2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y

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SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.
Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.
1;
8;
27;
64;
125;
216;
a1
a2
a3
a4
a5
a6
…
…
n3
an
En algunas sucesiones se puede encontrar un término general a n (término enésimo), que es
la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.
En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;…, el término general de la sucesión es a n =n3.
Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma,
reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.
1
Si el término general de una sucesión es 𝑎𝑛 = 𝑛 , entonces la sucesión será:
1
1
1
1
1
1 ;2; 3; 4; 5; 6;…;
1
𝑛
;…
Por lo tanto una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un
número real. 𝒇: ℕ → ℝ
•
EJERCICIOS:
1. Escribir 3 términos más para cada sucesión y el término general cuando sea
posible.
Matemática - Cuarto Año - 1
a) 3, 9, 15, 21, 27,
;
; ;…
Término general:…………………
2 3 4 5 6
b) , , , , ,
;
3 4 5 6 7
; ;…
Término general:…………………
c) 9,- 9, 9, -9, 9,
;
; ;…
Término general:…………………
d) 1; √2 ; √3; 2 ; √5 ; √6 ;
;
;
; …
Término general:…………………
e)
1 1 1 1
, , ,
,
1
,
2 4 8 16 32
;
; ; …
Término general:…………………
f) 0, 3, -1, -4, -25, 1000,
,
,
, …
Término general: ……………
2. Escribir los 5 primeros términos de estas sucesiones y también el término de
orden 60.
Matemática - Cuarto Año - 2
Término General
𝑎𝑛 =
Primeros 5 términos
Término de orden 60
3𝑛 − 2
𝑛2
b n = - n3
c n = 5 + (-1)n
1 𝑛
(*) 𝑑𝑛 = �1 + 𝑛�
Progresiones (sucesiones) aritméticas
Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene
sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética.
4
12
4+ 8
20
12 + 8
28
36 ….
20 + 8
Sucesión aritmética con r =8
28 + 8
Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que:
a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n – a n-1 = r
Progresiones (sucesiones) geométricas
Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene
multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.
3
-9
3.(-3)
-9.(-3)
27
-81
243 ….
Sucesión geométrica con q = -3
27.(-3) -81. (-3)
Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que:
𝒂𝟐
𝒂𝟑
𝒂𝒏
=
=⋯=
= 𝒒 ⟺ 𝒂𝟏 ≠ 𝟎
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒂𝒏−𝟏
Matemática - Cuarto Año - 3
•
EJERCICIO:
3. Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. Escribir el
valor de la razón según corresponda.
Sucesión
Clasificación
Razón
2, 10, 18, 26, 34, …
0,5; 0,25; 0,125; …
a n = 9-5n
3, 7, 10, 17, 27, 44, …
1 𝑛
𝑏𝑛 = 3. � �
2
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Más características de las sucesiones aritméticas
En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante
r.
a 1 = a 1 + 0r
a2= a1 + r
a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2r
a 4 = a 3 + r = a 1 + r + r + r = a 1 + 3r
………………………………..
a n = a n-1 + r = a 1 + ���������
𝑟 + 𝑟 + ⋯ + 𝑟 = a 1 + (n-1). r
𝑛−1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
Por lo tanto el término general de una sucesión aritmética es: a n = a 1 + (n-1). r
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
Hallar el término general de una sucesión aritmética cuyo primer término es -2 y el quinto
término es 10. Luego hallar el noveno término.
Sabemos que a 1 = -2 y que a 5 = 10 y que además se puede calcular como: a 5 = a 1 + (5-1). r (*)
Matemática - Cuarto Año - 4
Entonces sustituyendo los datos a 1 y a 5 en (*) , tenemos que 10 = -2 + 4. r
Despejando r, obtenemos que la razón de la sucesión es r = 3.
Por lo tanto, el término general es a n = -2 + (n-1).3
Y el noveno término es: a 9 = -2 + (9-1). 3= 22
Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética
Historia de Carl Fiedrich Gauss
Esta historia tiene que ver con alguien que pensó diferente. Y en el
camino, resolvió un problema en forma inesperada (para la docente).
La historia se sitúa alrededor de 1784, en Brunswick, Alemania.
Una maestra de segundo grado de la escuela primaria de nombre Buttner estaba
cansada del “lío” que hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente
problema: “calculen la suma de los primeros cien números” . La idea era tenerlos callados
durante un rato. El hecho es que un niño levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera
darle tiempo a la maestra de acomodarse en su silla.
- ¿Si? – preguntó la maestra mirando al niño.
- Ya está, señorita – respondió el pequeño -. El resultado es 5.050.
La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque la respuesta fuera falsa,
que no lo era, sino porque estaba desconcertada ante la rapidez.
- ¿Ya lo habías hecho antes? – preguntó.
- No, lo acabo de hacer.
Mientras tanto los otros niños recién habían llegado a escribir en el papel los primeros
dígitos, y no entendían el intercambio entre su compañero y la maestra.
- Vení y contanos a todos cómo lo hiciste.
El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el papel que tenía adelante se
acercó humildemente hasta el pizarrón y comenzó a escribir los números:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
- Bien - siguió el jovencito -. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o
sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.
- Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99). Esta suma vuelve a dar
101.
- De esta forma, “apareando” los números así y sumándolos, se tienen 50 pares de
números cuya suma es 101. Luego 50 veces 101 da 5.050 que es lo que usted quería.
Matemática - Cuarto Año - 5
La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Fiedrich Gauss. Nació en
Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió en 1855 en Gottinger, Hanover, Alemania. Gauss es
considerado el “Príncipe de la Matemática” y fue uno de los mejores, si no el mejor, matemático
de la historia.
Tomado de: “Matemática … ¿estás ahí?” – Adrián Paenza
Se calcula de la siguiente manera:
𝑺𝒏 =
(𝒂𝟏 +𝒂𝒏 ).𝒏
𝟐
EJEMPLO: Dada la sucesión a n = -2 + (n-1).3 , hallar la suma de los primeros 5 términos.
Una opción es escribir los primeros 5 términos y sumarlos. Pero otra es aplicar directamente
la fórmula vista más arriba. En ambos casos llegaremos a la misma respuesta. Pero si
queremos hallar la suma de mucho más términos, hallarlos uno por uno y sumarlos no resulta
práctico, por eso convendrá utilizar la fórmula S n .
a 1 = -2 ; a 2 = 1 ; a 3 = 4 ; a 4 = 7 ; a 5 = 10
S 5 = -2 + 1 + 4 + 7 +10 = 20
𝑺𝟓 =
•
(−𝟐+𝟏𝟏).𝟓
𝟐
= 20
EJERCICIOS:
4. Completar con el dato que falta en cada caso.
a) 𝑎1 = −
12
5
; r=5 ;
𝑎12 =……
b) 𝑎120 = 1345 ; r = -9 ;
83
𝑎1 =…..
c) 𝑎𝑛 = 153,32 ; 𝑎1 = 25 ; r = 25; n = …..
Matemática - Cuarto Año - 6
5. Calcular la suma de los 30 primeros términos:
a) Dada la sucesión aritmética cuyo término general es a n = -12 + 5n
b) Dada la sucesión: -4 , -10 , -16 , -22, …
6. Sabiendo que la suma de los 13 primeros términos de una sucesión
aritmética es 429 y que 𝒂𝟏𝟏 =63, hallar el término general de la sucesión.
7. Resolver teniendo en cuenta que en una sucesión aritmética a 1 + a 3 = 18 y
a5 – a2 = - 6
a) ¿Cuál es la razón?
b) Calcular a1, a2 y a3.
c) Hallar la suma de los primeros 10 términos.
8. Tener en cuenta los siguientes datos y responder los ítems a y b.
a 1 = x ; r = x-3 con x ϵ R
a) ¿Cuál es la expresión correspondiente a S 10 ?
I)
(9x+27) .5
II)
9x -135
III)
55x -135
b) Calcular S 10 si la diferencia entre dos términos consecutivos es 13.
Más características de las sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor
constante q.
𝑎1 = 𝑎1 . 𝑞 0
𝑎2 = 𝑎1 . 𝑞1
𝑎3 = 𝑎2 . 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞. 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 2
𝑎4 = 𝑎3 . 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 2 . 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 3
𝑎5 = 𝑎4 . 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 3 . 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 4
………………………….
Matemática - Cuarto Año - 7
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 . 𝑞 = 𝑎1 . ��
𝑞. 𝑞.
𝑞 …��
. 𝑞 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1
���
𝑛−1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
Por lo tanto el término general de una sucesión geométrica es: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒𝒏−𝟏
Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica
Se calcula de la siguiente manera:
•
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏.
𝒒𝒏 −𝟏
𝒒−𝟏
con q ≠ 1
EJERCICIOS:
9.
Completar con el dato que falta en cada caso.
a)
b)
c)
𝑎1 = −9; q= 2 ; 𝑎11 =……
𝑎25 = 122 ; q = 1/3 ; 𝑎1 =…..
𝑎𝑛 = 2048; 𝑎1 = 4; q = 2; n = …..
10. Calcular la suma de los 11 primeros términos.
a) Sea la sucesión geométrica de término general a n =3. 2n-1
b) Dada la sucesión geométrica: 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; 768; …
11. Resolver teniendo en cuenta que las sucesiones son geométricas
a) Encontrar 4 términos entre el término de valor 2 y el término de valor 486 de una
sucesión.
b) En una sucesión de razón 1,5 ; la suma de los dos primeros términos es 1,7.
Calcular la suma de los 5 primeros términos.
c) El producto entre el segundo y el tercer término de una sucesión es 5400.
Calcular la razón y la suma de los 12 primeros términos, si el primer término es 5.
Matemática - Cuarto Año - 8
12. Elegir la opción correcta en cada caso.
a) Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y su razón 0,5, ¿cuál es el
producto 𝑎20 . 𝑎21 ?
II)
2. 0,539
II)
2. 0,2539
III)
4. 0,539
b) Si en una sucesión geométrica 𝑎1 = 𝑥 con x >1 y 𝑞 = 𝑎1 , ¿Cuál es la expresión de
I)
S5?
𝑥 5 −1
𝑥−1
𝑥 6 −𝑥
II)
III)
𝑥−1
𝑥 5 −𝑥
𝑥 2 −𝑥
Análisis de sucesiones
•
Cotas superiores e inferiores
Una sucesión está acotada superiormente, si ∃𝑘 ∈ ℝ / para todo 𝑛 ∈ ℕ; 𝑘 ≥ 𝑎𝑛 . Se dice que k
es cota superior en la sucesión.
Una sucesión está acotada inferiormente, si ∃𝑘 ∈ ℝ / para todo 𝑛 ∈ ℕ; 𝑘 ≤ 𝑎𝑛 . Se dice que k
es cota inferior en la sucesión.
El supremo es la menor de las cotas superiores de una sucesión y el ínfimo es la mayor de las
cotas inferiores de una sucesión.
Una sucesión es monótona creciente, si para todo 𝒏 ∈ ℕ; 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏−𝟏.
Una sucesión es monótona decreciente, si para todo 𝒏 ∈ ℕ; 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏−𝟏 .
EJEMPLO:
𝟐
Si el término general de una sucesión es 𝒂𝒏 = 𝒏 , entonces la sucesión será:
Matemática - Cuarto Año - 9
2; 1;
2 1 2 1 2
; ; ; ; ;…
3 2 5 3 7
En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión:
•
•
Esta sucesión está acotada superior e inferiormente.
•
inferiores.
•
En este ejemplo, 2, 4, 8, 100, e, π, son cotas superiores y 0, -1, -3, -3/4, son cotas
El supremo es 2 y el ínfimo es 0.
También se afirma que esta sucesión es monótona decreciente, al ser cada término
menor que el anterior.
OTRO EJEMPLO:
Si el término general de una sucesión es a n =2-(-1)n, entonces la sucesión será: 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; 3
;1; …
En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión:
Matemática - Cuarto Año - 10
•
•
•
•
•
Esta sucesión está acotada; admite cotas superiores e inferiores.
El supremo es 3 y el ínfimo es 1.
Esta sucesión no es ni monótona decreciente ni monótona creciente.
3 𝑠𝑠 𝑛 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Otra manera de definir esta sucesión es 𝑎𝑛 = �
1 𝑠𝑠 𝑛 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝
EJERCICIOS:
13. Indicar si las sucesiones son monótonas crecientes o decrecientes. Explicar las
respuestas.
a)
b)
c)
d)
𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
𝑎𝑛 = −2𝑛
𝑎𝑛 = (−1)𝑛 . 𝑛
𝑎1 = 2 𝑦 𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎𝑛−1 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑛 ≥ 2
14. Indicar si las sucesiones están acotadas. Escribir tres cotas inferiores y/o tres
superiores, el infímo y el supremo, cuando sea posible. (Puede ayudar realizar
un gráfico).
a)
b)
c)
1; 0,8; 0,5; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;….
4, 0, -4, -8, -12, -16, -20, …
5, -5, 5, -5, 5, -5, …
15. Tener en cuenta la sucesión definida por la fórmula b n = (1 + n)1/n, completar la
tabla y responder.
b1
a)
b2
b3
b4
b 10
b 101
b 1000
b 10002
La sucesión ¿es monótona creciente, monótona decreciente o ninguna de ellas?
Matemática - Cuarto Año - 11
b)
c)
Si n crece infinitamente, los términos de esta sucesión ¿a qué número se
aproxima?
¿Está acotada? ¿Entre qué valores están comprendidos todos los términos de la
sucesión?
Clasificación de sucesiones
•
Sucesiones convergentes
Cuando a medida que n crece, los términos de la sucesión se van acercando a un número, se
dice que la sucesión es convergente.
𝟏 𝒏−𝟏
EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es 𝒂𝒏 = �𝟐�
1; ½; ¼; 1/8; 1/16;…
, entonces la sucesión será:
A medida que crece, la sucesión se va acercando a 0.
Se dice que la sucesión converge a 0 o que su límite es 0.
•
Sucesiones divergentes
Cuando a partir de un n natural, los módulos de los términos de la sucesión son mayores que
cualquier número positivo k, la sucesión es divergente.
EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es a n =2n, entonces la sucesión será:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…
La sucesión diverge porque para cualquier número positivo k , existe un n tal que a n >k.
Para k= 2.300.000, existe n =1.150.001, tal que a n = 2.300.002 >k.
A medida que crece, la sucesión se va tomando a valores cada vez más altos.
Se dice que la sucesión diverge a +∞ o que su límite es +∞.
•
Sucesiones oscilantes
Matemática - Cuarto Año - 12
Cuando una sucesión no es convergente ni divergente, es oscilante.
EJEMPLO: Si el término general de una sucesión es a n =2-(-1)n , entonces la sucesión será:
3;1;3;1;3;1;…
Esta sucesión oscila entre los números 1 y 3.
En este caso, la sucesión no tiene límite. Por lo tanto, es oscilante.
•
EJERCICIOS:
16. Clasificar las sucesiones en convergentes, divergentes u oscilantes. Si es
posible, calcular su límite.
a) 5 ; 4,5 ; 4 ; 3,5 ; 3,3 ; 3,1 ; 3,01 ; 3,001 ; 3,0001 ; …
b) 10; 100; 1000; 10000; 100000; …
c) -2; 3; -2; 3 ;-2 ; 3 ;-2 ;…
2 𝑛
d) 𝑎𝑛 = �3�
e) 𝑏𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛
f)
𝑐𝑛 =
2𝑛−1
𝑛+1
g) 𝑑𝑛 = �
3 𝑠𝑠 𝑛 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝
5 𝑠𝑠 𝑛 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
17. Indicar para qué valores de t las sucesiones son convergentes, divergentes u
oscilantes.
a) t; t2; t3; t4; t5; …
b) t2; t6; t10; t14; …
c) t-1; t-2; t-3; t-4; …
18. Proponer para cada caso, si es posible, el término general de una sucesión que
cumpla las condiciones pedidas.
Matemática - Cuarto Año - 13
a) Una sucesión de términos negativos que sea divergente.
b) Una sucesión de términos positivos que sea convergente a 2.
c) Una sucesión oscilante que cumpla que para todo n: −2 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 2
d) Una sucesión convergente en. 3 y que sea monótona decreciente.
e) Una sucesión convergente a 0 que cumpla que para todo n: 0 < 𝑎𝑛 ≤ 1
19. Responder Verdadero o Falso justificando la respuesta.
a) Una sucesión de términos negativos siempre es convergente.
𝟐
b) La sucesión 𝒂𝒏 = 𝒏𝟑 es convergente a 0.
c) Una sucesión oscilante tiene todos sus términos positivos.
20. Dada la sucesión: 6400 ; 3200 ; 1600 ; . . . ;
𝟐𝟐
𝟒
a) Determinar la razón.
b) Escribir la expresión correspondiente del término 𝑎𝑛 .
c) Calcular cuántos términos tiene la sucesión.
d) Hallar la menor cantidad de términos que debe tener la sucesión para que:
𝑆𝑛 > 12500.
e) Calcular la suma de sus infinitos términos.
21. Dada la sucesión aritmética: 32 ; 38 ; 44 ; . . . ; k
a) Siendo k el término 11º , hallar el valor de k.
b) Calcular la suma de los 11 primeros términos
22. Los 3 primeros términos de una sucesión geométrica son:
𝟑𝟑
𝟓
;𝒎 ;
que es convergente calcular la suma de sus infinitos términos.
23. Considere la progresión aritmética 3, 9, 15, ... , 1353
Matemática - Cuarto Año - 14
𝟒
𝟓
. Sabiendo
a) Escriba la razón común.
b) Encuentre el número de términos en la secuencia.
c) Encuentre la suma de la secuencia.
24. Considere la progresión geométrica infinita 25, 5, 1, 0.2,...
a) Encuentre la razón común.
b) Encuentre: i. El décimo término; ii. Una expresión para el n-ésimo término.
c) Encuentre la suma de los infinitos términos de la progresión.
•
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Enrique le compra una computadora a su amigo Lucas. Acuerdan el precio de $ 945.-
y el pago en 6 cuotas mensuales de modo que cada una sea el doble de la anterior.
¿Cuál es el monto de cada cuota?
Enrique determina que cada cuota será el doble de la anterior; por lo tanto, la
sucesión formada por las 6 cuotas es una progresión geométrica de razón 2.
Para respetar el precio que acordaron, la suma de las seis cuotas debe dar $ 945.-
Utilizamos entonces la fórmula de la suma para los primeros 6 términos de una progresión
geométrica de razón 2.
Cuota 1
Cuota 2
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 . 2
Cuota 3
𝑎3 = 𝑎2 . 2 = 𝑎1 . 22
Cuota 5
𝑎5 = 𝑎4 . 2 = 𝑎1 . 24
Cuota 4
Cuota 6
𝑎4 = 𝑎3 . 2 = 𝑎1 . 23
𝑎6 = 𝑎5 . 2 = 𝑎1 . 25
Total
𝑞𝑛 − 1
𝑆𝑛 = 𝑎1.
𝑞−1
26 − 1
2−1
945
𝑎1. =
= 15
63
945 = 𝑎1.
Matemática - Cuarto Año - 15
$ 15.$ 30.$ 60.-
$ 120.$ 240.$ 480.$ 945.-
2. Para saldar una deuda Agustín propone pagarla en cuotas durante un año, de tal
manera que cada mes paga $ 70.- más que el mes anterior. Si la undécima cuota es de
$ 780.- , ¿cuánto paga en total Agustín?
Si definimos como 𝑎𝑛 la sucesión de las cuotas que debe pagar Agustín, y dado que
cada cuota es de $ 70.- más que la anterior, se trata de una progresión aritmética de razón 70.
Lo que el problema requiere es encontrar la suma de todas las cuotas . Usaremos
entonces la fórmula para la suma de los 12 primeros términos de la sucesión aritmética de
razón 70.
(𝑎1 + 𝑎12 ). 12
2
(80 + 850). 12
𝑆12 =
2
𝑎11 = 𝑎1 + 10.70 = 780
y
𝑆12 =
Resulta así 𝑎1 = 80
𝑎12 = 𝑎11 + 70 = 850
𝑆12 = 5580
Por lo tanto Agustín en un año pagará $ 5.580.3. Esteban pide un préstamo de $ 35.000.- en un Banco, y pacta pagarlo en 5 cuotas
anuales de la siguiente manera: al finalizar cada año paga un quinto del capital y los
intereses correspondientes al capital no devuelto durante ese año, con una tasa de
interés del 12% anual. ¿A cuánto asciende cada cuota?
1° Año
Como los
𝐶1 =
4
5
35000
+ 35000 . 0,12
5
del capital no se pagaron, sobre este importe se cobrará el interés del
nuevo año. Así cada año queda sin pagar
1° Año
𝐶1 = 11200
𝐶1 =
1
5
menos.
35000
+ 35000 . 0,12
5
Matemática - Cuarto Año - 16
𝐶1 = 11200
2° Año
3° Año
4
𝐶2 = 7000 + 35000 . . 0,12
5
3
𝐶3 = 7000 + 35000 . . 0,12
5
𝐶2 = 10360
𝐶3 = 9520
Las cuotas forman una progresión aritmética, ya que cada año se paga una quinta
parte menos de 35000 . 0,12; por lo tanto, la razón es: 𝑟 = −35000 .
4° Año
5° Año
𝐶4 = 𝐶3 − 𝑟 = 9520 − 840
𝐶5 = 𝐶4 − 840
0,12
5
.
𝐶4 = 8680
𝐶5 = 7840
En consecuencia, las cuotas son de: $ 11.200.- ; $ 10.360.- ; $ 9.520.- ; $ 8.680.- y
$ 7.840.-.
4. Se define la sucesión que cuenta la cantidad de puntos necesarios para realizar los
siguientes cuadrados.
a) Escriba el término general.
b) Represente gráficamente la sucesión generada.
a) 𝒂𝒏 = (𝒏 + 𝟏)𝟐
b) 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; . . .
Matemática - Cuarto Año - 17
5. Se define la sucesión que cuenta la cantidad de puntos necesarios para dibujar los
siguientes triángulos. Encuentre el término general de la sucesión y realice el gráfico
cartesiano correspondiente:
Definimos la sucesión:
𝒂𝒏 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒅𝒅 𝒖𝒖 𝒕𝒕𝒕á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
Triángulo 1
Triángulo 2
𝑎1 = 3
𝑎2 = 1 + 2 + 3
Triángulo 3
𝑎3 = 1 + 2 + 3 + 4
Triángulo n
𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 + 1)
.............
𝑎1 = 3
.............
𝑎2 = 6
𝑎3 = 10
.............
𝑎𝑛 =
Matemática - Cuarto Año - 18
(𝑛 + 1). (𝑛 + 2)
2
Para calcular el término general se calculó la suma de los números naturales desde 1
hasta el n+1.
Grandes temas de la matemática: Capítulo 4: Fibonacci – Por Dr. Adrián Paenza
https://www.youtube.com/watch?v=0d4o57I3rn4
(*) Grandes temas de la matemática: Capítulo 5: El número e – Por Dr. Adrián Paenza
https://www.youtube.com/watch?v=ds8oBDVqhBc
BIBLIOGRAFÍA:
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ACTIVADOS – MATEMÁTICA 5 – Ed. Puerto de Palos
MATEMÁTICA POLIMODAL - Números y Sucesiones - Longseller
Ejercicios de pruebas aplicadas para el programa del Diploma BI
Matemática - Cuarto Año - 19