Divisores de un número y regla del producto

Divisores de un número y regla del producto
Eugenio Flores
En estas notas, nuestra intención es llegar a través de varios pasos naturales, a poder ver la
fórmula para calcular los divisores de un número como un simple ejercicio de regla del producto.
Tratáremos de hacerlo de una manera que sea sencilla no sólo de entender, además de llevar al
salón de clase.
Vamos a recordar varias cosas sobre divisibilidad:
a. Decimos que un número entero d divide a otro número entero n si existe un entero k tal
que
. También decimos que n es múltiplo de d, o que d divide a n. Únicamente en
este caso –cuando la división es entera, o el residuo cero- diremos que un número divide a
otro.
b. Es fácil ver que si d es divisor de un número, entonces –d también es divisor. A lo largo de
todo este documento –y casi siempre en general- vamos a considerar únicamente los
divisores positivos de un número.
c. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número puede factorizarse de
manera única –salvo orden- como producto de potencias positivas de números primos.
No está de más, tampoco, tener en mente a qué nos referimos como regla del producto.
Rápidamente recordemos los problemas de guardarropa: si Carmen tiene 5 blusas y 3 pantalones
¿de cuántas maneras se puede vestir? Una manera sencilla de resolver el problema –cuando los
números son chicos, es con un diagrama de árbol:
Blusa 1
Pantalón
1
Pantalón
2
Blusa 2
Pntalón
3
Pantalón
1
Pantalón
2
Blusa 3
Pantalón
3
Pantalón
1
Pantalón
2
Blusa 4
Pantalón
3
Pantalón
1
Pantalón
2
Blusa 5
Pantalón
3
Pantalón
1
Pantalon
2
Pantalón
3
Sólo necesitamos contar las ramas finales, que son 15. Si ahora consideramos los 12 pares de
zapatos que tiene Carmen, puede volverse tardado hacer un diagrama de árbol. En lugar, vemos
que cada una de las combinaciones que ya tenemos, puede combinarse con cada uno de los 12
pares de zapatos. Si por una combinación tenemos 12 combinaciones nuevas, por 15 vamos a
tener quince veces 12; es decir, 12 x 15 = 180.
En general, si una cierta tarea puede realizarse de m maneras y, para cada una de esas maneras,
una segunda tarea puede realizarse de n maneras, entonces ambas tareas juntas pueden
realizarse de mn maneras. Esta es, precisamente, la regla del producto.
Empezaremos por el final, haciendo una tabla. A cada número, debemos encontrar los números
que tienen esa cantidad de divisores. Vamos a hacerlo de dos maneras: vamos a empezar dando
números de ejemplo pues es muy poco probable que alumnos de secundaria sugieran desde un
primer momento la forma del número como producto de primos. Aunque desde el principio
vamos a escribir también la forma, pronto nos vamos a dar cuenta que es la manera más fácil.
1:
1
El 1 es el único número que tiene un único divisor, pues es la unidad.
2:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… p
(1, p)
Todos los números primos tienen exactamente 2 divisores y son, además, los únicos números que
tienen exactamente 2 divisores. Esta es, precisamente, la definición de un número primo: Un
número es primo si y sólo si tiene exactamente 2 divisores positivos.
3:
4, 9, 25, 49, 121,… p2
(1, p, p2)
4:
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 35, 55,… pq
8, 27, 125, 343,… p3
(1,
p,
2
3
(1, p, p , p )
q,
pq)
Con cuatro divisores damos un paso muy importante: es el primer número que tiene más de una
forma posible. Debemos hacer notar que 4 = 2 x 2, mientras que no es posible encontrar dos
números ambos distintos de 1 para hacer esto con 1, 2, 3 –pues son primos. Además, los primeros
ejemplos son todos el doble de un número. El número 15 es un buen ejemplo para ver que no sólo
el doble cumple. Además, el 4 nos ayuda a ver que no todos los dobles funcionan. Los alumnos
hacen adivinanzas tratando de generalizar –a veces nada más avientan números al azar- siempre
hay que tener un contraejemplo sencillo y rápido para tratar de ayudar en su adivinanza.
5:
32, 81, 656,… p4
(1, p, p2, p3, p4)
Los ejemplos se vuelven más escasos conforme el número de divisores aumentan. Además se
vuelve más complicado calcularlos. Para aquí, la mayoría puede darse cuenta que si queremos k
divisores, entonces pk-1 siempre funciona. Debemos recalcar aquí que esta es la única manera para
5 pues es primo.
6:
64,… p5
12, 18, 50, 75,… p2q
(1,
p,
p2,
p3,
(1, p, q, p2, pq, p2q)
p4,
p5)
El primer caso ya debería ser sencillo. Es más, debería surgir casi sin ejemplo pues empezamos a
trabajar con números muy grandes. Sin embargo, hay que notar que aunque para algunos alumnos
para este punto ya sea claro que cualquier primo elevado a la quinta potencia cumple, lo más
probable es que intenten calcular el número para 2, 3, 5,… en lugar de decir precisamente
cualquier primo elevado a la quinta potencia.
Hay que recalcar que el 6 = 3 x 2. Entonces, si tomamos un número de dos divisores y tomamos
uno de 3 divisores, su producto va a tener 6 divisores. Es importante observar que tienen que ser
números que tengan un primo distinto como base, para ello basta ver que aunque el 4 tiene 3
divisores y el 2 tiene 2 divisores, el 8 no tiene 6 divisores sino 4. Estos casos hay que mencionarlos.
7:
p6
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6)
8:
p7
p3q
pqr
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7)
(1, p, q, p2, pq, p3, p2q, p3q)
(1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr)
El 8 es también importante, pues esta vez tiene 3 casos distintos. El primer caso debería salir
natural. Como es más fácil ver que 8 = 4 x 2 que 8 = 2 x 2 x 2, el segundo debe ser más sencillo que
el último. Sin embargo, el ejemplo más sencillo del último es 30, que no es un número tan grande.
El ejemplo más sencillo del segundo es 24.
A partir de aquí, es buena idea preguntar primero si el número es quién por quién y entonces
buscar la forma correspondiente.
9:
p8
p2q2
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)
(1, p, p2, q, q2, pq, p2q, pq2, p2q2)
Pues 9 = 3 x 3. La forma con un único primo es normalmente la más fácil de ver, la de cajón. Sin
embargo, si empezamos a preguntar si el número es quién por quién, ver que es sí mismo por 1 a
veces no es tan sencillo.
10:
p9
p4q
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9)
(1, p, p2, p3, p4, q, pq, p2q, p3q, p4q)
Pues 10 = 5 x 2. Esta lista completa debe estar escrita en el pizarrón. Así, cuando digamos que 10 =
5 x 2, podemos señalar a los números que tienen 5 divisores y a los que tienen 2 divisores. Lo
importante es llevarlos a que escojan la forma que cumple cada uno y lo multipliquen escogiendo
letras distintas. Eso último es importantísimo. Si escogen la misma letra, el ejemplo del 2
normalmente ayuda a ver que no es cierto.
11:
p10
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10)
12:
p11
p5q
p3q2
p2qr
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11)
Los números primos deberían ser bastante fáciles. El 12 ayuda a preguntar si no hay más. Para
justificar que no hay más, es necesario decir todas las maneras en que podemos encontrar 12
como multiplicaciones. Curiosamente, la cosa que estamos ejercitando aquí es precisamente la
cantidad de divisores de un número y el Teorema Fundamental de la Aritmética.
A partir de aquí –pues el 13, 14 y 15 no ofrecen mucho problema- la idea es dar números más bien
grandes. Un par de números primos –que son sencillos- y un par de números grandes que
sepamos que tienen muchos divisores. ¿Cómo encogemos esos números? Auxiliándonos de
nuestra tabla del pizarrón, por supuesto.
17:
18:
30:
Lo primero que hay que hacer es expresar cada uno de nuestros números como alguien por
alguien. El 17 es primo, así que la única manera va a ser la de cajón.
Recordemos que el 18 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Entonces, lo podemos ver rápidamente de
3 maneras distintas: 1x18, 2x9, 3x6; siempre podemos hacer esto con todos los números –tomar el
más chico y el más grande, luego el segundo más chico y el segundo más grande, el tercero más
chico y el tercero más grande y así sucesivamente. ¿Hay más formas? Hay que preguntarnos por
los divisores de los divisores: 9 = 3x3 y 6 = 3x2. Entonces, de la forma 2x9, tenemos la forma 2x3x3;
y de la forma 3x6, tenemos la forma 3x3x2. Como son la misma forma, en total tenemos 4
maneras distintas. Más adelante vamos a ver que podemos ahorrarnos este segundo paso.
Ya que sabemos de cuántas maneras distintas, hay que encontrar una forma para cada manera. La
idea es escoger una forma para cada uno de los números que se están multiplicando. La de cajón
es fácil. Tomemos 2x9: necesitamos un número que tenga 2 divisores y un número que tenga 9
divisores. Con 2 divisores es p; con 9 divisores puede ser p8 o p2q2. Al juntarlos, tenemos las formas
pq8 y pq2r2; observemos que esta segunda forma es precisamente 2x3x3, de ahí que podemos
ahorrarnos un paso en lo que hicimos antes: las formas salen por si solas si mezclamos todas con
todas. ¿Qué formas salen con 3x6?
El 30 es el número más pequeño que es producto de 3 primos distintos, 2x3x5. Ya sabemos que
tiene 8 divisores, lo que nos da 4 maneras distintas. ¿Tiene más? ¿Por qué? ¿Qué formas salen
para 30 divisores?
Una vez que podemos resolver ejercicios así, vamos a voltear el ejercicio. Hasta ahora, hemos
estado dando un número entero y queremos encontrar qué formas tienen esa cantidad de
divisores. Ahora queremos dar una forma y saber cuántos divisores tiene.
pqr2: 12
p3q2: 12
Los primeros ejercicios están en nuestra lista. Esto nos ayuda a ver que hasta ahora han entendido
y que saben utilizar la lista. (A estas alturas, a lo mejor la lista ya no cabe entera en el pizarrón, por
eso cada alumno debe escribirla en su libreta también.)
p5qrs:
pqrs:
Ninguno de estos números está en la lista. La idea es ver que hay pedazos de la forma que sí
aparecen en la lista. Por ejemplo, sabemos que p5 tiene 6 divisores y que qrs tiene 8. Entonces, su
producto debe tener 6x8 = 48 divisores. Hay varias maneras de encontrar pedazos del segundo en
la lista; lo más fácil, sin embargo, es darse cuenta que cada uno tiene 2, entonces su producto
debe tener 2x2x2x2 = 16 divisores. Esa es la idea que queremos seguir en los últimos ejemplos:
p12q7r7s21:
Este número no está en la lista. Además, los únicos pedazos que podrían sí estar son bloques de un
solo primo. Y esa es la idea: p12 tiene 13 divisores, q7 y r7 tienen 8 divisores cada uno, s21 tiene 22
divisores. Entonces su producto debe tener 13x8x8x22 divisores.
¡Este es el truco! Ver todo número como producto de las formas de cajón pues esas son las más
fáciles de saber cuántos divisores tienen.
pk : k + 1
De todo este conocimiento que hemos adquirido, falta un paso mínimo para la que conocemos
como Fórmula para calcular los divisores de un número:
La única dificultad sería explicar los subíndices. ¿Por qué usamos subíndices? Porque si no lo
hacemos, simplemente se nos acabarían las letras. Incluso para los que siguen hasta aquí sin
problemas, ver la fórmula puede generar problemas. ¿Por qué siempre es más uno? Hay que
recordar que esto es un ejercicio de conteo, de regla del producto. Vamos a proponer una
alternativa:
Carmen quiere servirse un barquillo de helado. En su congelador, tiene suficiente helado
para hacer 8 bolas de chocolate, 12 de vainilla, 4 de fresa y 5 de mango. ¿De cuántas
maneras distintas se puede servir el barquillo?
Es cierto que podría servirse 1, 2, 3 o hasta 8 bolas de chocolate, pero también podría no servirse
chocolate. Entonces, tiene 9 maneras distintas de servirse chocolate: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ¿De
servirse vainilla? Son 13 maneras distintas. Además, 5 maneras de servirse fresa y 6 maneras de
servirse mango. Entonces, en total puede hacer esto de 9x13x5x6 maneras distintas.
Sólo hay que cambiar “barquillo de helado” por “divisor” y los sabores por números primos.