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INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS
Resolución Nº 883 de noviembre.28/02 Secretaria De Educación
Distrital REGISTRO DANE Nº147001-000994
Teléfono 4336535 Barrio Bastidas Santa Marta
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
DOCENTE: LIC-ING. ROSMIRO FUENTES ROCHA
TEMA: POTENCIACION Y RADICACION
NOVENO
POTENCIA DE UN NÚMERO.
Si n
R , entonces a n , es igual al producto de n veces el número real a tomado c0mo factor,
N y a
es decir a n
a
a
a
...
a
a
n veces
Ejemplos:
53
5
5
15
2
3
4
5
1
2
3
125
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
16
81
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia
de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
Simbólicamente: a m
8
an
10
am n
2
8 10 2
20
3
3
3
3
Ejemplo: 3
Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra
potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término
dividendo menos el del divisor.
am
Simbólicamente:
Ejemplo:
5 12
5
am n
an
5 12
3
3
con a ≠ 0 y m>n
59
Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de
exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión
Simbólicamente: a n
Ejemplo:
2
3 5
m
am n
2
23 5 2
2 30
Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias.
Simbólicamente: a
Ejemplo: 5
23
bn
53
an
bn
23
Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias.
Simbólicamente:
a
b
n
an
bn
b ≠0
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 1
Ejemplo:
5
4
2
52
42
Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1
Simbólicamente: a0
La expresión 0
0
a ≠0
1
no está definida
Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente
de cero se cumple que:
1
n
a
a
o que a n
n
1
a
n
n
a
b
En caso que la base sea un número racional se tiene que
b
a
n
Ejemplos:
1
2 3
23
5
3
1
8
3
3
5
3
TALLER N° 1
1. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:
a.
( 6) 7
b.
( 4) 4
c.
( 12)13
2. Expresa como potencia:
a)
b)
c)
( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5)
55555
( 3) ( 3) ( 3)
3. Calcula:
a.
d.
g.
5
3
7
3
b.
12
e.
5
2
4
2
5
4
c.
4
f.
7
2
7
6
3
=
3
4. Aplica propiedades
a. a2 · a3 =
b. x6 : x4 =
c .a7 ÷ a =
d. (b3)4 =
e.23 · 27 · 215 =
f. a8 · a6 · a10 =
g. ((x2)3)4=
h .a13 ÷ a6 =
x4 y7
i. 2 11
x y
x 3 y 7 z12
j.
x y2 z5
k.
2
54
2
l. 5x
2
RADICALES
Un radical es una expresión de la forma
negativo, n ha de ser impar
n
a , en la que n
y a
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
; con tal que cuando a sea
Página 2
RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO
Si a
R, b
Ejemplo:
R , se cumple que
25
porque 5 2
5
b
a , si solo si : a 2
b , donde a es la raíz cuadrada de b
25
RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO
Si a, b
R, entonces se cumple que
Ejemplo: 3 125
porque 5 3
5
3
b
a , si solo si : a 3
b , donde a es la raíz cúbica de b
125
RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO
Si a, b
R, y n
N entonces se cumple que
n
b
a , si solo si : a n
b , donde a es la raíz enésima
de b
Ejemplo: 5 32
2
porque 2 5
32
EXPONENTES RACIONALES
n
Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir
Ejemplo:
3
52
m
am
an
2
53
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.
Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier n
cumple que:
n
an
an
1/n
Z , se
n
an
a
Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces
enésimas de los factores. Para cualquier n
Z , se cumple que
n
a
b
n
n
a
b
Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces
enésimas del dividendo y del divisor. Para todo n , a , b ,
Z , se cumple que:
n
a
b
n
a
n
b
Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el
producto de los índices. Para todo m , n , b ,
Z , se cumple que: n m b
m n
b
Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el
exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto
kn
b km
b km / kn
bm / n
n
b n , donde k
N
Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista
una raíz real.
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 3
TALLER N° 2
I. Calcula
a. 36
e. 3 216
i. 4 2401 =
b. 5 243
f. 4 16
j. 10 1 =
c. 100
g. 3 125
d.
h.
4
121
81
II. Escribe en forma de radical las siguientes expresiones
1
3
1
1
a. 5 2
b. 2 4
c. 7 2
d. x 3
c.
d.
III. Escribe en forma de potencia
a.
b.
11
3
5
4
7
2
IV. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba
a.
b.
100 4
144
9
c.
3
2
d.
4 5
e.
3
5
35
EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL SIGNO RADICAL
Se descompone el radicando en factores.
1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
6
3
2
3
9
al descomponer en sus factores primos 6 = 2×3
3
3 2 al descomponer en sus factores primos 9 = 3×3= 32
2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
3
12
22
3
2 3
98
72
2
7 2
3
8
23
2
3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido
es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del
radicando.
24
48
3
243
2
32
3 5
22 3
3
4 3
Se dividió el exponente 4 entre el índice 2 (4÷2= 2)
3
3
3 3 2 Se dividió el exponente 5 entre el índice 3 (5÷3= 1, residuo 2)
55
3
52 2
5
INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DEL SIGNO RADICAL
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical. a
n
b
n
an
b
Ejemplo: Introducir dentro del radical
a. 5 3
Solución
Como el índice de la raíz es 2, se eleva el factor que está afuera, en este caso 5 al exponente 2 dentro del
radical, es decir
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 4
52
5 3
3
25
3
75
SIMPLIFICACION DE RADICALES
Se dice que un radical está simplificado si:
El radicando no contiene factores polinomiales de potencia mayor o igual al índice del radical.
La potencia del radicando y el índice del radical no tienen factor común diferente de 1.
Para simplificar radicales se debe tener en cuenta que:
1. Si el exponente del radicando es divisible por el índice del radical, se efectúa este cociente.
Ejemplo: simplificar 76m4 n6
Solución
Se descompone el coeficiente en sus factores primos 76
76m4 n6
22
19m4 n6
22
19 , entonces
2m2 n3 19
2. Si el exponente del radicando es mayor que el índice, pero no divisible por él, se descompone el
radicando en dos factores, de tal manera que el exponente de uno de ellos sea divisible por el
índice de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
3
108a7 b6
Solución
3
3
108a b
7 6
3
3
2 2 3
2 a b
3a b
2 7 6
2 a
3a2 b 2 3 4a
2
TALLER N° 3
1. Extrae los términos que sean posibles de extraer
a.
3
343 a3b6
b.
3
d.
4
12 a6 b4c 5
e.
5
343m6 n9
c.
3
40 x10y 5 z 2
211 x7 y 2
35 z 8
2. Introduce dentro de cada radical
3
a. 7 10 a7 b6
b. 3ac 4 4 abc
d. 5 xy 3 xyz
e. 2abc
7
c. 8 x 3y 2 z 5 2x 3y 2
2abc
3. Simplifica los siguientes radicales
a.
d.
6
48
b.
1024 a9 b12
e.
3 32
3
3
c. 2 40 x 6
27 a6 b12c 4
OPERACIONES CON RADICALES
1. ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.
Radicales Semejantes: dos radicales son semejantes si la cantidad subradical y el índice son iguales.
Para sumar o restar dos radicales se simplifican y luego se agrupan aquellos que sean semejantes,
indicando la operación respectiva con los que no lo sean.
Ejemplos: Efectuar
1.
5
2 5
6 5
Solución
Como son radicales semejantes, se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual,
es decir:
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 5
5
2 5
2.
(1
6 5
8 20
6) 5
2
3 45
3 5
5
Solución
Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20,
45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se
puedan, para ello se descomponen las cantidades subradicales en sus
factores primos como se indica en el recuadro y se reemplazan en el
respectivo radical
8 20
3 45
5
8 22
8 20
3 45
5
8
8 20
3 45
5
16 5
8 20
3 45
5
( 16
3.
108
27
3 32
5
2 5
3
3 5
9 5
5
1) 5
9
5
5
5
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
24 5
75
Solución
Lo primero que hay que hacer es extraer del radical todos los factores que sea posible. Finalmente
sumamos y restamos aquellos raciales con el mismo radicando.
4.
7 3 2 2 3 16 5 3 54
3
6
3
48
Solución
No son semejantes, se descomponen los radicandos en sus factores primos
7 3 2 2 3 16 5 3 54
3
6
3
48 7 3 2 2 3 24 5 3 2.33
7 3 2 4 3 2 15 3 2
3
6 23 6
7 3 2 4 3 2 15 3 2
3
6 23 6
3
6
3
24.3
se suman los que son semejantes
4 3 2 33 6
ya no se pueden reducir términos
3. MULTIPLICACION DE RADICALES.
Para multiplicar dos o más radicales se debe tener en cuenta lo siguiente:
Si los radicales tienen el mismo índice basta con escribir los erradicándoos bajo el mismo
radical, efectuar los productos indicados y luego simplificar el resultado.
Si los radicales tienen distinto índice, primero se reducen a un índice común, hallando el
m.c.m de ellos; después se divide este por el índice de cada radical y el cociente
resultante en cada caso será el exponente del respectivo radicando. Se efectúan las
operaciones indicadas y se simplifica el resultado.
Ejemplos:
1.
7
5
Solución
Como los índices son iguales, basta con colocar el mismo radical y multiplicar las cantidades subradicales.
7
5
2. 3 2
5
7
5
35
2
Solución
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 6
No tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que
para reducir a denominador común.
15
3
2. 5 2
15
25 .15 23
25 .15 23
15
ahora si se pueden multiplicar
15
25.23
28
15
256
4. DIVISION DE RADICALES
Para dividir dos radicales se debe tener en cuenta lo siguiente:
Si los radicales son del mismo índice, basta con dividir los radicandos y este cociente se
escribe bajo el radical común, simplificando el resultado.
Si los radicales tienen distinto índice, se reducen a un índice común, luego se efectúa la
división como radicales de índice igual
Ejemplos:
3
12
3
6
1.
3
12
6
3
2
6
2.
4
6
Solución
No tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador
común
62
4
6
4
6
4
6
4
62
6
4
6
TALLER N° 4
Efectúa las siguientes operaciones entre radicales
a.
7
b. 7 50
1
144
e.
3
18
2
h.
8x 3y
3
2m
k.
9p
5 7
2 7
d. 6 z
5 3
g.
4
j.
5
3
4 m2
4
3 7
4 z
3 32
9 176
3
5 55
2x 2 y 2
c. 3 45 2 20
3
54
32
f. 4 162
4
4
i.
l.
3p2
15
4
34 1250 g.
5
25x 2y 3
6
125x 2
RACIONALIZACION DE RADICALES
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la
suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos.
1. CUANDO EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO
1.1.
Del tipo
a
b c
Se multiplica el numerador y el denominador por
a
a
b c
b c
c
a c
c
b
c
2
c.
a c
b.c
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 7
2
Ejemplo: racionaliza
5 3
Solución
Se multiplica al numerador y al denominador por
2
2
5 3
3
5 3
2 3
3
5
2 3
5 3
2
3
2 3
15
recuerde que
3
2
3
a
1. 2. Del tipo
n
b cm
n n m
c
Se multiplica numerador y denominador por
n
a
a
b cm
b cm
n
3
cn
m
n
cn
2
n
Ejemplo: racionaliza
n
a cn
n
m
b cm
.
n
a cn
m
cn
n
m
a cn m
b c
n
m
b cn
354
Solución
2
2
5
3 4
3
5
2
5
2
5
2
25
5
2
3 2
5
2
5
2 23
3
5 2
5
3
2
5
2
5
2 23
2
5
3
3 2
2
5
2 23
2
3
5
3 2
2 23
3 2
5
a
2. CUANDO EL DENOMINADOR ES UN BINOMIO O DE TIPÓ
b
c
258
6
5
8
3
,
En general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y
denominador por el conjugado del denominador.
NOTA: El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado; por ejemplo:
x + y, su conjugado es x - y
2z - 5w, su conjugado es 2z + 5w
7 , su conjugado es
5
5
7
También se debe tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
x
y x
y
x2
y2
3
Ejemplo: racionaliza
5
7
Solución
El denominador es 5
7 , su conjugado es 5
denominador por 5
35
3
5
7
5
7 , ahora se multiplica tanto el numerador como el
7 .
7
15
7 5
7
52
3 7
7
15 3 7
25 7
2
15
3 7
18
TALLER N° 5
Racionaliza.
a. 2
7
f.
x 5
y
zy
b.
g.
x
x
3
x
c.
5
5
h.
2x
d.
4
2
4
3 5
3
2 3
i.
z
e.
x
5
3
2
3
2
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
j.
1
x
y
x
3
Página 8