TEMA 1: LOS NÚMEROS NATURALES SISTEMA DE
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TEMA 1: LOS NÚMEROS NATURALES
Recuerda
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Los números naturales sirven para contar cosas.
Los números naturales se representan por una N:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......................}
Los números naturales se representan sobre una recta de la siguiente
manera:
0 1 2 3 4 5 6 7
Nuestro sistema de numeración se llama decimal porque emplea sólo diez
cifras y cada diez unidades de un orden forman una del orden superior:
10 Unidades (U) = 1 Decena (D)
10 Decenas (D) = 1 Centena (C) = 100 U
10 Centenas (C) = 1 Unidad de Millar (U. M.) = 1000 U
10 U. M. = 1 Decena de Millar (D. M.) = 10000 U
10 D. M. = 1 Centena de Millar (C. M.) = 100000 U
10 C. M. = 1 Unidad de Millón ( Millón) = 1000000 U
etc.
Ejercicios
1. Completa:
a) 2 CM = ____ DM = ____ UM = ____ C = ____ D = ____ U
b) 3 CM = ____ DM = ____ UM = ____ C = ____ D = ____ U
c) 7 CM = ____ DM = ____ UM = ____ C = ____ D = ____ U
2. Escribe con palabras los números:
a) 870000 __________________________________________
b) 60735
__________________________________________
c) 40857
__________________________________________
d) 54006
__________________________________________
3. ¿Cuál es el valor
siguientes números ...?
de
posición
a)5480 __________________
c)40857 ___________________
-5-
de
la
cifra
5
en
los
b)84570 ____________________
d)570844 ___________________
Recuerda
Los números naturales son mayores cuanto más a la derecha están sobre la
recta:
0<1<2<3<4<5<6 ........
Cuando las cantidades con las que trabajamos son muy grandes, utilizamos
aproximaciones para referirnos a ellas. Por ejemplo, para hablar de una
población de 2.952.823 personas, decimos tres millones.
Ejercicios
4. Ordena de menor a mayor los números:
54603, 9368, 316400, 12516, 9375
Ordenados:_______________________________________________
5. Escribe los siete primeros números naturales.
6. Halla el mayor y el menor número natural de 4 cifras.
Mayor:_____________
7. Representa sobre
naturales impares:
la
Menor:_____________
recta
los
tres
primeros
números
0
8. En cada caso escribe el número anterior más próximo acabado
en 0, y el número posterior más próximo acabado en 5.
a) 4276 →
b) 3198 →
c) 12412 →
Anterior = __________
Anterior = __________
Anterior = __________
Posterior = __________
Posterior = __________
Posterior = __________
9. Aproxima el número a la centena y al millar:
a)
b)
c)
d)
9674 →
20830 →
197860 →
25815 →
C
C
C
C
______________
______________
______________
______________
-6-
M
M
M
M
______________
______________
______________
______________
Recuerda
Recuerda las operaciones que realizamos con los números naturales:
Suma : sumar es agrupar varias cantidades en una sola:
12
Sumando
407
Sumando
8
Sumando
427
Suma
Resta : restar es quitar una cantidad a otra:
164
Mi nuendo
26
Sustraendo
138
Re sto
Se cumple: sustraendo+resto=minuendo
Producto o multiplicación: es la suma de una misma cantidad que se
repite varias veces.
5+5+5+5=5·4=20
5
4
5x 4
Factor Factor
20
Pr oducto
División: dividir es repartir una cantidad en partes iguales:
23(Dividendo ) 5(divisor )
3(Re sto )
4(Cociente )
Observa que: Dividendo=divisor·Cociente+Resto
Si el resto es cero la división es exacta.
Si el resto no es cero, la división es entera.
Se puede escribir 23:5 o también 23/5.
Ejercicios
10. Realiza las siguientes operaciones:
a)
2806
+ 3514
2137
d) 6582-2745=
b) 4821+639+57 =
c)
e)
f) 317 x 682 =
9283
x 32
-7-
6248
-3728
Ejercicios
11. Efectúa las siguientes divisiones:
a) 21989
21
b) 59103 : 45 =
c) 67189/89
12. Calcula mentalmente:
a)
c)
e)
g)
i)
6+4+12 =
43·100 =
745·1000 =
937·10 =
7000+500+80+9 =
b)
d)
f)
h)
j)
23+17 =
5·1000 =
6·10 =
54·10000 =
6000+300+7 =
13. Encuentra las cantidades que faltan:
a) 14 + 7 + ____ + 4 = 41
b) 12 + 14 + ____ + 31 = 96
14. Rosa tiene 480 fotos en 3 álbumes. En el primero tiene 175
fotos y en el segundo, 165. ¿Cuántas fotos tiene el tercer
álbum?
15. Antonio es 23 años más joven que su madre y 32 años más
joven que su padre. Si su padre tiene 49 años, ¿cuántos años
tiene su madre?
16. El producto de dos números naturales es 84. Si uno de
ellos es 12, ¿cuál es el otro?
17. En un jardín hay 10 filas de árboles y en cada fila hay 15
árboles. Se cortaron 23 porque estaban secos. ¿Cuántos árboles
quedan en el jardín?
18. Entre 4 personas quieren repartirse, a partes iguales, 8
sacos de manzanas de 25 kg cada uno. ¿Cuántos kg de manzanas
corresponden a cada persona?
-8-
19. En un granero hay 40425 kg de trigo. Si distribuimos el
grano en sacos de 75 kg, ¿cuántos viajes deberá efectuar una
furgoneta para transportar todo el trigo, si en cada viaje
carga 11 sacos?
20. En una granja se han vendido 5 conejos por 30 €. Si cada
conejo cuesta tres veces más que un pollo, ¿cuánto cuestan 9
pollos?
21. Al morir un padre dejó en herencia a sus tres hijos una
ganadería formada por 75 terneros, cuyo valor por unidad era
de 840 €, y un solar valorado en 24000 €. Si el tercer hijo se
queda con el solar, ¿cuánto le deberán dar sus hermanos para
que todos reciban la misma cantidad?
22. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse un depósito con capacidad
para 2755 l, si la fuente mana 551 litros por minuto?
23. Tres amigas se han repartido una bolsa de caramelos. A Ana
le han tocado 33, a María dos más que a Ana y a Margarita 4
menos que a María. ¿Cuántos caramelos se han repartido?
24. ¿Qué distancia separará después de 3 horas a dos amigos
que partieron del mismo punto a la misma hora, pero en
direcciones opuestas, si uno ha recorrido 5.688 metros y el
otro avanza 154 metros menos cada hora que su amigo?
25. Seis obreros tardarían 21 días en hacer una zanja de 504
metros de longitud. El propietario quiere que se acabe antes y
contrata 3 obreros más. ¿En cuántos días se acabará la zanja?
-9-
26. En una fábrica, 24 obreros montan 384 bicicletas en 8
días. ¿Cuántas bicicletas harán 18 obreros en ese tiempo?
27. Opera mentalmente:
a)
c)
e)
g)
i)
7548+100 =
7548+1000 =
75·100 =
75·99 =
46·101 =
b)
d)
f)
h)
j)
7548-10 =
75487-1000 =
75·101 =
46·100 =
46·99 =
Recuerda
Potencia: es un producto de factores iguales:
25 2 2 2 2 2 32
n
veces
n
4
a
a
.......
a
3 3 3 3 3 81
10 7 10 10 10 10 10 10 10 10.000 .000
a=Base
n=Exponente
Propiedades de la potenciación. Observa:
23·24=(2·2·2)(2·2·2·2)=2·2·2·2·2·2·2=2 7= 23+4
an·am = an+m
27:24=cosa (cosa)·24=27 cosa=23 cosa=27-4
an : am = an-m
(24)3=24·24·24=24+4+4=23·4
( an)m = an·m
24·34=(2·2·2·2)·(3·3·3·3)=(2·3)·(2·3)·(2·3)·(2·3)=(2·3)4
an · bn = (a · b)n
64:24=cosa cosa·24=64 cosa=34 cosa=(6:2)4
an : bn = (a : b)n
¡ Y aquí se acaban las propiedades. No inventes otras !
Raíz cuadrada: es la operación contraria a elevar al cuadrado.
4 2 22 4
25 5 52 25
81 9 92 81
a b b2 a
- 10 -
Ejercicios
28.Completa las tablas:
a)
Potencia Base
Exponente
nº
b)
35
42
23
cuadrado
cubo c)
1
3
4
2
5
10
nº
Raiz
cuadrada
9
16
25
64
100
29. Escribe en forma de potencia:
a)3·3·3·3·3=
c)5·5=
b)2·2·2=
d)10·10·10·10=
30. Escribe en forma de producto:
a) 24=
c) 43=
b) 32=
d) 106=
31. Escribe como potencias de base 10:
a) 100
a) ___
b) 1000000
b) _______
c) 100000000000000000000
c) _____________________
32. Calcula:
a) 103+102= ______________
b) 106-102= ______________
c) 103·102= ______________
d) 25·104= ______________
e) 3·104+7·102+8·10+5= _______________________________
f) 9·105+4·104+7·103+8= ______________________________
33. Calcula mentalmente:
a) 975·101= _______
b) 58·102= _______
c) 23= ____________
d) 34= ____________
e) 25= ___________
f) 52= ____________
g) 104= ___________
h) 107= __________
i)
100 ________
j)
49 _________
k)
25 ________
l)
0 __________
m)
10000 ______
n)
104 _______
o)
100000000 __
p)
1000000 ____
q)
106 _______
r)
26 _________
s)
52 = __________
t)
54 = _________
- 11 -
34. Escribe con una sola base y un solo exponente:
a) 25·27= ___________
b) 28:25= ___________
c) 37·34= ___________
d) 34·3=
___________
e) 75:72= ___________
f) (33)2=
__________
g) (33)3= ___________
h) (52)4=
__________
i) 84:24= ___________
j) 63:23=
__________
k) 53·33= ___________
l) 122:42= __________
m) 32+42= ___________
n) 52-32=
__________
o) 23·45= ___________
p) 82:43=
__________
35. Opera de la forma más cómoda posible:
a) 503·23= _________
b) 153:53= _______________
c) 32+42= __________
d) (23)4:(25·24)= _________
Recuerda
Jerarquía de las operaciones
Las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
1º) Si hay paréntesis, primero se hacen las operaciones del interior, de
dentro hacia fuera si hubiera varios niveles de paréntesis.
2º) Potencias y raíces.
3º) Productos y cocientes.
4º) Sumas y restas.
5º) En caso de tener la misma prioridad, se comienza por la izquierda.
- 12 -
Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones:
36. 13+5-7+24-3-27+5 =
37. 8+7-4+17-28+6 =
38. 25-(4+7) =
39. 901-(327-114) =
40. (13-6+8)-(9-4)+13 =
41. 12+(18-(4+3)) =
42. 7+(9+(29-4)-(2+3)) =
43. (39-25)+(47-42)+(24-13) =
44. 12 1 (4 3) 3 (12 11) =
45. 2·(4+3) =
46. 2·4+2·3 =
47. 3·(7-5) =
48. 3·7-3·5 =
49. 4·(3-1) =
50. 4·3-4 =
51. 12:2+12:3 =
52. 12:(2+4) =
- 13 -
Realiza las siguientes operaciones:
53. 12:2+8:2 =
54. (12+8):2 =
55. 7·(4+3)- [6:(2+1)]+6 =
56. 4620:(43+21-34) =
57. (37-13):12 =
58. (13+2-5):2+ (24 6 1)·7 (5 8) 12 2 =
59. (9-6+8)·5- 140 : (50 30 10) 16 (24 7) =
60. 7·(47+12)+4· 3 (25 13 5) : (6 5) 8 =
61. 3+24 =
62. 6+ 81 -3·5 =
63. 2 9 +3·5-23 =
Recuerda
Propiedad distributiva.
Observa:
5 7 5 3 35 15 50
¡ Son iguales!
5 7 3 5 10 50
Luego: 5·7+5·3=5·(7+3)
Lo que acabamos de hacer se conoce como sacar factor común.
- 14 -
64. Saca factor común lo que se pueda y calcula:
a) 3·7+3·5= ________________________________________
b) 3·7+3·5+3·4= ____________________________________
c) 3·7-3·5= ________________________________________
d) 5·7+5·3-5·2= ____________________________________
e) 3·6-3·4+3·8= ____________________________________
f) 3·6-3·5+3·1= ____________________________________
g) 3·6-3·5+3= ______________________________________
h) 3·5+3·4+3·3-3·2+3·1= ____________________________
i) 3·5+3·4+3·3-3·2+3= ______________________________
j) 7·2+7·3-7= ______________________________________
k) 6·2+6·3-6= ______________________________________
l) 2·a+3·a+4·a-5·a= ________________________________
Recuerda
Divisibilidad
Sabemos que en una división ocurre: D = d · c + r
Si la división es exacta entonces r = 0.
D
d
c
r
Supongamos que la división entre a y b es exacta. Entonces a = b · c (donde
ya sabemos que c es el cociente).
Entonces se dice:
Que a es múltiplo de b.
Que a es divisible entre b.
Que b es divisor de a.
Que b es un factor de a.
Un número se llama primo cuando sus divisores son: 1 y el mismo número.
Si un número no es primo se llama compuesto.
- 15 -
Ejercicios
65. Escribe todos los múltiplos de 6 menores que 100.
66. Escribe los seis primeros múltiplos de:
a) 1 ___________________
c)
7 __________________
b) 3 ___________________
d) 11 __________________
67. Halla todos los divisores de:
a)
7 __________________
c) 12 __________________
b)
6 __________________
d) 18 __________________
68. ¿Qué número -o números- es divisor de todos los números?
69. Escribe los 10 primeros números primos. Pide a tu profesor
que te explique qué es la criba de Eratóstenes.
70. ¿Cuándo un número es divisible por 2?
71. ¿Cuándo un número es divisible por 3?
72. ¿Cuándo un número es divisible por 5?
73. ¿Cuándo un número es divisible por 6?
74. ¿Cuándo un número es divisible por 10?
75. ¿Cuáles son los números primos pares?
- 16 -
Recuerda
Observa la descomposición factorial de un número:
756
15
16
0
2
378
17
18
0
2
189
09
0
756
378
189
63
21
7
1
3
63 3
03 21 3
0
0 7
2
2
3
3
3
7
Luego: 756=22·33·7·1=22·33·7
Esto se puede hacer con todo número compuesto, es decir, se puede expresar
como producto de factores primos.
Evidentemente, todo número primo ya está descompuesto (su descomposición en
factores es él mismo): 13 = 13 · 1
Ejercicios
76. Halla la descomposición factorial de los números:
a) 6
b) 4
c) 12
d) 20
e) 24
f) 36
g) 72
h) 120
i) 500
j) 98
k) 66
l) 210
77. Piensa en una estrategia que acorte el proceso para hallar
la descomposición factorial de los números:
a) 1.000
b) 5.000
c) 6.000
d) 1.000.000
e) 1.000.000.000
f) 12.000.000.000
- 17 -
Recuerda
Observa:
1) Divisores de 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Divisores de 45 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Divisores comunes de 60 y 45 1, 3, 5, 15.
El mayor de ellos es 15 y se llama máximo común divisor de 45 y 60.
La forma de expresarlo es: m.c.d.(45,60) = 15
Podríamos hallarlo así:
60 = 22·3·5 sus divisores tienen, como máximo, dos 2, un 3 y un 5.
45 = 32·5 sus divisores tienen, como máximo, dos 3 y un 5.
Los divisores comunes a ambos tendrán, como máximo, un 3 y un 5, y el mayor
de todos será 3·5 = 15.
El m.c.d. de dos o más números se halla multiplicando los factores
comunes de sus descomposiciones factoriales, con el menor exponente.
2) Múltiplos de 60 60,120,180,240,300,360,420,…
Múltiplos de 45 45,90,135,180,225,270,315,360,…
Múltiplos comunes de 60 y 45 180,360,…
El menor de ellos es 180 y se llama mínimo común múltiplo de 45 y 60:
La forma de expresarlo es m.c.m.(45,60) = 180
Podríamos hallarlo así:
60 = 22·3·5 sus múltiplos tienen, como mínimo, dos 2, un 3 y un 5.
45 = 32·5 sus múltiplos tienen, como mínimo, dos 3 y un 5.
Los múltiplos comunes a ambos tendrán, como mínimo, dos 2, dos 3 y un 5, y el
menor de todos será 22·32·5=180
El m.c.m. de dos o más números se halla multiplicando los factores
comunes y no comunes de sus descomposiciones factoriales, con el mayor
exponente.
- 18 -
Ejercicios
78. Halla el m.c.d. de:
a) 28 y 60
b) 756 y 360
c) 84 y 120
d) 30 y 60
e) 27,60 y 36
f) 15,12 y 30
79. Halla el m.c.m. de:
a) 84 y 90
b) 756 y 360
c) 84 y 120
d) 30 y 60
e) 2,3 y 20
f) 12,18 y 30
80. Cuando el m.c.d. de varios números es 1, se dice que estos
son primos entre sí. Di qué parejas de las siguientes lo son:
a) 3 y 5 __________________________________________
b) 3 y 6 __________________________________________
c) 12 y 25 ________________________________________
- 19 -
81. Calcula el menor número de páginas que puede tener un
libro si contándolas de 5 en 5 o de 6 en 6, nos sobra una.
82. A ambos lados del camino hay árboles plantados. En el lado
derecho están separados entre sí 6 m , y en el izquierdo 8 m.
¿Cada cuántos metros habrá un árbol frente a otro?
83. Dos marineros salen del puerto el día 4 de abril. Uno
vuelve cada 12 días y el otro cada 16 días. ¿Cuándo se
volverán a encontrar por primera vez?
84. Tres satélites dan vueltas a la Tierra. Uno da una vuelta
en 45 días, el otro en 60 días y el tercero en 75 días. Si hoy
están los tres sobre Valencia, ¿cuánto tardarán en volver a
estarlo?
85. ¿Porqué no se habla del mínimo común divisor ni del máximo
común múltiplo?
86. Contesta par, impar o no se sabe:
a) La suma de dos números pares es ______________________
b) La suma de dos números impares es ____________________
c) La suma de un número par y otro impar es _____________
d) El producto de dos números pares es __________________
e) El producto de dos números impares es ________________
f) El producto de un número par por otro impar es _______
- 20 -
Soluciones
TEMA 1:
1.
a)20,200,2000,20000,200000
b)30,300,3000,30000,300000
c)70,700,7000,70000,700000
2.
a)Ochocientos setenta mil
b)Sesenta mil setecientos treinta y cinco
c)Cuarenta mil ochocientos cincuenta y siete
d)Cincuenta y cuatro mil seis
3.
a)5UM=5000U
b)5C=500U
c)5D=50U
d)5CM=500000U
4.
5.
6.
9368<9375<12516<54603<316400
0,1,2,3,4,5,6
9999 y 1000
7.
5
1
3
8.
a)A=4270; P=4285
b)A=3190; P=3205
c)A=12410;P=12415
9.
a)C=9700; M=10000
c)C=197900; M=198000
b)C=20800; M=21000
d)C=25800; M=26000
10.
a)8457
b)5517
c)2520
d)3837
e)297056
f)216194
11.
a)C=1047,R=2
b)C=1313,R=18
c)C=754,R=83
12.
a)22
f)60
13.
18.
50
23.
b)40
g)9370
c)4300
d)5000
e)745000
h)540000
i)7589
j)6307
14.
15.
16.
17.
a)16
b)39
140
40
7
127
19.
20.
21.
22.
49
18
2500 € cada uno
5 minutos
24.
25.
26.
99
10914 m.
14 días
288
27.
a)7648
f)7575
b)7538
g)7425
c)8548
h)4600
d)74487
i)4646
e)7500
j)4554
28.
a) base=3, exponente=5; base=4, exponente=2; base=2, exponente=3
b) cuadrado=1, cubo=1; cuadrado=9, cubo=27; cuadrado=16, cubo=64;
cuadrado=4, cubo=8; cuadrado=25, cubo=125; cuadrado=100, cubo=1000.
c) 3; 4; 5; 8; 10;
29.
30.
a)35 b)23 c)52 d)104
a)2·2·2·2
b)3·3
c)4·4·4
d)10·10·10·10·10·10
31.
32.
a)102 b)106 c)1020
a)1100 b)999900 c)100000 d)250000 e)30785
f)947008
33.
a)9750
b)5800
c)8
d)81
e)32
f)25
g)10000
h)10000000
i)10
j)7
k)5
l)0
m)100
n)100
o)10000
p)1000
q)1000
r)8=23
s)5
t)52=25
34.
a)212 b)23 c)311 d)35 e)73 f)36 g)39 h)58 i)44 j)33 k)153
l)32 m)No se puede, salvo 251 n) No se puede, salvo 161
o) No se puede, salvo 81921 p)No se puede, salvo 11
35.
a)1003=1000
b)33=27
c)9+16=25
d)212:29=23
- 21 -
Soluciones
36.
37.
10
41.
38.
6
42.
23
46.
43.
36
47.
14
51.
10
154
19
8
10
2
8
55.
10
59
139
14
50.
54.
58.
62.
18
6
2
23
45.
49.
53.
57.
61.
30
6
40.
688
44.
48.
52.
56.
39.
14
53
60.
20
445
63.
0
13
64.
a)3·(7+5)=36
b)3·(7+5+4)=48
c)3·(7-5)=6
d)5·(7+3-2)=40
e)3·(6-4+8)=30
f)3·(6-5+1)=6
g)3·(6-5+1)=6
h)3·(5+4+3-2+1)=33
i)3·(5+4+3-2+1)=33 j)7·(2+3-1)=28
k)6·(2+3-1)=24
l)a·(2+3+4-5)=4·a
65.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96
66.
a)1, 2, 3, 4, 5, 6
b)3, 6, 9, 12, 15, 18
c)7, 14, 21, 28, 35, 42
d)11, 22, 33, 44, 55, 66
67.
a)1, 7
b)1, 2, 3, 6
c)1, 2, 3, 4, 6, 12
d)1, 2, 3, 6, 9, 18
68.
El 1
69.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
70.
Cuando la última cifra es 0 o par.
71.
Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
72.
Cuando su última cifra es 0 o 5.
73.
Cuando es divisible por 2 y por 3.
74.
Cuando es divisible por 2 y por 5 su última cifra es 0.
75.
2
76.
a)2·3
b)22
c)22·3
d)22·5
e)23·3
f)22·32
3
2
3
2
3
2
g)2 ·3
h)2 ·3·5
i)2 ·5
j) 2·7
k)2·3·11
l)2·3·5·7
77.
a)23·53
b)23·54
c)(24·3·53)
d)26·56
e)29·59
f)211·3·59
78.
a)4
b)36
c)12
d)30
e)3
f)3
79.
a)1.260
b)7.560
c)840
d)60
e)60
f)180
80.
a)sí
b)no
c)sí
81.
82.
83.
84.
31
24
22 de mayo
900 días
85.
Porque el mínimo común divisor es 1 y el máximo común múltiplo no
existe.
86.
a)par
b)par
c)impar
d)par
e)impar
f)par
- 22 -
Para practicar más, si quieres
- 23 -
- 24 -
- 25 -
TEMA 2: LOS NÚMEROS ENTEROS
Ejercicios
1. ¿Con qué número describirías las siguientes situaciones?
a) La temperatura es de 14 grados ____________________
b) La temperatura es de 7 grados bajo cero ___________
c) Estamos en el año 2001 ____________________________
d) Roma se fundó hacia el 700 antes de Cristo ________
e) El Everest tiene sobre 8000 m de altura ___________
f) El buzo está a 20 m bajo el nivel del mar _________
g) El rascacielos tiene 42 plantas ___________________
h) Aparqué el coche en el segundo sótano _____________
i) Estamos en la planta baja _________________________
j) Tengo 5 € para gastarme ___________________________
k) Debo 2 € a un amigo _______________________________
Recuerda
El conjunto de los números enteros se representa por Z y está formado por
los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .................................... y por los negativos
-1, -2, -3, -4, -5, -6 ....................................
Tenemos así:
Enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6 ......... (debo)
El 0 (ni positivo ni negativo) (ni tengo ni debo)
Enteros positivos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ........ (tengo) (También +1, +2, +3, ........)
Ejercicios
2. Hace una hora el termómetro marcaba 2ºC. Si la temperatura
ha descendido 7ºC, ¿qué temperatura marca ahora el termómetro?
- 26 -
Recuerda
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ORDENACIÓN
Recordemos que los números naturales se representan sobre una recta:
0 1 2 3 4 5 6 7
y que cuanto más a la derecha está un número, mayor es.
Siguiendo la misma norma, y teniendo en cuenta que es mejor deber 2 que
deber 3, los números enteros se representan sobre la recta:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
El orden es :
..........-3<-2<-1<0<1<2<3..........
Valor absoluto de un número entero: 5 € son 5 € tanto si se tienen como si se
deben. Para indicar esto, se define el valor absoluto de un número entero
como su distancia al 0, medida sobre la recta anterior:
|5|=5, |-5|=5, |0|=0, |-3|=3
Ejercicios
3. Dados los números enteros –3, 0, 5, -2, 1, se pide:
a) Represéntalos sobre la recta:
6
b) Ordénalos, usando los símbolos apropiados: ____________
c) Calcula sus valores absolutos: ________________________
4. Halla la distancia que hay entre los siguientes pares de
números:
a) 5 y –7 ____
b) –3 y –9 ____
c) 12 y 5 ____
d) 0 y –8 ____
e) 6 y 1
f) 8 y –1 ____
- 27 -
____
Recuerda
OPERACIONES CON ENTEROS
Números enteros positivos: (+7)=7 Podemos interpretarlo como lo que tenemos
(haberes).
Números enteros negativos: -7 Podemos interpretarlo como lo que debemos.
Suma: Juntamos haberes y deudas:
(+5)+(+3)=5+3=8
(+5)+(-3)=5-3=2
(-5)+(+3)=-5+3=-2
(-5)+(-3)=-5-3=-8
Resta: Al minuendo le quitamos el sustraendo. Si éste es un haber, nos quitan
esa cantidad, si es una deuda nos quitan la deuda:
0-(+5)=0-5=-5 -(+5)=-5
0-(-6)=0+6=(+6)=6 -(-6)=(+6)=6
(+5)-(+3)=5-3=2
(+5)-(-3)=5+3=8
(-5)-(+3)=-5-3=-8
(-5)-(-3)=-5+3=-2
Ejercicios
5. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7-3= _________
b) 3-7=__________
c) -7-3=_________
d) -7+7=_________
e) 3+(-2)= ______
f) 3-(-2)= ______
g) -3+(-2)= _____
h) -3-(-2)= _____
i) -(-2)= _______
j) -(-(-2))= ____
k) 1-(-1)= ______
l) -1-(-1)= _____
m) +(-3)= _______
n) –(+3)= _______
o)-(-5)= ________
- 28 -
- 29 -
Recuerda
La multiplicación:
0
5
5·0=(-5)·0=0·5=0·(-5)=0 ya que 0 0 0 0 0 0
(+5)·(+3)=5·3=15
(+)·(+)=(+)
5·(3-3)=5·3+5·(-3)=15+5·(-3)
5·(3-3)=5·0=0
0=15+(5·(-3))
5· (-3)=-15
(+)·(-)=(-)·(+)=(-)
(-5)·(3-3)=(-5)·3+(-5)·(-3)=-15+(-5)·(-3)
(-5)·(3-3)=(-5)·0=0
0=-15+(-5)·(-3)
(-5)·(-3)=15
(-)·(-)=(+)
División:
Basta pensar que a:b=c b·c=a y en lo anterior para ver que:
(+):(+)=(+)
(+):(-)=(-)
(-):(+)=(-)
(-):(-)=(+)
Potenciación:
Sigue siendo la misma operación con las mismas propiedades que con los
números naturales. Sólo hay que tener en cuenta la regla de los signos al
multiplicar.
Raíz cuadrada:
Ocurre lo mismo que con la potenciación. Sólo hay que tener en cuenta:
(3)2=9 9 =3
(-3)2=9 9 =-3 Diremos - 9
9 no existe pues -9(algo)2
Operaciones combinadas:
La jerarquía de las operaciones es la misma que con números naturales.
- 30 -
Ejercicios
6. Realiza las siguientes operaciones:
a)3·5= ________________________________________________
b)(-3)·5= _____________________________________________
c)3·(-5)= _____________________________________________
d)(+3)·(+5)= __________________________________________
e)(+3)·(-5)= __________________________________________
f)(-3)·(-5)= __________________________________________
g)0·3= ________________________________________________
h)0·(-3)= _____________________________________________
i)5·0= ________________________________________________
j)6:2= ________________________________________________
k)(-6):(-2)= __________________________________________
l)6:(-2)= _____________________________________________
m)(-10):(-2)= _________________________________________
n)(-10):5= ____________________________________________
o)10:(-5)= ____________________________________________
p)(-8):(-2)= __________________________________________
q)0:8= ________________________________________________
r)0:(-4)= _____________________________________________
s)0:1= ________________________________________________
t)3:0= ________________________________________________
u)(-3):0= _____________________________________________
v)(-1):(-1)= __________________________________________
w)0:5= ________________________________________________
x)5:0= ________________________________________________
- 31 -
7. Opera:
a) (-2)4=
b) (-2)3=
c) (–2)1=
d) (-3)3=
e) (-1)73=
f) (-1)214=
g)
81 =
h)
81 =
i)
1=
j)
1 =
k)
0=
l)
100000000 =
8. Saca factor común lo que puedas y opera:
a) 5·(-4)+5·2-5·3= ____________________________________
b) –2·3+4·3+3·(-5)= ___________________________________
c) 5·4-5·3+5·(-2)= ____________________________________
9. Rellena los huecos que hay:
a) 8+
d)
g) 2·
j) 10:
=10
+3=10
=-8
=-5
b) –2+
e)
=-5
+4=-2
h) 3·
=15
k) –15:
- 32 -
=5
c)
+4=7
f) 15+
=15
i) –5·
=10
l) 6:
=2
10. Opera:
a) (+5)+(+3)-(-2)= ___________________________________
b) (+6)·(-3):(-2)= ___________________________________
c) –3+(-5).6= ________________________________________
d) 3-2·(-4)= _________________________________________
e) (3+(-2))·7= _______________________________________
f) –6+6:2= ___________________________________________
g) (4-7)·(5-3)= ______________________________________
h) (12-45):(5+(-8))= _________________________________
i) 3-(5-2+3)= ________________________________________
j) 7-(-5+4·3)= _______________________________________
k) –2-5+16:2-0·7-15:5= _______________________________
l) 7·(5-2)-12:(8-5)-(9-8-1)= _________________________
m) 8:2-15:(7-10)+4·(2-3)= ____________________________
n) 8-4·3-12:3-5+7·(9-6)= _____________________________
o) –3·6·(-1)·(-2)= ___________________________________
p) 32+22·(-2)3- 16 = __________________________________
- 33 -
11. Una casa tiene 20 metros de altura y su piscina 5 metros
de profundidad. ¿Cuántos metros hay desde lo más profundo de
la piscina hasta lo más alto de la casa?
12. Salgo de mi piso que es un 9º, luego bajo 3 pisos y
finalmente subo 5.¿En qué piso me encuentro?
Soluciones
TEMA 2:
1.
a)14 b)-7 c)2001 d)-700 e)8000 f)-20 g)42 h)-2 i)0 j) 5 k)-2
2.
5 grados bajo cero = -5º
3.
a)
–3 –2
0 1
b)–3<-2<0<1<5
5 6
c)|-3|=3
|-2|=2
|0|=0
|1|=1
|5|=5
4.
a)12
b)6
c)7
d)8
e)5
f)9
5.
a)4
i)2
b)–4
j)–2
c)–10
k)2
d)0
l)0
e)1
m)–3
f)5
n)–3
a)15
b)-15
c)-15 d)15
e)-15
j)3
k)3
l)-3
m)5
n)-2
o)-2
t)No se puede
u)No se puede v)1
f)15
p)4
w)0
g)–5
o)5
h)–1
6.
7.
a)16
g)9
8.
b)-8
h)No existe
a)5·(-4+2-3)=-25
c)-2
i)1
g)0
h)0
i)0
q)0
r)0
s)0
x)No se puede
d)-27
j)No existe
b)3·(-2+4-5)=-9
e)-1
k)0
f)1
l)10000
c)5·(4-3-2)=-5
9.
a)2
b)-3
c)3
d)7
e)-6
f)0
g)-4
h)5
i)-2
j)-2
k)-3
l)3
10.
a)6
i)-3
b)9
j)0
c)-33
k)-2
11.
d)11
l)17
e)7
m)5
12.
25 metros
f)-3
n)8
g)-6
o)-36
11º
- 34 -
h)11
p)-27
TEMA 3: FRACCIONES
Ejercicios
5
, se pide:
9
Numerador = ____________
Denominador = __________
Número de partes en que se ha dividido la unidad = ____
Número de partes que tomamos = __________
1. En la fracción
a)
b)
c)
d)
2. Escribe la fracción que representa la zona rayada:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Escribe las siguientes fracciones:
a) Nueve veintidosavos = ________________________________
b) Tiene numerador 25 y denominador 17 = ________________
c) Representa un porcentaje del 15 % =
_________________
2
de las siguientes cantidades:
5
a) 100 _______________ b) 120 _______________
4. Halla
c) 35
5. Halla
_______________
d) –75 _______________
35
de 500.
100
6. Halla el 35 % de 500.
7. Calcula:
3
a)
de 160 =
4
4
c)
de 30 =
6
2
e)
de 9 =
3
5
de 35 =
7
5
d)
de 40 =
8
3
f)
de 50 =
5
2
8. En una clase hay 21 alumnos en total. Si
son chicas,
3
¿cuántos chicos hay?
b)
- 35 -
9. Un tercio de los 24 alumnos de una clase va al colegio en
autobús, un sexto va en coche y el resto caminando. ¿Cuántos
alumnos van caminando?
10. Victoria tiene 32 € y Jorge 69 €. Victoria gasta los
3
de
5
su dinero y Jorge un sexto. ¿Cuál de los dos gasta más?
11. Un almacén comienza el día con 600 Kg. de manzanas. Por la
5
mañana venden una cuarta parte y por la tarde
partes.
12
¿Cuántos Kg. vendió por la mañana?
¿Cuántos por la tarde?
¿Cuántos Kg. quedan sin vender?
12. Unos padres dejan de herencia para sus tres hijos 840.000
3
1
€ y en el testamento consta que a Juan le dejan
, a Ana
y
8
3
a Margarita el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
13. Una ciudad tiene 30000 habitantes. Los
2
tienen menos de
3
5
de éstos tienen menos de 20 años.
8
¿Cuántos tienen menos de 20 años?
50 años y los
¿Cuántos entre 20 y 50?
¿Cuántos más de 50 años?
- 36 -
Recuerda
REPRESENTACIÓN Y ORDEN. EQUIVALENCIA Y SIMPLIFICACIÓN.
Observa cómo representar fracciones sobre la recta:
3
Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 3:
4
3/4 1
0
-1
2
7
Dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos 7:
4
0
-1
7/4 2
1
3
3
Igual que pero a la izquierda de cero:
4
4
-1 -3/4
0
1
2
Orden: Cuanto más a la derecha está una fracción, mayor es. Para comparar
dos fracciones, según esto:
si tienen el mismo denominador, es mayor la del numerador más
grande.
si tienen el mismo numerador, es mayor la del denominador más
pequeño.
si son distintos numerador y denominador, las pasaremos a igual
denominador para compararlas. Veremos cómo, pronto.
Ejercicios
14. Representa sobre la recta que sigue, las fracciones:
a)
-2
3
5
b)
-1
5
3
c)
0
3
5
1
- 37 -
d)
2
7
4
Recuerda
Fracciones equivalentes:
Es la misma cantidad, luego
1 2
4 8
( se dicen equivalentes y representan el mismo número racional)
0
0
1
1
2 4 8
6
... ...
3 6 12
9
Observa que, para obtener fracciones equivalentes a una dada, basta multiplicar o dividir,
el numerador y el denominador por el mismo número.
Según esto:
4 2
6 3
2·2 2
2·3 3
2·2·3 = 2·3·2
m
a
y
sean
n
b
equivalentes, debe ocurrir: a·n = b·m
Luego para que dos fracciones
4·3 = 2·6
Simplificar una fracción es escribirla de otra forma equivalente pero con los
términos lo más pequeños posibles (fracción irreducible):
120 12·10 6·2 3·2 2
180 18·10 9·2 3·3 3
fracción irreducible
Ya sabemos cómo comparar
denominador, ¿no crees?
fracciones
- 38 -
con
distinto
numerador
y
Ejercicios
15. ¿Cómo sabes si una fracción positiva es mayor o menor que
la unidad?
16. ¿Entre qué par de números enteros están las fracciones?
1
4
5
d) -
3
a)
b)
e)
7
8
8
7
c)
f)
16
3
36
5
17. Escribe >, < o =, según corresponda, entre cada pareja de
fracciones:
5
6
3
e)
5
3
i)
4
a)
3
6
3
6
1
4
9
6
f)
10
b)
j)1
4
7
6
20
7
6
4
5
6
g)
6
c)
k)1
8
10
1
5
8
7
9
9
h)
5
d)
l)1
8
9
1
3
8
18. Ordena de menor a mayor, usando los símbolos apropiados:
2
1 3 7
, , , ,
5
5 5 5
5
5 5 5
b)
, , , ,
2
2 1 3
2 3 4
5
c) , , ,
3 4 5
6
8 7 17
d)
, ,
5 4 10
a)
4
______________________________
5
5
______________________________
3
_______________________________
_______________________________
2
, que se pide:
3
a) Tiene numerador 6 ____________________________
b) Tiene denominador 18 __________________________
c) Tiene numerador –10 __________________________
19. Escribe la fracción equivalente a
20. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:
2
1 3 4
4
9 6 30 21
, , ,
,
, , ,
,
3
2 2 6 8 6 9 45 14
- 39 -
21. Simplifica al máximo las fracciones:
24
4
a)
= ________________
b) = _______________
6
36
75
12
c)
= ______________
d)
= ________________
18
100
100
0
e)
= ______________
f)
= ________________
8
20
22
4
g)
= ________________
h)
= ________________
2
33
22. Completa el término que falta para que sean equivalentes
los pares de fracciones siguientes:
3
3
5
30
8
120
a)
b)
c)
d)
4
8
10
2
6
9
23. Di si las siguientes simplificaciones son válidas:
2 3
3
2 3
3
3
2·3
3
a)
b)
c)
2·5
5
2 5
5
2 5
5
5
2 3
2
1
2
0
d)
e)
f)
3
0
2·3
3
2·3
3
2
2
0
2
1
2·3·5
5
g)
h)
i)
2 3
3
6·4
4
2 3
3
2·3 2
2·3 2·5
2·3 2
j)
k)
l)
3 5
3
3 1
2
2
2
Recuerda
OPERACIONES
Suma de fracciones y resta de fracciones:
con igual denominador:
+
=
2 3 23 5
8 8
8
8
=
5 2 5 2 3
8 8
8
8
con distinto denominador:
3 5 18 40 58 29
8 6 48 48 48 24
o también
3 5
9 20 29
8 6 24 24 24
hay más posibles denominadores comunes (múltiplos de 8 y de 6) pero
convendrá el más pequeño posible (m.c.m. de los denominadores).
La resta es igual.
- 40 -
Ejercicios
24. Escribe los siguientes grupos de fracciones con el mismo
denominador, siendo éste el menor posible:
3 4 3 2
_________________________________
, , ,
4 8 6 3
3 4 7 0 13
b)
_________________________________
, , , ,
6 3 1 2 9
3 1 2 5
c)
_________________________________
,
, ,
4 12 3 6
1 1 1
d)
_________________________________
, ,
2 3 5
a)
25. Opera y simplifica al máximo:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
o)
q)
s)
u)
2
3
7
7
7
3
15
15
2
5
10
10
4
3
6
4
1
5
3
3
6
4
2
3
5
12
9
8
7
6
5
5
7
6
6
2
5
3
2
2
5
3
2
5
3
9
9
4
5
6
17
17
17
4
5
6
20
20
20
2
1
5
3
5
2
3
6
3
5
4
7
9
4
5
6
3
5
2
8
6
5
3
5
1
12
8
2
5
3
2
2
5
( )
3
2
b)
d)
1
10
f)
h)
j)
l)
n)
p)
r)
t)
v)
26. Opera y simplifica:
1
1
( )
2
3
2
3
c)
( )
5
4
1
1
( )
2
3
1
1
d) 3 ( )
2
3
a)
b)
27. De un pastel, Juan se comió
2
1
partes y María
. ¿Qué
3
6
parte del pastel sobró?
- 41 -
Recuerda
Producto de fracciones:
2
20
2
de 10 = ·10
4
5
5
5
10 unidades
2
de 10
5
3 23
6
2·3
2
de
·
5
4 5 4 20 5·4
3
4
2 (de 3 ) = 6
4
5
20 del total
Luego
p m p ·m
·
q n
q ·n
División de fracciones:
Igual que dividir por 5 equivale a multiplicar por
multiplicar por
3
.
2
Luego
1
2
, dividir por
equivale a
3
5
p m p ·n
:
q n q ·m
La potenciación, raíz cuadrada y jerarquía de las operaciones funciona como
hasta ahora. Piensa por qué.
Ejercicios
28. Opera y simplifica:
32
a) ·
65
34
d) ·
57
21
g) ·
34
3
j) 7·
2
6 1
m) :
4
2
2
p) : 4
5
1
s) : 3
3
42
b) ·
53
23
e) ·
34
2
h) ·6
3
5 3
k) :
2 4
3 5
n) :
6 2
2
q) 4 :
5
7 1
t) :
6 2
- 42 -
53
c) ·
65
53
f) ·
95
3
i) 5·
10
3
3
l) :
8
4
3 5
o) :
4
2
1
r) 3 :
3
0
u) 3 :
3
29. Opera y simplifica:
1 26
a) · ·
475
12
b) · ·3
47
1 4
c) 3· :
6 7
47
d) · : 2
54
2 3
e)
:
3 5
5 6
f) ·
3 10
30. Opera y simplifica:
2
a)
3
3
3 3
b)
2
2
2
d)
5
81
f)
9
5
h) 1
4
4
2 2
i) 2
3
31. Opera y simplifica:
2
j) 22
3
3
c)
2
49
e)
16
4
g)
9
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2
3
5
2·
8
6
2
5
· 2
7
6
5
4 7
:
3
3 6
47
1 2
3 ·
:
58
6 9
3
3
2:
3
4
5
1 2
7
:
3 5
6
4 5
1
4 7
:
3 4
6
3 6
32. De un bote de pintura hemos gastado los 3/7 en pintar una
habitación y 2/5 de lo que quedaba en el comedor. ¿Qué
fracción de pintura queda en el bote?
- 43 -
Soluciones
TEMA 3:
1.
a)5 b)9
2.
c)9
d)5
2
a)
4
3.
1
b)
6
5
17
7
c)
d)
e)
3
12
4
6.
7.
175
a)120 b)25
a)
9
22
b)
25
17
c)
15
100
4.
5.
a)40 b)48 c)14 d)-30 175
c)20 d)25 e)6 f)30
8. 9.
10.
11.
7
12 Victoria.
Mañana 150, tarde 250, quedan 200.
12.
Juan 315000, Ana 280000, Margarita 245000.
13.
Menos de 20 = 12500. Entre 20 y 50 = 7500. Más de 50 = 10000.
14.
-7/4
5/3
3/5
-3/5
a)
b)
c)
d)
1
-2
0
1
0 1
2
0
-1
0
1
1
15.
1
Es mayor que 1 si el numerador es mayor que el denominador.
Es menor que 1 si el numerador es menor que el denominador.
16.
17.
a)0 y 1
b)0 y 1
c)5 y 6
a)>
b)<
c)=
d)<
e)>
f)>
d)-2 y –1
e)1 y 2 f)7 y 8
g)=
h)>
i)<
j)<
k)>
l)>
18.
19.
20.
5
2
3
4
2
4
6
30
12
4
1
2
3
7
6
a)
c)
a) b)
;
18
5
5
5
5
5
9
6
3
4
5
3
6
9
45
9
21
1
4 3
10
8
17
7
5
5
5
5
5
;
c)
b)
d)
2
8 2
6
14
15
2
3
3
2
1
5
10
4
21.
22.
a)6
b)15
c)36
d)135
2
2
3
2
2
a)
b)
c)
d)
e)5 f)0 g)2 h)
3
3
4
3
3
23.
a)sí b)no c)no d)no e)no f)sí g)no h)no i)sí j)sí k)no l)sí
24.
9 24 126 0 26
15 10 6
18 12 12 16
9
1
8 10
,
,
,
,
,
,
a)
b)
c)
d)
,
,
,
,
,
,
30 30 30
12 12 12 12
24 24 24 24
18 18 18 18 18
25.
4
1
67
5
4
3
21
2
15
17
23
17
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
15
15
9
7
9
5
17
20
12
12
10
5
19
11
15
115
19
19
19
17
23
m)
n)
o)
p)
q)-2 r)
s)
t)
u)
v)
6
6
6
3
5
24
24
6
2
26.
27.
28.
5
1
8
10
21
1
1
1
12
1
1
1
3
1
a)
b)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)4 i)
j)
k)
l)
6
6
15
3
6
5
2
2
6
2
2
35
3
2
23
23
3
1
1
1
7
c)
d)
m)3 n)
o)
p)
q)10 r)9 s)
t)
u) no existe
20
6
10
10
5
3
9
29.
7
10
3
3
7
a)
b)
c)
d)
e)
f)-1
10
9
8
35
14
30.
27
8
16
64
40
9
7
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)3 g)no existe h)
i)
j)
8
4
625
4
2
27
9
9
31.
32.
163
12
1
5
31
59
61
10
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
63
35
3
21
20
23
24
12
- 44 -
- 45 -
TEMA 4: LOS NÚMEROS DECIMALES
Recuerda
Los números decimales son una forma sencilla de trabajar con fracciones:
38
5
2
3
10 100 1000
38+0,5+0,02+0,003
38,523
Por los demás, ya has trabajado con ellos y recordaras muchas cosas haciendo
ejercicios.
Ejercicios
1. ¿Qué
a)
b)
c)
es ____?
Una décima: ___________________________________________
Una centésima: ________________________________________
Una milésima: _________________________________________
2. Completa:
a) 375 unidades = ________________ décimas.
b) 9 décimas = ___________________ milésimas.
c) 6 decenas = ___________________ centésimas.
d) 6 _______ = 600 milésimas.
3. Representa sobre la recta, los números:
a) 0,7
b) -0,5
c) 1,4
d) –0,2
-2
-1
0
1
e) 0,6
2
4. Ordena de menor a mayor, usando los símbolos apropiados:
a) 3; 3,2; 2,7; 3,4 ___________________________________
b) 0,12; 0,13; 0,112; 0,125 ___________________________
c) 6,1; 6,01; 6,02; 6,015 _____________________________
5. Di
a)
b)
c)
d)
qué cantidad es mayor en cada caso:
Una décima de 5 o una diezmilésima de 47086:_____________
Tres centésimas de 140 o una milésima de 1734: __________
Nueve milésimas de 426 o tres centésimas de 14,2: _______
Una centésima de 17,36 o una centésima de 17,3600: ______
- 46 -
Recuerda
OPERACIONES
Las operaciones de suma, resta, producto y cociente ya las has estudiado. Si
has olvidado algo, a continuación hay ejercicios para refrescar la memoria.
La potenciación, raíz cuadrada y jerarquía de operaciones funciona como
siempre.
Ejercicios
6. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7,84+53,9+697,4+38,25
b) 364,2+69,963+85+72,4
c) 6845,362-437,246
d) 593,74-46,5743
e) 43,25-68,34
f) 531,282-689,1111
7. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 0,6·0,5
b) 0,63·1,2
c) 12,4·3,5
d) 6,52·3,4
e) (-6,53)·4,01
f) (-3,18)·(-2,17)
8. Realiza las siguientes divisiones dando el cociente con dos
decimales exactos:
a) 75,3:21
b) 32,18:(-12)
c) 753:2,25
d) (-3):2,22
e) 0,6:0,5
f) 75,3:2,25
- 47 -
9. El médico receta a Cristina un jarabe que contiene 95 cl.
¿Cuántas tomas necesitará para acabarlo si emplea una
cucharita de 5 cl.?
10 Un agricultor vende a una fábrica 1.400 Kg. de algodón.
¿Cuántas camisetas se podrán hacer si se gasta 0,35 Kg. en una
docena?
11. Juana recorre en bicicleta 28,56 Km. Andrés recorre el
triple que Juana y Luis el doble que Andrés. ¿Cuántos Km.
recorren entre los tres?
12. Opera:
a)
b)
c)
d)
e)
0,3+0,2·0,4=
(0,3+0,2)·0,4=
0,3·0,5+0,4:0,2=
(0,3·0,5-1)·2=
(-0,2)3=
13. Calcula mentalmente:
a)
d)
g)
j)
m)
p)
s)
v)
5·0,01=
47·0,1=
0,001·0,01=
975·0,1=
58·0,01=
2,13:10=
17,02·1000=
(0,1)7=
b)
e)
h)
k)
n)
q)
t)
w)
62·0,01=
53,8·0,1=
2,01·0,01=
975:0,01=
58:0,01=
2,13·0,1=
5,26:0,001=
0,01
c)
f)
i)
l)
o)
r)
u)
x)
-869·0,01=
-47,12·0,001=
975:10=
58:100=
2,13·10=
2,13:0,1=
(0,1)3=
0,000001
14. Halla las cantidades que faltan:
a) 35,32·
=3532
c) 7,007·
=0,7007
e) 7536·
=7,536
g)
:1000=0,42
b)
d)
f)
h)
:100=45,68
:0,01=3,76
46,7·
=467000
:0,01=0,42
15. Completa los huecos:
a) 24=
d) 10
b) 2
=10000000
e)
=8
=0,1
- 48 -
c)
f)
3
=-8
=10
16. Opera:
[(0,01:0,01-0,01)·0,01]:100 = ____________________
Recuerda
RELACIÓN FRACCIONES Y DECIMALES
Toda fracción se puede expresar en forma decimal:
15 15 25 375
3,75
4
4 25
100
111
1,12121212 .... 1,12
99
111
1,23333333 .... 1,23
90
ya que
ya que
ya que
15
30
20
0
4
111
120
210
12
99
111
210
300
30
90
3,75
1,12
Se repite
1,23
Se repite
Recuerda
Habrás observado que hay varios tipos de números decimales:
Decimales exactos: Tiene un número finito de cifras decimales. Son fáciles
de escribir como fracción:
326
123
921
, 0,123
, 92,1
3,26
100
1000
10
Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten. Estas
cifras que se repiten se llaman periodo.
Tipos:
Periódico puro: Las cifras que se repiten empiezan en la coma:
123,32323232....=123’32
periodo
Periódico mixto: El periodo no empieza tras la coma:
123,31254646464...=123,312546
antiperiodo periodo
- 49 -
17. Halla el número decimal correspondiente a las fracciones:
a)
9
2
b)
15
4
c)
21
8
d)
1
3
e)
2
11
f)
4
5
18. Halla la fracción irreducible correspondiente a cada
número:
a) 2,45
b) 0,012
c) 36,5
d) 0,102
Amplía
Los números periódicos también pueden escribirse como una fracción:
PUROS
N = 42,358
1000·N = 42358,358....
N=
42,358....
999·N = 42316
42316
N=
999
MIXTOS
N = 4,2358
10000·N = 42358,358....
- 10 N =
42,358....
9990·N = 42316
42316
N=
9990
Parte entera y periodo - Parte entera
P entera, antiperiodo y periodo - P entera y antiperiodo
Tantos 9 como cifras periodo
Tantos 9 como cifras periodo y 0 como antiperiodo
Puedes comprobarlo con:
1
11
2092
3
,
,
0,3 ,
1,2
21,13
0,59 ,
3
9
99
5
11
369
26567
,
,
,
0,12
3,689
213,1234
100
1110
90
0,9 1
4
1,3
3
Hay números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas como pueda
ser el número: 0,1234567891011121314151617181920212223......... o el número
=3,141592........., pero éstos se salen de este tema.
- 50 -
Soluciones
TEMA 4:
1.
a) Décima cada una de las partes que resulta al dividir la unidad en
10 partes iguales.
b) Centésima cada una de las partes que resulta al dividir la unidad
en 100 partes iguales.
c) Milésima cada una de las partes que resulta al dividir la unidad en
1000 partes iguales.
2.
a) 3750
b) 900
c) 6000
d) décimas
3.
-2
-1
-0,5
0,7
0
-0,2
1
1,4
2
0,6
4.
a) 2,7<3<3,2<3,4
b) 0,112<0,12<0,125<0,13
c) 6,01<6,015<6,02<6,1
5.
a)La segunda
b)La primera
c)la segunda
d)Son iguales
6.
a)797,39
b)591,563
c)6408,116
d)547,1657
e)-25,09
f)-157,8291
7.
a)0,3
b)0,756
c)43,4
d)22,168
e)-26,1853
f)6,9006
8.
a) 3,58
b)-2,68
c)334,66
d)-1,35
e)1,2
f)33,46
9.
10.
11.
19
48000
285,6 Km.
12.
a)0,38
b)0,2
c)2,15
d)-1,7
e)-0,008
13.
a)0,05
b)0,62
c)-8,69
d)4,7
e)5,38
f)-0,04712
g)0,00001
h)0,0201
i)97,5
j)97,5
k)97500
l)0,58
m)0,58
n)5800
o)21,3
p)0,213
q)0,213
r)21,3
s)17020
t)5260
u)0,001
v)0,0000001
w)0,1
x)0,001
14.
a)100
b)4568
c)0,1
d)0,0376
e)0,001
f)10000
g)420
h)0,0042
15.
a)16
b)3
c)-2
d)7
e)0,01
f)100
16.
0,000099
17.
a)4,5
b)3,75
c)2,625
d) 0,3
e) 0,18
f) –0,8
18.
49
51
73
3
a)
b)
c)
d)
250
20
500
2
- 51 -
TEMA 5: PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
Recuerda
MAGNITUDES Y PROPORCIONES
Una magnitud es algo que se puede medir: peso, altura, temperatura, etc.
Medir una magnitud es asignar un número a una cantidad de esa magnitud,
para lo que necesitamos unas unidades que ya hemos estudiado.
Para comparar dos cantidades de la misma magnitud: a y b, usamos la razón
entre ellas: a/b. Por ejemplo, si un anillo tiene 0,0006 kg de oro y un
pendiente 0,0004 kg de oro, la razón entre los pesos del oro de ambos es:
0,0006 6 3
1,5
0,0004 4 2
Supongamos que 3 kg de naranjas cuestan 1,5 € y que 4,5 kg de naranjas
cuestan 2,25 €. Sucede entonces:
3
1,5
= constante de proporcionalidad
4,5 2,25
Se dice entonces que tenemos una proporción (igualdad entre dos razones).
Observa que ocurre: 3·2,25 = 4,5·1,5
Y esto ocurre siempre en una proporción:
a c
a·d = b·c
b d
Siguiendo en el ejemplo anterior, sabemos que si doblamos el número de kg de
naranjas, se dobla lo que pagamos por ellas. Que si multiplicamos por un
número el peso de las naranjas, lo que pagamos por ellas queda multiplicado
por el mismo número. Se dice entonces, que el peso y el precio son magnitudes
directamente proporcionales:
Peso (kg)
3
4,5
1
2
Precio (€)
1,5
2,25
0,5
1
Tenemos una serie de razones iguales entre las dos magnitudes,
3
4,5
1
2 4
...
1,5 2,25 0,5 1 2
que nos dan su relación:
Precio = 0,5·(Peso en kg)
Peso = 2·(Precio en €)
- 52 -
4
2
Ejercicios
1. Halla el precio de 30 kg de arroz sabiendo que 4 kg cuestan
4,5 €.
2. Calcula
3
a)
4
8
c)
x
x en las siguientes proporciones:
9
5
12
b)
x
x
4
x
x
6
d)
3
15
2
3. Si 3 kg de naranjas cuestan 2,1 € ¿Cuánto costarán 12,5 kg?
4. Un coche recorre en 3 h 255 km ¿Cuántos km recorrerá en 5
horas?
5. Un avión tarda en hacer el recorrido entre dos ciudades 10
horas si va a 800 km por hora de velocidad. Calcula:
a) ¿Cuánto tarda si va a 600 km/h?
fijate bien en
b) ¿Y si va a 1000 km/h?
este problema
Recuerda
APLICACIONES
Regla de tres: Es una forma cómoda de recordar y usar las proporciones. Con
nuestro ejemplo de antes:
3 kg de naranjas cuestan 1,5 €
4,5 kg de naranjas cuestan 2,25 €
3kg ______1,5€
4,5kg ______2,25€
3·2,25=4,5·1,5
Puedes practicarlo resolviendo los problemas de la página anterior mediante una
regla de tres.
- 53 -
Recuerda
Tanto por ciento, %: Es una regla de tres donde la cantidad total se
equipara a 100. Por ejemplo, el 15 % de 300 sería:
300 (total)
x
15·300 = 100·x
4500 = 100·x
x = 45
100
15
Luego, para hallar el a por cien (a %) de c:
c ·a
100
Recuerda que los descuentos en compras y los impuestos que pagamos se dan
en %.
Tanto por mil: Igual que el tanto por cien, pero equiparando la cantidad total
a 1000. Por ejemplo, el 15 por mil de 300000 sería:
300000
x
15·300000 = 1000·x
4500000 = 1000·x
x = 4500
1000
15
Se usa para tantos por cien pequeños. Así, el índice de natalidad es el número
de nacimientos por cada mil habitantes en un año, y el de mortalidad es el de
muertos por cada mil habitantes en un año. Se llama crecimiento vegetativo a
la diferencia entre el índice de natalidad y el de mortalidad.
Ejercicios
6. Para recoger las patatas de una huerta, una persona tarda
12 horas ¿Cuánto tardarán…?
a) 2 personas: ________________________________________
b) 3 personas: ________________________________________
c) 4 personas: ________________________________________
Cuidado con el problema que has hecho: El número de
trabajadores, y la duración del trabajo, no son magnitudes
directamente proporcionales, y no puedes usar la regla de
tres. Para usarla debes tener claro que es aplicable. Si no,
utiliza el sentido común.
- 54 -
7. Al lavar una pieza de tela de 12 cm de longitud, ha
encogido 2 cm. ¿Cuánto encogerá una pieza de la misma tela de
a) 18 m? ________________________________________________
b) 24 m? ________________________________________________
c) 10 m? ________________________________________________
8. Escribe en forma de porcentaje y de fracción:
a)45 por cien
c)76 por cien
9. Calcula:
a) 10 %
b) 20 %
c) 70 %
d) 15 %
de
de
de
de
200
600
500
300
b)15 por cien
d)30 por cien
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
10. Calcula mentalmente:
a) 10 % de 3000
c) 50 % de 12
b) 25 % de 4000
d) 75 % de 4000
11. Encuentra el porcentaje en cada caso:
a) 55 de 100
b) 98 de 200
12. Si un objeto vale 105 € y te hacen un 30 % de descuento,
¿cuánto pagarás por él?
13. Si un objeto valía el año pasado 150 €, y ha subido su
precio un 5 %, ¿cuánto cuesta ahora?
14. Una familia ha comprado un chalet en las siguientes
condiciones: Precio 90000 €, de los que da de entrada el 10 %,
y el resto en pagos mensuales durante 5 años ¿Cuánto ha de
pagar al mes?
- 55 -
15. Un televisor cuesta 480 €, y se grava un 16 % de IVA
¿Cuánto pagamos por él?
16. Por un objeto hemos pagado 6,96 €, y nos hicieron el 13 %
de descuento ¿Cuánto costaba?
17. Compramos 50 bolis a 1,5 € la unidad, y nos gravan el 7 %
de IVA ¿Cuánto pagamos?
18. Por un cierto objeto hemos pagado 70,52 €, y nos habían
hecho el 14 % de descuento ¿Cuánto costaba?
19. Halla el crecimiento vegetativo de León, sabiendo que su
índice de natalidad es 13 por mil y el de mortalidad es 15 por
mil.
20. En una ciudad de 60000 habitantes, el índice de natalidad
es de un 12 por mil ¿Cuántos nacimientos se producen
anualmente en esta ciudad?
21. Hemos ganado 6 € al vender un objeto que nos ha costado 2
horas de trabajo, a mí, y 1 hora de trabajo a mi amigo ¿Cómo
debemos repartirnos los beneficios?
- 56 -
22. Tres socios fundan una empresa, el primero aporta 2000 €,
el segundo 3000 € y el tercero 5000 €. Al cabo de cierto
tiempo han tenido un beneficio de 5000 € ¿Cómo lo reparten?
23. Reparte 340 € en partes proporcionales a 3,4 y 10.
24. Mezclamos 15 litros de aceite de oliva de 3,5 € el litro
con 25 l de aceite de girasol de 0,9 € el litro ¿A qué precio
sale el litro de mezcla?
Recuerda
PROPORCIONALIDAD INVERSA
En magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una, aumenta la otra
de una forma concreta: así, si doblamos la cantidad de agua, doblamos su
peso, si la triplicamos, su peso se multiplica por 3, etc.
Hay ocasiones en que no ocurre así. Por ejemplo, supongamos que dos albañiles
tardan 6 meses en hacer una faena. Entonces, 4 albañiles tardarán 3 meses.
Si te fijas, al doblar el número de albañiles, el tiempo se divide por 2, si
triplicamos el número de albañiles, el tiempo se divide por 3, etc.
Cuando ocurre esto, decimos que las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Hay magnitudes que no son ni inversa ni directamente proporcionales. Piensa
en tu edad y en la de tu padre.
Repartos inversamente proporcionales: supongamos que 3 personas se
reparten un premio de 300 € jugando al parchís una partida de 1 h de
duración. Al acabar el tiempo, a una de las personas le quedan 2 fichas, a otra
3 y a otra 4, y deben repartirse el premio con arreglo a las fichas que les
quedan.
No se trata de un reparto proporcional al número de fichas, sino al
contrario, es inversamente proporcional al número de fichas que quedan
pues a más fichas, menos dinero.
- 57 -
Ejercicios
25. Para recoger las patatas de una huerta, una persona tarda
12 h ¿Cuánto tardarán…?
a) 2 personas: __________________________________________
b) 3 personas: __________________________________________
c) 4 personas: __________________________________________
26. Si 6 personas tardan en recoger una finca de fresas 20
días ¿Cuánto tardarán 8 personas?
27. Si 4 personas tardan 8 h en repartir 12000 folletos de
publicidad, ¿cuánto tardarán 5 personas?
28. Si 4 personas tardan 8 h en repartir 12000 folletos de
publicidad ¿Cuánto tardarán 5 personas en repartir 3000
folletos?
29. Queremos pintar una valla. Sabemos que si mide 300 m, 5
personas la pintan en 6 días. Si la valla mide 400 m y
disponemos de 4 personas para pintar, ¿cuánto tardarán?
30. Un avión tarda en hacer el recorrido entre dos ciudades,
10 h, si se mueve a 800 km por hora de velocidad.
a) ¿Cuánto tarda si se mueve a 600 km/h?
b) ¿Cuánto tarda si se mueve 1000 km/h?
- 58 -
Soluciones
TEMA 5:
1.
2.
3.
4.
33,75 €
8,75 €
425 km
a)12
b)1,66…
c)4
d)1,2
5.
6.
7.
a)13,33…h= 13 h 20´
b)8 h
a)6 h
b)4 h
c)3h a)3 m b)4 m c)1,66 m
8.
a)45%=9/20 b)15%=3/20 c)76%=19/25 d)30%=3/10
9.
a)20
b)120
c)350
d)45
10.
11.
12.
13.
14.
a)300 b)1000 c)6 d)3000
a)55%
b)49%
73,5 €
157,5 €
1350 €
15.
16.
17.
18.
19.
20.
556,8 €
8 €
80,25 €
82 €
-2 por mil
720
21.
22.
23.
24.
4 € a mí y 2 € a mi amigo
1000 €, 1500 € y 2500 €
60,80 y 200 1,875 €
respectivamente
25.
26.
27.
a)6 h
b)4 h
c)3 h
15 días
6 h 24 min
28.
29.
30.
1 h 36´
10 días
a)13 h 20´
b)8 h
- 59 -
- 60 -
- 61 -
- 62 -
- 63 -
TEMA 6: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Recuerda
LAS LETRAS COMO NÚMEROS
Ejercicio: Supongamos que un Kg. de naranjas cuesta 0,5 €. ¿Cuánto
cuestan…?
a) 2 Kg. ____________________________
b) 3 Kg. ____________________________
c) 50 Kg. ___________________________
d) n Kg. ____________________________
e) x Kg. ____________________________
Habrás visto que podemos usar una letra para designar una cantidad
indeterminada, pero esa letra representa un número y funciona como un
número:
Igual que 5+5+5+5 = 4·5
x+x+x+x = 4·x
Igual que 4·5+7·5+3·5 = 14·5
4·x+7·x+3·x =14·x
Igual que 7·5-3·5 = 4·5
7·x-3·x = 4·x
Igual que 5·5·5 = 53
x·x·x = x3
Igual que 53·52·54 = 59
x3·x2·x4 = x9
Igual que 57:54 = 53
x7:x4 = x3
Ejercicios
1. Escribe en lenguaje matemático:
a) Una cantidad aumenta en 10 unidades: __________________
b) Un billete de tren cuesta 5 € menos que un billete de
autobús: _________________________________________________
c) Un avión lleva una velocidad 8 veces mayor que la de un
coche: ___________________________________________________
d) La edad de mi padre es triple que la mía: _____________
- 64 -
Ejercicios
2. Agrupa lo que puedas:
a) 3x+5x= _________________
b) 2x-5x= ________________
c) 3y+4y= _________________
d) 3x+4x+1= ______________
e) 3x+4x+3y= ______________
f) 3y-4y+1= ______________
2
2
g) 3x +4x = ________________
h) 5x3-7x3= _______________
i) 5x2+y= __________________
j) 3x2+4x= ________________
k) x2+2x·x= ________________
l) 5x-5= __________________
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)x2·x3= ___________________
b)3x2·2x3=
c)5y4·7y2= _________________
d)5y3·y= __________________
e)(10y4):5y= _______________
f)7x:x= ___________________
g)x2+x2= ___________________
h)x2·x2= __________________
i)x2:x2= ___________________
j)x2-x2= __________________
_______________
4. Realiza las siguientes operaciones y agrupa lo que puedas:
a) 3·(x+5)=
_____________________________________________
b) x·(3+5)=
_____________________________________________
c) x·(x+5)=
_____________________________________________
d) (x+3)(x+5)=
__________________________________________
e) (x-3)(x+5)=
__________________________________________
f) (x+3)(x-5)=
__________________________________________
g) (x-3)(x-5)=
__________________________________________
h) (x2+1)(x2-1)= __________________________________________
i) x2(x2+x+2)=
__________________________________________
5. Saca factor común lo que puedas:
a) 5x+5y=
_______________________________________________
b) 5x+5=
_______________________________________________
c) 5x2+5x=
_______________________________________________
d) 5x+x·y=
_______________________________________________
e) 2x-4=
_______________________________________________
- 65 -
- 66 -
Recuerda
Una ecuación es una igualdad donde aparecen cantidades conocidas y
desconocidas relacionadas por operaciones matemáticas. Por ejemplo:
2) 2x-1 = 8
1) 3x+4 = 5x-8
Resolver una ecuación es encontrar las cantidades desconocidas, incógnitas,
que hacen cierta la igualdad. En nuestros ejemplos, la solución sería:
1) x = 6
2) x = 4
Para resolver una ecuación hay un principio básico: todo lo que hagamos a uno
de los lados de la igualdad, miembro, debemos hacérselo al otro para
conservarla, por ejemplo:
x+5 = 8 x+5-5 = 8-5 x = 8-5 = 3
que se traduce vulgarmente por: lo que está sumando a un lado,
pasa restando al otro.
x-5 = 8 x-5+5 = 8+5 x = 8+5 = 13
que se traduce vulgarmente por: lo que está restando a un lado,
pasa sumando al otro.
20
5·x = 20 5·x:5 = 20:5 x=
=4
5
que se traduce vulgarmente por: lo que está multiplicando a un
lado, pasa dividiendo al otro.
x:6 = 5 (x:6)·6 = 5·6 x = 5·6 = 30
que se traduce vulgarmente por: lo que está
dividiendo a un lado, pasa multiplicando al otro.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, pero nosotros sólo
estudiaremos las que tienen una. Es más, nos centraremos en aquellas en las
que la incógnita sólo aparece sumada, restada y multiplicada o dividida por un
número: ecuaciones de primer grado.
Para resolverlas basta aislar la incógnita usando los principios anteriores.
- 67 -
Ejercicios
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x+3 = 5
b) x+2 = 7
c) x+5 = 3
1 5
d) x+ =
3 3
2 3
e) x+ =
5 5
7 1
f) x+ =
4 4
g) x-3 = 5
h) x-3 = -5
i) x-5 = 2
1
5
j) x- =
3
3
k) x-
2
1
3
3
l) x-
7
1
4
4
m) x+
1
1
2
3
n) x+
2
3
3
5
o) x+
1
1
3
6
p) x-
1
2
5
7
q) x-
7
4
3
9
r) x-
6
1
5
10
s) x+0,31 = 1,27
t) x+1,2 = -3,4
u) x+7,4 = 0,6
v) x-4,28 = 5
w) x-3,7 = -1,4
x) x-0,4 = -0,4
- 68 -
Ejercicios
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x = 6
b) 3x = 0
c) 5x = 30
d) 2x = -8
e) 3x = -9
f) 5x = -20
g) –2x = 4
h) –3x = 6
i) –4x = 20
j) –2x = -10
k) –3x = -21
l) –7x = -14
m) 0,2x = 1,2
n) 1,2x = -3,6
o) 0,1x = 0,01
p) 3x = 1,2
q) 4x = -0,8
r) –0,8x = -4
s)
1
3
x
2
2
t)
2
3
x =
5
5
u)
v)
1
1
x =
2
3
w)
2
1
x =
3
5
x)
- 69 -
3
7
x =
5
5
1
2
x =
3
6
Ejercicios
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
7
3
x
4
5
d) x : 2 8
g) x / 5 4
j) x / 4 0,8
m)
x
3,4
1,2
b)
4
2
x
7
3
e) x : (3) 27
h)
x
28
7
k)
x
0,9
3
n) x / 2,1 1,2
p) x :
2
3
3
4
q) x :
s) x :
7
5
4
2
t)
1
1
4
5
x
3
1/2
2
- 70 -
c)
5
7
x
4
2
f) x : 4 2
i) x / 2 90
l)
x
0,01
0,1
o)
x
0,1
3,4
r) x :
u)
2
1
3
4
x
1
7/4
5
Ejercicios
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2x+1 = 41
2x-3 = -7
3x-2 = 7
5x+4 = 19
5x-4 = 11
–5x+2 = 17
–3x-4 = 5
2x+8 = 16
3x-7 = -7
4-5x = 11
2-5x = 17
–4-3x = 5
10. Lola ha comprado 3/4 de Kg. de carne que le han costado 6
euros. ¿Cuánto vale un Kg. de carne?
11. He andado la tercera parte del camino y aún me quedan 360
metros por recorrer. ¿Qué longitud tiene el camino?
12. Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte
emergente mide 8 m. ¿Cuál es la longitud del poste?
13. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x+1 = 6
b) 3x-2 = 5
c) 4x+1 = 3
d) 5x-2 = 7
- 71 -
Ejercicios
Y seguimos resolviendo ecuaciones....
e) 4x+1 = 6
f) –4x+1 = -3
g) 0,2x+1,3 = 0,2
h) 4,1x-3,1 = 5,1
i) 0,1x+0,2 = 0,3
j) 4,8x-4,2 = 0,6
k) 2,3x+1 = 5,6
l) 2x+0,2 = 0,8
m) 2(x+1) = 32
n) 3(x-2) = 9
o) 5(x+2) = -10
q)
p)
x 2
3
3
x 1
5
2
r) (x-5):4 = -2
s) (x+1):2 = 7
t) (x-2):3 = 3
u) (x-5)/4 = -2
2
3
v) 2(x+ ) =
4
3
1
1
w) 3(x- ) =
2
5
x)
- 72 -
2 x
1
7
3 2
4
2
Ejercicios
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x-7 = 3x-8
b) 6x-3 = 2x+1
b) 9(x-1) = 6(x+3)
d) 2x+2 = x+2
e) 10x+2x = 7x-15
f) x-7 = 2(x-3)
g) 2x+2 = x+5
h) –3x+2 = x+10
i) 12-(x-3) = 6
j) 8(x-2) = -12(3-x)
k)
2
1
1
1
x- x2
5
3
4
l) 2x-
m)
1
2
x+ x-3
3
5
n)
- 73 -
2
1
x+
5
3
1
3
2
1
x+ x+
3
2
5
2
Ejercicios
Y seguimos resolviendo ecuaciones....
o)
p) 3-(2x+1) = 5
3
2
x+1 =
x-2
4
5
q) x-(3-2x) = 3
r) 2x+(5x-2) = 3
s) x = 4-(x-2)
t) 2x-3 = 4(x+2)
u) 3-(x-2) = 4-(2x+1)
v) 2(x+1)+x = 7
w)
2x 1
x 3
5
6
4
x)
x 11
x 5
0
6
3
15. Si al triple de un número le restamos 7 obtenemos el doble
del número inicial. Hállalo.
16. Halla el número al que sumándole 5 obtenemos seis veces
más que si le restamos 5.
- 74 -
Ejercicios
17. Si al doble de un número le restamos su mitad obtenemos
como resultado 54. Halla el número.
18. Si a un número le restamos 1 obtenemos el doble que si le
restamos 10. Hállalo.
19. Eva se gastó los 3/4 partes del dinero que tenía y después
la tercera parte de lo que le quedaba. Si acaba con 1 €,
¿cuánto dinero tenía al empezar?
20. Se han consumido 7/8 del contenido de un bidón de aceite.
Reponemos 38 l y así el bidón queda lleno hasta sus 3/5
partes. Halla la capacidad del bidón.
21. Se reparten 150000 € entre tres personas A, B y C de modo
que entre A y B cobren conjuntamente doble de lo que cobra C y
que A cobre 20000 € más que B. ¿Cuánto recibe cada persona?
22. Los 65 viajeros de un avión pertenecen a 4 países.
Colocados en orden decreciente, el número de viajeros que
corresponde a cada país, México, Venezuela, Argentina y
España, cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos
viajeros hay de cada país?
- 75 -
- 76 -
Soluciones
TEMA 8:
1.
a) x+10
b)x+5 = y
c)x = 8·y
d)x = 3·y
2.
a)8x
g)7x2
b)-3x
h)-2x3
c)7y
i)5x2+y
d)7x+1
j)3x2+4x
e)7x+3y
k)3x2
f)-y+1
l)5x-5
3.
a)x5
b)6x5
c)35y6
d)5y4
e)2y3
g)2x2
f)7
h)x4
i)1
j)0
4.
a)3x+15
f)x2-2x-15
b)8x
c)x2+5x
g)x -8x+15
d)x2+8x+15
h)x4-1
2
e)x2+2x-15
i)x4+x3+2x2
5.
a)5(x+y)
b)5(x+1)
c)5x(x+1)
d)x(5+y)
e)2(x-2)
6.
a)2
b)5
j)2
k)1/3
r)11/10
7.
a)3
c)-2
l)2
s)0,96
d)4/3
e)1/5
f)-3/4
g)8
h)-2
i)7
m)-1/6
n)-19/15
o)-1/6
p)-3/35
q)25/9
t)-4,6
u)-6,8
v)9,28
w)2,3
x)0
b)0 c)6 d)-4 e)-3 f)-4 g)-2 h)-2 i)-5 j)5 k)7 l)2 m)6 n)-3
o)0,1 p)0,4 q)-0,2 r)5 s)3 t)-2/3 u)7/3 v)2/3 w)-3/10 x)1/4
8.
a)12/35
b)7/6
c)-14/5
d)16
e)-81
f)8
g)-20
h)196
i)-180
j)3,2
k)2,7
l)0,001
m)4,08
n)-2,52
o)-0,34
p)1/2
q)1/20
r)-1/6
s)35/8
t)3/4
u)7/20
9.
a)20
10.
b)-2
c)3
d)3
e)3
f)-3
11.
g)-3
h)4
i)0
j)-7/5
12.
k)-3
l)-3
8 €
540 m
11,2 m
13.
a)5/2 b)7/3 c)1/2 d)9/5 e)5/4 f)1 g)-5,5 h)2 i)1 j)1 k)2 l)0,3
m)15 n)5 o)-4 p)9 q)11 r)-3 s)13 t)11 u)-3 v)-7/24 w)11/30 x)10
14.
a)1
b)1
c)9
d)0
e)-3
f)-1
g)3
h)-2
i)9
j)5
k)28/15
l)13/15
m)48/5
n)-9/25
o)-60/7
p)-3/2
q)2
r)5/7
s)3
t)-11/2
u)-2
v)5/3
w)53
x)1
15.
16.
17.
18.
19.
20.
7
7
36
19
6 €
80 l
21.
22.
A=60000 B=40000 C=50000 27 México;18 Venezuela; 12 Argentina; 8 España.
- 77 -
TEMA 7: UNIDADES DE MEDIDA
Recuerda
Son muchas las cosas que medimos (magnitudes). El cómo lo hacemos depende
de los gustos y posibilidades, así de una persona podemos decir que mide 1,65
metros o 6 pies.
Recordaremos en éste tema las unidades que usamos de forma más habitual.
Recuerda
LONGITUDES
Una longitud es la distancia que hay entre dos puntos.
El metro es la principal unidad de longitud. Para medir cosas más grandes y
más pequeñas usamos:
Abreviatura
Unidad
Valor (en metros)
Km
Kilómetro
1000 m
Hm
Dam
m
dm
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
cm
Centímetro
mm
Milímetro
100 m
10 m
1m
1
0,1 m =
m
10
1
0,01 m =
m
100
1
0,001 m =
m
1000
Ejercicios
1. Haz los siguientes cambios de unidades:
a) 6 km =
c) 9 dm =
e) 2 Hm =
m
mm
km
b) 47 Hm =
d) 16 Dam =
f) 64 mm =
- 78 -
Dam
km
dm
Ejercicios
2. Completa la tabla:
Apartado
a)
b)
c)
d)
km
Hm
Dam
m
dm
cm
mm
642
149,2
45,3
3,95
3. ¿Qué unidad utilizarías para medir ___________?
a)
b)
c)
d)
La
La
El
La
longitud de un bolígrafo:
distancia entre dos ciudades:
diámetro de un clavo:
altura de un edificio:
4. Ordena de menor a mayor las longitudes:
a) 35 m; 3,5 Hm; 0,3 km
b) 1,28 m; 85 cm; 13 dm
_______________________________
_______________________________
5. Expresa en metros:
a) 5 Hm
c) 48 dm
b) 3,4 km
d) 197,6 cm
6. Expresa en kilómetros:
a) 2 Hm
c) 10000 dm
b) 750 m
d) 100 Dam
7. Calcula:
a)
(5 km, 6 Hm, 3 m) +(3 Hm, 5 Dam)
b)
7· (5 Hm, 4 Dam, 5 m, 2 dm)
c)
(5 km, 6Hm, 3 m) - (3 Hm, 5 Dam)
d)
(2 m, 5 cm, 8 mm) : 3
- 79 -
Ejercicios
8. Se quiere poner en ambos lados de una carretera de 105 km
de largo, una valla con postes, separados unos de otros 50 m
¿Cuántos postes se necesitan?
9. Laura ha lanzado la pelota a una distancia de 3,95 m y Juan
a 4 m 16 cm ¿En cuántos centímetros ha superado Juan a Laura?
10. Un ciclista ha dado 13 vueltas completas a un circuito y
ha recorrido, en total, 75 km 4 Hm ¿Cuántos metros tiene el
circuito?
11. Un coche lleva una velocidad de 72 km por hora. ¿Cuántos
metros recorre en un segundo?
Recuerda
CAPACIDAD
Capacidad de un recipiente es la cantidad de líquido que puede contener.
La principal unidad de capacidad es el litro.
Tenemos también:
Kl
Hl
Dal
l
dl
kilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
cl
Centilitro
ml
Mililitro
Decilitro
- 80 -
1000 l
100 l
10 l
1l
1
0,1 l =
l
10
1
0,01 l =
l
100
1
0,001 l =
l
1000
Ejercicios
12. Haz los siguientes cambios de unidades:
a) 54,6 dl = ___________
c) 33,25 kl = __________
l
Dal
b) 10,8 Hl = ___________
d) 27,5 dl = ___________
cl
l
13. Completa los huecos:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
0,5 l = _________ cl
b) 33 cl = ___________ l
6,4 l = ____ dl = _____ cl d) 7,5 dl = _________ cl
50 ml = _________ cl
f) 0,74 l = ____ cl =_____ ml
3,5 cl = ________ ml
h) 2500 ml = _________ l
3,98 Hl = ________ l
j) 246 l = __________ Hl
23 Dal = _________ l
l) 35720 l = ________ kl
48,7 kl = ________ l
n) 78,2 l = ________ Dal
14. Realiza las siguientes operaciones:
a)(14 l,25 cl)+(11 l,6 dl)+(7,5 dl)
b)(1 kl,3 Hl,80 l)-(950 l)
c)1,5 l+2,75 l+0,25 l
d)(1 kl,4 Dal, 9 l)-(7 Hl,5 Dal)
e)(3 kl,9 Dal,4 l) : 8
f)3·(5 l,6 cl)
15. Ordena de menor a mayor:
3 l; 1,3 Dal; 34 dl ___________________________________
16. Un camión cisterna transporta 23,745 kl de agua a un
pueblo con restricciones por la sequía. Si para cada persona
hay 15 l, ¿cuántos habitantes tiene el pueblo?
17. Se envasan 1589 l de alcohol en frascos de 35 cl que se
venden a 70 céntimos de euro cada uno. ¿Cuál es el valor del
alcohol?
- 81 -
Recuerda
MASA
La masa es la cantidad de materia de que está formado un cuerpo.
La unidad principal de masa es el gramo.
Sus múltiplos y divisores más usuales son:
Tm
Kg
Hg
Dag
g
dg
Tonelada métrica
kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
cg
Centigramo
mg
Miligramo
1000000 g = 1000 kg
1000 g
100 g
10 g
1g
1
0,1 g =
g
10
1
0,01 g =
g
100
1
0,001 g =
g
1000
La masa está relacionada con la capacidad: Un kilogramo es,
aproximadamente, la masa de un litro de agua pura al nivel del mar y a 4º C.
La densidad indica si un cuerpo es más o menos pesado que el agua.
Masa (kg )
= Densidad
Capacidad (l )
Si la densidad es mayor que 1, es más denso que el agua, y si es menor que 1,
es menos denso (en este caso flota y en el primero se hunde).
El peso de un cuerpo es la mayor o menor resistencia que ofrece al
movimiento. Al nivel del mar y a 4º C coincide con su masa, pero en la Luna,
por ejemplo, la misma masa pesa menos.
Ejercicios
18. Completa los huecos:
a)
c)
e)
g)
i)
4,7 Dag = __________ g
22,22 kg = _________ g
7 g = _____________ mg
7,3 kg = ___________ g
7,6 Dag = _________ Tm
b)
d)
f)
h)
j)
- 82 -
0,76 Hg = __________ g
34,09 dg = _________ g
13700 mg = _________ g
4,3 Tm = __________ kg
2 mg = ____________ Tm
Ejercicios
19. Realiza las siguientes operaciones:
a)(1 Tm,75 kg) + (0,9 Tm,125 kg)
b)3,5 g - (1 g,7 dg,43 mg)
c)28,7 kg + 3 kg + 40,100 kg
d)9 kg - (2 Hg,7 Dag)
e)(6 kg,2 Dag,8 cg) : 8
f)(3 g,2 cg) · 3
20. Ordena de menor a mayor las cantidades:
36 kg; 35,5 kg; 362 Hg
21. ¿Cuántos kg pesan 5 depósitos de gas argón de 3 kl cada
uno, si un litro pesa 1,38 g?
22. Si la densidad del hierro es 7,8, ¿cuánto pesan 100 l?
23. Un litro de aceite pesa 850 g.
a) ¿Cuál es la densidad del aceite?
b) ¿Cuántos kg pesan 40 l de aceite?
c) ¿Cuántos litros ocupa una Tonelada métrica de aceite?
- 83 -
Recuerda
TIEMPO
El tiempo es un concepto de difícil definición. Podemos decir que es lo que
dura una acción o la duración entre dos hechos.
La unidad fundamental es el segundo y todos sabemos que 60 segundos
forman un minuto, 60 minutos una hora, 24 horas un día, etc.
Ejercicios
24. Calcula los minutos que hay en:
a)2 h
b)7 h
c)
1
h
2
d)
1
h
4
e)0,25 h
25. Calcula los segundos que hay en:
a) 5 min
b) 30 min
c)
1
h
2
d)2 h
e)0,5 h
26. ¿Cuántas horas hay en 240 minutos?
27. Si una persona tiene 18 pulsaciones en 15 segundos,
¿cuántas pulsaciones tendrá en una hora?
- 84 -
Ejercicios
28. Realiza las operaciones:
a) 3 h 28´ 15´´ + 53´ 29´´
b) 25´ 13´´ -3´ 29´´
c) 4 h 38´ 56´´ + 2 h 39´ 24´´
d) (4 h 5´ 45´´)·5
29. Realiza las siguientes operaciones:
a) 5 siglos 24 años 6 meses
+
8 siglos 20 meses
b) 4·(6 h 24´ 4´´)
c) (7 h 24´ 32´´):9
d) 56 h : 6
e) 5 h 3´ 27´´ - 2 h 50´ 44´´
f) (10 h 46´´)·9
30. Si un tren sale de la estación a las 8 h 57´ y el viaje
dura 3 h 44´ , ¿a qué hora llega a su destino?
- 85 -
Ejercicios
31. Calcula los segundos que hay en:
a) 1 h 39´ 45´´
b) 3 h 50´ 9´´
32. Expresa en horas, minutos y segundos:
a) 4997´´
b) 5057´´
c) 10000´´
33. Si un avión recorre 840 km en una hora, ¿cuántos km
recorre en un minuto? ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 5880
km?
34. Un día, los 70 empleados de una fábrica han hecho un paro
de 2 h 30´ . Cada empleado cobra, por 8 h de trabajo diario,
56 €. ¿Cuánto han dejado de percibir los 70 empleados por ese
paro?
35. ¿Hay más cosas que medir?
- 86 -
Soluciones
TEMA 7:
1.
a)6000
b)470
c)900
d)0,16
e)0,2
f)0,64
2.
a)0,000642 ;
0,00642 ;
0,0642 ;
0,642 ;
6,42 ;
64,2
b)1,492 ;
14,92 ;
1492 ;
14920 ;
149200 ;
1492000
c)453 ;
4530 ;
45300 ;
453000 ;
4530000 ;
45300000
d)0,00395 ;
0,0395 ;
0,395 ;
39,5 ;
395 ;
3950
3.
a)cm
b)km
c)mm
d)m
4.
a)35 m < 0,3 km < 3,5 Hm
b)85 cm < 1,28 m < 13dm
5.
6.
a)500
b)3400
c)4,8
d)1,976
a)0,2
b)0,75
c)1
d)1
7.
8.
a)5953 m
b)3816,4 m
c)5253 m
d)0,686 m
4202
9.
10.
11.
12.
21
5800
20
a)5,46
b)108000
c)3325
d)2,75
13.
a)50
b)0,33
c)64 y 640
d)75
e)5
f)74 y 740
g)35
h)2,5 i)398
j)2,46
k)230
l)35,72
m)48700 n)7,82
14.
a)26,6 l b)430 l c)4,5 l d)299 l e)386,75 l f)15,18 l
15.
16.
17.
3 l < 34 dl < 1,3 Dal
1583
3178 €
18.
a)47
b)76
c)22220
d)3,409
e)7000
f)13,7
g)7300
h)4300
i)0,000076
j)0,000000002
19.
a)2100 kg b)1,757 g c)71,8 kg d)8730 g e)752,51 g f)9,06 g
20.
35,5kg<36kg<362Hg
21.
22.
23.
20,7
780 kg
a)0,85
b)34
c)Aprox. 1176,47 l
24.
25.
a)120
b)420
c)30
d)15
e)15
a)300 b)1800 c)1800 d)7200 e)1800
26.
27.
28.
4
4320
a)4h 21´44´´ b)21´44´´ c)7h 18´20´´ d)20h 28´45´´
29.
a)13 siglos 26 años 2 meses
b)25h 36´16´´
c)C=49´23´´ R=5´´
d)9h 20´
e)2h 12´43´´
f)90h 6´54´´
30.
31.
32.
12h 41´
a)5985
b)13809
a)1h 23´17´´ b)1h 24´17´´ c)2h 46´40´´
33.
34.
14km; 7h
1225 €
35.
Por supuesto que sí: superficies, volúmenes, ángulos y otras cosas.
Algunas las veremos en otros temas
- 87 -
TEMA 8: SUPERFICIES Y VOLÚMENES
Recuerda
SUPERFICIES
Una superficie es un trozo de plano limitado por todas partes.
Área es la medida de una superficie.
Tienes así dos superficies con la misma área. Recortando la figura inicial de
varias formas, y pegando, tendríamos superficies distintas con la misma área.
El metro cuadrado, m2, es la unidad fundamental de superficie.
Es el área de un cuadrado de 1 m de lado.
1 m2 1 m
1m
Múltiplos y divisores:
1m
1m
Observa
1 m2
1 Dam = 10 m
1 Dam2 = 100 m2
Longitudes: 1 Dam = 10 m
Áreas: 1 Dam2 = 100 m2
1 Dam = 10 m
Razonando así tenemos:
Kilómetro cuadrado
Hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
Metro cuadrado
Decímetro cuadrado
km2
1000000 m2
Hm2
Dam2
m2
dm2
Centímetro cuadrado
cm2
Milímetro cuadrado
mm2
10000 m2
100 m2
1 m2
1
0,01 m2 =
m2
100
1
0,0001 m2 =
m2
10000
1
0,000001 m2 =
m2
1000000
- 88 -
Recuerda
Longitudes:
:10
Km
:10
Hm
:10
Dam
m
:10
:10
:10
dm
cm
mm
x10
x10
x10
x10
x10
x10
:100
:100
:100
:100
:100
:100
Áreas:
Km2
Hm2
x100
Dam2
x100
m2
x100
dm2
x100
cm2
x100
mm2
x100
Ejercicios
1. Completa los huecos:
a) 4 m2 = ________ dm2 = ________ Hm2
b) 3,7 Hm2 = ________ m2 = ________ km2
c) 29 cm2 = ________ mm2 = ________ Dam2
d) 6,3 m2 = ________ cm2 = ________ km2
e) 13,8 km2 = ________ m2 = ________ mm2
2. Calcula los m2 que hay en:
a) 75 Dam2 = ________
c) 34,57 Hm2 = ________
e) 3000 dm2 = ________
b) 0,5 km2 = ________
d) 697 cm2 = ________
f) 472000 mm2 = ________
3. Completa los huecos:
a) 4578 m2 = _________ km2
c) 481 km2 = _________ m2
e) 0,034 Hm2 = _______ dm2
b) 0,89 Dam2 = __________ cm2
d) 0,005 cm2 = __________ dm2
f) 0,000001 m2 = ________ mm2
4. Ordena de menor a mayor las áreas:
6 Dam2; 573 m2; 5,1 km2; 8653 dm2
5. Queremos poner en el techo de un salón de 30,6 m2 placas de
escayola de 6000 cm2 cada una. ¿Cuántas necesitamos?
- 89 -
6. Un cristalero ha comprado una luna de 7,4 m2 por 133,2 €, y
quiere ganar en la venta 33,3 €. ¿A cuánto debe vender el m2 de
cristal?
Recuerda
Medidas agrarias. En medida de fincas se utilizan unas medidas con nombres
especiales:
Hectárea (Ha) = Hm2 , Área (a) = Dam2 , Centiárea (ca) = m2
Ejercicios
7. Completa los huecos:
a) 1 Ha = ______ a = ____ ca
c) 1306 a = ____ Ha = ___ ca
b) 80 a = _____ ca = _____ Ha
d) 0,6 Ha = ____ a = _____ c
8. Escribe los m2 que hay en:
a) 6 Hm2 57 Dam2 45 cm2
b) 34 a 7,4 Ha 8 ca
9. Un agricultor tiene una finca de 5 Ha. La planta de robles
que le cuestan a 2 € por árbol. Cada roble ocupa 25 m2. La
máquina que le hace los hoyos le cobra 800 €. El Ministerio de
agricultura le da una subvención por árboles de 1000 € por Ha.
¿Cuánto dinero ha tenido que poner el agricultor?
Recuerda
VOLÚMENES
Un volumen es un trozo del espacio limitado por todas partes. Medir un
volumen es averiguar la cantidad de algo que cabe dentro. Podría ser agua, lo
que nos dice que, a efectos de medir, un volumen y una capacidad es lo mismo.
Sabemos que la cantidad de agua no depende de la forma del envase que la
contiene.
1m
El metro cúbico, m3, es la unidad fundamental de volumen.
Es el volumen (el agua que cabe) de un cubo de 1 m de lado.
1m
1m
- 90 -
Recuerda
Múltiplos y divisores:
1 Dam = 10 m
1m
1m
1m
1 Dam3 = 1000 m3
1 Dam = 10 m
1 m3
1 Dam = 10 m
Observa que en 1 Dam3 caben 1000 m3: una primera capa de 100 m3 en el
“suelo” y otras 9 capas iguales, una sobre otra hasta el “techo”, que harán:
10 · 100 = 1000 m3
Razonando así tenemos:
Kilómetro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico
Metro cúbico
Decímetro cúbico
km3
1000000000 m3
Hm3
Dam3
m3
dm3
Centímetro cúbico
cm3
Milímetro cúbico
mm3
1000000 m3
1000 m3
1 m3
1
0,001 m3 =
m3
1000
1
0,000001 m3 =
m3
1000000
1
0,000000001 m3 =
m3
1000000000
:1000
Km3
Hm3
x1000
:1000
Dam3
x1000
:1000
m3
x1000
:1000
:1000
:1000
dm3
x1000
cm3
x1000
3
mm3
x1000
Relación con las medidas de capacidad vistas:m = kl , dm = l , cm3 = c·c = ml
- 91 -
3
Ejercicios
10. Expresa en dm3:
a)20 m3 =
d)480 cm3 =
g)35 cl =
b)0,04 m3 =
e)30 l =
h)2 Hl =
c)5000 cm3 =
f)42 dl =
i)3 c·c =
11. Expresa en cm3:
a) 4 dm3 =
c) 1 m3 =
b) 0,06 dm3 =
d) 0,005 m3 =
12. Expresa en litros:
a) 3,5 m3 =
c) 4,5 dm3 =
b) 0,02 m3 =
d) 2480 cm3 =
13. Haz los cambios de unidades siguientes:
a) 3 m3 =
c) 4578 dm3 =
e) 38,467 cm3 =
dm3
m3
m3
b) 8 Hm3 =
d) 0,45 m3 =
f) 0,006 m3 =
m3
dm3
dm3
14. Expresa en m3:
a) 5 Dam3 =
c) 3569 dm3 =
e) 0,34 Hm3 =
b) 456 Hm3 =
d) 80465 c·c =
f) 0,06 dm3 =
15. Ordena de menor a mayor:
980 m3
;
0,1 Dm3
;
20000 dm3
;
0,0004 Hm3
16. Realiza las siguientes operaciones:
a) (56 m3, 751 dm3, 408 cm3) - (2 m3, 79 cm3)
b) (4 Dam3, 902 dm3) · 6
c) (184 m3, 26 dm3) : 3
17. Una fuente mana 5 l por segundo. ¿Cuántos m3 de agua dará
en 10 días?
- 92 -
18. Al llenar con agua destilada a 4º C un dm3, usamos un
litro, y el peso del agua usada es 1 kg (hecho al nivel del
mar).
a) ¿Cuál es la densidad del agua?
b) Si la densidad del aluminio es 2,7 kg/l, ¿qué volumen
ocupan 100 kg de éste metal?
c) ¿Cuánto pesan 28 l de aceite, si la densidad es 0,82?
d) Sabiendo que la densidad del oro es 19,3 kg/l, ¿cuánto
ocupa 1 kg de oro?
Soluciones
TEMA8:
1.
a)400 ;
0,0004
b)37000 ;
0,037
c)2900 ;
0,000029
d)63000 ;
0,0000063
e)13800000 ;
13800000000000
2.
a)7500
b)500000
c)345700
d)0,0697 e)30
f)0,472
3.
a)0,004578
b)890000
c)481000000
d)0,00005
e)34000 f
)1
4.
5.
6.
8653 dm2 < 573 m2 < 6 Dam2 < 5,1 km2
51
22,5 €
7.
a)100 a = 10000 ca
b)8000 ca = 0,8 Ha
c)13,06 Ha = 130600 ca
d)60 a = 6000 ca
8.
9.
a)65700,0045
b)77408
Le devuelven 200 €
10.
a)20000
b)40
c)5
d)0,48
e)30
f)4,2
g)0,35
h)200
i)0,003
11.
12.
a)4000
b)60
c)1000000
d)5000
a)3500
b)20
c)4,5
d)2,48
13.
a)3000
b)8000000
c)4,578
d)450
e)0,000038467
f)6
14.
a)5000 b)456000000 c)3,569 d)0,080465 e)340000 f)0,00006
15.
2000 dm3 < 0,1 Dam3 < 0,0004 Hm3 < 980 m3
16.
17.
a)54 m3, 751 dm3, 329 cm3 = 54,751329 m3 b)24005,412 m3 c)61,342 m3
4320
18.
a)1 b)37,037 l c)22,96 kg aproximadamente d)0,051 l aproximadamente
- 93 -
TEMA 9: ÁNGULOS
Recuerda
Un ángulo es la región del plano
comprendida entre dos semirrectas con
origen común.
Lado A
O
Vértice
Ángulo AOB
Lado B
Si tomamos dos semirrectas perpendiculares, y el ángulo
que forman lo dividimos en 90 partes iguales, obtenemos
ángulos pequeñitos.
90
O
La medida de cada uno de ellos es la unidad que usamos para medir ángulos y
la llamamos grado, por lo que el ángulo del dibujo mide 90 grados, que
escribiremos 90º.
Para ángulos pequeños se usan las medidas:
minuto 1º = 60 minutos = 60’
segundo 1’ = 60 segundos = 60’’
1º = 3600’’
Para medir ángulos usamos el transportador de
ángulos o semicírculo graduado.
50º
90º
180º
Para medidas más precisas, los arquitectos e
ingenieros usan el goniómetro y el teodolito.
0º
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes
iguales. Para trazarla se procede así:
Para trazarla se apoya el compás en el
vértice del ángulo y se marcan dos
puntos en los lados que lo forman. Con
el compás en esos puntos se localiza el
punto P que determina la bisectriz
buscada.
- 94 -
Compás
(1)
P
Compás (2)
Ejercicios
1. Expresa en minutos:
a) Un grado y medio
b) 3º 20’
c) 900’’
d) 2820’’
2. Expresa en segundos:
a) 3º
b) 10’
c) 8’ 25’’
d) 1º 5’ 15’’
3. Expresa en grados:
a) 18000’’
b) 600’
c) 603’
d) 180090’’
4. Expresa en grados, minutos y segundos:
a) 5289’’
b) 7310’’
- 95 -
Ejercicios
5. Realiza las siguientes operaciones con ángulos:
a) 15º 26’ 50’’+ 12º 8’ 35’’
b) 35º 42’ 50’’ + 12º 17’ 10’’
c) 27º 30’+ 12º 53’
d) 13º 25’ 40’’ + 1º 34’ 20’’
e) 45º 25’ 16’’- 13º 12’ 39’’ f) 14º 20’ 35’’ - 8º 22’ 15’’
g) 36º 53’’- 27º 4’
h) (46º 47’ 53’’ ) · 7
i) (12º 51’ 36’’ ) · 3
j) (35’ 25’’ ) · 6
k) (57º 43’ 44’’ ) : 4
l) (97º 28’ 45’’ ) : 5
6. Haz ensayos con el transportador para medir y dibujar
ángulos.
- 96 -
Recuerda
Clasificación de ángulos:
Agudo
< 90º
Recto
= 90º
Obtuso
> 90º
Llano
= 180º
Completo
= 180º
Convexo
0º< < 180º
Cóncavo
180º < < 360º
Ángulos complementarios: Dos ángulos que suman 90º.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos que suman 180º.
Ángulos opuestos por el vértice:
Vértice común y los lados de uno son
prolongación de los del otro. Miden lo mismo.
Ejercicios
7. Halla el ángulo complementario de:
a) 36º
b) 89º
c) 40º 30’
8. Halla el ángulo suplementario de:
a) 36º
b) 170º
- 97 -
c) 100º 30’
Ejercicios
9. Halla el ángulo complementario y el suplementario de:
a) 45º
b) 30º
c) 25º
d) 60º
e) 1’’
f) 2’
10. Clasifica los siguientes ángulos:
a) 25º 13’ 12’’ _______________________________________
b) 78º 13’ 14’’ _______________________________________
c) 270º _______________________________________________
Recuerda
Sabemos de cursos anteriores que un polígono es una porción del plano
limitada por lados rectos. Cuando todos los lados de un polígono son iguales,
se dice polígono regular.
Según el número de lados reciben nombres:
3 lados: Triángulo
Equilátero
(3 lados iguales)
Isósceles
(2 lados iguales)
90º
Triángulo rectángulo
(uno de los ángulos
mide 90º)
- 98 -
Escaleno
(3 lados distintos)
Recuerda
4 lados: Cuadrilátero
Cuadrado: 4 lados iguales y 4 ángulos rectos
Rombo: 4 lados iguales y 2 medidas de ángulos
Rectángulo: 4 ángulos rectos y 2 medidas de lados
Romboide: 2 medidas de ángulos y 2 medidas de
lados
Trapecio isósceles: lo que queda al cortar un
triángulo isósceles, paralelamente a la base
Trapecio rectángulo: lo que queda al cortar un
triángulo rectángulo paralelamente a la base.
5 lados: Pentágono
Pentágono regular: 5 lados y 5 ángulos miden lo
mismo
6 lados: Hexágono
Hexágono regular: 6 lados y 6 ángulos miden lo
mismo.
- 99 -
Ejercicios
11. Fíjate en los dibujos y contesta, sin saltarte ningún
apartado.
a)
b)
c)
La suma de los ángulos de un rectángulo es:
La suma de los ángulos de un romboide es:
La suma de los ángulos de un triángulo es:
d)
La suma de los ángulos de un cuadrilátero
es:
e)
La suma de los ángulos de un pentágono es :
f)
La suma de los ángulos de un hexágono es:
12. Halla el ángulo que falta en las figuras siguientes:
a)
60º
30º
75º
b)
25º
c)
160º
45º
35º
13. Un pentágono regular contiene 5 triángulos isósceles.
Dibújalos y halla la medida de los ángulos de cada uno.
14. Un hexágono regular contiene 6 triángulos isósceles.
Dibújalos y halla la medida de los ángulos de cada uno.
- 100 -
Ejercicios
15. En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 62º 27’ 21’’.
¿Cuánto miden los otros dos ángulos?
16. En un rombo, un ángulo mide 124º 32’ 54’’. Halla los otros
tres ángulos.
17. En un triángulo, un ángulo mide 32º 35’ 47’’, y otro el
triple del anterior. Halla los dos que desconoces.
18. En un cuadrilátero de vértices A, B, C y D, el ángulo A
mide 79º 12’ 33’’, el ángulo B mide 111º 45’ 41’’ y el C mide
93º 13’ 55’’. ¿Cuánto mide el ángulo D?
Soluciones
TEMA 9:
1.
2.
3.
4.
a)90 b)200
a)10800 b)600
a)5 b)10 c)10,05
a)1º28’9’’
c)15 d)47
c)505
d)3915
d)50,025
b)2º1’50’’
5.
a)27º35’25’’ b)48º c)40º23’ d)15º e)32º12’37’’ f)5º58’20’’ g)8º56’53’’
h)327º35’11’’ i)38º34’48’’ j)3º32’30’’ k)14º25’56’’ l)19º29’45’’
7.
8.
a)54º b)1º c)49º30’
a)144º b)10º c)79º30’
9.
a)C=45º,S=135º b)C=60º,S=150º c)C=65º,S=155º d)C=30º,S=120º
e)C=89º59’59’’,S=179º59’59’’
f)C=89º58’,S=179º58’
10.
11.
a)agudo y cóncavo
a)360º b)360º
c)180º
b)agudo y cóncavo
c)convexo
d)360º
e)540º f)720º
12.
13.
14.
15.
a)90º b)80º c)120º
72º y 54º
60º
90º y 27º 32’ 39’’
16.
17.
18.
124º 32’ 54’’ y 55º 27’ 6’’
97º 47’ 21’’ y 49º 36’ 52’’
75º 47’ 51’’
- 101 -
TEMA 10: TRIÁNGULOS
Recuerda
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de 3 lados.
CLASES DE TRIÁNGULOS
Clasificación:
Según el número de lados:
Equilátero
(3 lados iguales)
Isósceles
(2 lados iguales)
Escaleno
(3 lados distintos)
Según los ángulos:
90º
Acutángulo
(3 ángulos agudos)
Triángulo rectángulo
(uno de los ángulos
mide 90º )
Obtusángulo
(1 ángulo obtuso)
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
Ejercicios
1. Contesta razonadamente:
a) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser equilátero?
b) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser isósceles?
c) ¿Puede, un triángulo rectángulo, ser escaleno?
2. Tenemos tres listones con longitudes, las que se dan, y
queremos formar con ellos un triángulo. ¿En qué casos es
posible y en cuales no? Razona la respuesta.
a) 10, 8, 7
b) 10, 3, 5
c) 10, 5, 5
- 102 -
d) 10, 6, 6
Ejercicios
3. Si sabemos dos lados de un triángulo y el ángulo que forman
esos dos lados, ¿podemos construir el triángulo? Piénsalo con
lados 3 y 5, y ángulo de 30º por ejemplo, y di cómo lo harías.
( Sólo a criterio del profesor)
4. Si sabemos dos ángulos y el lado común a ambos, de un
triángulo, ¿podemos construirlo? Piénsalo con el lado 5 y los
ángulos 35º y 70º por ejemplo, y di cómo lo harías.
( Sólo a criterio del profesor)
5. Si sabemos los lados y un ángulo que no es el que forman,
de un triángulo, ¿podemos construirlo? Piénsalo con los lados
3 y 4, y el ángulo de 60º, por ejemplo, y di cómo lo harías.
( Sólo a criterio del profesor)
Recuerda
PERÍMETRO Y ÁREA
El perímetro del triángulo, como el de cualquier polígono, es la medida de su
contorno, es decir, la suma de las longitudes de sus lados:
c
a
p = a+b+c
b
El área:
El área más fácil de calcular es la del rectángulo.
Área = 3·2 = 6 m2
2m
3m
Con decimales también funciona:
0,5 m
0,25 m2
0,5 m
0,5
0,5
0,5
1
1
1
0,5
1
1
1
0,5
0,25
3,5·2,5 = 8,75
1+1+1+1+1+1+0,5+0,5+0,5+0,5+0,5+0,25 = 8,75
- 103 -
Recuerda
Luego el área del rectángulo es:
Altura h
A=b·h
Base b
El área de un romboide es la misma:
Altura h
h
Base b
b
Todo triángulo es medio romboide:
Por lo tanto, el área de un triángulo es:
b ·h
A=
siendo b el lado horizontal y h la longitud desde el vértice que no
2
está en b hasta la horizontal b.
h
h
h
b
b
b
Ejercicios
6. Halla el área de los triángulos:
a)
b)
h
7 cm
c)
9 cm
19 cm
12 cm
3 cm
13 cm
7. Calcula el área de un triángulo sabiendo que su base mide
7,2 cm y su altura 59 mm.
- 104 -
Ejercicios
8. Los lados de un triángulo miden: 6,4 cm, 43 mm y 0,9 dm.
Halla su perímetro.
9. Un triángulo isósceles tiene 14,25 cm de perímetro. Si su
lado desigual mide 6,10 cm ¿Cuánto miden los otros dos lados?
10. Los lados más cortos de un triángulo rectángulo miden 6 y
10 cm. Halla su área.
11. La altura de un triángulo mide el doble que su base. Si
ésta mide 18 cm, ¿cuántos m2 tiene su área?
12. Halla la base de un triángulo del que se conoce el área,
36 m2 y su altura, 900 cm.
13. Queremos ponerle valla a un jardín triangular, cuyos lados
miden 60 m, 45 m y 33 m respectivamente, colocando los postes,
para sostenerla, a 3 m de distancia, entre uno y otro.
¿Cuántos m de valla, y cuántos postes necesitamos?
- 105 -
Recuerda
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el lado más largo se llama hipotenusa, y los lados
más cortos se llaman catetos.
Veamos qué ocurre en un triángulo rectángulo:
Área h2
h
h
b
a
b
Área b2
a
Área a2
a
b
b
a b
2
a b
2
a
h2
a
a b
2
a b
2
b
a
b
Área del cuadrado grande: (a+b)·(a+b) = a·a+a·b+b·a+b·b = a2+b2+2·a·b
Por trozos: h2+4·
ab
2
= h2+2ab
Igualando: h2+2ab=a2+b2+2ab
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa:
h
b
a2+b2 = h2
a
- 106 -
Ejercicios
14. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm
¿Cuánto mide la hipotenusa?
15. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 15 m y
uno de los catetos 12 m, halla el otro cateto.
16. Halla la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado (recuerda
que la diagonal de un polígono es la recta que une vértices no
consecutivos).
17. Halla la diagonal de un cuadrado de 25 cm2 de área.
18. Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
- 107 -
Ejercicios
19. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
20. La base de un rectángulo mide 6 cm y su altura 3 cm. Halla
su diagonal.
21. Halla la longitud del lado de un rombo, si su diagonal
mayor mide 20 cm y la menor 16 cm.
22. Los lados de un triángulo miden 5 cm, 6 cm y 8 cm ¿Es
rectángulo?
23. Halla h en la figura:
6 m
8 m
h
12 m
6 m
- 108 -
Ejercicios
24. Halla la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm ( la
apotema es la línea que une el centro de la figura con el
punto medio del lado).
Soluciones
TEMA 10:
1.
a)No. Equilátero tiene los ángulos de 60º.
b)Sí x
c)Sí
x
2.
Posible si la suma de 2 lados supera al tercero. a) Sí b)No c)No d)Sí
3.
4.
5.
Se complica ¿verdad? Para que veas que no se han
Sí.
Sí.
agotado todas las posibilidades. Ver en clase
Ver en clase Ver en clase
6.
7.
8.
9.
a)85,5 cm2 b)10,5 cm2 c)78 cm2 21,24 cm2
19,7 cm
4,075 cm cada uno
10.
11.
12.
13.
30 cm2
0,0324
8 m
Valla 138 m, postes 46.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
10 cm
9 m
aproximadamente 7,07 cm
50
48 6,9 cm 4 48 27,6 cm2
20.
45 6,7 cm
21.
146 12,8 cm
22.
No
23.
- 109 -
24.
32 5,6 m
27 5,18 cm
TEMA 11: CUADRILÁTEROS
Recuerda
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados. A la línea que une dos vértices no
consecutivos se la llama diagonal.
Diagonales
La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es 360º.
Clasificación:
1. Paralelogramos: lados paralelos dos a dos.
a
1.1. Cuadrado:
90º 90º
a
a
4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
90º 90º
a
1.2. Rectángulo:
Lados iguales dos a dos y 4 ángulos rectos.
a
1.3. Rombo:
4 lados iguales y ángulos iguales dos a dos.
b
90º
90º
90º
b
90º
a
1.4. Romboide:
Lados iguales dos a dos y ángulos iguales dos a dos.
2. Trapecios: un par de lados paralelos.
2.1. Trapecio isósceles.
90º
2.2. Trapecio rectángulo.
90º
2.3. Trapecio ( en general). b
a
c
3. Trapezoide: ningún par de lados paralelos.
- 110 -
d
b
a
c
d
Ejercicios
1. ¿En qué cuadrilátero ocurre que
perpendiculares? ¿E iguales en medida?
las
diagonales
son
140º
C
A
2. Halla los ángulos que faltan en el rombo:
B
3. ¿Cuántos grados suman entre dos ángulos consecutivos de un
rombo? ¿Y los de un romboide?
Recuerda
PERÍMETROS Y ÁREAS
El perímetro de cualquier polígono es la suma de las longitudes de los lados.
Áreas:
Altura h
1. Rectángulo: b·h (base por altura)
Base b
2. Cuadrado: a·a = a2 (lado por lado)
a
a
3. Rombo:
d
d
o también
D
D
DD
DD mayor · diagonal menor
D ·d Diagonal
DD
2
2
DD
DD
4. Romboide: a·b D
D (base por altura)
DD
DDAltura h
h
DD
Base b
b
DD
D
5. Trapecio:
a
a Db
2
·c
b
c
b
a
d/2
D/2
d / 2 ·D / 2
4·
Base mayor basemenor
· altura
2
2
D ·d
2
Si juntamos dos veces el mismo trapecio, obtenemos
un romboide de base (a+b) y altura c. Nuestro
trapecio es la mitad y su área, por tanto, también.
6. Trapezoide: Descomponer en triángulos.
- 111 -
Ejercicios
4. Halla el perímetro y el área de:
a) Un rectángulo de 9 cm de b) Un cuadrado de 7 cm de lado.
base y 4 cm de altura
5. Halla el lado de un cuadrado del que se sabe:
a) Su área es 64 cm2.
b) Su perímetro es 36 m.
6. Halla el lado que falta de un rectángulo del que se conoce
un lado de 3 cm y:
a) tiene 24 cm2 de área.
b) tiene 14 cm. de perímetro
7. Halla el área y el perímetro de la figura:
12 cm
19 cm
3 cm
7 cm
8. Halla el área del romboide:
4 cm
6 cm
- 112 -
Ejercicios
9. Halla el perímetro del romboide:
15 cm
5 cm
10. Halla el área de la figura:
12 cm
9 cm
12 cm
30 cm
15 cm
9 cm
11. Halla el área de los polígonos regulares:
a)
b)
4,5 cm
6,4 cm
4,8 cm
4,5 cm
2 cm 2 cm
12. Halla el perímetro y el área de las figuras siguientes:
a) Cuadrado
b) Rectángulo
3 m
3 m
5 m
c)
Rombo
d) Rombo
5 m
3 m
8 m
4 m
- 113 -
Ejercicios
13. Halla el perímetro y el área de las figuras siguientes:
a) Romboide
7 m
b) Romboide
120 cm
4 m
30 cm
50 cm
10 m
c) Trapecio isósceles
d) Trapecio rectángulo
5 m
2 m
3 m
4 m
4 m
8 m
8 m
14. De una cartulina de 50x40 cm cortamos dos cuadrados de 15
cm de lado, y un rectángulo de 20 cm de base y 15 cm de altura
¿Cuánta cartulina hemos cortado? ¿Cuánta nos queda?
15. Una finca de forma rectangular, que tiene de largo 200 m y
de ancho 80 m, se siembra de patatas. Sabemos que cada 500 m2
producen 2 Tm. ¿Cuántos Kg produce la finca?
16. Queremos poner el suelo de una habitación de 3,5x4,25 m de
parqué. Las tablas de parqué son de forma rectangular y miden
5x20 cm ¿Cuántas tablas necesitamos?
- 114 -
Ejercicios
17. Vamos introduciendo un cuadrado dentro de otro, tal y como
indica la figura. Si el primer cuadrado tiene un área de 1 m 2,
¿cuál es la suma de las áreas de los 5 primeros cuadrados del
proceso?
1 m
1 m
18. Halla el área de las zonas rayadas:
a)
b)
1 m
1 m
1 m
1 m
Soluciones
TEMA 11:
1.
2.
Perpendiculares: cuadrado y rombo.
A=40º=C; B=140º
Iguales en medida: cuadrado y rectángulo.
3.
4.
En ambos casos 180º.
a)P=26 cm; A = 36 cm2 b)P=28 cm; A= 49 cm2
5.
6.
7.
8.
2
a)8 cm b)9 m
a)8 cm b)4 cm
P=68 cm; A=249 cm
24 cm2
9.
10.
11.
40 cm
468 cm2
a)144 cm2 b)57,6 cm2
12.
a)P=12 cm; A=9 cm2 b)P=16 m; A=15 m2 c)P=20 cm; A=24 cm2 d)P=20 cm; A=24 cm2
13.
a)P=30 m; A=40 m2 b)P=400 cm; A=6000 cm2 c)P=20 m; A=20 m2 d)P=22 m; A=26m2
14.
15.
16.
Cortada 750 cm2, queda 1250 cm2
64000 kg
1488
17.
18.
31/16= 1,9375m2
a)1/2=0,5 m2 b)1/4=0,25 m2
- 115 -
TEMA 12: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Recuerda
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están
todos, a la misma distancia de otro interior, llamado centro.
Radio: Segmento que une el centro con un
punto cualquiera. Su longitud es la
distancia citada.
Cuerda
Radio
Arco
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la
circunferencia. A lo que pasa por el centro,
se le llama diámetro.
Centro
Diámetro
Arco:
Parte
de
la
circunferencia
comprendida entre dos puntos de la misma.
Si es igual a media circunferencia, se llama
semicircunferencia.
Posición relativa recta-circunferencia:
Recta Secante
Recta secante: Corta en dos puntos.
Recta tangente: Un punto común con
la circunferencia.
Exterior: Ningún punto en común con
la circunferencia.
Recta Tangente
Recta Exterior
- 116 -
Recuerda
Posición relativa de dos circunferencias:
Secantes
Exteriores
Tangentes
Exteriores
Interiores
Tangentes
interiores
Concéntricas
(mismo centro)
Si tienes una circunferencia y su diámetro, y cortas una cuerda de longitud,
ese diámetro, verás que la puedes poner sobre la circunferencia, tres veces y
un poco más. Esto sucede para todas las circunferencias.
Dicho de otra forma: si dividimos la longitud L, de una circunferencia, entre
su diámetro d, obtenemos un número constante, algo mayor que 3, al que
llamamos “pi”, y se escribe :
L
= = 3,141592654…
d
Este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas, y cuantas más
tomemos, más precisos seremos. Nos conformamos aquí con 3,14.
Según esto, la longitud L, de una circunferencia, conocido su radio R, es:
L = 2· ·R
Y la longitud de un arco de circunferencia podemos obtenerla mediante regla
de tres, pues el arco y el ángulo que determina, son magnitudes
proporcionales:
L ___________ 360º
x ___________
x
- 117 -
Ejercicios
1. Halla la longitud de la circunferencia de:
a) Radio 5 cm.
b) Diámetro 6 cm.
c) Radio 3,2 cm.
d) Diámetro 6,4 cm.
2. La rueda de una bicicleta tiene un
¿Cuántas vueltas da, cuando recorre 1 km?
diámetro
de
50
cm
3. Calcula la longitud del arco de circunferencia de radio 4,8
metros, correspondiente a un ángulo de 60º.
4. El diámetro de una circunferencia mide 43,56 m. halla la
longitud del arco correspondiente a 80º.
5. Calcula mentalmente:
a) Si una circunferencia mide 12 m, ¿cuánto mide el arco
correspondiente a 90º?
b) ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 8 m de
diámetro?
- 118 -
Recuerda
CÍRCULO
El círculo es la circunferencia y la parte del plano que contiene.
Segmento
Circular
Corona
Circular
Concéntricas
(mismo centro)
Sector
Circular
El área del círculo se obtiene así: A = ·R2 ( en la página siguiente hay una
forma de ver por qué es así).
El área de un sector circular se puede obtener por regla de tres, pues el área
y el ángulo comprendido, son magnitudes proporcionales:
A círculo __________ 360º
A sector __________
El área de un segmento circular, la puedes obtener, restando el área de un
vector y el área de un triángulo (piensa cómo).
El área de una corona circular, puedes hallarla, restando las áreas de las dos
circunferencias que la forman.
- 119 -
Amplía
El área del círculo. Veamos las de los polígonos regulares:
4
h
l
4·l ·h P ·h
2
2
2
P = Perímetro
Acuadrado = 4·
h
l
5
h l
Apentágono = 5·
h
l
l
6
h
Ahexágono = 6·
h
l ·h
l ·h
2
l ·h
2
5·l ·h P ·h
2
2
6·l ·h P ·h
2
2
16·l ·h P ·h
2
2
l
l
h
16
Apolígono regular 16 lados = 16·
h
l ·h
2
l
Si vamos aumentando el número de lados, cada vez nos acercamos más a la
circunferencia, y su área será:
Círculo =
P ·h
2
2· ·R ·R
·R 2
2
Ejercicios
6. Halla el área de un círculo de radio 2,4 cm.
- 120 -
Ejercicios
7. Halla el área de un círculo de diámetro 4,8 m.
8. Halla el área de las zonas rayadas:
a)
b)
240º
12
20
20
concéntricas
c)
d)
270º
270º
20
20
9. Halla el área de un sector circular de una circunferencia
de radio 2,5 cm y amplitud 150º.
10. Halla el área del segmento circular de la figura:
5 m
60º
- 121 -
Ejercicios
11. Un chapista tiene que cortar una chapa en forma de sector
circular, con una amplitud de 64º y radio 134 mm ¿Cuántos cm 2
tiene la chapa?
12. Queremos hacer un jardín en forma de corona circular. El
radio de la circunferencia mayor debe medir 9,4 m, y el de la
menor, la mitad. Halla el área del jardín.
13. Con un tablero cuadrado de 2 m de lado, queremos hacer el
mayor círculo posible. Halla el área del tablero desechado.
14. En una circunferencia de 7 cm de radio, inscribimos un
cuadrado. Halla el área comprendida entre un lado del
cuadrado, y el arco que determina ( un polígono inscrito en
una circunferencia es aquel que tiene sus vértices sobre
ella).
- 122 -
Ejercicios
15. En una circunferencia de 7 cm de radio, circunscribimos un
cuadrado. Halla el área de la región del cuadrado que no
pertenece a la circunferencia (un polígono circunscrito a una
circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la
circunferencia).
16. Busca el nombre de los polígonos de 3 a 10 lados.
Soluciones
TEMA 12:
1.
2.
5.
a)31,4 cm b)18,84 cm c)20,096 cm
3.
636,94…
5,024 m
6.
a)3 m
b)4 m
18,0864 cm2
8.
b) 418,6 u2
a)803,84 u2
9.
c)314 u2
10.
8,177..... cm2
11.
13.
d)20,096 cm
4.
30,3952 m
7.
18,0864 m2
d)114 u2
2,258 m2
12.
100,234... cm2
14.
0,86 m2
208,0878 m2
15.
13,965 cm2
42,14 cm2
16.
3=Triángulo;
4=Cuadrilátero;
5=Pentágono;
6=Hexágono
7=Heptágono;
8=Octógono;
9=Eneágono;
10=Decágono
- 123 -
TEMA 13: GRÁFICAS
Recuerda
EJES DE COORDENADAS
Para poder trabajar con puntos en un plano se ha ideado el siguiente sistema:
Segundo
cuadrante
Primer
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
se ha elegido un punto de partida ( O = origen de
coordenadas), y sobre él, se han trazado dos rectas
perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas.
Horizontal X Eje de abscisas.
Vertical Y Eje de ordenadas
Así, cualquier punto del plano, lo podemos representar mediante una pareja de
números (par ordenado) (Posición horizontal, Posición vertical)
El primer número nos dice si el punto está a la derecha o a la izquierda de O. Para
indicar que está a la derecha, lo pondremos positivo, y para indicar que está a la
izquierda, negativo.
El segundo número nos dice si el punto está por arriba o por debajo de O. Para
indicar que está por arriba lo ponemos positivo, y para indicar que está por abajo,
negativo.
Esta pareja de números recibe el nombre de coordenadas del punto.
Por ejemplo, observa en la gráfica, los puntos siguientes, sabiendo que cada
cuadradito es una unidad:
A
A = (2,5)
B = (-4,3)
C = (-6,-4)
B
D = (3,-7)
C
D
- 124 -
Ejercicios
1. Representa los siguientes puntos:
A=(3,2)
C=(0,0)
E=(1,2)
G=(-4,3)
I=(-2,-2)
X
B=(5,-1)
D=(-2,4)
F=(2,0)
H=(0,3)
J=(3,-6)
O
X
2. Sitúa los siguientes puntos en los ejes de coordenadas:
A=(4,2)
C=(-3,-4)
E=(0,0)
G=(5,0)
I=(-2,3)
K=(0,3)
M=(0,-2)
O=(0,-4)
B=(-1,3)
D=(-4,0)
F=(2,-1)
H=(2,0)
J=(-2,-1)
L=(-3,-3)
N=(1,1)
P=(-3,2)
Y
O
X
3. Escribe las coordenadas de los puntos que siguen:
E
A=
C=
E=
G=
I=
B
B=
D=
F=
H=
F
A
D
H
4. Señala en qué eje se encuentran
pertenecen los siguientes puntos:
a)(2,4)
d)(-1,-1)
g)(0,2)
j)(0,-4)
I
b)(3,-2)
e)(-2,-4)
h)(-2,2)
k)(3,3)
o
G
a
C
qué
cuadrante
c)(-4,0)
f)(0,0)
i)(3,-1)
l)(2,4)
5. Dibuja un cuadrado de lado 8 unidades que tenga el centro en el
origen de coordenadas, y los lados paralelos a los ejes de
coordenadas. Halla las coordenadas de sus vértices.
6. Dibuja una circunferencia que tenga el centro en el origen
de coordenadas, y de radio 5 unidades. Halla las coordenadas
de los puntos en que corta a los ejes.
- 125 -
7. Representa en unos
siguientes personas:
a)
b)
c)
d)
Javier
Begoña
Susana
Miguel
(12
(13
(11
(10
años,
años,
años,
años,
ejes
1´60
1´65
1´50
1´45
m
m
m
m
coordenados,
los
datos
de
las
altura)
altura)
altura)
altura)
Recuerda
FUNCIÓN
Una función es una relación entre dos cantidades de dos magnitudes. A la
primera cantidad se le llama variable independiente, y a la segunda, variable
dependiente (depende de la primera de alguna forma).
Por ejemplo, si 1 kg de naranjas cuesta 0,5 €, lo que paguemos por una
cantidad de naranjas dependerá del número de kg que compremos:
Núm kg
1
2
10
1000
x
Precio (€)
0,5
1
5
500
0,5 x
Aquí, la variable independiente (se suele representar por x) sería el
peso, y la dependiente (representada normalmente por y) el precio.
Una función puede venir dada de muchas formas. Con nuestro ejemplo:
Verbalmente: El precio de las naranjas que compremos sabiendo que
1 kg cuesta 0,5 €.
Por una tabla:
Núm kg
Precio (€)
1
0,5
1,5
0,75
2
1
3
1,5
…
…
Por una fórmula: y=0,5 · x
Por una gráfica:
3
2
1
1 2 3 4
La función de nuestro ejemplo es continua, pues se puede dibujar su gráfica,
de un trazo. A veces no se puede, y se habla de función discreta. Por ejemplo,
si en lugar de naranjas al peso, compramos coches, no tiene sentido que x
tome valores decimales.
- 126 -
Ejercicios
8. Llenamos una piscina de agua abriendo un grifo. Se pide:
a) ¿Qué magnitudes relacionamos? _______________________
b) ¿Cuál es la unidad de cada una de las magnitudes?
________________________________________________________
c) ¿Cuál es la variable independiente? _________________
d) ¿Cuál es la variable dependiente? ___________________
9. El pago del aparcamiento de un coche en un parking viene
dado por la tabla de valores:
Horas
€
1
1,5
2
3
3
4,5
4
5,5
5
6,5
6
7,5
De más de 6 a 24
9
Contesta a las mismas preguntas que en el ejercicio 8.
a) _____________________________________________________
b) _____________________________________________________
c) _____________________________________________________
d) _____________________________________________________
10. Dada la tabla:
Kg
€
1
0,5
2
1
3
1,5
4
2
5
2,5
6
3
Contesta a las mismas preguntas que en el ejercicio 8.
a) _____________________________________________________
b) _____________________________________________________
c) _____________________________________________________
d) _____________________________________________________
11. El área A de un cuadrado, depende del lado l del cuadrado.
Escribe una fórmula que exprese esa relación de dependencia y
contesta a las preguntas del ejercicio 8.
a) _____________________________________________________
b) _____________________________________________________
c) _____________________________________________________
d) _____________________________________________________
- 127 -
Ejercicios
12. Representa gráficamente las funciones de los cuatro
ejercicios anteriores.
1) (ejercicio 8)
2) (ejercicio 9)
3) (ejercicio 10)
d) (ejercicio 11)
13. En una tienda, las motos que se venden durante una semana
vienen dadas por la tabla:
Días
Núm
motos
L
2
M
5
Mi
6
J
3
V
8
a) Representa gráficamente la función.
b) ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica? ___________
¿Por qué? _______________________________________________
14. El perímetro de un triángulo equilátero depende de la
longitud de su lado. Se pide:
a) Tabla de valores que nos dé el perímetro P en metros, en
función del lado l en metros, para l=0,1,2,3,4.
b) Representación gráfica.
c) ¿Tiene sentido unir los puntos de la tabla? ____________
¿Por qué? ______________________________________________
d) Fórmula que relaciona P y l.
- 128 -
Ejercicios
15. Por revelar un carrete de fotos nos cobran 2 €, y 0,2 €
más por cada foto. Se pide:
a) Tabla de valores del precio, para un carrete de 12
fotos, según el número de ellas que queramos revelar.
b) Representación gráfica.
c) ¿Se pueden unir los puntos? ___________________________
¿Por qué? _____________________________________________
d) Fórmula que relaciona el precio y el número de fotos
reveladas.
16. Un kg de naranjas cuesta 0,6 €. Se pide:
a) La gráfica que nos dé el coste en euros de una compra,
en función del número de kilos que compremos.
b) La fórmula que relaciona el coste
función del número de kg, x comprados.
C
en
euros,
en
c) ¿Tiene sentido unir los puntos? ¿Por qué?
17. La gráfica describe un paseo por el campo. En el eje de
abscisas está el tiempo en horas, y en el de ordenadas, la
distancia hasta el campamento en km. Describe con palabras el
paseo.
Y
X
- 129 -
Ejercicios
18. Tenemos un grifo que gotea de forma uniforme todo el
tiempo, y con él llenamos las 4 botellas que dibujamos a
continuación. Si todas las botellas tienen la misma capacidad,
pero nos fijamos en la altura que alcanza el agua en la
botella a medida que pasa el tiempo, obtenemos las gráficas de
la derecha. Empareja cada botella con su gráfica, de forma
razonada.
Altura
a
b
c
d
D
C
B
A
Tiempo
Soluciones
TEMA 13:
1.
Corregir en clase
2.
3.
Corregir en clase
A=(1,1)
B=(-1,4)
C=(3,-3)
D=(5,-1)
E=(2,7)
F=(-4,0)
G=(0,-5)
H=(-7,-6)
I=(7,2)
5.
(4,4),
(-4,4),
7.
Altura (m)
1,60
1,40
ca
d
10
(-4,-4),
8.
b
Edad
12
(4,-4)
6.
(0,5),
4.
a)1ºcuadrante
b)4º cuadrante
c)Eje abscisas
d)3º cuadrante
e)3º cuadrante
f)Origen coordenadas
g)Eje ordenadas
h)2º cuadrante
i)4º cuadrante
j)Eje ordenadas
k)1º cuadrante
l)1º cuadrante.
(0,-5), (5,0),
9.
a)Tiempo y capacidad
b)Tiempo en horas, o min o seg,
y capacidad en l o m3
c)Tiempo
d)Capacidad
10.
(-5,0)
a)Tiempo y precio
b)Horas y euros,
respectivamente
c)Tiempo
d)Precio
11.
a)Peso y precio
b)Kg y € respectivamente
c)Peso
d)precio
Fórmula=l2
a)Longitud y área
b)Longitud=m, o múltiplos o divisores.
Área=m2, o múltiplos o divisores
c)Longitud
d)Área
- 130 -
Soluciones
12.
1)Faltan datos
2)
3)
Precio(€)
4)
Área(cm2)
Precio(€)
Capacidad
Tiempo
2
1
2
1
2
1
1 2
t (horas)
1 2
13.
a)
Peso (kg)
1 2
Long(cm)
b)
Nº Motos
No.
No se puede hablar de trozos de moto.
2
1
Días
L M Mi
14.
a)
l
P
b)
0
0
1
3
2
6
3
9
c)
P(m)
4
12
Si.
P=3·l
Tienen sentido lados
y áreas decimales.
2
1
1 2
15.
a)
nº
P
b)
0
2
1
2,2
2
2,4
3
2,6
d)
4
2,8
l(m)
5
3
Precio(€)
4
6
3,2
c)
7
3,4
8
3,6
9
3,8
10
11
4
4,2
d)
No.
3
P=2+0,2x
No se pueden
medias fotos
2
12
4,4
revelar
1
Nºfotos
1 2
16.
a)
Coste
2
b) C=0,6x
1
c) Si. Tienen sentido las fracciones de kg y de €
Nº Kg
17.
Durante las 2 primeras horas, nos alejamos del campamento hasta 5 km.
Durante las 4 horas siguientes, estamos parados.
Durante la última hora, volvemos al campamento.
18.
Viendo la velocidad de llenado que es la misma para todos,
y la forma de la botella: A=a, D=b, C=c, B=d
- 131 -
- 132 -
- 133 -
TEMA 14: FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA
Ejercicios
1. La tabla que sigue representa el tiempo (en años) y la altura
alcanzada (en metros) de un pino.
Tiempo
Altura
0
0
1
0,3
3
0,9
Encuentra la fórmula que nos da la
tiempo, y represéntala gráficamente.
5
1,5
altura
en
6
1,8
función
del
2. Un tren lleva una velocidad constante de 100 km por hora.
Halla la fórmula que nos da el espacio recorrido (en km) en
función del tiempo transcurrido (en horas) y represéntala
gráficamente.
3. Por cada 10 minutos andando, una persona pierde 20
calorías. Encuentra la fórmula que nos da el número de
calorías perdidas en función del número de minutos andados, y
represéntala gráficamente.
- 134 -
Ejercicios
4. Por cada viaje en una noria de feria, ésta da 10 vueltas,
empleando 4 minutos. Escribe la fórmula que nos da lo que se
pide, y representa gráficamente.
a) Número de vueltas
en
función del número de viajes.
b) Tiempo en función
número de viajes.
c) Tiempo en función del número de
vueltas.
d)
Número
de
vueltas
función del tiempo.
del
en
5. Cierto producto que compramos tiene un descuento del 20 %.
Halla la fórmula que nos dice lo que pagamos (y) en función de
lo que cuesta el producto (x), y represéntala gráficamente.
6. La mayoría de los productos vienen gravados con un 16 % de
IVA. Halla la fórmula que nos dice lo que pagamos (y) en
función del valor (x) de un producto, y represéntala
gráficamente.
- 135 -
Recuerda
Observa que en todos los ejercicios de la página anterior ocurría lo mismo:
Verbalmente, al duplicar, triplicar, etc. la variable independiente, le
sucede lo mismo a la dependiente.
En la tabla de valores, al dividir los valores de la variable dependiente
entre los de la independiente, nos sale siempre el mismo número m.
La gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
La fórmula es del tipo y=m·x.
Las funciones de este tipo se llaman lineales o de proporcionalidad directa.
Relacionan magnitudes directamente proporcionales, y al multiplicar la
variable independiente por un número, la dependiente queda multiplicada por
el mismo número.
Ejercicios
7. Un submarino está a 2000 m de profundidad, y dispara
verticalmente un proyectil a velocidad de 1000 m por minuto,
que a las 0 h sale del agua. Halla la fórmula que da la altura
del proyectil en función del tiempo transcurrido desde el
lanzamiento, y represéntala gráficamente.
8. Desde un globo que está a 5000 m, se deja caer una piedra,
que baja a 100 m por segundo de velocidad. El globo está sobre
el océano, y a las 0 h, la piedra toca el agua. Halla la
fórmula que da la altura de la piedra en función del tiempo
transcurrido
desde
el
lanzamiento,
y
represéntala
gráficamente.
- 136 -
Ejercicios
9. Representa, mediante una tabla de valores, las siguientes
funciones:
a) y=x
x
y
b) y=2x
-2
0
1
x
y
c) y=3x
-1
0
d) y=0,5x
2
0
X
x
y
-5
2
X
e) y=0,2x
0
-2
Y
X
-2
x
y
Y
Y
x
y
2
f) y=5x
0
10
x
y
Y
-0,2
0
0,4
Y
Y
X
g) y=-x
x
y
X
h) y=-2x
-1
0
2
x
y
i) y=-3x
-1
Y
0
x
y
-1
2
x
y
-5
X
l) y=-5x
0
10
X
X
- 137 -
x
y
-0,2
0
0,2
Y
Y
Y
1
Y
k) y=-0,2x
0
0
X
j) y=-0,5x
-2
1
Y
X
x
y
X
X
Recuerda
Observando los ejercicios anteriores, llegamos a las siguientes conclusiones:
Si a>0 la recta es creciente.
Si a<0 la recta es decreciente.
y=a·x
Olvidando el signo, cuanto mayor es el número a, más inclinada está la recta.
Ejercicios
10. Empareja cada fórmula con su gráfica, sin hacer cálculos:
1
1
a) y= x
b) y=4x
c) y=-2x
d) y=- x
2
3
Y
Y
X
X
11.
Halla
siguientes:
a)
x 1
y 0,5
c)
Y
la
fórmula
2
1
3
1,5
4
2
correspondiente
b)
X
X
a
las
funciones
x
1
2
3
4
5
y -0,3 -0,6 -0,9 -1,2 -1,5
Y
d)
X
X
Ejercicios
Y
Y
LA RECTA
12. Un videoclub nos cobra 5 € al mes por hacernos socios, y
luego 2 € por película que alquilemos. Halla la fórmula que da
lo que pagamos al mes, en función del número de películas
alquiladas (x), y represéntala gráficamente.
- 138 -
Ejercicios
13. Un videoclub nos cobra 2 € por cada película que
alquilamos. Halla la fórmula que da lo que pagamos al mes, en
función del número de películas alquiladas (x), y represéntala
gráficamente.
14. Un videoclub nos regala como promoción, 10 € en películas,
durante un mes. El precio de alquiler de una película es 2 €.
Halla la fórmula que da lo que pagamos al mes, en función del
número
de
películas
alquiladas
(x),
y
represéntala
gráficamente. ( Se comentará el problema en clase)
15. Haz una tabla de valores, y representa las funciones:
a) y=x
b) y=x+2
c) y=x-3
d) y=2x
- 139 -
Ejercicios
e) y=2x+1
f) y=2x-3
1
g) y= x
2
1
h) y= x+2
2
1
i) y= x-3
2
j) y=-x
k) y=-x+2
l) y=-x-3
- 140 -
Recuerda
De los problemas que has resuelto podemos sacar las siguientes conclusiones:
Las funciones cuya fórmula es y=mx+k tienen por gráfica una recta.
m=pendiente
si m > 0 la recta crece
si m < 0 la recta decrece
Olvidando el signo, a mayor m, mayor inclinación de la recta.
Si dos rectas tienen la misma m, son paralelas.
K = ordenada en el origen altura en que corta la recta al eje vertical.
Ejercicios
16. Empareja cada fórmula con su gráfica:
y
G
F
a) y=x
E
b) y=-x
D
c) y=2x
C
d) y=2x+2
B
e) y=2x+1
f) y=-x+1
g) y=2x-3
h) y=-x+3
A
i) y=-x-1
x
j) y=
2
x
k) y=
+1
2
x
l) y=
-2
2
H I
J
K
L
X
Recuerda
Puntos importantes de una recta y=mx+k son aquellos en que corta a los ejes
coordenados.
Si tenemos la ecuación de una recta: y=2x-6 por ejemplo.
Y
(0,y)
B
A
(x,0)
X
El punto donde corta al eje de abscisas es de
la forma (x,0)=A, luego y=0, y basta resolver la
ecuación 0=2x-6 x=3 (3,0)
El punto donde corta al eje de ordenadas es
de la forma (0,y)=B, luego x=0, y basta resolver
y=2·0-6=-6 (0,-6)
- 141 -
Ejercicios
17. Halla el punto de corte con el eje de abscisas de las
rectas:
a)y=2x-1
b)y=3x-3
18. Halla el punto de corte con el eje de ordenadas de las
rectas del problema anterior.
a)y=2x-1
b)y=3x-3
19. Una compañía nos pone una tarifa plana para conectarnos a
Internet, de 30 € al mes. Halla la fórmula, y representa
gráficamente la función que da lo que pagamos en un mes, en
función del número de horas que nos conectemos.
Soluciones
TEMA 14:
1.
Alt=0,3·t
Altura (m)
2
1
2.
3.
e=100·t
e(Km)
100
t(horas)
t(años)
1
Cal. Perd=2·t
Cal.
perd
2
1
1
t(min)
4.
a)Vueltas=10·Viajes
b)T=4·Viajes
c)T=(4/10)·Vueltas d)Vueltas=(10/4)·T
Tiempo
Nº vueltas
Nº vueltas
Tiempo
(min)
(min)
10
2,5
1
2
0,4
1
Tiempo
Nº
Nº
Nº
viajes
(min)
1
1
1 vuelta
viajes
1
s
- 142 -
Soluciones
5.
6.
y=0,8x
Y
Y
1
0,8
y=1,16x
1,16
1
X
1
X
1
7.
8.
h
h=1000·t
h en metros
t en min
-2 t
-2 -1
h
h=-100t
h en metros
t en segundos
-50 t
t
-1000
5000
t
-50 -25
-2000
9.
Y c
b
f
Y
a
g
d
X
h i
l
Y
e
X
10.
X
k
Y
j
X
11.
(a,C) (b,B) (c,D) (d,A)
12.
Y
Precio
(euros)
y=5+2x
1
a)y=0,5x= x
b)y=-0,3x
c)y=3x
2
13.
14.
y=2x
Y
Precio
Precio
Y (euros)
(euros)
1
d)y=-0,5x=- x
2
y=
X
Nº Pel.
X
Nº Pel.
0 si x<5
2x-10 si x5
X
Nº Pel.
15.
Y
b
a
Y
c
e
Y
d
f
X
h
g
Y
i
X
X
X
l
j k
16.
(a,L) (b,E) (c,J) (d,H) (e,I) (f,F) (g,K) (h,G) (i,D) (j,B) (k,C) (l,A)
17.
18.
19.
y=30
Y
30
a)(1/2,0) b)(1,0)
a)(0,-1) b)(0,-3)
X
- 143 -
TEMA 15: ESTADÍSTICA
Recuerda
INTRODUCCIÓN
La estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de recoger datos
de una población, estudiarlos y sacar conclusiones sobre ellos.
Una población es un conjunto o colectivo de elementos sobre el que queremos
saber algo:
Si queremos saber el peso de los habitantes de la ciudad de Valencia, la
población es el conjunto de dichos habitantes.
Si queremos saber el número de averías en un año, de los coches de un
pueblo, la población es el conjunto de esos coches.
Si queremos saber el equipo de fútbol favorito de los alumnos de este
instituto, la población es el conjunto de los citados alumnos.
Cada uno de los componentes de una población se llama elemento (en los ejemplos:
habitante, coche y alumno). Cuando no es posible o es caro estudiar toda la
población (piensa en el primer ejemplo) se elige una muestra de ella, que es un
conjunto representativo de ella.
Lo que queremos estudiar se llama carácter, y pueden ser:
Cualitativos: cuando lo estudiado no se puede medir o contar (piensa en
el tercer ejemplo).
Cuantitativos: cuando sí se puede medir o contar (como en los dos
primeros ejemplos).
Ejercicios
1. Una empresa vende ordenadores y quiere hacer una encuesta
sobre la aceptación de sus productos, para la cual elige como
muestra para hacer una encuesta, a las personas mayores de 50
años. ¿te parece bien esta muestra? ¿Por qué? ¿Cómo debe ser
una buena muestra?
- 144 -
Recuerda
TABLAS
Los datos recogidos de una población o muestra, mediante una encuesta o
cualquier otro procedimiento, se suelen organizar en tablas, como en los ejemplos
que siguen:
1º) Preguntamos a 20 alumnos su número de hermanos y nos dicen:
0,1,1,1,1,2,0,0,0,3,2,2,1,1,1,1,1,1,2,0.
2º) Preguntamos a 20 alumnos su color de ojos y nos dicen:
(castaño = C, verde = V, azul = A)
C,C,C,C,V,V,A,C,C,C,C,V,V,A,A,A,C,V,C,C.
En primer lugar se representan los datos agrupándolos:
1º)
Nº hermanos
Nº alumnos
0
5
1
10
2
4
3
1
2º)
Color ojos
Nº alumnos
C
11
A
4
V
5
Hemos obtenido así las frecuencias absolutas, que son el número de veces
que aparece cada valor:
Frecuencia absoluta de 1 es 10.
Frecuencia absoluta de A es 4.
No es lo mismo decir que “4 personas de 20 tienen dos hermanos”, que decir
“4 personas de 50 tienen dos hermanos”. Aunque la frecuencia absoluta del
valor “dos hermanos” es la misma en ambos casos. Para reflejar esto se usa la
frecuencia relativa:
1º)
Nº hermanos
Frecuencia
relativa
2º)
0
1
2
5/20 10/20 4/20
=0,25 =0,5 =0,2
Color ojos
Frecuencia
relativa
3
1/20
=0,05
C
A
V
11/20 4/20 5/20
=0,55 =0,2 =0,25
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número
total de elementos.
Lo mismo se puede decir en tantos por ciento:
1º)
Nº hermanos
%
0
25
1
50
2
20
3
5
2º) Color ojos
%
C
55
El valor más repetido se llama Moda. En los ejemplos:
1º) Moda: 1 hermano.
2ª) Moda: Color castaño.
- 145 -
A
20
V
25
Recuerda
Observa que cuando el carácter que se estudia es cuantitativo, tiene sentido
ordenar sus valores, y así se hace siempre.
Con todo, nuestros ejemplos han quedado así:
1º) Tabla de frecuencias:
Valores
(Nº hermanos)
0
1
2
3
2º) Tabla de frecuencias:
Valores
(Color de ojos)
A
C
V
Frecuencia
absoluta
5
10
4
1
20
Frecuencia
relativa
0,25
0,5
0,2
0,05
1
Porcentaje
%
25
50
20
5
100
Frecuencia
absoluta
4
11
5
20
Frecuencia
relativa
0,2
0,55
0,25
1
Porcentaje
%
20
55
25
100
Ejercicios
2. En un pueblo se preguntó a 75 personas sobre la limpieza de
las calles: 22 opinaban que era buena, 15 que se podía
mejorar, 20 que era mala y 18 no contestaron, Se pide la tabla
de frecuencias (absolutas, relativas y porcentajes) y la moda.
3. En una panadería vendieron, en 6 horas, las siguientes
barras de pan: 1ªh 40, 2ªh 20, 3ªh 50, 4ªh 75, 5ªh 25, 6ªh 30.
Haz la tabla de frecuencias.
- 146 -
Ejercicios
4. En una casa se gastaron los 7 días de la semana los
siguientes litros diarios de leche: Lu 4 l, Ma 3 l, Mi 4 l, Ju
2 l, Vi 3 l, Sa 3 l, Do 1 l. Haz la tabla de frecuencias y
obtén la moda.
5. Un puesto de helados hizo las siguientes ventas: Vainilla
50, nata 70, chocolate 30, fresa 80, tutti fruti 50, limón 20.
Haz la tabla de frecuencias y halla la moda.
Recuerda
GRÁFICOS
Los datos estadísticos entran más por los ojos usando gráficas, aunque hay
que tener cuidado con ellas y saber interpretarlas. Nosotros estudiaremos
algunas a partir del ejemplo del color de ojos:
Color ojos
Frc. absoluta
C
11
A
4
V
5
Frecuencia Absoluta
1º) Diagrama de barras:
En unos ejes de coordenadas se ponen los valores del
carácter estudiado (en el eje de abscisas) y las
frecuencias absolutas (en el eje vertical), y se
levanta una barra para cada valor, cuya altura es su
frecuencia.
- 147 -
11
8
5
2
Valores
C
A
V
Recuerda
2º) Diagrama de sectores:
Se reparte la superficie de un círculo en sectores proporcionales a la frecuencia
de cada valor de la variable:
Color
Color verde
Castaño 90º
Total ________ 360º
72º
20
________ 360º
198º Color
azul
Castaño:
20 _______360º
11 _______ x
x
360 º·11
198 º
20
Azul:
20 _______360º
4 _______ x
x
360 º·4
72º
20
Verde:
20 _______360º
5 _______ x
x
360 º·5
90 º
20
3º) Pictogramas:
Se presentan dibujos alusivos al tema tratado, de tamaño proporcional a la
frecuencia correspondiente de cada valor del carácter estudiado.
Color verde
Color Azul
Color Castaño
Ejercicios
6. Preguntadas 20 personas por la fruta que más les gusta, se
obtuvo la siguiente respuesta: naranja 2, melón 5, plátano 3,
uva 4, fresas 2, pera 3, manzana 1. Se pide que representes
estos datos en:
a) Diagrama de barras.
b) Diagrama de sectores.
c) Pictograma.
- 148 -
Ejercicios
7. Halla la tabla de frecuencias correspondiente al gráfico:
Frecuencia Absoluta
8
5
2
Azul Verde Rojo Amarillo
8. La lluvia caída en una localidad en los 6 primeros meses
del año, expresado en litros por m2, fue la siguiente: Enero
10, F 20, Mz 0, A 15, My 10, J 5. Representa estos resultados
en un diagrama de sectores.
9. En un pueblo de 250 habitantes quisimos conocer el tiempo
en horas, que las personas mayores de 18 años, dedicaban al
ocio. Para ello se hizo una encuesta a 30 personas mayores de
edad y los resultados obtenidos fueron:
2,1,3,5,0,2,1,0,4,1,1,0,3,1,2,
1,3,2,1,1,2,1,0,2,3,1,1,2,1,3
a) ¿Cuál es la población de este estudio? ¿Y la muestra?
b) ¿De qué tipo es el carácter estudiado?
c) Halla la tabla de frecuencias y la moda, y construye el
diagrama de barras correspondiente.
- 149 -
Recuerda
MEDIA Y MEDIANA
Las tablas y los gráficos facilitan el estudio de grandes cantidades de datos,
pero a veces interesa resumirlos aún más, en una cantidad. Esta cantidad
puede ser la moda, pero en caracteres cuantitativos, se suelen utilizar:
a) Media aritmética: Es el resultado de dividir la suma de todos los
datos observados, entre el número total de observaciones. Por
ejemplo, si una persona ha obtenido las siguientes notas en una
asignatura:
4,4,5,5,5,6,6,7,3
ha tenido por media:
4 4 5 5 5 6 6 7 3 4·2 5·3 6·2 7 3
5
9
9
b) Mediana: Es el valor que ocupa la posición central, al ordenar los datos.
En el ejemplo anterior:
3,4,4,5,5,5,6,6,7
x
Mediana
Si el número de observaciones es par, no hay un valor central, y se procede
así:
Datos: 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 3 , 6
Ordenados: 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , , 7
Mediana =
56
5,5
2
El valor más usado es la media aritmética, pero hay que tener en cuenta que
no nos da toda la información. No mide la regularidad o irregularidad de los
datos, y esto hay que tenerlo en cuenta, a veces, para tomar decisiones.
Ejercicios
10. Halla la mediana de los datos que se dan:
a) 1,1,2,3,4,4,5,5,5,6,6 _____________________________
b) 3,4,4,5,6,7,8,8,9,9,9,9 ___________________________
c) 1,3,2,1,1,5,4,4 ___________________________________
d) 1,5,4,4,3,1,2,2,2 _________________________________
- 150 -
Ejercicios
11.
Un
alumno
obtuvo,
en
matemáticas,
las
siguientes
calificaciones: 5 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 8 , 6 , 6 , 7
Halla su media aritmética.
12. Las notas de dos personas, en cierta asignatura, han sido:
Persona A
Persona B
4,4,6,5,6,5,4,6
5,5,7,3,5,5,2,8
¿A cuál de las dos aprobarías, si sólo puedes hacerlo con una?
13.
Preguntados
los
propietarios
de
comercios
de
una
población, por el número de empleados que tenían, obtuvimos
las siguientes respuestas:
Nº empleados
Nº comercios
1
10
2
8
3
6
5
1
7
4
8
5
10
2
Halla:
a) Media aritmética de empleados por comercio.
b) Mediana y moda.
14. Después de realizada una encuesta sobre el número de
libros de lectura comprados, en un año, por los 25 alumnos de
una clase, resultó el gráfico siguiente:
Nº de alumnos
Calcula:
a) Moda
9
b) Mediana
6
c) Media
3
1 2 3 4 5 6
Nº de libros
- 151 -
15. Preguntadas, un número de personas, por el número de
países que han visitado, se obtienen los datos de la gráfica
siguiente:
Se pide:
Nº personas
a) Moda
8
b) Mediana
6
c) Media
3
1 2 3 4 5 6 7
Nº de países
16. Sin hacer cálculos, encuentra 9 números naturales que,
junto con los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9, hagan una media de 5.
Observa
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Supón que las calificaciones de tres personas A, B y C son las siguientes:
A6,5,4
B6,5, 4,5,5
C 10 , 5 , 0
Todas tienen media 5, pero estarás de acuerdo conmigo en que la regularidad no
es la misma. Para medir esto se han inventado algunas cosas:
Desviación media:
De A:
De B:
De C:
suma para todos los valores de Valor Media
N º de valores
65 55 45
3
2
0,6 DM A
3
65 55 45 55 55
5
10 5 5 5 0 5
3
2
0,4 DM(B )
5
10
3,3 DM (C )
3
Evidentemente, a mayor irregularidad, mayor DM.
- 152 -
=DM
Observa
suma para todos los valores de Valor Media
Varianza:
N º de valores
2
De A:
2
65 55 45
2
2
2
5
2
10 5 5 5 0 5
3
s2 2
2
0,6 2 (A)
3
65 55 45 55 55
2
De C:
3
2
De B:
2
2
2
2
2
0,4 2 (B )
5
50
16,6 2 (C )
3
Desviación típica: Varianza s
De A: (A) 0,6 0,81
De B: (B ) 0,4 0,64
De C: (C ) 16,6 4,1
Ocurre lo mismo que con la desviación media pero todavía más exagerado. Por
eso se usa este valor para medir la regularidad o irregularidad de una
distribución.
Ejercicios
17. Halla la Desviación media y la típica de los conjuntos de
valores que te doy:
a) 7, 7, 7
d) 2, 3, 4
b) 3, 3, 3
e) 4, 4, 5, 6, 6, 6, 4
c) 6, 7, 8
f) 4, 5, 6
18. Dos personas hacen pruebas para un trabajo y obtienen las
siguientes calificaciones:
A 4; 4,5; 5
B 8; 5; 2
¿A quién emplearías y por qué?
- 153 -
Soluciones
TEMA 15:
1.
No es buena. Piénsalo y debátelo en clase.
2.
Valores
Buena
Mejorable
Mala
No contesta
Frec. Absol.
22
15
20
18
Frec. Relat.
0,29333...
0,2
0,266...
0,24
%
29,333...
20
26,66...
24
Mo= Buena
3.
Valores (Nº barras)
20
25
30
40
50
75
Frec. Absol.
1
1
1
1
1
1
Frec. Relat.
0,166…
0,166…
0,166…
0,166…
0,166…
0,166…
%
16,666…
16,666…
16,666…
16,666…
16,666…
16,666…
Nº litros
1
2
3
4
Frec. Absol.
1
1
3
2
Frec. Relat.
0,14285...
0,14285...
0,4285...
0,2857...
%
14,285...
14,285...
42,85...
28,57...
4.
Mo=3 l
5.
Sabor
V
N
Ch
F
TF
L
Frec. Absol.
50
70
30
80
50
20
Frec. Relat.
0,1666…
0,2333…
0,1
0,2666…
0,1666…
0,0666…
Mo= Fresa
- 154 -
%
16,66…
23,33…
10
26,66…
16,66…
6,666…
Soluciones
6.
a)
5
b)
Frecuencia
N36º
Me90º
Pl54º
U72º
Fr36º
Pe54º
Mn18º
4
3
2
1
N Me Pl U Fr Pe Mn
Valor
Fr
N
Me
Mn
U
Pl
Pe
c)
7.
8.
Color
Az
V
R
Am
Frec. Absol.
4
8
6
2
Frec. Relat.
0,2
0,4
0,3
0,1
%
20
40
30
10
E=60º
F=120º
Mz=0º
A=90º
My=60º
J=30º
E
A
F
Mz
J
9.
a)Población=
250 habitantes.
Muestra=30 hab
encuestados.
b)Cuantitativo.
Nº hab.
0
1
2
3
4
5
Fr. Ab.
4
12
7
5
1
1
Fr. Re.
0,133…
0,4
0,233…
0,166…
0,033…
0,033…
c)Moda= 1 h
%
13,33…
40
23,33…
16,66…
3,33…
3,33…
12
Fr Abs
1
h
0 1 2 3 4 5
10.
11.
12.
13.
a)4 b)7,5 c)2,5 d)2
6,5
A, por regular. a)3,805... b)Med=2,5, M0=1
14.
15.
16.
a)Dos modas:2 y 4 b)4 c)3,16 a)1 b)2 c)3,12 9,8,7,6,5,4,3,2,1 por ejemplo.
17.
a)DM=0, =0
b)DM=0, =0
c)DM= 0,6 , 0,81
d)DM= 0,6 , 0,81
e)DM 0,86, 0,93
f)DM= 0,6 , 0,81
18.
La A, porque, aunque tiene mayor media la B, la A es más regular.
- 155 -
TEMA 16: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Recuerda
IDEA INTUITIVA DE PROBABILIDAD
Un experimento se dice que es de azar si al repetirlo, bajo las mismas
condiciones, no es posible predecir el resultado. Por ejemplo, al lanzar una
moneda al aire, no sabemos si saldrá cara o cruz. Por el contrario, cuando
sabemos seguro lo que va a pasar hablamos de experimentos deterministas.
Por ejemplo, si acercamos una llama a un papel, éste arde.
En un experimento de azar, cada una de las cosas que puede suceder se llama
suceso. El concepto de probabilidad consiste en tratar de medir la mayor o
menor facilidad de que ocurra un suceso al realizar el experimento. Para ello,
a la totalidad de los sucesos se le asigna el número 1, y a cada suceso un
número comprendido entre 0 y 1. Por ejemplo:
1º) Al lanzar una moneda al aire:
probabilidad de que ocurra x p(x)
p(cara o cruz) = 1
p(cara) = 0,5
p(cruz) = 0,5
2º) Si en un saco tenemos 3 bolas blancas y 7 rojas, y sacamos una
al azar:
p(blanca o roja) = 1
p(blanca) = 0,3
p(roja) = 0,7
Ejercicios
1. Lanzamos un dado al aire y miramos el número que presenta
la cara superior. Halla la probabilidad de que sea:
a) Un cinco ________________________________________
b) Un tres _________________________________________
c) Un número par ___________________________________
d) Un número impar _________________________________
e) Múltiplo de 3 ___________________________________
f) Número primo ____________________________________
- 156 -
2. Tenemos en una bolsa 5 bolas rojas, 5 azules y 2 amarillas.
Sacamos una bola de la bolsa al azar. Se pide:
a) Color más fácil de salir ___________________________
b) Color más difícil de salir _________________________
c) Probabilidad de que salga azul _____________________
d) Probabilidad de que salga verde ____________________
e) Probabilidad de que salga amarillo _________________
f) Probabilidad de que no salga negra _________________
3. Tenemos una baraja española de 48 cartas (4 palos: oros,
copas espadas y bastos; y en cada palo: 1(as), 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10(sota), 11(caballo), 12(rey). Las cartas 1, 10, 11,
12 se llaman figuras). Barajamos y extraemos una carta al
azar. Halla la probabilidad de que sea:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Un oro ______________________________________________
Un as _______________________________________________
Número par __________________________________________
Número primo ________________________________________
Múltiplo de 3 _______________________________________
Divisor de 12 _______________________________________
4. Una niña tiene 2 pantalones, uno de color rojo y otro azul,
y 3 camisas, una roja, otra blanca y otra azul. Supongamos que
se viste al azar. Halla la probabilidad de que se vista:
a) De rojo _____________________________________________
b) Del mismo color _____________________________________
c) De distinto color ___________________________________
5. Lanzamos dos monedas al aire. Halla la probabilidad de
obtener:
a) Dos caras ___________________________________________
b) Dos cruces __________________________________________
c) Una cara y una cruz _________________________________
Soluciones
Tema 16:
1.
2.
a)1/6
b)1/6
c)1/2
a)Rojo o azul indistintamente.
b)Amarillo.
d)1/2
e)1/3
f)1/2
c)5/12
d)0
e)1/6
f)1
3.
a)1/4
b)1/12
c)1/2
d)5/12
e)1/3
f)1/2
4.
5.
a)1/6
b)1/3
c)2/3
a)0,25
b)0,25
c)0,5
- 157 -
