Lección 14

Eurocódigo para Estructuras de Acero
Desarrollo de
una Propuesta Transnacional
Curso: Eurocódigo 3
Módulo 4: Diseño de piezas
Lección 14: Vigas-pilar
Resumen:
•
•
•
•
•
Los elementos estructurales sometidos a compresión y momento flector son conocidos como vigas-pilar.
La interacción del esfuerzo normal y el momento flector pueden ser tratados elástica o plásticamente, utilizando
el equilibrio para la clasificación de las secciones transversales.
El comportamiento y diseño de las vigas-pilar se presenta dentro del contexto de piezas sometidas a flexión
recta, cuya respuesta es tal que la deformación tiene lugar solamente en el plano de los momentos aplicados.
En el caso de vigas-pilar susceptibles de sufrir pandeo lateral, el pandeo por flexión recta de la pieza fuera del
plano tiene que combinarse con el pandeo lateral de la viga usando las fórmulas de interacción apropiadas.
Para las vigas-pilar con flexión en dos planos, la fórmula de interacción se debe de ampliar mediante un término
adicional.
Requisitos previos:
•
•
•
Clasificación de las secciones transversales..
Pandeo de pilares.
Pandeo lateral de vigas.
Notas:
Este material comprende dos lecciones de 30 minutos.
Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach (SSEDTA)
Eurocódigo para Estructuras de Acero. Desarrollo de una Propuesta Transnacional.
Diseño de Piezas.
Vigas Pilar.
Objetivos:
•
•
•
Calcular el momento flector para flexión recta y el esfuerzo axial de compresión para las vigas-pilar.
Calcular el pandeo lateral de las vigas-pilar.
Calcular el momento flector para flexión en dos planos y el esfuerzo axial de compresión para las vigas-pilar.
Referencias:
•
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•
•
•
Eurocode 3: Design of steel structures Part 1.1 General rules and rules for buildings
Chen W F and Atsuta T: “Theory of Beam-Columns” Vols. 1 and 2, McGraw-Hill, 1976
Trahair N S and Bradford M A: “Behaviour and Design of Steel Structures”, 2nd edition, Chapman and Hall,
1988
Dowling P J, Owens G W and Knowles P: “Structural Steel Design”, Butterworths, 1988
Nethercot D A: “Limit State Design of Structural Steelwork”, 2nd edition, Chapman and Hall, 1991
Contenidos:
1. Comportamiento en el plano de vigas-pilar.
1.1 Comportamiento de las secciones transversales.
1.1.1 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 1 y 2.
1.1.2 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 3.
1.1.3 Momento flector y esfuerzo axial para las secciones de clase 4.
1.2 Estabilidad global.
1.3 Tratamiento en el Eurocódigo 3.
1.3.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2.
1.3.2 Piezas con sección transversal de clase 3.
1.3.3 Piezas con sección transversal de clase 4.
1.3.4 La función del coeficiente ky.
2. Comportamiento a pandeo lateral de vigas-pilar.
2.1 Pandeo lateral.
2.2 El proceso de diseño en el Eurocódigo 3.
2.2.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2.
2.2.2 Piezas con sección transversal de clase 3.
2.2.3 Piezas con sección transversal de clase 4.
2.2.4 La función de kLT.
3. Flexión esviada de las vigas-pilar.
3.1 Diseño de piezas a flexión esviada y compresión.
3.2 Comprobaciones de la sección transversal.
4. Conclusiones.
2
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Diseño de Piezas.
Vigas Pilar.
1.Comportamiento en el plano de las vigas pilar
Las vigas-pilar se definen como piezas sometidas a compresión y flexión combinadas. En principio, todos
los elementos de las estructuras de edificación son en realidad vigas-pilar, con los casos particulares de
las vigas donde N=0 y los pilares donde M=0 como los dos casos extremos. Dependiendo del modo en
que la carga aplicada es transferida a la pieza, de la vinculación en los extremos y la forma de la sección
transversal de la pieza, serán posibles diferentes situaciones.
La más simple de éstas implica un solo momento flector aplicado sobre uno de los ejes principales, con la
pieza resistiendo únicamente el momento flector aplicado en el plano.
Cuando la deformación de una viga-pilar aislada está limitada al plano del momento flector (ver figura 1),
su comportamiento muestra una interacción entre la flexión y el pandeo de la pieza comprimida como se
indica en la figura 2. La curva 1 de esta figura muestra el comportamiento lineal de la viga elástica,
mientras la curva 6 muestra el comportamiento límite de una viga rígido-plástica con el momento plástico
total Mpl. La curva 2 muestra la transición de vigas reales elástico-plásticas desde la curva 1 a la curva 6.
El pandeo elástico de una pieza a compresión centrada para su carga crítica elástica Ncr se observa en la
curva 4.
La curva 3 muestra la interacción entre flexión y pandeo en piezas elásticas, y tiene en cuenta el
tradicional momento N·v ejercido por la carga axial. La curva 7 muestra la interacción entre el momento
flector y el esfuerzo axial que hace que la pieza se plastifique totalmente. Esta curva tiene en cuenta la
reducción del momento plástico total Mpl a Mpr debido al esfuerzo axial, y al momento adicional N·v. El
comportamiento real de una viga-pilar se observa en la curva 5 proporcionando una transición desde la
curva 3 para elementos elásticos a la curva 7 para la plasticidad completa.
x
N
L
ψM
Arriostramientos
transversales
z
M
N
y
Deformación solo en el plano zx
Figura 1 – Comportamiento en el plano
3
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Vigas Pilar.
N
Cargas
M,N
Ncr
M
(1)
v
(4)
(3)
(6)
Mpl
Mpr
M
(2)
N
(N,M) max
(5)
(7)
Límite elástico
(1,2,6)
(4)
(3,7)
(5)
Viga N=0
Pilar M=0
Iinteracción
Viga-pilar
Deformación en el plano v
O
Figura 2 – Comportamiento en el plano de las vigas-pilar
1.1 Comportamiento de las secciones transversales
1.1.1 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 1 y 2
Si se puede alcanzar la plasticidad completa, entonces la condición de fallo será la que se observa en la
figura 3 y la combinación de carga axial y momento flector que proporciona esta condición será:
a. Para
y n ≤ (h − t f ) / 2
Eje neutro en el alma
N M = 2 f y t w yn
 h − 2t
f
M N = f y bt f (h − t f ) + f y 
 2

b. Para
y n > (h − t f ) / 2
2


 − y n2 t w




(1)
Eje neutro en el ala

h


N M = f y t w (h − 2t f ) + 2b t f − + y n 
2



h

M N = f y b − y n (h − y n )t f

2
(2)
La figura 4 compara las ecuaciones. (1) y (2) con la aproximación utilizada en el Eurocódigo 3 de:
M Ny.Rd = M pl . y (1 − n) /(1 − 0,5a) pero M Ny.Rd ≤ M ply.Rd
(3)
5.4.8.1
(5.25)
en la que n = N Sd / N pl .Rd es la relación entre la carga axial y la carga de plastificación por compresión
(fy A), y a = ( A − 2bt f ) / A ≤ 0,5 .
4
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Vigas Pilar.
Para las secciones transversales sin agujeros para tornillos, deben usarse las siguientes aproximaciones
para los momentos respecto del eje z:
5.4.8.1
(5.26)
•
para n ≤ a : M Nz.Rd ≤ M pl .z.Rd
•
  n − a 2 
Para n > a : M Nz.Rd = M pl.z.Rd ⋅ 1 − 
 
  1 − a  
donde n = N Sd / N pl.Rd
y a = ( A − 2bt f ) / A para a ≤ 0,5 .
Además las simplificaciones y aproximaciones para una serie de formas comunes de secciones
transversales se proporcionan en la tabla 1. En todos los casos el valor de MN no debería, por supuesto,
superar el de Mpl.
b
fy
tw
h
tf
y
NM
y
yn
MN
NM, MN conforme a la
Ecuación. (1)
–fy
(a) yn < (h – 2tf) / 2
b
fy
tw
h
y
tf
NM
y
MN
yn
NM, MN conforme a la
Ecuación. (2)
–fy
(b) yn > (h – 2tf) / 2
Figura 3 – Plasticidad completa bajo carga axial y momento
5
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Vigas Pilar.
N / Npl
Eje neutro plástico
Iyn
1,0
0,8
Eje principal
0,6
Eje neutro
en el ala
0,4
0,2
Ecu. exactas. (1)/(2)
Ec. Aprox.EC3 (3)
0,2
0,4
0,6
0,8
Eje neutro
en el alma
1,0
M / Mpl
Figura 4 – Interacción de plasticidad completa – Momento flector respecto
del eje fuerte de una sección HEA 450
Sección transversal
Forma
Expresión para MN
5.4.8.1
M N , y = 1,11M pl. y (1 − n)
(5.27)
M N , z = 1,56M pl.z (1 − n)(0,6 + n)
(5.28)
M N , y = 1,26M pl (1 − n)
(5.31)
M N , y = 1,33M pl . y (1 − n)
(5.32)
Laminada I o H
Sección hueca cuadrada
Sección hueca rectangular
M N , y = M pl .z
Sección hueca circular
1− n
ht
0,5 +
A
M N , y = 1,04M pl (1 − n1,7 )
(5.33)
(5.34)
Tabla 1 – Expresiones para el momento resistente plástico reducido MN
Notación: n = NSd / Npl.Rd
6
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1.1.2 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 3
La figura 5 muestra una sección a lo largo de la longitud de un pilar con forma de H donde la compresión
y el momento flector aplicado respecto del eje y dan lugar a la distribución uniforme y variable de
tensiones mostradas en las figuras 5a y 5b
Para comportamiento elástico puede utilizarse el principio de superposición sumando simplemente las dos
distribuciones de tensiones tal y como se observa en la figura 5c. El límite elástico se alcanzará por tanto
en el borde donde tiene lugar la tensión máxima de compresión y de flexión y se corresponderá con la
condición:
f y = σc + σb
donde:
• fy es el límite elástico del material
•
σ c = N / A es la tensión debida a la carga de compresión N
•
Mh / 2
es la tensión máxima de compresión debida al momento M, h es la altura total de la
I
sección, e I es el momento de inercia respecto del eje y.
σb =
5.4.8.2
Las secciones transversales clase 3 serán válidas si la tensión longitudinal máxima σx.Ed satisface el (5.31)
criterio:
σ x.Ed ≤ f yd
donde f yd = f y / γ M 0 .
N
σc
(a) Compresión
M
σb
–σb
(b) Flexión
N
M
σc – σb
σc + σb
(c) Combinadas
Figura 5 – Comportamiento elástico de una sección transversal sometida
a compresión y flexión
7
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1.1.3 Momento flector y esfuerzo axial para secciones de clase 4
Las secciones transversales de clase 4 serán válidas si la tensión normal máxima σx.Ed calculada utilizando
los anchos efectivos de los elementos comprimidos (ver párrafo 5.3.2.(2) del EC3) cumple el criterio:
σ x.Ed ≤ f yd
donde f yd = f y / γ M 0 .
1.2 Estabilidad global
El tratamiento de los comportamientos de las secciones transversales en los párrafos anteriores no tiene
en cuenta el modo exacto en el que se genera el momento M en la sección transversal considerada. La
figura 6 muestra una viga-pilar experimentando una deformación lateral como resultado de la
combinación del esfuerzo de compresión y unos momentos opuestos e iguales aplicados en los extremos.
El momento en una sección cualquiera de la pieza debe ser convenientemente considerado como
compuesto de dos partes:
•
•
Momento principal M
Momento secundario N v.
Analizando este problema elásticamente utilizando la teoría de estructuras se obtiene la deformación
máxima en el centro (Trahair y Bradford, 1988) como
v max =
donde PEy =
M
π
sec
2
N
N
−1
PEy
(4)
π 2 EI y
es la carga crítica de Euler para el pandeo sobre el eje de mayor inercia,
L2
y el momento máximo es:
M max = M sec
π
2
N
PEy
(5)
N
M
M
y
x
L
v
Nv
M
Momento
d2v
=EI –––
dx2
M
M
N
Figura 6 – Momentos principal y secundario
8
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En ambas ecuaciones el término secante puede reemplazarse teniendo en cuenta que la deformación de
primer orden (debida a los momentos en los extremos M actuando solos) y el momento de primer orden
M – obtenido mediante la teoría ordinaria de vigas – están aproximadamente amplificadas por el término:
1
1 − N / PEy
(6)
como se muestra en la figura 7.
Así:
v max =
1
ML2
8 EI y 1 − N / PEy
M max = M
(7)
1
1 − N / PEy
(8)
M max
M
(9)
Dado que la tensión elástica máxima será:
σ max = σ c + σ b
La ecuación. (9) puede escribirse como:
σc
σb
+
= 1,0
fy
f y (1 − N / PEy )
(10)
N / PEy
1,0
Aproximación –
Ecuac. (7) y (8)
0,8
Exacta para el momento – Ec. (5)
0,6
Exacta para la desviación – Ec. (4)
0,4
0,2
Mmax
vmax
–––––––––
or –––––
ML2 / 8EIy
M
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 7 – Deformación y momento máximos en vigas-pilar con
momentos iguales
9
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Vigas Pilar.
σc / fy
1,0
Esbeltez
aumentando
σb / fy
0
1,0
Figura 8 – Forma de la ecuación. (10)
La ecuación (10) puede ser resuelta para valores de σc y σb que justamente rebasen el límite elástico,
tomando diferentes valores de PEy (el cual depende de la esbeltez L/ry). Esto da lugar a una serie de curvas
como se muestra en la figura 8, en la que se indica que cuando σ b → 0 , σc tiende al valor del límite
elástico del material fy. Así la ecuación. (11) no reconoce la posibilidad de pandeo bajo carga axial pura a
una tensión σEy dada por:
σ Ey =
PEy
A
=
π 2 EI y
AL2
=
π2 E
(11)
λ2y
El uso de ambas ecuaciones (11) y (12) asegura que ambas condiciones están cubiertas como se muestra
en la figura 9.
σc / fy
1,0
σEy / fy
σEy / fy
σEy / fy
Esbeltez
aumentando
σb / fy
0
1,0
Figura 9 – Combinación de las ecuaciones (10) y (11)
10
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Vigas Pilar.
1.3 Tratamiento en el Eurocódigo 3
Las ecuaciones. (10) y (11) están escritas en términos de tensiones y tienen su origen en el concepto de
“fallo” siendo definido bien como la superación del límite elástico o bien como el pandeo elástico de la
pieza perfecta. Los códigos de diseño basados en los estados límites, como el Eurocódigo 3,
normalmente toman la carga última como el criterio de diseño cuando se considera la resistencia bajo
carga estática. De esta manera estas ecuaciones deben volver a escribirse en términos de fuerzas y
momentos. Al hacer esto es también necesario tener en cuenta aquellos efectos que se presentan en las
estructuras reales y que no han sido tenidos en cuenta explícitamente, por ejemplo la falta inicial de
rectitud, tensiones residuales, etc. Por mantener una consistencia en el diseño es esencial que la ecuación
de interacción para estados de carga combinados se convierta en los procedimientos de diseño de pilares y
vigas cuando el momento flector o el esfuerzo axial respectivamente se hacen nulos.
1.3.1 Piezas con secciones transversales de clases 1 y 2
El método adoptado por el Eurocódigo 3 (suponiendo momento respecto del eje y ) es utilizar:
k y M y.Sd
N Sd
+
≤1
χ y Af y W pl . y f y
(12)
5.5.4.(1)
(5.51)
en la que χ y es el coeficiente de reducción para el pandeo del pilar y
k y =1 −
µ y N Sd
χ y Af y
pero k y ≤ 1,5
con
µ y = λ y (2β My − 4) +
W pl , y
Wel , y
− 1 pero µ y ≤ 0,90
donde βMy es un coeficiente del momento uniforme equivalente que tiene en cuenta la variación del
diagrama de momentos, ver la tabla 2 (diagrama de momentos respecto del eje y y restricción en la
dirección z ).
1.3.2 Piezas con sección transversal de clase 3
Las piezas con sección transversal de clase 3 sometidas a flexión y carga axial deberán cumplir:
k y M y.Sd
N Sd
+
≤1
Wel. y f y
χ y Af y
(13)
5.5.4.(3)
(5.53)
donde ky y χy son como en la ecuación. (12) con
µ y = λ y (2β My − 4)
pero
µ y ≤ 0,90
11
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Diagrama de momentos
Coeficiente del momento uniforme equivalente βM
Momentos en los extremos
β M ,ψ = 1,8 − 0,7ψ
Momentos debidos a cargas
transversales
Para cargas uniformemente repartidas: β M ,Q = 1,3
Para cargas concentradas: β M ,Q = 1,4
Momentos debidos a cargas
transversales más momentos en
los extremos
β M = β M ,ψ +
MQ
∆M
(β M ,Q − β M ,ψ )
donde:
M Q = max M
debido únicamente a carga transversal
y
∆M = max M
para diagramas de momentos sin cambio de signo
∆M = max M + min M
cuando cambia el signo del diagrama
Tabla 2 – Coeficientes del momento uniforme equivalente βM
12
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1.3.3 Piezas con secciones transversales de clase 4
Las piezas con secciones transversales de clase 4 sometidas a momento flector y carga axial deberán
cumplir:
k y ( M y.Sd + N Sd e N . z )
N Sd
+
≤1
Weff . y f y
χ y Aeff f y
(14)
5.5.4.(3)
(5.56)
donde
• ky y χy son como en la ecuación (12) con µy como en la ecuación (13).
• Aeff.y es el área efectiva de la sección transversal para compresión pura.
• Weff.y es el módulo resistente efectivo de la sección transversal para flexión pura.
• eN.z es el desplazamiento del eje neutro comparando la sección transversal completa con la sección
transversal efectiva (calculada suponiendo compresión pura) utilizada para tener en cuenta el pandeo
local.
1.3.4 La función del coeficiente ky
El valor de ky, como se observa en las explicaciones de la ecuación. (12), depende de:
• El nivel de la carga axial, medido por medio de la relación:
N Sd
χ y Af y
• La esbeltez de la pieza λy
• El margen entre los módulos resistentes plástico y elástico de la sección transversal Wpl y Wel
(solamente para secciones transversales de clase 1 y 2).
• El diagrama de momentos principales.
Cuando todo esto se combina de la manera más rigurosa el valor seguro de ky es 1,5. La función de ky es
tener en cuenta el efecto de los momentos secundarios descritos anteriormente más los efectos de la
variación del momento y la fluencia.
La figura 6 mostraba como, para el caso particular de momentos flectores iguales y opuestos en los
extremos, los momentos principales se amplifican como consecuencia del efecto de la carga axial N
actuando a través de los desplazamientos laterales v. Cuando el diagrama de momentos principales es
diferente (momentos variables), los dos efectos no se sumarán directamente dado que los máximos
momentos principal y secundario no se producen necesariamente en la misma sección.. La figura 10
ilustra la situación para momentos extremos M y ψM, donde ψ puede adoptar valores entre +1 (curvatura
simple uniforme) y –1 (doble curvatura). El caso particular mostrado corresponde a un valor ψ≅–0,5.
Para el caso ilustrado, el momento máximo aún tiene lugar en una sección intermedia pero la situación es
claramente menos severa que la mostrada en la figura 6, suponiendo que todas las condiciones son
idénticas aparte del valor de ψ. Es habitual admitir esto en el diseño reduciendo la contribución del
término del momento en la expresión de interacción. Así en el Eurocódigo 3 ky en la ecuación (12)
depende de la relación ψ.
Ya que el caso de momento de curvatura simple uniforme es el mas severo, puede concluirse que una
simplificación segura es usar siempre ψ=1,0.
Volviendo a la figura 10, es posible que el momento máximo se presente en el extremo donde se aplica el
mayor momento principal. Esto normalmente ocurriría si el esfuerzo axial fuera pequeño y/o la esbeltez
fuera baja por lo que los efectos del momento secundario serían relativamente insignificantes. En tales
casos el diseño estará supeditado a la necesidad de asegurar la adecuada resistencia de la sección
transversal en dicho extremo. Deberíamos utilizar por tanto los valores de la tabla 2.
13
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En los casos donde solamente se considera la situación de momento uniforme (ψ=1,0), la comprobación
del pandeo global por medio de la ecuación (12) será siempre más severa que (o en el limite igual a) la
comprobación de la sección transversal, y por lo tanto esta última comprobación no se precisa llevar a
cabo de forma separada.
N
ψM
ψM
x
Momento
d2v
=EI –––
dx2
L
x (1 – ψ)]
M[ψ + ––
L
Nv
v
M
M
N
Figura 10 – Caso de momento no uniforme
2. Comportamiento a pandeo lateral de vigas-pilar
Cuando una viga-pilar no arriostrada está flectada respecto de su eje de mayor inercia (figura 11), puede
pandear deformándose lateralmente y retorciéndose sobre su propio eje para una carga significativamente
menor que la carga máxima prevista al llevar a cabo un análisis de la flexión en el plano. Este pandeo
lateral puede presentarse mientras el elemento todavía es elástico (ver la curva 1 de la figura 12), o
después de una cierta plastificación (curva 2) debida a la flexión en el plano y la compresión que han
tenido lugar.
2.1 Pandeo lateral
Consideremos el comportamiento a pandeo lateral de una viga-pilar con sección en I no arriostrada
transversalmente y flectada respecto de su eje fuerte. Suponiendo un comportamiento elástico y la
disposición de cargas aplicadas y condiciones de apoyo dadas en la figura 13, las combinaciones críticas
de N y M pueden ser obtenidas de la propuesta de (Chen and Atsuta, 1976):
M2
i02 PEz PE 0

N 
N 

1 −
= 1 −

PEz 
PE 0 

(15)
en la cual
•
i0 =
I y + Iz
A
es el radio de giro polar
14
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•
•
PEz =
π 2 EI z
es la carga crítica para el eje débil
L2
π 2 EI w 
GI 
PE 0 = t 1 +
es la carga de pandeo lateral.
i02 
GI t L2 
x
N
L
ψM
z
M
y
N
El pilar flexa en el plano zx,
pandea lateralmente en el plano yx
y gira respecto del eje x
Figura 11 – Comportamiento a pandeo lateral
Carga
(1) Pandeo elástico
(2) Pandeo anelástico
Carga
(1) Pandeo elástico
(2) Pandeo anelástico
Límite elástico
Deformación fuera del plano
Deformación en el plano
(a) Comportamiento fuera del plano (b) Comportamiento en el plano
Figura 12 – Pandeo lateral de vigas-pilar
15
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Vigas Pilar.
N
M
L
M
N
Los apoyos extremos impiden los movimientos transversales
y el giro de torsión pero no ofrecen restricción
al giro de flexión o al alabeo
Figura 13 – Caso básico para pandeo lateral
La ecuación. (15) se reduce al pandeo de una viga cuando N→0 y al pandeo de un pilar tanto en flexión
(PEz) como en torsión (PE0) cuando M→0. En el primer caso el valor crítico de M viene dado por:
M cr =
π 2 EI w
π
EI z GI t 1 +
L
L2 GI t
(16)
en la cual
• EIz es la rigidez a flexión respecto del eje débil
• GIt es la rigidez torsional
• EIw es la rígidez de alabeo.
En la obtención de la ecuación (15) no se realizó ninguna concesión para la amplificación de los
momentos en el plano M, debida a la carga axial actuando a través de las desviaciones en el plano. Esto
M
puede ser estimado mediante
. En ese caso la ecuación (15) puede transformarse en:
1 − N / PEy
M2
i02 PEz PE 0

N 
N 
N 

1 −
1 −
= 1 −


PEy 
PEz 
PE 0 

(17)
Teniendo en cuenta las magnitudes relativas de PEy, PEz y PE0, y reordenando llegamos a la expresión:
N
M
1
+
=1
PEz 1 − N / PEy i0 PEz PE 0
(18)
N
M
1
+
=1
PEz 1 − N / PEy M cr
(19)
o bien
16
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2.2 El proceso de diseño en el Eurocódigo 3
Por motivos de diseño es necesario hacer concesiones apropiadas para efectos tales como la falta inicial
de rectitud, la plastificación parcial, tensiones residuales, etc., como ha sido ya comentado en lecciones
anteriores en el contexto de pilares y vigas. Por ello es necesario hacer ciertas modificaciones en la
ecuación. (19) que la hagan apropiada para el cálculo. En particular, los casos extremos (correspondientes
a los de M=0 y N=0) deben ajustarse a los procedimientos establecidos para pilares y vigas.
2.2.1 Piezas con secciones transversales de clase 1 y 2
El Eurocódigo 3 utiliza la ecuación de interacción:
k LT M y.Sd
N Sd
+
≤1
χ z Af y χ LT W pl . y f y
(20)
5.5.4.(2)
(5.52)
en la que χ z es el coeficiente de reducción para pandeo de pilares respecto del eje débil, χ LT es el
coeficiente de reducción para pandeo lateral en vigas, y
µ N
k LT = 1 − LT Sd
χ z Af y
pero
k LT ≤ 1,0
con
µ LT = 0,15( λ z 2β M , LT − 1)
pero
µ LT ≤ 0,90
donde βM,LT es un coeficiente para tener en cuenta la no uniformidad del diagrama de momentos, ver la
Tabla 2 (diagrama de momentos respecto del eje y restricciones en la dirección y ).
2.2.2 Piezas con sección transversal de clase 3
Las piezas con sección transversal de clase 3 deberán cumplir el siguiente criterio:
k LT M y.Sd
N Sd
+
≤1
χ z Af y χ LT Wel. y f y
(21)
5.5.4.(4)
(5.54)
(22)
5.5.4.(5)
(5.57)
2.2.3 Piezas con sección transversal de clase 4
Las piezas con sección transversal de clase 4 deberán satisfacer el siguiente criterio:
k LT M y.Sd + N Sd e N , z
N Sd
+
≤1
χ z Af y
χ LT Weff . y f y
2.2.4 La función de kLT
El valor de kLT, como se indica en las ecuaciones, depende de:
• El nivel de la carga axial medida por la relación
N Sd
χ z Af y
• La esbeltez de la pieza λz
• El diagrama de momentos principales.
Para la combinación más severa kLT toma el valor unidad, correspondiendo a una combinación lineal de
los términos a compresión y flexión. Esto refleja el reducido alcance para los efectos de amplificación en
este caso, dado que el valor de NSd no puede superar el valor χz A fy, el cual, a su vez, será
significativamente menor que la carga crítica elástica para el pandeo en el plano PEy.
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Es también necesario chequear la posibilidad de fallo en el plano debida a una excesiva deformación en el
plano del alma para una carga más baja que la dada por la ecuación. (20). Esto podría ocurrir, por
ejemplo, en situaciones donde se disponga de diferentes condiciones de arriostramiento y/o condiciones
de apoyo en los planos xy y xz como se muestra en la figura 14. Tales casos deberán tratarse
comprobando además de la ecuación. (20), una ecuación en el plano de la forma:
k y M y.Sd
N Sd
+
≤1
χ min Af y W pl . y f y
(23)
en la que χmin depende de las condiciones en el plano. Sin embargo, normalmente es la ecuación (20) la
que gobierna el diseño.
Figure 14 – Pilar con diferentes condiciones de vinculación en los planos
“xy” y “xz”
3. Flexión esviada de las vigas-pilar
El análisis para el caso tridimensional, incluso para la simple versión elástica, es extremadamente
complejo y no se dispone de soluciones concretas. Antes de abordarlo analíticamente conviene tener en
cuenta las consideraciones del comportamiento y el uso de métodos ya obtenidos para los casos más
simples de la figura 15.
La figura 16 presenta una versión en el diagrama de los requisitos de diseño. Los planos N-Mz y N-My
corresponden a los dos casos uniaxiales ya estudiados. La interacción entre los dos momentos Mz y My
corresponde al plano horizontal. Cuando los tres componentes de los esfuerzos N, My y Mz están presentes
la interacción resultante se dibuja en el espacio en tres dimensiones representado por el diagrama.
Cualquier punto que caiga dentro de los límites corresponde a combinaciones seguras de esfuerzos.
Suponiendo esfuerzos proporcionales, cualquier combinación puede ser considerada como una línea recta
comenzando en el origen, la orientación dependerá de los valores relativos de los tres componentes del
esfuerzo. Aumentando los esfuerzos esta línea se prolonga desde el origen hasta alcanzar y sobrepasar la
región segura. El caso de esfuerzos no proporcionales correspondería a una serie de líneas.
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En cada caso los ejes han sido tomados como la relación entre la componente del esfuerzo aplicado y la
resistencia de la pieza a dicho esfuerzo aplicado en solitario, p.e. NSd/χminAfy en el caso de esfuerzo de
compresión. Así la figura 16 realmente representa la situación para un ejemplo particular con valores
particulares de las propiedades de la sección transversal, esbeltez y tipo de carga. Cambiando alguno o
todos estos valores variaríamos la forma de la superficie de interacción, pero no el principio general.
x
ψzMz
N
ψyMy
z
Mz
My
N
y
Deformaciones del pilar en los planos zx e yx
y giro respecto del eje x
Figura 15 – Flexión esviada
NSd / Afy
1
Menos esbelta
Mas esbelta
1
Mz,Sd / Wpl.zfy
1
My,Sd / Wpl.yfy
Figura 16 – Diagrama de interacción para flexión esviada
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3.1 Diseño de piezas a flexión esviada y compresión
Las piezas con secciones transversales de clase 1 y 2 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión
en dos planos deberán cumplir la siguiente desigualdad:
k y M y , Sd k z M z , Sd
N Sd
+
+
≤1
χ min Af y W pl , y f y
W pl , z f y
(24)
5.5.4.(1)
(5.51)
donde kz es un coeficiente similar a ky, ver la ecuación. (12).
Las piezas con secciones transversales de clase 1 y 2 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión
en dos planos donde el pandeo lateral es relevante, deberán verificar la siguiente desigualdad:
k LT M y, Sd
k z M z , Sd
N Sd
+
+
≤1
χ z Af y χ LT W pl , y f y W pl , z f y
(25)
5.5.4.(2)
(5.52)
Las piezas con sección transversal de clase 3 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en dos
planos deberán cumplir la siguiente desigualdad:
k y M y , Sd k z M z , Sd
N Sd
+
+
≤1
χ min Af y
Wel , y f y
Wel , z f y
(26)
5.5.4.(3)
(5.53)
Las piezas con secciones transversales de clase 3 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en
dos planos donde además el pandeo lateral es relevante, deberán satisfacer la siguiente desigualdad:
k LT M y, Sd
k z M z , Sd
N Sd
+
+
≤1
χ z Af y χ LT Wel , y f y Wel , z f y
(27)
5.5.4.(4)
(5.54)
Las piezas con sección transversal de clase 4 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en dos
planos deberán verificar la siguiente desigualdad:
k y ( M y ,Sd + N Sd e Nz ) k z ( M z , Sd + N Sd e Ny )
N Sd
+
+
≤1
χ min Aeff f y
Weff , y f y
Weff , z f y
(28)
5.5.4.(5)
(5.56)
Las piezas con secciones transversales de clase 4 sometidas simultáneamente a compresión y a flexión en
dos planos donde además el pandeo lateral es relevante, deberán satisfacer la siguiente desigualdad:
k LT M y ,Sd + N Sd e Ny k z ( M z , Sd + N Sd e Nz )
N Sd
+
+
≤1
Weff , z f y
χ z Aeff f y
χ LT Weff , y f y
(29)
5.5.4.(6)
(5.57)
Una cuestión importante a tener en cuenta a la hora de obtener Aeff y Weff es que el cálculo de las
características de la sección transversal, y por tanto también la clasificación de la sección transversal,
deberán realizarse sobre bases diferentes para cada uno de los tres componentes del esfuerzo N, My y Mz.
Esto significa, por supuesto, que la misma pieza puede clasificarse como clase 1 para la flexión respecto
del eje de mayor inercia, clase 2 para la flexión respecto del eje de menor inercia y clase 3 para el
esfuerzo de compresión. En tales situaciones la propuesta del cálculo más segura es llevar a cabo las
comprobaciones de todas las vigas-pilar usando los valores correspondientes a la clase de sección menos
favorable.
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3.2 Comprobaciones de la sección transversal
Si la reducción se ha realizado al obtener los factores k (a través del uso de βM) para los efectos menos
severos de los diagramas de momentos (distintos que la curvatura simple de momento uniforme), es
necesario además comprobar que la sección transversal será capaz de soportar en todos sus puntos la
combinación de la compresión y el momento flector principal.
Las expresiones para comprobar diversos tipos de secciones transversales sometidas simultánemente a
compresión y flexión en un plano se dieron en la sección 1.1. Para flexión esviada el EC 3 propone:
 M y.Sd

 M Ny.Rd

α

 +  M z.Sd
M

 Nz.Rd

5.4.8.1
(5.35)
β

 ≤1


(30)
en la que los valores de α y β dependen del tipo de sección transversal como se indica en la tabla 3.
Una alternativa conservadora pero más sencilla es:
M y.Sd
N Sd
M z.Sd
+
+
≤1
N pl .Rd M Ny.Rd M Nz.Rd
(31)
Tipo de sección transversal
α
β
Secciones I y H
2
5n pero ≥ 1
Tubos circulares
2
2
Secciones rectangulares huecas
Rectángulos macizos y chapas
1,66
1 − 1,33n
2
pero ≤ 6
1,73 + 1,8n3
1,66
1 − 1,33n 2
5.4.8.1
(5.36)
pero ≤ 6
1,73 + 1,8n3
Tabla 3 – Valores de α y β para su uso en la ecuación. (30)
Notación: n = NSd / Npl.Rd
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4. Conclusiones
• Las vigas-pilar son elementos estructurales sometidos a compresión y flexión recta o esviada.
• El comportamiento de las vigas-pilar puede ser entendido en tres modos (a) comportamiento de la
viga-pilar arriostrada; (b) la viga-pilar no arriostrada sometida a compresión y flexión en un plano y
(c) la viga-pilar no arriostrada sometida simultáneamente a compresión y flexión en dos planos.
• El modo (a) esta gobernado por el comportamiento de la sección transversal
• El modo (b) está gobernado por una interacción entre el comportamiento de la sección transversal y el
pandeo plano o pandeo lateral del elemento.
• El modo (c) esta gobernado por los mismos factores que en (b) pero en las expresiones de
comprobación debe de incorporarse el momento respecto del otro eje.
• La lección explica los conceptos básicos de interacción entre los efectos de la flexión y la compresión
concentrándose en el comportamiento uniaxial y en el plano. Posteriormente se amplía el tratamiento
de las vigas-pilar para incluir los casos de pandeo lateral y flexión esviada.
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