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2
MATEMÁTICAS
carmen López Bote
Begoña martínez elgarresta
Purificación montesinos comino
Francisco González Díaz
coordinadora
Purificación montesinos comino
Revisión técnica
J. Javier Orengo Valverde
m.ª isabel de los santos Rayo
MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO • NUEVA YORK 
PANAMÁ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO
AUCLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS
SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO
¿CÓmo SE uTiLiZa ESTE LiBro?
2
DOBLE PÁGINA
PRESENTACIÓN
Comenzamos la Unidad
de manera didáctica y
amena, con una actividad
cercana para el entorno
de los alumnos. A
continuación aparece un
breve vocabulario en el que
se recogen los términos
matemáticos que se van a
emplear en dicha Unidad;
su objetivo es el de recordar
conceptos de cursos
anteriores.
La representación
de los números naturales
en la recta numérica
0
Dentro del libro está
incluido un CD para el
alumno con material
multimedia para que
trabaje en el aula y en casa.
En cada Unidad didáctica,
en aquellos apartados que
se complementen con el
CD, aparece el símbolo
que indica el empleo del
CD por parte del alumno
para complementar su
aprendizaje.
1
2
3
4
0h
+1°
5
Para multiplicar dos números
enteros se multiplican los valores
absolutos de los factores
y el signo del resultado viene
dado por la regla de los signos:
+·+=+
+·–=–
–·+=–
–·–=+
12 h 15 h 18 h 21 h 24 h
+5° +10° +7° +5° +3°
— ¿Cuál fue la temperatura media del día?
Para responder a estas cuestiones
es necesario alcanzar los objetivos que
se proponen en esta Unidad.
Los objetivos de esta Unidad son:
• Utilizar los números enteros.
• Conocer las propiedades de
las operaciones con números enteros.
3
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
A
POLIEDROS REGULARES
De todos los poliedros sólo existen cinco poliedros regulares que cumplen
las tres condiciones anteriormente citadas.
Caras
9h
–2°
— ¿Cuál fue la diferencia entre la
temperatura máxima y la temperatura
mínima registrada?
La potencia de un número
entero, al igual que la potencia
de un número natural, es una
forma simplificada de expresar
la multiplicación de ese número
por sí mismo tantas veces como
indique otro número.
El número que se multiplica
por sí mismo se llama base.
El número que nos indica cuántas
veces multiplicamos la base
se llama exponente.
Poliedro regular
6h
–4°
— ¿Qué temperaturas máxima y mínima
se registraron en el día?
Potencia de números
enteros
11
3h
0°
Como ves, para describir la evolución
de la temperatura a lo largo del día no
son suficientes los números naturales,
es necesario utilizar los números enteros.
Con ellos es posible responder a cuestiones
como:
Regla de los signos
La Unidad está
estructurada en epígrafes
que comienzan con una
actividad que sirve de
ejemplo para introducir
el concepto a tratar.
CÓMO SE USA
EL CD
El registro de las temperaturas en una
estación meteorológica durante un día del
mes de diciembre se describe en la tabla:
Los números naturales se
representan en una semirrecta de
izquierda a derecha, ordenados
de menor a mayor.
DESARROLLO
DE LA UNIDAD
Al finalizar cada apartado
se proponen ejercicios
para resolver para que
el alumno compruebe
la comprensión de los
conceptos estudiados.
NÚMEROS ENTEROS
¿Recuerdas qué es…?
Vértices
Aristas
Las caras son
Tetraedro
4


Triángulos
equiláteros
Cubo
6


Cuadrados
Octaedro
8


Triángulos
equiláteros
Dodecaedro
12


Pentágonos
regulares
Icosaedro
20


Triángulos
equiláteros
Figura
Desarrollo
B
PRISMAS
Algunos edificios y envases se diseñan en forma de prisma recto. Este diseño
los hace estables y fáciles de construir. Los de base rectangular son fáciles de
apilar y almacenar como en el caso de los envases. También son fáciles de
alinear con otros como en el caso de los edificios.
Un prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas que son polígonos iguales, llamados bases, y por polígonos que unen las bases que
son paralelogramos, llamados caras laterales.
Si las caras laterales son rectángulos o cuadrados se llama prisma recto, y si
son rombos o romboides se llama prisma oblicuo.
Prisma recto
Caras laterales
Bases
Prisma oblicuo
En el caso de que las bases de un prisma
recto sean polígonos regulares, se llama
prisma regular y en los demás casos se
llama prisma irregular.
También se utiliza la forma de las bases
para describir el prisma: triangular (las bases son triángulos), cuadrangular (las bases
son cuadrados), rectangular (las bases son rectángulos), pentagonal, hexagonal, etcétera.
Cuando todas las caras de un prisma son
paralelogramos se llama paralelepípedo.
Ejercicios
10 Copia en tu cuaderno y completa la tabla:
Poliedro
Altura
Bases
Altura
Investiga la forma de tu colegio o instituto para determinar si tiene forma
de prisma. Busca también en un supermercado algún envase con forma de
prisma. ¿Puedes encontrar alguno cuya base no sea un rectángulo?
N.º de aristas que
se unen en cada
vértice
Ángulos diedros
(agudos, obtusos
o rectos)
11 Determina cuáles de los siguientes desarrollos planos corresponden a un tetraedro.
a)
b)
c)
Cubo
Ejercicios
13 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de
un prisma recto cuadrangular de 3 cm de altura y
cuya base tenga 2 cm de lado.
15 ¿Cuáles de los siguientes cuerpos son prismas?
a)
b)
c)
Tetraedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
198
12 Si unes dos tetraedros por una de sus caras,
¿se obtiene un octaedro? Razona tu respuesta.
14 Escribe tres objetos cotidianos que tengan
forma de prisma. Para cada uno de ellos describe
cuál es el polígono que está en la base y da un
valor aproximado de su altura.
199
EJERCICIOS
RESUELTOS
12
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al
hacer girar cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje
indicado:
a)
3 Halla el volumen del siguiente cuerpo de revolución.
Podemos descomponer el cuerpo de revolución en tres cuerpos:
10 cm
— En primer lugar, al cilindro de la parte superior, de 5 cm
de radio y 5 cm de altura, lo llamamos C1.
b)
5 cm
— En segundo lugar, el cilindro de 2 cm de altura y 20 cm
de radio, será C2. Debemos hallar el volumen de C1 y
el de C2 y sumarlos.
2 cm
— Por último, está el cilindro hueco en el interior de 4 cm
de radio y 7 cm de altura, que es C3.
En primer lugar se dibuja la figura simétrica respecto al eje:
8 cm
20 cm
Este volumen debemos restarlo de la suma anterior y así obtendremos el
volumen del cuerpo de revolución del enunciado.
— Volumen de C1: π · 52 · 5 = 392,5 cm3.
— Volumen de C2: π · 202 · 2 = 2 512 cm3.
— Volumen de C3: π · 42 · 7 = 351,66 cm3.
Volumen del cuerpo de revolución V = 392,5 + 2 512 − 351,66 = 2 552,84 cm3.
Después se dibujan, en perspectiva, los círculos que se generan al girar los
vértices de la figura plana:
4 Halla el área del cuerpo de revolución.
6 cm
Podemos descomponer el cuerpo de revolución en dos cuerpos: un cilindro
y una semiesfera.
El área del cuerpo del dibujo se puede hallar como la suma de la mitad del
área de la esfera de 3 cm de radio y el área lateral del cilindro más el área de
una de las bases. Observa que la base del cilindro entre la semiesfera y el
cilindro no debe sumarse, pues no queda en el exterior.
4 · π · r 2 4 · 3,14 · 9 113
=
=
= 56,5 cm2.
2
2
2
— Área lateral del cilindro: 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 3 · 8 = 150,7 cm2.
8 cm
— Área de la semiesfera:
Finalmente, se borran los lados de la figura plana que han generado los
círculos:
— Área de una base del cilindro: π · r 2 = 3,14 · 9 = 28,3 cm2.
— Área del cuerpo de revolución: A = 56,5 + 150,7 + 28,3 = 235,5 cm2.
5 Halla la generatriz del tronco de cono cuya altura mide 1,2 m y sus
radios de las bases son 60 y 90 cm.
En primer lugar, dibujamos el trapecio
que forman ambos radios, la altura y
la generatriz.
2 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un cilindro de altura
3 cm y radio de la base 1,5 cm.
La dificultad de este ejercicio está en
el cálculo del lado de la base del rectángulo.
60 cm
Observamos que trazando una línea
1,2 m
paralela a la altura podemos construir
un triángulo rectángulo, como ves en
la imagen. La hipotenusa de ese triángulo es la generatriz g que queremos
90 cm
30 cm
calcular, y los catetos son la altura
(120 cm) y la diferencia entre los radios 90 – 60 = 30 cm. Por tanto, aplicando
el teorema de Pitágoras:
2πr = 2 · 3,14 · 1,5 = 9,42 cm
Ahora, basta dibujar dos círculos de radio 1,5 cm y un rectángulo cuyos lados
midan 3 cm y 9,42 cm.
g2 = 1202 + 302 = 15 300 cm2, luego g = Î15300 = 123,7 cm.
222
223
EJERCICIOS
PROPUESTOS
12
EJERCICIOS PROPUESTOS
34
Dibuja el cuerpo de revolución que se genera
al hacer girar cada una de las siguientes figuras planas
alrededor del eje indicado:
a)
b)
Medidas
47
48
Halla el área y el volumen de una esfera de diámetro 1,5 m.
38
Halla la generatriz de un cilindro sabiendo que
la altura es 12 cm y el radio de la base 4 cm.
49
Halla el volumen de un cilindro cuya altura sea
de 5 m y su radio de la base de 2 m.
39
Sabiendo que la generatriz de un cono mide
10 cm y el radio de la base 6 cm, halla su altura.
40
Compara el radio de la base de los dos conos
que se describen en cada apartado:
35
¿Cuáles de los siguientes cuerpos de revolución
tienen desarrollo plano?
a)
a) Cono 1: h = 10 cm g = 14 cm
Cono 2: h = 8 cm
g = 9,8 cm
b) Cono 1: h = 60 cm g = 1 m
b)
¿Cuál es el área de una esfera de radio 40 cm?
37
Halla la altura de un cono cuya generatriz mida
5 cm y el radio de la base sea 3 cm.
Cono 2: h = 80 cm g = 90 cm
41
Halla la generatriz de un tronco de cono cuya
altura mide 12 cm y los radios de ambas bases miden
8 cm y 4 cm.
50
Un colador en forma de cono tiene una base de
radio 5 cm y una altura de 14 cm. ¿Cuánta cantidad
de líquido puedo colar de una vez?
51
El volumen de un cono es 30 cm. Sabiendo que
el área de la base es 18 cm, calcula su altura.
52
Un cilindro tiene de altura 15 cm y de radio de la
base 3 cm. Un cono tiene también de altura 15 cm y de
radio de la base 3 cm. Halla el volumen de los dos cuerpos. ¿Qué relación tienen los dos números entre sí?
(Orientación: observa y compara las dos expresiones para
calcular los volúmenes.)
53
En una caja con forma de cilindro de altura 30 cm
y radio de la base 5 cm se guardan tres pelotas de diámetro 10 cm. Calcula el volumen de la parte de la caja
que queda desocupada.
4 cm
r
c)
g
h
12 cm
55
Calcula y compara la cantidad máxima de
agua que pueden contener cada uno de los siguientes
vasos:
a) Uno de ellos tiene forma de cilindro de altura 15 cm y
radio de la base 3 cm.
Situados al final de cada
Unidad, están adaptados
al nivel de conocimientos
de los alumnos. Se han
estructurado manteniendo
el orden de los diferentes
epígrafes del tema objeto
de estudio, marcando
los mismos por nivel
de dificultad para que
resulte sencillo abordar su
resolución.
b) El otro tiene forma de tronco de cono obtenido al
seccionar un cono imaginario de altura 20 cm por un
plano paralelo a la base a 5 cm de distancia del vértice.
Los radios de las bases del tronco son 2 y 4 cm.
56
Un cono de altura 20 cm y cuyo radio de la base
es 4 cm, se corta paralelamente a la base suprimiendo
así un cono de altura 5 cm. Sabiendo que el radio de la
base del cono suprimido es 1 cm, calcula la generatriz
de ambos conos. Halla también el área lateral y total del
tronco de cono obtenido al cortar.
57
Halla el volumen del tronco de cono del ejercicio
anterior.
58
Halla el volumen del cuerpo de revolución que
se obtiene al hacer girar la figura plana alrededor del eje
(las unidades se expresan en metros):
4
3
2
3
10 cm
30 cm
2
R
42
¿Cuál es la altura de un tronco de cono si su generatriz mide 20 cm y los radios de las bases son 12 cm
y 9 cm?
43
Halla el área lateral y el área total de un cilindro
de 2 m de altura y 30 cm de radio de la base.
R: 5 cm
54
En una caja con forma de cilindro de 1 m de alto y
30 cm de diámetro se guarda un cono de 1 m de alto
y 30 cm de diámetro de la base. Calcula el volumen de
la parte de la caja que queda desocupada.
44
Halla el área total de un cilindro de altura 55 cm
y diámetro de la base 20 cm.
1m
45
Calcula el área total de un cono que tiene radio
de la base 15 cm y generatriz de 20 cm.
226
9
PARA REPASAR
EN GRUPO
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 9, encontrarás la
actividad Sopa de letras
unidad 9, para repasar los
conceptos más importantes de
la circunferencia.
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 9, encontrarás la
actividad Relación unidad 9,
para repasar los conceptos más
importantes de la unidad.
172
+
4m
+
= 5 m2
1,2 m
227
PARA REPASAR
EN GRUPO,
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y
DESAFÍOS
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO
1,5 m
1m
30 cm
46
Halla el área lateral y el área total de un cono
cuya generatriz mide 60 cm y el diámetro de la base es
30 cm.
60
Una torre está formada por un cilindro de altura
4 m y radio de la base 1,2 m, sobre la que se apoya un
cono con el mismo radio de la base y altura 1,5 m. Halla
el área y el volumen de la torre, teniendo en cuenta que,
las ventanas y la puerta ocupan en total una superficie
de 5 m2.
30 cm
36
Un cuerpo de revolución cualquiera puede tener
desarrollo plano o no. Describe de qué cuerpos de revolución de los que has estudiado en esta Unidad tiene
que estar compuesto para que tenga desarrollo plano.
59
Halla el área del cuerpo de revolución del ejercicio anterior.
8 cm
DEFINICIÓN
Todas las civilizaciones se han basado en la regularidad de los movimientos
del Sol o la Luna para la elaboración de sus calendarios.
Los egipcios hacia el 4 000 a.C. se regían por un calendario cuyo año duraba
12 meses de 30 días y 5 días más que no pertenecían a ningún mes.
Los romanos en el siglo VII a.C. utilizaban un calendario de 304 días, distribuidos en 10 meses. Como la Tierra tarda 365 días 6 h 9 min 9,5 s en dar una
vuelta alrededor del Sol, las estaciones no se su cedían en las mismas fechas
y tuvo que añadirse al calendario dos meses más.
Sistema de medida
del tiempo
Es sexagesimal porque una hora equivale a 60 minutos
y un minuto equivale a 60 segundos.
Segundo
Es la unidad principal para medir el tiempo.
Forma compleja
de expresar el tiempo
Viene dada en horas (h), minutos (min) y segundos (s).
Forma decimal de
expresar el tiempo
Viene dada por un número decimal y una sola unidad de
medida.
Grado sexagesimal
Es la unidad principal de medida de ángulos y corresponde a cada
una de las noventa partes en que se divide un cuadrante.
Sistema de medida
de ángulos
Es sexagesimal porque un grado equivale a 60 minutos y un
minuto equivale a 60 segundos.
Forma compleja
de expresar un ángulo
Viene dada en grados (°), minutos (‘) y segundos (‘’).
Forma decimal
de expresar un ángulo
Viene dada por un número decimal y una sola unidad de
medida.
Ángulos
complementarios
Dos ángulos que suman 90°.
Lewis Carroll, profesor de Matemáticas en la Universidad de Oxford y autor de Alicia en el País de las Maravillas, escribió un cuento que planteaba la siguiente
cuestión:
Ángulos
suplementarios
Dos ángulos que suman 180°.
«¿Cuál de estos relojes da mejor la hora? ¿El que atrasa
un minuto diario o el que está parado?»
Ángulos opuestos
por el vértice
Uno se forma al prolongar los lados del otro a partir del vértice.
Lewis Carroll llegó a la conclusión de que el reloj parado
daba mejor la hora. ¿Sabrías explicar por qué?
Ángulos consecutivos
Son los que tienen un lado común.
Ángulos adyacentes
Son consecutivos y suplementarios.
¿Cómo sabemos si un año
es bisiesto?
Un año es bisiesto si el número
formado por las dos últimas
cifras es divisible entre 4,
excepto cuando ambas
son cero.
En el año 45 a.C., Julio César encargó a los astrónomos mejorar el calendario
y se adoptó el calendario juliano, en el que la duración del año es de 365
1
días, más de día. Cada año tenía 12 meses de distinta duración. Cada 4 años
4
se añadía un día al año.
Si el número formado por las
cuatro cifras del año es divisible
por 400 entonces el año es
bisiesto aunque sus dos últimas
cifras sean cero.
Con el calendario juliano se acumulaba un error de 1 día cada 128 años, por
lo que el Papa Gregorio XIII, en el año 1582, mandó reformarlo.
Batería de actividades
en las que se recoge
una recopilación de
estrategias de resolución
de problemas, teniendo
en cuenta la relación entre
diferentes conceptos,
desarrollada para cada
una de las Unidades del
libro, cuya finalidad es la
de transmitir y aclarar al
alumno los procedimientos
para su resolución.
El calendario gregoriano es el que se utiliza en la actualidad. El error que se
acumula con este calendario es de 1 día en 3 226 años.
Los dos relojes
1
DESAFÍO MATEMÁTICO
Polígono regular estrellado
Medida del ángulo
central
Es la del arco que abarcan sus lados.
Medida de un ángulo
inscrito
Es la mitad del arco que abarcan sus lados.
Medida de un ángulo
circunscrito
Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados.
Eneágonos regulares estrellados
Medida de un ángulo
semiinscrito
Es la mitad del arco que abarcan sus lados.
Si se divide una circunferencia en nueve partes y se unen las divisiones de 2
en 2 y de 4 en 4 se obtienen dos eneágonos estrellados.
Medida de un ángulo
interior
Es la mitad de la suma de los arcos que abarcan sus lados.
Medida de un ángulo
exterior
Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados.
Si se divide una circunferencia en partes iguales y se unen los puntos de división de dos en dos, o de tres en tres, etc., se obtiene una línea poligonal. Si
esta línea poligonal se cierra, recorriendo la circunferencia un número entero
de veces, se obtiene un polígono regular estrellado.
Si observas los eneágonos estrellados puedes comprobar que hay diferentes
ángulos en la circunferencia. Describe qué tipos de ángulos son y calcula su
medida sin utilizar un transportador.
2
9
3
8
4
7
6
5
1
2
9
3
8
4
7
6
5
173
Estas secciones tienen
como finalidad ayudar
al alumno a ordenar los
conceptos fundamentales
de la Unidad motivándole
para emplear
correctamente el lenguaje
matemático dentro de su
contexto.