Sucesiones

4º ESO – Matemáticas B
Sucesiones
Sucesiones
Una sucesión (an) es una relación entre el conjunto de los números naturales y el de los reales,
de tal forma que a cada número natural n, llamado índice, le corresponde un número real an,
llamado término.
La sucesión se denota como (an) (entre paréntesis).
Por tanto, una sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde puedes saber cuál
es el primero, segundo… pero no tiene fin.
El término general de la sucesión es la expresión algebraica que permite calcular cualquier
término en función del índice, y se denota como an (sin paréntesis)
En ocasiones no se puede expresar ese término general con una expresión algebraica, y hay
que calcular cada término haciendo referencia a los anteriores. En ese caso se dice que el
término general se calcula por recurrencia.
Operaciones con sucesiones
La suma de dos sucesiones (an) y (bn) es otra sucesión (an + bn) cuyo término general es la
suma de los términos generales originales: (an) + (bn) = (an + bn)
La resta de dos sucesiones (an) y (bn) es otra sucesión (an - bn) cuyo término general es la
resta de los términos generales originales: (an) - (bn) = (an - bn)
El producto de dos sucesiones (an) y (bn) es otra sucesión (an · bn) cuyo término general es el
producto de los términos generales originales: (an) · (bn) = (an · bn)
El producto de una sucesión (an) por un número k es otra sucesión cuyo término general es
el producto de k por el término general original: k · (an) = (k · an)
La división de dos sucesiones (an) y (bn) es otra sucesión (an : bn) cuyo término general es la
división de los términos generales originales: (an) : (bn) = (an : bn), siempre y cuando bn ≠ 0.
Progresiones aritméticas
Una sucesión de números reles es una progresión aritmética si cada término se obtiene a partir
del anterior sumádole un número fijo d llamado diferencia.
El término general se puede calcular por recurrencia (an = an-1 + d) o mediante una expresión
algebraica:
an = a1 + d·(n-1) = a1 +dn –d = dn + (a1 – d) = dn + k
an = dn + k, donde k = a1 – d, es el número que hay que añadir a todos los términos para que
empiece la sucesión en el término apropiado.
De igual forma, an = am + d·(n – m)
Progresiones geométricas
Una sucesión de números reles es una progresión geométrica si cada término se obtiene a
partir del anterior multiplicádolo por un número fijo r llamado razón.
El término general se puede calcular por recurrencia (an = an-1 · r) o mediante una expresión
algebraica:
an = a1 · rn – 1 = am · rn – m
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4º ESO – Matemáticas B
Sucesiones
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, Y ACOTACIÓN
Sucesión monótona creciente: es aquella sucesión (an) en la que cada término es mayor o
igual que el anterior: (an) es monótona creciente ⇔ a n ≤ a n+1 ∀n ∈ IN
Sucesión monótona decreciente: es aquella sucesión (an) en la que cada término es menor o
igual que el anterior: (an) es monótona decreciente ⇔ a n ≥ a n+1 ∀n ∈ IN
Sucesión estrictamente creciente: es aquella sucesión (an) en la que cada término es mayor
que el anterior: (an) es monótona creciente ⇔ a n < a n+1 ∀n ∈ IN
Sucesión estrictamente decreciente: es aquella sucesión (an) en la que cada término es
menor que el anterior: (an) es monótona creciente ⇔ a n > a n+1 ∀n ∈ IN
Sucesión acotada superiormente: una sucesión (an) está acotada superiormente si existe un
número real k tal que todos los términos de la sucesión son menores o iguales que dicho
número k:
(an) está acotada superiormente por k ⇔ an ≤ k ∀n ∈ IN
k es, entonces, una cota superior de la sucesión (an).
Ejemplo: (an) = (9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, …) está acotada superiormente por el número 15,
porque ningún término de la sucesión es mayor que 15: todos son menores o iguales que 15.
Si una sucesión está acotada superiormente por k, tiene muchas cotas superiores (cualquier
otro número real mayor que k).
Ejemplo: (an) = (9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, …) está acotada superiormente por el número 15 y, por
tanto, también por 16, 17 ó 23, que también son cotas superiores de (an).
Supremo: G es el supremo de una sucesión (an) si es la menor de todas sus cotas superiores.
Ejemplo: (an) = (9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, …) está acotada superiormente por el número 15 ó por
11, pero la menor de sus cotas superiores es justo el 9, que es el supremo.
Sucesión acotada inferiormente: una sucesión (an) está acotada inferiormente si existe un
número real q tal que todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que dicho
número q:
(an) está acotada inferiormente por q ⇔ an ≥ q ∀n ∈ IN
q es, entonces, una cota inferior de la sucesión (an).
Ejemplo: (bn) = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …) está acotada inferiormente por el número -1,
porque ningún término de la sucesión es menor que -1: todos son mayores o iguales que -1.
Si una sucesión está acotada inferiormente por q, tiene muchas cotas inferiores (cualquier otro
número real menor que q).
Ejemplo: (bn) = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …) está acotada inferiormente por el número -1 y,
por tanto, también por -2, -5 ó -251, que también son cotas inferiores de (bn).
Ínfimo: J es el ínfimo de una sucesión (an) si es la mayor de todas sus cotas inferiores
Ejemplo: (bn) = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …) está acotada inferiormente por el número -15 ó
por -7, pero la menor de sus cotas superiores es justo el 2, que es el ínfimo.
Sucesión acotada: una sucesión (an) está acotada si está acotada superior e inferiormente.
Ejemplo: (cn) = (1, 0’5, 0’333…, 0’25, 0’2, 0’1666…, …) cuyo término general es
cn = 1/n, está acotada superiormente por el 3 e inferiormente por -5 y, por tanto, está
acotada. En este caso el supremo es el 1 y en ínfimo es el 0.
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