29/11/2011

EXAMEN DE CONTROL AUTOMÁTICO
PRIMER PARCIAL
NOVIEMBRE 29 DE 2011
PRIMER TEMA: 35 puntos
El diagrama representa un tren de alta velocidad con sistema
de levitación magnética.
La fuerza de levitación FL (N) es controlada por la corriente en
las bobina de levitación (i) (Amp). Z (mtr) es la distancia de
levitación. F es el peso del tren y Fw (señal de perturbación)
el cambio de peso producido por los pasajeros que entran o
salen.
i2
FL  k 2
z
a.
b.
c.
d.
; F  mg ; Fw
(5 p.) Linalice la ecuación de la fuerza de levitación
para un punto de operación cualesquiera.
(15 p.) Obtenga el Diagrama Funcional del sistema.
Tome en consideración el circuito RL de las bobinas
de levitación y el sensor de “z” es un sistema de
primer orden con ganancia de Ks y constante de
tiempo s , el controlador del sistema es Proporcional
“P”.
(10 p.) Obtenga el diagrama de bloque en lazo
cerrado en el dominio de la frecuencia compleja “s”.
(5 p.) Encuentre la Función de Transferencia:
Z(s)/Zref(s).
SEGUNDO TEMA: 35 puntos
Para el sistema mostrado en la figura:
a.
b.
c.
d.
(15 p.) Bosqueje con todos los detalles posibles el
Lugar Geométrico de las Raíces cuando: 0 < a <
inf.
(10 p.) Determine el valor de “a” de tal manera que el
Coeficiente de Amortiguamiento de los polos
dominantes sea: ζ = 0.5. (sugerencia: usar método
de comparación de coeficientes)
(5 p.) Para el valor de “a” obtenido en b. obtenga el
valor de los polos de lazo cerrado del sistema.
¿Existe dominancia de Segundo orden? Justifique su
respuesta.
(5 p.) Proporcione la información sobre la estabilidad
del sistema.
TERCER TEMA: 30 puntos
Para el sistema mostrado en la figura:
a. (18 p.) Determine los valores de los parámetros de
Ka y Kg para conseguir que el Error de Estado
Estacionario para una entrada Rampa Unitaria sea
igual a 0.1 y que la Relación de Amortiguación del
sistema sea igual a 0.5.
b. (12 p.) Encuentre las Constantes de Error de
Posición, Velocidad y Aceleración. Encuentre el
Error de Estado Estacionario para una entrada tipo
Parabólica (de aceleración).
SOLUCION:
Primer Tema.
Linalice la ecuación de la fuerza de levitación para un punto de operación cualesquiera
i2
FL  k 2 ; F  mg ; Fw
z
Punto _ Operación _( P ) : FLO
FL  FLO 
FL
i
P
; IO
; ZO
FL
F
(i  I O )  L ( z  Z O )
i P
z P
2kI
FL
 2O  C1 ;
ZO
z
P
2kI O2
  3  C2
ZO
FL  FLO  C1 (i  I O )  C2 ( z  Z O )  FL  C1i  C2 z
Obtenga el Diagrama Funcional del sistema. Tome en consideración el circuito RL de las bobinas de levitación y el sensor de “z”
es un sistema de primer orden con ganancia de Ks y constante de tiempo s , el controlador del sistema es Proporcional “P”.
F  ma
FL  F  Fw  ma  m
dv
d 2z
m 2
dt
dt
Bobina _ levitación :
vL  RL  i  LL
di
dt
; L
di
 i  K L  vL
dt
; L 
LL
RL
; KL 
1
RL
Sensor _ levitación :
dz
 s  z  K s  vs
dt
Controlador _ Pr oporcional :
vL  P  ea
Obtenga el diagrama de bloque en lazo cerrado en el dominio de la frecuencia compleja “s”.
Encuentre la Función de Transferencia: Z(s)/Zref(s).
Segundo tema.
a.
sa
10
; Gp ( s ) 
s 8
s ( s  1)
E.C.: 1  Gc( s )Gp ( s )  0  1  K  F ( s )  0 ; 0  K  
10( s  a )
10
1
 0  1 a 3
0 ; 0a
s ( s  1)( s  8)
s  9 s 2  18s
10
1 a
0
s ( s  3)( s  6)
Punto _ salida :
s    j ;   0  s  
Gc( s ) 
da
3 2  18  18

 0 ; 3    0
10
d
10
1.27
3 2  18  18  0   1,2  
  e  1.27
 4.73
a
 3  9 2  18

b.
Por _ comparación _ de _ coeficientes :
E.C.: s 3  9 s 2  18s  10a  0
Sistema _ de _ tercer _ orden :
( s  r )( s 2  2n s  n2 )  0 ;   0.5

s 3  9 s 2  18s  10a  0
 3
2
2
2
 s  (r  n ) s  (rn  n ) s  rn  0
9  r  n
 r7
1.

2
2.
18

r





(
r


)

9


n  2

n
n
n
n
n
2
3.
10a  rn
 a  2.8

c.
Polos _ de _ lazo _ cerrado :
( s  r )( s 2  2n s  n2 )  0 ;   0.5 ; n  2 ; r  7
p1  7


( s  7)( s 2  2 s  4)  0   p2  1  j1.73
 p  1  j1.73
 3
El _ sistema _ es _ do min ante _ de _ segundo _ orden.
D  7 ; d  1  D  5 d
d.
Análisis _ de _ la _ estabilidad :
Sistema _ condicionalmente _ estable
Rango _ de _ estabilidad : 0  a  acrit
E.C.: s 3  9s 2  18s  10a  0
Segun _ Hurtwitz :
s3
s2
s1
s0
1
18
9 10a
A
10a
162  10a
 0  a  16.2  acrit
9
Ecuación _ auxiliar : 9s 2  10a  0 ; s   j 18
o   j 4.24
A
Tercer tema.
a.
1
; ess  0.1 ;   0.5
s2
ess  lim sE ( s ) ; E ( s)  R( s)  C ( s)  E ( s)  (1  T ( s)) R( s)
R( s) 
s 0
C (s)
T ( s) 

R( s)
ess  lim s (1 
s 0
ess 
1  10 K g
10 K a
10 K a
10 K a
10 K a
s ( s  1)

 2
10 K g
10 K a
s ( s  1)  10 K g s  10 K a s  (1  10 K g ) s  10 K a
1

( s  1) s( s  1)

s ( s  1  10 K g )
10 K a
1
) 2  lim s  2

s 0
s  (1  10 K g ) s  10 K a s
 s  (1  10 K g ) s  10 K a
2
 0.1  1  10 K g  K a
Por _ comparación _ con _ un _ sistema _ de _ segundo _ grado :
 E.C. s 2  (1  10 K g ) s  10 K a  0
 2
2
 s  2n s  n  0 ;   0.5
1. 1  10 K g  2n  n  1  10 K g  K a

10 K a  n2  K a  10
2.
Kg 
Ka 1
 0.9
10
b.
GH ( s ) 
10 K a
; Sistema _ Tipo _1
s ( s  1  10 K g )
K p  lim GH ( s )  
s 0
K v  lim sGH ( s ) 
s 0
10 K a
1  10 K g
K a  lim s 2GH ( s )  0
s 0
Señal _ de _ prueba _ Parabólica _ Unitaria : R ( s ) 

s ( s  1  10 K g )
ess  lim s  2
s  0  s  (1  10 K ) s  10 K
g
a

1
 3  
s
1
s3
1
 2
s