TAP_09_TCI_2012 - Facultad de Ingeniería

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
TEORÍA de CIRCUITOS I - 2012
ANEXO CLASE DE EXPLICACIÓN Nº 09
TEMA 09: CIRCUITOS TRIFÁSICOS.
Potencia en los sistemas trifásicos. Determinación de la potencia trifásica, método de Aarón-Blondel.
Componentes simétricas.
REPASAR: Trabajos de aplicación Nº 7 y 8.
I) RESUMEN DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN
 El vatímetro es el instrumento utilizado para medir potencia. El mismo está compuesto por dos bobinas, una
bobina de corriente (de muy baja impedancia) y una bobina de tensión (de muy alta impedancia), a las que
se tiene acceso a través de dos pares de terminales. También posee una aguja, la cual se deflecta a causa
de los campos magnéticos en ambas bobinas. La deflexión de la aguja es proporcional al producto escalar
entre la corriente en la bobina de corriente y la tensión en la bobina de tensión, con lo que la lectura W del
mismo será:
Bobina de
corriente
I
𝑈 = 𝑈𝑀á𝑥 𝑒 𝑗𝜑𝑈
𝑈 𝐼̇
𝑊 = 𝑈𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑𝑈 − 𝜑𝐼 ) = 𝑅𝑒 { }
2
U
Bobina de
tensión
𝐼 = 𝐼𝑀á𝑥 𝑒 𝑗𝜑𝐼
Entonces, si se conectara el vatímetro a una impedancia Z de forma tal que la corriente en la bobina de corriente y la tensión en la bobina de tensión sean respectivamente la corriente y tensión de Z, la lectura del vatímetro será la potencia en la misma:
I
W
U
𝑊 = 𝑈𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑𝑈 − 𝜑𝐼 ) = 𝑈𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜑𝑍 ) = 𝑃𝑍
Z
 La potencia instantánea total en los sistemas trifásicos se calcula como la suma de la potencia instantánea en cada fase:
𝑝𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑡) = 𝑝𝑅 (𝑡) + 𝑝𝑆 (𝑡) + 𝑝𝑇 (𝑡)
 En el caso de que el sistema trifásico esté compuesto por un generador perfecto y una carga balanceada
(ZR = ZS = ZT = Z), la potencia instantánea total será constante en el tiempo y tendrá la siguiente expresión:
𝑝𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑡) = 3 𝑈𝑒𝑓𝐹𝑎𝑠𝑒 𝐼𝑒𝑓𝐹𝑎𝑠𝑒 cos(𝜑𝐹𝑎𝑠𝑒 )
Donde 𝑈𝑒𝑓𝐹𝑎𝑠𝑒 , 𝐼𝑒𝑓𝐹𝑎𝑠𝑒 y 𝜑𝐹𝑎𝑠𝑒 = 𝜑𝑍 son la tensión, corriente y ángulo en cada fase de la carga (que puede
ser estrella o triángulo) respectivamente.
 Si el generador es perfecto y la carga es balanceada (sin importar su configuración), la potencia instantánea total también se podrá calcular de la siguiente forma:
𝑝𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑡) = √3 𝑈𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝐼𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 cos(𝜑𝐹𝑎𝑠𝑒 )
 De igual forma que para la potencia activa total en sistemas trifásicos con generador perfecto y carga balanceada, se pueden calcular las potencias reactiva y aparente totales con las siguientes expresiones:
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = √3 𝑈𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝐼𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 cos(𝜑𝐹𝑎𝑠𝑒 )
𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = √3 𝑈𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝐼𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 sen(𝜑𝐹𝑎𝑠𝑒 )
𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = √3 𝑈𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝐼𝑒𝑓𝐿í𝑛𝑒𝑎 = √𝑃2 + 𝑄2
En este caso, el ángulo del triángulo de potencia coincide con el ángulo de las impedancias de fase Z:
𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = 𝜑𝑍
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
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 En el caso de que el generador no sea perfecto y/o la carga no sea balanceada, habrá que calcular las
potencias activas y reactivas en cada fase de la carga individualmente:
𝑃𝑅 = 𝑈𝑒𝑓𝑅 𝐼𝑒𝑓𝑅 cos(𝜑𝑅 )
{ 𝑃𝑆 = 𝑈𝑒𝑓𝑆 𝐼𝑒𝑓𝑆 cos(𝜑𝑆 )
𝑃𝑇 = 𝑈𝑒𝑓𝑇 𝐼𝑒𝑓 𝑇 cos(𝜑 𝑇 )
𝑄𝑅 = 𝑈𝑒𝑓𝑅 𝐼𝑒𝑓𝑅 sen(𝜑𝑅 )
{ 𝑄𝑆 = 𝑈𝑒𝑓𝑆 𝐼𝑒𝑓𝑆 sen(𝜑𝑆 )
𝑄𝑇 = 𝑈𝑒𝑓𝑇 𝐼𝑒𝑓 𝑇 sen(𝜑 𝑇 )
El ángulo del triángulo de potencia en este caso (𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
{
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇
𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑅 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑇
𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = √𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2 + 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2
)) no tendrá relación con los ángulos de las
impedancias de fase, que a su vez serán distintos entre sí (ya que la carga es desbalanceada).
 El teorema de Blondel dice que se puede medir la potencia activa de cualquier sistema de n líneas con tan
solo n-1 vatímetros. El método consta de colocar las bobinas de corriente de los vatímetros en n-1 líneas distintas, al mismo tiempo de que las n-1 bobinas de tensión estén referenciadas a la línea restante. La suma de
todas las lecturas de los vatímetros será la potencia activa total en la carga.
W1
Línea 1
W2
Línea 2
Wn-1
Carga
de n
líneas
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑊1 + 𝑊2 + ⋯ + 𝑊𝑛−1
Línea n-1
Línea n
 El aplicar lo anterior a sistemas trifásicos de tres conductores se denomina método de los dos vatímetros o
conexión de Aarón. La aplicación del método es independiente de que la carga sea balanceada o no. La
suma de la lectura de los dos vatímetros será la potencia activa total de la carga trifásica, aunque cada indicación por separado no tendrá significado físico alguno.
R
W1
S
T
W2
Carga
trifásica
𝑃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑊1 + 𝑊2
 El teorema de Fortescue (o teorema de las componentes simétricas) se utiliza para simplificar la resolución de sistemas trifásicos con generadores asimétricos y desequilibrados (ER, ES y ET de distinta amplitud y/o
desfasadas con ángulos distintos de 120º). El teorema permite escribir al generador desequilibrado como suma de tres generadores de secuencia 0, 1 y 2.
ER
ER0
ER1
ER2
ES
ES0
ES1
ES2
ET
ET0
ET1
ET2
𝐸𝑅 = 𝐸𝑅0 + 𝐸𝑅1 + 𝐸𝑅2
{ 𝐸𝑆 = 𝐸𝑆0 + 𝐸𝑆1 + 𝐸𝑆2
𝐸𝑇 = 𝐸𝑇0 + 𝐸𝑇1 + 𝐸𝑇2
El generador de secuencia 0 corresponde al de secuencia homopolar (o coplanar), en donde las tensiones
del mismo están en fase: ER0 = ES0 = ET0. El generador de secuencia 1 corresponde a un generador perfecto
de secuencia directa: ER1 = ES1 ej120º = ET1 e-j120º. Y el generador de secuencia 2 corresponde a un generador
perfecto de secuencia inversa: ER2 = ES2 e-j120º = ET2 ej120º.
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 Si se llama 𝛼 = 𝑒 𝑗120º (con 𝛼 2 = 𝑒 −𝑗120º y 𝛼 3 = 1) entonces se podrá representar al generador de la siguiente
forma:
𝐸𝑅 = 𝐸𝑅0 + 𝐸𝑅1 + 𝐸𝑅2
{ 𝐸𝑆 = 𝐸𝑅0 + 𝛼 2 𝐸𝑅1 + 𝛼 𝐸𝑅2
𝐸𝑇 = 𝐸𝑅0 + 𝛼 𝐸𝑅1 + 𝛼 2 𝐸𝑅2
Las tensiones ER0, ER1 y ER2 caracterizan por completo al sistema y se las denomina tensiones llave del
generador. Estas tensiones se pueden calcular a partir de las fases del generador mediante las siguientes
ecuaciones:
1
𝐸𝑅0 = (𝐸𝑅 + 𝐸𝑆 + 𝐸𝑇 )
3
1
𝐸𝑅1 = (𝐸𝑅 + 𝛼 𝐸𝑆 + 𝛼 2 𝐸𝑇 )
3
1
2
{𝐸𝑅2 = 3 (𝐸𝑅 + 𝛼 𝐸𝑆 + 𝛼 𝐸𝑇 )
Para pasar de un sistema a otro (tensiones de fase en función de tensiones llave, y tensiones llave en función
de tensiones de fase) es muy útil la relación 1 + 𝛼 + 𝛼 2 = 0.
De igual forma se pueden definir a las componentes llaves de las impedancias de carga de una carga estrella, y a las componentes llaves de las corrientes de línea de la siguiente forma:
𝑍𝑅0 =
1
(𝑍 + 𝑍𝑆 + 𝑍𝑇 )
3 𝑅
𝐼𝑅0 =
1
𝑍𝑅1 = (𝑍𝑅 + 𝛼 𝑍𝑆 + 𝛼 2 𝑍𝑇 )
3
1
2
{𝑍𝑅2 = 3 (𝑍𝑅 + 𝛼 𝑍𝑆 + 𝛼 𝑍𝑇 )
1
(𝐼 + 𝐼𝑆 + 𝐼𝑇 )
3 𝑅
1
𝐼𝑅1 = (𝐼𝑅 + 𝛼 𝐼𝑆 + 𝛼 2 𝐼𝑇 )
3
1
2
{𝐼𝑅2 = 3 (𝐼𝑅 + 𝛼 𝐼𝑆 + 𝛼 𝐼𝑇 )
 Entonces, el problema de resolver un sistema trifásico con un generador asimétrico y desequilibrado radica
en encontrar las componentes llaves de las corrientes de línea, para luego poder calcular definitivamente las
corrientes de línea.
 Considerando el caso de un generador en estrella asimétrico y desequilibrado, junto con una carga
desbalanceada en estrella con conexión de neutro de impedancia no nula, se pueden llegar a las siguientes ecuaciones:
O
ER R IR
ZR
ES S IS
ZS
𝐸𝑅0 = 𝐼𝑅0 𝑍𝑅0 + 𝐼𝑅1 𝑍𝑅2 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅1 + 3 𝐼𝑅0 𝑍𝑁
𝐸𝑅1 = 𝐼𝑅0 𝑍𝑅1 + 𝐼𝑅1 𝑍𝑅0 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅2
{
𝐸𝑅2 = 𝐼𝑅0 𝑍𝑅2 + 𝐼𝑅1 𝑍𝑅1 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅0
O’
ZT
ET T IT
I
N N ZN
𝐼𝑁 = −3 𝐼𝑅0
𝑈𝑂′𝑂 = 3 𝐼𝑅0 𝑍𝑁
Con el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas marcado se podrán hallar las componentes llaves de
las corrientes de línea.
 Para el caso de un generador en estrella asimétrico y desequilibrado, junto con una carga balanceada
en estrella con conexión de neutro de impedancia no nula, se tendrá que ZR = ZS = ZT = Z, con lo que
ZR0 = Z y ZR1 = ZR2 = 0. Luego, el sistema será el siguiente:
O
ER R IR
Z
ES S IS
Z
𝐸𝑅0 = 𝐼𝑅0 ( 𝑍 + 3 𝑍𝑁 )
𝐸𝑅1 = 𝐼𝑅1 𝑍
{
𝐸𝑅2 = 𝐼𝑅2 𝑍
O’
Z
ET T IT
I
N N ZN
𝐼𝑁 = −3 𝐼𝑅0
𝑈𝑂′𝑂 = 3 𝐼𝑅0 𝑍𝑁
En este caso, las componentes llaves de las corrientes de línea se podrán calcular más fácilmente.
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 En el caso de un generador en estrella asimétrico y desequilibrado junto con una carga desbalanceada
en estrella sin conexión de neutro, se tendrá que IR0 = 0, y las ecuaciones serán las siguientes:
O
ER R IR
ZR
ES S IS
ZS
E T T IT
ZT
O’
{
𝐸𝑅0 = 𝐼𝑅1 𝑍𝑅2 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅1 + 𝑈𝑂′𝑂
𝐸𝑅1 = 𝐼𝑅1 𝑍𝑅0 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅2
𝐸𝑅2 = 𝐼𝑅1 𝑍𝑅1 + 𝐼𝑅2 𝑍𝑅0
Quedará un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (IR1, IR2 y UO’O), con lo que se podrán calcular las
corrientes de línea recordando que IR0 = 0.
 Para calcular las corrientes de línea a partir de sus componentes llave, bastará con aplicar las siguientes
ecuaciones:
𝐼𝑅 = 𝐼𝑅0 + 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2
{ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑅0 + 𝛼 2 𝐼𝑅1 + 𝛼 𝐼𝑅2
𝐼𝑇 = 𝐼𝑅0 + 𝛼 𝐼𝑅1 + 𝛼 2 𝐼𝑅2
II) ACTIVIDADES DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN
ACTIVIDAD 1
En el circuito de la Fig. A1: ER = 10·ej0 V; ES = 40·ej200 V; O
ET = 5·ej90 V y R = 10 Ω.
1. Calcular las corrientes de línea por el método de las
componentes simétricas.
R
R
S
R
T
R
O´
N
Fig. A1
ACTIVIDAD 2
R
En el sistema trifásico perfecto de la Fig. A2 la tensión de línea es
igual a 380 V; R = 30 Ω y XC = 50 Ω.
1. Calcular la indicación del vatímetro W.
W
R
S
XC
T
XC
O´
Fig. A2
III) CUESTIONARIO
a) Escribir las ecuaciones genéricas que permiten calcular las potencias activas y reactivas en sistemas
trifásicos.
b) ¿Cuáles son las formas simplificadas de esas ecuaciones, y para qué casos son válidas?
c) ¿Cómo se determina la indicación de un vatímetro?
d) ¿Cómo se enuncia el Teorema de Aarón-Blondel?
e) ¿A qué se llaman componentes simétricas de un sistema trifásico asimétrico y desequilibrado?
f) ¿Cómo se calculan?
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TRABAJO DE APLICACIÓN Nº 09
Apellido y
Nombre:
N° Alumno:
Grupo:
Comisión:
Ejercicio 01
1. Dado el sistema trifásico de tensiones: ER = 220 V; ES = 110·e-j120 V y ET = 110·ej120 V; calcular analítica y
gráficamente sus componentes simétricas.
2. Dadas las tensiones llaves: E0 = 25·e-j45 V; E1 = 100·ej0 V y E2 = 30·ej30 V; determinar analítica y
gráficamente el sistema trifásico resultante.
Ejercicio 02
En el circuito de la Fig. 02: ER = 20 ej0 V; ES = 20 e-j50 V y ET = 20 ej90 V.
1. Determinar las tensiones llaves del generador trifásico.
O
2. Sin hacer más cuentas ¿se puede decir cuál es el valor de la tensión
UO’O? Justificar.
ER
R
ES
R
ET
R
O´
Fig. 02
Ejercicio 03
Ia
R
En el circuito de la Fig. 03: URS = UST = 120 V; R1= 20 Ω y
R2= 30 Ω.
1. Calcular las corrientes de línea por el método de las
componentes simétricas.
R1
R2
Ib
S
R2
R1
R2
Ic
T
R1
Fig. 03
Ejercicio 04
R
En el circuito de la Fig. 04: ZR = 10 Ω; ZS = j10 Ω y ZT = -j10 Ω. Las
tensiones de línea del generador perfecto que alimentan el circuito
son de 200 V.
1. Demostrar que la indicación del voltímetro es igual al valor de la
componente homopolar de las tensiones de fase de la carga.
2. Determinar ese valor.
S
T
V
R
R
R
ZR ZS ZT
Fig. 04
Ejercicio 05
En el circuito de la Fig. 05: ER = 220 ej0 V; ES = 220 e-j120 V; ET = 220 ej120 V
y Z = 3 Ω - j 4 Ω.
O
1. Determinar la potencia activa en la carga trifásica.
2. Realizar un gráfico de la potencia instantánea, total y en cada carga, en
función del tiempo.
ER
Z
ES
Z
ET
Z
O´
Fig. 05
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Ejercicio 06
W1
R
En circuito de la Fig. 06: URS = 400 V; ZRS = 10 Ω;
ZST = j10 Ω y ZTR = j10 Ω.
1. Determinar la potencia activa en la carga trifásica
aplicando el teorema de Aarón-Blondel.
ZRS
S
ZRT
W2
T
ZST
Fig. 06
Ejercicio 07
En el circuito de la Fig. 07, la carga A representa un motor
trifásico de 10 HP operando a plena carga con un factor de
potencia 0,8 inductivo y rendimiento 0,9. La carga B
representa un motor monofásico de 5 HP operando a plena
carga con un factor de potencia de 0,85 inductivo y
rendimiento 0,83. El generador es perfecto y la tensión de
fase igual a 220 V.
1. ¿Cuál es la lectura de cada vatímetro?
2. ¿Cuánto valen los fasores representativos de las
corrientes de cada línea?
3. ¿Cuánto valen la potencia activa y la potencia reactiva
totales?
TAP 09
6
R
W1
S
T
A
W2
B
Fig. 07
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