Límites y Continuidad

91 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
Tema 9
Lı́mites y continuidad
9.1
Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Definición 191.- Un punto x0 ∈ IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y sólo si, para cada
ε > 0 se tiene que E ∗ (x0 , ε) ∩ A 6= ∅. Es decir, x0 es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada
entorno de x0 hay otros puntos de A .
De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A.
Nota: Es decir, x0 es punto de acumulación de A si “cerca” de x0 siempre hay (otros) puntos de A , por
pequeño que hagamos el cı́rculo de cercanı́a; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto
siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Sólo ası́ tiene sentido la definición del lı́mite siguiente.
Definición 192.- Sea f : A −→ IR y sea x0 ∈ IR un punto de acumulación de A. Se dice que el lı́mite de la
función f (x) cuando x tiende a x0 es L , y se representa por
lı́m f (x) = L,
(también con f −→ L, cuando x → x0 )
x→x0
si, y sólo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < |x − x0 | < δ , entonces |f (x) − L| < ε .
El significado de esta farragosa definición serı́a lo siguiente: “el lı́mite en x0 de f es L si la imagen de cada x
cercano a x0 está cerca de L ”. Puede quedar un poco más claro expresando esta crecanı́a mediante entornos:
La definición anterior es, evidentemente, equivalente a:
L+ε
Diremos que el lı́mite de la función f cuando x tiende a
x0 es L si, y sólo si, para cada entorno de L, E(L, ε),
existe un entorno reducido de x0 , E ∗ (x0 , δ) tal que si
x ∈ A ∩ E ∗ (x0 , δ) , entonces f (x) ∈ E(L, ε).
L
L−ε
En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos
cercanos a x0 (en fondo rojo) sus imágenes (en fondo rojo) están
dentro de la cercanı́a de L fijada (en fondo verde).
x0 −δ
√
Ejemplo Para f : [0, +∞) −→ IR dada por f (x) = x , se tiene que lı́m f (x) = 0 .
x0
x0 +δ
x→0
2
Para cada
∈ [0, +∞) y 0 < |x − 0| < δ , es decir, si 0 < x < ε2 se verifica
√ ε > 0, tomamos δ = ε > 0, si x√
√
√
√
que x < ε2 = ε, pero esto es lo mismo que x = | x| = | x − 0| < ε .
4
Nota: Para el lı́mite no importa la función en el punto, sino su valor
en puntos cercanos
(ponemos 0< |x − x0 | < δ en la definición).
n
Ası́, f (x) =
x, x6=1
2, x=1
r
1
b¡
si x → 1 y x 6= 1, la función toma los valores f (x) = x en esos
puntos y entonces lı́m f (x) = lı́m x = 1 .
x→1
x→1
Y también la función g(x) = x tiene por lı́m g(x) = lı́m x = 1 .
x→1
g
¡
¡
¡
¡
¡
¡
tiene lı́m f (x) = 1 aunque f (1) = 2 , ya que
x→1
f
2
¡
¡
¡
1
1
r¡
¡
¡
¡
1
x→1
El valor de la función en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad:
Definición 193.- Sea f : A −→ IR , se dice que f es continua en el punto x0 ∈ A si, y sólo si, para cada ε > 0
existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < ε .
Observación: Si el punto x0 no está aislado, la definición es equivalente a que lı́m f (x) = f (x0 ).
x→x0
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92 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
n
Ejemplo
La función de la nota anterior f (x) =
x, x6=1
2, x=1
no es continua en 1, pues lı́m f (x) = 1 6= f (1);
x→1
mientras que la función g(x) = x sı́ lo es pues lı́m g(x) = 1 = g(1).
√
√x→1
√
También es continua en 0 la función f (x) = x del ejemplo anterior, pues lı́m x = 0 = 0.
x→0
4
Ejemplo 194 La función f (x) = ex es continua en 0.
En efecto, por ser ex estrictamente creciente:
x
δ
x
x
δ
si 0 < x < δ , es 1 < e < e , luego 0 < e − 1 = |e − 1| < e − 1
δ
si −δ < x < 0 es e−δ < ex < 1, luego 0 < 1 − ex = |ex − 1| < 1 − e−δ = e e−1
< eδ − 1.
δ
Entonces, para cada ε > 0 tomamos δ = ln(1 + ε) y si 0 < |x| < δ , se tiene que
|ex − 1| < eδ − 1 = eln(1+ε) − 1 = (1 + ε) − 1 = ε
x
Luego se cumple que lı́m e = 1 = e0 y ex es continua en 0.
4
x→0
9.1.1
Algunos resultados interesantes
Proposición 195.- Sea f : A −→ IR y x0 un punto de acumulación de A . Entonces
a) lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m (f (x) − L) = 0
x→x0
b) lı́m f (x) = 0 ⇐⇒ lı́m |f (x)| = 0
x→x0
x→x0
x→x0
c) Si h = x − x0 , entonces lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m f (x0 + h) = L
x→x0
h→0
Demostración:
Basta observar que la definición de lı́mite para el segundo término de la 1 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |(f (x) − L) − 0| = |f (x) − L| < ε
para el segundo término de la 2 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ ||f (x)| − 0| = |f (x)| < ε
y para el segundo término de la 3 a equivalencia:
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |h| = |x − x0 | < δ =⇒ |f (x0 + h) − L| = |f (x) − L| < ε
coinciden con la definición de los lı́mites para los respectivos primeros términos de la equivalencias.
Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definición de lı́mite y
nos permiten transformar un lı́mite en un lı́mite de valor 0 o a un lı́mite en el punto 0 . Con el apartado b)
cambiamos la función por otra “acotable”, lo que cobra interés tras los resultados siguientes:
Proposición 196.- Sean f, g, h: A −→ IR y x0 un punto de acumulación de A .
1.- Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en A y lı́m f (x) = L = lı́m h(x), entonces lı́m g(x) = L
x→x0
x→x0
x→x0
2.- Si g está acotada en A y lı́m f (x) = 0, entonces lı́m g(x) · f (x) = 0
x→x0
x→x0
.
Ejemplo El lı́m x sen x1 = 0, pues lı́m x = 0 y el seno está acotado ( |sen y| ≤ 1 , para cualquier y ∈ IR ). 4
x→0
x→0
9.1.1.1
Lı́mites y continuidad con las operaciones básicas
El cálculo de los lı́mites y, por tanto el estudio de la continuidad, se extiende ampliamente y de manera sencilla
mediante las operaciones básicas de las funciones:
Propiedades 197.- Si lı́m f (x) = L1 ∈ IR y lı́m g(x) = L2 ∈ IR , entonces:
x→x0
x→x0
a) lı́m [f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x) = L1 + L2 .
x→x0
x→x0
x→x0
b) lı́m [f (x) · g(x)] = lı́m f (x) · lı́m g(x) = L1 · L2 .
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
c) lı́m
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x→x0
x→x0
lı́m f (x)
=
x→x0
lı́m g(x)
x→x0
=
L1
L2
, siempre que L2 6= 0 .
.
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93 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Corolario 198.- Sean f y g funciones continuas en un punto x0 ∈ A, entonces:
1.- f + g es continua en el punto x0 .
2.- f g es continua en el punto x0 .
3.-
f
g
es continua en el punto x0 siempre que g(x0 ) 6= 0 .
Ejemplos
³
´n
n)
? La función f (x) = xn es continua en IR : lı́m xn = ( lı́m x) · · · ( lı́m x) = lı́m x = xn0
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
? En general, si P (X) es un polinomio, lı́m P (x) = P (x0 ), luego continuo en todo IR .
x→x0
P (x)
Q(x)
? Y una función racional, f (x) =
, será continua en los puntos de su dominio (salvo en aquellos a con
P (x)
x→x0 Q(x)
Q(a) = 0 , pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos lı́m
=
P (x0 )
Q(x0 )
.
? f (x) = ex es continua en IR , pues lo es en 0 (Ejemplo 194) y, para los demás puntos, se tiene
lı́m ex = lı́m ex0 +h = lı́m ex0 eh = ex0 lı́m eh = ex0 e0 = ex0
x→x0
h→0
h→0
h→0
4
Teorema 199.- Sean f : A −→ IR y g: f (A) −→ IR . Si lı́m f (x) = b y g es continua en b, entonces
x→a
³
´
lı́m g(f (x)) = g(b) = g lı́m f (x) .
x→a
.
x→a
Corolario 200.- Si f es continua en a y g continua en f (a), entonces g ◦ f es continua en a.
Ejemplo La función f (x) = x − 1 es continua en 1 por ser polinómica;
la función g(x) = |x| es continua
√
en 0 = f (1) , pues lı́m x = 0 =⇒ lı́m |x| = 0 = |0|; y h(x) = x es continua en 0 = g(0). Entonces, la
x→0
x→0
p
composición (h ◦ g ◦ f )(x) = h(g(f (x))) = r
|x − 1| es continua en 1 .
¯
¯ p
q
p
¯
¯
Además, lı́m |x − 1| = lı́m |x − 1| = ¯ lı́m (x − 1)¯ = |0| = 0 .
4
x→1
x→1
x→1
Imponiendo condiciones sobre la función f , podemos dar una variante del teorema 199 anterior que prescinde
de la condición de continuidad de g :
Proposición 201 (Convergencia propia).- Sean f : A −→ IR y g: f (A) −→ IR . Si lı́m f (x) = b, con f (x) 6=
x→a
b para todos los x de un entorno reducido E ∗ (a, δ0 ) de a, entonces
lı́m (g ◦ f )(x) = lı́m g(f (x)) = lı́m g(y).
x→a
.
y→b
f (x)→b
½
y, si y 6= 1
, no continua en 1. Para f (x) = ex se cumple la condición pedida, pues
2, si y = 1
lı́m f (x) = 1 6= ex = f (x) si x 6= 0 (es est. creciente), luego
lı́m g(f (x)) = lı́m g(y) = 1 . (En efecto, como
Ejemplo Sea g(y) =
x→0
x→0
y→1
g(f (x)) = g(ex ) = ex si ex 6= 1 , se tiene lı́m g(f (x)) = lı́m ex = 1).
x→0
x→0
½
1, si x 6= 0
Sin embargo, si tomamos la función f (x) =
, que no verifica la condición de la proposición
0, si x = 0
( lı́m f (x) = 1 = f (x) si x 6= 0), se tiene que:
lı́m g(f (x)) = lı́m g(1) = 2 6= lı́m g(y) = 1 .
4
x→0
9.1.1.2
x→0
x→0
y→1
Lı́mites laterales
Definición 202.- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ IR .
? Diremos que L1 es el lı́mite por la izquierda de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que
cuando x < c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L1 | < ε .
? Diremos que L2 es el lı́mite por la derecha de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que cuando
x > c y 0 < |x − c| < δ , se tiene que |f (x) − L2 | < ε .
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94 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Los representaremos, respectivamente, por
lı́m f (x) = lı́m− f (x) = L1
x→c
x<c
y
x→c
lı́m f (x) = lı́m+ f (x) = L2
x→c
x>c
x→c
Proposición 203 (Lı́mites laterales).- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ IR . Entonces
lı́m f (x) = L
⇐⇒
x→c
½
Ejemplo Sea f (x) = |x| =
.
x→c
x, si x ≥ 0
. Entonces
−x, si x < 0
lı́m |x| = lı́m− −x = 0
x→0−
lı́m f (x) = lı́m+ f (x) = L
x→c−
x→0
y
lı́m |x| = lı́m+ x = 0
x→0+
x→0
=⇒
lı́m |x| = 0
4
x→0
Nota: Si sólo hay función en un lado, el lı́mite coincide con el lı́mite lateral. Por ejemplo, lı́m
√
x→0
x = lı́m+
x→0
√
x,
pues en los puntos a la izquierda de 0 no está definida la función.
Definición 204.- Si f no es continua en un punto x0 , pero se cumple que
lı́m f (x) = f (x0 ) ó que
x→x−
0
lı́m f (x) = f (x0 ) , se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en x0 .
x→x+
0
Ejemplo Todas son funciones discontinuas en 1 , la tercera es continua por la derecha y las dos últimas son
continuas por la izquierda.
r
b
b
b
r
b
b
r
r
1
1
1
1
1
La discontinuidad de la primera función suele denominarse evitable (porque basta “rellenar el hueco” para hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito.
4
9.1.2
Lı́mites con infinito
De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir lı́mites donde la variable se
acerca a +∞ ó a −∞, o que sea la función la que pueda tomar valores cércanos a ellos (valores, tan grandes que
superan cualquier cota K > 0 , o tan pequeños que rebasan cualquier cota por abajo −K < 0 ). Las definiciones
son análogas, sin más que cambiar la aproximaciones a puntos reales por aproximaciones a ∞:
Definición 205.- Si f es una función real de variable real, se tienen las siguientes definiciones:
lı́m f (x) = +∞
si, para cada K > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > K
x→x0
lı́m f (x) = L
x→−∞
si, para cada ε > 0, existe M > 0 tal que si x < −M =⇒ |f (x) − L| < ε
lı́m f (x) = −∞
si, para cada K > 0, existe M > 0 tal que si x > M =⇒ f (x) < −K
x→+∞
Análogamente: lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = L , lı́m f (x) = +∞ , lı́m f (x) = +∞ y lı́m f (x) = −∞ .
x→x0
Ejemplo Para a > 0,
x→+∞
lı́m ax = +∞
x→+∞
x→+∞
y
lı́m
x→0−
1
x
= −∞ .
x→−∞
x→−∞
En efecto:
K
? para cada K > 0 tomamos M = K
a > 0 y si x > M , entonces f (x) = ax > aM = a a = K
1
1
1
? para cada K > 0 tomamos δ = K > 0 y si −δ < x < 0 , entonces f (x) = x < −δ = −K
4
Las operaciones del resultado Propiedades 197 son válidas también cuando tenemos lı́mites en el infinito o
con valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales.
Si lı́m f (x) = a y lı́m g(x) = b, donde tanto x0 como a y b pueden ser ±∞, el valor del lı́mite para las
x→x0
x→x0
f
g
funciones f + g , f · g ,
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y f g , se obtiene de las siguientes tablas:
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95 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
f +g
a = −∞
a ∈ IR
a = +∞
b = −∞
−∞
−∞
f ·g
a = −∞
a<0
a=0
a>0
a = +∞
b = −∞
+∞
+∞
−∞
−∞
b ∈ IR
−∞
a+b
+∞
b<0
+∞
ab
0
ab
−∞
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
f
g
b = −∞
a = −∞
a<0
a=0
a>0
a = +∞
0
0
0
b = +∞
+∞
+∞
b=0
b>0
−∞
ab
0
ab
+∞
0
0
0
b<0
+∞
a
b
b>0
−∞
b = +∞
a
b
0
0
0
0
a
b
−∞
−∞
fg
a=0
0<a<1
a=1
a>1
a = +∞
+∞
+∞
b = 0+
−∞
−∞
b=0
|∞|
|∞|
0
−∞
b = +∞
−∞
−∞
b = 0−
+∞
+∞
b = −∞
+∞
+∞
0
0
a
b
|∞|
|∞|
+∞
+∞
b<0
+∞
ab
1
ab
0
b=0
+∞
1
1
1
b>0
0
ab
1
ab
+∞
b = +∞
0
0
+∞
+∞
¯ ¯
¯ ¯
|∞| En estos casos, no se garantiza la existencia del lı́mite, pero sı́ que se tiene ¯ fg ¯ −→ +∞ .
Hay siete indeterminaciones clásicas, indicadas con
(i) ∞ − ∞
(ii)
0·∞
∞
∞
(iii)
(que en el fondo se reducen a dos (i) e (ii)):
(iv)
0
0
(v)
1∞
(vi)
00
(vii) ∞0
Nota: Teniendo en cuenta que ab = eb ln a , las indeterminaciones (v), (vi) y (vii) se reducen a 0 · ∞ .
Ejemplo 206
2
lı́m x +2x+1
2
x→+∞ 3x−2x
+∞
= ( −∞
)=
−1
2
x2 + 2x + 1
lı́m
= lı́m
x→+∞ 3x − 2x2
x→+∞
Ejemplo 207
x3 −3x+2x2
=
3
x→0 3x −2x
3
2
lı́m
( 00 ) =
3
2
.
x2 +2x+1
x2
3x−2x2
x2
= lı́m
1+
x→+∞
3
x
2
x
+ x12
1+0+0
−1
=
=
0−2
2
−2
4
.
x − 3x + 2x
x(x2 − 3 + 2x)
x2 − 3 + 2x
0−3+0
−3
3
=
lı́m
=
lı́m
=
=
=
x→0
x→0
x→0
3x3 − 2x
x(3x2 − 2)
3x2 − 2
0−2
−2
2
lı́m
Ejemplo 208
√2x
lı́m
x→+∞ x+ x2 +2x
4
= ( +∞
+∞ ) = 1 .
2x
√
= lı́m
x→+∞ x +
x2 +2x x→+∞
lı́m
x
x
+
2x
x
√
x2 +2x
x
= lı́m
x→+∞
2
1+
√
2
x
√ +2x
x2
= lı́m
x→+∞
teniendo en cuenta que cuando x → +∞ , será x > 0 y por tanto x = |x| =
√
2
q
=
1 + 1+ x2
√ 2
1+0+1
=1
x2 .
4
√
lı́m
x2 + 2x − x = (∞ − ∞) = 1 .
√
√
√
p
( x2 + 2x − x)( x2 + 2x + x)
( x2 + 2x)2 − x2
2
√
√
lı́m
x + 2x − x = lı́m
= lı́m
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x2 + 2x + x
x2 + 2x + x
2
2
x + 2x − x
2x
= lı́m √
= lı́m √
=1
2
2
x→+∞
x→+∞
x + 2x + x
x + 2x + x
Ejemplo 209
Ejemplo 210
x→+∞
lı́m (1 + x1 )x = e
x→+∞
Por definición, e =
1
n+1
≤
1
x
<
³
1+
1
n
4
de donde
lı́m (1 +
n→+∞
1
1 + n+1
1 n
n)
≤1+
y para cada x > 0, existe n ∈ IN con n < x ≤ n + 1, luego con
1
x
<1+
1
n
. De esta desigualdad y de n < x ≤ n + 1 , tenemos que:
1
³
(1 + n+1
)n+1
1 ´x ³
1 ´n+1
1 ´³
1 ´n
1 ´n ³
1 ´x ³
≤ 1+
< 1+
=⇒
< 1+
1+
≤ 1+
1
n+1
x
n
x
n
n
1 + n+1
³
´
´
³
³
n+1
n+1
1
1 ´n
1 x
n+1
=⇒
1+
1+
≤ 1+
<
n+2
n+1
x
n
n
si x → +∞, entonces n y n+1 → +∞ , por lo que se cumple que
Prof: José Antonio Abia Vian
e ≤ lı́m (1 + x1 )x ≤ e .
x→+∞
4
I.T.I. en Electricidad
96 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
Nota: La Proposición 201 de convergencia propia cobra nuevo interés con los lı́mites con infinitos (para los que
también es válida), pues la condición de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Además, la
condición de convergencia propia, que cuando f (x) → ∞ sea f (x) 6= ∞ se cumple de manera obvia.
Ejemplo Consideremos y = −x en (1), y z = h(y) = y − 1 en (2) entonces
lı́m (1 + x1 )x
x→−∞
(1)
=
=
y y
−y
lı́m (1 − y1 )−y = lı́m ( y−1
= lı́m ( y−1
) = lı́m (1 +
y )
y→+∞
lı́m (1 +
y→+∞
y→+∞
1
y−1 )(1
+
y→+∞
1 y−1 (2)
= lı́m (1
y−1 )
y→+∞
y→+∞
1
lı́m (1
y−1 ) z→+∞
+
1 y
y−1 )
+ z1 )z = 1 · e = e
4
Continuidad de algunas funciones elementales 211.- (Ver sus gráficas en la figura 8.1 de la página 88.)
? f (x) = ex es continua en IR y lı́m ex = 0 y lı́m ex = +∞ .
x→−∞
x→+∞
? f (x) = ln x es continua en (0, +∞) y lı́m+ ln x = −∞ y
lı́m ln x = +∞ .
x→+∞
x→0
? f (x) = xα continua en (0, ∞) y lı́m+ xα = 0 y
x→0
? f (x) = sh x es continua en IR y
? f (x) = ch x es continua en IR y
? f (x) = th x es continua en IR y
lı́m xα = ∞ si α > 0 (resp. ∞ y 0 si α < 0).
x→+∞
lı́m sh x = −∞ y
x→−∞
lı́m ch x = ∞ y
x→−∞
lı́m th x = −1 y
x→−∞
lı́m sh x = +∞.
x→+∞
lı́m ch x = +∞ .
x→+∞
lı́m th x = 1 .
x→+∞
? f (x) = sen x y f (x) = cos x son de periódicas de periodo 2π , continuas en IR y 6 ∃ lı́m f (x).
x→±∞
? f (x) = tg x es de periodo π , continua en su dominio y
9.1.3
lı́m + tg x = −∞ y lı́m
tg x = ∞ .
π−
x→ 2
x→ −π
2
.
Infinitésimos e infinitos equivalentes
Definición 212.- Se dice que una función f es un infinitésimo en x0 si lı́m f (x) = 0.
x→x0
Una función f (x) se dice que es un infinito en x0 si lı́m f (x) = +∞ (o −∞ ).
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
Definición 213.- Dos infinitésimos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si lı́m
Dos infinitos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si
lı́m f (x)
x→x0 g(x)
= 1.
= 1.
Proposición 214.- Si g(x) y h(x) son infinitésimos (o infinitos) equivalentes en x0 , entonces
f (x)
f (x)
lı́m g(x)f (x) = lı́m h(x)f (x)
y
lı́m
= lı́m
,
x→x0
x→x0
x→x0 g(x)
x→x0 h(x)
siempre que los segundos lı́mites existan.
Demostración:
Si existe lı́m f (x)h(x) y lı́m
g(x)
x→x0 h(x)
x→x0
= 1 , entonces:
g(x)
x→x0 h(x)
lı́m h(x)f (x) = lı́m
x→x0
· lı́m h(x)f (x) = lı́m
x→x0
x→x0
g(x)h(x)f (x)
h(x)
= lı́m g(x)f (x)
x→x0
Análogamente para el otro caso.
Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 215.- Usaremos la notación f
infinitos o infinitésimos equivalentes:
an xn + · · · + a1 x + a0 ∼ an xn cuando x → ±∞
an xn + · · · + a1 x ∼
sen(x) ∼ x
cuando x → 0
tg(x) ∼
1
1
cuando x → ±∞
1 − cos(x) ∼
sen x ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
cuando x → 0
ex − 1 ∼
sh(x) ∼ x
cuando x → 0
ch(x) − 1 ∼
Prof: José Antonio Abia Vian
∼ g para indicar que f y g son
a1 x
x
x2
2
x
x2
2
cuando
cuando
cuando
cuando
cuando
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
.
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97 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
En efecto, lı́m ln(x)
= lı́m ln(x)
= lı́m ln(1+t)
= lı́m tt = 1
t
x→1 x−1
x−1→0 x−1
t→0
t→0
½
¾
½
¾
2
x
x
x
x
x
→
0
⇒
x
→
0
x→0⇒ 2 →0
x sen( 2 )
x
x
2
lı́m
=
= lı́m x22 = 12
= lı́m ex2 2−1 =
2
sen( x2 ) ∼ x2
x→0 ex −1
x→0
x→0
ex − 1 ∼ x 2
½
¾
x → +∞ ⇒ x1 → 0
lı́m 2x sen( x1 ) =
= lı́m 2x x1 = 2
sen( x1 ) ∼ x1
x→+∞
x→+∞
Ejemplos
lı́m ln(x)
x→1 x−1
9.1 Lı́mite y continuidad de una función en un punto
= 1.
4
Nota: La hipótesis de la Proposición, en el sentido de que los infinitésimos (o infinitos) sean factores o divisores
de la función, deben tenerse muy presentes pues sólo ası́ garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente
muestra cómo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado.
Sabemos que sen x y x son infinitésimos equivalentes en x = 0 , pero sen x no puede ser sustituido por x
en el lı́mite: lı́m senxx−x
, pues si lo hacemos obtendrı́amos como lı́mite 0 cuando su valor correcto es −1
3
6 .
x→0
Los infinitésimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento “similar” en el lı́mite,
pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia (como ocurre en el
lı́mite anterior) y dejar sin sentido el lı́mite.
Al sustituir sen x por x en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen x − x
3
por 0 , lo que no es cierto (es sen x − x 6= 0 si x 6= 0 ); de hecho, el seno es más parecido a sen x ≈ x − x6 con
3
lo que la deferencia es más parecida a sen x − x ≈ − x6 que a 0 .
9.1.4
Ası́ntotas de una función
Una buena ayuda para la representación de la gráfica de las funciones son las ası́ntotas. La gráfica de f es
una representación en el plano IR2 formada por los puntos (x, y) con la condición y = f (x) luego de la forma
(x, f (x)); por consiguiente, la gráfica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito.
Basta tener¢en cuenta
¡
que si el dominio es IR , cuando x → +∞ los puntos de la gráfica se alejan hacia + ∞, lı́m f (x) .
x→+∞
Estos alejamientos de la gráfica se llaman ramas infinitas de la función, y puede ocurrir que existan rectas
tales que la función se “parezca” a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo la condición de que
la distancia de los puntos de una rama infinita a esa recta tienda hacia 0 a medida que se alejan, se denominan
ası́ntotas de la función.
Dado que en IR2 , los puntos se alejan en la forma (x, ∞), (∞, y) o (∞, ∞) (aquı́, ∞ puede ser tanto +∞
como −∞), buscaremos tres tipos de ası́ntotas: verticales, horizontales e inclinadas.
Ası́ntotas verticales
Si lı́m− f (x) = ±∞ tenemos una rama infinita a la izquierda del punto x0 y la recta x = x0 es una ası́ntota
x→x0
vertical de esa rama (el signo del lı́mite +∞ o −∞, nos indicará el comportamiento de la rama infinita).
Si lı́m+ f (x) = ±∞ hay rama infinita a la derecha de x0 y la recta x = x0 es ası́ntota vertical de esa rama.
x→x0
Ası́ntotas horizontales e inclinadas Aunque la búsqueda de ası́ntotas horizontales e inclinadas
pueden¢
¡
verse como procesos distintos, en ambos casos la variable x se aleja hacia el infinito (x, f (x)) → ∞, lı́m f (x)
x→∞
y también, la recta es de la forma y = mx + n (con m = 0 para las horizontales).
Si buscamos una recta y = mx + n cumpliendo que f (x) − (mx + n) −→ 0 cuando x → +∞, también se
f (x)
n
−→ 0, de donde f (x)
cumplirá que f (x)−mx−n
x
x − m − x −→ 0 luego se tendrá que m = lı́m
x . Y conocido
x→+∞
m, se tendrá f (x) − (mx + n) −→ 0 ⇐⇒ f (x) − mx −→ n, de donde n = lı́m f (x) − mx.
x→+∞
En consecuencia, existirá ası́ntota cuando x → +∞ (o en +∞ ), si existen y son reales los valores de los
lı́mites m = lı́m f (x)
y n = lı́m f (x) − mx. En ese caso y = mx + n es la ası́ntota buscada.
x
x→+∞
x→+∞
Idénticamente para ası́ntotas en −∞.
Ejemplo La función f (x) = √(x−1)(x+2)|x|
, tiene por dominio, Dom(f ) = (−∞, −1)∪(1, 3)∪(3, +∞). Como
2
2
(x −1)(x−3)
el numerador, es continuo en IR , las ası́ntotas verticales (si existen) estarán en los puntos donde se anule el
denominador, es decir, −1, 1 y 3 .
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98 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.2 Teoremas del lı́mite y de continuidad
¶
µ
(x − 1)(x + 2) |x|
(−2) · 1 · |−1|
lı́m f (x) = lı́m p
= −∞
=
0+
x→−1−
x→1+
(x2 − 1)(x − 3)2
(x − 1)(x + 2) |x|
3
(x + 2) |x|
x−1
x−1
lı́m f (x) = lı́m+ p
= lı́m+ p
· lı́m+ √
= · lı́m+ √
=0
2
2
2
2
2
x→1
x→1+
x→1
x→1
x→1
x −1
x2 − 1
(x − 1)(x − 3)
(x − 3)
µ ¶
³ 30 ´
(x − 1)(x + 2) |x|
30
lı́m− f (x) = lı́m− p
=
=
+∞
lı́m
f
(x)
=
= +∞
0+
0+
x→3
x→3
x→3+
(x2 − 1)(x − 3)2
Luego las ası́ntotas verticales son x = −1 (cuando x → −1− , f (x) → −∞ ) y x = 3 (cuando x → 3− ,
f (x) → +∞ y cuando x → 3+ , f (x) → +∞).
Estudiamos las ası́ntotas en +∞ ,
f (x)
(x − 1)(x + 2)
|x|
= lı́m p
lı́m
=1·1=1
x→+∞
x
(x2 − 1)(x − 3)2 x→+∞ x
p
(x − 1)(x + 2)x − x (x2 − 1)(x − 3)2
p
n = lı́m f (x) − x = lı́m
x→+∞
x→+∞
(x2 − 1)(x − 3)2
¡
¡
m = lı́m
x→+∞
x(x − 1)(8x2 − 3x − 13)
³
´
p
(x2 − 1)(x − 3)2 (x − 1)(x + 2) + (x2 − 1)(x − 3)2
µ
¶
∼ 8x4
=
=4
∼ 2x4
= lı́m p
x→+∞
¡
¡
¡y = x+4
@
@
@
@
y = −x−4@
x=3
x = −1
luego y = x+4 es ası́ntota de f cuando x → +∞ . Análogamente,
se obtiene que y = −x − 4 es ası́ntota cuando x → −∞.
4
9.2
Teoremas del lı́mite y de continuidad
Teorema 216 (de acotación y del signo para lı́mites).- Sean f : A ⊆ IR −→ IR y x0 un punto de acumulación de A . Si lı́m f (x) = L ∈ IR , existe un entorno E(x0 , δ) tal que f está acotada en E ∗ (x0 , δ) ∩ A.
x→x0
Además, si L 6= 0 , el valor de f (x) tiene el mismo signo que L.
Demostración:
Sea ε > 0 fijo, entonces existe E ∗ (x0 , δ) tal que |f (x) − L| < ε , luego L − ε < f (x) < L + ε, para todo
x ∈ E ∗ (x0 , δ). En consecuencia, f está acotada en dicho entorno reducido.
Para la segunda parte, basta tomar ε tal que 0 < L−ε < f (x) si L > 0 , o tal que f (x) < L+ε < 0, si L < 0.
Corolario 217.- Si f : A −→ IR es continua en x0 , entonces f está acotada en algún entorno de x0 .
Además, si f (x0 ) 6= 0, el valor de f (x) tiene el mismo signo que f (x0 ).
9.2.1
Teoremas de continuidad en intervalos cerrados
Teorema de Bolzano 218.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo
opuesto en a y b (es decir, f (a)f (b) < 0) entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 .
.
Teorema de los valores intermedios 219.- Si f : [a, b] −→ IR es continua en [a, b] y f (a) 6= f (b), entonces
para cada k entre f (a) y f (b) , existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k .
Demostración:
Supongamos f (a) < f (b) , y sea f (a) < k < f (b). La función g: [a, b] −→ IR dada por g(x) = f (x)−k es continua
en [a, b] y verifica que g(a) = f (a)−k < 0 y g(b) = f (b)−k > 0, luego por el Teorema de Bolzano (218) existe
c ∈ (a, b) tal que g(c) = f (c) − k = 0 , es decir, con f (c) = k . Análogamente si f (b) < f (a) .
Corolario 220.- Sea I un intervalo de IR y f : I −→ IR continua en I , entonces f (I) es un intervalo de IR . .
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99 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.3 Ejercicios
Teorema de acotación 221.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada
en dicho intervalo. Es decir, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b].
.
Teorema de Weierstrass 222.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un
máximo y un mı́nimo en [a, b]. Es decir, ∃ α, β ∈ [a, b] tal que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β), ∀x ∈ [a, b].
.
Corolario 223.- Si f es continua en (a, b) y lı́m+ f (x) = l1 ∈ IR y lı́m− f (x) = l2 ∈ IR , la función f está
x→a
acotada en (a, b).
9.3
x→b
(También es cierto cuando a es −∞ y cuando b es +∞ .)
.
Ejercicios
9.90 Calcular los siguientes lı́mites:
a)
d)
g)
j)
7x3 +4x
2 −2x3
3x−x
x→−∞
2
lı́m 2x −4
x→−2 x (2+x)
√
lı́m x2 + 3x −
x→∞
√
1−4x2
lı́m
2x+1
−1 +
x→ 2
b)
lı́m
e)
1−x
h)
k)
7x3 +4x
2 −2x3
3x−x
x→∞ √
2
lı́m 1+4x
x→∞ 4+x
lı́m (2 − x2 )2x
x→0 √
|x|−x
lı́m √ 2
x→0− x −2x
lı́m
c)
f)
i)
l)
7x3 +4x
2 −2x3
3x−x
x→0
2
lı́m sen2 x
x→∞ x
2x
lı́m (x2 + 2) x−10
x→+∞
lı́m
³
lı́m+
x→1
9.91 Usar lı́mites laterales para verificar la existencia o no de los siguientes lı́mites:
√
´
³
(1−x)2
1
x
a) lı́m x−1
b) lı́m |x|
c) lı́m x1 − |x|
d)
x→1
x→0
q
√ 1
x2 −x
−
³
lı́m
x→0
x→0
|x|
x
x+1
x−1
´
´
−1 x
9.92 Probar, razonadamente, que los siguientes lı́mites valen 0:
a)
√
2
lı́m ( x − 1) ex +2
lı́m x2 sen x1
b)
x→1
x→0
9.93 Usar la continuidad de las funciones, para hallar:
q
2
1
a) lı́m ln 3 + (1−x)
b) lı́m tg(ln(cos(e− x )))
x2 +1
x→0
x→0
(x−a)2
x→a |x−a|
c)
lı́m
q
c)
lı́m
x→π
1
1 + cos2 (π th( |x−π|
))
9.94 Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a:
√
a) sen2 1 − x2 , cuando x → −1+ √
c) 1q− cos((2 − x2 )2 ), cuando x → 2
1−x
e)
3x3 +12x2 , cuando x → 0
√
b)
1 + x2 + 2x4 , cuando x → ∞
d) ln(1 − x1 ), cuando x → −∞
f)
cos(x), cuando x →
π
2
5
g) ln(x2 ), cuando x → 1
i) sen(x), cuando x → 2π
h) 1 − e2x , cuando x → 0
j) tg(−x6 ), cuando x → 0
9.95 Calcular, si existe, el valor de:
a)
9.96
ln(cos x)
x2
x→0
lı́m
b)
sen2 x+ex −1
th(2x)
x→0
lı́m
c)
lı́m x3 sen( x31+x )
x→∞
d)
7x tg(x3 −x5 )
2
x→0 (cos(2x)−1)
lı́m
(x)
a) Si f y g son ifinitésimos cuando x → a y lı́m fg(x)
= L 6= 0 , probar que f (x) y L · g(x) son
x→a
infinitésimos equivalentes cuando x → a .
b) Si β es una raı́z de multiplicidad m del polinomio P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , probar que P (x)
y k(x − β)m son infinitésimos equivalentes cuando x → β , para algún valor k 6= 0.
9.97 Usar el resultado
a)
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lı́m f (x) = lı́m f (a + h)
x→a
2
lı́m ln(x )
x→1 x−1
h→0
b)
3
3
lı́m x +2
x→−2 x+2
para calcular
c)
lı́m √3 sen(π+x)
x→π −
1−cos(x−π)
d)
cos x
lı́m 2x−π
x→ π
2
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100 – Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR
9.3 Ejercicios
9.98 Usar el logaritmo neperiano, para probar que
lı́m (1 + x1 )x = e y que
x→+∞
lı́m (1 + x1 )x = e.
x→−∞
9.99 Calcular, si existe, el valor de:
³
a)
lı́m
x→∞
1−
1
x
´x
³
b)
lı́m
x→∞
3−x
1−x
´2−x
³
c)
lı́m
x→1
2
x+1
9.100 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f (x) =
´ 3−x
1−x
√
x2 −3
x+1
3
lı́m (1 + cos x) cos x
d)
x→ π
2
y g(x) =
√x−1
3−x2
.
Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición (indı́quese también la continuidad lateral,
si ha lugar).
9.101 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio:
( 2
½ sen x
x −4
, si x 6= 0
x
x2 (2+x) , si x 6= −2
b) f (x) =
a) f (x) =
1, si x = 0
0, si x = −2
( √ 2
√
½
x +x− 2
x, si |x| > 1
x−1 √ , si x 6= 1
c) f (x) =
d) f (x) =
3 2
x3 , si |x| ≤ 1
,
si
x
=
1
4

 ax + 1, si x < 3
a + b, si x = 3 es continua en IR ?
9.102 ¿Para que valores de las constantes a y b, f (x) =
 2
bx − 2, si x > 3
9.103 Sean las funciones f, g, h: IR −→ IR , definidas a trozos mediante:
 2 1
½
 2x − 2 , si x ≤ −1
1, si x ≤ 0
1 − x2 , si − 1 < x < 0 ;
f (x) =
; g(x) =
−1, si x > 0

3
1+x2 , si x ≥ 0
(
h(x) =
−x3 −1
2+x2 ,
si |x + 1| ≤ 1
x2 +2
2x+4 ,
si |x + 1| > 1
a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas (indı́quese también la continuidad lateral).
b) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f +g y f ·h, como funciones definidas a trozos.
c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. ¿Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse
la regla general?
d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g ◦ f .
9.104 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a:
(
a)
fa (x) =
a − x, si x ≤ a
x(a2 −x2 )
a2 +x2 , si x > a



b) fa (x) =


x2 a
a2 +x2 ,
x
2,
2
a x
a2 +x2 ,
si x < a
si x = a
si x > a
9.105 Probar que las gráficas de las funciones f (x) = ex y g(x) = 3x , se cortan al menos en dos puntos del
intervalo [0, 2].
9.106 Estudiar si las funciones del ejercicio 9.101 están acotadas superior e inferiormente.
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