5-FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Instituto Raúl Scalabrini Ortiz
Matemática 4º Año
Trigonometría
Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los
lados y los ángulos de los triángulos.
Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’(< Griego trigōnon
"triángulo" + metron "medida", de ahí su significado etimológico viene a
ser la medición de los triángulos).
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los
campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el
principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una
distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia
entre la Tierra y la Luna.
También se encuentran notables aplicaciones de las funciones
trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería,
sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de
corriente alterna.
Por ejemplo: En un río se necesita conocer la distancia hasta la
otra orilla
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Funciones trigonométricas
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas,
valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar
operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más
importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
Para definir las funciones trigonométricas del ángulo A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. Si
consideramos un triángulos rectángulo cuyos catetos miden: 3, 4.
Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el
doble y el triple (según corresponda). Cada par de lados homólogos (que
se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos
sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo
que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que
tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras).
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados
homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el
mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos
con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la
propiedad de unicidad para cada par de lados homólogos existe siempre
un único valor (razón) relacionado con una determinada amplitud
angular, por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos
trigonométrica.
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Funciones Trigonométricas
Si dividimos
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Cat.Op
llamaremos a esta función seno.
Hipoten
Si dividimos
Cat. Ady
llamaremos a esta función Coseno
Hipoten
Si dividimos
Cat.Op
llamaremos a esta función Tangente.
Cat. Ady
Si dividimos
Hipoten
llamaremos a esta función Cosecante.
Cat.Op.
Si dividimos
Hipoten
llamaremos a esta función Secante.
Cat.Ady.
Si dividimos
Cat. Ady.
llamaremos a esta función Cotangente.
Cat.Op.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y
secante, y tangente con cotangente.
Uso de la calculadora:
Podemos usarla para:
a) Calcular el valor de las funciones trigonométricas,
b) Calcular el ángulo conociendo alguna de las funciones
trigonométricas.
a) Si lo que se conoce es el ángulo y se desea calcular alguna de las
razones trigonométricas por ejemplo calcular el seno de 30º:
Sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la
función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
La Secuencia de teclas es:
en el visor aparecerá 0,5
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Otro ejemplo cos 40º:
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en el visor aparecerá 0,766044443
Otro ejemplo tg 60º:
en el visor aparecerá 1,732050808
b) Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere conocer el valor del
ángulo, por ejemplo sen x = 0,48 y se quiere saber el valor de x, la
secuencia de teclas es:
en
el visor aparecerá: 28º 41’ 7’’
Otro ejemplo cos x = 0,5
en el
visor aparecerá: 60º
Otro ejemplo tg x = 1,85
en el
visor aparecerá: 61º 36’ 25’’
Resolver los
ejercicios 1 y 2
Gráficas de las funciones trigonométricas:
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor
de imagen cada 360º.
De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores
angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos
a intervalos de 45º:
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Función Seno:
α
0
45
90
135
180
225
270
315
sen α
0
0,71
1
0,71
0
- 0,71
-1
- 0,71
360
0
Función Coseno:
α
0
45
90
135
180
225
270
315
cos α
1
0,71
0
-0,71
-1
0,71
0
0,71
360
1
Función Tangente:
α
0
45
90
135
180
225
270
315
tg α
0
1
////
-1
0
1
////
-1
360
0
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Función Secante
α
0
45
90
135
180
225
270
315
sec α
1
1,41
////
-1,41
-1
1,41
////
1,41
360
1
Función Cosecante:
Cosec
α
α
0
////
45 1,41
90
1
135 1,41
180 ////
225 - 1,41
270 -1
315 - 1,41
360
////
Función Cotangente:
α Cotg α
0
////
45
-1
90
0
135
1
180
////
225
-1
270
0
315
////
360
-1
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//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado
no existe (es una asíntota).
Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean cuatro
unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado
sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define
como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se
desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso
prácticamente es inexistente, y el sistema horario.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí
utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia
en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en
400 grados centesimales.
Horario: unidad angular que divide la circunferencia en 24 horas
Sistema Circular de Medición de Ángulos:
El sistema de medición de ángulos que solemos
utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia
en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro
completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este
sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna
partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema
sexagésima no los ayudaba pues,
matemáticamente, no está relacionado con
el arco que describe el cuerpo al moverse.
De esa manera se "inventó" otro sistema
angular, el sistema circular, donde la
medida del ángulo se obtiene al dividir el
arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al
dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "π").
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De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos
llanos) mide 2π.
180º = π  ó 360º = 2 π
En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de
90º (π/2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2 π), a las que se
denomina cuadrantes:
1er cuadrante: 0º a 90º
2do cuadrante: 90º a 180º
3 er cuadrante: 180º a 270º
4to cuadrante: 270 a 360º
a) SEXAGESIMAL:
Unidad: Grado sexagesimal
1° =
1 Re cto
⇒ 1R = 90°
90
Submúltiplos: Minutos
1' =
1°
⇒ 1° = 60'
60
Segundo
1' ' =
1'
⇒ 1' = 60' '
60
b) CENTESIMAL:
Unidad: Grado centesimal
1G =
1R
⇒ 1R = 100G
100
Submúltiplos: Minutos
1G
1 =
⇒ 1G = 100 M
100
M
Segundo
1M
1 =
⇒ 1M = 100 S
100
S
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c) RADIAL o CIRCULAR:
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y
(0;1)
(-1;0)
α
O
(1;0)
x
(0;-1)
Consideramos en el plano un
sistema
de
coordenadas
cartesianas perpendiculares y una circunferencia C con centro en el
origen de coordenadas y radio = 1.
Si centramos un ángulo orientado α observamos que este determina
sobre C un arco de circunferencia MN.
Como para cada arco orientado existe un número real que es su longitud,
podemos asignar a cada ángulo centrado la longitud de su arco, siempre
con el signo que corresponde, siendo la longitud de ese arco la medida en
radianes del ángulo.
De esta manera si α es un ángulo positivo de un giro le asignamos el
número 2Π, que es la longitud de la circunferencia de radio igual a 1,
decimos entonces que α tiene como medida 2Π radianes.
Se llama radial al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya
longitud es igual al radio de la misma.
2Π rad = 360°
d) HORARIO:
Unidad:
1h =
1R
⇒ 1R = 6 h
6
Submúltiplos: Minutos
1h
1 =
⇒ 1h = 60 m
60
Resolver los
ejercicios del 3
al 22
m
Segundo
1m
1 =
⇒ 1m = 60 S
60
S
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Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios
Podemos desarrollar las funciones trigonométricas de ángulos
complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que
no son rectos son complementarios entre si: α y β
tg β = cotg α
cotg β = tg α
sec β = cosec α
cosec β = sec α
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son
opuestas. En caso de los ángulos de (0º a 90º) los ángulos caen en el
primer cuadrante y los signos son todos positivos.
Signos de las funciones trigonométricas según el
cuadrante:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto
adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo
denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se
ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La
hipotenusa, que es el radio de la circunferencia,
la designaremos "r".
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Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones
trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+
+
+
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto
adyacente cae sobre el eje negativo de las
x, mientras que el cateto opuesto sigue
sobre el eje positivo de las y . El radio (la
hipotenusa) sigue siendo positiva en todos
los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la
tangente y sus inversas (secante y
cotangente) tienen resultados negativos.
sen
cosec tg
+
+
cotg cos sec
-
-
-
-
En el tercer cuadrante, tanto el cateto
adyacente como el cateto opuesto tienen sus
signos negativos, ya que caen sobre la parte
negativa de los ejes. En este caso solo la
tangente (y su inversa, la cotangente) resultan
positivas :
sen cosec tg
-
-
+
cotg cos sec
+
-
-
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a
estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto
opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este
caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo
son el coseno y la secante.
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sen cosec tg cotg cos sec
-
-
-
-
+
+
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el
cuadrante en tres cuadros:
cuadrantes sen - cosec
cos - sec
tg - cotg
II
I
+
+
-
+
-
+
III
IV
-
-
-
+
+
-
Valor de las funciones trigonométricas de
ángulos particulares:
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente
recordar:
Radián
Ángulo
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sen
cos
tan
csc
sec
ctg
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Representación gráfica
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Identidad trigonométrica
En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que
involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de
las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que
pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar
expresiones que incluyen funciones trigonométricas.
Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².
En el triángulo rectángulo se cumple de acuerdo con el Teorema de
Pitágora que:
a2 + b2 = c2
Si dividimos por c2:
a2 b2 c2
+
=
c2 c2 c2
2
2
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝c⎠ ⎝c⎠
⎛a⎞
⎜ ⎟ = senθ
⎝c⎠
entonces para todo ángulo θ.
Sen2 θ + Cos2 θ = 1
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⎛b⎞
⎜ ⎟ = cos θ
⎝c⎠
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De las definiciones de las funciones
trigonométricas
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando
sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy
útiles para problemas introductorios del tipo:
Ejemplo: Conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las
restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos²(x), se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
y análogamente con las restantes funciones .
Resolver el
ejercicio 23
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Ecuaciones trigonométricas
La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para
ciertos valores del argumento.
Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del
ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo de las
funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que
permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste
en transformar todas las funciones que aparecen allí en una sola función,
usando principalmente las identidades trigonométricas, (es recomendable
pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en
términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales
en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por
último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor
de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál
es ese ángulo.
Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones
que pueden expresarse en grados o en radianes.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
1ª sen(x)=1
2ª cos2(x)-3sen(x)=3
Soluciones:
1ª Es muy sencilla, sólo recordar el ángulo cuyo seno es 1; que es 90º en
el primer cuadrante. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no
valga 90º+360º=540º, tras otra vuelta volverá a valer uno y así
sucesivamente.
sen(x) = 1 ⇒ x = 90º
2ª Se convertirá en una ecuación con una sola razón trigonométrica si
tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría.
cos2(x) - 3sen(x) = 3
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y cos2(x) =1-sen2(x)
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reemplazando en la ecuación
1- sen2(x) - 3sen(x) = 3
ordenando y agrupando queda
sen2(x) + 3sen(x) + 2 = 0.
Ya está en función de una sola razón y de un sólo ángulo.
Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará una cuadrática, que
resolvemos como vimos anteriormente:
z2 + 3z + 2 = 0.
Las soluciones de esta ecuación son :
Z1 = - 2
Z2 = - 1
sen(x) = - 2 no tiene solución alguna, pues el seno es una función que
varia entre 1 y - 1.
sen(x) = -1 ⇒ x = - 90º o lo que es lo mismo x = 270º
ALGUNOS EJEMPLOS:
Ejemplo 1:
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Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
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Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejercicios propuestos
Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones:
Resolver el
ejercicio 24
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