35 - MC Manuel Amarante

Capítulo 8
CONTROL MODERNO
Sesión 35
#1
CAPÍTULO 8
OBSERVADORES DEL ESTADO
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Objetivo: El alumno entenderá que es posible conocer el estado
del sistema a partir de sus entradas y/o salidas (observadores) y
aprovechar éste en la modificación de la dinámica del sistema.
Competencia: En este apartado el alumno adquirirá los
conocimientos y las habilidades necesarias para hacerse
competente para realizar el diseño de los observadores de estado
cuando las variables de estado no están accesibles y diseñar
tomando en cuenta su efecto en el cambio de la dinámica del
sistema a controlar. Este diseño se realizara a mano, con una
calculadora programable o en una computadora digital
utilizando Matlab o Maple.
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Capítulo 8
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OBSERVADORES DEL ESTADO
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#2
Comportamiento del conjunto sistema-observador.
El objetivo final de la utilización de un observador es diseñar un control por
retroalimentación del estado a partir del estado estimado. Cabe, por lo tanto,
analizar la controlabilidad al sistema en forma conjunta con el observador, tanto
antes de realizar la retroalimentación del estado como después.
Sin retroalimentación del estado.
Las ecuaciones tanto del sistema inicial como del observador son:
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
o
x e (t ) = ( A − HC )xe (t ) + Bu (t ) + HCx (t )
o
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#3
escrito en forma matricial:
o   A
 ox(t )  = 
 x e (t )  HC


0   x(t )   B 
+
u (t )
A − HC   xe (t )  B 
cuya representación gráfica se observa en la Figura de la diapositiva siguiente.
Si se estudia la controlabilidad del sistema conjunto, mediante la construcción
de la matriz Q:
B
Q=
B
AB
AB
A2 B L An −1B 

A2 B L An −1B 
Como puede verse fácilmente, el conjunto formado por los dos grupos de
variables es no controlable.
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#4
●
u(t)
x(t)
B
∫
x(t)
C
y(t)
A
H
●
xe(t)
B
∫
xe(t)
A-HC
Esquema del sistema con observador.
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Capítulo 8
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#5
Dado que se parte de que el sistema inicial es controlable, el rango de esta
matriz sigue siendo n, por lo que se puede se puede hacer una separación de la
parte no controlable, mediante el cambio:
~
 I
x(t ) = 
− I
0  x(t )   x(t ) 
=
I   xe (t )  xe (t ) − x(t )
Con lo que la nueva expresión de la ecuación de estado es:
o

 A
 o x(t )o  = 
 x e (t ) − x (t )  0


0   x(t )   B 
+
u (t )
A − HC   xe (t ) − x(t )  0 
Ecuación de la que puede extraerse las siguientes conclusiones:
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#6
La parte no controlable es la diferencia entre el estado estimado y el
estado real: actuando sobre la entrada no se modificará el
comportamiento de esta diferencia, como cabe esperar de las condiciones
impuestas en la definición del observador.
La evolución de la parte no controlable es:
xe (t ) − x(t ) = Φ A − HC (t , t0 )( xe 0 − x0 )
que corrobora lo ya conocido: será cero, si el estado inicial para las
variables reales y para las estimadas es el mismo, y tendera a cero, si
siendo el estado inicial distinto, los valores propios de A-HC tienen parte
real negativa.
El hecho de retroalimentar el estado X(t) no afecta la dinámica del
observador, sólo a la del sistema observado. Sin embargo, no hay que
olvidar que no es posible retroalimentar X(t), al no tener acceso a estas
variables, sino Xe(t), el conjunto de variables estimadas.
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Capítulo 8
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#7
Con retroalimentación del estado.
Partiendo del esquema del sistema con observador y teniendo en cuenta que la
retroalimentación se realiza utilizando el conjunto de variables estimadas, el
esquema del sistema con retroalimentación queda como se ve en la Figura de
la siguiente diapositiva.
Las ecuaciones del sistema retroalimentado son:
w(t ) = Kxe (t )
u (t ) = r (t ) + w(t )
x (t ) = Ax(t ) + B (r (t ) + Kxe (t )) = Ax (t ) + BKxe (t ) + Br (t )
o
x e (t ) = ( A − HC )xe (t ) + BKxe (t ) + Br (t ) + HCx (t )
o
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#8
●
r(t)
u(t)
B
x(t)
x(t)
∫
C
y(t)
A
H
●
B
xe(t)
xe(t)
∫
A-HC
w(t)
K
Sistema con observador y retroalimentaciónControl
del estado.
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CAPÍTULO
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#9
OBSERVADORES
DEL ESTADO
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#9
Que escritas en forma matricial resultan:
 o( )  A
 ox t  = 
 x e (t )  HC


BK
  x(t )   B 
+
r (t )
A − HC + BK   xe (t )  B 
Si se estudia la controlabilidad del sistema en conjunto, mediante la
construcción de la matriz Q:
B
Q=
B
( A + BK )B ( A + BK )2 B
( A + BK )B ( A + BK )2 B
L
L
( A + BK )n −1 B 
( A + BK ) B 
se observa claramente que el sistema es no controlable.
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#10
Dado que por hipótesis de partida se supone que el sistema inicial es
controlable, el rango de la matriz de controlabilidad es n. Así, se puede
realizar la separación de la parte no controlable para el sistema en conjunto,
mediante la transformación descrita con anteriopridad:
~
 I
x(t ) = 
− I
0  x(t )   x(t ) 
=
I   xe (t )  xe (t ) − x(t )
Con lo que la nueva representación de la ecuación conjunta es:
o

  A + BK
 o x(t )o  = 
 x e (t ) − x(t )  0


BK   x(t )   B 
+
r (t )
A − HC   xe (t ) − x(t )  0 
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#11
De esta expresión se pueden extraer fácilmente las siguientes conclusiones:
La parte no controlable sigue siendo la diferencia entre el estado
estimado y el estado real. La estimación del estado no se modifica por la
existencia de la retroalimentación como ya se anticipo.
La dinámica del sistema retroalimentado viene marcada por la expresión:
x(t ) = ( A + BK )x(t ) + BK ( xe (t ) − x(t )) + Br (t )
o
donde se puede apreciar que el sistema retroalimentado con observador
se comporta de forma similar al sistema al sistema retroalimentado sin
observador, salvo en el término BK(xe(t)-x(t)), que tendera a cero en
función de la dinámica del observador.
Los polos del observador van a aparecer como ceros del sistema
retroalimentado, por lo que se tiende a que su valor sea claramente
superior a los polos del sistema observado. De esta forma, su efecto sobre
la dinámica del sistema se ve minimizado; llega incluso a ser despreciable
en el caso en que se encuentren lo suficientemente alejados del eje
imaginario en relación con los polos dominantes.
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#12
Esto, sin embargo, se consigue a costa de manejar una matriz H con
coeficientes considerablemente grandes (como se vera en la sección dedicada a
su cálculo), hecho que representa el inconveniente de hacer al observador muy
sensible a cualquier ruido en la observación que pueda presentarse añadido
variable de salida y(t); este ruido magnificado se usa como entrada al sumador
o
donde se define x e y, al ser integrado, aparece como un error acumulativo en
xe, perjudicando la calidad de la estimación.
Es necesario encontrar un compromiso entre la posición de los ceros del
sistema y la sensibilidad el observador al ruido presente en la medida de la
salida, por lo que se debe llegar a soluciones alternativas. En este caso, se
recurre al observador óptimo; sin embargo, su obtención implica utilizar
técnicas propias de optimización, lo que hace que quede fuera del alcance de
este curso. La solución propuesta en este curso es por tanto la de utilizar
dinámicas arbitrariamente rápidas, proponiendo al alumno que tome la clase
de Control Óptimo
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