TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
TIPOS DE FUNCIONES.
Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada
valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y. Se dice que y depende de x,y
se escribe y=f(x), y es una función de x. X es la variable independiente e Y la dependiente.
Una función puede venir dada de varias formas: por una tabla, por una gráfica, por su
expresión analítica o algebraica (ecuación), o por un enunciado.
Gráficamente una relación entre dos variables no será función si su grafica se “dobla” sobre
si misma.
Gráfica 1: es función.
ENUNCIADO
TABLA
Gráfica 2: no es función.
EXPRESIÓN ANALÍTICA
GRÁFICA
Definición: El dominio de definición de una función son los distintos valores que puede
tomar la la variable x. Se representa en el eje x y, por supuesto es un subconjunto de R. Se calcula
bien a partir de la gráfica, o bien partir de la expresión analítica. Se representa por la letra D.
Definición: El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que toma la
variable y. Se representa por I o R y también es un subconjunto de R. Sólo se puede obtener a partir
de la grafica de la función.
TIPOS DE FUNCIONES.
Las funciones se clasifican según su expresión analítica. Encontramos los siguientes tipos de
funciones:
1.- FUNCIONES POLINÓMICAS: su expresión algebraica es un polinomio
f(x)=a+bx+cx2+dx3..... Su dominio es el conjunto de los Números reales D=R.
Según el grado del polinomio pueden ser de grado cero, de primer grado, de segundo, etc....
Las funciones polinómicas son siempre continuas y derivables en todo su dominio que es R.
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1.1.- Función constante: es una función polinómica de grado 0 cuya expresión es f(x)= K. Su
grafica es una línea recta paralela al eje x en el valor K del eje y.
Representa las funciones y=30/6 e y=-2/3.
1.2.-Función Lineal: es una función polinómica de grado 1 cuya expresión es f(x)= mx con m no
nulo. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es m. Se puede
representar a partir del valor de la pendiente. También se puede representar dando dos o tres valores
en una tabla. Si la m<0 la función es decreciente. Si m>0 sería creciente.
Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x
1.3.- Función Afín: es una función polinómica de grado 1cuya expresión es f(x)= mx+n con m y n
no nulos. Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0,n) y cuya pendiente es m. Se puede
representar a partir de la ordenada en el origen n, y el valor de la pendiente. También se puede
representar dando dos o tres valores en una tabla. Si la m<0 la función es decreciente. Si m>0 sería
creciente.
Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x
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1.4.-Función cuadrática: es una función polinómica de grado 2 cuya expresión es f(x)= ax2+bx+c
con a no nulo. Su gráfica es una parábola abierta hacia arriba U si a>0, y hacia abajo en caso
contrario.
Para representarla se hallan los cortes con los ejes coordenados y el vértice al menos. Si es
necesario se hará también una tabla dando valores que estén a ambos lados del vértice. Se puede
tener en cuenta la simetría respecto del eje vertical que pasa por dicho vértice(eje de la parábola).
Para hallar los cortes con el eje x imponemos la condición y=0 y resolviendo la ecuación
obtendremos dos soluciones, una o ninguna. Estos puntos son de la forma (p,o).
Para hallar los cortes con el eje y impondremos la condición x=0 obteniendo un valor de y, y=c, y
el punto (0,c)
Representa las funciones y= x2-4x+3; y= -x2+1; y=2x2+4x+4; y=-x2-4; y=x2-2x+1
El estudio y representación de funciones polinómicas de grado superior a 2 lo realizaremos más
adelante.
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2.- FUNCIONES EXPONENCIALES: su expresión analítica es de la forma f(x)=ax donde a es
un número real a>0. Su dominio es el conjunto de los números reales D=R. Y el recorrido es
R= (0, + ! ).
Las funciones son continuas y derivables en todo su dominio que es R.
Su gráfica es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1. Para representarla gráficamente se construye
una tabla con al menos 4 valores positivos de x , el 0, y 3 negativos.
Representa las siguiente funciones: y= 2
x
! 1$
e y= # &
" 2%
x
3.-FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
Su expresión analítica es de la forma f(x)=Logag(x) donde a es un número real a>0 llamado
base. Su dominio es el conjunto de los números reales que hacen que g(x) sea positiva, i.e,
D= { x !R / g(x) > 0} .Para hallarlo resolveremos la inecuación g(x)>0, igualándola a 0 en primer
lugar lugar para hallar las raíces, y después viendo en que intervalos la función es positiva por el
método de sustitución.
Las funciones logarítmicas son continuas y derivables en todo su dominio.
En general para la función Y=logax el dominio es D== (0, + ! ). Serán crecientes si a>1 y
decrecientes si 0<a<1. Para representarla haremos una tabla con al menos 5 valores que pertenezcan
al dominio.
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Es conveniente recordar algunas propiedades de los logaritmos:
loga1=0
el loga0 no existe
logbc=clogb
logm·n= logm+logn
logm/n= logm-logn
logaa=1
si la base(=a) es el número e, se escribe lnx
si la base no aparece significa que es 10
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1.-Halla el dominio de las siguientes funciones:
Y=lnx
y=ln(x-3)
y=log(3-5x)
y=log(1-x2)
2.-Representa las siguientes funciones logarítmicas:
y=log2x
y=log1/2 x
y=lnx
y=ln(1-x)
y=ln(x2-1)
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4.- FUNCIONES RACIONALES.
Su expresión analítica es de la forma f(x)=P(x)/Q(x) donde P y Q suelen ser polinomios. El
domino son todos los números reales que no hacen 0 el denominador, i.e., D= { x !R / Q(x) " 0}
Para su calculo igualaremos a 0 el denominador, calcularemos las raíces y esos serán los valores
que quitamos de R.
Estas funciones son continuas y derivables en todo su dominio.
La represtación grafica se estudiará más adelante.
Halla el dominio de las siguientes funciones:
x +1
3
F(x)= 2
g(x)= 2
x !1
x +1
h(x)=
2+x
3x ! 1
r(x)=
3
3+ x
Y(x)= x
log(1 + x)
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4.- FUNCIONES RADICALES.
Su expresión analítica es de la forma f(x)= P(x) , donde P(x) suele ser un polinomio. Su
dominio son todos los valores de R que hacen que P sea positivo o nulo, i.e, D= { x !R / P(x) " 0} .
Por lo tanto se calculará como el dominio de los logaritmos teniendo en cuento la solución que
hace cero a P(x) también formará parte del dominio.
Estas funciones son continuas en todo su dominio y derivables en { x !R / P(x) > 0} , es
decir , se excluyen las raíces de P(x), los valores que hacen que sea cero.
Para representar las funciones radicales se construye una tabla con al menos 5 valores del
dominio.
Halla el dominio de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente.
Y= 1 ! x
y= x 2 ! 9
Y= x 2 + 1
e
y= !1 ! x 2
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