1º Bachillerato Dibujo Técnico I

u3
unidad 3
contenidos
Xxxxxx
1. Elementos
geométricos
fundamentales
2. Posiciones de rectas en el plano
3. Ángulos
4. La circunferencia
5. El círculo
6. Lugares geométricos en el
plano
Trazados fundamentales
en el plano
Euclides, matemático griego que vivió
en el siglo III a. C., estudió en Atenas
con discípulos de Platón y enseñó geometría en Alejandría.
Su principal obra, Los elementos, es un
extenso tratado de matemáticas en 13
volúmenes sobre varias materias: geometría plana, proporciones, geometría del espacio, etc. Los primeros 6 volúmenes tratan sobre geometría
plana; del 7 al 9, sobre la teoría de números; el volúmen 10, sobre magnitudes y los volúmenes 11 al 13, sobre la
geometría de sólidos. La obra finaliza
con una discusión sobre las propiedades de los cinco poliedros regulares.
Euclides, recopila, ordena y analiza los
conocimientos geometricomatemáticos de su época, y basa su argumentación en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten
como ciertas por ser evidentes) que
llamó postulados:
• Dados dos puntos se puede trazar una
recta que los une.
• Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada.
• Se puede trazar una circunferencia con
cualquier centro y radio dados.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Si dos rectas de un plano son cortadas
por una tercera y si la suma de los ángulos interiores, que se forman a un mismo
lado de esta, es menor que dos rectos,
entonces las dos primeras rectas, al ser
prolongadas, se cortan del mismo lado
en el que esto ocurre.
Este quinto postulado fue el más controvertido y dio pie a importantes estudios posteriores que culminaron con
la creación de la geometría no euclidiana.
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27
1. Elementos geométricos
fundamentales
2. Posiciones de rectas
en el plano
• Punto: es el único elemento geométrico indivisible y por
tanto adimensional. Se suele representar por el corte de
dos líneas o un círculo muy pequeño y su centro, se designa mediante una letra mayúscula o un número.
Las rectas en el plano pueden ser paralelas u oblicuas. Las
rectas se llaman paralelas cuando no se cortan (se cortan
en el infinito, punto impropio). Dos rectas oblicuas se cortan en un punto llamado punto de intersección, dividiendo
al plano en cuatro zonas o ángulos iguales dos a dos. Si los
cuatro ángulos son iguales a 90º (ángulos rectos) se dice
que las rectas son perpendiculares entre sí.
• Línea: es una sucesión ininterrumpida de puntos. Si la
sucesión se produce en la misma dirección, la línea es
recta; en cambio, si cambia continuamente de dirección,
la línea es curva. Se designa mediante una letra minúscula o dos puntos por los que pasa.
2.1. Teoremas fundamentales
• Semirrecta: es una parte infinita de recta con un extremo llamado origen de la semirrecta, y se designa mediante su origen y otro punto cualquiera por el que pasa.
• Por un punto P de una recta r únicamente se puede trazar una recta perpendicular a la r (Fig. 2).
• Por un punto Q exterior a una recta r únicamente se puede trazar una perpedicular a la recta dada r (Fig. 3).
• Segmento: es una parte finita de recta limitada por dos
puntos extremos que lo definen, se designa mediante sus
puntos extremos.
• Por un punto Q exterior a una recta r únicamente se puede trazar una paralela a dicha recta (Fig. 4).
• Plano: es la superficie generada por una recta al desplazarse sobre otras dos paralelas, se suele designar mediante una letra griega. Cada una de las partes en que queda
dividido un plano por una recta contenida en él se llama
semiplano.
• Sí dos rectas r y s son paralelas, la recta t perpendicular
a una de ellas es también perpendicular a la otra (Fig. 5)
En la siguiente figura se representan estos elementos.
R
R
2
R2
1
Q
r
r
R1
1
2
R2
Q
Fig. 2. R1 y R2 radios cualesquiera.
Fig. 3. 1 y 2 puntos cualesquiera de r.
.
r
t
α
r
r
r
Q
B
A
R2
R1
s
2
C
P
R
A
1
Fig. 4. 1 punto cualquiera de r.
R1 y R2 radios cualesquiera
Fig. 5
Fig. 1
→
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Unidad 3 →
28
2.2. Mediatriz de un segmento
Es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.
Divide el segmento en dos partes iguales y todos sus puntos equidistan de los extremos del segmento (Fig. 6).
A
B
Fig. 6. Dos arcos de igual radio mayor que la mitad del segmento.
2.3. Perpendicular a una semirrecta por
su extremo
Dada la semirrecta r y el punto A, se trazan arcos, todos
iguales, de un radio cualquiera R con centros A, 1, 2 y 3,
determinándo así el punto 4, que unido con A define la perpendicular a r, (Fig. 7).
4
3
2
R
r
A
1
Fig. 7. Todos los arcos de igual radio.
2.4. Posiciones relativas entre elementos
r
P
r
Punto-recta
Un punto P puede:
P
• Estar contenido en una recta r (Fig. 8).
• Ser exterior a la recta (Fig. 9).
Fig. 9
Fig. 8
P
0
0
Un punto puede:
c
c
c
Punto-circunferencia
0
• Estar contenido en una circunferencia c (Fig. 10).
P
Fig. 10
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• Ser exterior (Fig. 11).
• Ser interior (Fig. 12).
P
Fig. 11
Fig. 12
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Trazados fundamentales en el plano
29
Recta-circunferencia
r
r
Una recta puede ser:
r
c
c
• Exterior a la circunferencia (Fig. 13).
• Secante (Fig. 14).
c
T
0
0
0
• Tangente a ella (Fig. 15). En este último caso, el radio en
el punto de contacto y la recta son perpendiculares.
Fig. 13
Fig. 14
Fig. 15
Circunferencia-circunferencia
Dos circunferencias a y b pueden ser:
• Exteriores (Fig. 16).
b
a
• Tangentes exteriores (Fig. 17).
0a
• Secantes (Fig. 18).
0b
b
a
0a T
0b
• Tangentes interiores (Fig. 19).
• Interiores (Fig. 20).
Fig. 17
Fig. 16
• Concéntricas (Fig. 21).
b
b
b
a
0b
0a
T
0b
b
0b
0a
0a
0a = 0b
a
Fig. 18
Fig. 19
a
a
Fig. 20
Fig. 21
Trazado de paralelas y perpendiculares con escuadra y cartabón
Posición para diestros
PARALELAS
Cartabón fijo
Posición para zurdos
Escuadra
Escuadra
Cartabón
Cartabón
PERPENDICULARES
Cartabón fijo
→
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Unidad 3 →
30
2.5. Distancias
Distancia entre una recta r y una circunferencia c
Distancia entre dos puntos A y B
Es la longitud del segmento perpendicular a la recta, por el
centro de la circunferencia, comprendido entre ambas.
Es la longitud del segmento que los une.
c
B
0
d
A
A
d
Fig. 22
B
Distancia de un punto P a una recta r
Fig. 26
Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el
punto a la recta.
Distancia entre dos circunferencia a y b
P
d
Es la longitud del segmento de la recta que une los centros
comprendido entre ambas (AB) (Fig. 27 y 28).
r
a
Fig. 23
b
Distancia de un punto P a una circunferencia c
0a
A
d
B
0b
Se obtiene uniendo el punto con el centro de la circunferencia. Es la longitud del segmento PA, si P es exterior o interior a la circunferencia.
c
Fig. 27
c
0
0
P
A
d
A
P
a
A
d
Fig. 24
B
Distancia entre dos rectas r y s, paralelas
Es la longitud del segmento perpendicular a las rectas comprendido entre ambas.
0b
b
0a
A
r
d
B
s
Fig. 28
Fig. 25
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Trazados fundamentales en el plano
31
3. Ángulos
Se define ángulo como la porción de plano limitada por dos
semirrectas de origen común. Las semirrectas se llaman lados
y el origen común vértice del ángulo; estas semirrectas forman dos ángulos, uno convexo y el otro cóncavo.
s
o
lad
Ángulo
cóncavo β
En general, llamamos ángulo de dos rectas al menor de los
dos ángulos, el ángulo convexo, y sentido positivo de medición del ángulo al contrario al movimiento de las agujas
del reloj.
α
A
Ángulo
convexo
B
Ángulo
convexo
α
A
C
lado
r
BAC (vértice en medio),
rs, A (ángulo A) , α
Un ángulo se puede designar de las formas indicadas en la
figura 30.
Fig. 29
Fig. 30
3.1. Unidades de medida
• Grado Sexagesimal (º): se da un valor de 360º al ángulo completo de la circunferencia y, por tanto, el grado sexagesimal es la 1/360 parte del ángulo completo. Tiene
dos submúltiplos: el minuto sexagesimal (') igual a 1/60
parte del grado y el segundo sexagesimal ('') igual a 1/60
parte del minuto. Es el sistema más usado.
97
°
68
°
• Grado centesimal (g): se da un valor de 400g al ángulo completo de la circunferencia y, por tanto, el grado
centesimal es la 1/400 parte del ángulo completo, el minuto centesimal (m) la 1/100 parte del grado y el segundo centesimal (s) la 1/100 parte del minuto.
• Radián: es el ángulo de la circunferencia cuyo arco tiene
la misma longitud que su radio, por lo que el ángulo completo de una circunferencia tiene un valor de 2π radianes.
Fig. 31. Transportador de ángulos.
3.2. Clasificación
En función de su apertura
AGUDO
Es el formado por dos semirrectas coincidentes,
su valor es de 0°.
Es un ángulo formado por dos semirrectas
con amplitud menor de 90°.
OBTUSO
LLANO
RECTO
< 90
º
º
90
NULO
Es el formado por dos semirrectas
perpendiculares y mide 90°.
COMPLETO
360º
>
90
º
Es un ángulo mayor de 90°.
180º
Es el formado por dos semirrectas opuestas
y su valor es de 180°.
Es el ángulo correspondiente a una
circunferencia, su valor es de 360°.
→
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Unidad 3 →
32
En función de su posición
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
SUPERPUESTOS
CONSECUTIVOS
β
α
α
β
Tienen el vértice común y los lados de uno son
las semirrectas opuestas a los lados del otro.
Cuando los dos ángulos parten de la misma
semirrecta y en el mismo sentido.
ADYACENTES
Cuando tienen una semirrecta común, y se
encuentra uno a cada lado de ella.
COMPLEMENTARIOS
Son dos ángulos consecutivos cuyos lados
extremos son semirrectas opuestas.
Cuando al sumarlos se obtiene un ángulo
recto. No tienen por que ser consecutivos.
SUPLEMENTARIOS
Al sumarlos se obtiene un ángulo llano. Dos
ángulos adyacentes son suplementarios. No
tienen por que ser consecutivos.
Vértice inaccesible
3.3. Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a este en dos ángulos iguales. Todos
sus puntos equidistan de los lados del ángulo.
Método 1
Se traza una recta secante cualquiera y las bisectrices de los
cuatro ángulos como en el caso anterior.
r
Método 2
r
r
d
R2
d
R2
s
s
s
R1
F ig. 35
Fig. 32. Vértice accesible: R1 y R2
son radios cualesquiera.
Fig. 33
3.4. Relaciones entre ángulos
Bisectrices de ángulos opuestos por el vértice
Bisectrices de ángulos adyacentes
Las bisectrices de ángulos opuestos por el vértice se encuentran en línea recta.
Las bisectrices son perpendiculares.
Fig. 34
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Fig. 36
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Trazados fundamentales en el plano
33
División de un ángulo en 2, 4, 8, etc. partes
iguales
Para dividir un ángulo en 2, 4, 8, etc. partes iguales se dibuja la bisectriz del ángulo dado y las de los ángulos sucesivamente obtenidos hasta llegar a la división deseada.
Ángulos de una secante con dos rectas
paralelas
Una recta, al cortar a otras dos paralelas, forma los siguientes ángulos (Fig. 37).
b
INTERNOS
c
e
a
COLATERALES
a b
e
f
CORRESPONDIENTES
a e
b
f
ALTERNOS INTERNOS
b h
c
e
SON IGUALES
ALTERNOS EXTERNOS
a g
d
f
SON IGUALES
COLATERALES INTERNOS b e
c
h
SON SUPLEMENTARIOS
a f
d
g
SON SUPLEMENTARIOS
COLATERALES EXTERNOS
d
h
EXTERNOS
f
g
d
c
h g
g
c h d
a
b
SON IGUALES
c
e
h
g
Fig. 37
Ángulos cuyos lados son respectivamente
paralelos o perpendiculares
α
α
Los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos o
perpendiculares son iguales (Figs. 38 y 39).
r
β
α
v
β
α
α
s
u
Fig. 38. Los tres ángulos α son Fig. 39. Al prolongar sus lados
iguales por alternos
se forman dos triángulos
internos.
semejantes.
3.5. Operaciones con ángulos
Copiar un ángulo
Datos: ángulo A y semirrecta r de origen P (Fig. 40). Se trata de dibujar un ángulo igual al dado sobre la semirrecta r
y con vértice en P.
4
=
=
Método:
R
R
2
r
1º Con centros en A y P se trazan dos arcos de igual radio.
2º Se toma la distancia 12 y con centro en 3 se traza un
arco, determinando el púnto 4.
A
1
3
Fig. 40
→
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Unidad 3 →
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Suma de ángulos
Datos: ángulo A, ángulo E y semirrecta r de origen P. Se
copian los dos ángulos dados sobre la semirrecta r, uno a
continuación de otro.
R2
R2
R
R1
R
A
R
E
R1
r
P
Fig. 41
Diferencia de ángulos
Datos: ángulo A, ángulo E y semirrecta r de origen P.
R2
Se copian los dos ángulos dados sobre la semirrecta r, uno
sobre el otro, como se indica en la figura 42.
R1
R1
R
R
A
R
R2
E
Fig. 42
P
r
Producto de un ángulo por un número natural
Es el ángulo obtenido al sumar el ángulo dado tantas veces
como indique el número natural.
3.6. División de un ángulo recto en tres
partes iguales
Se trazan arcos de radio arbitrario pero iguales para los tres
(Fig. 43).
3.7. Bisectriz de ángulos curvilíneos y
mixtilíneos
Fig. 43
CURVILÍNEO
Se trata de ángulos con los dos lados curvos (curvilíneos) o
uno curvo y otro recto (mixtilíneo).
MIXTILÍNEO
V
Trazado de la bisectriz cuando los lados curvos
sean arcos de circunferencia (Fig. 44)
1º Se marcan segmentos iguales en igual número sobre la
perpendicular a la recta y sobre los radios o sus prolongaciones.
V
2º Se trazan paralelas a la recta y arcos concéntricos con los
dados por las marcas anteriores.
Fig. 44. Ejemplos con ángulos de lados circulares y recto.
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3º Uniendo a mano alzada los puntos de intersección de
las paralelas y arcos correspondientes se obtiene la bisectriz del ángulo.
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Trazados fundamentales en el plano
35
4. La circunferencia
Arc
Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro fijo llamado centro.
o
Fle
Cuerda
F ig. 45
F ig. 46
cia
f
un
rc
ici
en
er
Cu
ad
m
Se
• Flecha de un arco: es el trozo de radio, perpendicular a la cuerda que une sus extremos, comprendido entre esta y el arco (Fig. 46).
F ig. 47
ra
nt
e
F ig. 48
Tange
nte
d=R
Exterior
4.1. Relación entre la distancia de una
recta al centro de una circunferencia
y el radio de esta
cha
etro
• Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. Un diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia (Fig. 45).
• Arco de circunferencia: parte de una circunferencia
limitada por dos puntos. Si el ángulo central del arco
mide 180º se llama semicircunferencia y si mide 90º
cuadrante. El ángulo central de la circunferencia mide
360º sexagesimales (Figs. 46, 47 y 48).
α
Diám
• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera
de la circunferencia (Fig. 45).
• Ángulo central: es el formado por dos radios, su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia (α)
(Fig. 45).
o
di
Ra
• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia (Fig. 45).
R
d>R
nte
Seca
d<R
Sea R el radio de la circunferencia y d la distancia del centro a la recta.
• Recta exterior: no tienen ningún punto común (d>R).
• Recta tangente: tienen un punto común llamado de
tangencia (d=R).
Fig. 49
• Recta secante: tienen dos puntos comunes (d<R).
No
te
rm
4.2. Normal a una circunferencia
Ta
ng
en
al
P
Se llama normal a una circunferencia por un punto P a la recta que une el punto P con el centro O de la circunferencia.
La distancia d del punto P a la circunferencia está representada por el menor de los segmentos de normal comprendidos entre el punto y la circunferencia (PQ).
La tangente a la circunferencia en un punto P de ella es la
perpendicular a la normal OP en ese punto.
O
Q
d
P
al
rm
No
Fig. 50
→
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Unidad 3 →
36
4.3. Teoremas en la circunferencia
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales:
E
• A ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.
• A cuerdas iguales corresponden arcos iguales.
• Las cuerdas iguales equidistan del centro.
A
O
• Dos rectas paralelas interceptan sobre la circunferencia
arcos comprendidos iguales.
C
• El diámetro perpendicular a una cuerda divide esta y a
los arcos por ella determinados en dos partes iguales, es
decir, pasa por los puntos medios de la cuerda y de los
arcos determinados por ella (Fig. 51).
B
D
Fig. 51
4.4. Circunferencia que pasa por tres
puntos no alineados
B
C
A
Por tres puntos no alineados siempre pasa una única circunferencia. Sean tres puntos cualesquiera, no alineados, A, B
y C, el centro de la circunferencia que pasa por ellos se encuentra en el punto de corte de las mediatrices de las cuerdas AB, AC y BC (Fig. 52).
Dado un arco de centro desconocido se puede obtener éste
tomando tres puntos cualesquiera del arco y procediendo
como en el párrafo anterior.
Fig. 52
4.5. Circunferencia de diámetro AB
B
A
Su centro se encuentra en el punto medio del diámetro
dado (Fig. 53).
4.6. Ángulos en la circunferencia
Según la posición del vértice y los lados con respecto a una
circunferencia, se consideran los siguientes ángulos:
Fig. 53
CENTRAL
INSCRITO
El vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la El vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la
misma.
misma. Su valor es la mitad que el central que abarca el mismo
arco. Para su determinación se ha tenido en cuenta que dos ángulos adyacentes suman 180º y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es también 180º.
A
γ =180°- 2α
γ =180°- β
α
α
O
B
360°
=
2πr
AB
α = ABx 360°
2πr
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γ
α
β
α
V
180°- 2α =180°- β
2α = β
O
α =
β
2
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Trazados fundamentales en el plano
37
SEMIINSCRITO
CIRCUNSCRITO
El vértice está en la circunferencia, un lado es tangente y el otro El vértice está en el exterior de la circunferencia y sus lados son tansecante a la circunferencia. Su valor es la mitad que el central co- gentes a la misma. Su valor es la semidiferencia de los centrales correspondiente al mismo arco.
rrespondientes a los dos arcos que abarcan sus lados.
α
ε
α
β α
α
Por ángulos de lados
perpendiculares.
O
β
2α = β
O
γ=
δ
β
δ
;ε =
2
2
180° - (ε + α) = 180° - γ
γ
α =γ − ε
α=β
2
α=
1
(β − δ)
2
EXTERIOR
4.7. Rectificación de la circunferencia
A
Rectificar una circunferencia es obtener por métodos gráficos un segmento igual a su longitud. Como esta longitud
viene dada en función del número π, su rectificación es
aproximada (L=2πr).
R
π
R
O
Por su grado de precisión tiene interés la construcción de
Kochansky, que obtuvo de manera muy aproximada la rectificación de la semicircunferencia.
30º
C
Construcción de Kochansky (Fig. 54)
D
B
R
R
R
1º Se traza un diámetro cualquiera (puntos A y B).
2º Se traza la tangente en B (perpendicular al diámetro).
Fig. 54
3º Por O, una recta que forme 30º con el diámetro (punto
C).
4º Desde C, se miden tres radios (punto D).
E
5º El segmento AD es la rectificación de la semicircunferencia.
ud AB
Rectificación de un arco de circunferencia A B,
cuyo ángulo central es menor de 90º (Fig. 55)
1º Se dibuja el diámetro que pasa por B y se prolonga
(punto C).
2º Dividimos el radio OC en 4 partes iguales.
3º Sobre la prolongación y a partir de C se miden 3 partes
(punto D).
4º Se dibuja la recta DA determinando sobre la tangente
en B el punto E.
5º El segmento EB es la rectificación del arco AB.
Longit
A
B
O
D
C
Fig. 55
→
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Unidad 3 →
38
5. El círculo
Es la superficie plana limitada por una circunferencia.
• Segmento circular: parte del círculo limitada por un
arco y su cuerda. Si la cuerda pasa por el centro del arco
(diámetro), el segmento circular se llama semicírculo.
• Zona circular: parte del círculo limitada por dos cuerdas
paralelas y los arcos comprendidos entre ellas.
• Sector circular: superficie plana limitada por dos radios
y el arco correspondiente. Si el ángulo de los radios mide
45º se conoce por octante, si es de 60º, sextante y si los
radios son perpendiculares se conoce como cuadrante.
• Corona circular: superficie plana limitada por dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro).
• Trapecio circular: parte de la superficie de una corona
circular limitada por dos radios cualesquiera.
• Lúnula: superficie plana limitada por dos circunferencias
excéntricas (distinto centro).
Fig. 56
SEGMENTO CIRCULAR
ZONA CIRCULAR
Y SEMICÍRCULO
Y SECTOR CIRCULAR
CORONA CIRCULAR
TRAPECIO CIRCULAR
Y LÚNULA
6. Lugares geométricos en el
plano
Lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano que
cumplen una determinada propiedad.
1
d
A
l.g.
2
Fig. 57
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6.1. Lugar geométrico de los puntos del
plano que se encuentran a la misma
distancia de otro dado
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la circunferencia de centro el punto dado A y radio la distancia indicada d. Estos puntos son centro de las circunferencias de radio d que pasan por el punto dado A (Fig. 57).
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Trazados fundamentales en el plano
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6.2. Lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de otros dos
dados A y B
l.g.
A
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la mediatriz del segmento definido por los puntos A y B. Estos puntos son centro de las circunferencias que pasan por
los puntos dados A y B (Fig. 58).
B
Fig. 58
l.g.
6.3. Lugar geométrico de los puntos
del plano que se encuentran a una
distancia dada de una recta
r
d
l.g.
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
las paralelas a la recta dada r a la distancia indicada d. Estos puntos son centro de las circunferencias tangentes a la
recta, de radio la distancia d (Fig. 59).
d
Fig. 59
r
6.4. Lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de dos rectas
dadas
l.g.
l.g.
s
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
las bisectrices de los ángulos formados por ambas rectas. Si
las rectas dadas son paralelas, la bisectriz es la paralela media (mediatriz de un segmento perpendicular comprendido
entre ambas rectas). Estos puntos son centro de las circunferencias tangentes a ambas rectas (Figs. 60 y 61).
Fig. 60
r
l.g.
s
Fig. 61
→
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Unidad 3 →
40
6.5. Lugar geométrico de los puntos
del plano que se encuentran a una
distancia dada de una circunferencia
6.6. Lugar geométrico de los puntos
del plano desde los que se ve un
segmento AB bajo un ángulo dado α
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en la
circunferencia concéntrica a la dada y de radio R + d; y si d
es menor que R también en la circunferencia de radio R - d.
Se dice que desde un punto P se ve un segmento A B bajo
un ángulo α cuando al trazar desde P las visuales que pasan por los extremos A y B del segmento forman, en P, el
ángulo α. Los puntos del plano que cumplen esta propiedad se encuentran en el arco capaz, arco de circunferencia,
del segmento A B bajo el ángulo α y en su simétrico respecto al segmento (Fig. 63).
Si R - d = 0, esta segunda circunferencia se reduce a un punto, el centro de la circunferencia dada. Estos puntos son
centro de las circunferencias de radio d tangentes exteriores o interiores a la dada (Fig. 62).
α
l.g.
R+d
R-d
90º- α
R
α
O1
l.g.
Fig. 62
Fig. 63
Construcción del arco capaz del segmento AB
bajo el ángulo α
Su centro se encuentra en el corte de la mediatriz del
segmento con la semirrecta que, pasando por uno de los
extremos del mismo, forma con este el ángulo 90º-α.
Arco capaz de αº = APB
α
De los dos arcos posibles, el que se encuentra en el mismo lado que la semirrecta (respecto al segmento) es el
correspondiente al ángulo α, y el del lado contrario es el
correspondiente a su suplementario si 90-α es positivo;
si es negativo, el arco pedido es el que se encuentra en
el lado contrario.
90ºα
Arco capaz de 90º
(semicircunferencia)
O
A
180º-α
B
Q
90º
Arco capaz de 180 - αº = AQB
A
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O
B
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Trazados fundamentales en el plano
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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Resuelve en tu cuaderno
o bloc de dibujo
■ 1. Se dan tres rectas r, s y t. Dibuja tres rectas iguales a las dadas y determina un punto de la recta t que equidista de r y s.
r
t
s
Fig. 64
■ 2. Determina gráficamente dos segmentos tales que su suma y su diferencia midan 7 cm y 3 cm respectivamente.
■ 3. Dados el punto P y la recta r, traza las circunferencias de radio 2 cm que pasan por el punto P y cortan a la recta r en un
segmento de 1,5 cm.
r
1
cm
Fig. 65
■ 4. Demuestra que todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarquen el mismo arco, son iguales.
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