
3000
3500
Proceso Richards con sigma 0
0
10
20
30
40
50
0
José Antonio Anguita Izquierdo
10
20
30
40
50
Página 38
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
Proceso de difusión tipo logística
Distribución inicial degenerada
Distribución inicial lognormal
Proceso logistico con sigma 0.
4000
trayectorias
0
0
1000
200
2000
3000
600
400
trayectorias
800
5000
1000
6000
1200
Proceso logistico con sigma 0.
0
10
20
30
40
50
0
10
20
Proceso logistico con sigma 0.0
30
40
50
4000
trayectorias
1000
0
2000
500
trayectorias
6000
1500
Proceso logistico con sigma 0.0
10
20
30
40
50
0
0
0
10
20
30
40
50
Proceso logistico con sigma 0.
30000
trayectorias
0
0
10000
20000
2000
1000
trayectorias
3000
40000
Proceso logistico con sigma 0.
0
10
20
30
40
50
0
José Antonio Anguita Izquierdo
10
20
30
40
50
Página 39
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Capítulo 5. Inferencia en los procesos
5.1. Planteamiento general
En este capítulo abordaremos la estimación máxima verosimilitud en procesos de difusión. Para
ello consideraremos el caso de muestreo discreto, es decir, supondremos que se dispone de
observaciones del proceso en instantes de tiempo 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 en los cuales se observan las variables
𝑋(𝑡1 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 ) cuyos valores observados constituirán la muestra base del estudio inferencial.
El procedimiento que se seguirá está basado en el método de estimación por máxima
verosimilitud. Para ello será necesario conocer la distribución conjunta de la muestra observada, lo cual
conlleva conocer las distribuciones finito-dimensionales del proceso.
Además, en nuestro caso, y como los procesos de difusión son procesos de Markov, nos permite
que a partir de la distribución inicial del proceso y las transiciones se tengan cualquier distribución
finito-dimensional y, con ello, podamos aplicar la teoría de estimación máximo verosímil.
Sea {𝑋(𝑡); 𝑡 ≥ 𝑡0 } un proceso de difusión, del cual conocemos sus distribuciones
unidimensionales y transiciones, y para el cual es posible realizar observaciones del mismo en instantes
de tiempo prefijados. Sean 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 dichos instantes de tiempo y llamemos 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 a los valores
observados, con 𝑥𝑘 = 𝑋(𝑡𝑘 ) realizaciones del proceso.
Notemos 𝑓1 y 𝑓 a la densidad de la variable 𝑋(𝑡1 ) y a la función de densidad de transición,
respectivamente, y sean 𝜃1 y 𝜃 los parámetro asociados a ambas. Así, la función de verosimilitud de la
muestra observada 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )´ es
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=2
𝕃𝑥 (𝜃1 , 𝜃) = � 𝑓1 (𝑥𝑖1 ) ∙ � 𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 �
a partir de la cual se obtendrán los estimadores máximo verosímiles de 𝜃1 y 𝜃. En concreto, asociadas a
la muestra observada x, se tendrán las estimaciones 𝜃�1 = 𝜃�1 (𝑥) y 𝜃� = 𝜃�(𝑥), tales que
𝕃𝑥 �𝜃�1 , 𝜃�� =
𝑆𝑢𝑝
𝜃1 ,𝜃 𝕃𝑥 (𝜃1 , 𝜃)
Para el caso de una trayectoria con distribución inicial degenerada, es decir, 𝑃[𝑋(𝑡1 ) = 𝑥1 ] =
1, la función de verosimilitud queda
que depende sólo del parámetro 𝜃.
𝑛
𝕃𝑥 (𝜃) = � 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑡𝑖 |𝑥𝑖−1 , 𝑡𝑖−1 )
𝑖=2
En otras ocasiones disponemos de información sobre d trayectorias, observadas en instantes de
tiempo 𝑡𝑖𝑗 ; 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑖 . Para este caso, no es necesario que los instantes de observación sean los
mismos para cada trayectoria, si bien el instante inicial conviene que sí lo sea, ya que hay que imponer
una distribución inicial. Así pues, consideremos que 𝑡𝑖1 = 𝑡1 ; 𝑖 = 1, … , 𝑑. Llamando �𝑥𝑖𝑗 �, 𝑖 =
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 40
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
1, … , 𝑑; 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑖 a los valores observados, y xal vector conteniendo dichos valores, la función de
verosimilitud queda en este caso
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=2
𝕃𝑥 (𝜃1 , 𝜃) = � 𝑓1 (𝑥𝑖1 ) ∙ � 𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 �.
En este caso, si la distribución inicial es degenerada, dicha función será
𝑛𝑖
𝑑
𝕃𝑥 (𝜃) = � � 𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 �
𝑖=1 𝑗=2
A continuación, es usual considerar el logaritmo de dichas funciones, para calcular el estimador
máximo verosímil. Nos centraremos en el caso de d trayectorias con distribución inicial no degenerada,
quedando
𝑑
𝑑
𝑛𝑖
𝑙𝑜𝑔�𝕃𝑥 (𝜃1 , 𝜃)� = � 𝑙𝑜𝑔�𝑓1 (𝑥𝑖1 )� + � � log �𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 ��
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1
con lo que, en el caso de que 𝜃1 y 𝜃 sean independientes, las estimaciones de ambos también lo serán.
En tal caso, para la estimación de 𝜃1 sólo se considera la información del instante inicial de
observación, mientras que la estimación de 𝜃 coincide en el caso de distribución inicial degenerada y no
degenerada.
5.2. Inferencia en el proceso lognormal no homogéneo
En este caso, si 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) es la función de densidad de transición del proceso y la distribución
inicial es degenerada, la función de verosimilitud es
𝕃𝑥 (𝜃, 𝜎
2)
𝑑
𝑛𝑖
= � � 𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 �
𝑖=1 𝑗=2
mientras que si 𝑋(𝑡1 )~Λ1 (𝜇0 , 𝜎02 ), entonces
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=2
𝕃𝑥 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜃, 𝜎 2 ) = � 𝑓1 (𝑥𝑖1 ) ∙ � 𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 �
Hacemos notar de nuevo, que la estimación de 𝜇0 y 𝜎02 sólo depende de los valores iniciales de
cada trayectoria muestral, y no influye en la del resto de los parámetros. Por tanto, la estimación
máxima verosímil de 𝜃 y 𝜎 2 son la misma para ambos casos.
A partir de ahora, consideraremos el caso cuando la distribución inicial es lognormal.
La función de densidad de transición es
2
⎧ �𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛 𝑓𝜃 (𝑡) + 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)�
⎪
1
𝑦
𝑓𝜃 (𝑠) 2
exp −
𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =
2
2𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
⎨
𝑥�2𝜋𝜎 (𝑡 − 𝑠)
⎪
⎩
José Antonio Anguita Izquierdo
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
,𝑡 > 𝑠
Página 41
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Tomando logaritmo y considerando 𝑛 = ∑𝑑𝑖=1 𝑛𝑖 , obtenemos
ln (𝕃𝑥 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜃, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑑
1
𝑛−𝑑
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
2
2
2
2𝜎0
𝑛𝑖
𝑑
𝑛𝑖
𝑑
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1 𝑗=2
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗 �
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑙𝑛
+ 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗−1 �
1
− 2��
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
2𝜎
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1 𝑗=2
Para estimar los parámetros 𝜇0 y 𝜎02 :
𝑑
𝑑
1
1
𝜕𝑙𝑛 (𝕃𝑥 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜃, 𝜎 2 ))
= 2 �(𝑙𝑛 (𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ) = 0 ⇒ 𝜇̂ 0 = � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖1 )
𝜕𝜇0
𝑑
𝜎0
𝑖=1
𝑖=1
𝑑
𝑑
(𝑙𝑛 (𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 )2
𝜕𝑙𝑛 (𝕃𝑥 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜃, 𝜎 2 ))
𝑑
1
=
−
+
�
= 0 ⇒ 𝜎�02 = �(𝑙𝑛 (𝑥𝑖1 ) − 𝜇̂ 0 )2
2
2
4
𝑑
2𝜎0
𝜕𝜎0
2𝜎0
𝑖=1
𝑖=1
Sin embargo, la estimación del resto de parámetros plantea algunas dificultades. Normalmente,
los sistemas de ecuaciones resultantes son muy complejos y no tienen una solución explícita, por lo que
se deben usar procedimientos numéricos para encontrar sus soluciones aproximadas. No obstante, las
ecuaciones que se obtienen dependen de los valores muestrales de las trayectorias observadas, y por
tanto, pueden presentar comportamientos imprevisibles, por lo que no se puede garantizar siempre que
los métodos empleados puedan ser utilizados. Por ejemplo, se han descrito casos concretos en los que
métodos como el de Newton-Raphson o el de bisección presentan problemas al no verificarse las
hipótesis que permiten su empleo. Por lo tanto la estimación máximo verosímil de los parámetros debe
abordarse de forma directa maximizando la función de verosimilitud. Una alternativa sería el uso de
procedimientos de optimización estocásticos como Simulated Annealing (SA) o Variable Neighborhood
Search (VNS), algoritmos diseñados para resolver problemas del tipo 𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑤), con 𝑤 ∈ Ω.
En nuestro caso, una vez estimado los parámetros de la distribución inicial 𝜇0 y 𝜎02 , el problema
es maximizar la función
𝑙𝑛 (𝕃𝑋 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜃, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑑
1
𝑛−𝑑
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
2
2
2
2𝜎0
𝑑
𝑛𝑖
𝑑
𝑛𝑖
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1 𝑗=2
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗 �
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑙𝑛
+ 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗−1 �
1
− 2��
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
2𝜎
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1 𝑗=2
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 42
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Dado que los anteriores algoritmos se formulan para problemas de minimización, la función
objetivo que se considerará es
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗 �
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑙𝑛
+ 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗−1 �
𝑛−𝑑
1
�𝑋 (𝜃, 𝜎 2 )) =
𝕃
𝑙𝑛(𝜎 2 ) + 2 � �
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
2
2𝜎
𝑛𝑖
𝑑
𝑖=1 𝑗=2
A continuación, veamos cómo quedan las ecuaciones de verosimilitud para cada proceso de
difusión de los aquí tratados.
5.2.1. Inferencia en el proceso tipo Gompertz
Llamando 𝑎 =
𝑚
𝛽
𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 � =
y 𝑏 = 𝑒 −𝛽 , la función de densidad de transición queda de la siguiente manera
1
𝑥𝑖𝑗 �2𝜋𝜎 2 (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )
exp �−
�𝑙𝑛𝑥
𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
2
2
𝜎
𝑡
𝑡
+𝑎�𝑏 𝑖𝑗 −𝑏 𝑖𝑗−1 �+ (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )�
2
2𝜎 2 �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �
�,𝑡 > 𝑠
Tomando logaritmo queda:
ln (𝕃𝑋𝑖𝑗 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝑎, 𝑏, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
𝑑
1
𝑛
𝑛−𝑑
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
2
2
2
2𝜎0
𝑛𝑖
𝑑
𝑑
𝑛𝑖
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
−
𝑑
𝑛𝑖
1
��
2𝜎 2
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1 𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
+ 𝑎(𝑏𝑡𝑖𝑗 − 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 ) + 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
Ahora derivando respecto de los parámetros e igualando a cero, se obtiene el siguiente sistema
de ecuaciones:
•
•
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
+𝑎�𝑏 𝑖𝑗 −𝑏 𝑖𝑗−1 �+ �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �)2
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑖
(𝑛 − 𝑑)𝜎 2 + 𝜎 2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
�𝑙𝑛
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
•
(𝑙𝑛
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
+ 𝑎(𝑏𝑡𝑖𝑗 − 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 ) +
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
+𝑎�𝑏 𝑖𝑗 −𝑏 𝑖𝑗−1 �+ �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �)2
𝑥𝑖𝑗−1
2
(𝑙𝑛
𝑙𝑛
[𝑏𝑡𝑖𝑗 − 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 ] = 0
𝜎2
�𝑡𝑖𝑗
2
− 𝑡𝑖𝑗−1 �� =
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
+𝑎�𝑏 𝑖𝑗 −𝑏 𝑖𝑗−1 �+ �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
José Antonio Anguita Izquierdo
�𝑡𝑖𝑗 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 − 𝑡𝑖𝑗−1 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 −1 � = 0
Página 43
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
para el que no existe una solución explícita, y por tanto, son necesarios algunos procedimientos
numéricos para encontrar una solución aproximada. En el caso particular de que 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 = ℎ; ∀𝑖 =
1, … , 𝑑; 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑖 (lo más usado en la práctica), las ecuaciones se pueden simplificar:
𝐴3,𝑏 + 𝑎�𝑏 ℎ − 1�𝐴2,𝑏 +
•
2
𝜎2ℎ
𝐴1,𝑏
2
=0
𝐴4,𝑏 + 𝑎2 �𝑏 ℎ − 1� 𝐴2,𝑏 + 2𝑎�𝑏 ℎ − 1�𝐴3,𝑏 −
•
𝐴∗ 3,𝑏 + 𝑎�𝑏 ℎ − 1�𝐴∗ 2,𝑏 +
•
𝜎2ℎ ∗
𝐴 1,𝑏
2
=0
𝜎 4 ℎ2
(𝑛
2
(G1)
− 𝑑) − (𝑛 − 𝑑)𝜎 2 ℎ = 0
(G2)
(G3)
donde
𝑛
𝑖
𝐴1,𝑏 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑏𝑡𝑖𝑗−1 ;
𝐴∗1,𝑏 =
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑡𝑖𝑗−1 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 ;
𝑛
𝑛
𝑖
𝐴2,𝑏 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑏 2𝑡𝑖𝑗−1 ;
𝑥𝑖𝑗
𝑖
𝐴∗ 3,𝑏 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡𝑖𝑗−1 𝑏𝑡𝑖𝑗−1 𝑙𝑛 𝑥
Denotamos
𝐴
𝐶𝑏 = 𝐴1,𝑏
∗
𝐴∗ 3,𝑏 −𝐴∗ 1,𝑏 𝐴3,𝑏
∗
1,𝑏 𝐴2,𝑏 −𝐴1,𝑏 𝐴 2,𝑏
𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖
𝐴3,𝑏 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑏𝑡𝑖𝑗−1 𝑙𝑛 𝑥
𝐴∗ 2,𝑏 =
𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖
𝐴4,𝑏 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛2 𝑥
;
𝐴∗
𝑖𝑗−1
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑡𝑖𝑗−1 𝑏 2𝑡𝑖𝑗−1
𝐴
−𝐴
𝐴∗
𝑖𝑗−1
𝐷𝑏 = 𝐴∗ 2,𝑏 𝐴3,𝑏 −𝐴2,𝑏 𝐴∗ 3,𝑏
;
y después de algunos cálculos, del sistema de ecuaciones se obtiene
1,𝑏 2,𝑏
1,𝑏
2,𝑏
𝐶𝑏
2𝐷𝑏
𝑦 𝜎𝑏2 =
𝑏ℎ − 1
ℎ
y sustituyendo estas expresiones en (G2), aparece la ecuación en b:
𝑎𝑏 =
𝑔(𝑏) = 𝐴4,𝑏 + 𝐴2,𝑏 𝐶𝑏2 + 2𝐴3,𝑏 𝐶𝑏 − (𝑛 − 𝑑)𝐷𝑏2 − 2(𝑛 − 𝑑)𝐷𝑏 = 0
que debe ser tratada por métodos numéricos y cuya solución proporcionará la estimación máxima
verosimilitud de b. Una vez obtenido 𝑏�, el estimador ML de 𝑎 y 𝜎 2 , serán
𝑎� = 𝑎𝑏�
𝜎� 2 = 𝜎𝑏�2
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 44
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
5.2.2. Inferencia en el proceso tipo logístico
1
𝑏
En este caso, si llamamos 𝛾 = 𝑒 −𝑐 y 𝜂 = , y denotamos 𝑛 = ∑𝑑𝑖=1 𝑛𝑖 , la densidad de transición
puede ser escrita como
𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 � =
1
𝑥𝑖𝑗 �2𝜋𝜎 2 (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )
exp �−
�𝑙𝑛𝑥
𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
2
2
𝜎
𝑡
𝑡
−𝑙𝑛��𝜂+𝛾 𝑖𝑗−1 �/�𝜂+𝛾 𝑖𝑗 ��+ (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )�
2
2𝜎 2 �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �
�
Así, el logaritmo de la función de verosimilitud de las muestras es
𝑙𝑛 (𝕃𝑋𝑖𝑗 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝛾, 𝜂, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
𝑑
1
𝑛
𝑛−𝑑
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
2
2
2
2𝜎0
𝑛𝑖
𝑑
𝑑
𝑛𝑖
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
−
𝑑
𝑖=1 𝑗=2
𝑛𝑖
1
��
2𝜎 2
𝑖=1 𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑙𝑛�(𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 )/(𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗 )� + 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
Y las ecuaciones de verosimilitud quedarán en este caso
•
•
•
donde
𝜂,𝛾
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑙𝑛
−𝑇𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
𝜂,𝛾
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝜂,𝛾 𝑊𝑖𝑗
�𝑡 −𝑡
�𝑆
𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑙𝑛
−𝑇𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
𝜂,𝛾
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝜂,𝛾 𝑉𝑖𝑗
�𝑡 −𝑡
�𝑆
𝑖𝑗
𝜎 4 ∑𝑑𝑖=1�𝑡𝑖𝑛𝑖
𝑖𝑗−1
𝑖𝑗
− 𝑡𝑖1 � + 4𝜎
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑙𝑛
𝑇
𝑥𝑖𝑗−1 𝑖𝑗
𝑛𝑖
8 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
+
+
2 (𝑛
𝜂,𝛾
𝑊𝑖𝑗
𝜎2 𝑑
𝑖
∑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝜂,𝛾
2
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑉𝑖𝑗
𝜎2 𝑑
𝑖
∑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝜂,𝛾
2
𝑆𝑖𝑗
− 𝑑) −
=0
=0
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛2
𝑥𝑖𝑗−1
𝑛𝑖
4 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡 −𝑡
𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
−
𝜂,𝛾 2
𝑛𝑖 �𝑇𝑖𝑗 �
4 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
=0
𝜂,𝛾
𝑆𝑖𝑗 = (𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 )(𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗 );
𝜂,𝛾
𝑉𝑖𝑗
•
•
donde
𝜂,𝛾
𝑋1
𝜂,𝛾
𝑊𝑖𝑗
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado de la siguiente forma
𝜂,𝛾
𝜎 2 𝑋1
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
+ 2𝑋2 − 2𝑋3
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝜎 2 𝑋4 + 2𝑋5 − 2𝑋6
𝑛
𝜂,𝛾
𝑊𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑆𝑖𝑗
𝑡
𝜂+𝛾 𝑖𝑗
�
= 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 − 𝛾 𝑡𝑖𝑗
=0
=0
𝜂,𝛾
𝜎 4 𝑍2 + 4𝜎 2 (𝑛 − 𝑑) − 4𝑌2
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡
𝜂+𝛾 𝑖𝑗−1
𝑇𝑖𝑗 = 𝑙𝑛 �
= 𝑡𝑖𝑗−1 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 −1 (𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗 ) − 𝑡𝑖𝑗 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 (𝜂 + 𝛾 𝑡𝑖𝑗−1 );
•
+
;
José Antonio Anguita Izquierdo
(L1)
(L2)
𝜂,𝛾
+ 8𝑌1
− 4𝑍1 = 0
𝜂,𝛾
𝑋2
(L3)
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛾
𝑊𝑖𝑗
𝜂,𝛾
�𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �𝑆𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
Página 45
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑛
𝜂,𝛾
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑋3
𝑛𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛾
𝑋5
𝜂,𝛾
𝑌1
=
𝑍1 =
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝑇𝑖𝑗 𝑊𝑖𝑗
𝜂,𝛾
�𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑋4
;
𝜂,𝛾
�𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
𝑇𝑖𝑗
𝑥
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑙𝑛 𝑖𝑗
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗−1
𝑖𝑗−1
𝜂,𝛾
𝑋6
;
𝜂,𝛾
𝑌2
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛2 �
�
𝑥𝑖𝑗−1
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑛𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
=
𝜂,𝛾
𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝛾
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛾 𝜂,𝛾
𝑇𝑖𝑗 𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝛾
�𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛾 2
�𝑇𝑖𝑗 �
𝑥
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑙𝑛 𝑖𝑗
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗−1
𝑍2 = ∑𝑑𝑖=1�𝑡𝑖𝑛𝑖 − 𝑡𝑖1 �
y de (L1) se obtiene
𝜂,𝛾
2
= 2𝑆
𝜎𝜂,𝛾
donde
𝑆
𝜂,𝛾
=
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝑋3 − 𝑋2
𝜂,𝛾
𝑋1
que puede sustituirse en las ecuaciones (L2) y (L3), resultando finalmente el sistema
•
•
𝜂,𝛾
𝑋6 − 𝑆
𝑆
𝜂,𝛾
�𝑆
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
𝑋4 − 𝑋5
=0
𝜂,𝛾
𝑍2 + 2(𝑛 − 𝑑)� + �2𝑌1
𝜂,𝛾
𝜂,𝛾
− 𝑌2 𝑋6 � − 𝑍1 = 0
La solución a este sistema proporciona la estimación máximo verosimilitud de 𝜂 y 𝛾, de donde
se obtiene la de 𝜎 2 dada por 2𝑆
� ,𝛾
�
𝜂
.
5.2.3. Inferencia en el proceso tipo Bertalanffy
Reparametrizando mediante 𝜂 =
siguiente forma
𝑓�𝑥𝑖𝑗 , 𝑡𝑖𝑗 �𝑥𝑖𝑗−1 , 𝑡𝑖𝑗−1 � =
1
1
𝑐
𝑥𝑖𝑗 �2𝜋𝜎 2 (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )
y 𝛼 = 𝑒 −𝑘 , podemos escribir la función de transición de la
exp �−
�𝑙𝑛𝑥
𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
2
2
𝜎
𝑡
𝑡
−𝑏𝑙𝑛��𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 ��+ (𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )�
2
2𝜎 2 �𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 �
Si llamamos 𝑛 = ∑𝑑𝑖=1 𝑛𝑖 , el logaritmo de la función de verosimilitud queda
𝑙𝑛 (𝕃𝑋𝑖𝑗 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝑏, 𝜂, 𝛼, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
�
𝑑
1
𝑛
𝑛−𝑑
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
2
2
2
2𝜎0
𝑑
𝑛𝑖
𝑑
𝑛𝑖
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
−
𝑑
𝑛𝑖
1
��
2𝜎 2
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1 𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑏𝑙𝑛�(𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗 )/(𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 )� + 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑖𝑗−1
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
Página 46
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Derivando respecto de 𝑏, 𝜂, 𝛼 y 𝜎 2 , e igualando a cero, se obtiene un sistema de ecuaciones
bastante complejo. Si consideramos instantes de tiempo igualmente espaciados, es decir,
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 = ℎ, se tiene que
𝛼 𝑡𝑖𝑗 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 = 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 +ℎ − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 = 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 �𝛼 ℎ − 1�
𝑡𝑖𝑗−1 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 −1 (𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗 ) − 𝑡𝑖𝑗 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 (𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 )
= 𝑡𝑖𝑗−1 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 −1 �𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 +ℎ � − �ℎ + 𝑡𝑖𝑗−1 �𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 +ℎ−1 (𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 )
= 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 −1 𝑡𝑖𝑗−1 𝜂�1 − 𝛼 ℎ � − ℎ𝛼 ℎ−1 𝜂𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 + ℎ𝛼 ℎ−1 𝛼 2𝑡𝑖𝑗−1
por lo que el sistema queda de la siguiente forma
•
•
•
•
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
4𝜎
2 (𝑛
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
−𝑏𝑙𝑛��𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 ��+ ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
−𝑏𝑙𝑛��𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 ��+ ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝑡
𝑡
−𝑏𝑙𝑛��𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 ��+ ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
ℎ
ℎ
ℎ
4
− 𝑑) + 𝜎 ℎ(𝑛 − 𝑑) −
𝑛𝑖
8𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛
𝑛𝑖
4 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝑡
𝑡
𝑙𝑛��𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 ��
𝑥𝑖𝑗−1
ℎ
𝑙𝑛2
𝑙𝑛�(𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗 )/(𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 )� = 0
𝑡
−1
𝑡
2𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1 𝑡𝑖𝑗−1 𝜂�1−𝛼ℎ �−ℎ𝛼 ℎ−1 𝜂𝛼 𝑖𝑗−1 +ℎ𝛼 ℎ−1 𝛼 𝑖𝑗−1
𝑡
𝑡
�𝜂−𝛼 𝑖𝑗 ��𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 �
𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1 �𝛼 ℎ −1�
𝑡
𝑡
�𝜂−𝛼 𝑖𝑗 ��𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 �
𝑥𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
−
ℎ
=0
=0
=0
𝑡
𝑡
𝑙𝑛2 (�𝜂−𝛼 𝑖𝑗 �/�𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1 �)
2 ∑𝑑 ∑𝑛𝑖
4𝑏 𝑖=1 𝑗=2
+
ℎ
Estas ecuaciones pueden reescribirse de forma más concisa considerando
𝜂,𝛼
En este caso
•
•
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
•
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
•
2 (𝑛
4𝜎
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗 = (𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1 ); 𝑇𝑖𝑗
= 𝑙𝑛 �
𝑡
𝜂−𝛼 𝑖𝑗
𝑡
𝜂−𝛼 𝑖𝑗−1
�
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛼 𝜎2
−𝑏𝑇𝑖𝑗 + ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛼 𝜎2
−𝑏𝑇𝑖𝑗 + ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑡
−1
𝑡
2𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1 𝑡𝑖𝑗−1 𝜂�1−𝛼 ℎ �−ℎ𝛼 ℎ−1 𝜂𝛼 𝑖𝑗−1 +ℎ𝛼 ℎ−1 𝛼 𝑖𝑗−1
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛼 𝜎2
−𝑏𝑇𝑖𝑗 + ℎ
𝑥𝑖𝑗−1
2
𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1 �𝛼 ℎ −1�
ℎ
ℎ
ℎ
𝜂,𝛼
𝑇𝑖𝑗
𝜂,𝛼
4
− 𝑑) + 𝜎 ℎ(𝑛 − 𝑑) −
𝑛𝑖
8𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑇
𝑥𝑖𝑗−1 𝑖𝑗
ℎ
=0
=0
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑆𝑖𝑗
=0
𝑛𝑖
4 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛2
𝑥𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
ℎ
−
=0
𝜂,𝛼 2
𝑛𝑖 �𝑇𝑖𝑗 �
4𝑏 2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
ℎ
+
Operando en las expresiones anteriores, y simplificando convenientemente, se tiene
•
𝜂,𝛼
𝑥𝑖𝑗
𝑇𝑖𝑗 𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗−1
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
ℎ
𝑛
−
𝜂,𝛼 2
𝑏 𝑑
𝜂,𝛼 2
𝑖
∑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
�𝑇
𝑖𝑗 �
ℎ
𝑛
𝜂,𝛼
𝑖
𝑖
𝑇𝑖𝑗
2𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
�𝑇𝑖𝑗 � + 𝜎 2 ℎ ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
José Antonio Anguita Izquierdo
+
𝜎2
ℎ
2
ℎ
=0
𝑥𝑖𝑗
𝑛𝑖
𝑛𝑖
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗 𝑙𝑛 𝑥
𝑇𝑖𝑗 = 2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑖𝑗−1
−
Página 47
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
𝑛
𝑖
𝑙𝑛
𝜂�1 − 𝛼 ℎ � �2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡
−1
𝑥𝑖𝑗 𝛼 𝑖𝑗−1 𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑡
−1
𝜂,𝛼 𝛼 𝑖𝑗−1 𝑡𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑛
𝑖
− 2𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗
+
𝜎2ℎ𝑖=1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝛼𝑡𝑖𝑗−1−1𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼+ℎ𝛼ℎ−12𝑖=1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝑙𝑛𝑥𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗−1𝛼2𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼−2𝑏𝑖=
1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝑇𝑖𝑗𝜂,𝛼𝛼2𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼+𝜎2ℎ𝛼2𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼−ℎ𝜂𝛼ℎ−12𝑖=1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝑙𝑛𝑥𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗−1𝛼𝑡𝑖𝑗−1
𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼+2𝑏𝑖=1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝑇𝑖𝑗𝜂,𝛼𝛼𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼−𝜎2ℎ𝑖=1𝑑𝑗=2𝑛𝑖𝛼𝑡𝑖𝑗−1𝑆𝑖𝑗𝜂,𝛼=0
•
•
𝑥𝑖𝑗 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1
𝑛
𝑖
2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛 𝑥
𝑛
𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑇𝑖𝑗
=0
Ahora, denotando por
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑌2
𝜂,𝛼
𝑛
𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝑛
𝜂,𝛼 𝑡
𝑇𝑖𝑗 𝛼 𝑖𝑗−1
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛼
𝑋3
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑡
𝑡𝑖𝑗−1 𝛼 𝑖𝑗−1
𝑛
𝑡
𝑡𝑖𝑗−1 𝛼 𝑖𝑗−1
𝑖
𝑋3∗ = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛼
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑛
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
2𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗
𝑖
𝑍 = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛2 �𝑥
obtenemos el sistema
•
𝜂,𝛼
𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑌3
•
2𝑌2
•
ℎ𝜂𝛼 ℎ−1 �2𝑋2
•
𝑖𝑗−1
𝑛
𝑖
𝑋1∗ = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑌3
;
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑥𝑖𝑗
𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
=0
𝜂,𝛼
2𝑋2
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑋3
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑋3
𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝑛
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
=0
𝜂,𝛼
4𝜎 2 (𝑛 − 𝑑) − 4𝑍 − 4𝑏 2 𝑌3
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑛
𝑛
=0
𝜂,𝛼 2
𝑙𝑛
𝑥𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼 2
𝑡
𝑡𝑖𝑗−1 𝛼 𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑛
2𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝑛
2𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑇𝑖𝑗
(B1)
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
+ 𝜎 2 ℎ𝑋1 � = 0
+ 𝜎 2 ℎ𝑋1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
�𝑇𝑖𝑗 �
𝜂�1 − 𝛼 ℎ ��2𝑋2∗ − 2𝑏𝑋3∗ + 𝜎 2 ℎ𝑋1∗ � + ℎ𝛼 ℎ−1 �2𝑊2
𝜂,𝛼
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑊3
+ 𝜎 2 ℎ𝑌1
𝜂,𝛼
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝛼
𝑊1
𝑡
𝛼 𝑖𝑗−1
𝑖
− 4𝑏 2 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
�𝑇𝑖𝑗 � +
𝑖
𝑋2∗ = ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
�
𝑌1
;
𝑛
𝑖
+ 𝜎 2 ℎ ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑖𝑗−1
𝑋2
;
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗 𝑙𝑛 𝑥
𝑊2
𝑥𝑖𝑗
𝑖
4𝜎 2 ℎ(𝑛 − 𝑑) + 𝜎 4 ℎ2 (𝑛 − 𝑑) − 4 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛2 𝑥
𝑖
8𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑙𝑛 𝑥
𝑋1
𝑡
𝜂,𝛼 𝛼 𝑖𝑗−1
𝜂,𝛼
𝑆𝑖𝑗
𝑖
− 2𝑏 ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑖𝑗−1 𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑊3
𝜂,𝛼
+ 𝜎 2 ℎ𝑊1
�−
(B2)
(B3)
𝜂,𝛼
+ 𝜎 4 ℎ2 (𝑛 − 𝑑) + 8𝑏𝑌2
=0
(B4)
Se observa que la ecuación (B2) se puede simplificar a partir de la ecuación (B3), por lo que las
ecuaciones de nuestro sistema son
•
•
𝜂,𝛼
2𝑌2
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑌3
𝜂,𝛼
+ 𝜎 2 ℎ𝑌1
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
=0
(B5)
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝜂�1 − 𝛼 ℎ ��2𝑋2∗ − 2𝑏𝑋3∗ + 𝜎 2 ℎ𝑋1∗ � + ℎ𝛼 ℎ−1 �2𝑊2
José Antonio Anguita Izquierdo
𝜂,𝛼
− 2𝑏𝑊3
𝜂,𝛼
+ 𝜎 2 ℎ𝑊1
� = 0 (B6)
Página 48
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
•
•
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
2𝑋2
𝜂,𝛼
+ 𝜎 2 ℎ𝑋1
− 2𝑏𝑋3
=0
𝜂,𝛼
4𝜎 2 (𝑛 − 𝑑) − 4𝑍 − 4𝑏 2 𝑌3
(B7)
𝜂,𝛼
+ 𝜎 4 ℎ2 (𝑛 − 𝑑) + 8𝑏𝑌2
=0
(B8)
Después de algunas operaciones, de las ecuaciones (B5) y (B7), obtenemos
𝑏
𝜂,𝛼
=
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
𝑋2 𝑌1
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
𝑋3 𝑌1
2
𝜎𝜂,𝛼
=
2𝐶 𝜂,𝛼
ℎ
𝐶 𝜂,𝛼 =
𝑋2 𝑌3
donde
•
•
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
− 𝑋1 𝑌2
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
− 𝑋1 𝑌3
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
−𝑋3 𝑌2
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
𝜂,𝛼 𝜂,𝛼
𝑋3 𝑌1 −𝑋1 𝑌3
(B9)
,
(B10)
Reemplazando estas expresiones en (B6) y (B8), tenemos el siguiente sistema:
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝜂�1 − 𝛼 ℎ ��𝑋2∗ − 𝑏 𝜂,𝛼 𝑋3∗ + 𝐶 𝜂,𝛼 𝑋1∗ � + ℎ𝛼 ℎ−1 �𝑊2
𝜂,𝛼
− 𝑏 𝜂,𝛼 𝑊3
(𝑛 − 𝑑)(𝐶 𝜂,𝛼 )2 + 2(𝑛 − 𝑑)𝐶 𝜂,𝛼 − (𝑏 𝜂,𝛼 )2 𝑌3𝜂,𝛼 + 2𝑏 𝜂,𝛼 𝑌2𝜂,𝛼 − 𝑍 = 0
𝜂,𝛼
+ 𝐶 𝜂,𝛼 𝑊1
�=0
(B11)
Nota: Si b fuese conocido, la ecuación (B6) desaparece y (B10) se transforma en
𝐶 𝜂,𝛼 =
𝜂,𝛼
𝜂,𝛼
𝑏𝑋3 −𝑋2
𝜂,𝛼
𝑋1
, mientras en el anterior sistema, la expresión 𝑏 𝜂,𝛼 se debe cambiar por b
5.2.4. Inferencia en el proceso tipo Richards
En este caso, el logaritmo de la función de verosimilitud es
𝑙𝑛 (𝕃𝑋𝑖𝑗 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝑞, 𝜂, 𝑘, 𝜎 2 ))
𝑑
𝑑
𝑖=1
𝑖=1
𝑑
1
𝑛
𝑛−𝑑
𝑙𝑛(𝜎 2 ) − � 𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 2 �[𝑙𝑛(𝑥𝑖1 ) − 𝜇0 ]2
= − 𝑙𝑛(2𝜋) − 𝑙𝑛(𝜎02 ) −
2
2
2
2𝜎0
𝑛𝑖
𝑑
𝑑
𝑛𝑖
1
− � � 𝑙𝑛 (𝑥𝑖𝑗 ) − � � 𝑙𝑛(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 )
2
𝑖=1 𝑗=2
−
𝜂,𝑘
𝑑
𝑛𝑖
1
��
2𝜎 2
𝑖=1 𝑗=2
𝑖=1 𝑗=2
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝜂,𝛼
− 𝑞𝑇𝑖𝑗 + �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
2
𝑖𝑗−1
donde 𝑇𝑖𝑗 = 𝑙𝑛�(𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 )/(𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗 )�
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
A continuación, derivamos respecto de los parámetros e igualamos a cero, obreniendo el
siguiente sistema de ecuaciones, que, al igual que en los casos anteriores, es muy complejo y no tiene
solución explícita.
•
•
•
𝜂,𝑘
2𝑌2
𝜂,𝑘
2𝑋2
𝜂,𝑘
2𝑋4
𝜂,𝑘
− 2𝑞𝑌3
𝜂,𝑘
− 2𝑞𝑋3
𝜂,𝑘
− 2𝑞𝑋6
𝜂,𝑘
+ 𝜎 2 ℎ𝑌1
𝜂,𝑘
+ 𝜎 2 𝑋1
𝜂,𝑘
+ 𝜎 2 𝑋1
=0
=0
=0
José Antonio Anguita Izquierdo
(R1)
(R2)
(R3)
Página 49
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝜂,𝑘
4𝜎 2 (𝑛 − 𝑑) − 4𝑍1 − 4𝑞 2 𝑌3
•
donde
𝜂,𝑘
𝑋1
𝜂,𝑘
𝑋3
𝜂,𝑘
𝑋5
𝜂,𝑘
=
𝜂,𝑘
+ 𝜎 2 𝑍2 + 8𝑞𝑌2
𝜂,𝑘
𝑊𝑖𝑗
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝜂,𝑘 ;
𝑆𝑖𝑗
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑛
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑛
𝜂,𝑘
𝜂,𝑘
𝑋2
𝜂,𝑘
𝑇𝑖𝑗 𝑊𝑖𝑗
𝜂,𝑘
(𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝑘
𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝛼
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑇𝑖𝑗
𝜂,𝑘
𝑌3
=
=
𝜂,𝑘
𝑥𝑖𝑗
𝜂,𝑘 𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝜂,𝑘 2
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝜂,𝑘
𝑊𝑖𝑗
𝜂,𝑘
(𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝑘
𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝑘
𝑆𝑖𝑗
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝑇𝑖𝑗 𝑉𝑖𝑗
𝜂,𝑘
𝑇𝑖𝑗
𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛2 �
�
𝑥𝑖𝑗−1
𝑛𝑖
𝑑
∑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝜂,𝑘
(𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )𝑆𝑖𝑗
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑡
𝑍1 =
𝑑
𝑛
𝑛
𝜂,𝑘
𝑌2
�𝑇𝑖𝑗 �
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1
𝑖
∑𝑑𝑖=1 ∑𝑛𝑗=2
𝑛
𝜂,𝑘
𝑋6
;
(R4)
𝑖
= ∑𝑑𝑖=1 ∑𝑗=2
𝑋4
;
(𝑡𝑖𝑗 −𝑡𝑖𝑗−1 )𝑆𝑖𝑗
𝑌1
=0
𝑥𝑖𝑗
𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑍2 = ��𝑡𝑖𝑛𝑖 − 𝑡𝑖1 �
𝑖=1
siendo
𝜂,𝑘
𝑆𝑖𝑗 = (𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 )(𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗 )
𝜂,𝑘
𝑉𝑖𝑗
= 𝑡𝑖𝑗−1 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 −1 (𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗 ) − 𝑡𝑖𝑗 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 (𝜂 + 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 )
𝜂,𝑘
𝑊𝑖𝑗
= 𝑘 𝑡𝑖𝑗−1 − 𝑘 𝑡𝑖𝑗
A partir de las ecuaciones (R1) y (R2), obtenemos
𝑞
donde 𝑆 𝜂,𝑘 =
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝜂,𝑘
=
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝑋2 𝑌3 −𝑋3 𝑌2
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝑋3 𝑌1 −𝑋1 𝑌3
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝑋2 𝑌1
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
𝑋3 𝑌1
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
− 𝑋1 𝑌2
𝜂,𝑘 𝜂,𝑘
− 𝑋1 𝑌3
2
𝜎𝜂,𝑘
= 2𝑆 𝜂,𝑘
(R5)
Reemplazando estas expresiones en (R3) y (R4), aparece el siguiente sistema de ecuaciones
dependiente de 𝑘 y 𝜂
•
•
𝜂,𝑘
𝜂,𝑘
𝜂,𝑘
𝑞 𝜂,𝑘 𝑋6 − 𝑆 𝜂,𝑘 𝑋4 − 𝑋5
=0
𝜂,𝑘
𝑆 𝜂,𝑘 �𝑆 𝜂,𝑘 𝑍2 + 2(𝑛 − 𝑑)� + 𝑞 𝜂,𝑘 �2𝑌2
𝜂,𝑘
− 𝑞 𝜂,𝑘 𝑌3 � − 𝑍1 = 0
(R6)
Nota: si el parámetro q es conocido, como ocurre en el modelo logístico (q=1), la ecuación (R1)
desaparece y (R5) se transforma en 𝑆 𝜂,𝑘 =
debe ser cambiada por q.
José Antonio Anguita Izquierdo
𝜂,𝑘
𝜂,𝑘
𝑞𝑋3 −𝑋2
𝜂,𝑘
𝑋1
, mientras en el sistema (R6), la expresión 𝑞 𝜂,𝑘
Página 50
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
5.3. Aspectos sobre procedimientos SA y VNS
Como hemos comentado anteriormente, una alternativa para resolver estos sistemas de
ecuaciones sería el uso de procedimientos de optimización estocásticos, tales como Simulated
Annealing (SA) o Variable Neighborhood Search (VNS). Estos algoritmos están diseñados para
resolver problemas del tipo 𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑤), con 𝑤 ∈ Ω, y en la mayoría de los casos son más apropiados que
los métodos numéricos clásicos, ya que imponen menos restricciones en el espacio de soluciones y en
las propiedades analíticas de la función objetivo. En el contexto de las estimaciones de los parámetros
de los procesos aquí estudiados, se ha usado en obras como, por ejemplo, en [31], donde SA es usado en
el contexto del proceso de difusión tipo Gompertz, mientras que en [30] un proceso híbrido VNS-SA se
desarrolla para el caso Richards.
Pasamos a exponer un resumen muy conciso de estos procedimientos
•
Algoritmo Simulated Annealing (SA)
Es un algoritmo metaheurístico de búsqueda local introducido por Kirkpatrick et al [19],
inspirado en el proceso metalúrgico de recocido estudiado en la estadística mecánica.
En general el algoritmo sigue este procedimiento:
Dada una solución 𝜃 para una iteración y 𝑓(𝜃) el valor de la función objetivo. En la siguiente
iteración seleccionamos un nuevo valor 𝜃´ en un entorno 𝑁𝜃 de 𝜃, y evaluamos el aumento de
la función objetivo ∆= 𝑓(𝜃´) − 𝑓(𝜃). Si ∆≤ 0, entonces 𝜃´ es seleccionada como la nueva
solución. En caso contrario podría ser aceptada con probabilidad 𝑝 = exp (−∆/𝑇) con T
llamado temperatura. Así, un bucle interno genera una cadena de Markov que será tan larga
como el número de iteraciones del bucle. Al final del bucle, la temperatura disminuye
gradualmente y se genera una nueva cadena de Markov. Al principio, el proceso de enfriamieno
permite seleccionar soluciones que empeoran la función objetivo (a altas temperaturas), pero a
medida que disminuye la temperatura este tipo de soluciones ya no son aceptadas.
•
Algoritmo Variable Neighborhood Search (VNS)
El concepto básico de este algoritmo, introducido por Mladenovic y Hansen [18], es explorar
varios entornos en el espacio de la solución cuando un óptimo local es encontrado a través de
un método de búsqueda local. El algoritmo es aplicado en dos fases distintas:
La primera, es determinar una estructura de entornos en el espacio de soluciones, 𝑁𝑘 , 𝑘 =
1, … , 𝑘𝑚𝑎𝑥 y elegir una solución inicial 𝜃0
La segunda fase, usa un método de búsqueda local para determinar una solución nueva 𝜃 ∗ en
𝑁𝑘 (𝜃0 ). Si 𝜃 ∗ provoca una mejora en la función objetivo, entonces 𝜃0 = 𝜃 ∗, y la búsqueda
continúa con el siguiente entorno 𝑁𝑘+1 (𝜃0 ).
El procedimiento descrito cambia los entornos cada vez que una mejora se lleva a cabo en la
función objetivo. Así, existen variaciones de este algoritmo, para adaptarse a las diferentes
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 51
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
formas en que la estructura de entornos puede cambiar cuando se ha alcanzado un óptimo local,
así como varios métodos de búsqueda local. En este trabajo usaremos VND (Basic Variable
Neighborhood Descent) y para su aplicación hay que tener en cuenta la estructura de entorno y
el método de búsqueda local.
5.3.1 Acotación del espacio paramétrico
Uno de los problemas fundamentales para la aplicación de estos métodos es el espacio de
soluciones. Para la función objetivo anterior, este espacio es Ω = Θxℝ+, donde Θ se especificará
posteriormente para cada modelo concreto. El conjunto Ω es continuo y no acotado, lo cual podría
conducir a cálculos innecesarios y a algoritmos poco eficientes. Para evitar esto, veremos algunas
estrategias para acotar dicho espacio de soluciones, basadas en combinar los datos de la muestra y en
algunas de las características de cada curva.
Con respecto al parámetro 𝜎 2 , se sabe que, cuando tiene valores altos, conduce a trayectorias
muestrales con gran variabilidad alrededor de la media del proceso, por lo que el modelo sería
desaconsejable. Apoyándonos en numerosas simulaciones realizadas (ver Capítulo 4), consideraremos
𝜎 2 ∈ (0; 0,01) o equivalentemente 𝜎 ∈ (0; 0,1).
Para el resto de parámetros, dada la naturaleza de las curvas en cuestión, es necesario llevar a
cabo su reparametrización. Esto producirá un nuevo espacio paramétrico Θ∗ , que en general es más
pequeño que el inicial. Veamos esto en cada caso particular.
• Proceso tipo Gompertz
𝑚
En este caso 𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 � �𝑒 −𝛽𝑡0 − 𝑒 −𝛽𝑡 �� , 𝑡 ≥ 𝑡0 , y su espacio paramétrico es
𝛽
𝛩 = {(𝑚, 𝛽) ∈ ℝ+ 𝑥ℝ+ }.
Llamando 𝛼 = 𝑒 −𝛽 y 𝑎 =
−𝑚
,
𝑙𝑛𝛼
y su espacio paramétrico
se obtiene la curva
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝{𝑎(𝛼 𝑡0 − 𝛼 𝑡 )}
Θ∗ = {(𝑎, 𝛼) ∈ ℝ+ x(0; 1)}
por lo que sólo debemos acotar el espacio paramétrico asociado al parámetro 𝑎. Ahora bien, sabemos
que para una trayectoria muestral, su valor límite asociado, a partir de un valor inicial 𝑥0 , es
𝑥0 𝑒𝑥𝑝(𝑎𝛼 𝑡0 ). Así, si las trayectorias muestrales consideradas para la inferencia tienen acotaciones
𝑡
𝑘
𝑘
0
𝑘𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑑, entonces 𝑒 𝑎�𝛼� estaría comprendida entre el 𝑚𝑖𝑛 �𝑥 𝑖 � y el 𝑚𝑎𝑥 �𝑥 𝑖 �.
Por tanto si 𝑡0 = 0, podemos considerar
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑖0
𝑖0
Página 52
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
𝑘𝑖
𝑘𝑖
𝑎� ∈ �𝑙𝑛 �𝑚𝑖𝑛 � �� , 𝑙𝑛 �𝑚𝑎𝑥 � ���
𝑥𝑖0
𝑥𝑖0
Y en el caso 𝑡0 ≠ 0, y para 𝛼0 ∈ (0; 1), se considerará
⎛
𝑎� ∈ ⎜
𝑘
𝑘
𝑙𝑛 �𝑚𝑖𝑛 � 𝑖 �� 𝑙𝑛 �𝑚𝑎𝑥 � 𝑖 ��
𝑥𝑖0
𝑥𝑖0 ⎞
,
𝑡
𝑡
⎟
𝛼00
𝛼00
⎝
⎠
Luego el espacio se soluciones quedará de la siguiente manera
⎛
𝛺=⎜
⎝
𝑘
𝑘
𝑙𝑛 �𝑚𝑖𝑛 �𝑥 𝑖 �� 𝑙𝑛 �𝑚𝑎𝑥 �𝑥 𝑖 ��
⎞
𝑖0
𝑖0
;
𝑡0
𝑡0
⎟ x(0; 1)x(0; 0,01)
𝛼0
𝛼0
⎠
• Proceso tipo Bertalanffy
1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑏
En este caso, 𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 �1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 � , 𝑡 ≥ 𝑡0 >
𝛩 = {(𝑐, 𝑘, 𝑏) ∈ ℝ+ xℝ+ x[1, +∞)}.
1
𝑐
𝑙𝑛𝑐
,
𝑘
y su espacio paramétrico es
Llamando 𝛼 = 𝑒 −𝑘 y 𝜂 = , se obtiene la curva reparametrizada
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 �
y su espacio paramétrico
𝜂 − 𝛼𝑡
�
𝜂 − 𝛼 𝑡0
𝑏
Θ∗ = {(𝜂, 𝛼, 𝑏) ∈ ℝ+ x(0; 1)x[1, +∞)}
donde el parámetro b puede ser conocido o no.
En este caso, el dominio de 𝛼 es acotado, por lo que tendremos que acotar el de 𝜂 y b.
𝜂
Se sabe que la curva presenta un punto de inflexión en 𝑡𝐼 = 𝑙𝑛� �𝑏�/𝑙𝑛𝛼 que puede ser
visualizado sí y sólo sí 𝜂 < 𝑏𝛼 𝑡0 . Como en la vida real es normal que el punto de inflexión se pueda
ver, podemos considerar la acotación anterior como cierta, o de forma más amplia 0 < 𝜂 < 𝑏.
Veamos ahora cómo acotar b. A partir de las propiedades de la curva Bertalanffy, se deduce que
𝜂 = 𝑏𝛼 𝑡𝐼 , mientras que
1
𝑥0 𝑏
1
𝑡0 −𝑡𝐼
𝛼 = �𝑏 �1 − � � ��
𝑘
con k el valor límite de la curva. Ahora consideramos las siguientes funciones:
1
𝑥0 𝑏
-) 𝑔(𝑡, 𝑏) = �𝑏 �1 − � 𝑘 � ��
1
𝑡0 −𝑡
, 𝑏 ≥ 1, 𝑡 ∈ 𝐼 = [𝑡1 , 𝑡2 ]
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 53
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
siendo I un intervalo conteniendo el instante en el que el punto de inflexión se alcanza. Esta función es
continua y como es creciente, a partir de 𝑓𝜃 (𝑡𝐼 ), se deduce que 0 < 𝑔(𝑡, 𝑏) < 1, ∀(𝑡, 𝑏). Si b es
conocido, g es estrictamente creciente y alcanzan su mínimo en 𝑡1 y su máximo en 𝑡2 . Y si b es
desconocido, y restringiendo 𝑏 ∈ [𝑏1 , 𝑏2 ] (intervalo que contiene el valor verdadero de b), se verifica
que g crece cuando cualquiera de sus argumentos es fijo. Además, no posee extremos locales, y por lo
tanto su mínimo se alcanza en (𝑡1 , 𝑏1 ) y su máximo en (𝑡2 , 𝑏2 ).
-) ℎ(𝑡, 𝛼, 𝑏) = 𝑏𝛼 𝑡 , 𝑏 ≥ 1, 𝑡 ∈ 𝐼, 𝛼 ∈ [𝛼1 , 𝛼2 ] ⊂ (0; 1). Esta función también es continua, y para un b
conocido, se prueba que no tiene extremos locales, que es decreciente en t para un 𝛼 fijo, y es creciente
en 𝛼 para un t fijo. Luego alcanza su mínimo en (𝑏, 𝛼1 , 𝑡2 ) y su máximo en (𝑏, 𝛼2 , 𝑡1 ). Para un b
desconocido, y restringiendo de nuevo al intervalo [𝑏1 , 𝑏2 ], la función no tiene extremos locales. Por
último, realizando un análisis similar al anterior (simplemente variando cada uno de los argumentos),
llegamos a la conclusión de que esta función alcanza su mínimo en (𝑏1 , 𝛼1 , 𝑡2 ) y su máximo en
(𝑏2 , 𝛼2 , 𝑡1 )
•
Partiendo de esto, se propone la siguiente estrategia para acotar Θ∗ :
1 𝑏
𝑏
Caso b conocido: a partir de �1 − � que es el cociente entre el valor de la curva en 𝑡𝐼 y su
valor límite, podemos aproximar 𝑡𝐼 tomando el primer instante de tiempo en el cual la media de
1 𝑏
𝑏
las trayectorias de la muestra supera 𝑘 ∗ �1 − � , donde 𝑘 ∗ es el límite de la media de las
trayectorias muestrales. Este procedimiento se aplica cuando se conoce tal valor límite, aunque
sólo sea aproximadamente. Para este fin, se emplea el último valor de la media, 𝑡𝐼∗ .
Consideramos intervalos [𝑡1 , 𝑡2 ] con 𝑡1 el instante previo a 𝑡𝐼∗ y 𝑡2 = 𝑡𝐼∗ , y a partir de tal
•
intervalo, se tiene que 𝛼 ∈ [𝑔(𝑡1 , 𝑏); 𝑔(𝑡2 , 𝑏)] 𝑦 𝜂 ∈ [ℎ(𝑏, 𝛼1 , 𝑡2 ); ℎ(𝑏, 𝛼2 , 𝑡1 )]
Caso b desconocido: a partir de que el instante de la inflexión está contenido dentro del
intervalo de tiempo observado, se sugiere la interpolación de una función S (normalmente un
spline natural cúbico) para la media de las trayectorias muestrales y posteriormente encontrar el
∗
∗
instante de tiempo 𝑡𝐼∗ en el que se alcanza el máximo de su derivada. Sea [𝑡𝐼−1
, 𝑡𝐼+1
] el
intervalo determinado por los instantes de tiempo observados antes y después de 𝑡𝐼∗. Dado que
1 𝑏
𝑏
𝑓𝜃 (𝑡𝐼 ) = 𝑘(𝜃) �1 − � , existe la posibilidad de que el intervalo anterior contenga instantes de
tiempo que verifiquen esa condición. Para ello, consideraremos una fina partición del intervalo
anterior y seleccionaremos 𝑡2 como el anterior instante que verifique
𝑆(𝑡𝑖 )
𝑘∗
> 𝑒 −1 donde 𝑘 ∗ se
∗
para
define como en el caso anterior. Así, consideramos un intervalo [𝑡1 , 𝑡2 ] con 𝑡1 = 𝑡𝐼−1
posteriormente calcular un primer intervalo [𝑏1∗ , 𝑏2∗ ] para b a partir de las soluciones de las
1 𝑏
𝑏
ecuaciones 𝑆(𝑡𝑖 ) = 𝑘 ∗ �1 − � , 𝑖 = 1, 2. Este último intervalo puede ser muy grande, ya que
1 𝑏
𝑏
la función �1 − � crece muy lentamente y pequeñas variaciones en
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑆(𝑡1 )
𝑘∗
puede dar lugar a
Página 54
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
valores muy grandes de b. Por ello, se sugiere un procedimiento para mejorar la selección
realizada para b, basado en el procedimiento usado para encontrar un rango de valores para el
parámetro de la transformación de Box-Cox en modelos lineales. Para ello, si llamamos
𝐿∗ (𝑏) = 𝑠𝑢𝑝𝜂,𝛼,𝜎2 𝑙𝑛 (𝕃𝑋 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜂, 𝛼, 𝑏, 𝜎 2 ))
y consideramos
𝐿∗ �𝑏�� = 𝑠𝑢𝑝𝜂,𝛼,𝑏,𝜎2 𝑙𝑛 (𝕃𝑋 (𝜇0 , 𝜎02 , 𝜂, 𝛼, 𝑏, 𝜎 2 ))
entonces se tiene que
2(𝐿∗ �𝑏�� − 𝐿∗ (𝑏))~𝒳12
para lo cual
1 2
𝑃 �𝐿∗ (𝑏) ≥ 𝐿∗ �𝑏�� − 𝒳1,𝛼
�=1−𝛼
2
2
siendo 𝒳1,𝛼
el (1 − 𝛼)-ésimo percentil de una 𝒳 2 con un grado de libertad. Dividiendo 𝐿∗ (𝑏)
1 2
encontramos dos valores para b que determinan el intervalo que
con ordenada 𝐿∗ �𝑏�� − 𝒳1,𝛼
2
consideraremos.
Por cuestiones prácticas, este procedimiento se realiza considerando una red de valores
entre 𝑏1∗ y 𝑏2∗ y calculando 𝐿∗ (𝑏) usando el método para la estimación de parámetros para el
caso de b conocido. Esto produce un conjunto de valores 𝑙𝑖∗ . La ordenada usada para determinar
1
2
2
. De este modo para el intervalo así encontrado
los valores de b serán 𝑚𝑎𝑥𝑖 {𝑙𝑖∗ } − 𝒳1,𝛼
[𝑏1 , 𝑏2 ], se determina que 𝛼 ∈ [𝑔(𝑡1 , 𝑏1 ); 𝑔(𝑡2 , 𝑏2 )] y 𝜂 ∈ [ℎ(𝑏1 , 𝛼1 , 𝑡2 ); ℎ(𝑏2 , 𝛼2 , 𝑡1 )]
• Proceso tipo Richards
𝑞
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
En este caso, 𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 � 1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡 � , 𝑡 ≥ 𝑡0 >
{𝜃 ∗ = (𝑏, 𝑐, 𝑞) ∈ ℝ+ xℝ+ xℝ+ }.
1
𝑏
−𝑙𝑛𝑏
,
𝑐
siendo su espacio paramétrico 𝛩 =
Llamando 𝛼 = 𝑒 −𝑐 y 𝜂 = , se obtiene la curva reparametrizada
𝜂 + 𝛼 𝑡0
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0 �
�
𝜂 + 𝛼𝑡
y su espacio paramétrico
𝑞
Θ∗ = {(𝜂, 𝛼, 𝑞) ∈ ℝ+ x(0; 1)xℝ+ }
El procedimiento discutido anteriormente para la curva Bertalanffy es también válido para este
caso, considerando
1
𝑞
1
𝑡0 −𝑡
𝑘
𝑔(𝑡, 𝑞) = �𝑞 �� � − 1��
𝑥0
José Antonio Anguita Izquierdo
𝑦 ℎ(𝑡, 𝛼, 𝑞) = 𝑞𝛼 𝑡
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
con 𝑞 > 0, 𝑡 ∈ 𝐼 = [𝑡1 , 𝑡2 ], 𝛼 ∈ [𝛼1 , 𝛼2 ] ⊂ (0; 1), siendo k el valor límite de la curva, y además usando
𝜂
las propiedades que presenta la curva Richards, esto es, su punto de inflexión es 𝑡𝐼 = 𝑙𝑛� �𝑞 �/𝑙𝑛𝛼, que
puede ser visto sí y sólo sí 𝜂 < 𝛼 𝑡0 , y cuyo valor en la función es
𝑞 𝑞
𝑓𝜃 (𝑡𝐼 ) = 𝑘(𝜃 ∗ ) �
�
1+𝑞
con
𝑘(𝜃 ∗ ) = 𝑥0 �1 +
𝛼 𝑡0
�
𝜂
𝑞
• Proceso tipo logístico
En este caso, 𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0
𝛩 = {𝜃 ∗ = (𝑏, 𝑐) ∈ ℝ+ xℝ+ }.
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡
1
𝑏
, 𝑡 ≥ 𝑡0 >
−𝑙𝑛𝑏
,
𝑐
y su espacio paramétrico es
Llamando 𝛼 = 𝑒 −𝑐 y 𝜂 = , se obtiene la curva reparametrizada
y su espacio paramétrico
𝑓𝜃 (𝑡) = 𝑥0
𝜂 + 𝛼 𝑡0
𝜂 + 𝛼𝑡
Θ∗ = {(𝜂, 𝛼) ∈ ℝ+ x(0; 1)}
Está claro que para esta curva se puede seguir el procedimiento anterior, pues es un caso
particular de la curva Richards, tomando 𝑞 = 1
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
5.4. Estimación de los parámetros para el caso Bertalanffy
Recordemos que nuestro objetivo (una vez estimados 𝜇0 y 𝜎02 ) es minimizar la función objetivo
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗 �
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
− 𝑙𝑛
+ 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑓𝜃 �𝑡𝑖𝑗−1 �
𝑛−𝑑
1
�𝑋 (𝜃, 𝜎 2 ) =
𝕃
𝑙𝑛(𝜎 2 ) + 2 � �
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
2
2𝜎
𝑑
𝑛𝑖
𝑖=1 𝑗=2
que en nuestro caso queda de la siguiente manera
con
�𝑋 (𝑏, 𝛼, 𝜂, 𝜎 2 ) =
𝕃
𝑑
𝑛𝑖
𝑛−𝑑
1
𝑙𝑛(𝜎 2 ) + 2 � �
2
2𝜎
𝑖=1 𝑗=2
𝜂,𝛼
𝑇𝑖𝑗
= 𝑙𝑛 �
𝑥𝑖𝑗
𝜎2
𝜂,𝛼
− 𝑏𝑇𝑖𝑗 + 2 �𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1 �)2
(𝑙𝑛 𝑥
𝑖𝑗−1
𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖𝑗−1
𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗
�
𝜂 − 𝛼 𝑡𝑖𝑗−1
Para este caso, y una vez que el espacio de soluciones ha sido acotado, especificamos los
parámetros iniciales del algoritmo SA, así como la condición de parada:
1. La solución inicial (𝜃0 )se elige al azar en el subespacio paramétrico acotado
2. La temperatura inicial (𝑇0 ) debe ser alta, por lo que al principio hay una alta probabilidad, 𝑝0 , de
aceptar valores que aumentan el valor de la función objetivo. En nuestro caso, hemos considerado
𝑝0 = 0,9 así que 𝑇0 = −∆𝑓 + /𝑙𝑛𝑝0 , donde ∆𝑓 + denota el incremento medio de la función objetivo
cuando los valores que producen un aumento son aceptamos después de considerar N valores en el
espacio de soluciones. Se ha considerado N=100
3. Para enfriar el proceso se ha tomado un esquema geométrico, 𝑇𝑖 = 𝛾𝑇𝑖−1 , 𝑖 ≥ 1 con 𝛾 normalmente
entre 0,8 y 0,99. Aquí se ha considerado 𝛾 = 0,95
4. La longitud seleccionada de la cadena de Markov, para la aplicación de cada secuencia completa del
algoritmo es L=50. Luego en cada paso se generará una cadena de 50 soluciones antes de comprobar la
regla de parada y modificar la temperatura si es necesario
5. La regla de parada será doble. Primero, se comprueba si los últimos 50 valores generados son iguales,
en cuyo caso se detiene el algoritmo. De lo contrario, se continúa hasta que la temperatura alcanza un
valor cercano a cero (0,1 en nuestro caso)
Para aplicar el algoritmo VND, como hemos mencionado anteriormente, hay que tener en
cuenta la estructura de entorno y el método de búsqueda local.
En cuanto a la estructura de entorno y una vez seleccionado un valor de 𝑘𝑚𝑎𝑥 (10 en nuestro
caso), procedemos de la siguiente manera.
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Sea
𝛩´ = [𝑏1 , 𝑏2 ]x[𝛼1 , 𝛼2 ]x[𝜂1 , 𝜂2 ]x(0; 0,1)
el subespacio de soluciones acotado.
ℎ11 =
ℎ31 =
Dada una solución inicial 𝜃0 = (𝑏0 , 𝛼0 , 𝜂0 , 𝜎0 ), consideramos las cantidades
𝑏0 −𝑏1
𝑘𝑚𝑎𝑥
𝜂0 −𝜂1
𝑘𝑚𝑎𝑥
ℎ12 =
ℎ32 =
𝑏2 −𝑏0
𝑘𝑚𝑎𝑥
𝜂2 −𝜂0
𝑘𝑚𝑎𝑥
ℎ21 =
𝛼0 −𝛼1
𝑘𝑚𝑎𝑥
ℎ41 = 𝑘
𝜎0
𝑚𝑎𝑥
ℎ22 =
ℎ42 =
𝜎2 −𝛼1
𝑘𝑚𝑎𝑥
0,1−𝜎0
𝑘𝑚𝑎𝑥
La estructura de entornos es:
𝑁𝑘 (𝜃) = [𝑏0 − 𝑘ℎ11 , 𝑏0 + 𝑘ℎ12 ]x[𝛼0 − 𝑘ℎ21 , 𝛼0 + 𝑘ℎ22 ]x[𝜂0 − 𝑘ℎ31 , 𝜂1 + 𝑘ℎ32 ]x
para 𝑘 = 1, … , 𝑘𝑚𝑎𝑥
[𝜎0 − 𝑘ℎ41 , 𝜎0 + 𝑘ℎ42 ]
Por otro lado, respecto a la búsqueda local, se ha seleccionado el algoritmo SA. Esto nos
permite realizar un procedimiento híbrido VND, que ha demostrado ser útil en varias aplicaciones.
Con el fin de validar los procedimientos descritos anteriormente que se aplican a la estimación
de los parámetros del proceso, llevaremos a cabo los siguientes estudios de simulación. Comenzaremos
por evaluar la utilidad del método propuesto al espacio de soluciones acotado. Como veremos, en estos
intervalos los algoritmos SA y VND realizan bien las estimaciones de esos parámetros.
Para ello, se han generado 25 trayectorias muestrales, cada una con 401 datos, a partir del
instante inicial 𝑡0 = 0, tomando ℎ = 0,1 como paso de integración y una distribución inicial Λ(1; 0,2).
Con respecto a los otros parámetros del proceso, se han considerado 𝑏 = 5; 𝛼 = 0,8; 𝜂 = 1,5; 𝜎 =
0,01. Estos valores nos aseguran que el instante de tiempo de inflexión es visible, siendo su valor
teórico 𝑡𝐼 = 5,396.
Con el objetivo de realizar la posterior inferencia, hemos considerado 41 datos con 𝑡𝑖𝑗 −
𝑡𝑖𝑗−1 = 1 con 𝑖 = 1, … ,25; 𝑗 = 1, … ,41. El gráfico siguiente muestra la media de las trayectorias
simuladas
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
La Tabla 1 muestra los resultados obtenidos cuando el valor de b se considera conocido y
desconocido. Esta tabla presenta el intervalo estimado para el tiempo de inflexión, así como los
encontrados para los demás parámetros. Se puede ver como en todos los casos los intervalos contienen
el verdadero valor del tiempo de inflexión y de cada parámetro. Además se aprecia que los intervalos en
el caso b desconocido son más amplios que en el caso b conocido (como era de esperar, pues la
incertidumbre aumenta)
b conocido (b=5)
b desconocido
Tinf
(5,6)
𝛼
Tinf
(4,28; 5,8368)
𝛼
(0,7544;0,812)
(0,7859;0,8181)
𝜂
𝜂
(1,1786;1,8328)
b
(0,9585;2,1115)
(4,9138; 5,1298)
Tabla 1
Una vez acotados los espacios paramétricos, aplicamos los algoritmos SA y VND a la
estimación de los parámetros. Hay que tener en cuenta que en el procedimiento SA la solución inicial se
selecciona aleatoriamente a partir del espacio acotado, mientras que para el procedimiento VND
usamos la solución aportada por SA.
En la Tabla 2, se muestran las estimaciones de nuestros parámetros para el caso de b conocido y
de b desconocido, usando SA y VND, así como los valores de la función de verosimilitud. Podemos
apreciar como ambos procedimientos proporcionan buenas estimaciones, aunque se ve claramente
como VND proporciona mejores resultados que SA, en particular para el caso de un b desconocido.
b conocido
Valor real
b desconocido
Valor estimado
Valor estimado
SA
SA
VND
5,0251
5,0209
VND
b
2
𝛼
0,8
0,8003
0,8002
0,7975
0,7995
1,25
1,4982
1,4994
1,508
1,5038
0,01
0,0103
0,0099
0,0117
0,0101
-4103,825
-4092,384
-4103,765
-4086,842
-4103,077
𝜂
𝜎
f. verosimilitud
Tabla 2
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ANEXO A. Simulación de las trayectorias
Parámetros de las funciones utilizadas en la simulación
n: número de datos de cada trayectoria
tra: número de trayectorias a simular
h: paso de la simulación
x0: valor de la distribución inicial para el caso degenerado
t0: instante inicial
m0 y sigam0: parámetros de la distribución inicial para el caso lognormal
Ini: variable con dos valores (0 si la distribución inicial es degenerada y 1 si sigue una distribución
lognormal)
El código R para generar tra trayectorias del proceso Wiener con n datos cada una y un paso h,
será:
Wiener=function(n,tra,h)
{
Wiener=array(0,c(n,tra))
for (i in 1:tra) Wiener[,i]=cumsum(c(0,rnorm(n-1,0,sqrt(h))))
Wiener
}
Gompertz
Primero definimos la función 𝑥(𝑡) =
Gompertz=function(t0,t,m,beta)
𝑚
�𝑒 −𝛽𝑡0
𝛽
− 𝑒 −𝛽𝑡 �
{
m*(exp(-beta*t0)-exp(-beta*t))/beta
}
Ahora, definimos la función que genera las trayectorias simuladas.
GeneraGompertz=function(Ini,x0,n,tra,h,t0,m,beta,sigma,m0,sigma0)
{
Win=Wiener(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial=rep(x0,tra) else
Inicial=rlnorm(tra,m0,sigma0)
GeneraGompertz=array(0,c(n,tra))
Tiempo=seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
GeneraGompertz=t(Inicial*t(exp(Gompertz(t0,Tiempo,m,beta)+(sigma*Win)José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
GeneraGompertz
}
Bertalanffy
1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡
𝑏
Primero definimos la función 𝑥(𝑡) = �1−𝑐𝑒 −𝑘𝑡0 �
Bertalanffy=function(t0,t,b,c,k)
{
((1-c*exp(-k*t))/(1-c*exp(-k*t0)))^b
}
Ahora, definimos la función que genera las trayectorias simuladas.
GeneraBertalanffy=function(Ini,x0,n,tra,h,t0,b,c,k,sigma,m0,sigma0)
{
Win=Wiener(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial=rep(x0,tra) else
Inicial=rlnorm(tra,m0,sigma0)
GeneraBertalanffy =array(0,c(n,tra))
Tiempo=seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
GeneraBertalanffy =t(Inicial*t(Bertalanffy(t0,Tiempo,b,c,k)*exp((sigma*Win)(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
GeneraBertalanffy
}
Richards
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
𝑞
Primero definimos la función 𝑥(𝑡) = � 1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡 �
Richards=function(t0,t,b,c,q)
{
((1+b*exp(-c*t0))/(1+b*exp(-c*t)))^q
}
Ahora, definimos la función que genera las trayectorias simuladas.
GeneraRichards=function(Ini,x0,n,tra,h,t0,b,c,q,sigma,m0,sigma0)
{
Win=Wiener(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial=rep(x0,tra) else
Inicial=rlnorm(tra,m0,sigma0)
GeneraRichards =array(0,c(n,tra))
Tiempo=seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
GeneraRichards =t(Inicial*t(Richards(t0,Tiempo,b,c,q)*exp((sigma*Win)(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
GeneraRichards
}
Logística
Primero definimos la función 𝑥(𝑡) =
Richards=function(t0,t,b,c)
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡0
1+𝑏𝑒 −𝑐𝑡
{
(1+b*exp(-c*t0))/(1+b*exp(-c*t))
}
Ahora, definimos la función que genera las trayectorias simuladas.
GeneraLogística=function(Ini,x0,n,tra,h,t0,b,c,sigma,m0,sigma0)
{
Win=Wiener(n,tra,h)
if (Ini==0) Inicial=rep(x0,tra) else
Inicial=rlnorm(tra,m0,sigma0)
GeneraLogística =array(0,c(n,tra))
Tiempo=seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
GeneraLogística =t(Inicial*t(Logistica(t0,Tiempo,b,c)*exp((sigma*Win)(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
GeneraLogistica
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ANEXO B. Estimación de parámetros
FUNCIÓN QUE GENERA TRAYECTORIAS DEL PROCESO
GeneraBertalanffy2<-function(Win,Inicial,n,tra,h,t0,eta,alfa,q,sigma)
{
GeneraBertalanffy<-array(0,c(n,tra))
Tiempo<-seq(t0,t0+(n-1)*h,h)
GeneraBertalanffy<-t(Inicial*t(Bertalanffy(t0,Tiempo,eta,alfa,b)*
}
GeneraBertalanffy
exp(sigma*Win-(sigma^2/2)*(Tiempo-t0))))
FUNCIÓN QUE EXTRAE VALORES DE TRAYECTORIAS CALCULADAS PREVIAMENTE
# n: Tamaño de la trayectoria
# tra: número de trayectorias
# h: paso entre dos instantes sucesivos
# Trayectorias: trayectorias simuladas
# Se extraen (n-1)*h+1 valores igualmente espaciados
ExtraeTrayectorias<-function(Trayectorias,n0,n1,tra,h)
{
ExtraeTrayectorias<-array(0,c(n1,tra))
ExtraeTrayectorias<-Trayectorias[seq(1,n0,(n0-1)/(n1-1)),]
ExtraeTrayectorias
}
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
FUNCIÓN OBJETIVO PARA EL PROCESO BERTALANFFY
# Param: vector de parámetros
# x: Matriz con los logaritmos de los incrementos de las trayectorias
# t: vector con los instantes de tiempo
# h: Diferencia entre tiempos (en principio los datos son equidistantes)
# n: Longitud de las trayectorias
# N: (n-1)*NumTrayectorias
# b0: en el caso b conocido
Caso b conocido
f.Bertalanffy1<-function(b0,param,x,t,h,n,N)
{
a<-b0*log((param[1]-param[2]^t[2:n])/(param[1]-param[2]^t[1:n-1]))-param[3]^2*h/2
f.Bertalanffy1<-N*log(param[3]^2)/2+sum((x-a)^2)/(2*h*param[3]^2)
}
Caso b desconocido
f.Bertalanffy2<-function(param,x,t,h,n,N)
{
a<-param[3]*log((param[1]-param[2]^t[2:n])/(param[1]-param[2]^t[1:n-1]))-param[4]^2*h/2
f.Bertalanffy2<-N*log(param[4]^2)/2+sum((x-a)^2)/(2*h*param[4]^2)
}
FUNCIONES PARA LA ACOTACIÓN DEL ESPACIO PARAMÉTRICO
funcion1 <- function (x) ((1-(1/x))^x)
funcion2 <- function (x,cota,x0,t0,t) ((x*(1-(x0/cota)^(1/x)))^(1/(t0-t)))
funcion3 <- function (b,a,t) a^(t)*b
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ACOTACIÓN DEL ESPACIO PARAMÉTRICO
Caso b conocido
acota1<- function(x,t,cota,b0,x0,t0,decide)
{
if(which(x/cota>funcion1(b0))[1]==1) t1<-t0 else t1<-t[which(x/cota>funcion1(b0))[1]-1]
t2<-t[which(x/cota>funcion1(b0))[1]]
if(t0==t1) alfa1<-0 else alfa1<-funcion2(b0,cota,x0,t0,t1)
if(t2==t1) alfa2<-1 else alfa2<-funcion2(b0,cota,x0,t0,t2)
if(decide == 0)
{
eta1<-0
eta2<-b0
}
else
{
eta1<-funcion3(b0,alfa1,t2)
eta2<-funcion3(b0,alfa2,t1)
}
acota1<-rbind(c(eta1,eta2),c(alfa1,alfa2),c(0,.1),c(t1,t2))
}
Caso b desconocido
acota3<-function(y,x,t,x0,t0,h,nvalor,N,nparticion,p0,p,gamma,decide)
{
a<-splinefun(t,x,method="natural") # Calcula spline cúbico natural a la media del proceso
v1<-curve(a(x,deriv=1),t[1],t[nvalor],n=nvalor)$y
v3<-which(v1==max(v1),arr.ind=TRUE)
if(v3==1 | v3==nvalor)
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
{
if(v3==1)
{
paso=(t[v3+1]-t[v3])/nparticion
t1<-seq(t[v3],t[v3]+(nparticion-1)*paso,paso)
} else
{
paso=(t[v3]-t[v3-1])/nparticion
t1<-seq(t[v3-1],t[v3-1]+(nparticion-1)*paso,paso)
}
} else
{
paso=(t[v3+1]-t[v3-1])/nparticion
t1<-seq(t[v3-1],t[v3-1]+(nparticion-1)*paso,paso)
}
tinf1<-t1[1]
fun1<- function (y) (a(tinf1)/x[nvalor]-funcion1(y))
sigue<-1
lim1<-1
while(sigue>0)
{
lim1<-lim1+.01
if (fun1(lim1)<0) sigue=0
}
if(lim1==1.01) b1<-1 else b1<- uniroot(fun1, c(1, lim1))$root
if(length(which(a(t1)/x[nvalor]>exp(-1)))==0)
{
tinf2<-t1[nparticion]
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 66
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
} else
{
tinf2<-t1[which(a(t1)/x[nvalor]>exp(-1))[1]-1]
}
fun2<- function (y) (a(tinf2)/x[nvalor]-funcion1(y))
sigue<-1
lim2<-1
while(sigue>0)
{
lim2<-lim2+.01
if (fun2(lim2)<0) sigue=0
}
b3<- uniroot(fun2, c(lim1, lim2))$root
logvero<-numeric(0)
ini<-b1
sigue<-1
cuenta1<-0
cuenta2<-0
while(sigue==1)
{
cuenta2<-cuenta2+1
if(cuenta2>1) ini<-ini+.1
ent<-acota1(x,t,x[nvalor],ini,xini,t0,decide)
temp<-temperatura.Bertalanffy1(ent,ini,y,t,h,nvalor,N,p0)
sol2<-simann.Bertalanffy1(ent,temp,gamma,ini,y,t,h,nvalor,N)
vero<--f.Bertalanffy1(ini,sol2,y,t,h,nvalor,N)
logvero<-c(logvero,vero)
if(vero<max(logvero))
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 67
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
{
cuenta1<-cuenta1+1
if(cuenta1==5) sigue<-0
}
else
cuenta1<-0
}
vero2<-which(logvero>max(logvero)-.5*qchisq(p,1),arr.ind=TRUE)
b2<-b1+(vero2[length(vero2)])*.1
if(vero2[1]>2) b1<-b1+(vero2[1]-2)*.1
alfa1<-funcion2(b1,x[nvalor],x[1],t[1],tinf1)
alfa2<-funcion2(b2,x[nvalor],x[1],t[1],tinf2)
eta1<-funcion3(b1,alfa1,tinf2)
eta2<-funcion3(b2,alfa2,tinf1)
acota3<-rbind(c(eta1,eta2),c(alfa1,alfa2),c(b1,b2),c(0,.1),c(tinf1,tinf2),c(b1,b3))
}
TEMPERATURA: Calcula la media de los incrementos
Caso b conocido
temperatura.Bertalanffy1<-function(entorno,b0,x,t,h,n,N,p0)
{
sigue<-1
while(sigue>0)
{
solaleatoria1<c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),runif(1,entorno[3,1],entorno[3,
2]))
if (log(solaleatoria1[1])/log(solaleatoria1[2])<t[1]) sigue=0
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 68
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
}
tempini<-0
k<-1
for(i in 1:100)
{
sigue<-1
while(sigue>0)
{
solaleatoria2<c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),runif(1,entorno[3,1],entorno[3,
2]))
if (log(solaleatoria2[1])/log(solaleatoria2[2])<t[1]) sigue=0
}
Dif=f.Bertalanffy1(b0,solaleatoria2,x,t,h,n,N)-f.Bertalanffy1(b0,solaleatoria1,x,t,h,n,N)
if(Dif>0)
{
k<-k+1
tempini<-tempini+Dif
}
solaleatoria1<-solaleatoria2
}
tempini<-(-tempini/k)/log(p0)
}
Caso b desconocido
temperatura.Bertalanffy2<-function(entorno,x,t,h,n,N,p0)
{
sigue<-1
while(sigue>0)
{
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 69
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
solaleatoria1<c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),runif(1,entorno[3,1],entorno[3,
2]),runif(1,entorno[4,1],entorno[4,2]))
if (log(solaleatoria1[1])/log(solaleatoria1[2])<t[1]) sigue=0
}
tempini<-0
k<-1
for(i in 1:100)
{
sigue<-1
while(sigue>0)
{
solaleatoria2<c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),runif(1,entorno[3,1],entorno[3,
2]),runif(1,entorno[4,1],entorno[4,2]))
if (log(solaleatoria2[1])/log(solaleatoria2[2])<t[1]) sigue=0
}
Dif=f.Bertalanffy2(solaleatoria2,x,t,h,n,N)-f.Bertalanffy2(solaleatoria1,x,t,h,n,N)
if(Dif>0)
{
k<-k+1
tempini<-tempini+Dif
}
solaleatoria1<-solaleatoria2
}
tempini<-(-tempini/k)/log(p0)
}
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ALGORITMO SA
Caso b conocido
simann.Bertalanffy1<-function(entorno,temp,alpha,b0,x,t,h,n,N)
{
ini<-c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),
runif(1,entorno[3,1],entorno[3,2]))
while(temp>0.1)
{
for(k in 1:50)
{
sol<-c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),
runif(1,entorno[3,1],entorno[3,2]))
delta<-f.Bertalanffy1(b0,sol,x,t,h,n,N)-f.Bertalanffy1(b0,ini,x,t,h,n,N)
if(delta<=0)
ini<-sol
else
{
if(exp(-delta/temp)>runif(1))
ini<-sol
}
}
temp<-temp*alpha
}
simann.Bertalanffy1<-ini
}
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Caso b desconocido
simann.Bertalanffy2<-function(entorno,temp,alpha,x,t,h,n,N)
{
ini<-c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),
runif(1,entorno[3,1],entorno[3,2]),runif(1,entorno[4,1],entorno[4,2]))
while(temp>0.1)
{
for(k in 1:50)
{
sol<-c(runif(1,entorno[1,1],entorno[1,2]),runif(1,entorno[2,1],entorno[2,2]),
runif(1,entorno[3,1],entorno[3,2]),runif(1,entorno[4,1],entorno[4,2]))
delta<-f.Bertalanffy2(sol,x,t,h,n,N)-f.Bertalanffy2(ini,x,t,h,n,N)
if(delta<=0)
ini<-sol
else
{
if(exp(-delta/temp)>runif(1))
ini<-sol
}
}
temp<-temp*alpha
}
simann.Bertalanffy2<-ini
}
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ALGORITMO VNS DESCENDENTE
Caso b conocido
vns.descendente.Bertalanffy1<-function(kmax,solini,entorno,b0,x,t,h,n,N,p0,gamma)
{
paso11<-(solini[1]-entorno[1,1])/kmax
paso12<-(entorno[1,2]-solini[1])/kmax
paso21<-(solini[2]-entorno[2,1])/kmax
paso22<-(entorno[2,2]-solini[2])/kmax
paso31<-(solini[3]-entorno[3,1])/kmax
paso32<-(entorno[3,2]-solini[3])/kmax
ini<-solini
k<-1
while(k<=kmax)
{
if(k==1) ent<-rbind(c(solini[1]-paso11,solini[1]+paso12),c(solini[2]-paso21,solini[2]+paso22),
c(solini[3]-paso31,solini[3]+paso32))
temp<-temperatura.Bertalanffy1(ent,b0,x,t,h,n,N,p0)
sol<-simann.Bertalanffy1(ent,temp,gamma,b0,x,t,h,n,N)
if(f.Bertalanffy1(b0,sol,x,t,h,n,N)<f.Bertalanffy1(b0,ini,x,t,h,n,N))
{
ini<-sol
k<-1
}
else
k<-k+1
ent<-rbind(c(solini[1]-k*paso11,solini[1]+k*paso12),c(solini[2]-k*paso21,
solini[2]+k*paso22),c(solini[3]-k*paso31,solini[3]+k*paso32))
}
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 73
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ini
}
Caso b desconocido
vns.descendente.Bertalanffy2<-function(kmax,solini,entorno,x,t,h,n,N,p0,gamma)
{
paso11<-(solini[1]-entorno[1,1])/kmax
paso12<-(entorno[1,2]-solini[1])/kmax
paso21<-(solini[2]-entorno[2,1])/kmax
paso22<-(entorno[2,2]-solini[2])/kmax
paso31<-(solini[3]-entorno[3,1])/kmax
paso32<-(entorno[3,2]-solini[3])/kmax
paso41<-(solini[4]-entorno[4,1])/kmax
paso42<-(entorno[4,2]-solini[4])/kmax
ini<-solini
k<-1
while(k<=kmax)
{
if(k==1) ent<-rbind(c(solini[1]-paso11,solini[1]+paso12),c(solini[2]-paso21,solini[2]+paso22),
c(solini[3]-paso31,solini[3]+paso32),c(solini[4]-paso41,solini[4]+paso42))
temp<-temperatura.Bertalanffy2(ent,x,t,h,n,N,p0)
sol<-simann.Bertalanffy2(ent,temp,gamma,x,t,h,n,N)
if(f.Bertalanffy2(sol,x,t,h,n,N)<f.Bertalanffy2(ini,x,t,h,n,N))
{
ini<-sol
k<-1
}
else
k<-k+1
José Antonio Anguita Izquierdo
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Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
ent<-rbind(c(solini[1]-k*paso11,solini[1]+k*paso12),c(solini[2]-k*paso21,solini[2]+k*paso22),
c(solini[3]-k*paso31,solini[3]+k*paso32),c(solini[4]-k*paso41,solini[4]+k*paso42))
}
ini
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 75
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
Bibliografía
[1] Albano, G., Giorno, V., Román-Román, P., Romero, D. y Torres-Ruiz, F. (2011). Inferring the
effect of therapy on tumors showing stochastic gompertzian growth. Journal of Theoretical Biology,
276, 67-77.
[2] Capocelli, R.M. y Ricciardi, L.M. (1974). A diffusion model for population growth in random
envionment. Theoretical Population Biology, 5, 28–41.
[3] Cooper R. G. (2005). Growth in the ostrich (Struthio camelus var. domesticus), Animal Science,
76(1), 1-4.
[4] Cox, J.C. y Ross, S.A. (1976). The evaluation of options for alternative stochastic processes.
Journal of Financial Economy, 3, 145–166.
[5] Crow, E.L. and K. Shimizu (1988). Lognormal Distributions. Theory and Applications. Marcel
Dekker.
[6] Gallhager, B.(2011), Peak oil analyzed with a logistic function and idealized hubbert curve, Energy
Policy, 790-802.
[7] Giovanis, A. y Skiadas, C. (2006). A new modeling approach investigating the diffusion speed of
mobile telecommunication services in EU-15. Computational Econom, 29, 97-106.
[8] Gutiérrez, R., Angulo, J.M., González, A. y Pérez, R. (1991): Inference in lognormal
multidimensional diffusion process with exogenous factors: application to modelling in economics.
Applied Stochastic Models and Data Analysis, 7, 295–316.
[9] Gutiérrez, R., Román, P. y F. Torres (1993). Inference on univariate lognormal diffusion processes
via first-passage-times. Proceedings of the Sixth International Symposium on A.S.M.D.A. (J. Jansen
and Ch. Skiadas, eds.).
[10] Gutiérrez, R.; Gutiérrez-Sánchez, R.; Ramos E.; Román P. y Torres, F. (2003). Modelo de Difusión
Lognormal para la Descripción y Predicción del Precio de la Vivienda Nueva en España. XXVII
Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa, Lérida.
[11] Gutiérrez, R., Román, P. y Torres, F. (1995). A note on the Volterra integral equation for the firstpassage-time density. Journal of Applied Probability, 32, 635-648.
[12] Gutiérrez, R., González, A. y Torres F. (1997). Estimation in multivariate lognormal diffusion
process with exogenous factors. Applied Statistics (Journal of the Royal Statistical Society, Serie C.),
46(1), 140-146.
[13] Gutiérrez, R., Ricciardi, L., Román, P. y Torres, F.(1997). First-passage-time densities for timenon-homogeneous diffusion processes. Journal of Applied Probability, 34, 623-631.
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 76
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
[14] Gutiérrez, R., Román, P. y Torres, F.(1999). Inference and first-passage-times for the lognormal
diffusion process with exogenous factors: application to modelling in economics. Applied Stochastic
Models in Business and Industry, 15, 325-332.
[15] Gutiérrez, R., Román, P., Romero, D. y Torres, F. (2003). Forecasting for the univariate
lognormal diffusion process with exogenous factors. Cybernetics and Systems, 34, 709-724.
[16] Gutiérrez-Jáimez, R., Román, P., Romero, D., Serrano, J.J. y Torres, F. (2007). A new gompertz
diffusion process with application to random growth. Mathematical Biosciences, 208, 147-165.
[17] Gutiérrez, R., Rico, N., Román, P., Romero, D., Serrano, J.J. y Torres, F. (2006). Approximating
the nonhomogeneous lognormal diffusion process via polynomial exogenous factors. Cybernetics and
Systems, 37, 293-309.
[18] Hansen, P., Mladenovic, N y Moreno, J.(2003). Búsqueda de entorno variable, Revista
Iberoamericana de Inteligencia Artificial, 19, 77-92.
[19] Kirkpatrick, S., Gelatt, C., y Vecchi, M. (1983). Optimization by simulated annealing, Science,
220, 671-680.
[20] Kozusko, F. y Bajzer, Z. (2003). Combining Gompertzian growth and cell population dynamics,
Mathematical Biosciences, 185(2), 153-167.
[21] Marcus, A. y Shaked. (1984). The relationship between accounting measures and prospective
probabilities of insolvency: an application to the banking industry. Financial Review, 19, 67–83.
[22] Merton, R.C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of
Financial Economy, 3, 125–144.
[23] Neeff, T. y dos Santos, J.R. (2005). A growth model for secondary forest in Central Amazonia.
Forest Ecology and Management, 216, 270-282.
[24] Przybylski, M. y García-Berthou, E. (2004). Age and growth of European bitterling (Rhodeus
sericeus) in the Wieprz-Krzna Canal, Poland, Ecohydrology. Hydrobiology. 4(2), 207-213.
[25] Ricciardi, L.M. (1997). Diffusion Processes and Related Topics in Biology. Springer Verlag.
[26] Román-Román, P. y Torres-Ruiz, F. (2014). Forecasting fruit size and caliber by means of
diffusion processes. Application to Valencia Late oranges. Journal of Agricultural, Biological, and
Environmental Statistics, 10(2), 292-313.
[27] Román-Román, P., Romero, D. y Torres-Ruiz, F. (2012). Estimating the parameters of a gompertz
diffusion process by means of simulated annealing. Applied Mathematics and Computation, 218, 51215131.
[28] Román-Román, P., Romero, D. y Torres-Ruiz, F., 2010. A diffusion process to model generalized
Bertalanffy growth patterns: Fitting to real data. Journal of Theoretical Biology. 263,. 59-69.
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 77
Modelización de curvas de crecimiento a partir del proceso lognormal no homogéneo
[29] Román-Román, P. y Torres-Ruiz, F. (2012). Modelling logistic growth by a new diffusion process:
Application to biological systems. BioSystems, 110, 9-21.
[30] Román-Román, P. y Torres-Ruiz, F. (2010). A stochastic model related to the Richards growth
curve. 3rd International Conference of the ERCIM Working Group on Computing & Statistics
(ERCIM’10).
[31] Román-Román, P. y Torres-Ruiz, F. (2015). A stochastic model related to the Richards-type
growth curve. Estimation by means of simulated annealing and variable neighborhood search. Applied
Mathematics and Computation, 266, 579-598.
[32] Torres-Ruiz, F. (1993). Aportaciones al estudio de difusiones estocásticas no homogéneas. PhD.
Thesis. Universidad de Granada
[33] Tsoularis, A. y Wallace, J. (2002). Analysis of logistic growth models. Mathematical Biosciences,
179, 21-55.
José Antonio Anguita Izquierdo
Página 78