Tema8.SeleccionMaterialesProblemasResueltos

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1.-Columna en tracción.
Se debe diseñar una viga de sección cuadrada “t”, sometida a una tracción tal, que su alargamiento δ sea menor que la elástica y
que sea ligera (masa mínima).
Datos:
F: a la cual está sometida.
L: longitud.
Requisitos de diseño:
 ≤ (elástica)
Masa mínima
La Ley de Hooke, nos dice, que en el dominio elástico:
Por otro lado, sabemos que: TENSION 
Esta podía ser la condición de un tirante. La “t”
también puede ser variable, al igual que la densidad
ρ, pero esta última es conocida; acero; aluminio, etc.
 el  E el
FUERZA
SUPERFICIE
F
 el  2
t
L  el
Y además:
  Ln(1  e)  e 

L
L
Luego:
Combinado ecuaciones, tenemos:
 el  E el
F
 el  2
t
L  el
  Ln(1  e)  e 

L
L
donde  es la flecha, en este caso elástica
 el
 el
F
FL
 el  E
 2 E
  el  2
L
L
t
Et
Por otro lado la masa de la viga:
M  V   t 2 L
Combinamos las dos ecuaciones donde la variable es “t”, y como queremos que la flecha sea menor que la elástica:
FL
 el  2
Et
   el
M  V   t 2 L
 FL2  1
M 
E


 
FL
t 
E
M
t2 
L
2
 FL2  1
M FL
 FL2

M 
M 
E
 L E
E


 
 FL2 

  Tér min o fijo
  
1
 Tér min o var iable (depende de las propeidades del material )
E



E
1


M min 
 
 E 
 max

  min
2.-Viga en voladizo.
Datos:
F a la que está sometida.
L: Longitud de la viga.
δ: del material seleccionado.
t: variable.
Requisitos de diseño:
 ≤ (elástica)
Masa mínima
Analizamos la viga en dos dimensiones recordando:
Condiciones de equilibrio:
F  0
M  0
Las condiciones de equilibrio, según el eje Y, pues en X no hay esfuerzos, son:
 FY  0  RY  F , pues en x no hay esfuerzos
 M X  0  M   F ( L  x) (Momento generado por la resistencia en el apoyo de la pared)
La ecuación de la elástica es:
( EI ) y''   M  ( EI ) y''  F ( L  x)
Integrando
F ( L  x)2
( EI ) y'  
 C1
2
Para calcular la constante de integración recurrimos a las constantes
iniciales:
2
2
x  0; y'  0  0  
FL
FL
 C1  C1 
2
2
F ( L  x) 2 FL2
( EI ) y'  

2
2
F ( L  x)3 FL2 x
( EI ) y 

 C2
6
2
FL3
FL3
x  0; y    0  0 
 C2  C 2  
6
6
Integrando de nuevo:
F ( L  x)3 FL2 x FL3
( EI ) y 


6
2
6
O sea, que la ecuación final de la elástica es:
b3t
b4
I
 b  t 
12
12
Vamos ahora a considerar el momento de inercia para la sección en cuestión:
Aplicamos esta ecuación en el lugar donde la δ elástica sea la máxima, es decir, en x=L ya que tenemos que considerar δ≤ δel en el límite más
desfavorable:
FL3 FL3 FL3
FL3  t 4  4 FL3
4 FL3
( EI ) 


 
 I   
  el ,max 
2
6
3
3EI  12  Et 4
Et 4
4 FL
4 FL  4 FL3 
4
t 
t  4


E el
E el  E el 
3
3
1
4
   el
M  V   t 2 L
 4 FL3 
M  L
 E 
 el 
1
2
 4 FL
t 
 E
 el
3
t2 
 FL5 
 2
  
 el 
Término
fijo
1
2
1
E

Término
variable
M
L
M min



1
4
 4 FL
t 
 E
 el
3
2
t2 



1
2
M
L


 E
 1 






E

max

 min

M  4 FL

 L  E el
3



1
2
 4 FL
 M  L
 E
 el
3



1
2
3.-Placa uniformemente cargada.
Tenemos una fuerza F repartida uniformemente en el área L.b,
donde la presión sobre la superficie es lógicamente P=F/(L.b)
Datos:
F a la que está sometida.
Dimensiones: L y b (¿t?)
Requisitos de diseño:
≤ (elástica)
Masa mínima
Estudiamos el problema en dos dimensiones, donde hay simetría
respecto al eje de la placa. Tomamos un sólido libre.
Condiciones de equilibrio:
F  0
M  0
Las condiciones de equilibrio, según el eje Y, pues en X
no hay esfuerzos, son:
 FY  0  RY  F
MX
La ecuación de la elástica es:
Fx Fx 2
 0  MT 

2
2L
Fx Fx 2
( EI ) y''   M  ( EI ) y''  

2
2L
Integrando:
Fx 2 Fx3
( EI ) y'  

 C1
4
6L
Para calcular la constante de integración, observando la geometría de la figura vemos que y’ es nula en el máximo, esto es, en x=L/2.
L
FL2 FL3
FL2
x  ; y'  0  0  

 C1  C1 
2
16 48L
24
Fx 2 Fx3 FL2
( EI ) y'  


4
6L
24
Fx 2 Fx3 FL2
( EI ) y'  


4
6L
24
Volviendo a integrar, obtenemos:
Fx3 Fx 4 FL2 x
( EI ) y  


 C2
12 24 L
24
Mediante las condiciones iniciales, determinamos la nueva constante de integración:
( EI ) y  
3
4
2
Fx
Fx
FL x


12 24 L
24
x  0, y  0  C2  0
Se puede observar que, dada la sencilla geometría de la placa, la flecha máxima se alcanza en su centro, luego:
y , x 
( EI ) max
L
 ymax   el ,max
2
FL3
FL4
FL2 L FL3  1 1 
5 FL3
1 5FL3




1    ( EI ) max 
  max 
12 x8 24 x16 L 24 x 2 48  2 8 
8 48
EI 384
Sustituimos el momento de inercia de la sección que estamos considerando:
bt 3
I
12
 max
1 5 FL3


EI 384
1 5 FL3
5 FL3

3
bt 384 32 Ebt 3
E
12
 max 
3
3
5 FL
5 FL
3

t

32 Eb max
32 Ebt 3
 5 FL3 
t 

 32 Eb max 
1
3
   el
 5FL3 
t 

 32 Eb max 
M  V   btL
1
3
1
 3
 5FL
M


 bL  32 Eb max 
3
1
 3
 5FL
 M   bL 

32
Eb

max 

3
M
 bL
Dividimos la expresión en parámetros que dependen de la elección del material dado, -término variable-, y los parámetros que no dependen del
mismo, -término fijo-.
t
1
 3
 5FL
M   bL 

32
Eb

max


3
1
 3
 5FL b
M 

32

max


6 2
Término
fijo
3
1
E
M min

Término
variable

 1
 3
 E


1 


E 3



  


max
min
MODELO DE RESISTENCIA ESPECÍFICA.
Ahora se persigue que no haya deformación plástica, manteniendo el objetivo simultáneo de minimización de peso.
1.-Columna en tracción.
Datos:
F: Fuerza a la cual está sometida.
L: Longitud de la columna.
Requisitos de diseño:
Que no deforme plasticamente max≤ y
Peso mínimo de la pieza considerada
Y la masa por:
El requisito que tiene que cumplir es:
 max   r
  max

F F

A t2
M  V   t 2 L
r 
La tensión aplicada a la viga, fruto de la tracción, responde a la ecuación:
F
t2
Tomando las ecuaciones deducidas anteriormente; despejando “t” en una y sustituyéndola en la otra, -en el mismo esquema de operación que venimos
realizando-, nos quedará:
F
F
2
F
F
2



t

max
 max  2  t 
M
F
F

r
t2

 M  L
 M  FL
r
t
L r
r
r
M
2
t2 
M  V   t L

  
 1
M  FL    FL 

r 
 r

Término Término
fijo
variable
L





M min

 1


 r


r 


 

  max

min
2.- Viga empotrada
Datos:
F: Fuerza a la cual está sometida.
L: Longitud de la viga.
 y t variables, aunque escogidas a partir del material
Requisitos de diseño:
Que no deforme plasticamente max≤ y
Peso mínimo de la pieza considerada
Tomamos la viga en dos dimensiones, recordando lo dicho anteriormente respecto al criterio de tensiones y momentos:
Donde:
M
y
Consideremos la Ley de Navier:  
y: distancia a la fibra neutra.
I
I: momento de inercia.
m  V   t 2 L
Y la masa por:
σmax viene dada por: Mmax=FL
M
max
y t
2
 FL
 max
(b  t )  I 
 max
3
4
bt
t

12 12
t3 
6FL
 r  3  r
t
2
6 FL
r
 
FL t
M max
6 FL

y 4 2  3
I
t
t
12
t  3
6 FL
r
M 
t 

 L 
M  V   t L
 6 FL 
M  L

 r 
2
3
 6 FL 
t 

 r 
 1 
 L  6 FL  3   
r 
2
2
3
 L  6 FL 
Término
fijo
2
3
1
2
r 3

Término
variable
1
1
3
M 


 L 
2

M min


1
 2
 3
 r


1
2
 6 FL 


 r 
1
3
M  6 FL 



L  r 


 23 


 r 

  

max

min
2
3
 6 FL 
 M  L

 r 
2
3
2.-Placa uniformemente cargada
Requisitos de diseño:
Que no deforme plasticamente max≤ y
Peso mínimo de la pieza considerada
Datos:
F: Fuerza a la cual está sometida.
L y b: Longitud y ancho de la placa, respectivamente
Para la resistencia a deformación plástica siempre hay que emplear la Ley de Navier, donde el
momento M, genérico en cualquier posición x, es igual que el calculado en el caso de “modelo de rigidez”.
Consideremos la Ley de Navier:
m  V   Lbt
Y la masa por:


Fx Fx 2
FL FL2
FL FL
FL
L
MT 

 M max x 


 M max 

 M max 
2
2
2L
4
8L
4
8
8
 3 FL 
3 FL
3 FL
t2 
t 
t 

4 b r
4 b r
 4 b r 
M
t
 Lb
3 FL
 max   r 
 r
4 bt 2
M  V   Lbt
 3FL 
M   Lb 

 4b r 
1
2
 3FL3b 


 4 
1
2
 1 

r 

1
2
 3FL3b 


 4 
Término
fijo
1
2
1
1
r 2


Término
variable
1
M max
y
I
 max 
Donde:
M

y y: distancia a la fibra neutra.
I
I: momento de inercia.
σmax viene dada por Mmax,
que esta en x =L/2
 max
M
 max y 
I
 
t
8 2  3 FL
4 bt 2
bt 3
12
FL
2
 3 FL 
M


 Lb  4 b r 
M min


1
 1
 2
 r


1
2
 3 FL 
 M   Lb 

 4 b r 


  12 

 r 

  

max

min
1
2
P1.-Diseñar un tubo de radio R y espesor t (t<<R) por el que circula un fluido a presión P1 sin que el material deforme plásticamente y
encontrar de entre los materiales que se proponen:
(a).- Aquel material candidato que permite minimizar la masa.
(b).- Aquel material candidato que permite minimizar el coste específico.
MATERIAL
Hormigón armado
Acero bonificado
Acero dulce
Aleación de aluminio
CFRP
σr(MPa)
200
1000
220
400
600
ρ (t/m3)
2,5
7,8
7,8
2,7
1,5
Cp($/t)
300
1000
500
2500
200000
La ecuación básica para la tensión longitudinal σ1 y la circunferencial
σ2 , en un recipiente de espesor e, radio de curvatura longitudinal
r1 y radio de curvatura circunferencial r2, que está sometido a la
presión p, es
1
r1

2
r2

p
e
Con esta ecuación se deducen las tensiones en las paredes de revolución,
igualando la carga total de la presión con las fuerzas longitudinales que
actúan en una sección trasversal del recipiente.
The stress in the wall of a thin-walled spherical pressure vessel of radius R (Figure) is
La variable es “t”, pero podría haber sido el radio.
Tomamos el recipiente esférico considerando un plano ecuatorial en el cual vemos la tensiones, todas circunferenciales, como se
ve en el elemento diferencial (no hay longitudinales. Vemos cuánto valen las fuerzas de unión y las de separación.
La tensión circunferencial en la esfera es igual a la tensión menor en el cilindro, es decir las longitudinales del cilindro. De ahí que
estos recipientes sean más adecuados desde el punto de vista de la resistencia.
Depósito cilíndrico a presión
  2 Lt  P 2 RL
   2 z
Luego usaremos σθ puesto que hemos de ponernos en el
peor de los casos de los materiales.
(a).- Tenemos que minimizar la masa:


Masa  M   r22  r12 L     r2  r1  r2  r1  L   2
Requisitos:
Masa (M) mínima
σtrab≤σr
Datos fijos: no pueden variar V, L, PL, P, R
Negociable: datos variables: t
pR
pR
 r  t 
t
r
M  2 rtL 
t
MATERIAL
Hormigón armado
Acero bonificado
Acero dulce
Aleación de aluminio
CFRP
 
2 rtL 
pR
 r
t
pR
r
M  2 rtL 
M  2 pLR 2
r2  r1
tL 
2
1
r
 M min

M  2 rL 

 1


 r

pR
r
 (r  R), M  2 pLR 2


 r 

M

 
min


max


σr(MPa) ρ (t/m3) Cp($/t)
200
2,5
300
1000
7,8
1000
220
7,8
500
400
2,7
2500
600
1,5
200000
σr/ρ (σr/ρ)max/(σr/ρ)i
80,00
5,00
128,21
3,12
28,21
14,18
148,15
2,70
400,00
1,00

1
 M  2 pLR 2
r
r

(b).- Tenemos que minimizar el coste:
C  MC p
M  2 pLR 2
C  MC p
1
r

C  2 pLR CP
2
1
r
C= coste del material
CP= coste específico del material.
 2 pLR
2

r
1
Cmin
 CP


 1 



 Cmin   r



C
r

P
max
 C 

P 
Donde el denominador es el coeficiente específico de coste.
Para minimizar el coste, el coeficiente específico de coste debe ser máximo. Simultáneamente estamos
maximizando la resistencia a deformación plástica y minimizando la masa.
Conclusión:
1.-Máxima resistencia a deformación y
minimizando el peso:
a.-CFRP
b.-Acero templado+revenido.
c. –Aleaciones de aluminio
(b y c son opciones parecidas).
2.- Minimizar coste y maximizar la resistencia a
la deformación.
a.-Hormigón armado.
b.-Acero bonificado.
c.-Acero dulce y aluminio.
MATERIAL
σr(MPa)
ρ (t/m3)
Cp($/t)
σr/ρ
(σr/ρ)max/(σr/ρ)i
(σr/ρCp)x103
Qmax/Qi
Hormigón armado
200
2,5
300
80
5
266,67
1,00
Acero bonificado
Acero dulce
1000
220
7,8
7,8
1000
500
128,21
28,21
3,12
14,18
128,21
56,41
2,08
4,73
Aleación de aluminio
CFRP
400
600
2,7
1,5
2500
200000
148,15
400
2,7
1
59,26
2,00
4,50
133,33
De ahí el uso del hormigón armado en canalizaciones de agua a presión. El consumo de hormigón armado mundial es mayor de 1 t por
habitante y año. (La producción anual del mundo es 10 veces la del acero).
P2.-El código ASME impone que los recipientes a presión deben de "golear" antes de romperse. Es decir, si una grieta atraviesa la pared, el
recipiente no debería reventar catastróficamente antes de que se produjese el "goteo" y proceder a su despresurización. En la construcción
de un recipiente a presión de diámetro D, y presión interna P prefijados, ¿cual de los materiales abajo citados resultaría más idóneo: (a) en
resistencia, (b) en coste; si todos ellos trabajasen con el mismo coeficiente de seguridad S=2.
MATERIAL
Acero 18/8
Duroaluminio
Aleación Ti6Al4V
A533(soldable)
Re(MPa)
KIC (Mpa.m1/2)
ρ (t/m3)
CP (€/t)
340
405
850
450
200
26
60
120
7800
2700
4500
7800
1500
2400
36000
750
Coeficiente de seguridad  S 

f
 trab
Tensión máxima

Tensión de trabajo
; si S  2 se tiene :  f  2 trab
The stress in the wall of a thin-walled spherical pressure vessel of radius R (Figure) is
 
In pressure vessel design, the wall thickness, t, is chosen so that, at the
working pressure p, this stress is less than the yield strength σf of the wall. A
small pressure vessel can be examined ultrasonically, or by X-ray methods, or
proof tested, to establish that it contains no crack or flaw of diameter greater
than 2a*c;
then the stress required to make the crack propagate is:
K IC  (Cte)
a
 
pR
(1)
2t
CK IC
 ac*
where C is a constant near unity (1 para grietas internas y 1.12 para
externas) and KIC is the plane-strain fracture toughness
Safety can be achieved by ensuring that the working stress is less than the stress require to
the crack propagate, giving
CK IC
pR

2t
 ac*
2t K IC
2t
de donde : p  C

R  a*
R
c
1
 ac*
K IC
The largest pressure (for a given R, t and a*c) is carried by the material with the greatest value of
M1  K IC
But this design is not fail-safe. If the inspection is faulty, or if, for some other reason a crack of
length greater than ac appears, catastrophe follows.
Greater security is obtained by requiring that the crack will not propagate even if the stress reaches the general yield stress—for then the
vessel will deform stably in a way that can be detected. This condition is expressed by setting σ equal to the yield stress σf giving
 
CK IC
 ac*

   f ;  

f
S

f

2 

1 2  K IC
*
ac  C 
 f


2


4 2  K IC
*

 ; ac  C 


 f









2




The tolerable crack size, and thus the integrity of the vessel, is maximized by choosing a material with the largest value of
M2 
K IC
f
Large pressure vessels cannot always be X-rayed or sonically tested; and proof testing them may be impractical. Further, cracks can grow
slowly because of corrosion or cyclic loading, so that a single examination at the beginning of service life is not sufficient.
Then safety can be ensured by arranging that a crack just large enough to penetrate both the inner and the outer surface of the vessel is still
stable, because the leak caused by the crack can be detected. This is achieved if the stress is always less than or equal to
To ensure leak-before-break what condition should be met by
the critical crack size
(Condiciones de goteo del depósito)
2ac*
ac*


t
t
2
 
CK IC

 t 2
The wall thickness t of the pressure vessel was, of course, designed to contain the pressure p without yielding. From equation
 
this means that
t
pR
2t
pR
2 f
Substituting this into the equation (σ = σf) gives
f 
t
CK IC

 t 2
pR
2 f
f 
CK IC

  pR 4

f



 
2
f
2
C 2 K IC


pR

4 f
f
2
4C 2 K IC

R p
2
4C 2 K IC
p
R  f
The maximum pressure is carried most safely by the material with the greatest value of
M3 
2
K IC
f
Both M1 and M2 could be made large by making the yield strength of the wall, σf, very small: lead, for instance, has high values of both, but you
would not choose it for a pressure vessel. That is because the vessel wall must also be as thin as possible, both for economy of material, and to
keep it light. The thinnest wall, from equation
M1  K IC
M2 
K IC
f
Thus we wish also to maximize
t
pR
2 f
M4  
is that with the largest yield strength, σf.
f
narrowing further the choice of material.
En un diseño que prime la resistencia al goteo, tendremos que buscar el máximo valor de
Re(MPa)
KIC (Mpa.m1/2)
Acero 18/8
340
200
7800
1500
117,65
1,00
Duroaluminio
405
26
2700
2400
1,67
70,48
Aleación Ti6Al4V
A533(soldable)
850
450
60
120
4500
7800
36000
750
4,24
32,00
27,78
3,68
MATERIAL
ρ (kg/m3) CP (€/t) P=KIC2/Re
M  V   ( D 2 ) t

2

2C
2
2
K IC
t
; t
2C
2
M  V   ( D 2 ) t   ( D 2 )
2
K IC
2
2C
2
Pmax/Pi
2
K IC
2

M3 

2
2
2 8C K IC
D
 2f


K
2 2
Coste  C  MCP  8C D  CP  IC

 f






2
 C
min



K

  CP  IC

 f






2
K IC
f

2 2  K IC
 8C D
   12
 f
2


 min
Re(MPa)
KIC (Mpa.m1/2)
Acero 18/8
340
200
7800
1500
117,65
1,00
4048442,91
0,0000002470
151,59
Duroaluminio
405
26
2700
2400
1,67
70,48
26706,17
0,0000374445
1,00
Aleación Ti6Al4V
A533(soldable)
850
450
60
120
4500
7800
36000
750
4,24
32,00
27,78
3,68
807197,23
416000,00
0,0000012389
0,0000024038
30,23
15,58
MATERIAL
ρ (kg/m3) CP (€/t) P=KIC2/Re
Pmax/Pi
Q=CPρ(KIC/Re)2
R=1/Q
Qmax/Qi




2
P3.-Un recipiente esférico, que almacena GLP de radio fijo (r) y espesor variable (t), esta sometido a una presión interna P. El recipiente no
puede entrar en plasticidad (tensión de trabajo σ inferior a Re). Entre los materiales estructurales abajo indicados, elegir el que proporcione:
(a).- Mínimo peso
(b).- Mínimo coste del recipiente
MATERIAL
Re(MPa)
ρ (kg/m3)
CP ($/t)
Hormigón armado
Al-4 %Cu
GFRP
200
400
200
2500
2700
1800
290
2200
2420
pR
2t
  Re
 
Re 
pR
pR
t 
2t
2 Re
M   (4 R 2 t)   (4 R 2 )
pR
1
 2 R3 p
Re
2 Re
Término
fijo
M  V   (4 R t)
2
M min

 1

R
 e


 Re 







max

min

Término
variable
Por lo tanto elegimos como solución de este apartado el Al-4%Cu
b.- Criterio económico
Coste  C  MCP   (4 R 2 t)CP   (4 R 2 )CP
pR
1
 2 R 3 p
Re
2 Re
Cmin
 CP

 1

R
 e C

P

 Re 






C

P
max

min
Re(MPa)
ρ (t/m3)
CP ($/t)
P=Re/ρ
Pmax/Pi
Q=Re/ρCP
Qmax/Qi
Hormigón armado
200
2,5
290
80,00
1,85
0,2759
1,00
Al-4 %Cu
GFRP
400
200
2,7
1,8
2200
2420
148,15
111,11
1,00
1,33
0,0673
0,0459
4,10
6,01
MATERIAL
De modo que elegiremos el hormigón armado como mínimo coste de recipiente al obtener mayor valor de (Re/CP.ρ)max
EXAMEN DICIEMBRE 2004.
P4.- Un recipiente cilíndrico para la industria química de diámetro igual a 2000 mm está soportando una presión interna de 20 bares. Si se
impone la condición de que el recipiente debe gotear antes de romperse (Leak Befote Break), se pide:
(a). - Seleccionar el material más adecuado, de entre los que más abajo se relacionan, que verifique dicha condición.
(b). - ¿Cuál sería el de peso más bajo?. ¿Y el de coste menor?
Nota: 1 bar = 0.1 Mpa; 1 atm = 1.01325 bares = 0.101325 MPa
MATERIAL
Acero soldable
Aleación Ti6Al4V
CFRP
2
K IC
r
2
K IC
r


σr(MPa)
280
825
670
KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3)
170
7,85
75
4,43
45
1,60
Cp(Libras/t)
250
29000
20000
 (Cte) 2   pR 




 (Cte) 2   pR    x1.122 x (2  0.101325) x1  7.482 MN(*)
/m




MATERIAL
σr(MPa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3)
Cp(Libras/t)
KIC2/σr
Q=KIC2/ρCp Qmax/Qi
Acero soldable
280
140
7,85
250
70,00
9,99
1
Aleación Ti6Al4V
CFRP
825
670
75
45
4,43
1,6
29000
20000
6,82
3,02
0,04
0,06
228,1
157,82
Los valores de 6.82 y 3.02 no valen, puesto que no se acomodan dentro de la exigencia de (*).
El mejor, y único, es el acero soldable para LBB
Diseño de recipientes a presión con solicitación de tenacidad.
(a).- Que deforme antes de la rotura: YBB; “Yield before break”
(b).- Que fugue antes de la rotura; LBB; “Leak before break”
a.-Yield befote break (YBB):
Debe cumplir ciertas condiciones:
1.- Que sea tenaz: K IC  (Cte) trab
2ac
a
Se propone un recipiente cilíndrico:
2.- Que no deforme:
pR
r 
(en el límite)
t
K IC  (Cte) trab  a
   r
pR
r 
(en el límite)
t
2
2 2
K IC
 (Cte)  trab a
2
K IC

2
(Cte) 2  trab
 ac
    trab 
pR
t
Separamos las variables que dependen del material en un miembro y en otro
todas las demás:
 K IC 




r 
2

(Cte) 2  ac
TÉRMINO VARIABLE
El término VARIABLE depende
del material
A mayor valor del cociente (KIC/σr) mayor seguridad. Para esto hay que coger el material con el mayor valor del coeficiente de KIC/σr.
El tamaño de grieta ac depende del proceso de elaboración, por ejemplo una mala desulfuración en los aceros produce MnS en forma de
inclusiones. Por tanto, elaboraciones esmeradas dan lugar a valores de ac bajos; elaboraciones no esmeradas dan, por el contrario, valores altos
de ac.
PROCESO DE ELABORACIÓN.
-Metalurgia: inclusiones de (MnS, Al2O3,….).
-Conformado.
-Tratamientos térmicos ΔT= αEΔT (cuando no son estos, son los cambios alotrópicos asociados a la variación de volumen).
-Soldadura.
b. “Leak Before Break” (LBB).
Deben cumplirse las condiciones:
1.- Que sea tenaz:
2
K IC
    trab 

2
(Cte) 2  trab
 ac
pR
t
2.-Debe cumplir LBB:
ac  t ( grieta externa )
2ac
2ac  t ( grieta int erior )
El criterio más exigente es el grieta externa, es el más difícil de superar, KIC con aCt es más exigente que KIC con aC(t/2).
2
K IC

(Cte)
3.-Que no deforme plásticamente:
2
p2 R2
t
2
t
2
K IC

2 2
 (Cte) 2  p R t   (Cte) 2  pR
r





 pR


r
Agrupemos en un miembro las partes variables:
2
K IC
r
PROPIEDADES
MATERIAL

 (Cte) 2   pR 




Cte = 1.12
GRIETAS
EXTERIORES
CAPACIDAD
DEL DEPOSITO
Luego diseñar por este nuevo criterio, el material más apto para goteo antes de rotura catastrófica viene dado por aquel de KIC2 máxima.
K IC  (Cte) trab  a
(b). - ¿Cuál sería el de peso más bajo?. ¿Y el de coste menor?
M  V   (2 RtL)
2
K IC

(Cte)
2
M  V   (2 RtL)
Eliminamos t y sustituimos:
p2 R2
t
2
t
M   (2 RL)(Cte) 2
t
p R
2 2
2
K IC
 M   (Cte) 2

(Cte)
2
2 Lp R
1
2
2
2 3

M

(
Cte
)
2

Lp
R
2
2
K IC
K IC
TÉRMINO
2
 p2 R2
2
K IC
2 3
FIJO
M min
2
 K IC

 
 

max

TÉRMINO
VARIABLE
Coste = C = CpM
C  (Cte) 2 Lp R
MATERIAL
2
2
1
2 3
2
K IC
Cmin
C p
σr(MPa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3)
2
 K IC

 
C p 

max
Cp(Libras/t)
KIC2/σr
KIC2/ρ
Q=KIC2/ρCp Qmax/Qi
Acero soldable
280
140
7,85
250
70,00
2496,82
9,99
1
Aleación Ti6Al4V
CFRP
825
670
75
45
4,43
1,6
29000
20000
6,82
3,02
1269,75
1265,63
0,04
0,06
228,1
157,82
Luego en todos los caso gana el acero.
EXAMEN FEBRERO 2005
P5.- Un recipiente esférico para la industria química de diámetro igual a 2000 mm está soportando una presión interna de 20 bares. Si se
impone la condición de que el recipiente debe de "gotear" o "fugar" antes de romperse de modo inestable (criterio Leak Before Break o
LBB), se pide:
(a).- Seleccionar el material más adecuado —de entre los que más abajo se relacionan—, que verifique dicha condición.
(b).- ¿Cuál sería el de peso más bajo?¿Y el de coste menor?
(c).- Realizar un análisis atributivo para elegir el material más apto, en el que se conceda un importancia ponderal idéntica al coste Cp y al
factor específico derivado de la condición LBB del apartado (a).
MATERIAL
Acero T+R. 150M19
Acero HSLA
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
σy(MPa)
570
600
400
1400
825
E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3)
210
186
7,85
210
150
7,85
70
35
2,71
180
145
8,37
110
75
4,43
CP(₤/t)
380
575
1585
9500
29000
“Leak Before Break” (LBB).
1.- Que sea tenaz:
2
K IC
2.-Debe cumplir LBB:
Debe cumplirse :

(Cte) 2  y2 ac
ac  t ( grieta externa )
2ac  t ( grieta int erior )
El criterio más exigente es el grieta externa, es el más
difícil de superar, KIC con aCt es más exigente que KIC
con aC(t/2).
2
K IC
y
  (Cte)
2
MATERIAL

(Cte) 2  y2 t
2
K IC

(Cte) 2  y2
2
K IC

 (Cte) 2
2
K IC
y
3.-Que no deforme plásticamente:
   y 
2
K IC
  (Cte) 2
PROPIEDADES
MATERIAL
pR
pR
y  t 
2t
2 y
pR
2 y
pR
y
2
pR
2
Cte = 1.12
GRIETAS
EXTERIORES
CAPACIDAD
DEL DEPOSITO
2
K IC
pR
(2  0.1) x1

  (1.12) 2
 3.74 MPa
2
y
2
σy(MPa) E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3) CP(₤/t)
KIC2/σy
Acero T+R. 150M19
570
210
186
7,85
380
60,695
Acero HSLA
600
210
150
7,85
575
37,500
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
400
70
35
2,71
1585
3,063
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
1400
825
180
110
145
75
8,37
4,43
9500
29000
15,018
6,818
To ensure leak-before-break what K IC  C '  f
condition should be met by the
*
2
a
t
c
critical crack size
(Condiciones de goteo del depósito)
t
ac* 
a
f 
CK IC

 t 2
2
The wall thickness t of the pressure
vessel was, of course, designed to
contain the pressure p without
yielding. From equation
f 
CK IC
pR

4 f

2
f

  f 
2
4 f C 2 K IC
 pR
MATERIAL

pR

2t
2
f
2
IC
4C K

 pR
f

t
pR

2
4 f
2
2
 K2
4C 2 K IC
p
 pmax   IC
 f
R  f

2
K IC
4C
p 
R 
f
σy(MPa) E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3) CP(₤/t)
Q=KIC2/σy
Acero T+R. 150M19
570
210
186
7,85
380
60,695
Acero HSLA
600
210
150
7,85
575
37,500
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
400
70
35
2,71
1585
3,063
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
1400
825
180
110
145
75
8,37
4,43
9500
29000
15,018
6,818



 max
(b). - ¿Cuál sería el de peso más bajo?. ¿Y el de coste menor?
2
2
t
p R
t
2
4t
M  V   (4 R 2t )
2
K IC

(Cte) 2
M   (4 R )(Cte)
2
2
Coste = C = CpM
MATERIAL
Acero T+R. 150M19
Acero HSLA
 p2 R2
2
4 K IC
Eliminamos t y sustituimos:
 M   (Cte)
C  (Cte) 2 2 2 Lp 2 R3
2
 2 p2 R4
2
K IC
2
K IC
TÉRMINO
FIJO
C p
Cmin
(Cte)
 p2 R2
2
4 K IC
M   (4 R 2t )
 M  (Cte) 2  2 p 2 R 4
1

2
1
2
K IC
M min

2
 K IC

 
 

max
TÉRMINO
VARIABLE
2
 K IC

 
C p 

max
σy(MPa) E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3) CP(₤/t) KIC2/σy P=KIC2/ρ Pmax/Pi Q=KIC2/ρCp Qmax/Qi
570
210
186
7,85
380
60,695 4407,13 1,00
11,60
1,00
600
210
150
7,85
575
37,500 2866,24 1,54
4,98
2,33
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
400
70
35
2,71
1585
3,063
452,03
9,75
0,29
40,67
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
1400
825
180
110
145
75
8,37
4,43
9500
29000
15,018 2511,95
6,818 1269,75
1,75
3,47
0,26
0,04
43,86
264,88
Luego en todos los caso gana el acero.
(c).- Realizar un análisis atributivo para elegir el material más apto, en el que se conceda un importancia ponderal idéntica al
coste Cp y al factor específico derivado de la condición LBB del apartado (a).
 
2
K IC
y
50 C p min 50
M

2
100 C p
100  K IC


y 

max
MATERIAL
σy(MPa) E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3) CP(₤/t) KIC2/σy P=KIC2/ρ Pmax/Pi Q=KIC2/ρCp Qmax/Qi
M
Acero T+R. 150M19
570
210
186
7,85
380
60,695 4407,13
1,00
11,60
1,00
1,000
Acero HSLA
600
210
150
7,85
575
37,500 2866,24
1,54
4,98
2,33
0,639
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
400
70
35
2,71
1585
3,063 452,03
9,75
0,29
40,67
0,145
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
1400
825
180
110
145
75
8,37
4,43
9500 15,018 2511,95
29000 6,818 1269,75
1,75
3,47
0,26
0,04
43,86
264,88
0,144
0,063
EXAMEN SETIEMBRE 2004.
P6.- Seleccionar el material más adecuado para la fabricación de depósitos esféricos de radio r y débil espesor de pared t (r>>t), variable en el
que se almacena un gas a la presión p, verificando las siguientes conclusiones.
(a).- Minimizar el peso del recipiente y maximizar su rigidez (δ≤ δel)
(b).- Que posea mínimo peso y a la par, la máxima resistencia a la deformación.
(c).- Que tenga mínimo peso y mínimo riesgo de fractura inestable.
MATERIAL
Acero T+R. 150M19
Acero HSLA
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
σr(MPa) E (Gpa)
570
210
600
210
400
70
1400
180
825
110
KIC (Mpa.m1/2)
186
150
35
145
75
ρ (t/m3)
7,85
7,85
2,71
8,37
4,43
(a).- Minimizar el peso del recipiente y maximizar su rigidez (δ≤ δel)
 el
La Ley de Hooke, nos dice, que en el dominio elástico:
Queremos que σθ ≤ σel (primera condición expuesta por el sistema).
 el  E
 
 el
  el
 E el  ELn 
 R
 el

E
R

 el  PR
 el

PR
PR 2
    el 
E
; 
E
caso extremo   t 
2t
R  2t
R
2 E el

R
PR
2t
La segunda ecuación es:
M  V   (4 R t)
2
PR 2
t
2 E el

P
 GDeposito  Rigidez del depósito 
 el
 
PR 2
2 R 4 P 1
1
M   (4 R )

 GDeposito x 2 R 4 
E
2 E el
 el E
2

TÉRMINO TÉRMINO
FIJO
VARIABLE
M min


E
1 


 
 E 
  max
  min



(b).- Que posea mínimo peso y a la par, la máxima resistencia a la deformación.
Primera ecuación:
PR
2t
   r
 
Segunda ecuación:
(para que no se deforme plásticamente)
M  V   (4 R 2 t)
Tercera ecuación:
PR
PR
r 
t 
2t
2 r
M  V   (4 R t)
PR
1
M   (4 R )
 2 R3 P
r
2 r
2
2
TÉRMINO
FIJO

TÉRMINO
VARIABLE
M min

 1


 r


 

 r 

  max

min
(c).- Que tenga mínimo peso y mínimo riesgo de fractura inestable (Ciriterio YBB).
1ª ecuación
K IC  (Cte) trab  ac
PR
2ª ecuación  trab    
2t
3ª ecuación M  V   (4 R 2 t)
PR
 ac 
2t
PR
 t  (Cte)
 ac
2 K IC
K IC  (Cte)
M min
MATERIAL
Acero T+R. 150M19
Acero HSLA
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
σr(MPa) E (Gpa)
570
600
400
1400
825
210
210
70
180
110
TÉRMINO
FIJO
ρ (t/m3) P=E/ρ
7,85
7,85
2,71
8,37
4,43
26,75
26,75
25,83
21,51
24,83
Pmax/Pi Q=σr/ρ Qmax/Qi
1,00
1,00
1,04
1,24
1,08
1
K IC

TÉRMINO
VARIABLE
Condiciones de fabricación y operación (agresividad
del contenido). A veces para ahorrar no se toman
aceros placados con cubierta inoxidable, fabricados
por técnicas de explosión.


 1 
 K IC 




K IC 


max




min
KIC (Mpa.m1/2)
186
150
35
145
75
M  (Cte)(2 R3 P)  ac
72,61
76,43
147,60
167,26
186,23
2,56
2,44
1,26
1,11
1,00
R=KIC/ρ
23,69
19,11
12,92
17,32
16,93
Rmax/Ri
1,00
1,24
1,83
1,37
1,40
Por rigidez son muy parecidos, por lo que sería necesario evaluar el coste
El T+R es más caro, pues hay que laminar, templar y revenir en presencia de MO, Cr, V, Ti (todos ellos muy caros), luego en principio es
mejor usar el HSLA
Acero T+R = Acero HSLA ≈ Al > Ti > Acero maraging
EXAMEN JUNIO 2004.
P7.- Una viga empotrada, de longitud L, canto t y ancho variable b, se encuentra sometida a una carga de valor F uniformemente distribuida
por su cara superior. Se pide: seleccionar el material con mayor rigidez ( la flecha mínima δmáx no superará el mayor valor dado por la ecuación
aproximada de la elástica) y que minimice (a) el peso; (b) el coste específico; (c) efectúese un análisis atributivo con un factor del 50% asignado
al coste de producto, y otro 50 a su rigidez específica. ¿Qué consecuencias deduce cuando los materiales elegidos son hormigón armado, acero
de construcción, aluminio y material compuesto de matriz epoxídica reforzada con fibra de carbono?
MATERIAL
Hormigón armado
Acero construcción
Aluminio 2014-T6
CFRP
E (GPa)
50
210
72
140
ρ (t/m3)
2,40
7,85
2,80
1,50
CP (euros/t)
200
520
3057
20000
Viga en voladizo con carga uniformemente distribuida, F.
MX
F
( L  x)
F ( L  x)2
 0  M   F 'd   b( L  x)

bL
2
L
2
Fuerza en nuevo
centro de gravedad
Distancia
del par
La ecuación de la elástica es:
Volviendo a integrar:
F ( L  x)2
F ( L  x )3
( EI ) y''   M  ( EI ) y'' 
 ( EI ) y'  
 C1
L
2
L
6
F ( L )3
FL2
x  0  y' 0 0  
 C1  C1 
L 6
6
F ( L  x)3 FL2
luego : ( EI ) y'  

L
6
6
F ( L  x)3 FL2
F ( L  x) 4 FL2
( EI ) y'  

 ( EI ) y 

x  C2
L
6
6
L 24
6
F ( L) 4
FL3
x 0 y 00
 C2  C2  
L 24
24
F ( L  x) 4 FL2
FL3
Luego : ( EI ) y 

x
L 24
6
24
La flecha máxima se presenta en el extremo, x=L, es decir:
( EI ) max
FL3 FL3 3FL3 FL3
FL3 
bt 3  3FL3




  max 
 I 

6
24
24
8
8 EI 
12  2 Ebt 3
3
3FL
   max   
2 Ebt 3
M  V   bLt
3FL3
b
2 E t 3
M   bLt
3FL3 3FL4 1
M   bLt   Lt

3
2 E t
2 t 2 E
M min
b.-Disminuir el coste total del producto.
Coste = C = MCP
Sustituyendo en (1)
3FL4 1
C
2 t 2 E
 CP
Cmin


E
1


 
 E 
  max
  min

1

 E
  CP
Término
fijo

(1)
Término
variable

 E 




  CP max
min
MATERIAL
E (Gpa)
ρ (t/m3)
CP (euros/t)
Q=E/ρ
Qmax/Qi
P=E/ρCP
Pmax/Pi
Hormigón armado
50
2,4
200
20,83
4,48
0,10417
1,00
Acero construcción
Aluminio-2014T6
CFRP
210
72
140
7,85
2,8
1,5
520
3057
20000
26,75
25,71
93,33
3,49
3,63
1,00
0,05145
0,00841
0,00467
2,02
12,38
22,32
Rigidez minimizando masa: CFRP>Acero de construcción >Al>HA
Lo mismo minimizando coste: HA>Acero >>>Aleación de aluminio > CFRP
Si en lugar de ancho variable y el canto “t” fijo hubiésemos tomado el canto variable y el ancho “b” fijo, procederíamos:
Hasta la ecuación de la elástica se procede igual, obteniendo un sistema de ecuaciones como sigue:
En lugar de “b”, despejamos la “t” que es variable:
1/3
   max
3FL3
 
2 Ebt 3
 3FL3 
M   bLt   Lb 

2
E

b


3 1/3
 3FL
3FL
t 
t 

2 E b
2
E

b


3
3
M   bLt
M  V   bLt
M min
Y para el coste
1/3
 3FL3 
C  MCP   bLtCP   LbCP 

2
E

b


MATERIAL
Hormigón armado
Acero construcción
Aluminio-2014T6
CFRP
E (Gpa)
50
210
72
140
ρ (t/m3)
2,4
7,85
2,8
1,5
1/3
2
2  3Fb 
L 

2
E



CP (euros/t)
200
520
3057
20000
Q=E/ρ
20,83
26,75
25,71
93,33

 1
 1
E 3



 E 13



 


min
1
E1/3
Qmax/Qi
4,48
3,49
3,63
1,00
 CP
P=E/ρCP
0,10417
0,05145
0,00841
0,00467
Cmin
Pmax/Pi
1,00
2,02
12,38
22,32
1/3
2

3
Fb
 L2 

2
E






max


1
 1
 E 3
 CP

Término
fijo

 E 13



  CP


min
1
E1/3

Término
variable



max
R=E1/3/ρ
Rmax/Ri S=E1/3/ρCP
Smax/Si
1,535 2,255
0,00768 1,000
0,757 4,572
0,00146 5,271
1,486 2,330
0,00049 15,792
3,462 1,000
0,00017 44,343
(c).- Que le demos un 50 % al coste (no especifico) y 50 % a la rigidez específica
M (nuevo parámetro) pondera al 50 % a cada uno
 50 K min   50 Ri 
M 



100 K  100 Rmax 
MINIMIZAR
MAXIMIZAR
Análisis atributivo y tabla comparativa
EXAMEN FEBRERO 2004
P8.- En una viga simplemente apoyada, de longitud L y ancho b, con canto variable d, sometida a una carga F centrada, se pide seleccionar el
material con rigidez suficiente (en el que no se supere la flecha δmáx determinada por la ecuación aproximada de la elástica) y que minimice :
(a) el peso; (b) el coste, entre los materiales compuestos abajo indicados, sabiendo que la dirección de aplicación de la fuerza F resulta
perpendicular a las fibras en los siguientes materiales. Datos:
MATERIAL
E (Gpa) ρ (t/m3) Vf(%) CP (euros/t)
60
CFRP Epoxy
3
1,2
200000
60
CFRP C
390
1,81
200000
60
GFRP Poliéster
4
1,2
3000
60
GFFRP vidrio
72
2,58
3000
2
Hormigón armado
45
2,4
200
2
Hormigón armado con acero corrugado
210
7.75
200
El momento flector máximo se presentara en el punto medio de la viga
(obsérvese que se trata de un máximo absoluto y, por tanto, la primera
derivada no es nula). Su valor se obtendrá haciendo x= l/2 en las dos
ecuaciones anteriores
Pl
M
4
La ecuación de la elástica es:
Volviendo a integrar:
F
Fx 2
( EI ) y''   M  ( EI ) y''   x  ( EI ) y'  
 C1
2
4
F L2
FL2
x  L / 2  y'  0 0  
 C1  C1 
4 4
16
Fx 2 FL2
luego : ( EI ) y'  

4
16
Fx 2 FL2
Fx3 FL2
( EI ) y'  

 ( EI ) y  

x  C2
4
16
12
16
x  0  y  0  0  0  C2  C 2  0
Fx3 FL2 x
Luego : ( EI ) y  

12
16
La flecha máxima se presenta en el centro, x=L/2, es decir:
( EI ) max
FL3 FL3 2 FL3 FL3
FL3 
bd 3 
FL3




  max 
 I 

96
32
96
48
48 EI 
12  4 Ebd 3
Determinación del módulo de Young de materiales compuestos
Ect   E2  
Ecl  Ef Vf  EmVm  Ef Vf  E m 1  Vf 
Ef E m
Ef E m
1


E mVf  Ef 1  Vf  E mVf  Ef Vm Vm Vf

E m Ef
Si la tensión σ es perpendicular a la dirección de las fibras
 E2 CFRP  V
m
Em
1

Vf
Ef

1
0.4 0.6

3 390
 7.41 GPa
 E2 GFRP  V
m
Em
1

Vf
Ef

1
0.4 0.6

4 72
 9.23 GPa
Luego: E(HA) > E(GFRP) > E(CFRP)
Densidad
 c CFRP  f Vf  mVm  1.2x 0.4  1.81x 0.6  1.566
c  f Vf  mVm
 c GFRP  f Vf  mVm  1.2x 0.4  2.58x 0.6  2.028
 c HA  f Vf  mVm  2.4 x 0.98  7.85x 0.02  2.509
 E2 HA  V
m
Em
1

Vf
Ef

1
0.98 0.02

45 210
 45.72 GPa
c.- Optimización de rigidez específica y coste especifico
Rigidez específica
FL3
   max   
4 Ebd 3
M  V   bLd
1/3
 F 
M   bLd   bLL 

4
E

b


1/3
FL3
 F 
3
d 
 d  L

4 E b
 4 E b 
M   bLd
Término
fijo
M min
b.-Disminuir el coste total del producto.
Coste = C = MCP
Sustituyendo en (1)
1/3
2
2  Fb 
C  MCP  L 

4



1
1/3
E
1/3
2
2  Fb 
L 

4



Cmin
 CP

1

  1/3
 E C

P

 E1/3 





C
P

max

min
CFRP
ρ (t/m3)
1,566
CP (euros/t) Q=E1/3/ρ
Qmax/Qi R=E1/3/ρCP
Rmax/Ri
200000
1,244938 1,1448 6,2247E-06 1144,776
GFRP
9,23
2,028
3000
1,034346 1,3779
0,00034478 20,66776
Hormigón armado
45,72
2,509
200
1,425175
0,00712587
1
En ambos casos el mejor es el hormigón armado. El CFRP es inviable económicamente
E1/3

Término
variable


 E1/3 
1


  1/3 



E
max

 min 

E (Gpa)
7,41
MATERIAL
(1)
1
1
EXAMEN SEPTIEMBRE 2003.
P9.- Sea una viga simplemente apoyada, de longitud 3a y sección variable t2, sometida a dos cargas P, situadas, -respectivamente a distancia
“a” de los apoyos. Se desea seleccionar el material con rigidez suficiente (que nos supere una flecha δmáx conocida) y que minimice: a) el
peso; b) el coste; entre los abajo indicados.
MATERIAL
Hormigón armado
Acero de construcción
GFRP
Al – 12 %Si
E (Gpa) ρ (t/m3)
50
2,4
210
7,9
220
1,6
71
2,7
CP (euros/t)
130
350
20000
1100
Una viga se encuentra sometida a Flexión Pura cuando el momento Flector es la única fuerza al interior de la sección.
Ejemplo: Una viga simplemente apoyada de luz “L” y solicitada por dos cargas “P”, ubicadas a una distancia “a” de cada uno de
los apoyos.
Una viga se encuentra en Flexión Compuesta, cuando el Momento Flector está acompañado por un esfuerzo Normal, para
producir una fuerza al interior de la sección.
Resolvemos este problema hasta el centro, pues tiene simetría
Esfuerzos Internos:
a
0≤x≤a
Equilibrio
 FY  0  QY ( x)  P
 M X  0  M  Px
a ≤ x ≤ 1.5a
Equilibrio
 FY  0  QY ( x)  P  P  0
 M X  0  M  Px  P(x  a)  Pa
a ≤ x ≤ 1.5a
a  x  1.5a
( EI ) y 2''   M  ( EI ) y 2''   Pa
0 xa
( EI ) y1''   M  ( EI ) y1''   Px
( EI ) y1'  
( EI ) y 2'   Pax  C '1
2
Px
 C1
2
x  1.5a; y 2'  0  0  1.5 Pa 2  C '1  C '1  1.5 Pa 2
Tangente por la derecha=tangente por la izquierda (y’1= y’2)
( EI ) y 2'   Pax  1.5 Pa 2
2
Pa 2
2 3Pa
( EI ) y1'  ( EI ) y 2' de donde : x  a  
 C1   Pa 
 C1  Pa 2
2
2
2
Px 2
( EI ) y1'  
 Pa
2
Px3
( EI ) y1  
 Pa 2 x  C2
6
x  0, y  0  C2  0
( EI ) y 2 '   Pax  1.5Pa 2
Pax 2
( EI ) y 2  
 1.5 Pa 2 x  C '2
2
Px3
( EI ) y1  
 Pa 2 x
6
La flecha por un lado y por otro coinciden (x=a; y1=y2)
Px3
( EI ) y1  
 Pa 2 x;
6
Pa3
Pa3 3Pa3
Pa3
3
( EI ) y1 ( x  a)  ( EI ) y 2 ( x  a)  
 Pa  

 C '2  C '2  
6
2
2
6
Pax 2
Pa3
2
( EI ) y 2  
 1.5Pa x 
2
6
La única ecuación válida, en realidad, es la del tramo de la derecha, puesto que lo que queremos es la flecha elástica máxima, la cual es el centro
de la viga [x=(3/2)a].
( EI ) max
2
Pa  3a  3Pa 2  3a  Pa3
23Pa3 
wb3 t 4  23Pa3

  max 
 I 
 
  
 
2  2 
2  2 
6
24 EI 
12 12  2 Et 4
   max
3
23Pa
23Pa
23Pa
4
2  23Pa 

 
t 
t 

4
4
2 E
2
E

2 Et
2 Et


3
3
3
1
2
 23Pa3 
M  L

2
E



1
(1)
M  V   Lt 2
M min
Coste = C = MCP
Sustituyendo en (1)
 23Pa

C  MCP  
9a 2 
 2

3
MATERIAL
1
2
1
E
2
 23Pa3 
 3a 

2




 1

 E

Cmin
 CP
E (Gpa) ρ (t/m3) CP (euros/t) P=E1/2/ρ Pmax/Pi
1
2
1
E1/2

 23Pa3 2 

9a 
2



Término
fijo

 E







max

min


1

 E C

P
S=E1/2/ρCP

 E




  CP

min
Smax/Si
Hormigón armado
50
2,4
130
2,95
3,15
0,02266
1,00
Acero de construcción
GFRP
Al – 12 %Si
210
220
71
7,9
1,6
2,7
350
20000
1100
1,83
9,27
3,12
5,05
1,00
2,97
0,00524
0,00046
0,00284
4,32
48,90
7,99


max
1
2
1
E

Término
variable
P10.-Para una viga en voladizo de longitud horizontal L constante y de sección cuadrada variable (espesor t) sometida a una carga puntual F en
un extremo, seleccionar el material con rigidez ( que no supere una flecha 8 dada) y mínimo peso entre los abajo indicados.
MATERIAL
ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2)
E(GPa)
Re(MPa)
Al-12 %Si
71
145
2660
Hormigón armado
50
400
2400
Acero construcción
210
290
7850
10
Ecuación de Navier:
d2y
M
( EI ) y''   M  2  
EI
dx
 M X  0  M   F ( L  x)
E = Módulo de Young o de elasticidad
I = Momento de inercia
M = Momento flector
(Momento generado por la resistencia en el apoyo de la pared)
Integrando
F ( L  x)2
( EI ) y'  
 C1
2
FL2
FL2
x  0; y'  0  0  
 C1  C1 
2
2
F ( L  x) 2 FL2
( EI ) y'  

2
2
F ( L  x)3 FL2 x
Integrando de nuevo:
( EI ) y 

 C2
6
2
FL3
FL3
x  0; y    0  0 
 C2  C 2  
6
6
Vamos ahora a considerar el momento de inercia para la sección en cuestión:
F ( L  x)3 FL2 x FL3
( EI ) y 


6
2
6
b3t
t4
I
 b  t 
12
12
Aplicamos esta ecuación en el lugar donde la δ elástica sea la máxima, es decir, en x=L ya que tenemos que considerar δ≤ δel en el límite más
desfavorable:
FL3 FL3 FL3
FL3  t 4  4 FL3
4 FL3
( EI ) 


 
 I   
  el ,max 
2
6
3
3EI  12  Et 4
Et 4
1
1
t4 
4 FL
4 FL  4 FL
t  4

E el
E el  E el
3
3
M  V   t 2 L
3



1
4
   el
 4 FL
t 
 E
 el
t2 
3



1
4
M
L
3
2  4 FL 
t 
 E 
 el 
t2 
1
2
M
L
M  4 FL3 


 L  E el 
 4 FL
M  L
 E
 el
2
3



 4 FL3 
 M  L
 E 
 el 
1
2
 FL
 2

 el
5
Término
fijo
M min


 E
 1 






E

max

 min

MATERIAL
Al-12 %Si
E(GPa) Re(MPa) ρ (kg/m3)
71
145
2660
KIC (Mpa.m1/2)
10
P=E1/2/ρ
0,0031677



1
2
1
E
2

Término
variable
Pmax/Pi
1
Hormigón armado
50
400
2400
0,0029463 1,07516
Acero construcción
210
290
7850
0,001846
1,71596
P11.-Para una placa (forjado, escalera mecánica, suelo) apoyada en sus extremos de longitud L, ancho b y espesor (canto) t variable,
sometida a una carga F uniformemente repartida, seleccionar el material con rigidez que no supere una fecha dada () y tenga mínimo peso
entre los siguientes materiales.
E(GPa)
Re(MPa)
ρ (kg/m3)
Al-12 %Si
71
145
2660
Hormigón armado
50
400
2400
Acero construcción
210
290
7850
MATERIAL
3.-Placa uniformemente cargada.
Tenemos una fuerza F repartida uniformemente en el área L.b,
donde la presión sobre la superficie es lógicamente P=F/(L.b)
Datos:
F a la que está sometida.
Dimensiones: L y b (¿t?)
Requisitos de diseño:
≤ (elástica)
Masa mínima
Estudiamos el problema en dos dimensiones, donde hay simetría
respecto al eje de la placa. Tomamos un sólido libre.
Condiciones de equilibrio:
F  0
M  0
Las condiciones de equilibrio, según el eje Y, pues en X
no hay esfuerzos, son:
 FY  0  RY  F
MX
La ecuación de la elástica es:
Fx Fx 2
 0  MT 

2
2L
Fx Fx 2
( EI ) y''   M  ( EI ) y''  

2
2L
Integrando:
Fx 2 Fx3
( EI ) y'  

 C1
4
6L
Para calcular la constante de integración, observando la geometría de la figura vemos que y’ es nula en el máximo, esto es, en x=L/2.
L
FL2 FL3
FL2
x  ; y'  0  0  

 C1  C1 
2
16 48L
24
Fx 2 Fx3 FL2
( EI ) y'  


4
6L
24
Fx 2 Fx3 FL2
( EI ) y'  


4
6L
24
Volviendo a integrar, obtenemos:
Fx3 Fx 4 FL2 x
( EI ) y  


 C2
12 24 L
24
Mediante las condiciones iniciales, determinamos la nueva constante de integración:
( EI ) y  
3
4
2
Fx
Fx
FL x


12 24 L
24
x  0, y  0  C2  0
Se puede observar que, dada la sencilla geometría de la placa, la flecha máxima se alcanza en su centro, luego:
y , x 
( EI ) max
L
 ymax   el ,max
2
FL3
FL4
FL2 L FL3  1 1 
5 FL3
1 5FL3




1    ( EI ) max 
  max 
12 x8 24 x16 L 24 x 2 48  2 8 
8 48
EI 384
Sustituimos el momento de inercia de la sección que estamos considerando:
bt 3
I
12
 max
1 5 FL3


EI 384
1 5 FL3
5 FL3

3
bt 384 32 Ebt 3
E
12
1
 3
 5 FL3
5 FL3
5 FL3
3
 max 
t 
t 

3
32
Eb

32 Ebt
max
 32 Eb max 
M  V   btL
   el
t
 5 FL3 
t 

32
Eb

max


1
3
1
 3
 5FL
M


 bL  32 Eb max 
3
M
 bL
1
 3
 5FL
 M   bL 

32
Eb

max 

3
Dividimos la expresión en parámetros que dependen de la elección del material dado, -término variable-, y los parámetros que no dependen del
mismo, -término fijo-.
1
 3
 5FL
M   bL 

32
Eb

max


3
Término
fijo
MATERIAL
1
 3
 5FL b
M 

32

max


6 2
3
1
E
M min


 1
 3
 E


1 


E 3



  


max
min
Término
variable
E(GPa) Re(MPa) ρ (kg/m3)
KIC (Mpa.m1/2) P=E1/3/ρ
10
0,001557
Pmax/Pi
Al-12 %Si
71
145
2660
1
Hormigón armado
50
400
2400
0,001535 1,0141
Acero construcción
210
290
7850
0,000757 2,0559
P12.- Un tirante cilíndrico de longitud L y sección variable A, está sometido al esfuerzo F a tracción. A la vista de la relación de materiales y
propiedades que se relacionan en modo tabular, se pide encontrar el material más adecuado que permita simultáneamente:
(a) Maximizar la rigidez y minimizar su peso; maximizar su resistencia a deformación permanente y minimizar su peso; minimizar el riesgo de
rotura inestable y minimizar su peso.
(b) Maximizar la rigidez y minimizar coste; maximizar la resistencia a deformación plástica y que minimice su coste; maximizar su respuesta
tenaz y minimizar su coste.
(c) Realizar un análisis atributivo que pondere al 50 % el coste, y al 50 % los criterios recogidos en el apartado a) -a partes iguales-, para índices
de mérito mecánicos relativos al peso.
(d) ¿Qué conclusiones prácticas deduce?
Acero dulce
210
σy(MPa)
280
Aleación de aluminio
70
50
MATERIAL
E(GPa)
ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2)
CP ($/t)
7850
140
500
2710
35
2500
a.1) Maximizar la rigidez y minimizar su peso (Requisitos de diseño: ≤el, masa mínima)
 el  E el
La Ley de Hooke, nos dice, que en el dominio elástico:
Por otro lado, sabemos que:
Y además:
TENSION 
FUERZA
SUPERFICIE
L  el
  Ln(1  e)  e 

L
L
 el
F
 2
t
donde  es la flecha, en este caso elástica
Combinado ecuaciones, tenemos:
 el  E el ;  el
F
 2
t
L  el
  Ln(1  e)  e 

L
L
FL
 el  2
Et
M  V   t 2 L
 el
 el
F
FL
 el  E
 2 E
  el  2
L
L
t
Et
FL
FL
2
   el    2  t 
E
Et
M
2
t 
L
Datos: F y L
 FL2  1
M FL
 FL2

M 
M 
E
 L E
E
   
Término Término
fijo
variable
M min


E
1


 
 E 
  max


min
a.2) Maximizar su resistencia a deformación permanente y minimizar su peso
Fel
y
A
M  V   LA
A
Fel
M  L
y
Fel
y
 M  LFel
y
Término
fijo
M   LA
K IC  (Cte) el  a  K IC
M   LA
MATERIAL
A  (Cte)

M min

 1


 y




y 





max

min
Término
variable
a.3) Minimizar el riesgo de rotura inestable y minimizar su peso
F
 (Cte) el  a
A
1
1
Fel
 a M  (Cte) LFel  a K
IC
K IC
Término
fijo
M   LA
E(GPa) σy(MPa) ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2) CP ($/t)
P=E/ρ
Término
variable
M min


 1

K
 IC




 K IC 






max

min
Pmax/Pi Q=σy/ρ Qmax/Qi R=KIC/ρ Rmax/Ri
Acero dulce
210
280
7850
140
500
0,0268
1,00
0,0357
1,00
0,0178
1,00
Aleación de aluminio
70
50
2710
35
2500
0,0258
1,04
0,0185
1,93
0,0129
1,38
El cociente de índices de mérito indica el nº de veces que es mejor el máximo valor respecto del valor i-ésimo. El análisis es
favorable al acero en todas las instancias.
Realmente son prácticamente iguales en el análisis frente a rigidez.
b.1) Maximizar la rigidez y minimizar coste
FL
 el  2
Et
C  MCP   LACP
 FL  1
C 
E


 C
P
2
Cmin

1

 E
  CP

 E 





C

P  max
min
Término
Término
fijo
variable
b.2) Maximizar su resistencia a deformación permanente y minimizar coste
Fel
y
A
C  MCP   LACP
C   CP L
Fel
y
 C  LFel
Término
fijo
y
1
 CP
Término
variable
Cmin

 1

  y
 CP



 y 



  CP max

min
b.2) Minimizar el riesgo de rotura inestable y minimizar coste
K IC  (Cte) el  a  K IC  (Cte)
C  MCP   LACP
MATERIAL
Tabla I
Tabla II
Fel
a
A
C  (Cte) LFel  a
Término
fijo
1
K IC
Cmin
 CP
Término
variable
E(GPa) σy(MPa) ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2) CP ($/t)


1

K
 IC
 CP

P=E/ρ


K 
  IC 

  CP max

min
Pmax/Pi Q=σy/ρ Qmax/Qi R=KIC/ρ Rmax/Ri
Acero dulce
210
280
7850
140
500
0,0268
1,00
0,0357
1,00
0,0178
1,00
Aleación de aluminio
70
50
2710
35
2500
0,0258
1,04
0,0185
1,93
0,0129
1,38
MATERIAL
E(GPa) σy(MPa) ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2) CP ($/t)
P=E/ρCP
Pmax/Pi
Q=σy/ρCP
Qmax/Qi
R=KIC/ρCP
Rmax/Ri
Acero dulce
210
280
7850
140
500
0,0000535
1,00
0,0000713
1,00
0,0000357
1,00
Aleación de aluminio
70
50
2710
35
2500
0,0000103
5,18
0,0000074
9,67
0,0000052
6,90
-Cuando el coste entra en liza, también el acero es el material óptimo –y de forma más marcada que en el caso anterior-, por lo
que éste –el acero- posterga definitivamente el uso del aluminio en aplicaciones estáticas.
Conclusiones finales y Reflexión (“unificando” Tablas I y II):
-El análisis mecánico con peso y con coste resulta SIEMPRE favorable al acero.
-Sin embargo, cuando por otros condicionantes se da la circunstancia en la que es preciso mover por personas barras (p.ej.: de
andamio) hasta su emplazamiento definitivo (posición específica en la estructura del andamiaje), entonces otras variables
aparecen en la ecuación de selección (peso propio sin solicitación que incide su dificultad de transporte, izado, ensamblado,
etc.…), y por ello pueden verse aplicaciones en Al a pesar de lo constatado en las Tablas I y II. Otro condicionante
que podría inclinar la balanza hacia al Aluminio pudiera ser la exposición de las barras a la intemperie (oxidación) y la
degradación frente al acero galvanizado.
c) Análisis atributivo
MATERIAL
E(GPa) σy(MPa) ρ (kg/m3) KIC (Mpa.m1/2) CP ($/t)
P=E/ρ
Q=σy/ρ R=KIC/ρ
Qi
Qi/Qmax
Acero dulce
210
280
7850
140
500
26,75
35,67
17,83
100
1
Aleación de aluminio
70
50
2710
35
2500
25,83
18,45
12,92
46,78
2,14
El acero dulce sigue siendo el mejor candidato en las condiciones expuestas en el último apartado del enunciado.
P13.- Se pide adaptar el diseño del casco de un sumergible esférico de pared delgada, apto para efectuar inmersiones de profundidad igual 10
Km en el océano. La esfera, que debe tener un radio de 1 m y un espesor uniforme t, debe soportar una presión de 200 MPa (presión de
diseño). El casco del sumergible ha de presentar rigidez suficiente para evitar el colapso por pandeo y resistir el fallo frente deformación por
compresión. Se pide:
(a).- Comprobar que la presión de diseño se adecua a las condiciones de inmersión en agua: ¿Cuál es el coeficiente de seguridad?
(b).- Derivar los índices de mérito que permiten minimizar la masa y simultáneamente conseguir la máxima, resistencia al pandeo, y de otro
lado, minimizar la masa optimizando simultáneamente la resistencia al fallo
(c).- Seleccionar el material óptimo para el casco del sumergible de entre los materiales que se detallan en la tabla adjunta
(d).- Determinar cuál es el mecanismo de fallo a que es mas proclive cada material.
Dato: Expresión para la presión de pandeo pb de una esfera, pb=0.3E(t/r)2.
MATERIAL
Alúmina
Vidrio
Acero aleado
Aleación de titanio
Aleación de aluminio
σf(MPa) E (Gpa) ρ (kg/m3) P=E/ρ Pmax/Pi Q=σr/ρ Qmax/Qi
5000
2000
2000
1200
500
390
70
210
120
70
3900
2600
7800
4700
2700
R=KIC/ρ
Rmax/Ri
P14.-
P15.-
EXAMEN JULIO 2012
P16.- Un recipiente esférico para la industria química de diámetro D, igual a 2000 mm, y pequeño espesor t igual a 20 mm, soporta una presión
interna de valor igual a 20 bares siendo la presión externa al recipiente la atmosférica. En la inspección mediante ensayos no destructivos se
han podido detectar la existencia de una grieta de borde en la parte interior de dicho depósito, originada por acción de la corrosión del fluido
interior con el material que compone el depósito, con una orientación según el espesor. Si se impone como condición de "diseño seguro" que
el recipiente debe de "gotear" o "fugar" antes de romperse de modo inestable (criterio Leak Before Break o "LBB"), se pide:
(a).- Indique cuál es la expresión del índice de mérito a que llega haciendo intervenir los parámetros de material KIC y σy. Y razone sobre si
dicho índice debe ser maximizado o minimizado, y cómo conseguirlo.
(b).- Clasificar y seleccionar el material más adecuado de entre los que más abajo se relacionan en modo tabular, que satisfaga la condición del
apartado anterior a).
(c).- Satisfaciendo el criterio LBB, y suponiendo en su razonamiento que el espesor del equipo t fuese variable en el diseño, ¿cuál sería el
material que permite un peso menor de depósito? Y ¿cuál el que comporta un menor coste del equipo atendiendo al coste individual del
material únicamente?
(d).- Realizar un análisis atributivo para elegir el material más apto, en el que se conceda un importancia ponderal idéntica al coste unitario Cp
y al factor específico derivado de la condición LBB del apartado (a). Ver problema P5
Tabla.- Materiales candidatos ordenados por coste Cp.
MATERIAL
Acero T+R. 150M19
σy(MPa)
570
Acero HSLA
Al-Tenaz 1XXX-3XXX
Acero Maraging
Aleación Ti6Al4V
600
400
1400
825
E (Gpa) KIC (Mpa.m1/2) ρ (t/m3)
210
186
7,85
210
70
180
110
150
35
145
75
7,85
2,71
8,37
4,43
CP(₤/t)
380
575
1585
9500
29000
P17.- Una columna de longitud L, ancho b y espesor variable t (b =t) se somete a la acción de una fuerza de compresión F. Encontrar el
material más adecuado de forma que:
(a).- Se maximice la resistencia a pandeo elástico y se minimice el peso
(b).- Se minimice el riesgo de rotura por fatiga y se minimice el peso
(c).- Se maximice la resistencia a pandeo elástico y se minimice el coste
(d).- Se minimice el riesgo de rotura por fatiga y se minimice el coste
MATERIAL
Acero medio bonificado
Acero estructural FP
Duraluminio
Cu trefilado y recristalizado
Fundición gris
σe(MPa) E (Gpa) ρ (t/m3)
400
210
7,85
220
185
95
70
210
72,4
118
145
7,85
2,8
8,94
7,3
CP(€/t)
670
350
2050
1300
125
(a).- Se maximice la resistencia a pandeo elástico y se minimice el peso
KEI
L2
bt 3
t4
I
 b   t 
12
12
Fb 
KE  t 4
Fb  2
L 12
2
2
KE  t 4
KE  t 4
4 12 FL
2  12 FL 
F 2
t 
t 
F  Fb  2

12

KE

KE
L
12
L


M   L t 2
M   L t 2
1/2
2 1/2
 12 FL
M   L 


KE


M min

 1
  1/2
 E 



1/2
2  12 F 
L 

K



1/2

E




 min


1
E1/2
max

(b).- Se minimice el riesgo de rotura por fatiga y se minimice el peso
c 
F
t2
c   y
M   L t 2
F
F
c   y   y  2  t2 
 y
t
M   L
M   L t 2
M min
F
 y

 1

  y
 

 LF
1
y






 y 

  max

  min
(c).- Se maximice la resistencia a pandeo elástico y se minimice el coste
Coste = C = MCp
1/2
 12 FL2 
C   L 

  KE 
1/2
 12 F 
C p  L2 

 K 
1
E1/2
Cmin
C p




1
 1/2



E
 C p 

  E1/2

max



C p  

min
(d).- Se minimice el riesgo de rotura por fatiga y se minimice el coste
C   L
F
 y
C p  LF
MATERIAL
y
1
Cmin
C p




1




 y


C
p

  y

max




   C p   min
σy(MPa) E (Gpa) ρ (t/m3) CP(€/t) R=E1/2/ρ Rmax/Ri S=E1/2/ρCP Smax/Si
Q=σy/ρ Qmax/Qi P=σy/ρCP Pmax/Pi
Acero medio bonificado
400
210
7,85
670
1,846
1,6462
0,00276
4,7895
50,955
1,2967
0,07605
1,0529
Acero estructural FP
220
210
7,85
350
1,846
1,6462
0,00527
2,502
28,025
2,3575
0,08007
1
Duraluminio
Cu trefilado y recristalizado
185
95
72,4
118
2,8
8,94
2050
1300
3,0389
1,2151
1
2,501
0,00148
0,00093
8,9021
14,119
66,071
10,626
1
6,2177
0,03223
0,00817
2,4844
9,7959
Fundición gris
70
145
7,3
125
1,6495
1,8423
0,0132
1
9,589
6,8903
0,07671
1,0438
P18.- (a).- Un material compuesto está constituido por fibras paralelas con módulo de Young Ef en una matriz con módulo de Young Em. La
fracción en volumen de fibras es Vf. Obtener una expresión para Ec, el módulo de Young del material compuesto a lo largo de la dirección de
las fibras en función de Ef, Em y Vf. Obtener una expresión análoga para la densidad del material, ρc. Utilizando los parámetros del material
detallados más abajo, calcular ρc y Ec, para los siguientes materiales compuestos:
(i).- resina epoxi-fibras de carbono (Vf= 0.5)
(ii).- resina de poliéster-fibras de vidrio (Vf= 0.5)
(iii).- acero-hormigón (Vf= 0.02).
(b).- Seleccione un material para el cuadro de una bicicleta —el más ligero para una rigidez dada. Suponga que los tubos con que se fabrica
el cuadro son vigas en voladizo (de longitud L) y que el desplazamiento por flexión elástica  de uno de los extremos sometido a la fuerza F
(el otro extremo está sujeto rígidamente) es:
FL3

3 Er 3t
2r es el diámetro del tubo (fijado por el diseñador) y t es el grosor de la pared del tubo, que se puede variar (t es mucho más pequeño que
r). Encuentre la combinación de propiedades del material que determine la masa del tubo para una rigidez dada y seleccione el material
empleando los datos suministrados en las tablas. Inténtelo con acero, aluminio, aleaciones de aluminio, madera, GFRP y CFRP.
(c).- ¿Cuál de los siguientes materiales da lugar al cuadro de bicicleta más barato para una rigidez determinada: acero suave, aleación de
aluminio, aleación de titanio, GFRP, CFRP o madera dura?
MATERIAL
Acero
Aluminio
Aleaciones de Al
Aleaciones de Ti
Madera dura
GFRP
CFRP
E (GN/m2) ρ (t/m3) CP($/t)
200
7,85
100
69
79
130
1
37,5
197
2,7
2,8
5
0,8
1,85
1,53
300
400
10000
250
1000
20000
A partir de una LÁMINA UNIDIRECCIONAL, se toma un elemento de volumen representativo
(RVE) (la parte más pequeña del material que representa al material en su conjunto), que
consiste en la fibra rodeada por la matriz. Este elemento de volumen representativo (RVE)
puede ser visto como bloques rectangulares. La fibra, la matriz, y el material compuesto se
supone que son del mismo ancho, h, pero de espesores de tf, tm, y tc, respectivamente.
Af  htf
Vf 
Lc Af
Lc Ac
Am  htm

htf
htc

Ac  htc
tf
tc
tf
Lc Am tm tc  tf
Vm 
 
 1   1  Vf
Lc Ac tc
tc
tc
Se realizan las siguientes suposiciones en el MODELO DE ENFOQUE DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES:
• La unión entre las fibras y la matriz es perfecta.
• Los módulos elásticos, los diámetros y el espacio entre las fibras son uniformes.
• Las fibras son continuas y paralelas.
• Las fibras y la matriz siguen la ley de Hooke (linealmente elásticas).
• Las fibras poseen una resistencia uniforme.
• El material compuesto está libre de huecos.
3
DOS DIRECCIONES
PRINCIPALES
→
MÓDULO DE ELASTICIDAD EN 1-2
- MÓDULO LONGITUDINAL (E1)
- MÓDULO TRANSVERSAL (E2)
L, T Fiber
coordinate system
MATERIALES
COMPUESTOS
MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL, E
1
(σ1)
Dos formas de trabajo
(La fibra va a soportar más fuerza)
• La deformación en la fibra es la que restringe la deformación en la matriz
Ecl  Ef
Af
A
 Em m  Ef Vf  EmVm  Ef Vf  Em 1  Vf   E11  E1  EII
Ac
Ac
(Regla de las mezclas)
Si existe más de un tipo de fibras, la ecuación se transforma en:
E11  E1  EII  Ecl  EmVm  Ef 1Vf 1  Ef 2Vf 2  ............
MÓDULO TRANSVERSAL
tf
tf
tm
t m
tc  t m  tf
MÓDULO TRANSVERSAL, E2
tc  t m  tf
Dividiendo por el espesor inicial, tc, se obtiene la deformación
en la dirección transversal:
tm
tf
tc t m t m tf tf
 ct   m   f
o bien
 ct 


tc
tc
tc
t m tc
tf tc
v f tf
v
t
Vf 

Vm  m  m
y como
VT tC
VT tC
resulta
 ct   m
tm
t
  f f   mVm   f Vf
tc
tc
Usando la ley de Hooke, se puede escribir:
 ct


 m Vm  f Vf
Ef
Ect   E2  Em
Simplificando
 f   m   ct
1  1
1  Vm Vf





Ect  E 22 E 2  E m Ef
Ef E m
Ef E m
Ect   E2  E22  

EmVf  Ef 1  Vf  E mVf  Ef Vm
 ct
Ect   E2 

 ct
Em
Vm 
y operando
Ect E2
1


Em Em V  V  Em 

f 
m
 Ef 
 ct
Ef
Vf
Variación del módulo de elasticidad longitudinal Ed y transversal Ect
con la fracción de volumen de las fibras, Vf.
c  f Vf  m 1  Vf 
 c epoxy C  1.90x 0.5  1.15x 1  0.5   1.525
 c poliester vidrio  2.55x 0.5  1.15x 1  0.5   1.85
 c hormigón acero  7.90x 0.02  2.40x 1  0.02   2.51
Ecl  Ef Vf  E m 1  Vf 
 Ec epoxy C  390x 0.5  3x 1  0.5   196.5
 Ec poliester vidrio  72x 0.5  3x 1  0.5   37.5
 Ec hormigónacero  200x 0.02  45x 1  0.02   48.1
a.1) Maximizar la rigidez y minimizar su peso (Requisitos de diseño: ≤el, masa mínima)
FL3
 el 
3 Etr 3
M  V   2 rtL
FL3
FL3
   el   
t 
3
3 Etr
3 Er 3
M  V   2 rtL
3
4
FL
2 FL 1
M   2 rL
M 
3
3 Er
3 r 2 E
Término
fijo
MATERIAL
Acero
Aluminio
Aleaciones de Al
Aleaciones de Ti
Madera dura
GFRP
CFRP

Término
variable
E (GN/m2) ρ (t/m3)
200
7,85
69
79
130
1
37,5
197
M min


E
1


 
 E 
  max


min
2,7
2,8
5
0,8
1,85
1,53
CP($/t) R=E/ρ
Rmax/Ri S=E/ρCP Smax/Si
100
25,478 5,0538 0,2548
1
300
400
10000
250
1000
20000
25,556
28,214
26
1,25
20,27
128,76
5,0384
4,5636
4,9522
103,01
6,3521
1
0,0852
0,0705
0,0026
0,005
0,0203
0,0064
2,9909
3,612
97,991
50,955
12,569
39,575
Maximizar la rigidez y minimizar su coste
Coste = C = MCp
2 FL4
1
C  MC p  C 
3 r 2 E
C p
Término
fijo
MATERIAL
Acero
Aluminio
Aleaciones de Al
Aleaciones de Ti
Madera dura
GFRP
CFRP
Cmin

 1

E
 C p


 E



 C p


min



max
Término
variable
E (GN/m2) ρ (t/m3)
200
7,85
69
79
130
1
37,5
197
2,7
2,8
5
0,8
1,85
1,53
CP($/t) R=E/ρ
Rmax/Ri S=E/ρCP Smax/Si
100
25,478 5,0538 0,2548
1
300
400
10000
250
1000
20000
25,556
28,214
26
1,25
20,27
128,76
5,0384
4,5636
4,9522
103,01
6,3521
1
0,0852
0,0705
0,0026
0,005
0,0203
0,0064
2,9909
3,612
97,991
50,955
12,569
39,575
P19.- Se le encarga que prepare un esbozo del diseño del casco de un vehículo sumergible capaz de descender al fondo de la fosa Mariana, en
el océano Pacífico. La presión exterior a esa, profundidad es aproximadamente 100 MN.m-2 y la presión de diseño se torna corno 200 MN. m-2,
Fl casco debe tener la forma de una esfera de pared delgada de radio r, establecido en 1 m, y espesor uniforme t. La esfera puede fallar por
2
colapso a la presión externa pb dada por
t
pb  0.3E  
r
donde E es el módulo de Young.
El criterio de diseño básico es que el casco tenga la mínima masa posible compatible con la presión de diseño.
Eliminando t de las ecuaciones, demuestre que la masa mínima del casco viene dada por
  
M b  22.9r 3 pb0.5 

 E
De aquí, obtenga el índice del material que permita obtener los requisitos de diseño para ese mecanismo de fallo. (Puede suponer que el área
de la superficie de la esfera es 4r2.